Derivabilitate Clarke

5/10/2018 Derivabilitate Clarke

1/21

Capito lu 12 . Deriv ab ilita te in sens Clarke

2.1.Definitii,notiuni si rezultate preliminareConceptul de derivabilitate joaca un rol important in analiza.de aceea a fostgeneralizat si extins in numeroase directii.Conceptul de derivata Clarke aaparut in urma incercarilor de a defini un nou tip de derivata directional apentru functii locallipschitziene.Definitial,

Fie f: U ~ IR 0 functie.Introducem urmatoarele notiuni(in cazul incare limitele de mai jos exista 8 i sunt finite):a)

D) + ( ) ( ) . f(x + B v) - f(x)'J X V = lim ,B~O+ e

derivata directionala la dreapta a luifin punctul x dupa directia vein sensGateaux,cunoscuta din capitolul 1).b)

Ddf(x)(v) = lim sup f(x + e ; ; - f(x) ,B-- - tO+derivata directionala la dreapta in sens Dini a luifin x dupa directia v.c)

Dcf(x)(v) = lim sup fey + B v) - fey) ,I1- joO+ ey---*x

derivata directional a la dreapta in sens Clarke a luifin punctul x dupadirectia v.Observatii :1)Domeniul de definitie Ueste 0 submultime deschisa,nevida a unui spatiuBanach real.

72


2/21

2)Vom lucra doar cu derivate la dreapta,insa pentru simplificarealimbajului,vom vorbi despre derivata Dini,derivata Clarke,etc.3)Conform definitiei limitei superioare,avem

Dcf(x)(v)= inf sup fCY+e;}-f(Y)rl - r : > 0 ! ! Y - x l ! s rl

0< e ~ r2Definltia 2.

Fie f: U ---7 J R . 0 functie si x EU.l)Spunem ca f este derivabila la dreapta(respectiv in sens Dini,Clarke) inx daca pentru orice v E U exista Df(x)(v) (respectivDdf(x)(v), Dcf(x)(v) ),2)Spunem ca f este regulata(sau regulat derivabila ) in x daca avem

Df(x)(v) ==Dcf(x)(v), \:IvEU,3)Spunem ca f este cvasi-diferentiabila ,in sensullui Pshenichnyi in xdaca f este derivabila la dreapta in x iar aplicatia v ---7 Df(x)(v) esteconvexa si continua.Dupa cum se stie din capitolul anterior,f este derivabila in sens Gateaux(ladreapta) in x ,daca e derivabila la dreapta si functia

v ---7 Df(x)(v) ==< Vf(x) ,v >este liniara si continua.In acest caz numim aplicatia Vf(x) EU* gradientullui f in x.4)Aplicatia f este continuu derivabila in punctul x daca pentru oricev EU functia Y - - -7< Vf (y ),v > este continua in x ,

73


3/21

Reamintim ca f este derivabila in sens Frechet in punctul x daca :. f(x + v) - f(x)- < Vf(x)(v) > 0hm ;:;;:v_,o I l v l l

Spunem ca f este strict derivabila in sens Frechet in x daca :. fe y + v) - f(y)- < Vf(x)(v) > - 0y l : x I J v I I - ,

v_,oSe observa imediat ca functiile v_, Df(x)(v) ,Ddf(x)(v) ,Dcf(x)(v)suntpozitiv omogene si ,in cazul in care toate exista ,avem:Df( x) (v ) ;:; ;: Dd f( x) (v ) ::: ;; Dc f( x) (v ) .Se remarca deasemenea ca 0 functie derivabila in sens Gateaux nu esteneaparat derivabila si in sens Clarke.Teorema 1.

Fie f 0 functie continuu derivabila in x.Atunci f este derivabila insens Clarke in x si avem < V f(x) , v >;:;;:Dcf(x)(v) , Vv EU.Demonstratie.Deoarece f este continuu-derivabila in x,pentru orice v fixat,aplicatiay _ , < Vf(y), v> e continua in x.Prin urmare, \;jE > 0,:3 77> 0 astfel incat[ < Vf(z)(v) > - 1 : : : ; ;E ,pentru l i z - xii:::;;77Daca I IY - x l i ~ ~ si 0 < t < 2~rfie g(t) = f(y + tv) .

74


4/21

Atunci geste derivabila iar'() . g(t+B)-g(t) . f(y+tv+Bv)-f(y+tv) nr( )g t :::::1m :::::11m =< vJ Y + tv ,v > .

8--+0 8 8--+0 8

Astfel,pentru B : S ; 2 ~ v l lobtinem :fe y + B v ) - fe y) _ < Vf(x)(v) >= g(8) - g(O) _ < Vf(x)(v) >=

8 81 8

= - J e < Vf(y + tv), v> - < Vf(x)(v) >)dt80si cum Il y + tv - xii ~ Ily - x I I + t "v l l ~ 17+ 17=17rezulta :2 2fe y +Bv)- fe y) _ < Vf(x)(v ) ~ 6".8De aici rezulta ca, pentru a : s ; ~ si f J : S ; 2 ~ ~ 1 '

sup sup fe y + B v ) - f(y)::::; < Vf(x), v> +& .l I y -xl!::::;a e ~,8 8In aceasta ultima relatie,luand infimumuI in raport cu a si ,8 ,obtinem

Dcf(x)(v) ~< Vf(x)(v) >+8,si cum 8a fost ales arbitrar rezultaDcf(x)(v) ~< Vf(x)(v) >din care deducem Dcf(x)(v) =< Vf(x)(v) > (deoarece inegalitatea inversaeste intotdeauna adevarata).

75


5/21

2.2. Derivabilitatea Clarke a functiilor convexe continue

Vom arata ca orice functie convexa si continua pe interiorul domeniului dedefinitie este derivabila la dreapta si derivabila Clarke si cele 2 derivate suntegala(adica functia este regulata).Propozitial.

Fie f: U ---j. J R 0 functie convexa.Consideram x,v EU astfel incatsegmentul {x+ 8 v: 8 E[-I,I]} cU.Atunci derivata directionala Df(x)(v) exista si are Ioc:

I)f(x) - f(x - v) - 5 , Df(x)(v) ~ f(x + v) - f(x)2)v ---j. Df(x)(v) este convexa si pozitiv omogena.

Demonstratie.Fie 8 E (O,I].Deoarece x =_I_(x + Bv) + ~(x - v) si f este1+8 1+8convexa,rezulta :

1 Bf(x)=~f(x+ Bv) + -f(x-v)==>1+8 1+8= = > f(x) - f(x - v) ~ f(x +B v) - f(x)8Pe de alta parte avem ca functia 8 ---j. f(x + B v ) - f(x) este crescatoare.8

(1 )

Intra-adevar,fie 0


6/21

f(X+OIV)- f(x) < f(x+B2v)- f(x)0t - 82 (2)In eoncluzie

f() f( ) - c : f(x + Bv) - f(x) . f(x + Bv) - f(x) D ) . ( ' ( ) ( )x - x - v - mf ;::::;hm = 'J X v.8>0 8 + B8~0

Din inegalitatea (2) eu O2 = I rezulta Df(x)(v) ~ f(x + v) - f(x).Deoareeef(x+O(Av+(l-A)w- f(x) ~ Af(x+Bv)- f(x) +(l_A)f(x+Bw)- f(x)

o B 0obtinem:Df(x)(AV + (1-A)W) ~ ADf(x)(v) + (1-A)Df(x)(w),q.e.d.Teorema 1.

Fie f: U ~ l R 0 functie convexa,continua pe U.Atunci f estederivabila Clarke si regulata pe U.ln plus,functia v -- + Df(x)(v) esteeonvexa si continua pe U.Demonstratie.Avem:Dcf(x)(v) = inf sup fCy + e ; ; - fey) =

a,p > O i l y - x i i ~ a= inf inf supp >Oa > l I y - x I I ~ a(deoarece functia e -- + fCx + B v ) - fCx) este crescatoare).ePentru J 3 fixat consideram functia g(y) = fey + J 3 v ) - fey) ,care estej3

0


7/21

De aici rezulta ca'\ Ie > 0,::1a > 0 astfel incatIg (y ) - g (x )1 s e pentru I IY- x l i sa=> g(y ) sg(x) + e ,pentru I IY- x i i sa ,saufe y + j3v ) - fe y) s f(x + j3v ) - f(x) +5pentru J J y - x/I s a

j3 j3ceea ce antreneaza :

fe y + fJv ) - fey) < f( x + fJv ) - f(x)sup _ +8.I l y - x / I ~ a fJ j J (2)Din (1) va rezulta

Dcf(x)(v) '" inf f(x + P v J - f(x) +e ~ Df(x)(v) +",f J > 0

si concluzia teoremei rezulta imediat.

Propozitiai.Fie f: U - - - + lR 0 functie convexa.Atunci multimile urmatoare sunt

egale:*A = {p EU : f(x) - fe y) ~

, '\Iy EU}*B = {p EU :< p,v >s D f(x) (v ), '\Iv EU}.

Demonstratie.Daca pEA ,atunci '\Iv E U avem :

1 1< p , v >= - < p ,x + B v - x>;: ; - ( f( x + B v ) - f(x).e e

78


8/21

Daca facem e 4 0 se obtine ca p EB .Invers,daca p E B atunci < p,v >S Df(x)(v) s f( x + V) - f(x) , \Iv E U .Luand V =Y - X se obtine ca pEA .Dejinitie.Numim subdiferentiala lui/in x si notam alex) una din cele 2multimi egale A si B.

2.3. Derivabilitatea in sens Clarke a functiilor locallipschitziene

In acest paragraf vom arata ca orice functie Iocallipschitziana este derivabilain sens Clarke si vom da cateva proprietati remarcabile ale derivatei Clarkepentru functii locallipschitziene.Definitial:o functie f: U 41R este locallipschitziana daca,pentru orice x EU existatj.L > 0 astfel incat \ ly,z EB(x,r;) = > jf(y) - f(z) j sLjjy- z l j .

Teorema 1.Orice functie f: U ~ J R locallipschitziana este derivabila Dini si Clarke pedomeniul sau de definitie(multime deschisa) si pentru orice x E U avem:l)v 4Dcf(x)(v) este pozitiv omogena,convexa si continua.2)aplicatia (x, v) EU x U ~ DcJ(x) (v ) este superior semicontinua.Remarca. Se poate demonstra ca orice functie continuu derivabila,respectivconvexa si continua este si locallispchitziana,astfel teorema este 0generalizare a teoremelor corespunzatoare din paragrafele anterioare.Astfel,derivata in sens Clarke a functiilor locallipschitziene reprezinta 0generalizare natural a a derivatei Gateaux din analiza si a derivatei la dreaptadin analiza convexa.

79


9/21

Demonstratie.

Fie x, VE U .Deoarece f este locallipsehitziana, 37],L > 0 astfel ineat"iy,z E B(x,7]) => \f(y) - f(z)\ ~ L i l Y - z l l AstfcJ,pentru a;;~ si j J s 2~vllavem:

- Lllv ll ~ fe y + B v ) - fe y) ~ L J l v l J ,pentru Y EB(x,a) si 0 ~ f 3 .o

Rezulta ea :_ L l l v l l ~ Ddf(x)(v) = inf sup f(x + B v ) - f(x) ~

/ 3 > O B : : ; , / 3 0~ Dc f(x )(v ) = inf sup fe y + B v) - fe y) ~ L l l v l l

a,/3 > O i l y - x i i : : ; , a 0B s / 3

adieaf este este derivabila in sens Dini si Clarke,si in particular are locinegalitatea :

IDcf(x)(v)1 s L l l v l l Pentru a arata ca derivata Clarke este eonvexa,seriem :fey + O ( A V + (1- I L ) w )) - fey) = (1- A) fez + aw) - fez) + I L fey + j3 v) - fey)o a j3unde am notat z =y + O A V ~ x; a =(1- 1 1 .) 0 ~ 0; j 3 = A O ~ 0si obtinem,luand limitele superioare in ambii membri ca :

80


10/21

Dcf(x)(AV + (1-2)w) ~ 2Dcf(x)(v) + (1-A)Dcf(x)(w).Sa demonstram acum ca derivata Clarke ptr functii locallipschitziene estesuperior semicontinua.Din definitia derivatei Clarke.pentru orice c > 0 exista un ao > 0 astfel incatsa avem:

f(z+ AV)- fez) D f( )() esup ~ c X v +-.l i z - x i i : : ; 2ao A 2A::; = oPutem alege pe ao astfel incat ao (2 + I l v l l + __) ; 5 ; 17.2LAstfel.daca l i z - Y I I ~ ao, I I Y - x i i ~ ao, A ~ ao obtinem,deoarece f este locallipschitziana:f(z+2w)- fez) ~ f(Z+AV)- fez) + L l l v - w l l .A 2

fez + AW ) - fez) fez + AV) - fez) L I I I Isup ~ sup + v - w ~I Iz-y!l::;a A II z-x l : : ;2ao AA : : ; J 3 A , ::; o~Dcf( x )( v) + C + Lllv - w I ! ~ Dcf( x) ( v) + C,2daca I l v - w l l ~ _ 3 _ .2LDaca facem a.B ~ 0 deducem:Dcf(y)(w) ~ Dcf(x)(v) + e pentru I l y - x l l ~ a o s i l l v - w l l ~ __,adica2Lderivata Clarke D, este superior semicontinua in (x, v).

81


11/21

Vom stabili in cele ce urmeaza cateva proprietati ale derivatei Clarke pentrufunctii local lipschitziene.Propoz i t ia 1.Fie f, g doua functii locallipschitziene definite pe U,x E U; a,j3 > 0.Atunci:1 ) Dd(q( + jJg)(x)(v) s aDdf(x)(v)+ jJDdg(x)(v)2) Dc(q( + J3g)(x)(v) s aDcf(x)(v) + J3Dcg(x)(v)3)Dc(- f)(x)(v) = Dcf(x)(-v).Demonstratie.(1) si (2) sunt evidente.(2) Pentru a demonstra (3) scriem:- f(Y+AV)-(-f(y = f(Z+A(-V))- fez) unde Z=y+AV tinde la xA A 'cand y ~ X,A -+ 0.Luand limitele superioare se obtine (3).

Propoz i t ia 2(principiu variational)Fie f: U ~ lR 0 functie locallipschitziana.Fie x un minim local

pentrufAtunci avem Ddf(x)(v) ~ 0, 'v'v E U.Daca x este un minim global alluif pe 0 submultime convexa X,atunci:Ddf(x)(y -x) ~ 0, V y E X.Demonstratie.Preuspunem ca x minimizeaza fpe 0bila B( x, 77 .A i.d


12/21

O f(x+ B v )- f(x) f(x+ B v ) - f(x)s s sup -=----:._---------:__:_..:_e B ' ! : , / 3 ede unde rezulta prima parte a propozitiei.Daca X este convexa.putem alege v : : : : : y - x ,deoarecex + B v :::::1-e ) x + ~ E X pentru e suficient de mic.

Propozitia 3.Fie f: U -- + I R 0 functie locallipschitziana ,x EU si h 0 functie

derivabila,cu derivata continua,definita pe 0 vecinatate a luif(x).Atunci avem :1) Dc(h 0 f)(x)(v)::::: h ' (f(xDcf(x)(v)

Demonstratie.Deoarece f are derivata continua pe 0 vecinatate a lui J(x),pentru orice5> 0 ,exista l J > 0 astfel incat sa avem :

s

th (t) - h (s ) - (t - s )h ' (J(x::::: f(h ' (r) - h (J(x)dr S 51 t- s [,

dacaI t - f(x)1 S n; I s - f(x)1 Sn.

In aceasta inegalitate luam t : : : : : fey + Bv ) , s = J(y).Vom avea ca I t - s l sL e l i v l l si

83


13/21

_ d l l v l l + h ' ( f(x fe y + Bv) - fey) $h[f(y + Bv)] - h[f(y)] $e e$ h'(f(xf(Y + Bv) - fey) + c L l l v l le

(*)

Daca facemy=x si luam limita superioara pentru e ~ 0+ obtinem:t ,- a l [ v l l +h (f(x))Ddf(x)(v) c : ; Dd(h 0f)(x)(v) c : ; h (f(x))Ddf(x)(v) + a l l v l l .

Pentru e ~ 0 se obtine 1).Daca in (*) luam limita superioara pentru y ~ x; e ~ 0 in mod similar vomobtine afinnatia 2) din propozitie.Observatie:daca f este regulata in x ,atunci h 0f este regulata in x si avemD(h 0f ) (x)(v) = h ' ( f(xDf(x) (v ) .

Vom studia in ce1e ce urmeaza derivabilitatea functiilor compuse de formag = foG ,unde G :Q ~ U ,unde Q este 0 submultime deschisa a unuispatiu Hilbert V.Reamintim:G este derivabila in sens Gateaux inx EQ daca exista VG(x) EL(V,U)astfel incat

\-I V . G(x + Bv) - G(x) _ DG( ).vVE ,hm - v x v.B~O o

Spunem ca G este derivabila in sens Frechet(respectiv strict derivabila insens Frechet ) in x daca :. G(x +v) - G(x) - VG(x)v 01 1 m =I l v l l - > 0 [ I v l l .

(respectiv . G(y + v) - G(y) - V G( x) .v 0 )1 1 m =I l y - x l l ~ o I l v l l .I lv i l ~ 0

84


14/21

Propozitia 4.Fie f locallipschitziana si G derivabila Gateaux in x .Atunci :

a) Dd(f 0 G)(x) (v ) = (Ddl)(G(x(VG(x) -v),b)Daca G este strict derivabila in sens Frechet in x ,atunci :o,(10G)(x) (v ) s (D cf) (G (x(V 'G (x) v ) .c)In particular,daca f este regulata in G(x),atunci g=f s G este regulata. .III X Sl avem:Dg(x) (v ) = (D f) (G (x) (V 'G (x) v ).Demonstratie.

a) Deoarece 1este locallipschitziana,putem scrie,pentru e suficient demlC:

If(G(x + B v - f(G (x) + f lVG(x) v ) 1 ~ LIIG(x + B v) - G (x) - flVG(x) v i i ,de unde va rezulta:_ L G(x + B v ) - G (x) _ VG(x) . v + f(G(x) + fJVG(x) ' v) - I(G (x ~e e< f(G(x + B v - J (G (x 1un sir de functii din B c/(x)astfel incat P - - + P .Trebuie san n earatam ca P E U .Intr-adevar,dinPn - - + p z : I[Pn - p ll- -+ 0 = > Pn(v) - - + p (v ), '\Iv EU.Si trecand la limita in inegalitatea Pn(v) SDe/(x)(v ) , Vv E U se obtineconcluzia.Aratam ca a e/ (x) este marginita,Astfel,'\Ip E De/(x) = > p(v ) SDef(x)(v ) S Lllvll.Trecand v - - + -v va rezuIta ca'\Iv EV, p ( -v ) s L l l v l l => p(v) ; ? : - L l l v l l , '\Iv EU .In concluzie Ip( v )[ sL ll v ll , '\I v , de unde rezulta ca :I I 1 1 - Ip(v )1


19/21

Observatie.Se poate demonstra ca aplicatia x EU ~ 8 cf(x) cU* este 0multifunctie superior semicontinua.Corolar. Din teorema de mai sus rezulta ca :a)Daca f este continuu derivabila,atunci gradientul generalizat se reduce lagradientul obisnuit 8cf(x) ={Vf(x)}.b)Daca f este convexa si continua,atunci gradientul generalizat coincide cusubdiferentiala lui f.Urmatoarea propozitie este imediata :Propozitial,Fie I,g doua functii Iocallipschitziene definite pe U.Daca x E U; a , jJ >O,atunci:a) 8c (of + fJg)( x) c a8 cf (x ) + jJ 8 cg(x) .b)8c( - f)(x) =::; -8cf(x)c)Daca h este 0 functie derivabila,cu derivata continua pe 0 vecinatate a luif(x), atunci

Fie X un spatiu Banach real; Q c X 0 submultime deschisa si f :Q ~ Ro functie locallipschitziana.Definitia2 ..o submultime C c X* convexa sicompacta in topologia *-slabao-(X* ,X) este un convexificator pentru f in x En daca conditiileurmatoare sunt satisfacute :

* *in ~Ddf(x)(v)~ max ,VVEX.* EC * EC90

1 !I


20/21

Exemple de convexificatori :-gradientul generalizat Clarke a cf(x) ;-gradientul generalizat Michel-Penot* * *a Mpf(x) = {x EX :< x ,v > : s : DMp f(x)(v ) , \Iv EX} ,unde

. f(x+ In+Av)-f(x+ 1 , . , )DMpf(x) (V) = sup {hmsup /LA .J /LA .J } .qEX A~O A

A>ODefinitia3.

o aplicatie C :Q~ P(X*) se numeste aplicatie convexificatoare alui f pe Q ,daca,pentru orice x EQ, C(x) este un convexificator allui f inx.Exemplu :aplicatiiIe x EQ, x ~ a cf(x)x ~ a M P f(x) sunt convexificatoareale lui f pe Q.In plus, a Mpf(x) ca cf(x) , \Ix EQ..Teorema 2.(a valorii medii)

Pentru orice pereche (x, y) de elemente din X cu x " * y,notam :[x,y] = {x + /L (y - x) : A E [O,l]} si (x,y) = {x + A(y - x): ;I , E (O,l)} .Daca f : x,y] ~ : I E . este 0 functie locallipschitziana si C: (x,y) ~ P(X*)o aplicatie convexificatoare a lui f pe (x,y),exista U E (x,y) si x* E C(u)astfel incat fe y) - f(x) =< x * ,y - x >.Demonstratie.Consideram aplicatia

h : [0 ,1 ] ~ :IE.,h(t) =f( x + t(y - x) - f(x) - t[f(y) - f(x) ] .

91


21/21

Deoareee f este local lipsehitziana pe [x, y ] rezulta ea h este locallipsehitziana pe [0,1] si h(O) = h(l) =O;deei h are un punet de extrem globalt E(0,1).

Presupunem ea teste un punet de minim global (rationam analog daea ar fimaxim).Atunci avem :Ddh(t)(V) = Ddf(x + t(y - x(v (y - x) + v (f(x) - fe y~ ~ 0, \I v ER.Folosind acum faptul ea C(x + t(y - xeste un convexificator pentru f inpunctul x + t(y - x) rezulta ca :

min < _ 5 , f(x) - f(y) 5, max < x * ,y - x > .* *EC(Ut) x EC(Ut)Deoarece C(ut) este compacta in topologia *-slaba o-(X* ,X) six * -j>< x * ,y - x > este continua in aceeasi topologie, exista XI *, X2 * E C(ut)astfel incat :

. * *mm < x ,Y - x >=< Xl ,y - x >,* EC(Ui)* *max =* EC(Ut)

In final, functia* *g: [0,1]-j> IR?,g(t) =< (1- t )X t + tx2 ,y - X > - fey) + f(x)

este continua si satisface g(O) 5, O ,g(1) ~ deci exista r E[O,l),g(r) =0 deunde rezulta imediat formula valorii medii.Remarca:Considerand ca functie eonvexificatoare pentru f gradientulgeneralizat in sens Clarke ,cazul particular obtinut reprezinta teorema luiLebourg (vezi [7]),acest rezultat fiind 0generalizare a teoremeiLebourg(obtinuta de catre J. Cranganu si G. Dinca in [8]).

92

Documents

Derivabilitate Clarke