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ISSN 2316-9664Volume 10, dez. 2017
Graziane Sales TeodoroUniversidade Federal de [email protected]
Edmundo Capelas de OliveiraUniversidade Estadual [email protected]
Derivadas fracionarias: criterios para classificacaoFractional derivatives: criteria for classification
ResumoO calculo fracionario tem se mostrado importante e, em muitoscasos, imprescindıvel na discussao de problemas de diversas areasda ciencia, ganhando popularidade e importancia consideraveisdurante as ultimas tres decadas. Existe mais de uma formulacaopara a derivada fracionaria e esse numero de definicoes vem au-mentando, sendo cada uma delas mais adequada a um contextofısico. No entanto, alguns questionamentos surgem naturalmente:1) Todas essas derivadas realmente podem ser consideradas deri-vadas fracionarias? 2) Quais propriedades essas devem satisfazerpara serem classificadas como tal? Caminhando nessa direcao,em 1974, Ross propos um criterio, composto por cinco propri-edades, que um operador deve satisfazer para que este possa serchamado de derivada fracionaria. Em 2015, Ortigueira e Machadoreformularam esse criterio tendo em vista a necessidade de umaderivada fracionaria satisfazer a generalizacao da regra de Leib-niz. A fim de exemplificar um operador que satisfaz o criterioproposto por Ortigueira e Machado, apresentamos a derivada deRiemann-Liouville.Palavras-chave: Calculo Fracionario. Criterios. Derivada deRiemann-Liouville.
AbstractFractional calculus has been proved important and, in many cases,it is essential for discussing problems in various areas of science.The subject of fractional calculus has gained considerable popula-rity and importance during the past three decades. There is morethan one formulation for the fractional derivative and the num-ber of definitions is increasing, each one being more suited to aphysical context. However, questions that arise naturally are: 1)Could all these derivatives be considered fractional derivatives?and 2) Which properties they must satisfy to be classified as frac-tional derivatives? Going in this direction, Ross in 1974, propo-sed a criterion, composed of the five properties, that an operatormust satisfy to be considered a fractional derivative. Ortigueiraand Machado in 2015 reformulated this criterion due to the ne-cessity of a fractional derivative to satisfy the generalization ofthe Leibniz rule. In order to exemplify an operator that satisfiesthe criterion proposed by Ortigueira and Machado, we showed theRiemann-Liouville derivative.Keywords: Fractional Calculus. Criteria. Riemann-LiouvilleDerivative.
Edicao ErmacIniciação Científica
1 IntroducaoEm 1695, numa famosa carta, l’Hopital pergunta a Leibniz o significado de uma derivada de
ordem meio, com a resposta de Leibniz, temos o inıcio do calculo fracionario. A partir de entao,o calculo fracionario chamou a atencao de outros importantes matematicos, tais como, Euler,Laplace, Fourier, Abel, Liouville, Riemann, Laurent entre outros. Devido as contribuicoes destese de outros matematicos, a teoria de operadores generalizados atingiu um nıvel de formalismosuficiente para dar inıcio aos estudos mais modernos (CAMARGO, 2009). O calculo fracionariotem se mostrado importante na discussao de problemas advindos de diversas areas do conheci-mento. Uma vantagem de sua utilizacao em aplicacoes e a sua propriedade nao-local, ou seja, oproximo estado de um sistema nao depende apenas de seu estado atual, mas sim de todos os seusestados anteriores, traduzindo assim melhor a realidade da natureza.
O calculo fracionario vem ganhando popularidade e importancia consideravel nas ultimastres decadas devido principalmente a suas aplicacoes atraentes em campos da ciencia e engenha-ria (SCHERER et al, 2011). Ha um grande numero de formulacoes para derivada fracionaria(OLIVEIRA; MACHADO, 2014) e esse numero vem aumentando (RODRIGUES; OLIVEIRA,2015). Com isso nos deparamos com a seguinte questao: Que criterios um operador deve satis-fazer para que este possa ser considerado uma derivada fracionaria?
A fim de responder esse questionamento Ross (ROSS, 1975) propoe cinco propriedades queum operador deve satisfazer para poder ser considerado uma derivada fracionaria, sao elas:
1. A derivada fracionaria de uma funcao analıtica e analıtica;
2. A derivacao fracionaria, quando a ordem e um inteiro positivo n, n ∈ N, deve produzir omesmo resultado da n-esima derivacao ordinaria e quando a ordem e um inteiro negativo−n, n ∈ N deve produzir o mesmo resultado da repeticao n-esima da integracao ordinaria;
3. A derivada de ordem zero de uma funcao e a propria funcao;
4. A derivada fracionaria e um operador linear;
5. A lei dos expoentes DαDβ f (x) = Dα+β f (x) e satisfeita para α < 0 e β < 0. (Usaremos anotacao Dα para representar uma derivada fracionaria de ordem α).
Ortigueira e Machado reformularam o criterio proposto por Ross tendo em vista a necessidadeda derivada fracionaria do produto de duas funcoes satisfazer a regra de Leibniz em sua versaofracionaria (ORTIGUEIRA; MACHADO, 2015). Esse novo criterio tambem e constituıdo decinco propriedades, sao elas:
1. A derivada fracionaria e um operador linear;
2. A derivada de ordem zero de uma funcao e a propria funcao;
3. A derivacao fracionaria, quando a ordem e um inteiro positivo n, n ∈ N, deve produzir omesmo resultado da n-esima derivacao ordinaria e quando a ordem e um inteiro negativo−n, n ∈ N deve produzir o mesmo resultado da repeticao n-esima da integracao ordinaria;
4. A lei dos expoentes DαDβ f (x) = Dα+β f (x) e satisfeita para α < 0 e β < 0;
TEODORO, G. S.; OLIVEIRA, E. C. de. Derivadas fracionárias: critérios para classificação. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 10,
p. 10-19, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664gsteco1019 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/
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5. Vale a generalizacao da regra de Leibniz, a saber, Dα( f (x)g(x))=∞
∑k=0
(α
k
)Dk f (x)Dα−kg(x),
sendo(
α
k
)=
Γ(α +1)Γ(α− k+1)k!
.
Um exemplo de operador que satisfaz as cinco propriedades do criterio de Ortigueira e Ma-chado e a derivada de Grunwald-Letnikov.
Definicao 1 A derivada de Grunwald-Letnikov de ordem α de uma funcao f e definida atravesdo limite de uma serie, a saber,
Dα f (x) = limh→0
1hα
∞
∑k=0
(−1)k(
α
k
)f (x− kh).
Os autores apresentaram essa derivada bem como mostraram que esta satisfaz tais criterios(TEODORO; OLIVEIRA, 2017). Essa formulacao tem grande importancia em problemas nume-ricos (CAMARGO; OLIVEIRA, 2015) e esta baseada na generalizacao da diferenciacao or-dinaria.
Na proxima secao apresentaremos a derivada fracionaria de Riemann-Liouville bem comomostraremos que ela satisfaz o criterio proposto por Ortigueira e Machado.
2 Derivada de Riemann-Liouville
A derivada fracionaria de Riemann-Liouville e definida atraves de uma derivada de ordeminteira de uma integral fracionaria, sendo assim introduzimos, primeiro, a definicao de integralfracionaria.
Definicao 2 A integral fracionaria de Riemann-Liouville de ordem α de uma funcao f causal edada por,
Jα f (t) =1
Γ(α)
∫ t
0f (τ)(t− τ)α−1dτ, (1)
sendo Re(α)> 0, t > 0 e J0 = I, sendo I o operador identidade.
Podemos escrever a integral fracionaria, Eq.(1), como um produto de convolucao das funcoesf e φα , denotado por ∗, sendo a funcao φα conhecida como funcao Gel’fand-Shilov e dada por
φα(t) =
tα−1
Γ(α), se t > 0,
0, se t ≤ 0.
Portanto, podemos escrever
Jα f (t) =1
Γ(α)
∫ t
0f (τ)(t− τ)α−1dτ = φα(t)∗ f (t).
TEODORO, G. S.; OLIVEIRA, E. C. de. Derivadas fracionárias: critérios para classificação. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 10,
p. 10-19, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664gsteco1019 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/
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Apresentamos agora a definicao da derivada fracionaria de Riemann-Liouville.
Definicao 3 Sejam α um numero complexo tal que Re(α) > 0 e m o menor inteiro maior queRe(α), assim m− 1 < Re(α) ≤ m. A derivada fracionaria segundo Riemann-Liouville de umafuncao causal e suficientemente bem comportada f e dada por,
Dα f (t) =dm
dtm Jm−α f (t) =1
Γ(m−α)
dm
dtm
∫ t
0
f (τ)(t− τ)α−m+1 dτ. (2)
Mostraremos que a derivada de Riemann-Liouville, conforme definida pela Eq.(2) satisfaz ocriterio proposto por Ortigueira e Machado.
Linearidade. Sejam f e g funcoes reais de variavel real, a e b escalares e α ∈C tal que Re(α)>0. Assim, para m−1 < Re(α)≤ m, temos
Dα(a f +bg)(t) =1
Γ(m−α)
dm
dtm
∫ t
0
(a f +bg)(τ)(t− τ)α−m+1 dτ
=1
Γ(m−α)
dm
dtm
[a∫ t
0
f (τ)(t− τ)α−m+1 dτ +b
∫ t
0
g(τ)(t− τ)α−m+1 dτ
]=
aΓ(m−α)
dm
dtm
∫ t
0
f (τ)(t− τ)α−m+1 dτ +
bΓ(m−α)
dm
dtm
∫ t
0
g(τ)(t− τ)α−m+1 dτ
= aDα f (t)+bDαg(t),
portanto a derivada fracionaria segundo Riemann-Liouville e um operador linear.
Derivada de ordem zero. Vamos calcular a derivada de Riemann-Liouville de ordem zero deuma funcao f , assim para α = 0 temos, D0 f (t) =D0J0 f (t) = f (t), ou seja, a derivada fracionariasegundo Riemann-Liouvile de ordem zero de uma funcao e a propria funcao.
Derivada de ordem inteira. Para α = m sendo m inteiro positivo, temos,
Dm f (t) =dm
dtm Jm−m f (t) =dm
dtm J0 f (t) =dm
dtm f (t).
Portanto, a derivada fracionaria segundo Riemann-Liouvile de ordem m, sendo m um inteiropositivo e igual a m-esima derivada ordinaria. Tomemos agora α =−m sendo m inteiro positivo,assim
D−m f (t) = Jm f (t) =1
Γ(m)
∫ t
0f (τ)(t− τ)m−1dτ
essa integral e a formula integral de Cauchy, portanto D−m representa a m-essima integral, ouseja,
D−m f (t) =∫ t
0
∫τm−1
0· · ·∫
τ1
0f (τ)dτdτ1 · · ·dτm−1.
Logo, a derivada fracionaria de Riemann-Liouville recupera o caso inteiro.
TEODORO, G. S.; OLIVEIRA, E. C. de. Derivadas fracionárias: critérios para classificação. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 10,
p. 10-19, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
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Lei dos expoentes. Uma derivada fracionaria cuja a ordem α e menor que zero, pode ser in-terpretada como uma integral fracionaria. Portanto, mostrar que a derivada segundo Riemann-Liouville satisfaz a lei dos expoentes, DαDβ = Dα+β para α < 0 e β < 0 e o mesmo que mostrarque JαJβ = Jα+β , para α > 0 e β > 0.
Observemos que a funcao φα satisfaz a propriedade, φα(t)∗φβ (t) = φα+β (t), sendo α > 0 eβ > 0. De fato, pelo produto de convolucao de Fourier temos,
(φα ∗φβ )(t) =∫
∞
−∞
φα(τ)φβ (t− τ)dτ. (3)
Observemos que
φα(τ) =
τα−1
Γ(α), τ > 0;
0, τ < 0.φβ (t− τ) =
(t− τ)β−1
Γ(β ), τ < t;
0, τ > t.
O produto φα(τ)φβ (t− τ) so sera diferente de zero para 0 < τ < t. Assim pela Eq.(3) temos,
φα(t)∗φβ (t) =
∫ t
0
τα−1
Γ(α)
(t− τ)β−1
Γ(β )dτ, 0 < τ < t;
0, caso contrario.
Atraves da funcao beta, a saber, B(p,q) =∫ 1
0up−1(1− u)q−1du, e de sua relacao com a
funcao gama, B(p,q) =Γ(p)Γ(q)Γ(p+q)
, temos,
∫ t
0
τα−1
Γ(α)
(t− τ)β−1
Γ(β )dτ =
1Γ(α)Γ(β )
∫ t
0τ
α−1(t− τ)β−1dτ
=1
Γ(α)Γ(β )
∫ t
0τ
α−1 tβ−1
tβ−1 (t− τ)β−1dτ
=1
Γ(α)Γ(β )
∫ t
0τ
α−1tβ−1(
1t(t− τ)
)β−1
dτ
=1
Γ(α)Γ(β )
∫ t
0τ
α−1tβ−1(
1− τ
t
)β−1dτ. (4)
Introduzindo a mudanca de variavel u =τ
tna Eq.(4), temos
∫ t
0
τα−1
Γ(α)
(t− τ)β−1
Γ(β )dτ =
1Γ(α)Γ(β )
∫ 1
0(ut)α−1tβ−1 (1−u)β−1 tdu
=tα+β−1
Γ(α)Γ(β )
∫ 1
0(u)α−1 (1−u)β−1 du
=tα+β−1
Γ(α)Γ(β )B(α,β )
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p. 10-19, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
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=tα+β−1
Γ(α)Γ(β )
Γ(α)Γ(β )
Γ(α +β )
=tα+β−1
Γ(α +β ).
Portanto,
φα(t)∗φβ (t) =
tα+β−1
Γ(α +β ), t > 0,
0, t < 0.= φα+β (t),
Por fim, mostraremos que JαJβ f (t) = Jα+β f (t), para qualquer funcao f e para α > 0 e β > 0.De fato,
JαJβ f (t) = Jα(φβ (t)∗ f (t))= φα(t)∗ (φβ (t)∗ f (t))= (φα(t)∗φβ (t))∗ f (t)= φα+β (t)∗ f (t)
= Jα+β f (t).
E, portanto, a lei dos expoentes e satisfeita para α < 0 e β < 0.
Generalizacao da regra de Leibniz. Para mostrarmos que a derivada de Riemann-Liouvillesatisfaz a generalizacao da regra de Leibniz iremos primeiro considerar o seguinte resultado:
Lema 4 A derivada fracionaria de Riemann-Liouville de ordem α ∈ C de uma funcao analıticaf possui a propriedade,
Dα f (t) =∞
∑n=0
f (n)(t)tn−α
Γ(n−α +1)
(α
n
). (5)
Demonstracao. Vamos primeiro considerar Re(α) < 0, entao Dα = J−α sendo J−α a integralfracionaria de Riemann-Liouville, conforme Definicao 2, seja β =−α . Assim,
Dα f (t) = J−α f (t) = Jβ f (t) =1
Γ(β )
∫ t
0f (τ)(t− τ)β−1dτ.
Sendo f uma funcao analıtica, temos f (τ) =∞
∑n=0
f (n)(t)(τ− t)n
n!. E, portanto, podemos escre-
ver,
Dα f (t) =1
Γ(β )
∫ t
a
f (τ)(t− τ)1−β
dτ
(6)
TEODORO, G. S.; OLIVEIRA, E. C. de. Derivadas fracionárias: critérios para classificação. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 10,
p. 10-19, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
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=1
Γ(β )
∫ t
0
∞
∑n=0
f (n)(t)(τ− t)n(t− τ)β−1
n!dτ
=1
Γ(β )
∞
∑n=0
f (n)(t)(−1)n
n!
∫ t
0(t− τ)β−1+ndτ
=1
Γ(β )
∞
∑n=0
f (n)(t)(−1)n
n!
[−(t− τ)β+n
β +n
]t
0
=1
Γ(β )
∞
∑n=0
f (n)(t)(−1)n
n!tβ+n
β +n
=1
Γ(β )
∞
∑n=0
f (n)(t)(−1)n
n!tβ+n
β +nΓ(β +n)Γ(β +n)
=1
Γ(β )
∞
∑n=0
f (n)(t)(−1)n
n!tβ+nΓ(β +n)Γ(β +n+1)
.
Agora observemos que (−β
n
)=
(−1)nΓ(n+β )
n!Γ(β ). (7)
Para mostrarmos a Eq.(7) precisaremos da seguinte equacao Γ(z)Γ(1− z) =π
sen(πz), conhecida
como formula de reflexao de Euler. Assim,(−β
n
)=
Γ(1−β )
Γ(1−β −n)n!=
π
sen(πβ )Γ(β )(−β −n)Γ(−β −n)n!=
π
sen(πβ )Γ(β )Γ(−β −n+1)n!.
Por outro lado,
Γ(−β −n)Γ(1−β −n) =π
sen(−π(β +n))=
−π
sen(βπ)(−1)n .
Assim, obtemos(−β
n
)=−πΓ(1+β +n)(−1)n sen(βπ)
sen(πβ )Γ(β )(−β −n)n!π=
(−1)nΓ(β +n)Γ(β )n!
,
portanto vale a Eq.(7). Pelas Eq.(6) e Eq.(7) podemos escrever
Dα f (t) =∞
∑n=0
f (n)(t)tn+β
Γ(n+β +1)
(−β
n
)=
∞
∑n=0
f (n)(t)tn−α
Γ(n−α +1)
(α
n
),
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logo, vale a Eq.(5) para Re(α) < 0. Mostraremos agora que vale a Eq.(5) para Re(α) > 0.Assim para m−1 < Re(α)≤ m e usando o fato de valer a Eq.(5) para Re(α)< 0, temos
Dα f (t) =dm
dtm Jm−α f (t)
=dm
dtm
∞
∑n=0
f (n)(t)tn+m−α
Γ(n+m−α +1)
(α−m
n
).
Considerando que essa serie converge uniformemente e utilizando a regra de Leibniz para o casointeiro podemos escrever,
Dα f (t) =∞
∑n=0
∞
∑k=0
(mk
) f (n+k)(t) dm−k
dtm−k tn+m−α
Γ(n+m−α +1)
(α−m
n
)
=∞
∑n=0
∞
∑k=0
(mk
) f (n+k)(t)Γ(n+m−α+1)Γ(n+k−α+1) tn+k−α
Γ(n+m−α +1)
(α−m
n
)=
∞
∑n=0
∞
∑k=0
(mk
)f (n+k)(t)
tn+k−α
Γ(n+ k−α +1)
(α−m
n
)
Introduzindo a mudanca de ındices k→ j−n temos,
Dα f (t) =∞
∑j=0
∞
∑n=0
(m
j−n
)(α−m
n
)f ( j)(t)
t j−α
Γ( j−α +1)
Utilizando a relacao (ORTIGUEIRA, 2011):
∞
∑n=0
(α
m−n
)(β
n
)=
(α +β
m
),
segue
Dα f (t) =∞
∑j=0
(α
j
)f ( j)(t)
t j−α
Γ( j−α +1).
Portanto, vale a Eq.(5) para todo α ∈ C, como querıamos mostrar. �Utilizando o Lema 4 e considerando f e g funcoes analıticas temos, pela Eq.(5),
Dα( f g)(t) =∞
∑n=0
( f g)(n)(t)tn−α
Γ(n−α +1)
(α
n
).
Usando a regra de Leibniz para o caso inteiro temos,
Dα( f g)(t) =∞
∑n=0
(α
n
)tn−α
Γ(n−α +1)
n
∑k=0
(nk
)f (k)(t)g(n−k)(t)
=∞
∑k=0
∞
∑n=k
(α
n
)(nk
)tn−α
Γ(n−α +1)f (k)(t)g(n−k)(t)
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=∞
∑k=0
f (k)(t)∞
∑n=k
(α
n
)(nk
)tn−α
Γ(n−α +1)g(n−k)(t).
Introduzindo a mudanca de ındices n→ n+ k podemos escrever
Dα( f g)(t) =∞
∑k=0
f (k)(t)∞
∑n=0
(α
n+ k
)(n+ k
k
)tn+k−α
Γ(n+ k−α +1)g(n)(t).
Como, (α
n+ k
)(n+ k
k
)=
Γ(α +1)Γ(1+α−n− k)(n+ k)!
(n+ k)!n!k!
=Γ(1+α)
Γ(1+α−n− k)n!k!Γ(α− k+1)Γ(α− k+1)
=
(α
k
)(α− k
n
)podemos escrever,
Dα( f g)(t) =∞
∑k=0
f (k)(t)∞
∑n=0
(α
k
)(α− k
n
)tn+k−α
Γ(n+ k−α +1)g(n)(t)
=∞
∑k=0
(α
k
)f (k)(t)
∞
∑n=0
(α− k
n
)tn+k−α
Γ(n+ k−α +1)g(n)(t).
Considerando novamente a Eq.(5) temos que a derivada de Riemann-Liouville satisfaz ageneralizacao da regra de Leibniz, a saber,
Dα( f g)(t) =∞
∑k=0
(α
k
)f (k)(t)Dα−kg(t).
3 ConclusoesTento em vista o crescente numero de definicoes envolvendo o conceito de derivada fracionariafaz-se necessario um criterio que um operador deve satisfazer para que esse possa ser chamado dederivada fracionaria. Nesse trabalho, foram apresentados dois criterios, um proposto em 1975 porRoss e outro em 2015 por Ortigueira e Machado, ambos sao compostos de cinco propriedades.Visto que o criterio de Ortigueira e Machado e mais restritivo que aquele proposto por Ross,apresentamos um operador que cumpre o criterio propostos por Ortigueira e Machado, a saber, aderivada de Riemann-Liouville (TEODORO; OLIVEIRA; OLIVEIRA, 2018).
4 Referencias bibliograficasCAMARGO, R. F. Calculo fracionario e aplicacoes. 2009. 135 f. Tese (Doutorado emMatematica) – Instituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica, Unicamp,Campinas, 2009.
TEODORO, G. S.; OLIVEIRA, E. C. de. Derivadas fracionárias: critérios para classificação. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 10,
p. 10-19, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664gsteco1019 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/
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CAMARGO, R. F.; OLIVEIRA, E. C. Calculo fracionario. Sao Paulo: Livraria da Fısica,2015.
ORTIGUEIRA, M. D.; MACHADO, J. A. T. What is a fractional derivative? Journal ofComputational Physics, v. 293, p. 4-13, 2015.
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Artigo recebido em maio 2017 e aceito em nov. 2017.
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p. 10-19, dez. 2017. Edição Ermac Iniciação Científica.
DOI: 10.21167/cqdvol10ermacic201723169664gsteco1019 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/
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