Dérivée des fonctions trigonométriques

Larry Gingras, professeurAdapté par Jacques Paradis, professeur

2Département de mathématiques

Plan de la rencontre Angles – Rappel Définition des fonctions sinus et cosinus Identités trigonométriques Autres fonctions trigonométriques et

trigonométrie du triangle rectangle Dérivée des fonctions sinus et cosinus Dérivée des fns tangente et cotangente Dérivé des fns sécante et cosécante Applications aux taux liés

3

Angle se calcule en degré ou en radian : 1 radian = longueur du rayon 2 radians = 360° et radians = 180° Exemples :

/6 = ?°; /3 = ?°; 45° = ? rad; 90 ° = ?

Signe d’un angle : Angle positif : sens anti-horaire Angle négatif : sens horaire

Remarque : les formules de dérivation des fonctions trigonométriques ne sont valables que pour des angles mesurés en radians.

Angles (rappel)

Département de mathématiques

-

4Département de mathématiques

Fonctions sinus et cosinus Soit le cercle trigonométrique, cercle de rayon

égal à 1 et centré à l’origine du plan cartésien: Sinus = sin = ordonnée du point P : y Cosinus = cos = abscisse du point P : x Exemples :

sin0= 0cos0 = 1sin(/2) = 1cos(/2) = 0sin(/6) = ?cos((/3) = ?

P

(1 , 0)

(0 , 1)

5Département de mathématiques

Identités trigonométriques

cos = sin(/2 - sin = cos(/2 - )

(a , b)

(b , a)

(/2) –

6

Tangente, cotangente, sécante et cosécante

Trigonométrie du triangle rectangle :

Département de mathématiques

Autres fonctions trigonométriques

sintancos

coscotsin

1seccos

1cscsin

coté opposé asinhypoténuse c

coté opposé atancoté adjacent b

coté adjacent bcoshypoténuse c

b

ac

7Département de mathématiques

Moyen mnémotechnique S inus O pposé H ypothénuse

C osinus A djacent H ypothénuse

T angente O pposé A djacent

opphyp

adj

8Département de mathématiques

Moyen mnémotechnique

Sinus

Cosécante

cosec x = 1/sin x

9Département de mathématiques

Limites (1de 2)

10

x

xx

)sin(lim

0

tan3lim ?2x

xx

10Département de mathématiques

Limites (2de 2)

010

xx

x

)cos(lim

11Département de mathématiques

Dérivée de la fonction sinus

xxdxd cossin

-

12Département de mathématiques

Démonstration

hxhxx

dxd

h

)sin()sin(limsin

0

hxhxhx

h

)sin(sincoscossinlim

0

hhx

hxhx

h

sincos)sin(cossinlim

0

hhx

hhx

hh

sincoslimcossinlim

00

1

0 0

cos 1 sinsin coslim lim

h h

h hx xh h

10 xx cossin xcos

[sin f (x)] [cos f (x)] f (x) ' '

13Département de mathématiques

Dérivée de la fonction cosinus

xxdxd sincos

/2-/2

14Département de mathématiques

Démonstration

cos( x) x '2 2

cos( x) ( 1)2

d dcosx sin( x)2dx dx

cos( x)2

sinx

(a , b)

(b , a)

x

(/2) – x

15Département de mathématiques

Sinus et cosinus

-

/2-/2

On peut voir que la variation de la pente de la tangente de la fonction sinus correspond bien à la fonction cosinus

16Département de mathématiques

Dérivée de tan x et cot x

-/2-/2

xxdxd 2sectan xx

dxd 2csccot

xxx

cossintan

xxx

sincoscot

17Département de mathématiques

Démonstration

2x

xxxxxx

dxdx

dxd

cos

'cossincos'sincossintan

Rem: La démonstration pour cot x se fait de façon similaire

x

xxxx2cos

sinsincoscos

xxxx

22

22 1coscos

sincos

21

xcos2sec x

18Département de mathématiques

-/2-/2

Dérivée de sec x et csc x

xx

cossec 1

x

xsin

csc 1

xxxdxd tansecsec xxx

dxd cotcsccsc

19Département de mathématiques

Démonstration

xdxd

xxdxdx

dxd cos

coscossec

2

11

Rem: La démonstration pour csc x se fait de façon similaire

xx

sincos

2

1

xx

x cossin

cos

1

xx tansec

20Département de mathématiques

Résumé

d sin f(x) cos f(x) f '(x)

dx

d cos f(x) sin f(x) f '(x)dx

2d tanf(x) sec f(x) f '(x)

dx

2d cot f(x) csc f(x) f '(x)dx

d sec f(x) sec f(x) tanf(x) f '(x)

dx

d csc f(x) csc f(x)cot f(x) f '(x)

dx

21Département de mathématiques

Exemples : Trouver la dérivée de :

1)

2)

3)

3( ) tan 4f x x

xxxf cotcos)( 1

xxxy

secsin

22Département de mathématiques

Exercices Calculer f’(x) si

a) f(x) = sinx3

b) f(x) = sin3x c) f(x) = sin(x2 + 2)5 cosx

d)

e)

Remarque : sin3x n’est pas le produit de 2 fonctions.

2

cos2xf(x)sin (x 1)

3 4x y tany sec 3x

23Département de mathématiques

Application aux taux liés (exemple)

Un homme est assis au bout d’un quai situé 5 m au-dessus du niveau de l’eau. À l’aide d’une câble attaché à sa chaloupe, il ramène celle-ci vers le quai. S’il tire le câble à une vitesse de 2 m/s, à quel taux varie l’angle entre le câble et la surface de l’eau quand la longueur du câble entre l’homme et la chaloupe est de 10 m?

5 mz

24Département de mathématiques

Application aux taux liés (exercice)

Une échelle de 6 m de longueur est appuyée contre un mur. Le pied de l’échelle s’éloigne du mur à la vitesse de 0,5 m/s. Donner le taux de variation par rapport au temps t de l’angle formé par le haut de l’échelle et le mur lorsque le pied de l’échelle est à 3 m du mur.

6 m

x

25Département de mathématiques

Devoir Test préliminaire, page 359, partie A : nos 1(e, f, g),

2, 3, 4 et 6, partie B : nos 1 et 4a. Exercice 9.1, page 366, nos 1, 2, 3 et 6. Exercice 9.2, page 372, nos 1, 2, 3, 4a, 4b, 5a et 5b. Exercice 9.3, page 380, nos 8, 9a et 9b. Exercices récapitulatifs, page 383, no11(remarque:

18 km/h = 5 m/s et tan = x/20 où x : distance parcourue par le train) et 13, 18a,18b et 18c (i).

Réponses : 11b) 0,001 rad/s et 11c) 1/104 rad/s18a) 13+5sin, 18b) 20cos m/min, 18c) i) h= 18 m et v = 20 m/min.

26Département de mathématiques

Exemple 13( ) tan 4f x x

3( ) (tan 4 )f x x

2 2'( ) 3(tan 4 ) (sec 4 ) 4 f x x x

2 2'( ) 12 tan 4 sec 4f x x x

27Département de mathématiques

Exemple 2

xxxf cotcos)( 1

'cotcoscot'cos)(' xxxxxf 11

xxxxxf 210 csccoscotsin)('

xxxx

xxxxf 2

2

2

11sin

cossincossincoscos)('

2

cos 1'( ) sin cos 1sin sin

xf x x xx x

28Département de mathématiques

Exemple 3

xxxy

secsin

2xxxxxxx

dxdy

sec

'secsinsec'sin

x

xxxxxxxxx2sec

tansecsinsec)'(sinsin)'(

x

xxxxxxxx2

1sec

tansecsinsec)(cossin

2

sec sinsin cos sinsec cos

sincos sin cos sincos

x xx x x x xx x

xx x x x x xx

xxxxxx 22 sincoscossin