Des mathématiques par correspondance

N°3 | Juin 2020

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Des mathématiques par correspondancepar Gilles Aldon

C’est encore une fois le« problème qui déchire »(Voir Newsletters 1 etNewsletter 2) qui est àl’honneur dans cette rubrique! Je l’ai en effet proposé àune classe de quatrième.Mais, dans des conditions unpeu particulières puisque lesélèves participaient à un clubde mathématiques dans leurcollège à Gap et que j’étaisdans mon bureau à Lyon.C’est donc à travers notrecorrespondance, sur environtrois semaines, que je rendscompte des recherches desélèves (et bien sûr aussi àpartir des discussions que j’aieues avec l’enseignantresponsable du club !).Les élèves ont travaillé pargroupe durant les heuresprévues pour le club, certainsont continué à chercher à lamaison et la communicationentre nous s’est effectué parcourriel. Il est intéressant devoir la façon d’écrire lesmessages qui évolue en

même temps que lesraisonnements s’affinent ; lepremier message proposaitune réponse qui semblaitdéfinitive, comme l’illustre cetextrait de l’un des groupes :

« Bonjour,Je vous écris pour lepremier problème que

vous avez posé.Voici notre réponse :

À l'étape 0 nous avons 1bout de papier

À l'étape 1 nous avons 2bouts de papier [...] »

Les groupes dans cettepremière correspondanceproposent des exemples,sans raisonnements, rendantcompte des expériencesréalisées. J’ai évidemmentrépondu à tous les messagespour encourager les élèvesmais aussi pour demanderdes précisions et pour dirigerles recherches, mais sansjamais proposer de pistes desolution ; progressivement

Equipe DREAMDémarche de Recherche pour

l'Enseignement et l'Apprentissage

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les élèves, en prenant encompte mes messages, ontavancé dans lacompréhension du problèmegénéral :

« [...] Nous avons bienreçu votre message etnous avons trouvé uneformule pour trouver le

nombre d'étapes pour ledécoupage en 3.

La formule est 1+2xn. [...] »

Des nouveaux outils sontconvoqués pour répondre àmes interrogations :

« [...] On a remarqué queles découpes où on obtient

2018, sont des diviseursdes 2018. Donc j'ai utilisé

Scratch pour obtenir laliste des diviseurs de 2018

et donc la liste desdécoupes possibles. Donc

les découpes possiblessont 2 (en 2017 étapes);

1009 (en 2 étapes); et 2018(en 1 étape) [...] »

https://clarolineconnect.univ-lyon1.fr/icap_website/1324/41157

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Ma réponse a encore permisd’approfondir les recherchesqui font maintenantapparaître un raisonnementsolide qui montre unecompréhension profonde duproblème posé :

« Merci, en effet nous noussommes trompés, mais ona essayé avec 2017 car :

Si on appelle A le nombre àatteindre, n le nombre

d'étapes et d le nombre"en combien on déchire"le nombre de morceaux à

l'étape n :

1 : étape 0

1+(d-1) : étape 1

1+(d-1)+(d-1)= 1 + (d-1)x2 : étape 2

1+(d-1)+(d-1)+(d-1)= 1 + (d-1)x3 : étape 3

1+(d-1) x n : étape n

On cherche à résoudre1+(d-1)x n = A = (d-1)x n =

A-1

Donc on pourra atteindrel'année A avec desdécoupages en d

morceaux si (d-1) divise(A-1) [...]»

Non seulement on peutpercevoir dans cette courtecorrespondance l’évolutiondu vocabulaire qui traduitune mise en perspective desexpériences concrètes avecle domaine desmathématiques, maiségalement l’évolution desméthodes de recherche, enrevenant sur les expériencesréalisées et en développantdes connaissancesmathématiques et undiscours sur lesmathématiques que lesélèves sont en train de créer.Le professeur en charge duclub m’a fait part de la trèsgrande motivation desélèves liée d’une part, àl’excitation de rentrer dansune communicationscientifique avec unchercheur et d’autre part, aufait qu’ils avaient à merendre compte par écrit deleurs recherches :

«[...] tu vas recevoir desmails d'élèves, ils sont entrain de chercher, le travail

de rédaction à tonattention est un vrai

travail! [...]»

Le statut de l’écrit est icivalorisé en prenant uncaractère plus authentiqueque dans le cas d’unerédaction scolaire endirection du professeur oudes autres élèves.Chercher des problèmes « àdistance » et communiquerses recherches par écrit estune forme très intéressantede mise en œuvre de SDRPqui, dans la période actuelle,pourrait être une alternativefructueuse pourl’enseignement desmathématiques à distance !

Gilles ALDONLE PROBLÈME QUI DÉCHIRE SUR LESITE DREAMATHS


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Retour d'expérienceLe problème qui déchire, Collège Saint Thomas d'AquinVeritas

à Oullins

Le «problème qui déchire»,prévu pour clore la séquence«Arithmétique» avec maclasse de 3e, a été vécuependant le confinement duprintemps 2020 et a dû êtreadaptée au mode «travail àdistance». Il me paraissaittoutefois intéressant de leproposer aux élèves, à lafois pour son côté ludique(déchirer du papier quand onest confiné, c’est faire desmathématiques autrement)et pour son potentiel, à lafois de recherche (lesquestions ne sont pasclassiques) et demodélisation mathématique(comme tâche complexe enfin de séquence surl’arithmétique).

Mon objectif était :

• De proposer une vraiesituation de recherche auxélèves, car en confinementnous avons beaucouptravaillé par simplesexercices d'application ducours ;

• De proposer une situationludique qui vienne bousculerles codes de ces élèves ;

• De permettre d’ancrer lesconnaissances nouvellementacquises sur les diviseurs etnombres premiers.

Le sujet a été envoyé auxélèves en google doc,accompagné d’une vidéo deprésentation proposée parGilles Aldon ; la forme deréponse proposée auxélèves était assez libre, et laconsigne donnait unesemaine pour répondre auxquestions.Les élèves ont cherché, pourla plupart individuellement,même si certains binômesont été identifiés à lacorrection ; plusieurs élèvesm’ont interpellée pour savoirs’ils partaient sur une«bonne piste». Un seul élèven’a répondu qu’à la premièrequestion et ne m’a passollicitée, s’arrêtant au « jen’ai pas compris ».

Les productions sontvariées : 13 élèvesrépondent aux questionsdirectement dans ledocument, 5 élèves ontutilisé un tableur et 1 élève aenvoyé une vidéo pourmontrer sa démarche .

Interrogés par sondage surleur façon de procéder, deuxtiers des élèves affirmentavoir réellement déchiré dupapier pour comprendre lemécanisme.La plupart des productionssont incomplètes :

• L’hypothèse n’est paspoussée jusqu’au bout «cesont tous les diviseursde…», non accompagnée dela liste des diviseurs.

• L’hypothèse n’est pasvérifiée «ce sont lesdécoupes en 1, 2, 1009,2018 qui permettentd’obtenir 2019» !

• Le raisonnement estcompris pour les découpesen 2,3,4, mais la recherchedes autres découpespossibles conduit à uneimpasse.

Le recours à l’abstraction,même en fin de 3e, estdifficile. 15 élèves seulement(donc moins d’un sur deux)avancent une explicationmathématique en faisantréférence à un modèle(diviseur, mise en

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équation, suite). Par ailleurs,même si 82% des élèves ontbien vu que «en découpanten 2, on ajoute un morceaude papier à chaque étape»,seulement la moitié pensequ’on peut atteindre tous lesnombres par ce type dedécoupe lorsqu’on lesinterroge par sondage àl’issue du travail.Ce travail a permis dedécouvrir qu’en fin de 3e, untiers des élèves ne maitrisepas encore les bases del’arithmétique : confusiondiviseur/multiple, incapacitéà lister tous les diviseursd’un nombre (1 et le nombreluimême sont souventoubliés ; la recherche se faitde façon non systématique.Exemple : les diviseurs de2019 sont 1, 673 et 2019, enoubliant 3 !), mauvaiseperception des nombrespremiers (2021 = 43 x 47mais certains me le disentpremier).

Du fait du grand nombred’erreurs de calculs ou deraisonnement relevés, letravail à distance a été suivid’une heure de travail envisioconférence ; nous

avons, pendant cette heure,examiné plusieurs desréponses ou hypothèses quiavaient été posées, enessayant de voir leur validité.Nous avons égalementreprécisé les notions de«diviseur» et de «multiple»,revu les critères dedivisibilité et la façon de listerles diviseurs d’un nombre.Enfin, nous avons vu les 4étapes de la recherche :

1. Manipulation

2. Formulationd’hypothèse

3. Modélisationmathématique

4. Vérification

Ce travail en visioconférence a permis dedébattre des hypothèsesformulées, de faire «toucherdu doigt» aux élèves leserreurs de raisonnement oude langage.

Cette expérimentation m’apermis de voir que lestâches complexespermettent de consolider lesconnaissances, ou de mettreen relief des connaissances

trop imprécises (comme lanotion de «diviseur» danscet exemple). Par ailleurs, cetravail a mis en lumière lesdifficultés liées à ladémarche de recherche ellemême : plusieurs élèves sontrestés au stade demanipulation passive , ils onteffectivement déchiré lepapier mais n’ont pas mis enœuvre de modélisation,même partielle. D’autres ontavancé des hypothèses maisne les ont pas vérifiées. Lacontrainte du travail àdistance a probablementpénalisé cette démarche caril m’était moins facile de lesstimuler pour aller plus loindans leur raisonnement.

Pascale HALGAND

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Retour d'expérienceLes triangles rectangles entiers, Collège Xavier Bichat à Nantua.

Cette année, j’ai décidé defonder mes progressions de5e et 3e autour de SDRP.Celle que je vais vousprésenter est la première del’année avec mes 3e. Maclasse de 3e cette année estune classe agréable, avecune toute petite tête declasse entourée denombreux élèves endifficultés, voire endécrochage scolaire.En Octobre, je les ai faittravailler sur le problèmesuivant : existetil destriangles rectangles dont lalongueur de chaque côté estun nombre entier naturel ?Première interrogation :comment vontils secomporter pendant le travailen groupes ? C’est la 1èrefois de l’année que je les faistravailler ainsi, et je ne suispas à l’aise avec cette façonde travailler.Après avoir expliqué ce quej’attendais d’eux, cette heures’est vraiment très bienpassée. Tous les élèves ontcherché (certains moinslongtemps que d’autres), cequi est plutôt rare lors desséances d’exercices«traditionnels».

En fin d’heure, je suis repartiavec 6 affiches différentes, etdont j’ai pu faire uneprogression vraimentintéressante. Pendant la2ème heure de travail,chaque groupe est venu autableau présenter son travail,dans l’ordre que j’avaischoisi. Ils ont tous apportéquelque chose d’intéressantsur lequel j’ai pu m’appuyerpour construire une leçon.Les groupes les plus faiblesse sont contentés de tracerdes triangles rectangles etde mesurer, d’autres ontessayé d’utiliser le théorèmede Pythagore avec plus oumoins de réussite, enessayant de se rappeler cequ’ils avaient fait en 4e. Ungroupe a remarqué qu’unefois un triangle trouvé, ilsuffisait de l’agrandir pour entrouver une infinitéd’autres…Au final, j’ai eu dans lesaffiches toutes les notionsque je voulais travailler etnous avons pu fairequelques rappelsintéressants que je n’auraispas pris le temps de faire lesautres années.Nous avons commencé par

rappeler des mots devocabulaire, comme nombreentier naturel, revoir levocabulaire lié au trianglerectangle, travailler sur lecarré et la racine carrée d’unnombre.Ensuite, ils ont comprisl’intérêt de la démonstration :le triangle de dimensions 5cm, 5 cm et 7 cm semblerectangle, il faut utiliser lethéorème de Pythagore pourprouver qu’il ne l’est pas.Nous en avons profité pourprouver qu’aucun triangleisocèle rectangle neconvenait pour le problème,en passant par l’irrationalitéde nombre, notion que jen’aurais jamais penséaborder avec mes élèves…Cela m’a permis de revoir lesrédactions attendues pourcalculer la longueur d’uncôté ou pour prouver qu’untriangle est, ou n’est pas,rectangle.J’ai profité d’une affiche pourtravailler, sans rentrer dansles détails, lesagrandissements etréductions, les trianglessemblables, puis nous avonsterminé avec le théorème deThalès. C’est la 1e fois que je

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commence par les trianglessemblables avant Thalès, etj’ai trouvé l’enchaînementintéressant, et j’ai eul’impression que c’était plusclair pour les élèves. C’est lapremière année où je voisdes élèves faire des tableauxde proportionnalité sur lescôtés correspondants de 2triangles semblableslorsqu’ils utilisent lethéorème de Thalès.Le bilan que je fais de cechapitre est très positif. Lesnotions se sont bienenchaînées, les élèves ontété vraiment acteurs de leurleçon. Je n’ai rien ajouté parrapport à ce qu’ils avaienttrouvé en groupes. Parcontre, cela prend beaucoupde temps (quasiment 2 mois,avec une interruption de 2semaines de vacances). Cen’est pas du temps perdu,mais les élèves se retrouventavec une très grande partieleçon où beaucoup denotions ont été abordées, etj’ai vu plus tard dans l’annéequ’il leur était très difficile desavoir où trouverl’information qu’ilscherchaient.

Rémy DUNEZAT

Formation continue

La stage IREM proposé parnotre groupe a été chaotiquecette année : après undéplacement de la premièrejournée (qui était prévueinitialement le 5 décembre,jour de grèveinterprofessionnelle), laseconde journée s’estdéroulée confinée et àdistance, le jeudi 7 mai, avecau programme : un petitquizz, une présentation desprogressions annuelles àl’aide du site et deséchanges autour desobstacles et attentes pour lamise en œuvre d’unenseignement fondé sur lesproblèmes. Merci à tous lesparticipants d’avoir suivi cestage un peu extraordinaire!

Du nouveau pour l'annéeprochaine

Bonne nouvelle !! Nousavons été retenu pourconstituer un LéA (Lieud’éducation Associé à l’IFE).Il s’appellera DuAL Lyon(DuchèreAmpèreLagrangeLyon) et a pour ambitiond’explorer, à plus grandeéchelle et dans un contexteordinaire, les conditions etcontraintes pour qu’unenseignement desmathématiques fondé sur larésolution de problèmes,permette des apprentissagesmathématiques chez lesélèves. Pour plus d’infos surles LéA : http://ife.enslyon.fr/lea

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LES TRIANGLESRECTANGLES ENTIERS

SUR LE SITE DREAMATHS

L’actualité dugroupe DREAM

Un petit problème :manque til une donnée?

Le périmètre vaut 6.Quelle est lalongueur des deuxdemicercles?


http://ife.ens-lyon.fr/lea



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Retour d'expérienceLes fractions égyptiennes, Lycée Édouard Herriot à Lyon.

Je travaille depuis plusieursannées à la constructiond’une progression danslaquelle figurent desproblèmes de recherche àproposer aux élèves.L’objectif est d’en proposerun par période, en début deséquence pour voir ce queles élèves arrivent àmobiliser.

Le problème des FractionsEgyptiennes a été le premiertravail que j’ai proposé auxélèves de seconde le toutpremier cours de l’année.J’ai choisi cette SDRP(situation didactique derecherche de problèmes)pour retravailler le calculnumérique et revoir lespropriétés des nombresréels. Lors de la phase dedébat, les élèves ont putravailler sur le raisonnementpar l'absurde, puis on a puenchainer sur lesdémonstrations du type «

n'est pas nombre décimal».

Voici l’énoncé donné auxélèves :

• Peuton trouver deuxentiers naturels a et b

distincts tels que

• Peuton trouver troisentiers naturels a, b et c

distincts tels que

• Peuton trouver quatreentiers naturels a, b, c et d

distincts tels que

La mise en place s’estcomposée d’une heure derecherche individuelle et degroupe, une heure deprésentation du travail decertains groupes au tableauet de débat. En cette premièresituation, la recherche n’apas été évaluée.

Pour la phase de débat, j’aieffectué une sélection desproductions des groupes etj’ai donné deux instructions àla classe : premièrement,chaque élève doit écrire uncompte rendu desprésentations des groupe quipassaient au tableau. Cecompte rendu doit inclureles notes écrites au tableaupar les élèves et lescommentaires faits au coursdu débat. Cela sera évalué.En second lieu, l’évaluationportera aussi sur laparticipation au débat en

termes de questionnementset critiques. Au cours desprésentations, j’ai noté lesélèves qui ont donné leurcontribution à l’oral.

Au cours du débat,beaucoup d’hypothèses ontété formulées, sans preuve.Ceci a permis de travailler defaçon très intéressante leraisonnement par l’absurde,d’avancer ensemble par destoutes petites démonstrations.Par moment, j’ai eu besoinde guider les élèves par lequestionnement, parexemple « Supposons quecela soit vrai, estce que ceserait possible que… ? ».Cette phase a été sansdoute la plus intéressante.

A partir des traces écritesdes élèves et de leursproductions j’ai rédigé unbilan écrit plus construit avecles remarques et lesraisonnements proposés parles élèves pour les différentesquestions du problème.

DelphineTHEREZ

LES FRACTIONS EGYPTIENNES SUR LESITE DREAMATHS

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Retour d'expérienceLes fractions égyptiennes, Collège Émile Zola à Belleville.

J'ai travaillé avec mesclasses de 4e sur la SDRPintitulée « Les fractionségyptiennes ».

J'ai choisi ce problème enintroduction de la séquencesur les fractions, sans aucunrappel préalable sur cettenotion. L'objectif était dereconstruire ou de raviver lesens même de la fraction,mais également d'aboutir àla propriété d'addition defractions.

J'y ai consacré entre sept àneuf séances suivant lesclasses : deux heures derecherche en classe, uneheure de présentation desrésultats par les élèves etquatre à six heures dedébat/bilan.

Lors de la phase derecherche, les élèves ont ététrès actifs. Le problème estfacile à comprendre et lesélèves se lancentrapidement dans larecherche.

A la fin de la séance deprésentation des résultats,nous avons listé dans le

cahier les conjecturesémises par la classe.

La phase de débat/bilan aconsisté en l'étude, par lesélèves, de chacune desconjectures émises : pourchaque conjecture, le débatétait engagé. Je laissais lesélèves présenter leursarguements en faveur oucontre la conjecture étudiée,puis organisais le bilan.

Voici quelques exemplesintéressants de conjecture etle bilan associé :

•

Dans le bilan, nous avonsrappelé le sens de la fractioncomme fraction partage etdonc l'incohérence de .

•

Dans le bilan, nous avonsnoté que , donc qu'il estimpossible d'obtenir 1 enajoutant un nombrestrictement positif. Ca a étél'occasion de rappeler qu'ilfaut se méfier de lacalculatrice, car c'est cet outilqui a guidé les élèves verscette conjecture.

•

est la seule solution pour lapremière question.Dans le bilan, nous avonsévoqué la décroissance de .

•

Cette conjecture a étél'occasion d'aborderl'addition de fractions, en sebasant sur uneschématisation des fractionspartage. La nécessité demise au même dénominateurapparaît naturellement.Cette conjecture a aussi étél'occasion de discuter autourdes valeurs décimales desfractions car certains élèvesont objecté que la somme deces trois fractions ne pouvaitêtre 1 dans la mesure où0,5 + 0,33 + 0,16 = 0,99.

Cette phase de débat/bilanest, à mon sens, la plusintéressante. Les élèves ontpû remobiliser leursconnaissances sur lesfractions et remettre du sensdans cet objet mathématiquequi les met souvent en difficulté.

Aurélia TACONET

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Dans notre deuxième annéed’expérimentation, nousavons renforcé notre mise enœuvre de SDRP etcommencé à élaborer uneprogrammation dessituations sur l’ensemble ducours moyen. Nous avonsfait les choix suivants :• CM1 : Le plus grandproduit, Le problème quidéchire, la boîte sanscouvercle• CM2 : Somme de dixentiers consécutifs, Lesfractions égyptiennes,L’AntarctiqueEn raison du confinement,seules trois situations ont puêtre menées à ce jour.

Le plus grand produit a doncété mis en œuvre en CM1.Lors de la première séance,les élèves ont dû chercher, àpartir des décompositionsadditives du nombre 10(par exemple : 2 + 5 + 3), leplus grand produit possible(2 x 5 x 3 = 30 n’est pas ici leplus grand). L’enseignante,après avoir montrél’obtention d’un premierproduit à partir d’unedécomposition, a mis lesélèves au travail. Certainsélèves ont eu du mal àcalculer des produits de troisfacteurs ou plus, ne sachantcomment procéder. Il sembledonc qu’il s’agisse d’un

préalable dont il estnécessaire de s’assurer. Dèsla première recherche, unélève a pensé que ladécomposition additivedevait contenir beaucoup denombres. Lors de la phasecollective, le plus grandproduit a été proposé (36)sans que la classe soit sûred’avoir trouvé le plus grand.Une nouvelle recherche a eulieu avec 14. Lors de cettedeuxième phase collective,deux idées ont étéexprimées par deux élèvesdifférents quant auxconditions à remplir pourtrouver le plus grandproduit :

Retour d'expérienceLe plus grand produit, École du Rocher (REP+)

à Pierrelatte.

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Figure 1 -

Tableau à la fin de la première séance de recherche

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IREM de Lyon Contact : [email protected]

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• nécessité de mettre lemaximum de nombres dansla décomposition ;• inutilité du 1 dans ladécomposition.

Une deuxième séance estproposée au cours delaquelle les élèves vontdevoir, par groupe de trois,chercher une méthode quipermettrait de trouver le plusgrand produit. Certainsélèves ont du mal à passerde la recherche d’un plusgrand produit sur un nombredonné à la recherche d’uneméthode générale. Plusieurscritères sont proposés lorsde la phase collective :

• mettre le plus de nombrespossible dans ladécomposition ;• mettre des petits nombres(2, 3) puis après des plusgrands nombres (6, 7, 8, 9) ;• ne pas mettre de 1, nibeaucoup de nombres ;• ne pas mettre de 1 et nemettre que des petitsnombres (2, 3, 4).

Les propositions sont ensuitedébattues collectivement,avec appui principalementsur des contreexemples.Finalement, seule la dernièreest retenue par les élèves.Cette situation a servi depoint d’appui à l’enseignante

pour travailler le calcul enligne et tout particulièrementla commutativité de lamultiplication, propriété quifacilite grandement certainscalculs (4 x 17 x 25). Elle asouhaité égalementreprendre cette situationquelquefois dans l’annéedans le cadre des rituelsmathématiques mis enplace.

Stéphanie AUBERT

AnneChristelle LANGARD

Stéphane DÉGEORGES

N°3 | Mai 2020



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Figure 2 -

Tableau à la fin de la deuxième séance de recherche



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