Clase 1 Geometría Plana

Cuenca, 16 de septiembre 2013

Revisión 12 de marzo del 2014

Introducción:

Breve reseña histórica: la necesidad del estudio de la geometría se remonta al inicio mismo de la humanidad. La geometría como palabra tiene dos raíces griegas: geo = tierra y metrón = medida; o sea, significa "medida de la tierra". Su origen, unos tres mil años antes de Cristo, se remonta al Medio Oriente, en particular al Antiguo Egipto, en que se necesitaba medir predios agrarios y en la construcción de pirámides y monumentos. Esta concepción geométrica se aceptaba sin demostración, era producto de la práctica.

Estos conocimientos pasaron a los griegos y fué Thales de Mileto quien hace unos 6 siglos antes de Cristo inició la geometría demostrativa. Las propiedades se demuestran por medio de razonamientos y no porque resulten en la práctica. Las demostraciones pasan a ser fundamentales y son la base de la Lógica como leyes del razonamiento.

Euclides fue otro gran matemático griego, del siglo III antes de Cristo, quien en su famosa obra titulada "Los Elementos", recopila, ordena y sistematiza todos los conocimientos de geometría hasta su época y, salvo algunas pequeñas variaciones, son los mismos conocimientos que se siguen enseñando en nuestros días.

Euclides, usando un razonamiento deductivo, parte de conceptos básicos primarios no demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son el punto de partida de sus definiciones, axiomas y postulados. Demuestra teoremas y a su vez, éstos servirán para demostrar otros teoremas. Crea nuevos conocimientos a partir de otros ya existentes por medio de cadenas deductivas de razonamiento lógico. Esta geometría, llamada geometría euclidiana se basa en lo que históricamente se conoce como 5 postulado de Euclides.

TAREA: de lectura comprensiva

1.- DEFINIR QUE ES: PROPOSICION, POSTULADO, AXIOMA, TEOREMA, COROLARIO, PROBLEMA;

2.- INVESTIGAR Y ENTENDER LOS CINCO POSTULADOS DE EUCLIDES (Gráficos)

Para la nota de este trabajo se realizara una lección escrita de opción múltiple

Recopilación realizada por Ing. Diana Mora Abril

Existen otras geometrías que no aceptan dicho postulado euclidiano, sino que aceptan otros principios que dan origen a las llamadas "geometrías no euclidianas", como la creada en el siglo XIX por el ruso Lobatschevsky.

Como se mencionó, los conceptos básicos primarios punto, recta, plano y espacio no se definen sino que se captan a través de los sentidos. Puede darse modelos físicos para cada uno de ellos. Por ejemplo un punto puede estar representado por la huella que deja sobre un papel la presión de la punta de un alfiler o por una estrella en el firmamento. Una recta está sugerida por un hilo a plomo, un plano está sugerido por la superficie de un lago quieto o bien por la superficie de un espejo. El espacio euclidiano puede considerarse constituido por todos los puntos existentes, o sea, el espacio en que nos movemos.

La geometría euclidiana es entonces la rama de las matemáticas que estudia las figuras geométricas. Definiendo a la figura geométrica como un conjunto cuyos elementos son puntos, puede dividirse en geometría plana y en geometría del espacio o estereometría. La plana estudia las figuras contenidas en un plano. La del espacio estudia figuras que no están contenidas en un mismo plano.

Representación gráfica y nomenclatura.-

Punto: Marca dejada por el lápiz sobre el papel .P

Recta: sucesión de puntos en una misma dirección (caso particular de línea)

Plano: espacio limitado por rectas o líneas

Posición relativa de punto – plano:

Puntos coplanares: si los puntos son elementos del plano

Puntos externos: si no son elementos del plano

A,B,C y D son coplanares al plano P es externo

Recopilación realizada por Ing. Diana Mora Abril

L

Posición relativa de punto-recta

Colineal si el punto es elemento de la recta

Externo si el punto no es elemento de la recta

Puntos A,C,D y F son colineales y B,E externos

Posición relativa de dos rectas en el plano:

Paralelas: Si su intersección es un conjunto vacío, es decir no tienen ningún punto en común, no se corta ni se encuentran por más que se prolonguen.

Secantes: si su intersección es un punto.

Definiciones necesarias:

Segmento: porción de recta formada por dos puntos fijos A y B y todos los puntos entre ellos, los puntos A y B se denominan extremos.

Representación gráfica y denominación

Segmento AB

Recopilación realizada por Ing. Diana Mora Abril

Semirrecta o rayo: es el conjunto de todos los puntos de una recta que están a un mismo lado de un punto definido de esta, si el punto definido, pertenece al conjunto se denomina rayo si no pertenece se denomina semirrecta.

Representación y nomenclatura

Semirecta PB rayo PB

Semiplano: es el conjunto de puntos que están al mismo lado de una recta.

Convexidad: Una parte C de un plano es convexa si para cada par de puntos de C, el segmento que los une está totalmente incluido en C; es decir, un conjunto es convexo si se puede ir de cualquier punto a cualquier otro en línea recta, sin salir del mismo.

Las figuras geométricas no convexas se denominan también como cóncavas.

Congruencia: segmentos, ángulos o figuras geométricas son congruentes cuando tienen exactamente la misma forma y medida tal que al trasladarse, rotarse y/o reflejarse para superponerlas coinciden en todos sus puntos.

Ejemplo

Recopilación realizada por Ing. Diana Mora Abril

La congruencia implica una igualdad de medidas, pero no siempre la igualdad de medidas implica congruencia, por ejemplo dos figuras geométricas de igual área no necesariamente son congruentes.

Ejemplo:

A las figuras geométricas que tienen igual medida (como por ejemplo su área) y no necesariamente la misma forma se conocen como equivalentes.

Nota: La congruencia de figuras geométricas se utiliza como sinónimo de igualdad

Eje de simetría: es la línea que divide una figura en dos partes simétricas. En la figura a la derecha, la línea roja (d) que divide al triángulo ABC.

Otra definición para Simetría sería: Proporción adecuada de las partes de un todo. Correspondencia de posición, forma y dimensiones de las partes de un cuerpo o una figura a uno y otro lado de un plano transversal (bilateral) o alrededor de un punto o un eje (radial).

También sabremos que  una figura es simétrica cuando podemos pasar una línea recta o eje por ella de tal forma que dicha línea divide la figura en dos partes que tienen la misma forma.

Por el contrario, una figura no es simétrica cuando, al trazar una línea recta por su mitad, la figura se divide en dos partes que tienen formas distintas.

Realizar los ejercicios de la página electrónica http://www.edu.xunta.es/espazoAbalar/sites/espazoAbalar/files/datos/1285581005/contido/ma023_oa03_es/index.html

En esta página electrónica encontrara ejercicios de colocación de ejes de simetría en diferentes figuras geométricas planas.

Nota: una figura que es simétrica es autocongruente, ya que la figura queda dividida en dos partes, tal que una es la reflexión de la otra. Al ser divididas por un eje de simetría las dos partes al ser superpuestas coinciden de manera exacta.

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Angulo.- definición: la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen.

Representación gráfica y elementos

Denominación:

una letra mayúscula que identifica el vértice: Ángulo A. letras del alfabeto griego (α, β, γ,…): Ángulo α. los lados y el vértice: Ángulo AOB (en este caso, el vértice

siempre debe ir en el medio) con uno de los nueve dígitos: ángulo 1

Unidades de medida:

Radian Unidad de medida para ángulos. Un radián se define como la medida de un ángulo central cuyos lados cortan un arco igual en longitud al radio en la circunferencia del círculo. Ya que la longitud de este arco es igual a un radio del círculo, se dice que la medida de este ángulo es un radián.

La ventaja de los radianes sobre los grados es solamente que ayudan a simplificar muchas fórmulas trigonométricas.

Grado sexagesimal: El grado sexagesimal es el ángulo que se obtiene al dividir una revolución completa en 360 partes iguales.

• Un grado sexagesimal tiene 60 minutos: 1° = 60'

• Un minuto sexagesimal tiene 60 segundos: 1' = 60"

Recopilación realizada por Ing. Diana Mora Abril

Medir un ángulo es determinar el número de veces que la unidad de medida está contenida el en ángulo

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes; un ángulo de 180° equivale a π radianes (recordemos que el número π = 3.14159265359…).

1 radián = (180/ )° = 57.296°

Clasificación de ángulos

Los ángulos se pueden clasificar según su medida, es decir, la medida de la abertura del ángulo.

Ángulo de lados colineales (llano). Los lados se sitúan en una misma línea y su valor es de 180º.

Ángulo   obtuso . Su valor es menor de un ángulo llano, su valor es mayor de 90º.

Ángulo recto. En dibujo es una figura muy importante porque sus dos lados son perpendiculares entre si. El valor del ángulo es de90º.

Ángulo agudo. Su valor es menor de 90º.

Otros tipos de ángulos

Según la disposición de los lados o los tipos de lados, podemos encontrar los siguientes tipos:

Ángulos complementarios. Son aquellos cuya suma es equivalente a un ángulo recto (90º).

Ángulos suplementarios. Son aquellos cuya suma equivale a 180º, es decir, un ángulo llano.

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Ángulo curvilíneo. Está formado por dos lados curvos.

Ángulo mixtilíneo. Está formado por un lado recto y otro curvo.

Fuente: http://ibiguri.wordpress.com/temas/angulos/

Ángulos consecutivos: Dos ángulos son consecutivos si tienen un lado y el vértice en común, siendo el uno externo del otro.

El ángulo ABC es consecutivo al ángulo CBD

Porque:

tienen un lado en común (la línea CB)

tienen el vértice en común (el punto B)

Qué es y qué no es consecutivo

Estos ángulos SON consecutivos

comparten el vértice, y un lado

NO SON consecutivos

sólo comparten el vértice, pero ningún lado

NO SON consecutivos

sólo comparten un lado, pero no el vértice

Ángulos adyacentes Ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en prolongación del otro.

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Forman un ángulo llano.

Ángulos opuestos por el vértice

Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.

Los ángulos 1 y 3 son opuestos por el vértice.

Los ángulos 2 y 4 son opuestos por el vértice.

Ángulos formados por dos rectas cortadas por una transversal:

Internos 3,4,5,6,

Externos: 1,2, 7,8

Alternos internos 3,6

4,5

Alternos externos: 1,8

2,7

Correspondientes: 1 y5; 2y6; 3y7 4y8.

Rectas Perpendiculares: Dos rectas en el plano son perpendiculares, cuando al intersecarse forman ángulos rectos.

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L

N

Ejercicios

1. Encuentra la medida de los ángulos siguientes en grados (medida centesimal).

44° 15' 36"

123° 55' 16"

1233° 56"

2. Expresar en minutos las siguientes medidas de ángulos.

Ejemplo :7° = 7 x 60 = 420'

Ejercicios

415° =

28°42’ =

4° 56’ 30”=

3. Expresar en segundos las siguientes medidas de ángulos.

Ejm: 12' = 12 x 60 =

Ejem: 4º 35' 17" = 4 x 60 x 60 + 35 x 60 + 17 = 14.400 + 2.100 + 17 =

Ejercicios

28' =

5° =

19° =

6º 9' 52"=

18° 20' 41"=

22° 35' 19" =

4. Expresa en grados, minutos y segundos.

• 24.983''

• 35.470''

• 51.092''

• 73.268''

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5. Ejercicios de conversión

a) Convertir 82° a radianes.b) Convertir 1.84 radianes a grados.c) Convertir 247° a radianes.d) Convertir 4.06 radianes a grados.

6. Dados los anglos A= 23° 12' 36" ; B=43° 55' 32" y C= 15° 20' 57"; calcular:

a) A+B+C b) 4*Ac) A+B-Cd) B/4

Ejemplo:Dos ángulos son suplementarios y uno de ellos es igual al triple del otro. Determine ambos ángulos.

7. Encontrar dos ángulos que sean complementarios, siendo uno el doble del otro 8. Encontrar dos ángulos que sean suplementarios y opuestos por el vértice.9. El complemento de 52°51´es... 10. El complemento de 73°21´38´´ es...11. El suplemento de 66°265´ 325´´ es... 12. Encontrar dos ángulos que sean suplementarios, siendo la medida del mayor

20°más pequeña que el triple de la medida del menor.13. Halla dos ángulos que sean opuestos por el vértice y complementarios. 14. Tenemos dos ángulos que son suplementarios, uno es 60°menor que el doble

del otro, ¿que mide cada uno de ellos?15. En el gráfico, halle el máximo valor entero de y.

Recopilación realizada por Ing. Diana Mora Abril