Desarrollo de solidos

UNIDADUNIDAD IVIV:: DESARROLLODESARROLLO DEDE SÓLIDOSSÓLIDOS

En esta unidad se dibujarán las superficies de poliedros y

cuerpos redondos sobre un plano para luego elaborar los

modelos. Los temas de esta unidad son:

Desarrollo de Poliedros Regulares:

DESARROLLO DESARROLLO DESARROLLO DESARROLLO

DE POLIEDROS DE POLIEDROS DE POLIEDROS DE POLIEDROS

REGULARESREGULARESREGULARESREGULARES

221

Generalidades.Ejercicios Resueltos.

Ejercicio 1Ejercicio 2Ejercicio 3Ejercicio 4Ejercicio 5









DE POLIEDROS DE POLIEDROS DE POLIEDROS DE POLIEDROS Desarrollo de Poliedros No Regulares:


NO REGULARESNO REGULARESNO REGULARESNO REGULARES

222

Generalidades.

Ejercicios Resueltos.

Ejercicio 1Ejercicio 2Ejercicio 3Ejercicio 4










DE POLIEDROS DE POLIEDROS DE POLIEDROS DE POLIEDROS Desarrollo de Cuerpos Redondos:




DE CUERPOS DE CUERPOS DE CUERPOS DE CUERPOS

REDONDOSREDONDOSREDONDOSREDONDOS

223

Generalidades.

Ejercicios Resueltos.






Ejercicios Propuestos:






Ejercicios sobre los temas de la Unidad IV.




DE CUERPOS DE CUERPOS DE CUERPOS DE CUERPOS

REDONDOSREDONDOSREDONDOSREDONDOS

EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS EJERCICIOS

PROPUESTOSPROPUESTOSPROPUESTOSPROPUESTOS

224

Se entiende por Desarrollo de Cuerpos Sólidos a extender toda su superficiesobre un mismo plano.

La utilización de desarrollos de sólidos es importante en gran cantidad detrabajos, dado que para la fabricación de muchos volúmenes huecos se parte deuna superficie desarrollada.

En esta unidad se verá el desarrollo de algunos cuerpos que se han trabajadoanteriormente.

UNIDAD IV: DESARROLLO DE SÓLIDOS

Desarrollo de Sólidos: Poliedros Regulares

anteriormente.

Poliedros Regulares: Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro,Icosaedro.

En todos los desarrollos, si se recorta y se dobla por las aristas uniendo lasmismas, se puede construir cualquier volumen de los diferentes cuerposgeométricos que se desarrollan en esta unidad temática.

225

a) b)

c)

d) e)

a) Desarrollo de un Tetraedro (cuatro caras); b) Desarrollo de un Cubo o Hexaedro (seis caras); c) Desarrollo de un Octaedro (ocho caras); d) Desarrollo de un Dodecaedro ( doce caras);

e) Desarrollo de un Icosaedro (veinte caras).

226

1. Realizar el desarrollo de un Tetraedro Regular que tenga arista igual a 60 mm.


Ejercicios Resueltos: Desarrollo de Poliedros Regul ares

Solución:Construir un triangulo equilátero de lado igual al doble de la arista del tetraedro.Unir los puntos medios de los lados, por medio líneas rectas.Así se obtienen los cuatro triángulos equiláteros (caras del tetraedro) que forman el

desarrollo de este sólido.

227

2. Realizar el desarrollo de un Hexaedro (Cubo) que tenga arista igual a 40 mm.

Solución:Dibujar seis cuadrados iguales con lado igual a la arista, de manera que formen el

desarrollo de este sólido.

228

3. Realizar el desarrollo de un Octaedro que tenga arista igual a 55 mm.

Solución:Dibujar ocho triángulos equiláteros con lado igual a la arista, de manera que formen el

desarrollo de este sólido, según la figura indicada.

229

4. Realizar el desarrollo de un Dodecaedro que tenga arista igual a 35 mm.

Solución:Dibujar doce pentágonos regulares con lado igual a la

arista, de manera que formen el desarrollo de este sólido,según la figura indicada.

230

5. Realizar el desarrollo de un Icosaedro que tenga arista igual a 52 mm.

Solución:Dibujar veinte triángulos equiláteros con lado igual a la

arista, de manera que formen el desarrollo de este sólido,según la figura indicada.

231


Desarrollo de Sólidos: Poliedros No Regulares

Poliedros No Regulares: Pirámide y Prisma.

En este punto se verá el desarrollo de estos sólidos, además se recomiendaque realicen los ejercicios resueltos y propuestos, así como también construirsus desarrollos en cartón o cartulina.

a) Desarrollo de una Pirámide regular de base hexagonal; b) Desarrollo de un Prisma de base triangular; c) Desarrollo de un Paralelepípedo (prisma de base cuadrada).

a) b) c)

232

Desarrollo de Pirámides: para determinar el desarrollo de una pirámide se necesitahallar la verdadera magnitud de la base ABC. La pirámide tien e base horizontal la cualse proyecta en verdadero tamaño.

El verdadero tamaño de todas las aristas que van al vértice (A V, BV, CB), utilizandolos triángulos de rebatimiento con la diferencia de cota en e l mismo sitio o con elvértice común.

Las caras laterales (triángulos ABV, BCV, CAV), con dos lado s iguales a aristaslaterales, el tercer lado igual a la arista de la base entre ar istas laterales respectivas.

233

El número de caras laterales es igual al de los lad os de la base.

Si la pirámide es regular recta, todas las caras laterales son iguales entre sí, los

cuales son triángulos isósceles.

Si la pirámide es truncada, se determina el desarrollo de la pirámide completa y

posterior a ello se suprime la parte correspondiente.

234

Desarrollo de un Prisma recto: las caras laterales son rectángulos de longitud igual

a la altura del prisma en proyección vertical y de ancho igual a los lados de la base.

Proyección Ortogonal Desarrollo del Prisma recto

235

Desarrollo de un Prisma Oblicuo: Usando una sección plana normal (perpendicular), el eje delprisma se desarrolla según una recta.

El procedimiento consta de realizar un cambio de plano, haciendo el prisma frontal en donde seobtienen las aristas en verdadero tamaño.

Luego se determina la sección plana normal (en el prisma frontal el plano es perpendicular al ejedel prisma).

Se realiza un segundo cambio de plano en la cual se obtiene el ancho de las caras paraposteriormente realizar el desarrollo con éstas y longitudinalmente las aristas correspondientes porencima y por debajo de la sección normal (se ven en la tercera proyección).

236

1. Se da: una pirámide recta con base

hexagonal , horizontal, regular con centro

en el punto O(60;65;00), el lado de la base

mide 50 mm y la altura es de 100 mm. Se

pide: el desarrollo de la pirámide.

Ejercicios Resueltos: Desarrollo Poliedros No Reg ulares

UNIDAD IV: DESARROLLO DE SOLIDOS

Solución:

Con los datos suministrados en el

enunciado del ejercicio, representarlos en

proyección ortogonal.

237

Posteriormente, circunscribir en la

circunferencia la base hexagonal,

colocar nomenclatura (A, B, C,…)

preferiblemente en sentido de las agujas

del reloj y unir con V, en el plano

horizontal, subir los puntos vértices de la

base hasta el plano vertical y unir con Vbase hasta el plano vertical y unir con V

obteniéndose la pirámide.

238

Determinar la verdadera

magnitud de las aristas, esto con la

finalidad de realizar el desarrollo del

sólido.

Trazar un eje perpendicular a la

línea de tierra a una distancia corta

en relación al dibujo del sólido.

Luego tomar la medida en

proyección horizontal, que hay

entre los puntos de la base y el

vértice de la pirámide (en este caso

por ser una pirámide regular recta,

todas las medidas son iguales), y

llevarla desde el punto de

intersección entre la línea de tierra

y el eje O.

239

Se coloca aparte (en el DIN) la basehexagonal y se van construyendo lascaras de la pirámide colocando lasaristas en verdadero tamaño (pasoanterior).

240

Se traza un arco y se corta conla medida del lado de la base,luego se unen al vértice y seobtiene el desarrollo del sólido.

El número de caras del sólido es igual al número delados que tenga la base.

Se completa el desarrollo de la pirámide recta de base hexagonal.

241

2. Se da: una pirámide regular recta de base pentagonal , horizontal, con centro enO(70; 70;00) y un punto en A(35; 30;00) ; el vértice de la pirámide es V(70;70;120) . El plano[(150; 00; 00), de canto, (10; 00; 100)] . Se pide: verdadero tamaño de la sección, desarrollodel sólido y visibilidad del sólido truncado.

Solución:

Paso 1: Se representan en proyección ortogonal los datos del ejercicio.

Paso 2: Se construye la pirámide de base pentagonal.

Paso 3: Se ubican los puntos de corte del plano sobre la pirámide (utilizandonomenclatura) los cuales están en la proyección vertical; luego se llevan a la proyecciónnomenclatura) los cuales están en la proyección vertical; luego se llevan a la proyecciónhorizontal, obteniéndose la sección en proyección ortogonal.

Paso 4: Se determina la verdadera magnitud de la sección.

Paso 5: Se construye el desarrollo de la pirámide completa, tal como se procedió en elejercicio anterior.

Paso 6: Se trazan los puntos de corte sobre las aristas laterales de la pirámide, así comoen el desarrollo del sólido completo.

Paso 7: Se construye por triangulación la sección en verdadera magnitud y así se obtieneel desarrollo del sólido truncado.

Paso 8: Se representa en firme el sólido entre la base y la sección.

242

Paso 1. Paso 2.

243

Paso 3. Paso 4.

244

Paso 5, 6, 7 y 8.

245

Para los puntos de corte en el desarrollo, se trasladan las al turas hasta las aristas en verdadero tamaño y luego se llevanal desarrollo completo de la pirámide.

3. Se da: una pirámide oblicua con

vértice V(145;35;85) y base hexagonal

regular horizontal, con centro

O(50; 55; 00) y un vértice en

A(45; 20; 00) . Se pide: el desarrollo de

la pirámide.

246

Solución:

Con los datos del ejercicio,

representarlos en proyección ortogonal.

Construir la pirámide oblicua debase hexagonal.

Determinar el verdadero tamaño de lasaristas como en los casos anteriores.

247

Como es una pirámide oblicua, las aristas en verdaderotamaño serán igual a la cantidad de lados de la base.

Se completa el procedimiento para el verdadero tamaño de las aristas.

248

Se termina el desarrollo de lapirámide oblicua.

Se coloca aparte (en el DIN) la base hexagonal y se van construyendo las caras de lapirámide por triangulación colocando las aristas en verdadero tamaño.

249

4. Se da: una pirámide oblicua de base triangular con centro en O(80;60;00) y un vértice

A(80; 30; 00) , regular, horizontal; el vértice de la pirámide es V(30; 15; 60) . Un plano

[(120;00;00), de canto, (20; 00;50)] . Se pide: hallar la sección producida por el plano sobre

la pirámide (verdadero tamaño), el desarrollo del sólido truncado y la visibilidad.

Solución:

Se representan en proyección ortogonal los datos del ejercicio.

Se construye la pirámide de base triangular

Se ubican los puntos de corte del plano sobre la pirámide (utilizando nomenclatura) los

250

Se ubican los puntos de corte del plano sobre la pirámide (utilizando nomenclatura) loscuales están en la proyección vertical; luego se llevan a la proyección horizontal,obteniéndose la sección en proyección ortogonal.

Se determina la verdadera magnitud de la sección.

Se construye el desarrollo de la pirámide completa, así como el ejercicio anterior.

Se trazan los puntos de corte sobre las aristas laterales de la pirámide, así como en eldesarrollo del sólido completo.

Se construye por triangulación la sección en verdadera magnitud y así se obtiene eldesarrollo del sólido truncado.

Se representa en firme el sólido entre la base y la sección.

251

5. Se da: un prisma recto con base

pentagonal , horizontal, regular con centro en

el punto O(60; 65; 00) , el lado de la base mide

50 mm y la altura 100 mm . Se pide: el

desarrollo del sólido.

Solución:

Construir la base pentagonal de lado

50 mm, y determinar el centro del pentágono.

252

Posteriormente, representar el sólido en proyección ortogonal. Usar Nomenclatura.

253

Se trazan los rectángulosiguales al número de lados dela base, que serán las caraslaterales del prisma.

Posteriormente se colocanlas bases, una en la partelas bases, una en la partesuperior y otra en la inferiorcoincidiendo con dos de loslados de los rectángulos. Asíse obtiene el desarrollo delprisma.

254

Solución:

Se procede similar al prisma recto.

6. Se da: un prisma recto con base pentagonal , horizontal, regular con centro en el

punto O(60; 65; 00) , el lado de la base mide 50 mm y la altura 100 mm . El plano

[(120; 00; 00) de canto, (00; 00; 65)] . Se pide: el desarrollo del sólido truncado.

Visibilidad.

Se realizan todos los pasos anteriores.

Luego se determina el verdadero tamaño de la sección del prisma.

Para el desarrollo se realiza el de la superficie lateral primero, se trazan

perpendiculares por sus vértices, de acuerdo a los lados de la base del prisma.

Las alturas se llevan desde el corte del plano al prisma a las aristas laterales del

desarrollo y luego se coloca la base y la sección.

255

256

7. Se da: un prisma oblicuo cuyo eje

es el segmento OO´ y cuya base es

un hexágono regular, horizontal, con

vértice en A(162; 50; 00) y centro en

O(145; 45; 00) O’ (90; 85; 70) .

Se pide: el desarrollo del prisma,

tomando 42 mm desde la basetomando 42 mm desde la base

inferior.

257

Solución:

Con los datos del ejercicio,

representarlos en proyección

ortogonal.

Se dibuja el prisma oblicuo

en proyección ortogonal.

Usar nomenclatura.

258

Se determina el verdadero tamaño delas aristas, por un cambio de plano.

Se traza un plano normal al prisma que seproyecta como un plano de canto (perpendicularal eje del sólido en tercera proyección, y en estecaso a 42 mm de la base inferior).

259

Se realiza el desarrollo de las caras laterales,dividiendo una línea recta de acuerdo a los lados dela sección normal en verdadera magnitud,seguidamente se trazan perpendiculares y se limitancon la longitud de las aristas en verdadero tamaño ypor último se colocan las bases inferior y superior.

Por medio de un segundo cambio deplano, se determina el verdaderotamaño de la sección normal.

260

8. Se da: un prisma oblicuo de base cuadrada, regular, horizontal, con centro en

O(40; 35; 00) y un vértice en A(15; 30; 00), O’(85; 50; 55) es el centro de la base

superior.

Se pide: hallar la sección normal al prisma, que pase por el punto medio del eje OO’, el

desarrollo del prisma entre la base inferior y la sección normal y representar en firme el

sólido truncado.

261

Solución:

Se realizan todo el procedimiento del ejercicio anterior, sólo que en el desarrollo del

prisma oblicuo truncado, se trabaja con las longitudes de las aristas laterales que van

de la base inferior a la sección normal (la cual se mide en la tercera proyección).

Por último, se representa en firme el sólido truncado en la proyección ortogonal.

262


Desarrollo de Sólidos: Cuerpos Redondos

Cuerpos Redondos: Cono y Cilindro.

Estos tipos de sólidos se pueden desarrollar debido a que pertenecen a lossólidos curvos desarrollables, que tienen como condición que el sólido seareglado con las generatrices vecinas que sean coplanares ( de forma cónica ocilíndrica).

263

a) Desarrollo de un Cono recto; b) Desarrollo de un Cilindro recto.

a) b)

Desarrollo de un Cono de Revolución Recto: Está compuesto por un circuloperteneciente a la base y un sector circular (superficie lateral del cono) cuyo perímetrocoincide con la circunferencia que delimita al círculo de la base.

El ángulo del arco se determina por la siguiente ecuación:

lgº360

lg2º3602 rr ∗=

∗∗∗∗=

ππα

264

Desarrollo de un Cono Oblicuo: El procedimiento para realizar el desarrollo se

denomina triangulación de la superficie y consta de dividir la base del cono en varios

segmentos y determinar los verdaderos tamaños de las generatrices correspondientes,

a los extremos de éstos, replanteándolos luego en forma conveniente (longitud A-B en

la base será igual a la longitud A-B del arco de la superficie lateral y así sucesivamente).

265

Desarrollo de un Cilindro de Revolución Recto: Está compuesto por dos circulopertenecientes a la base inferior y superior y la superficie lateral del cilindro cuyoperímetro coincide con la circunferencia que delimita a los círculo de las bases.

El perímetro de la superficie lateral del cilindro se determina por la siguiente ecuación:

rP ∗∗= π2

266

Desarrollo de un Cilindro Oblicuo: Suprocedimiento es similar al de un prismaoblicuo.

Se realiza un cambio de plano, colocandoal cilindro frontal en donde se obtienen lasgeneratrices en verdadero tamaño.

Posteriormente se determina la secciónplana normal perpendicular al eje.

Se realiza un segundo cambio de plano en

267

Se realiza un segundo cambio de plano enla cual se obtiene la sección elíptica normalpara hacer el desarrollo, haciendo unarectificación del perímetro de la secciónnormal al eje (usando compás de dospuntas)

Se miden las longitudes de las generatricesen la tercera proyección que están enverdadero tamaño (por encima y por debajode la sección normal).

Se colocan las bases circulares del cilindro.

1. Se da: un cilindro recto con centro

en O (45; 50; 00), el radio es de 35

mm y la altura de 65 mm.

Se pide: el desarrollo del cilindro.

Ejercicios Resueltos: Desarrollo Cuerpos Redondos

UNIDAD IV: DESARROLLO DE SOLIDOS

268

Solución:

Representar los datos del ejercicio

en proyección ortogonal

Se construye en proyección

ortogonal el cilindro recto.

El desarrollo del cilindro se

realiza colocando como superficie

lateral del sólido la forma de un

269

rectángulo, en el que el perímetro

de la base es una circunferencia

igual a P= 2 *π * r. La altura es la

misma de la proyección ortogonal.

Luego se colocan las bases

(inferior y superior) del sólido.

Desarrollo del cilindro recto.

270

2. Se da: un cono recto de altura 60

mm con radio de 50 mm. Los puntos A

y B son generatrices de su base en el

plano vertical. La base se encuentra en

verdadero tamaño. El punto O(60; 70;

00) es el centro de la base del cono.

Se pide: el desarrollo del sólido.Se pide: el desarrollo del sólido.

271

Solución:



Se construye el cono en proyección ortogonal. Para el desarrollo del cono, se trabaja con la longitudde la generatriz, trazando un arco cuya longitud decircunferencia sea igual a α y luego colocar el circulo dela base.

272

Desarrollo del cono recto

273

3. Se da: un cono oblicuo con vértice

V(90; 50; 80) y radio de 30 mm. Los

puntos A y B son generatrices de su

base en el plano vertical; la base se

encuentra en verdadero tamaño, el

centro del cono es O(35; 50; 00).

Se pide: el desarrollo del cono.

274

Solución:



Se construye el cono oblicuo en proyecciónortogonal.

Se subdividen generatrices colocando nomenclatura,para posteriormente hacer el desarrollo. Se realiza enforma tal que cumpla con la simetría en el sólido.

275

Se traza un eje y se determinan

los verdaderos tamaños de las

generatrices del cono, llevándose

las proyecciones horizontales VA,

VB, VC, VD, VE, VF, VG sobre la

línea de tierra y la altura es la

misma del sólido.

276

Por medio de triangulación se

realiza el desarrollo del cono

oblicuo, dividiendo la base del

cono en varios segmentos y

colocando los verdaderos

tamaños de las generatrices

277

tamaños de las generatrices

correspondientes, a los

extremos de éstos, desde el

punto más cercano al más

alejado al vértice del cono (V).

4. Se da: un cilindro oblicuo con eje OO’ y base horizontal, circular, con centro enO (35; 35; 00) y radio 25 mm. El centro de la base superior O’(85; 50; 60).

Se pide: el desarrollo del cilindro.

Solución:

Se representa el cilindro oblicuo con los datos del ejercicio.

Se realiza un primer cambio de plano, colocando al cilindro frontal, obteniéndoselas generatrices en verdadero tamaño.

278

Se determina la sección plana normal perpendicular al eje, el cual está a la mitadde OO’.

Se realiza un segundo cambio de plano en la cual se obtiene la sección elípticanormal para hacer el desarrollo, haciendo una rectificación del perímetro de la secciónnormal al eje (usando compás de dos puntas)

Se miden las longitudes de las generatrices en la tercera proyección que están enverdadero tamaño (por encima y por debajo de la sección normal).

Finalmente, se colocan las bases circulares del cilindro.

279

Desarrollo del Cilindro Oblicuo

1. Se da: una pirámide regular recta de base hexagonal, horizontal, con centro enO(60; 70; 00) y un punto de la base en A(85; 43; 00), la altura de la pirámide es de 82 mm.Se pide: el desarrollo.

2. Se da: una pirámide de base triangular con centro en O(80;60;00) y un vérticeA(80; 30;00) la base es regular, horizontal. El vértice de la pirámide es V(30; 15;60). Unplano NP [N(120;00;00), de canto, P(20; 00;50)]. Se pide: el desarrollo del sólidoseccionado.

3. Se da: una pirámide recta de base hexagonal, regular, horizontal, con centro de la baseen O(80;90;00), un punto de la base es A(80;45;00) y el vértice de la pirámide es

Ejercicios Propuestos: Desarrollo de Poliedros y Cuerpos Redondos


280

en O(80;90;00), un punto de la base es A(80;45;00) y el vértice de la pirámide esV(80;90;120). Así también, se da un plano α [M(150;00;00), de canto, N(30; 00; 100)]. Sepide: la proyección ortogonal del sólido (trazo previo), la sección que produce α sobre lapirámide en verdadera magnitud, el desarrollo del sólido truncado y representar en firme lavisibilidad de la pirámide seccionada en proyección oblicua frontal con ω=135º y qy=1/2.

4. Se da: una pirámide regular recta, de base hexagonal, con centro en O(100; 60;00), unpunto de la base es A(120;30;00) y el vértice de la pirámide es V(100;60;00). Se da unplano RST dado por sus trazas [R(25;00;00) S(130;00;180) T(75;120;00)]. Se pide: laproyección ortogonal de la pirámide (trazo previo), determinar la sección que produce elplano en la pirámide en verdadera magnitud, representar en firme el sólido entre lasección y la base (sólido truncado) y el desarrollo del sólido truncado.

5. Se da: una pirámide oblicua con vértice V(180; 80; 100) y base hexagonal, regular,horizontal, con centro en O(55; 70; 00) y un vértice de la base en A(50; 20; 00). El plano β[M(180; 10; 05), N( 65; 80; 60), P(100; 110; 10)]. Se pide: la sección producida por elplano β sobre la pirámide, el desarrollo de la pirámide truncada y representar en firme laparte de la pirámide entre la base y el plano β.

6. Se da: un prisma recto, hexagonal, regular, de altura 110 mm, que tenga centro de labase horizontal inferior en O(60; 70; 00) y un vértice en A(65; 10; 00). El plano[R(130; 00; 00), de canto, S(00; 00; 100)]. Se pide: el desarrollo del sólido truncado yvisibilidad.

281

7. Se da: un prisma oblicuo de base pentagonal, horizontal, con centro de la base inferioren O(100; 50; 00) y un punto de esta base en A(125; 28; 00), el punto O’(35; 30; 50)es centro de la base superior. Se pide: el desarrollo del prisma sabiendo que la secciónnormal está a la mitad de la longitud de recorrido del eje OO’. Visibilidad.

8. Se da: un prisma oblicuo de base hexagonal, regular, horizontal, con el eje OO' yvértice de la base inferior en A. O(50; 60; 00), O'(110; 25; 70), A(50; 80; 00). Se pide: eldesarrollo del prisma sabiendo que la sección normal está a la mitad de la longitud derecorrido del eje OO’. Visibilidad.

9. Se da: un cono recto de revolución, con base horizontal, cuyo centro es O(50; 50;00) ydiámetro 60 mm. La altura del sólido es de 77 mm. Se pide: el desarrollo del cono.

10. Se da: un cono oblicuo con vértice V(110; 60; 90) y radio de 35 mm. Los puntos A y Bson generatrices de su base en el plano vertical, la base se encuentra en verdaderotamaño, el centro del cono es O(45; 65;00). Se pide: el desarrollo del cono.

11. Se da: un cilindro recto cuyo eje es OO`, O(80; 75; 00) y O`(80; 75; 100), el diámetrode la base es 75 mm. Se pide: el desarrollo del cilindro.

12. Se da: un cilindro oblicuo con eje OO’ y base horizontal, circular, con centro enO(45; 55; 00) y radio 30 mm. El centro de la base superior O’(105; 70; 72). Se pide: eldesarrollo del cilindro.

282

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