1

DeskriptivnaDeskriptivna

statististatistička analizačka analiza

Predavač: Predavač: DrDr Mirko SavićMirko Savić

savicmirko@eccf.su.ac.yu

www.eccf.su.ac.yu

Deskriptivna statistička analiza predstavlja skup metoda kojima se vrši izračunavanje, prikazivanje i opisivanje osnovnih karakteristika statističkih serija.

Deskriptivna statistička analiza ima sledeće zadatke:1.Grupisanje i sređivanje statističkih podataka.

2. Prikazivanje statističkih podataka.

3.Određivanje osnovnih pokazatelja statističkih

serija.

2

Grupisanje podataka se vrši prema vrednostima ili modalitetima posmatranih obeležja.

Grupisanje i sređivanje statističkih podataka

Str. 51 i 104;29 i 56;19

Kao krajnji rezultat grupisanja javlja se

statistička serija.

Statistička serija predstavlja uređeni skup varijacija obeležja posmatrane statističke mase.

Statistička serija se prikazuje u obliku tabele,

najmanje u dva reda i dve kolone, gde je u prvoj

koloni iskazana kvalitativna strana statističke mase,

a u drugoj kvantitativna (brojčana) strana.

3

Obeležje (X) –

kvalitativna strana

Frekvencija (fi) –

kvantitativna strana

Primer za statističku seriju sa prekidnim

numeričkim obeležjem (intervalna serija):

Tabela broj 4: Raspored studenata prema broju položenih ispita Broj ispita

(X) Broj studenata

(fi) 1 2

0-2 10 3-5 20 6-8 15

Ukupno 45

DES-097 Z(06)1-1 Grupisanje, prekidna obeležja

DES-098 Z(06)1-2 Grupisanje, neprekidna obeležja

Prikazivanje statističkih podataka

Prikazivanje statističkih serija se može vršiti na dva

načina:

•tabelarno,•grafički.

Str. 69;35;23

4

Statistička tabela predstavlja uokvirenu površinu u koju se unosi statistička serija.

Broj i naziv tabele Naziv obeležja

(X) Naziv frekvencije

(fi) ← Zaglavlje

1 2 ← Redni broj kolone Vrednost ili modalitet obeležja f1 Vrednost ili modalitet obeležja f2

.

.

.

.

.

.

Vrednost ili modalitet obeležja fn

Ukupno: ∑=

n

iif

1 ← Zbirni red

Primedba: Izvor:

↑ Predkolona

Prema sadržaju, tabele mogu biti:

•proste,

•složene,

•kombinovane.

5

Grafičko prikazivanje

Grafikoni se najčešće dele na sledeći način:

•tačkasti (stigmogrami),

•površinski,

•prostorni,

•linijski,•kartogrami.

Str. 73;38;25

Primer za dijagram rasturanja

6

Primer za bar-dijagram

Primer za histogram frekvencija

7

Broj radnika prema odeljenjima i polu

10

54

12

98

0

2

4

6

8

10

12

14

Prvo Drugo Treće

Odeljenje

Broj radnika Muški

Ženski

Primer za bar dijagram sa dva obeležja

(urađeno u Excel-u)

Prinos pšenice u 2003. u mil. tona

Izvor: Statistički godišnjak SCG za 2003. godinu

Južna Amerika, 24

Okeanija, 24

Severna Amerika, 78

Azija, 239

Evropa, 200

Afrika, 18

Primer za kružni dijagram – pie-chart

(urađeno u Excel-u)

8

PrvoDrugo

Treće

Muški

Ženski

12

98

10

5

4

0

2

4

6

8

10

12

Broj radnika

Odeljenje

Pol

Broj radnika prema odeljenjima i polu

Primer za stereogram (urađeno u Excel-u)

Primer za poligon frekvencija (linijski dijagram)

9

Pravljenje preseka na osama

Poseta turista u hiljadama

0

20

40

60

80

100Januar

Februar

Mart

April

Maj

Jun

Jul

Avgust

Septembar

Oktobar

Novembar

Decembar

Primer za polarni dijagram (linijski dijagram)

10

Primer za

kartogram

Primer za loše grupisanje i grafičko prikazivanje:

Imate li klima uređaj?

27.7%

44.6%

27.7%

Ne

Da, u kući

Da, u autu

Izvor: Blic, 7. avgust 2006.

Primer za loše grafičko prikazivanje (Fresh&Co)

11

Tabela 1: Raspored domaćinstava u naselju prema broju automobila

Broj automobila

(xi)

Broj domaćinstava

(fi) Kumulacija ispod Kumulacija iznad

1 2 3 4

0 4 4

1 8 12 (4+8)

2 10 22 (4+8+10)

3 5 27 (4+8+10+5)

Ukupno 27 - -

Kumulacija ispod i iznad

Tabela 1: Raspored domaćinstava u naselju prema broju automobila

Broj automobila

(xi)

Broj domaćinstava

(fi) Kumulacija ispod Kumulacija iznad

1 2 3 4

0 4 4 27 (5+10+8+4)

1 8 12 (4+8) 23 (5+10+8)

2 10 22 (4+8+10) 15 (5+10)

3 5 27 (4+8+10+5) 5

Ukupno 27 - -

12 domaćinstava u naselju ima najviše 1 automobil 15 domaćinstava u naselju

ima najmanje 2 automobila

22 domaćinstava u naselju ima najviše 2 automobila

Kumulacija ispod i iznad

12

DES-001 K(05)2-1 Grupisanje i grafičko prikazivanje statističkih podataka (prekidna numerička obeležja)

DES-002 K(05)2-2 Grupisanje i grafičko prikazivanje statističkih podataka (neprekidna num. obeležja)

DES-013 K(05)2-3 Poligon kumul. frekvencija (neint. serija)

DES-071 K(05)2-4 Poligon kumul. frekvencija (intervalna serija)

DES-008 K(05)z 2-1 Poligon i histogram - vrem. serija

DES-054 K(05)z 2-2 Poligon i hist. frekvencija - prekidna

DES-060 K(05)z 2-3 Grupisanje i sređivanje – neprekidno ob.

DES-059 K(05)z 2-6 Grupisanje i sređivanje – prekidno ob.

DES-061 K(05)z 2-7 Grupisanje i sređivanje – neprekidno ob.

DES-024; K(05)z 2-8 Srednje v., mere v., pol. i histogram

DES-028; K(05)z 2-9 Mere varijacije – negrupisani, prekidna

DES-032; K(05)z 2-10 Srednje vred., Mere v. - grup. i prekidna

DES-063; K(05)z 2-11 Geometrijska sredina

DES-068; K(05)z 2-12 Srednje v. i mere v.-grupis., prekidna

DES-064; K(05)z 2-13 Geometrijska sredina

DES-016; K(05)z 2-14 Srednje v. i mere v., graf, neprekidno o.

DES-057 K(05)z 2-5 Poligon i histogram – neprekidna ob.

DES-058 K(05)z 2-4 Grupisanje i sređivanje – prekidno ob.

13

U osnovne mere statističkih serija spadaju(nema u udžbeniku):•Srednje vrednosti (mere centralne tendencije).•Mere varijacije (mere disperzije, raspršenosti).

•Mere oblika rasporeda.

µµµµ

σσσσ

σσσσ2222 Mo

αααα4444

αααα3333 Me

I V

Q1

Q2

Q3

Str. 104;60;37

Osnovne mere statističkih serija

Srednje vrednosti

Srednje vrednosti su vrednosti obeležja koje

na specifičan način reprezentuju čitavu

statističku masu, odnosno zamenjuju sve

vrednosti u statističkoj seriji i karakterišu

statističku masu u celini.

Str. 109;60;37

14

Srednje vrednosti poseduju sledeće osobine:•Ne mogu biti veće od najveće vrednosti obeležja niti

manje od najmanje vrednosti obeležja u seriji.•Mogu imati vrednost koja uopšte ne postoji u

numeričkoj seriji.

•Mogu biti izražene i decimalnim brojem bez obzira

da li je u pitanju serija sa prekidnim ili neprekidnim

obeležjem.

Izračunate srednje vrednosti se mogu utvrditi

samo računskim putem. Tu spadaju:

( )µ;x•aritmetička sredina*

•geometrijska sredina* (G),

•harmonijska sredina* (H),

•kvadratna sredina,

•kubna sredina,

•logaritamska sredina.

Srednje vrednosti se dele u dve grupe:•Izračunate srednje vrednosti.

•Srednje vrednosti po položaju.

15

Tu spadaju:•modus* (Mo),

•medijana* (Me),

•medijala (Ml),

•kvartili* (Q),

•kvintali (Kv),

•decili (D),

•percentili* (P).

Str. 143;69;37

Srednje vrednosti po položaju

To su srednje vrednosti koje se mogu odrediti na

osnovu pozicije na kojoj se nalaze kada su vrednosti

obeležja poređane u rastući niz.

Aritmetička sredina (prosek)

x (''iks-bar'')

µ (''mi'')

Prema tome da li su podaci grupisani ili ne, razlikuju se:

•prosta aritmetička sredina,

•ponderisana (složena, vagana) aritmetička sredina.

Simboli koji se koriste:

Aritmetička sredina za uzorak:

Aritmetička sredina za osnovni skup:

Str. 110;61;37

16

Prosta, za osnovni skup:

N

xN

ii∑

= =1µ ;

Prosta, za uzorak: n

xx

n

ii∑

= =1;

Ponderisana, za osnovni skup: ∑

∑

=

=

=

k

ii

k

iii

f

fx

1

1µ ;

Ponderisana, za uzorak: ∑

∑

=

=

=

k

ii

k

iii

f

fxx

1

1;

Formule za aritmetičku sredinu:

Primer 16 (strana 111) – Prosta aritmetička sredina za osnovni skup

Primer 17 (strana 111) (greškom piše primer 15) – Prosta aritmetička sredina za uzorak

Primer 18 (strana 112) – Složena aritmetička sredina za osnovni skup

Primer 21 (strana 118) – Složena aritmetička sredina za uzorak

17

Geometrijska sredina

Geometrijska sredina spada u izračunate srednje

vrednosti koja se koristi kada u numeričkoj seriji

obeležja pokazuju neke relativne pokazatelje (indekse) ili

karakteristike geometrijske progresije.

Simbol: G

Str. 135;65;39

Prosta geometrijska sredina: log n

xG

n

ii∑

= =1log

;

Ponderisana geometrijska sredina: ∑

∑=

=

=

k

ii

k

iii

f

xfG

1

1log

log ;

Geometrijska sredina: log GG=

Geometrijsku sredinu nije moguće izračunati ako je

neka vrednost obeležja jednaka nuli!

Formule za geometrijsku sredinu:

18

Primer za antilogaritam

logG=0,9542425

G=10logG=100,9542425=9Antilogaritam:

Primer 37 (strana 136)Prosta geometrijska sredina

DES-062 K:2-5 Prosta geometrijska sredina

Harmonijska sredina

Harmonijska sredina je jedna od izračunatih

srednjih vrednosti koja se izračunava iz

recipročnih vrednosti obeležja.

Simbol: H

Str. 138;67;40

Harmonijsku sredinu nije moguće izračunati ako je

neka vrednost obeležja jednaka nuli!

19

Prosta harmonijska sredina: ;

11∑

=

=

n

i ix

nH

Ponderisana harmonijska sredina: ;

1

1

∑

∑=

=

=

k

i i

i

k

ii

x

f

fH

Formule za harmonijsku sredinu:

Primer 39 (strana 138)Prosta harmonijska sredina

DES-067 K:2-6Prosta harmonijska sredina

Modus

Modus je ona vrednost obeležja koja se najčešće javlja

u statističkoj seriji, odnosno ona vrednost obeležja

koja ima najveću frekvenciju.

Primer 46 (strana 144)Modus za neintervalnu numeričku seriju

Zašto je modus nekad bolji od aritmetičke sredine?

Veličina obuće ili odeće.

Simbol: Mo

Str. 143;69;41

DES-081 Modus, negrupisani podaci

20

bff

faM

MM o

MM oo ⋅

++=

+−

+

101

10

gde je:aMo – donja granica modalnog intervala,

fMo-1 – frekvencija pre modalnog intervala,

fMo+1 – frekvencija posle modalnog intervala,

b – širina intervala, širina klase.

Modus se može utvrditi i na osnovu grafičkog prikaza!

Formula za modus (intervalna numerička serija):

U seriji može da postoji više modusa!

Primer 47 (strana 146)Modus za intervalnu numeričku seriju

Medijana

Medijana je srednja vrednost po položaju koja deli

numeričku seriju na dva jednaka dela. Jedna polovina

vrednosti obeležja je manja od nje, a druga polovina veća.

Simbol: Me

Str. 148;71;42

21

Neparan broj podataka: xM ne2

1+= ;

Paran broj podataka: 2

122

xxM

nn

e

++

= ;

Intervalna numerička serija sa neparnim brojem podataka: b

F

F

f

aMm

m

k

ii

M ee ⋅

−

∑

+=

=

11

2;

Intervalna numerička serija sa parnim brojem podataka: b

F

F

f

aMm

m

k

ii

M ee ⋅

−

+∑

+=

=

11

2

1

;

gde je:

aMe – donja granica medijalnog intervala,

aMe+1 – gornja granica medijalnog intervala,

Fm1 – kumulacija pre medijalnog intervala,

Fm – frekvencija medijalnog intervala,

b – širina intervala, širina klase.

Formule za medijanu:

Primer 48 (strana 148) – Medijana za negrupisane podatke –neparan broj podataka

Primer 49 (strana 149) – Medijana za negrupisane podatke –paran broj podataka

Primer 50 (strana 149) – Medijana za grupisane podatke –neintervalna serija i neparan broj podataka

Primer 51 (strana 150) – Medijana za grupisane podatke –neintervalna serija i paran broj podataka

Primer 52 (strana 152) – Medijana za grupisane podatke –intervalna serija i neparan broj podataka

Primer 53 (strana 153) – Medijana za grupisane podatke –intervalna serija i paran broj podataka

Medijana može da se odredi i grafički uz pomoć

kumulacija ispod i iznad.

22

Zašto je nekad bolje koristiti medijanu nego aritmetičku sredinu?

Preduzeće ima 6 radnika sa platama:100, 100, 150, 150, 400, 1500

µµµµ=400

Me=150

‘’U našem preduzeću prosečna plata je 400 evra!’’

Primer:

Kvartili

Kvartili su srednje vrednosti po položaju koje dele

statističku seriju na četiri jednaka dela kada su

vrednosti obeležja poređane u rastući niz.

Simboli: Q1, Q2, Q3

Str. 160;;46

Postoji ukupno tri kvartila.

23

Prvi kvartil (Q1) deli numeričku seriju tako da je jedna

četvrtina podataka manja od njega a tri četvrtine su

veće.

Drugi kvartil (Q2) je jednak sa medijanom (Me) i deli

numeričku seriju tako da je jedna polovina podataka

manja od njega a druga polovina veća.

Treći kvartil (Q3)…

Primer 57 (strana 160)Kvartili za negrupisane podatke – neparan broj podataka

Primer 61 (strana 162)Kvartili za grupisane podatke – neintervalna serija i neparan broj podataka

Percentili

Str. 175;;47

Percentili su srednje vrednosti po položaju koje dele

statističku seriju na sto jednakih delova.

Simbol: P

Na primer, zarada radnika: P80=15000

24

Primeri za srednje vrednosti:

DES-021 K:2-7Aritmetička sredina, modus i medijana, negrupisani podaci

DES-022 K:2-8Aritmetička sredina, modus i medijana, neintervalna serija

Mere varijacija(mere disperzije)

Primer 76 (strana 182)

Tri serije sa istim srednjim vrednostima

Str. 182;76;47

Mere varijacije su pokazatelji relativnih i

apsolutnih odstupanja vrednosti obeležja

od neke srednje vrednosti, obično od

aritmetičke sredine.

25

U statističkoj praksi postoji velik broj mera varijacije:•interval varijacije*,

•varijansa*,

•standardna devijacija*,

•koeficijent varijacije*,•normalizovano (standardizovano) odstupanje (z-

skor)*,

•interkvartilna varijacija,

•srednje apsolutno odstupanje,

Interval varijacije

Interval varijacije predstavlja razliku između

najveće i najmanje vrednosti obeležja.

Simbol: I

Str. 185;;48

26

Za negrupisane podatke ili neintervalnu seriju: xxI minmax −=

Kod intervalne serije: aaI k 0−=

gde je:xmax – najveća vrednost obeležja,xmin – najmanja vrednost obeležja,

ak – gornja granica poslednjeg intervala,

a0 – donja granica prvog intervala.

Formule za interval varijacije:

Primer 77 (strana 185)

Interval varijacije – negrupisani podaci

Primer 78 (strana 186)

Interval varijacije – grupisani podaci

Primer 79 (strana 187)

Interval varijacije – grupisani podaci,

intervalna serija

27

Interkvartilna varijacija (ne radi se)

Str. 189;;49

Interkvartilna varijacija je mera varijacije koja

zanemaruje uticaj ekstremnih vrednosti obeležja i

pokazuje razliku između prvog i trećeg kvartila u

numeričkoj seriji.

IQ = Q3−Q1

DES-072 K:2-12Kvartili, percentili, interkvartilna varijacija

Varijansa

Prosek kvadrata odstupanja

pojedinačnih vrednosti obeležja od neke

srednje vrednosti, najčešće od

aritmetičke sredine.

Simbol: σ2 (sigma na kvadrat)

Str. 196;79;49

Mera varijacije drugog stepena koja

nema jedinicu mere.

Njena vrednost se nalazi u intervalu [0, +∞]

28

Negrupisani podaci - osnovni skup: 2

212 ;

N

ii

x

Nµσ

=∑

= −

Negrupisani podaci - uzorak: 1

1

22

2

−

∑ −

= =

n

xnxn

ii

uσ ;

Grupisani podaci – osnovni skup: 2

1

1

2

2 µσ −

∑

∑

=

=

=

k

ii

k

iii

f

xf;

Grupisani podaci – uzorak: ∑ −

∑∑ −

=

=

==

k

ii

k

ii

k

ii i

u

f

fxfx

1

11

22

2

1σ ;

Formule za varijansu:

Primer 87 (strana 197)

Varijansa – negrupisani podaci, osnovni skup

Primer 90 (strana 204)

Varijansa – grupisani podaci, uzorak

29

Standardna devijacija

Prosečno odstupanje pojedinačnih vrednosti

obeležja od određene srednje vrednosti,

izraženo u jedinicama mere u kojima je

izraženo i obeležje koje se posmatra.

Njena vrednost se nalazi u intervalu [0, +∞]

Simbol: σ (sigma)

Str. 209;83;50

Mera varijacije prvog stepena.

Za osnovni skup: σσ 2= ;

Za uzorak: σσ2uu = .

Formule za standardnu devijaciju:

30

Koeficijent varijacije

Relativna mera varijacije koja pokazuje koliko

procenata iznosi standardna devijacija od

aritmetičke sredine.

Simbol: V

Str. 210;84;50

Kada se koristi?

Za osnovni skup: 100⋅=µ

σV ;

Za uzorak: 100⋅=x

Vu

uσ ;

Formule za koeficijent varijacije:

31

Normalizovano (standardizovano) odstupanje (z-skor)

Mera varijacije koja pokazuje odstupanje jedne

vrednosti obeležja od srednje vrednosti u

standardnim devijacijama.

Str. 216;85;51

Kada se koristi?

Primer 108 (strana 217)Normalizovano odstupanje

DES-037 K:2-11Normalizovano odstupanje – dva uzorka

Formule za normalizovano odstupanje:

Za osnovni skup: σ

µ−=

XU ;

Za uzorak: σ u

uxX

U−

= .

32

Primeri za mere varijacije:

DES-023 K:2-9Mere varijacije, negrupisani podaci, uzorak

DES-044 K:2-10Srednje vrednosti, mere varijacije, intervalna serija, uzorak

DES-069 Z(06)3-1Srednje vrednosti, mere varijacije, neintervalna, uzorak

Podaci o antropomerama građana SFRJ (16-55 godina starosti) (udžbenik, strana 52)

Muškarci

1,4142,91Broj cipela

2,5539,78Širina kukova

2,3848,80Širina ramena

0,555,01Dužina nosa

6,89174,64Visina tela

10,5172,8Težina tela

Standardna devijacijaAritmetička sredinaNaziv obeležja

Žene

1,0637,68Broj cipela

1,4038,70Širina kukova

2,2040,78Širina ramena

2,495,05Dužina nosa

9,25166,59Visina tela

12,9170,07Težina tela

Standardna devijacijaAritmetička sredinaNaziv obeležja

33

Mere oblika rasporeda

Za izračunavanje asimetrije i spljoštenosti

rasporeda koriste se sledeće mere:

•mera asimetrije (α3),

•mera spljoštenosti (ekscesa) (α4).

Str. 218;86;57

Mere oblika rasporeda se izračunavaju preko

pomoćnih i centralnih momenata rasporeda.

Koeficijent asimetrije

Ako je:

�α3 = 0, raspored je simetričan,

�α3 > 0, raspored je asimetričan u desno (pozitivna asimetrija),

�α3 < 0, raspored je asimetričan u levo (negativna asimetrija).

Numerički pokazatelj koji izražava u kojoj meri je neki raspored asimetričan u odnosu na normalni

raspored.

Simbol: α3

Str. 229;92;58

34

MMx oe ==

03 =α

fi

X

Raspored asimetričan u desnu stranu(pozitivna asimetrija)

xMM eo <<

03 >α fi

X

Raspored asimetričan u levu stranu

(negativna asimetrija)

MMx oe <<

03 <α

U zavisnosti od veličine koeficijenta, određuje

se i jačina asimetrije. Gradacija je sledeća:

|α3| ≤ 0,25 – mala asimetrija,

0,25 < |α3| ≤ 0,50 – srednja asimetrija,

|α3| > 0,50 – jaka asimetrija.

σα 3

33

u

M=

Formula za koeficijent asimetrije:

35

Koeficijent spljoštenosti

Simbol: α4

Str. 235;94;60

Numerički pokazatelj koji izražava u

kojoj meri je neki raspored spljošten u

odnosu na normalni raspored.

σα 4

44

u

M=

Na osnovu ove formule, koeficijent pruža sledeću informaciju:•α4 = 3, raspored je normalno spljošten (zaobljen),•α4 > 3, raspored je više izdužen u odnosu na normalni raspored,•α4 < 3, raspored je više spljošten u odnosu na normalni raspored.

Formula za koeficijent spljoštenosti:

36

34 =α

34 <α34 >α

Primer 110, 113, 115 (strana 224, 232, 236) –Koeficijenti asimetrije i spljoštenosti – neintervalna serija, uzorak

DES-074 K:2-13Skiciranje mera oblika rasporeda