Dette er et utdrag fra kapittel 6 i boka ... 14V Matte2/frekvensanalyse.pdf · at den virkelige kurva passerer 3 dB under knekkpunktet. Disse to rette linjene kan brukes som hjelpelinje

1

Dette er et utdrag fra kapittel 6 i boka:

Reguleringsteknikk, skrevet av

Per Hveem og Kåre Bjørvik

Kapittelnummering og eksempelnummering stemmer ikke overens med det står iboka.

5.1 Fra overføringsfunksjon til frekvensrespons

Vi har tidligere sett hvordan vi kan finne frekvensresponsen eksperimentelt ved åsende et sinus-signal inn på prosessen og så måle det stasjonære sinus-signaletvi får ut. På den måten er det mulig å finne fram til amplitudeforholdet og fasefor-skyvinga ved forskjellige frekvenser.

Dersom overføringsfunksjonen for prosessen allerede er kjent så er det bare åerstatte Laplaceoperatoren s med jT. Vi får da overføringsfunksjonen somfunksjon av frekvensen, T. Resultatet blir på kompleks form med realdel ogimaginærdel. Dette må ordnes så vi får det på polar form og kan skille utamplitudeforholdet og faseforskyvinga hver for seg som funksjoner av frekvensen.

NB! Når vi erstatter s med jT får vi bare den stasjonæreoverføringsfunksjonen for sinusformete signal. Vi mister informasjon omtransiente forhold som oppstår umiddelbart etter innkopling av et sinus-signal. Se figur 6.1. Skal vi regne på transiente forhold må vi bruke vanligLaplace-regning.

Figur 6.1 Ved bruk av frekvensresponser mister vi informasjonen om transienteforhold ved innkopling av reine sinussignal, men beholderinformasjonen om stasjonære sinussignal ut.

Det er verdt å merke seg at for å være matematisk stringent settes det som tidligerevar en funksjon av s nå som en funksjon av jT. Fortsatt er det amplitudeforholdetog faseforskyvinga som funksjoner av frekvensen vi får fram:

(6,1)

6.1 Fra overføringsfunksjon til frekvensrespons 3

Figur 6.2 Første ordens lavpassfilter.

Eksempel : Første orden prosess

Et lavpassfilter med en motstand og en kondensator som vist på figur 6.2 har følgendeoverføringsfunksjon:

(6,2)

For å finne frekvensresponsen erstattes s med jT:

(6,3)

Dette må så gjøres om til polar form:

(6,4)

Setter inn for R og C og får følgende uttrykk for amplitudeforhold og faseforskyving:

(6,5)

Figur 6.3 Bodediagram for 1. ordens lavpassfilter.

T [rad/s] |h(jT)| |h(jT)| [dB] ph(jT) [°]

0,01 1,00 0,00 -1,26

0,02 1,00 -0,01 -2,52

0,05 0,99 -0,05 -6,28

0,10 0,98 -0,21 -12,41

0,20 0,92 -0,77 -23,75

0,45 0,71 -3,01 -45,00

0,50 0,67 -3,44 -47,73

1,00 0,41 -7,66 -65,56

2,00

5,00 0,091 -20,86 -84,81

10,00 0,045 -26,86 -87,40

20,00 0,023 -32,87 -88,70

50,00 0,009 -40,83 -89,48

100,00 0,0045 -46,85 -89,74

200,00 0,0023 -52,87 -89,87

Figur 6.4 Tabell for amplitudeforhold og faseforskyving som funksjon av førsteordens lavpassfilter. Rekn ut verdiene som mangler i tabellen for T=2rad/s.

Disse verdiene kan regnes ut for forskjellige frekvenser og resultatene kan tegnes opp i etBodediagram. Se Bodediagram i figur 6.3 og tabell i figur 6.4. Utregning av verdier for

6.1 Manuell opptegning i Bodediagrammet 5

forskjellige frekvenser kan være kjedelig å gjøre for hånd. Det beste er å ha et dataprogramsom tegner opp kurver i Bodediagram direkte ut fra den gitte overføringsfunksjonen. Etalternativ kan være å bruke et regneark til slike utregninger. Dagens regneark inneholderogså muligheter til å få tegna ut mange forskjellige diagram. Både tabellen ogBodediagrammet i figur 6.4 og 6.3 er laget med regnearket PlanPerfect.

5.2 Manuell opptegning i Bodediagrammet basertpå asymptoter

Opptegning av frekvensresponsen i Bodediagrammet kan gjøres uten at det ernødvendig å regne ut amplitudeforhold og faseforskyving ved mange forskjelligefrekvenser. Ser du nærmere på amplitudeforholdet i figur 6.3, så kan du se at vedfrekvenser under 0,1 rad/s så er amplitudeforholdet tilnærma ei vannrett linje.Tilsvarende er amplitudeforholdet ved frekvenser over 1 rad/s ei rett linje somskrår nedover.

Stigningsforholdet til denne linja kan vi finne fra tabellen i figur 6.4. Nårfrekvensen dobles fra 5 rad/s til 10 rad/s så synker amplitudeforholdet med 6 dB.(!26,86 ! (!20,86) = !6) Dette er tilfelle også om vi dobler frekvensen fra 50 til100 rad/s. En dobling av frekvensen kalles en oktav. Stigningsforholdet til denrette linja som skrår nedover er dermed !6 dB/oktav.

Dersom vi istedet ser på amplitudeforholdet ved en 10-dobling av frekvensen fra5 rad/s til 50 rad/s så synker amplitudeforholdet med 20 dB. (!40,83 ! (!20,86)= !20) Dette gjelder også om vi tidobler frekvensen fra 20 til 200 rad/s. En ti-dobling av frekvensen kalles en dekade. En annen måte å angi stigningsforholdettil den rette linja som skrår nedover på blir dermed !20 dB/dekade.

Figur 6.5 Amplitudeforhold: Virkelig kurve og hjelpekurver. Legg merke tilat den virkelige kurva passerer 3 dB under knekkpunktet.

Disse to rette linjene kan brukes som hjelpelinjer, såkalte asymptoter, når vi skaltegne opp amplitudeforholdet. Der disse to linjene krysser hverandre får vi etpunkt som kalles knekkpunktet. Frekvensen dette skjer ved kalles

kknekkfrekvensen, T . Dette er vist i figur 6.5. Legg merke til at vedknekkfrekvensen passerer den virkelige kurva 3 dB under knekkpunktet. Leggogså merke til at knekkfrekvensen blir det inverse av tidskonstanten for denne

kførste ordens prosessen. T =1/T=1/(RC)=1/2,2=0,45[rad/s]

Forskjellige standardprosesser har spesielle regler for opptegning av dissehjelpelinjene. I tillegg finnes det enkle tommelfingerregler for hvordan devirkelige kurvene går i forhold til hjelpelinjene. Ved en mer nøyaktig opptegningkan det være nødvendig å regne ut verdiene ved noen få utvalgte frekvenser.


Figur 6.6 Faseforskyvingskurve med hjelpelinjer. Legg merke til atfaseforskyvinga er 0° ved lave frekvenser, !45° vedknekkfrekvensen og !90° ved høge frekvenser.

Tilsvarende hjelpelinjer kan også brukes ved opptegning av faseforskyvinga, sjølom den virkelige faseforskyvinga avviker litt mer fra hjelpelinjene. Det kan derforvære nødvendig å regne ut noen flere verdier her. Figur 6.6 viser hjelpelinjene forfaseforskyvinga for lavpassfilteret. For denne første ordens prosessen starterfaseforskyvinga på 0° ved lave frekvenser og øker til !90° ved høye frekvenser.Ved knekkfrekvensen er faseforskyvinga !45°.

Tilsvarende hjelpelinjer kan tegnes opp for alle standardprosesser. All opptegningav hjelpelinjer er basert på at vi ser på tre tilfeller: 1) Hva som skjer ved lavefrekvenser, 2) hva som skjer ved knekkfrekvensen og 3) hva som skjer vedhøye frekvenser. Med lave frekvenser menes her frekvenser som er mye lavereenn knekkfrekvensen. Høye frekvenser er mye høyere enn knekkfrekvensen.Knekkfrekvensen er lik absoluttverdien til polene og nullpunktene ioverføringsfunksjonen. Ved knekkfrekvensene skifter hjelpelinjenestigningsforhold.

5.2.1 Sammenheng mellom asymptotene for amplitudeforhold ogfaseforskyving

Hjelpelinjene kalles ofte asymptoter og har alltid et stigningsforhold på n•20db/dekade for amplitudeforholdet og n•90 grader for faseforskyvinga. n er heret heltall som bestemmes av ledd av typen eller . Vi skal se seinere at

n har er lik den orden det er på ledd i telleren. For ledd i nevneren vil n værenegativ. For andre ordens ledd med komplekse poler som står i nevneren er n=!2.Virkningen av et ledd på de asymptotiske hjelpelinjene gjør seg først gjeldende fraknekkfrekvensen og oppover i frekvens.Legg merke til at når vi ser bort fra tidsforsinkelsen så er det alltid sånn atasymptotene for faseforskyvinga er plassert på vinklene n•90° og at stigninga forasymptotene til amplitudeforholdet er n•20 dB/dekade, hvor n har samme verdi forfaseforskyving og amplitudeforhold ved den samme frekvensen. Dette betyr atdersom du f eks har funnet at asymptoten til amplitudeforholdet i etfrekvensområde har et stigningsforhold på !40 dB/dekade (dvs n=!2) så vilverdien asymptoten til faseforskyvinga i det samme frekvensområdet være!2•90°=!180°.

5.2.2 Første ordens prosess

(6,6)

Erstatter først s med jT. Deretter settes overføringsfunksjonen opp på polar formog vi finner fram til amplitudeforholdet og faseforskyvinga:

(6,7)

Amplitudeforholdet

Ser først på amplitudeforholdet ved lave frekvenser, ved høye frekvenser og vedknekkfrekvensen. Knekkfrekvensen er den frekvensen hvor TT=1.

kDet betyr at T =1/T.


Ved lave frekvenser:

(6,8)

Ved frekvenser under knekkfrekvensen er alltid stigningsforholdet lik null. Vi fårher ei vannrett linje med verdien 20 log K.

Ved høye frekvenser:

(6,9)

Dette blir ei rett linje som synker med 20 dB/dekade fordi det første leddet blir enkonstant og det andre leddet øker med 20 dB i tallverdi hver gang argumentet blir10-doblet. (20 log 10=20 og 20 log 100=40). (Ved frekvenser overknekkfrekvensen blir stigningsforholdet n•20 dB/dekade. Fordi vi her har et førsteordens ledd i nevneren blir n=!1. Stigningsforholdet blir derfor !1•20 dB/dekade= !20 dB/dekade.) Ved knekkfrekvensen er TT=1 og verdien på denne linja blir20 log K. Det betyr at denne skrå hjelpelinja treffer hjelpelinja for lave frekvenserakkurat ved kryssfrekvensen. Dette punktet kalles knekkpunktet.

Ved knekkfrekvensen:

(6,10)

Vi ser her at den virkelige kurva passerer 3dB under knekkpunktet.

Vi tegner derfor opp hjelpelinja *h*=20 logK fram til knekkfrekvensen og tegnerderetter ei linje som synker med 20 dB/dekade fra knekkpunktet. Vedknekkfrekvensen passerer den virkelige kurva 3dB under knekkpunktet.

Faseforskyvinga

Ser på faseforskyvinga ved lave frekvenser, ved knekkfrekvensen og ved høyefrekvenser:

(6,11)

(Alternativt: Ved lave frekvenser under knekkfrekvensen er faseforskyvinga alltidlik 0°. Ved høye frekvenser er n=!1 og faseforskyvinga lik !1•90°=!90°.)

Bruker hjelpelinja ph=0° fram til knekkfrekvensen og hjelpelinja ph=!90° etterknekkfrekvensen. Ved knekkfrekvensen er ph=!45°.

For å få tegna en helt skikkelig faseforskyvingskurve er det nødvendig å regne ut

knoen få verdier. F eks T = 0,1@T = 0.5 gir en fasevinkel lik!arctan( 0,1) =!5,7°.

Eksempel 6.2.2: Første ordens prosess

Gitt følgende overføringsfunksjon: (6,12)

Tegn først opp aysmptotiske frekvenskurver i Bodediagrammet og skisser deretter devirkelige kurvene. (Med asymptotiske frekvenskurver menes at vi bare tegner oppasymptotene (hjelpelinjene).)

Løsning:

a) Sammenlikner med standardformen: (6,13)

Finner at K=2 og T=5 i vårt eksempel.

kb) Regner ut knekkfrekvensen: T =1/T=1/5=0,2[rad/s]

c) Regner ut amplitudeforholdet ved lave frekvenser i desibel: *h*=20 log K=20 log 2=6[dB]

d) Tegner opp hjelpelinjene (asymptotene) for amplitudeforholdet: 6 dB fram tilknekkfrekvensen (0,2 rad/s) og deretter ei rett linje med stigningsfoholdet !1•20dB/dekade = !20 dB/dekade. Se figur 6.7.


Figur 6.7 Asymptotisk amplitudeforhold 1. ordens prosess i Bodediagram. Vedhåndtegning på ruteark bør en dekade bortover velges lik 20 dB oppover.

Tips: Når vi tegner opp Bodediagram på vanlig ruteark er det lurt å velge 20 dB i y-retningen lik 1 dekade i x-retningen. Linjer som stiger eller synker med 20 dB/dekadefår dermed 45° helling. Deretter deles hver dekade i 3 omtrent like deler.Delingspunktene får verdiene 1 , 2 og 5.

e) Tegner opp hjelpelinjene for faseforskyvinga: 0° fram til knekkfrekvensen (0,2rad/s) og !1•90° etter knekkfrekvensen. Ved knekkfrekvensen bindes disse tolinjene sammen med en tredje hjelpelinje. Se figur 6.8.

Figur 6.8 Asymptotisk faseforskyving i Bodediagram. Det er ingen fast regel forvalg av skala for faseforskyving i forhold til frekvensskalaen.

f) Tegner skissemessig opp det virkelige amplitudeforholdet ved først å markerepunktet som ligger 3 dB under knekkpunktet. Trekker deretter en kurve fra den eneasymptoten, gjennom !3 dB punktet og over til den andre asymptoten. Se figur 6.9.

g) Tegner skissemessig opp faseforskyvinga ved å markere et punkt på !45° vedknekkfrekvensen. Trekker deretter en kurve som starter langs 0°-asymptoten.

Figur 6.9 Virkelig amplitudeforhold og hjelpelinjer for første ordens prosess iBodediagrammet.

Den forlater asymptoten ca en dekade før kryssfrekvensen, svinger seg gjennom !45° punktet og over på !90°-asymptoten ca en dekade etterknekkfrekvensen. Se figur 6.10.

Figur 6.10 Virkelig faseforskyving og hjelpelinjer for første ordens prosess iBodediagrammet.

5.2.3 Ideell PD-regulator

(6,14)

Vi ser her at dette er svært likt med første ordens prosess, men nå står (1+Ts)leddet på tellerplass. Det betyr at nå er n=+1 etter knekkfrekvensen.

Eksempel 6.2.3: Ideell PD-regulator

Gitt følgende overføringsfunksjon:

Tegn opp aysmptotiske frekvenskurver i Bodediagrammet og skisser deretter de virkeligekurvene.

Løsning:

a) Sammenlikner med standardformen og finner at K=0,25 og T=3,3

i vårt eksempel.


Figur 6.11 Asymptotisk og virkelig amplitudeforhold for PD-regulator.

Figur 6.12 Asymptotisk og virkelig faseforskyving for PD-regulator.

kb) Regner ut knekkfrekvensen: T =1/T=1/3,3=0,3[rad/s]

c) Regner ut amplitudeforholdet ved lave frekvenser i desibel: *h*=20 log K=20 log 0,25=!12[dB]

d) Tegner opp hjelpelinjene (asymptotene) for amplitudeforholdet: !12 dB fram tilknekkfrekvensen (0,3 rad/s) og deretter ei rett linje med stigningsforhold +1•20dB/dekade fordi n=+1. Se figur 6.11.

e) Tegner opp hjelpelinjene for faseforskyvinga: 0° fram til knekkfrekvensen (0,3rad/s) og +1•90° etter knekkfrekvensen fordi n=+1. Ved knekkfrekvensen bindesdisse to linjene sammen med en tredje hjelpelinje. Se figur 6.12.

f) Tegner skissemessig opp det virkelige amplitudeforholdet ved først å markerepunktet som ligger +3 dB over knekkpunktet. Trekker deretter en kurve fra den eneasymptoten, gjennom 3 dB punktet og over til den andre asymptoten. Se figur 6.11.

g) Tegner skissemessig opp faseforskyvinga ved å markere et punkt på +45° vedknekkfrekvensen. Trekker deretter en kurve som starter langs 0°-asymptoten. Denforlater asymptoten ca en dekade før kryssfrekvensen, svinger seg gjennom +45°punktet og over på +90°-asymptoten ca en dekade etter knekkfrekvensen. Se figur6.12.

5.2.4 Integrator

(6,15)

Knekkfrekvensen er lik absoluttverdien til polen. Setter vi nevneren lik null får vipolen s=0. Dette tilsvarer en knekkfrekvens når T=0. Denne frekvensen kommeraldri med på Bodediagrammet. Fordi vi har et første ordens ledd i nevneren såbetyr dette at n=!1 og at amplitudeforholdet har et stigningsforhold på !1•20dB/dekade for alle frekvenser større enn null. Tilsvarende er faseforskyvinga lik!1•90° for alle frekvenser større enn null.

Amplitudeforholdet

Vi får ei rett linje som synker med !1•20 dB/dekade. For å bestemme denne linjaentydig så må vi finne et punkt på denne linja. Et godt valg er å velge frekvensen

chvor T = K. Da blir *h* = 20 log 1 = 0 dB. Dette blir da kryssfrekvensen, T forintegratoren.

Faseforskyvinga

Faseforskyving blir !1•90° for alle frekvenser.

Eksempel 6.2.4a: Integrator


(6,16)

Tegn først opp aysmptotiske frekvenskurver i Bodediagrammet og skisser deretter devirkelige kurvene.

Løsning:

a) Sammenligner med standardformen og finner at K=10.

cb) Regner ut kryssfrekvensen: T =K=10 [rad/s].

c) Tegner amplitudeforholdet som ei rett linje med stigningsforholdet !1•20dB/dekade og krysser 0 dB-linja ved frekvensen 10 rad/sek. Tegner deretterfaseforskyvinga som ei rett linje lik !1•90° ved alle frekvenser. For integratorener hjelpelinjene lik de virkelige kurvene. Se figur 6.13.


Figur 6.13 Amplitudeforhold og faseforskyving for en integrator.

Eksempel 6.2.4b: Dobbeltintegrator


(6,17)

Tegn først opp aysmptotiske frekvenskurver i Bodediagrammet og skisser deretter devirkelige kurvene.

Løsning:

a) Som for en vanlig integrator blir knekkfrekvensen også her lik null. Nevneren erav 2. orden. Det betyr at n=!2.

b) Kryssfrekvensen er den frekvensen som gjør at amplitudeforholdet blir lik null i dB

og 1 i vanlig tallverdi: K/T =1. Det gir [rad/s].2

c) Tegner amplitudeforholdet som ei rett linje med stigningsforholdet !2•20dB/dekade = !40 dB/dekade og krysser 0 dB-linja ved frekvensen 5 rad/sek.Tegner deretter faseforskyvinga som ei rett linje lik !2•90° = !180° ved allefrekvenser. For integratoren er hjelpelinjene lik de virkelige kurvene. Se figur6.14.

Figur 6.14 Amplitudeforhold og faseforskyving for en dobbeltintegrator.

5.2.5 Andre ordens prosess med komplekse poler

(6,18)

I kapittel 4 ble det vist at denne andre ordens prosessen med komplekse poler har

polene: . Knekkfrekvensen er lik absoluttverdiene til

k 0 0polene dvs T =T . Ved knekkfrekvensen er T/T =1.

Erstatter først s med jT. Deretter settes overføringsfunksjonen opp på polar formog vi finner fram til amplitudeforholdet og faseforskyvinga:

(6,19)


Amplitudeforholdet

Ser først på amplitudeforholdet ved lave frekvenser, ved høye frekvenser og vedknekkfrekvensen.

(6,20)

0Ved lave frekvenser så vil 1 tallet dominere over alle ledd som inneholder T/T .Dette gjør at amplitudeforholdet her er tilnærma lik 20 log K og asymptoten er eivannrett linje.

0Ved høye frekvenser vil leddet som inneholder (T/T ) dominere. Nevneren er av2

2. orden. Dette gjør at stigningsforholdet for asymptoten blir !2•20 dB/dekade=!40 dB/dekade.

0Når T=T så blir amplitudeforholdet 20 log K ! 20 log (2 .).

Hjelpelinjene for amplitudeforholdet blir først ei rett linje med verdien 20 log

0K fram til knekkfrekvensen, T . Fra knekkpunktet blir det ei rett linje medstigningsforhold !2•20 dB/dekade. Den virkelige verdien vedknekkfrekvensen ligger ! 20 log (2 .) over knekkpunktet.

Den virkelige kurva avhenger av verdien på dempefaktoren, .. Se figur (6,21).

Faseforskyvinga

(6,21)

Ved lave frekvenser (dvs før knekkfrekvensen) er faseforskyvinga 0°. Ved høyefrekvenser (dvs etter knekkfrekvensen) er faseforskyvinga !2•90°= !180°. (n=!2pga andre ordens ledd i nevner.)

Figur 6.15 Frekvensanalyse av 2. ordens prosess med komplekse poler og

0varierende .: 0,1 0,2 0,4 0,7 og 1,0. (K=0,5 og T =1 rad/s)

0Ved knekkfrekvensen er T=T og vi får ! arctan(2./0). Dette gir arctan tiluendelig. Faseforskyvinga ved knekkfrekvensen blir dermed !90°.

Hjelpelinjene for faseforskyvinga blir ei linje lik 0° fram til knekkfrekvensen,

0T , og ei rett linje lik !2•90°=!180° etter knekkfrekvensen. Vedknekkfrekvensen er faseforskyvinga !90°. Den virkelige faseforskyvingavarierer også med dempekonstanten, .. Se figur (6,21).

For å få tegna en helt skikkelig faseforskyvingskurve er det nødvendig å regne ut

0noen få verdier. F eks (T/T )=0.5 gir en fasevinkel lik ! arctan( 4./3).

Eksempel 6.2.5: Andre ordens prosess


(6,22)


Figur 6.16 Amplitudeforhold for en andre ordens prosess med komplekse poler.

Tegn først opp aysmptotiske frekvenskurver i Bodediagrammet og skisser deretter devirkelige kurvene. (Med asymptotiske frekvenskurver menes at vi bare tegner oppaymptotene (hjelpelinjene).)

Løsning:

a) Må først få overføringsfunksjonen på standardform. Dette kan foregå ved direktesammenlikning med standardformen. Det første som må sjekkes er omkonstantleddet i nevneren er lik 1. I vårt tilfelle er den 2. Det er derfor nødvendigå dividere både teller og nevner med 2. Da blir overføringsfunksjonen:

(6,23)

Ved å sammenlikne tellerne ser vi at K=3,1. Videre sammenlikning av nevnerne

0 0 0gir 1/T =100 dvs T =0,1 og 2./T =4 dvs .=0,2.2

b) Regner ut amplitudeforholdet ved lave frekvenser: 20 log 3,1 = 9,8 dB. Finner

k 0knekkfrekvensen: T =T =0,1 [rad/s].

c) Tegner amplitudeforholdet som ei rett linje med verdien 9,8 dB fram tilknekkfrekvensen, 0,1 rad/s. Fra knekkpunktet går det ei rett linje som synker med40 dB/dekade. Se figur 6.16.

d) Faseforskyvinga er 0° fram til knekkfrekvensen og deretter er den !180°. Se figur6.17.

Figur 6.17 Faseforskyving for en 2. ordens prosess med komplekse poler.

e) Den virkelige kurva passerer !20 log 2. =!20 log 2"0,2=8 dB over knekkpunktet.Tegner det virkelige amplitudeforholdet som ei linje som starter langs den førstehjelpelinja til den nærmer seg knekkfrekvensen. Deretter stiger den opp og går i enbue gjennom punktet 8 dB over knekkpunktet før den går ned til asymptoten somskrår nedover med 40 dB/dekade. NB! Maksverdien inntrer ved litt lavere frekvensenn knekkfrekvensen. Se figur 6.16.

f) Faseforskyvinga starter langs 0°!linja. Ved knekkfrekvensen er den !90° før densvinger seg ned til !180°. For å få et litt bedre bilde av faseforskyvinga kan det

0være lurt å regne ut faseforskyvinga ved et eller flere punkter rundt T . Merk også

0 ksymmetrien for faseforskyvinga. Kan f eks regne ut når T=0,5T =0,5T =0,05 rad/s.Da er faseforskyvinga: !arctan(4./3)=!arctan(4"0,2/3)=!15°. Bruker det som ethjelpepunkt under opptegninga. Se figur 6.17.

5.2.6 Tidsforsinkelse

(6,24)

Tidsforsinkelsen har ingen poler eller nullpunkter og dermed heller ingenknekkfrekvenser. Vi kan derfor ikke tegne opp noen asymptoter fortidsforsinkelsen. Det er i stedet nødvendig å regne ut faseforskyvinga vedforskjellige frekvenser for å få tegna opp tidsforsinkelsen i Bodediagrammet.Erstatter først s med jT. Deretter settes overføringsfunksjonen opp på polar formog vi finner fram til amplitudeforholdet og faseforskyvinga:


(6,25)

Av dette ser vi at amplitudeforholdet alltid er 0 dB. Faseforskyvinga er direkteproporsjonal med tidsforsinkelsen og frekvensen. Fordi det brukes logaritmiskfrekvensskala i Bodediagrammet så blir faseforskyvinga ei kurve som heller stadigbrattere nedover.

Det er greit å klare seg uten hjelpelinjer for faseforskyvinga til en tidsforsinkelse.Det som trengs er å kjenne en verdi på kurva. Velger frekvensen som gjør at

JTJ=1. Dvs T =1/J. Ved denne frekvensen er faseforskyvinga lik !1

Jradian=!57°. Hver gang vi dobler frekvensen i forhold til T så dobles

Jfaseforskyvinga. Hver gang frekvensen halveres i forhold til T så halveresfaseforskyvinga.

Eksempel 6.2.6a: Tidsforsinkelse


(6,26)

Tegn opp de virkelige frekvenskurver i Bodediagrammet direkte.

Løsning:

a) Sammenlikner med standardformen og finner J=5.

Jb) Regner ut T =1/J=1/5=0,2[rad/s]

c) Amplitudeforholdet er 0 dB for alle frekvenser. Tegner opp dette som ei rett linje.

Jd) Starter faseforskyvingskurva med å tegne opp !57° ved frekvensen T = 0,2 rad/s.Deretter avsettes punkter hvor en halvering av frekvensen gir en halvering avfaseforskyvinga og en dobling av frekvensen gir en dobling av faseforskyvinga. Sefigur 6.18.

Figur 6.18 Amplitudeforhold og faseforskyving for tidsforsinkelse.

5.2.7 Sammensatte prosesser

De aller fleste overføringsfunksjoner vil være et produkt av delprosesser hvor hverdelprosess er en av de fem standardtypene vi har sett på, eller en variant av disse.Når amplitudeforholdene til hver delprosess er i desibel så blir amplitudeforholdetfor hele prosessen lik summen av amplitudeforholdet til hver enkelt delprosess.Tilsvarende blir faseforskyvinga til hele prosessen lik summen av faseforskyvingatil hver enkelt delprosess. Dette er vist under for en prosess som er produktet avtre delprosesser:

(6,27)

Amplitudeforholdet i dB blir summen av amplitudeforholdet for hver delprosess:

(6,28)


Faseforskyvinga blir summen av faseforskyvinga for hver delprosess:

(6,29)

Ved opptegning av asymptotene summerer vi bidraget fra hver enkelt delprosess.

Eksempel 6.2.7A: Sammensatt prosess


(6,30)

Tegn først opp asymptotiske frekvenskurver og deretter de virkelige frekvenskurver iBodediagrammet.

Løsning:

k1a) Finner knekkfrekvensene og sorterer i stigende rekkefølge: T =1/10=0,1 [rad/s]

k2og T =1/2=0,5 [rad/s].

b) K=4. Fram til den første knekkfrekvensen er det asymptotiske amplitudeforholdetbestemt av konstantleddet. Tegner derfor opp asymptotisk amplitudeforhold iBodediagrammet for dette leddet. (20 log 4 = 12 dB) Se figur 6.19.

Figur 6.19 Amplitudeforhold og faseforskyving for sammensatt prosess med totidskonstanter. Asymptoter og virkelige kurver.

k1c) Etter første knekkfrekvens (T =1/10=0,1 [rad/s]) kommer leddet 1+10s i nevnereninn med et bidrag til asymptoten på !20 dB/dekade. Det andre leddet 1+2s inevneren gir ikke noe bidrag til det asymptotiske amplitudeforholdet før vi kommer

k2til knekkfrekvensen for dette leddet, dvs når vi kommer til T =1/2=0,5 [rad/s]. Herbidrar det andre leddet med ytterligere !20 dB/dekade. Siden asymptoten til detførste leddet allerede synker med 20 dB/dekade ved denne frekvensen blirresultanten en asymptote som synker med summen av disse; dvs 40 dB/dekade. Sefigur 6.19.

d) Det virkelige amplitudeforholdet følger asymptotene, men tar innersvingen. Liggerknekkfrekvensene langt fra hverandre så passerer den riktige kurva ca 3 dB underhvert knekkpunkt. Ligger knekkfrekvensene veldig tett passerer kurva nesten 6 dBunder knekkpunktene. Ved skissemessig opptegning tar vi dette på skjønn. Veden mer nøyaktig opptegning bør amplitudeforholdet regnes ut for noen fåfrekvenser. I vårt tilfelle blir formelen:

(6,31)

e) Tegner deretter opp asymptoten til faseforskyvinga for konstantleddet dvs 0° fram

k1til den første knekkfrekvensen, T =1/10=0,1 [rad/s]. Se figur 6.19.

f) Asymptoten til faseforskyvinga til det første leddet i nevneren 1+10s kommer innmed !90° etter den første knekkfrekvensen, mens bidraget til asymptoten til detandre leddet 1+2s først begynner å gjøre seg gjeldende etter knekkfrekvensen til

6.3 Sammendrag 25

k2dette leddet: T =1/2=0,5 [rad/s]. Her bidrar det andre leddet med en asymptote på!90°. Totalasymptoten havner dermed nede på !180° fordi asymptoten til detførste leddet allerede er nede på !90° Se figur 6.19.

g) Den virkelige faseforskyvinga starter på 0° og skal ende på !180°. Dersomknekkfrekvensene er langt fra hverandre passerer kurva midtveis mellomasymptotene ved de to knekkfrekvensene (!45° ved 0,1 rad/s og !135° ved 0,5rad/s). Er knekkfrekvensene svært nær passerer kurva nærmere !90° ved de toknekkfrekvensene. I vårt tilfelle blir det ca !55° ved 0,1 rad/s og !125° ved 0,5rad/s. Se figur 6.19. For en skikkelig opptegning er det nødvendig å regne utfaseforskyvinga ved noen få frekvenser. I dette eksempelet blir formelen:

(6,32)

5.3 Sammendrag

I dette kapitlet har vi sett på hvordan vi kan ta opp den stasjonære frekvensresponsen til enprosess ved å sende et sinusformet signal inn på prosessen og så måle signalet som kommer utav prosessen. Frekvensresponsen karakteriseres av amplitudeforhold og faseforskyving somfunksjon av frekvensen.

Resultatet kan tegnes opp i et Bodediagram

Dersom vi kjenner overføringsfunksjonen for prosessen så kan vi erstatte s med jT og regne utfrekvensresponsen. Manuell opptegning av frekvensresponsen i Bodediagrammet kan gjøres vedhjelp av et sett hjelpelinjer (asymptoter) og krever lite regning.

5.3.1 Ord og begreper

AmplitudeforholdForholdet mellom amplituden på et sinusformet utsignal og amplituden til detsinusformete innsignalet. Som oftest er vi interessert i amplitudeforholdet som funksjonav frekvensen. I Bodediagrammmet tegnes amplitudeforholdet opp i dB.

Asymptotisk frekvensresponsHjelpelinjer som brukes for opptegning av amplitudeforholdet (i dB) og faseforskyvinga(i grader) som funksjon av frekvensen i Bode-diagrammet.

Bodediagram

Semilogaritmisk diagram hvor logaritmen til frekvensen blir brukt som horsontal akse,mens den verikale aksen er lineær. I Bodediagrammet tegnes amplitudeforholdet opp idB og faseforskyvinga i grader. I reguleringsteknikken er frekvensen i radianer pr sekund.Bodediagrammet blir også kalt AFF-diagram (Amplitude-Fase-Frekvens-diagram)

DekadeEn tidobling av frekvensen.

FaseforskyvingAvstanden i tid mellom innsignalet og utsignalet gir tidsforsinkelsen ved en bestemtfrekvens. Dersom denne tidsforsinkelsen måles i grader relativt til at en periode er 369grader, så framkommer faseforskyvinga ved denne frekvensen. Som oftest er viinteressert i faseforskyvinga som funksjon av frekvensen.

FasemarginEt mål på hvor mye ekstra faseforskyving reguleringssløyfa tåler før den blir ustabil.Større fasemargin gir normalt roligere reguleringssløyfe.

FrekvensresponsAmplitudeforhold og faseforskyving som funksjon av frekvensen. Dette tegnes ofte oppi Bodediagram eller Nyquistdiagram. Frekvensgangen brukes noen ganger som enalternativ betegnelse på frekvensresponsen.

KnekkfrekvensFrekvens hvor den asymptotiske frekvensresponsen får en knekk. Knekkfrekvensene erlik absoluttverdiene til nullpunktene og polene i overføringsfunksjonen. De opptrer vedudempa egenfrekvenser for andre ordens ledd med komplekse poler og ved den inverseav tidskonstanten for første ordens ledd. For integratorledd er knekkfrekvensen null.

KnekkpunktPunkt på den asymptotiske frekvensresponsen hvor knekker opptrer.

OktavEn dobling av frekvensen.

6.3 Sammendrag 27

Asymptotiske forløp for noen typiske prosesser

Overføringsfunksjon Asymptotiskamplitudeforhold

Asymptotiskfaseforskyving

(virkelige kurver)

Amplitudeforhold 26Asymptoter 6Asymptotisk frekvensrespons 26Bodediagram 26Dekade 5, 26Faseforskyving 26Fasemargin 26Frekvensanalyse 1Frekvensrespons 26Knekkfrekvens 6, 26Knekkpunkt 26Knekkpunktet 6Oktav 5, 26

Documents

Dette er et utdrag fra kapittel 6 i boka ... 14V Matte2/frekvensanalyse.pdf · at den virkelige kurva passerer 3 dB under knekkpunktet. Disse to rette linjene kan brukes som hjelpelinje