DEVETGODI[NO OSNOVNO OBRAZOVANIE · 2018. 8. 31. · prirodni broevi 23 9. Instrumenti za pribirawe podatoci 26 10. Sobirawe 27 11. Odzemawe 29 12. Zavisnost na zbirot i razlikata

DEVETGODI[NO OSNOVNO OBRAZOVANIEDEVETGODI[NO OSNOVNO OBRAZOVANIE

Skopje, 2011Skopje, 2011

JJOVO STEFANOVSKIOVO STEFANOVSKINAUM CELAKOSKINAUM CELAKOSKI

Drag u~eniku!

Ti si ve}e vo {esto oddelenie i si navlezen vo tajnite na matematikata.So matematikata se sre}ava{ sekojdnevno: na u~ili{te, doma, pa duri i vo tvoite

igri.So ovaa kniga }e nau~i{ novi interesni sodrìni od broevite. ]e stekne{ novi soz-

nanija od geometrijata. Vo temata Merewe }e gi izu~i{ mernite edinici za pove}eveli~ini i operaciite so niv.

Knigava e podelena na ~etiri tematski celini. Tematskite celini zapo~nuvaat sonivnata sodrìna, a nastavnite edinici vo niv se numerirani.

Vo nastavnite edinici ima oznaki vo boja i preku niv se ispi{ani poraki, aktivnos-ti, obvrski i drugi sugestii, i toa:

Nastavnite edinici zapo~nuvaat so ne{to {to ti e pozna-to. Treba da se potseti{ i da gi re{i{ dadenite barawa. Toa}e ti koristi pri izu~uvaweto na novoto vo lekcijata.

So ovie oznaki nastavnata edinica e podelena na delovi(porcii) koi se odnesuvaat na novi poimi.

So vakvite oznaki se ozna~eni aktivnostite, pra{awata izada~ite {to }e gi re{ava{ samostojno ili so pomo{ na tvo-jot nastavnik. Vo ovoj del go u~i{ novoto vo lekcijata, zatoatreba da bide{ vnimatelen i aktiven za podobro da go nau~i{i razbere{. Najbitnoto e oboeno so òlta boja.

Najbitnoto od lekcijata e izdvoeno vo vid na pra{awa,zada~i ili tvrdewa. Toa treba da go pameti{ i da gokoristi{ vo zada~i i prakti~ni primeri.

Ovoj del sodrì pra{awa i zada~i so koi moè{ da seproveri{ dali pogolemiot del od izu~enoto go razbira{ za damoè{ da go primenuva{ i da go koristi{ vo sekojdnevniotìvot.

Treba redovno i samostojno da gi re{ava{ ovie zada~i.So toa podobro }e go razbere{ izu~enoto, a toa }e ti bideod golema polza.

Potrudi se da gi re{ava{ zada~ite i problemite vo ovojdel. So toa }e znae{ pove}e i }e bide{ pobogat so idei.

Koga }e naide{ na te{kotii pri izu~uvaweto na matematikata ne otkaùvaj se,obidi se povtorno, a upornosta }e ti donese rezultat i zadovolstvo.

]e n¢ raduva ako so ovaa kniga ja zasaka{ matematikata pove}e i postigne{ odli~enuspeh.

Od avtorite

Potseti se!

Problemi

Zada~i

Treba da znae{

1.

2.

3. ...

...,A B

Proveri se?

3

1. Mnoèstvo. Na~ini na zapi{uvawe 4

2. Broj na mnoèstvo. Kone~ni mnoèstva 7

3. Ekvivalentni mnoèstva. Ednakvi mnoèstva. Podmnoèstvo 9

4. Presek, unija i razlika na mnoèstva 12

5. Podreden par. Dekartov proizvod 15

6. Niza od prirodnite broevi 177. Dekaden broen sistem 208. îtawe i zaokruùvawe na

prirodni broevi 239. Instrumenti za pribirawe

podatoci 2610. Sobirawe 2711. Odzemawe 2912. Zavisnost na zbirot i

razlikata od promenata na komponentite 31

13. Mnoèwe 3414. Delewe 37

15. Zavisnost na proizvodot i koli~nikot od promenata na komponentite 40

16. Broen izraz. Ravenki 4317. Aritmeti~ka sredina 4718. Delivost na prirodni broevi.

Delivost na zbir i razlika 4819. Priznaci za delivost so

2 i so 5 5120. Priznaci za delivost so

3 i so 9 5321. Priznak za delivost so 4 5522. Prosti i sloèni broevi.

Pretstavuvawe sloèn broj kako proizvod od prosti mnoìteli 57

23. Zaedni~ki delitel. Najgolem zaedni~ki delitel 60

24. Zaedni~ki sodràtel. Najmal zaedni~ki sodràtel 63

25. Slikoven dijagram.Stolbest dijagram 66

26. U~e{e za prirodni broevi.Proveri go svoeto znaewe 68

TEMA 1. PRIRODNI BROEVI

MMNO@ESTVO. NAÎNI NA ZAPI[UVAWE4

Potseti se!

Na crteòt se pretstaveni mnoès -tvoto A i mnoèstvoto V so Venovidijagrami.

A V

Elementite na mnoèstvoto A secvetovi.

[to se elementite na mnoèstvoto V?

a

bv

g

Iskaì usno edno mnoèstvo A i zapi{i gi negovite elementi.

Na crteòt e pretstaveno mnoèstvoto S so Venov dijagram.

Iskaì dva objekta {to ne se elementi na tvoeto mnoèstvo A.

Koi broevi se elementi na mnoèstvoto S?

Neka so D e ozna~eno mnoèstvotood site denovi vo sedmicata.

Kolku elementi ima mnoèstvoto D?

Dali mesecot april e element namnoèstvoto D?

Zapi{i gi site elementi na mno-èstvoto D.

Da zapomnam! Edno mnoèstvo e opredeleno ako se znae koi sesite negovi elementi.

1

543

7 26 S

Mnoèstvoto S moè da se zapi{e na tabelaren na~in(so redewe na elementite), taka {to }e se zapi{at me|uzagradi site negovi elementi, odvoeni so zapirki, t.e. C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

1

2

3

1

Zapi{i go mnoèstvoto P so Venov dijagram.Zapi{i go mnoèstvoto R na tabelaren na~in, taka {to broevite }e gi podredi{ po~nuvaj}i od najmaliot.

Zapi{i go mnoèstvoto R na tabelaren na~in, taka {to broevite }e gi podredi{ po~nuvaj}i od najgolemiot.

Elementi na edno mnoèstvo R se broevite: 10, 6, 2, 8 i 4.4

A

B

5

6

7

8

5

Zapi{i go na tabelaren na~in mnoèstvoto A od bukvi {to se upotrebeni vozborot masa.

Zapi{i go mnoèstvoto A na tabelaren na~in.

Pri zapi{uvaweto na mnoèstvo na tabelaren na~in, redosledot na elementite ne e biten.

Ako bukvata x se upotrebi kako zamena za imiwata na ~leno -vite od semejstvoto Acevski, mnoèstvoto A moè da se zapi{e:

A={x | x e ~len na semejstvoto Acevski}.Vaka zapi{ano mnoèstvoto A velime deka e pretstaveno na opisen na~in.

Zapi{i go mnoèstvoto Y od site samoglaski vo makedonskata azbuka.

so Venov dijagram; na tabelaren na~in.

Mnoèstvoto S={x | x e cifra od brojot 2638} zapi{i go:

Zapi{i go mnoèstvoto R na tabelaren na~in.

So koj od slednite zapisi mnoèstvoto R e pretstaveno na opisen na~in?

a) {x | x >19}.b) {x | x e neparen broj od vtorata desetka}.v) {x | x e priroden broj od vtorata desetka}.

Na crteòt e dadeno mnoèstvoto R so Venov dijagram.

1115

1917

13 R

Da zapomnam! Mnoèstvoto {m, a, s, a}pra vilno se zapi{uva {m, a, s}. Istiteelementi vo mno ̀ estvoto se zapi{uvaatsamo edna{.

Semejstvoto Acevski go so~inuvaat: tatkoto Petar, majkataBiljana, sinot Dragan i }erkata Ana.

Neka so A e ozna~eno mnoèstvoto od site ~lenovi na semej -

stvoto Acevski.

9 Razgledaj go mnoèstvoto M zapi{ano so Venoviot dijagram.Elementi na mnoèstvoto M se bukvite od zborot klupa.

ka

pu

lM

„Bukvata k e element na mnoèstvoto Mili k mu pripa|a na M“„Bukvata a e element na mnoèstvoto Mili a mu pripa|a na M“„Bukvata e ne e element na mnoèstvoto Mili e ne mu pripa|a na M“

k ∈ M

a ∈ M

e ∉ M

Velime: Zapi{uvame:

V

10

11

6

Na crteòt e pretstavena edna otse~ka a i to~kite: A, B, C,N, L, K i S.

Treba da znae{

So koristewe na znacite ∈ ili ∉ zapi{i to~ni tvrdewa za bukvite i, s, l,u, p i mnoèstvoto M.

Zapi{i to~ni tvrdewa za to~kite ozna~eni na crteòt iza otse~kata a so koristewe na znacite ∈ ili ∉.Nacrtaj prava p i ozna~i to~ki R, P, S i L takvi {to: R ∉ p; P ∈ p; S ∈ p i L ∉ p;

S

A

a

L

S

V

K

N

Da navede{ primeri namnoèstva;

da pretstavi{ dadeno mno -èstvo so Venov dijagram,na opisen i na tabelarenna~in;

pravilno da gi koristi{znacite ∈ i ∉.

Koga edno mnoèstvo e opredeleno?

Zapi{i go mnoèstvoto K ~ii elementi se broe-vite: 1, 3, 5, 7 i 9:

Koj broj od prvata desetka e element, a koj ne eelement na mno ̀ estvoto K? Zapi{i go toa so koris-tewe na zna cite ∈ ili ∉.

so Venov dijagram; na tabelaren na~in;

na opisen na~in.

Zada~i

e

pb

A V

Na crteòt se dadeni mnoèstvataA i V.

1.

ka

u

Koi bukvi se elementi na mnoès -tvoto A?

Od bukvite {to se elementi na mnoèstvoto V sostavi zbor (ime nadrvo).

Zapi{i go mnoèstvoto A na tabelaren na~in, a mnoèstvoto V na opisen na~in.

So koristewe na znacite ∈ ili ∉zapi{i koja od bukvite: e, u, b, k e ele-ment na mno ̀ estvoto V.

Nacrtaj edna otse~ka i ozna~i ja so a.

Ozna~i to~ki M, N, C, D i Y taka {to:M ∈ a, N ∉ a, C ∈ a, D ∈ a i S ∉ a.

2.

So Venov dijagram zapi{i mnoèstvaA i V takvi {to:1 ∈ A, 2 ∈ A, 2 ∈ B, 3 ∈ A, 4 ∈ A, 4 ∈ B,5 ∈ A, 6 ∈ A, 6 ∈ B, 7 ∈ B, 8 ∈ A, 8 ∈ Bi 9 ∈ B.

3

Proveri se!

Potseti se!

7BBROJ NA MNO@ESTVO. KONE^NI MNO@ESTVA

Mnoèstvoto A e dadeno so Venovdijagram.

Od koi elementi e sostaveno mno -èstvoto A?Izbroj gi elementite na A.

Kolku elementi ima mnoèstvoto A?

Razgledaj gi mnoèstvata A, V i Si odgovori na pra{awata.

21

Od koi elementi e sostaveno sekoeod mnoèstvata?

Kolku elementi ima sekoe od mno -

èstvata A, V i S?

a cd

b

A

Voo~iv! Mnoèstvoto A ima 3elementi, V ima 7 elementi imnoèstvoto S ima 99 ele-menti.

Brojot na elementite na dadeno mnoèstvo A se vika broj na A i se ozna~uva so δA.

Zapomni!

Voo~i i zapomni!

Kolku elementi ima mnoèstvoto devoj~iwa vo tvojata paralelka?

Kolku vkupno u~enici ima mnoèstvoto mom~iwa vo tvojata paralelka?

Kolkav e brojot na site u~enici vo tvojata paralelka?

Na sekoe od ovie mnoèstva mu go odredi brojot na negovite elementi.

Site ovie mnoèstva se kone~ni mnoèstva.

2

Najvisokata planina vo Republika Makedonija eKorab. Vrvot na Korab e visok 2 764 metri.

Kolku elementi ima mnoèstvoto planini voRepublika Makedonija {to se povisoki od 3 000metri?

3

4A = {juni, juli, januari}C = {x | x e mesec vo godinata ~ie ime zapo~nuva so bukvata l}.

Odredi go brojot na mnoèstvata A, V i S.

Maj

V

A

B

A = {a, b, c};B = {x | x e den vo sedmica};C = {x | x e priroden broj pomal od 100}.

5

8Voo~uva{ deka mnoèstvoto planini od zada~ata 3 i mnoèstvoto S odzada~ata 4 nemaat nitu eden element.

Mnoèstvoto {to nema nitu eden element se vika prazno mnoèstvo i seozna~uva so znakot ∅. I praznoto mnoèstvo se smeta za kone~no mnoèstvo.

M = {x | x e planina vo R. Makedonija povisoka od 3 000 metri} = ∅.δ∅ = 0.

Navedi eden primer za prazno mnoèstvo.

[to e broj na mnoèstvo;

da navede{ primeri zakone~no i za praznomnoèstvo.

Zapi{i primer za:

kone~no mnoèstvo S takvo {to δS = 3;

mnoèstvo Y takvo {to δY = 0.

ìteli na Prilep;

yvezdi na neboto;

zrnca ìto vo edna vre}a;

broevi {to moè da se zapi{at so cifrata 1?

Zada~i

Odredi go brojot na elementite namnoèstvoto:

L = {2, 4, 6, 8, 10}S = {x | x e u~enik vo V oddeleniepovisok od 5 metri}K = ∅

1. Odredi go brojot na elementite na sekoeod mnoèstvata A i V {to se dadeni soVenovi dijagrami.

2.

Odredi go brojot na elementite na sekoeod mnoèstvata A = {2, 3, 4, ..., 99} i B = {x | x e priroden broj i 8 ≤ x < 25}.

3.

Tvoi druga ri koi bile na go di {enodmor na pla netata Mars.

Problem

Dali e kone~no mnoèstvoto:

Treba da znae{ Proveri se!

1A V2 5

7436

Potseti se!

9

Odredi go brojot na elementitena mnoèstvoto:

A = {2, 4, 6, 8, 10}

B = {1, 3, 5, 7, 9}

C = {10, 20, 30, 40, 50}.

[to zabeleùva{?

EKVIVALENTNI MNO@ESTVA. EDNAKVI MNO@ESTVA. PODMNO@ESTVO

Y

T

Odredi go brojot na elementite namnoèstvata Y i T.

Koj od znacite treba da se zapi{e

vo kruk~eto na zapisot δT δY?

Zapi{i go mnoèstvoto A = {x | x e bukva od zborot DEBAR} i mnoèstvoto B = {x | x e neparen broj od prvata desetka} na tabelaren na~in.

Odredi gi δA i δV, a potoa sporedi gi.

Zapi{i mnoèstvo S {to ima broj na elementi ednakov na δA, odnosno δV.

Mnoèstvata {to imaat ednakov broj elementi sevikaat istobrojni ili ekvivalentni mnoèstva.

31

2

Ako mnoèstvata A i V se ekvivalentni,zapi{uvame: A ~ V.

3

Zapi{i go tabelarno mnoèstvoto A ~ii elementi se bukvite na zborotme~ka i mnoèstvoto V ~ii elementi se bukvite na zborot kam~e.

Mnoèstvata A i V imaat ist broj elementi: δA = δV.

Isto taka, mnoèstvoto A e sostaveno od istite elementi, kako i mnoèstvoto V.

4

Voo~i!

A

[TO SE BUNI[,

MNO@ESTVATA SE

EKVIVALENTNI!

B

Odredi go brojot na sekoe od mnoèstvata:B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {a, e, i, o, u}, D = {100}, E = {M, A, J}, F = {Δ} i G = {M, A, T, E, I, K}.

Zapi{i gi ekvivalentnite mnoèstva so znakot “~”Zapi{i mnoèstvo {to }e bide ekvivalentno so mnoèstvoto G.

10Dve mnoèstva A i V se ednakvi ako se sostaveni od isti elementi.

Zapi{uvame: A = V

Dali se ednakvi mnoèstvataA = {1, 3, 5, 7} i B = {1, 2, 5, 7}?

Koi od slednive mnoèstva se ednakvi me|u sebe: A = {x | x > 5 i x < 10}, B = {8, 7, 6, 9}, C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, D = {6, 7, 8, 9}?

Razgledaj go crteòt! Elementi na mnoèstvotoM se rozi, a na mnoèstvoto S se crveni rozi.

Dali sekoj element na mnoèstvoto S e ele-ment na mnoès tvoto M?

Za dve mnoèstva A i V {to ne seednakvi, pi{uvame: A ≠ V.

5

no: {s, t, o, l} = {l, o, s, t}

6

7S

V M

Za mnoèstvoto S velime deka e podmnoèstvo na mnoèstvoto M, ako sekoj ele-ment na mnoèstvoto S e element na mnoèstvoto M. Zapi{uvame: S ⊆ M.

Ako mnoèstvoto S e podmnoèstvo na mnoèstvoto M i M ima elementi {to ne mupripa|aat na mnoèstvoto S, toga{ S se vika vistinsko podmnoèstvo na M.Zapi{uvame S ⊂ M.

Mnoèstvoto Y e dadeno so Venov dijagram.Dali mnoèstvoto R e podmnoèstvo na mno-èstvoto Y? Obrazloì go svojot odgovor!Dali mnoèstvoto K e vistinsko podmnoè-stvo na mnoèstvoto Y? Obrazloì! Koe od slednite tvrdewa e to~no: P ⊂ S; S ⊆ S i S ⊂ S?

13

4

2

6

Y

R

K 5

7

8

Sekoe mnoèstvo e podmnoèstvo samo na sebe. A ⊆ A.

Primer: {a, b, c} ⊆ {a, b, c}, zatoa {to sekoj element od prvoto mnoèstvo e elementna vtoroto mnoèstvo.

Praznoto mnoèstvo e podmnoèstvo na sekoe mnoèstvo. ∅ ⊆ A.

Voo~i!

11

Da navede{ primeri za ednakvi, odnosnoekvivalentni mnoèstva;

da razlikuva{ ekvivalentni mnoèstvaod ednakvi mnoèstva;

da znae{ {to e podmnoèstvo i {to evistinsko podmnoèstvo;

da odredi{ podmnoèstvo od dadenomnoèstvo.

Dadeno e mnoèstvoto P = {5, 10, 15, 20}.

Zapi{i mnoèstvo K ekvivalentno so mnoèstvoto R.

Zapi{i mnoèstvo L ednakvo so mnoè-stvoto R.

Zapi{i dve podmnoèstva na mnoè-stvoto R.

Treba da znae{ Proveri se!

Zada~i

Na crteòt gi voo~uva{ mnoèstva-ta D i N.

1. Neka U e mnoèstvoto u~enici vo tvo -eto u~ili{te, R e mnoèstvoto u~enicivo {esto oddelenie, K e mnoèstvotou~e nici od tvojata u~ilnica, a elemen-tot y si ti, u~eniku.

So Venov dijagram pretstavi gi mno-èstvata U, P, K i elementot y.

2.

3.

7 9 5 1

N

D

3 28 6

4 10

Zapi{i go mnoèstvoto D natabela ren na~in.

Zapi{i go mnoèstvoto N na opisenna~in.

Dali mnoèstvata D i N se ekviva-lentni? Zo{to?

[to e to~no za D i N: D ⊆ N ili N ⊆ D? Zo{to?

Ako y ∈ K i K ⊆ R, toga{ y ∈ R. Dali eto~no? Zo{to?

4. Zapi{i gi site podmnoèstva namnoèstvoto A = {a, b, c}.

DosetkaI ova e matemaika!

Vo edna prodavnica za metalni proizvodi, me|u kupuva~ot i proda-va~ot se vodel sledniot razgovor:"Kolku pari e eden?#, pra{al kupuva~ot."Deset denari#, odgovoril prodava~ot."Za kolku pari moàm da kupam dvanaeset?#, pra{al kupuva~ot."Dvaeset denari#, odgovoril prodava~ot."Dobro, dajte mi toga{ trista i dvanaeset#, kaàl kupuva~ot."Toa }e ve ~ini, gospodine, trieset denari.# [to kupil kupuva~ot?

B

12

Na crteòt se dadeni mnoèstvata A, V i D.

Zapi{i gi mnoèstvata A, V i D na tabela-ren na~in.

3 A VD

1 3

5 7

9

2 6

4 10

8

Presek na dve mno ̀ estva A i V e mnoèstvoto S obrazuvano od elementite {to sezaedni~ki za A i V.Zapi{uvame: C = A ∩ V i ~itame: „S e ednakvo na A presek V“.

x ∈ A ∩ V, zna~i: x ∈ A i x ∈ V.

Neka A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 5, 7} i C = {1, 4, 5}.

Opredeli gi mnoèstvata: A ∩ B, A ∩ C i B ∩ A.Dali mnoèstvata A ∩ B i B ∩ A se ekvivalentni? Dali se razli~ni?

Pretstavi gi mnoèstvata A, V i S so Venov dijagram, taka {to da moè da se odredat elementite na nivnite preseci.

1

2

Pretstavi gi mnoèstvata A i V soVenov dijagram.

Dadeni se mnoèstvata A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {3, 4, 5, 6}.

Mnoèstvoto zaedni~ki elementi naA i V ozna~i go so S.

Mnoèstvoto S pretstavi go natabelaren na~in.

A

PRESEK, UNIJA I RAZLIKA NA MNO@ESTVA4Potseti se!

Spored crteòt A e mnoèstvocrveni figuri, V e mnoèstvotriagolnici, a S e mnoèstvocrveni triagolnici.

Zo{to mnoèstvoto S e presekna mnoèstvata A i V?

A S V

Voo~i go re{enieto. C = {3, 4, 5}.

1

2

63

4

5

A BC

Mnoèstvoto S epresek na mno -èstvata A i V.

Mnoèstvoto D e unija namnoèstvata A i V.

13Unija na mnoèstvata A i V e mnoèstvoto D obrazuvano od site elementina tie mnoèstva.Zapi{uvame: D = A ∪ V i ~itame: „D e ednakvo na A unija V”.

x ∈ A ∪ V, zna~i: x ∈ A ili x ∈ V.

A, V i C.C ∪ B, C ∪ A i B ∪ A.A ∪ ∅, B ∩ C, B ∩ A i A ∩ C.

Na crteòt se dadeni mnoèstvata A, V i Cso Venov dijagram.Zapi{i gi na tabelaren na~in mnoèstvata:

4A

CV

1 2

9

3

12 13

11 14

VOdredi gi mnoèstvata A ∩ V i V ∩ A.

Dali mnoèstvata A ∩ V i V ∩ A se razli~ni?

Odredi gi mnoèstvata A ∪ V i V ∪ A.

Dali mnoèstvata A ∪ V i V ∪ A se ednakvi?

Dadeni se mnoèstvata A = {1, 2, 3, 4, 5} i V = {2, 4, 6, 8}.5

Odredi A ∪ B, a potoa (A ∪ B) ∪ C.Odredi B ∪ C, a potoa A ∪ (B ∪ C).Dali (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)?Proveri dali vaì: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Pokaì deka za presekot, odnosno za unijata, na mnoèstvata B i S od zada~ata 4vaì komutativnoto svojstvo.

Proveri go komutativnoto svojstvo za nivnata unija.

Neka A = {3, 6, 9}, B = {2, 4, 6, 8} i C = {1, 3, 5, 9}.7

6

Voo~uva{ deka: A ∩ V = V ∩ A i A ∪ B = B ∪ A

Voo~i!

Presekot na dve mnoèstva ima komutativno svojstvo.

Unijata na dve mnoèstva ima komutativno svojstvo.

Unijata na tri mnoèstva imaasocijativno svojstvo.

Presekot na tri mnoèstva ima asocijativno svojstvo.

Izberi tri mnoèstva A, V i S i pokaì deka (A ∩ V) ∩ S = A ∩ (V ∩ S).

Ako se znae deka x ∈ A ∪ B, dali x ∈ B?

Problem

�

G

Zapi{i gi na tabelaren na~in mnoèstvata A i V.

Zapi{i go na tabelaren na~in mnoèstvoto S ~ii elementi se onie ele-menti od mnoèstvoto A {to ne se elementi na mnoèstvoto V.

Razgledaj go crteòt. So Venov dijagram se pret-staveni mnoèstvata A i V.

8 A B1

273

8

95

6

14

Neka A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 5, 7, 9} i C = {3, 5, 7, 9, 11}.9

Zapi{i gi na tabelaren na~in mnoèstvata: A \ B, B \ A, B \ C i A \ (B \ C).Dali A \ B = B \ A?Proveri dali e to~no: A \ (B \ C) = (A \ B) \ C?

Neka M = {x | x e priroden broj i x < 7}, S = {5, 6, 7, 8, 9} i P = {x | x e priroden broj odprvata desetka}. Odredi:

10

M ∩ Y. Y ∪ R. P \ M. M ∪ (R \ Y).

Razlikata na mnoèstvata nema ni komutativnoni asocijativno svojstvo.

Treba da znae{!

Da odredi{ presek na dve mnoèstva;

da odredi{ razlika na dve mnoèstva;

da odredi{ unija na dve mnoèstva;

deka presekot, odnosno unijata, imakomutativno i asocijativno svojstvo.

Dadeni se mnoèstvata A = {a, b, f, g},B = {b, c, e, f, 1, 2} i C = {b, c, e, 1}.Zapi{i gi mnoèstvata:

A ∩ B. B \ C. A ∪ B ∪ C.

Zada~i

Na crteòt se dadeni mnoèstvaso Venovi dijagrami pod a, b i v.

1.

Koi operacii se pretstaveni soobo enite delovi?

a) b) v)

Dadeni se mnoèstvata A = {m, n, p, k} i M = {s, p, t, k, r}

2.

Odredi δA i δM.Zapi{i gi na tabelaren na~in A ∪ M, M ∩ A i M \ A.Odredi: δ(A ∪ M), δ(A ∩ M) i δ(M \ A).

Neka R e mnoèstvoto parni broevi, a Y emnoèstvoto neparni broevi od pr vatadesetka.

3.

[to pretstavuva:a) unijata na R i Y; v) razlikata na R i Y;b) presekot na R i Y; g) razlikata na Y i R?Obrazloì go svojot odgovor za sekoj od slu~aite pod a, b, v i g.

NA {TO LI E EDNAK

VA

RAZLIKATA ME|U NI

V?

Mnoèstvoto S od elementite {to mu pripa|aat na mnoèstvoto A, a ne mu pripa|aatna mnoèstvoto V se vika razlika na mnoèstvoto A so mnoèstvoto V. Zapi{uvame: S = A \ V i ~itame: „S e ednakvo na A minus V”.

x ∈ A \ B zna~i: x ∈ A i x ∉ B.

Mnoèstvoto S = {1, 2, 5, 6} dobieno na vakov na~in e razlikana mnoèstvoto A i mnoèstvoto V, odnosno S = A \ V.

Proveri se!

Potseti se!

15PODREDEN PAR. DEKARTOV PROIZVOD51

Dadeni se mnoèstvata {2, 3} i {3, 2}.Tie se dvoelementni, t.e. se sostave-ni od par elementi.

No, vo nekoi slu~ai, redosledot naelementite vo parot ima bitno zna -~ewe: par rakavici, par ~evli i dr.

Dali {2, 3} = {3, 2}? Zo{to?

Na crteòt e pretstavena kino sala.Tretiot stol vo vtoriot red i vto-riot stol vo tretiot red se prazni.

Redot i stolot pret-stavuvaat eden par.

Neka prviot broj odparot go ozna~uva redot (2), a vtoriotbroj go ozna~uva sto-lot (3). Toa go zapi-{uvame so (2, 3) i ve-lime deka e podreden par.

Tie ozna~uvaat razli~nimesta vo salata.

Parot (a, b) vo koj to~no se znae koj elemente prv, a koj element e vtor se vika podredenpar. Vo podredeniot par (a, b), a e prva kom-ponenta, dodeka b e vtora komponenta.

2 Neka mnoèstvoto A = {s, p, q}, a mnoèstvoto B = {1, 2}.

Zapi{i gi site podredeni paro-vi ~ija prva komponenta e elementna V, a vtorata komponentae element na A.

Da zapomnam! Podredeniot par (a, b) e ednakov na podredeniotpar (c, d) ako a = c i b = d i sezapi{uva (a, b) = (c, d).

Zapi{i gi site podredeni parovi ~ija prva komponenta e element na A, a vtoratakomponenta e element na V.

Dali podredenite parovi (2, 3) i (3, 2) ozna~uvaat isto mesto vo salata?

Dali podredeniot par (s, 1) e ednakov so (1, s)?

Neka A = {1, 2} i B = {a, b, c}. Formiraj go mnoèstvoto ~ii elementi se sitepodredeni parovi na koi prvata komponenta e od mnoèstvoto A, a vtoratakomponenta e od mnoèstvoto V.

3

Mnoèstvoto na koe elementi mu se site podredeni parovi ~ija prva komponenta eelement od mnoèstvoto A, a vtorata komponenta od mnoèstvoto V se vikaDekartov proizvod na mnoèstvata A i V. Se ozna~uva so A h V. Se ~ita A po V.

A h V = {(x, y) | x ∈ A i y ∈ B}.

Dadeno e mnoèstvoto S = {1, 2, 3} i Dekartoviot proizvod S x P = {(1, a), (2, a), (3, a)}.4Zapi{i go mnoèstvoto R na tabelaren na~in.

A

B

16

A h A e Dekartov proizvod na mnoèstvoto A. Dekartoviot proizvod A h A se vikaDekartov kvadrat i se ozna~uva so A2. Se ~ita: „A na kvadrat.”

Dadeno e mnoèstvoto A = {a, b}. Odredi go Dekartoviot proizvod A x A.5

Odredi go Dekartoviot kvadrat na mnoèstvoto M = {5, p}.6

Voo~i i zapomni

Treba da znae{!

Da razlikuva{ dvoelementno mnoè-stvo od podreden par;

da gi odredi{ site podredeni paroviza dve dadeni mnoèstva;

{to e Dekartov proizvod;

da odredi{ prva i vtora komponentana podreden par;

{to e Dekartov kvadrat.

Dadeni se mnoèstvata A = {a, b}, B = {5, 55}i C = {m, n}.

Zapi{i gi site podredeni parovi ~ijaprva komponenta e element na mnoè -stvoto A, a vtorata komponenta e ele-ment na mnoèstvoto S.

Zapi{i go mnoèstvoto A h V na tabela -ren na~in.

Zapi{i go mnoèstvoto V2.

Zada~i

Zapi{i gi podredenite parovi na koiprvata komponenta e od mnoèstvotoA = {2, 5}, a vtorata komponenta odmnoèstvoto V = {a, b, c}.

1.

Koj broj treba da stoi na mestoto od� za podredenite parovi da bidatednakvi:a) (5, �) = (5, 2);b) (�, 6) = (8, 6);v) (�, 3) = (7, �)?

2.

Dadeno e mnoèstvoto Y h R = {(0, m), (1, m), (2, m)}.

4.

Odredi go mnoèstvoto Y.

Odredi go mnoèstvoto R.

Odredi go Dekartoviot kvadrat na

mnoèstvoto Y.

A e mnoèstvo imiwa:A = {Jovan, Biljana, Dragan}.V e mnoèstvo glagoli:V = {pee, spie, u~i}.Odredi go Dekartoviot proizvod A h V.

3.Podredenite parovi }e mibidat prosti re~enici. Naprimer: Jovan pee.

Proveri se!

Potseti se!

17

B

NIZA OD PRIRODNITE BROEVI6

Kolku klupi ima vo tvojata u~il -nica?

Odredi go brojot na mom~iwata vo tvojata paralelka.

Pro~itaj gi broevite:23, 1005, 207, 987 000.

So koi cifri e zapi{an brojot 813 265?

Kolku cifri se koristat za zapi-{uvawe na broevite? Koi se tie? Za sekoj od tie broevi velime deka e priro-

den broj.

So cifri zapi{i gi broevite:

sto pedeset i {est;

devetstotini i eden;

eden milion.

1

Broevite: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., 99, 100, 101, ..., 9 999, 10 000, ... se vikaatprirodni broevi, a taka naredeni eden po drug ja obrazuvaat nizata na prirodnitebroevi.

Mnoèstvoto prirodni broevi se ozna~uva so N; N = {1, 2, 3, 4, ...}.Brojot 0 ne go smetame za priroden broj. Zatoa 0 ∉ N.Mnoèstvoto od site prirodni broevi i brojot 0 se ozna~uva so N0; N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

Na crteòt voo~uva{ ulica i dva reda ku}iozna~eni so broevi.

So koi broevi se ozna~eni ku}ite od ednatastrana na ulicata?

So koi broevi se ozna~eni ku}ite od drugata strana na ulicata?

2

Broevite: 1, 3, 5, 7, ... se neparni broevi, a 2, 4, 6,8, 10 ... se parni broevi.

Koi od broevite: 36, 13, 1 111, 100 000, 99 se parni, a koi se neparni?3

A

Prirodni broevi!

1 2 3 4 5 ...

V Kako }e opredeli{ brojna prava? Raboti spored barawata i sledi go crteòt.

Nacrtaj prava a.Na pravata a ozna~i dve to~ki O i A.Na to~kata O pridruì £ go bro jot 0, a na to~kata Abrojot 1.

4

0 1

O A

20 1

SO A

a

a

a

18

Brojot 5 e prethodnik, a brojot 7 e sledbenik na brojot 6.

Koj e prethodnik, a koj e sledbenik na brojot 100?

Kako se dobiva prethodnikot, a kako sledbenikot na eden broj?

6

Zapi{i eden mnogu golem priroden broj.

Dodaj go brojot 1 na brojot {to si go zapi{al.

Dali ima pogolem broj od brojot {to go dobi?

Mnoèstvoto na parni broevi. Mnoèstvoto na neparni broevi.

Brojot na ìtelite vo R. Makedonija. Brojot na zrnca pesok na edna plaà.

7

Koe od slednite mnoèstva e beskone~no?8

Sekoj broj od nizata na prirodnite broevi, osven 1, se dobiva koga na negoviotprethodnik }e mu se dodade brojot 1.

2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1; ...; 100 = 99 + 1; ...; 365 = 364 + 1; ...

Na koj bilo brojmoàm da mudodadam 1 i }edobijam pogolembroj.

Otse~kata OA ja zemame za edini~na otse~ka, t.e. OA = 1.

Na polupravata OA, od to~kata A, prenesi ja edini~nata otse~ka OA. Kraj-nata to~ka ozna~i ja so S i pridruì ñ go brojot 2.

Kako }e odredi{ to~ka {to odgovara na brojot 3?

Voo~i drug primer za beskone~no mnoèstvo.

Mnoèstvoto od prirodni broevi ~ija cifra na edinici e 1, t.e. {1, 11, 21, 31, ...}.�

Na ovoj na~in e opredelena prava na koja moè da se pretstavuvaat prirodnite broevi.Taa prava se vika brojna prava.

Voo~i i zapomni!

Sekoj priroden broj ima sledbenik.

Prirodnite broevi se podredeni po golemina: 1 < 2 < 3 < ... < 56 < 57 < ... < 1 008 < ...

Ne postoi najgolem priroden broj.

Ima beskone~no mnogu prirodni broevi.

Mnoèstvoto N od prirodnite broevi e beskone~no mnoèstvo.

0 1 2 3 4 6

Razgledaj go crteòt:5Koj broj e za 1 pomal od brojot 6?

Koj broj e za 1 pogolem od brojot 6?

19

Dadeni se cifrite: 7, 4 i 0.

Navedi primer za beskone~no mnoèstvo.

Formiraj gi site tricifreni prirodni broevi so koristewe na dadenite cifri.

Podredi gi broevite {to gi formira po~nuvaj}i od najgolemiot broj.

Zapi{i gi prethodnikot i sledbenikot na najgolemiot broj {to go formira.

Zada~i

Na crteòt ima kniga so skinatistranici.

1. Koi broevi na brojnata prava treba dase zapi{at na praznite mesta?

2.

Nacrtaj brojna prava i na nea pretstavigi parnite broevi od 0 do 20.

3.

Mnoèstvoto S = {x | x e neparen priro-den broj}, zapi{i go na tabelaren na~in.

4.

Zapi{i go so zborovi brojot ozna~enso strelkata.

Koj element e najmal vo mnoèstvoto Y?

Dali mnoèstvoto Y ima najgolem ele-ment?

Kolku elementi ima mnoèstvoto Y?

Zapi{i gi brevite na straniciteod knigata {to se skinati.

So koi cifri se zapi{ani broe-vite na tie stranici?

Zapi{i go mnoèstvoto A od par-nite broevi na stranicite {tonedostasuvaat vo knigata.

0 10 20 30 40 50 60 100 120 140 160

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Treba da znae{!

Da razlikuva{ {to e cifra, a {to broj;

da odredi{ sledbenik i prethodnik nadaden priroden broj;

da pretstavuva{ prirodni broevi na brojnaprava;

da navede{ primeri za beskone~no mnoèstvo.

Zapi{i gi podredeni prirodnite broevi na tretata desetka vo pettatastotka.

9

JAS SUMPRETHODNIK!

JAS SUMSLEDBENIK!

Proveri se!

Potseti se!

20 DEKADEN BROEN SISTEM

Kolku desetki ima brojot 100?

Kolku iljadi ima brojot 3 865?

Kolku edinici ima brojot 128 563?

Zapi{i go so cifri brojot pret-staven na pozicionata smetalka.

Zapi{i go mno`estvoto S od sitecifri so koi se zapi{uvaat pri-rodnite broevi.

7

1

SI DI EI S D E

00 11 22 33 44 5566 77 88 99

Odredi go δS.

Site pri rodni broevi gi zapi {u vame sodesette cifri: 0, 1, ..., 9.Broe vite gi zapi{uvame vo dekadenbroen sistem.

Ima desetcifri.

Na koja pozicija e zapi{anacifrata 2?

Pozicionata vrednost nacifrata 4 vo brojot 7 143 528 e~etirieset iljadi. Koja e pozi-cionata vrednost na cifrata 3,a koja na cifrata 8?

Vo klasata milioni na pozicijata edinicimilioni e zapi{ana cifrata 7. Koja enejzinata poziciona vrednost?

Vo zapisot na broevite, sekoja cifra poka`uva broj na edinici ili broj na desetkiili broj na stotki itn., soodvetno na pozicijata (mestoto) na koe e zapi{ana.

Se potsetiv! 7 ⋅ 1 000 000 = 7 000 000.

Razgledaj ja tabelata vo koja e za pi{an brojot 7 143 528. Sekoja ci fra na brojot ezapi{ana na odre dena pozicija (mesto). Sekoja grupa od tri cifri, odej}i oddesnonalevo, e zapi{ana vo odredena klasa.

2

A

KLASAMILIONI

KLASAILJADI

KLASAEDINICI

SM DM EM SI DI EI S D E

7 1 4 3 5 2 8

Cifra KlasaPozicija na

koja e zapi{anacifrata

Pozicionavrednost na

cifrata

3 Iljadi DI 30 000

4 Iljadi EI 4 000

5 Edinici S 500

0 Edinici D 0

9 Edinici E 9

21

Broevite 1, 10, 100, 1 000 itn. se vikaat dekadni edinici.

Sostavi tabela za brojot 2 628 i vo nea zapi{i gi podatocite za sekoja cifra.

Zapi{i gi site dekadni edinici do 10 000 000.

Kako se vika brojot zapi{an pod a), a kako se vika brojot pod b)?

Koja e pozicionata vrednost na cifrite: 5; 8; 2 vo brojot 50 800 200 000?

Razgledaj ja tabelata so podatoci za brojot 34 509.3

Voo~i! Za kolku pati se zgolemuva vrednosta na cifrata 3 po~nuvaj}i od pozicijatana edinicite?

4

34 509

20Jas vredampove}e

Nie smeisti

EI S D E

3 3 3 3⋅10⋅100

⋅1 000

2

Zapi{i go brojot koj{to ja sodr`i cifrata 1, a po nea se dopi{ani:

a) 3 nuli; b) 6 nuli; v) 9 nuli; g) 12 nuli; d) 18 nuli.5

Zapi{i go so cifri brojot †Pedeset milijardi osumstotini milioni i dveste iljadi”.6

B

Brojot, zapi{an:

1 000 000 000, se vika milijarda;

1 000 000 000 000, se vika bilion;

1 000 000 000 000 000 000, se vika trilion.

Zapomni!

��

Znam za a) i b).Kako li se vikaatdrugite broevi?!

22

Razgledaj go crte`ot!

Pro~itaj go brojot pretstaven na pozicionatasmetalka i zapi{i go so cifri.

Koja cifra ja zapi{a na pozicijata desetkiiljadi i koja e nejzinata poziciona vrednost? EM SI DI EI S D E

Proveri se!

Zada~i

Daden e brojot 5 203 478. Za sekojaod cifrite 5; 2; 7; 0 odredi:

a) vo koja klasa se nao|a;

b) koja e nejzinata pozicija;

v) koja e nejzinata poziciona vrednost.

1.

Koj broj }e dobie{ ako na edentrilion ja izbri{e{ sekoja vtoranula?

4.

Kako se ~ita brojot 5, a kakocifrata 5?

5.

Kako se vika brojot {to ima milionmilioni?

6.

Sostavi tabela od klasi i poziciivo koja }e gi zapi{e{ cifrite nabrojot 7 405 906.

2.

Zapi{i go so cifri brojot †osumbilioni trista i dve milijardi{eeset milioni ~etiristotiniiljadi i petstotini”.

3.

Treba da znae{!

Da odredi{ klasi na pove}ecifren broj;

da ja odredi{ pozicionata vrednost na sekoja cifra vo daden broj;

deka cifrite se znaci za zapi{uvawe na broevite.

Problem

Sedumcifren broj po~nuva so cifrata 7. Kako i da girazmesti{ cifrite na toj broj, brojot ne se menuva.Koj e toj broj?

23

Potseti se!

^̂ITAWE I ZAOKRU@UVAWE NA PRIRODNI BROEVI

Zapi{i go so zborovi brojot: 16;23; 45; 125; 50; 200.

Zapi{i go so zborovi brojot

a) 157; b) 216; v) 350.

Vo koi od zapi{anite broevi goupotrebi svrznikot “i”?

81A

Na eden ko{arkarski natprevar reporterot kaàl deka natprevarot go sle-dat okolu 2 000 gleda~i.

3

Zapi{i gi so zborovi broevite:

200 000; 20 300 000; 70 112 500; 9 326 540 217.

2

Broevite 32, 35 i 37 sepretstaveni na brojnaprava.

4

B

Sporedi go tvoeto zapi{uvawe so dade-noto.a) Sto pedeset i sedum.b) Dveste i {esnaeset.v) Trista i pedeset.

Dali reporterot go kaàl to~niotbroj na gleda~i?

Koi se sosedni desetki za pretstavenite broevite?

Odredi ja razlikata na sekoj od broevite do sosednite desetki.

Do koja sosedna desetka e poblisku sekoj od broevite?

Voo~i go ~itaweto na broevi i upotrebata na svrznikot †i”.

Svrznikot †i” ne se koristi ako brojot eod eden zbor (imeto na klasata ne sesmeta).

15 - petnaeset;

700 - sedumstotini;

50 000 - pedeset iljadi.

Vo sekoja klasa: edinici, iljadi, mil-ioni, ... svrznikot †i” se koristi me|uposlednite dva zbora, t.e. dva broja(imeto na klasata ne se smeta).

302 413 - trista i dve iljadi ~etiris-totini i trinaeset.

5 020 340 - pet milioni dvaeset iljadi trista i ~etirieset

Svrznikot †i” se koristi i me|u klasi,ako poslednite dva zbora (broja)pripa|aat na razli~ni klasi.

300 200 - trista iljadi i dveste.

8 302 100 - osum milioni trista i dve iljadi i sto.

�

�

��

��

��

Reporterot kaàl pri -blièn broj na gleda~i.

30 32 35 37 40

24 Sogledaj gi odgovorite

Za dadenite broevi brojot 30 e pomalata sosedna desetka, a 40 e pogolemata sose dnadesetka.

32 - 30 = 2; 40 - 32 = 8. Brojot 32 e poblisku do 30.

37 - 30 = 7; 40 - 37 = 3. Brojot 37 e poblisku do 40.

35 - 30 = 5; 40 - 35 = 5. Brojot 35 e to~no me|u broevite 30 i 40.

Brojot 32 e pribli`no ednakov na brojot 30. Zapi{uvame 32 ≈ 30.

Velime deka

Brojot 37 e pribli`no ednakov na brojot 40. Zapi{uvame 37 ≈ 40.

Brojot 35 e to~no me|u broevite 30 i 40. Po dogovor zapi{uvame 35 ≈ 40.

Ova zapi{uvawe se vika zaokruùvawe na broj na desetki.

Zaokruì gi na desetki broevite: 148, 243, 2 671, 3 585 i 74 598.5

Broevite: 3 435 i 3 468 se pretstaveni na brojna prava.6

Zaokruì gi na stotki broevite: 1 372, 2 145, 1 653 i 4 898.7

Zaokruì gi na iljadi broevite: a) 21 363; 47 612; 43 577. b) 4 803; 13 501; 177 982.

8

��3 400 3 435 3 4683 500

Odredi ja razlikata na sekoj od broevite do sosednite stotki.

Koga pri zaokruùvaweto na eden broj na stotki cifrata na pozicijata stotki ostanu-va ista, a koga se zgolemuva za 1?

Do koja sosedna stotka e poblisku sekoj od broevite?

Zaokruì go sekoj od broevite na stotki.

Sogleda deka 3 435 e poblisku do 3 400, a 3 468 do 3 500.

Broevite zaokruèni na stotki se: 3 435 ≈ 3 400; 3 468 ≈ 3 500.

Cifrata na pozicijata stotki ostanuva ista ako cifrata na pozicijatadesetki e broj pomal od 5, a se zgolemuva za 1 ako cifrata na pozicijatadesetki e 5 ili broj pogolem od 5.

25Sogledaj go re{enieto a)

21 363 ≈ 21 000; 47 612 ≈ 48 000; 43 577 ≈ 44 000.

Sogleda deka pri zaokruùvawe na nekoj broj do odredena pozicija (desetki, stotki,iljadi, ...) postapuva{ na sledniot na~in:

Cifrata na taa pozicija ostanuva ista ako po nea e nekoja od cifrite: 0, 1, 2, 3 ili4, a taa se zgolemuva za 1 ako po nea e nekoja od cifrite 5, 6, 7, 8 ili 9.

Zaokruì go brojot 35 738 na:a) desetki; b) stotki; v) iljadi; g) desetki iljadi.

9

��

Site cifri desno od taa pozicija se zamenuvaat so nuli.�

Treba da znae{!

Pravilno da ~ita{ prirodni broevi,pomali ili pogolemi od milion;

da zaokruùva{ prirodni broevi na:desetki, stotki i iljadi.

Pro~itaj go brojot: 5 200; 45 678 350.

Zaokruì go na desetki; stotki; iljadi,brojot: a) 34 752; b) 224 750.

Proveri se!

Zada~i

Zapi{i go so bukvi brojot: 2 345; 250;6 400 310.

1.

Zapi{i go so cifri brojot: †Tristamilioni dveste i pet iljadi i osum-stotini”.

2.

Koj od znacite treba dastoi vo kruk~eto za da bide to~no?

3.

Dali brojot 24 632 e poblizu

a) do 24 700 ili do 24 600;

b) do 24 000 ili do 25 000?

4.

Zaokruì go brojot 25 375 na: desetki; stotki; iljadi.

5.

Zaokruì go brojot 15 409 632 nailjadi.

6.

7.

12 245 12 250; 12 245 12 240;

12 245 12 200; 12 245 12 300.

Dali postoi najgolem priroden broj?

Koj e najmaliot priroden broj?

Zapi{i ja cenata na avtomobilot so zborovi.

1 216 358 den.

Obidi se da re{i{!

Ne bi imalo smisla da go kaè{ kakoza okruèn broj, brojot na tvojot telefon.

Obidi se da najde{ dva primera kade nebi imalo smisla da gi zaokruì{ broe-vite.

26

Partizan(gimnastika)

Spartak(karate)

Delikates(ko{arka)Akvaten(tenis)

Dru{tvo (aktivnost)

R A B O T AS O P O D A T O C I

Angela i @aki sprovele istraùvawe za vonnastavnite aktivnosti na u~eniciteod svojata paralelka. Tie gi pra{ale u~enicite vo koe dru{tvo ~lenuva sekoj odniv. Podatocite prvo gi zapi{ale so crti~ki, a potoa gi sredile i formiraletabela.

1

Ilija sprovel istraùvawe za bojata na velosipedite {to naj~esto se sre}ava vonegovoto selo. Pribiral podatoci taka {to gi nabquduval decata so velosipedivo u~ili{niot dvor i popolnuval lista so crti~ki.

2

Marija pribirala podatoci za omilenoto godi{no vreme na nejzinite sou~enici. Voo~i ja listata: P - prolet; L - leto; E - esen; Z - zima.

3

Broj

Partizan(gimnastika)

Spartak(karate)

Delikates(ko{arka)Akvaten(tenis)

Dru{tvo (aktivnost) Broj

9

13

15

3

Tabela so crti~ki Tabela na frekvencii

Vo tabelata se dadeni broj napodatoci. Taa se vika tabelana frekvencii.

Kolku vkupno u~enici odgovo-rile na postavenoto pra{awe?

Formiraj nova tabela na frek -vencii taka {to podatocite }egi podredi{ spored golemina-ta na brojot (po~nuvaj}i od naj-golemiot broj).

Formiraj tabela na frekfencii.

Podredi gi podatocite po~nuvaj}i od najmaliot.

Kolku vkupno velosipedi zabeleàl Ilija?

Koja boja na velosipedi e najzastapena?@olta

Crna

Crvena

Sina

Zelena

Boja Broj

Nabquduvaweto na Ilija e eden od na~inite na koj moè da sepriberat podatoci. Podatoci moàt da se priberat na razli~nina~ini: pra{uvawe po telefon, ispra}awe pra{alnik popo{ta, koristewe knigi, spisanija i dr.

Pretstavi gi podatocite vo tabela na frekvencii i podredi gi po~nuvaj}i odnajomilenoto godi{no vreme.

P P L Z Z E P L E Z Z P L E Z Z P P LL L E Z P E E Z Z P P P L E P P Z L E

INSTRUMENTI ZA PRIBIRAWE PODATOCI9Pribiraweto na podatoci se vr{i na pove}e na~ini: so anketirawe, nabquduvawe,merewe, broewe, od literatura i dr.

Instrumenti (sredstva) za pribirawe podatoci se: pra{alnik, anketen list, objavenipregledi i drugi statisti~ki podatoci.

Potseti se!

27

B

A

Promena na mestata na sobiro-cite ili komutativno svojst-vo na sobiraweto.

a + b = b + a

Ako se promeni mestoto na sobirocite zbirot ostanu-va nepromenet.

52 + 34 = 86 ili 34 + 52 = 86

sobiroci zbir sobiroci zbir

Grupirawe na sobirocite iliasocijativno svojstvo nasobiraweto.

a + (b + c) = (a + b) + cZatoa, zagradite moè da seizostavat: a + b + c.

Nulata pri sobiraweto.a + 0 = 0 + a = a

Presmetaj:

14+ 35

353+ 168

47+ 803

68 + 37 + 3 + 916 =

98 796+ 14 534

Mare i Mile ìveat voKo~ani. Na odmor oti{levo Struga, no eden den sezadràle kaj baba im voBitola.

1

Odredi go zbirot na broevite 52 i 34.2

Struga

90 km

190 km

Bitola

Ko~ani

Kolku kilometri pominale Mare i Mile od doma do baba im?

Kolku kilometri pominale od Ko~ani do Struga?

Potseti se i voo~i gi svojstvata na sobiraweto vo mnoèstvoto N0.

Trite sobiroci moàt da se grupiraat na dva na~ina.Zbirot ostanuva nepromenet.

(71 + 114) + 16 = ili 71 + (114 + 16) =

185 + 16 = 201 71 + 130 = 201

Koga eden od sobirocite e nula, toga{ zbirot e edna-kov na drugiot sobirok.

583 + 0 = 583 ili 0 + 583 = 583

SOBIRAWE10

Presmetaj:

17 + 36 + 13 + 44 =

3

12 + 81 + 9 + 38 + 27 =

161 + 234 + 439 =

Primer

Koga se koristat svojstvata, sobirawetoe polesno!

27 + 59 + 3 = 27 + 3 + 59 = 30 + 59 = 89

Vo tabelata se dadenipodatocite za brojotna u~enici vo VI odde-lenie vo edno u~ili{te.

Odredi go vkupniot broj na u~enici vo VI oddelenie vou~ili{teto.

Odredi go brojot na u~enicite vo VIa i VIb, a potoa spo redigi.

28

Paralelka Mom~iwa Devoj~iwa

VIa 17 14VIb 14 17VIv 9 22

Zada~i

Presmetaj:1.

Vo eden vesnik pi{uva:„Na otvoraweto na festivalotprisustvuvale 1 300 posetiteli.Naredniot den pretstavata jagledale 726 posetiteli”.

2.

171

Grupiraj gi sobirocite i odredi gozbirot:

3.

64 + 33 + 36 + 48 + 57 =

Napravi procenka na zbirot od bro -evite 7 328 i 6 435, zaokruù vaj}i gina: iljadi; stotki; desetki.Za kolku se razlikuvaat pribli` ni -te rezultati od to~niot zbir nabroevite?

4.

Kolku posetiteli go posetilefestivalot vo dvata dena?

+ 16

27+ 72

39+ 93 + 39

44 + 27 + 51 + 33 + 19 =

1 024 + 1 039 + 2 161 + 4 836 =

V

Grupiraj gi sobirocite na drug na~in i odredi go zbirot.4

45 + (45 + 56) =

Odredi go zbirot na broevite 74, 33, 26, 48 i 57.

Odredi go zbirot na broevite 140, 310, 750, 360 i 290.

Na zbirot od broevite 124 i 139 dodaj go zbirot na broevite 261, 55 i 276.

Odredi go prethodnikot na sekoj od broevite 372, 126 i 319 i presmetaj gozbirot od prethodnicite.

( 1 207 + 101) + 269 =

5

Napravi procenka na zbirot od broevite so zaokruùvawe na stotki:a) 2 738 i 2 465; b) 4 562 i 5 378.

Za kolku se razlikuva pribli`niot rezultat od to~niot zbir na broevite?

6

Problem!

Brojot 2 e zapi{an sedum pati.

2, 2, 2, 2, 2, 2, 2

Koj e najmaliot zbir {to moè da sedobie od sedum dvojki i dva znaka plus?

Da odredi{ zbirna dva ili pove}ebroevi;da gi primeni{svojstvata na sobi -ra weto vo ednos-tavni primeri;da go proceni{rezultatot odsobira weto.

Treba da znae{!Proveri se!

Potseti se!

29

Presmetaj:

Koj broj treba da stoivo kvadrat~eto za dabide to~no?

475- 232

1 852- 800

2 685- 518

9 840- 189

47 - = 19

28 + = 47

+ 19 = 47

ODZEMAWE11

A Letnite olimpiski igri vo 2000 godina bea voSidnej - Avstralija.Olimpiskiot komitet pobaral da bidat rezervi-rani 4 830 vleznici za sve ~e noto otvorawe, noslobodni bile 3 892 sedi{ta.

Kolku lu|e ostanale bez vleznica?

1

4 830 - 3 892 =

Namalenik Namalitel Razlika

B

Olimpijada 1992

Ekipa Poeni

Italija 15 760

Amerika 15 649

Polska 16 018

Kolku poeni pove}e osvoila polskata ekipa oditalijanskata ekipa?

Koja e razlikata me|u najgolemiot i najmaliot broj poeni?

Za da moème da ja presmetame razlikata a - b na broevite a i b vo mnoèstvoto N0treba da bide a > b ili a = b.

Koristi gi podatocite vo tabelata za da odgovori{ na pra{awata.2

Kolku vkupno leb proizveduva furnata zaedna sedmica?

Spored podatocite vo tabelata presmetaj kolku vkupno neprodaden leb ostanalo.

Vo edna furna se pe~at po 5 000 leba sekoj den.Vo tabelata se dadeni podatocite za prodade-niot leb vo edna sedmica.

3 Den Br. leboviPonedelnik 1 260

Vtornik 4 205

Sreda 4 728

êtvrtok 3 916

Petok 4 010

Sabota 4 857

Nedela 1 376

30

Vozot trgnal od Bitola za Skopje so489 patnici. Vo Prilep od vozot sleg -le 120 patnici, a se ka~ile 70 patni-ci. Vo Veles slegle 42 patnici, a seka~ile 98. So kolku patnici vozot stignal voSkopje?

Zada~i

Kon brojot 836 dodaj ja razlikatana broevite 299 i 173.

Razlikata na najgolemiot ~etiri-cifren broj i najmaliot trici frenbroj zgolemi ja za 1 216.

1.

2. Asan imal 1 350 denari. Za da kupipatiki mu trebale 3 120 denari. Asangi zaokruìl parite na stotki.

Pomogni mu na Asan za da odrediu{te kolku stotki mu nedostasuvaat.

Presmetaj to~no kolku pari mu nedo -stasuvaat na Asan.

4.

Vesna ima 2 725 denari. Maja ima 120denari pove}e od Vesna. Ana ima 385denari pomalku od Vesna i Majazaedno.

Kolku denari ima Maja?

Kolku denari ima Ana?

3.

(26 + 128) - 37 = ; 432 - (26 + 15) = ;

(439 - 195) + (270 - 36) = .

Presmetaj:

Proceni ja razlikata na broevite 2 376 i 1 289 zaokruùvaj}i gi na stotki.

Proceni ja razlikata na broevite 457 i 165 zaokruùvaj}i gi na desetki;stotki. Sporedi gi procenkite so to~nata vrednost na razlikata.

4

Da odredi{ razlika na dva broja;

da presmeta{ vrednost na broenizraz so operaciite sobirawe iodzemawe so ili bez zagradi;

da ja proceni{ razlikata priodzemaweto.

Treba da znae{!Proveri se!

Obidi se!

Ako zamisli{ koi bilo tri prirodni broja, dalisekoga{ me|u niv }e ima dva ~ij{to zbir e paren broj?

31ZAVISNOST NA ZBIROT I RAZLIKATA OD PROMENATA NA KOMPONENTITE

12

Potseti se!

Dadeni se zbirot 320 + 150 = 470i razlikata 250 - 120 = 130.

Koj broj treba da stoi vo kvadrat -~eto za da bide to~no.(320 + 30) + 150 = 470 + ;(320 - 30) + 150 = 470 - ;(320 + 30) + (150 - 30) = 470 + ?

A Utroto na †Denot na drvoto# sedoneseni 2 600 zimzeleni sadni-ci i 3 100 listopadni sadnici.

a) Kolku sadnici od dvata vidase doneseni toa utro?

b) Napladne se doneseni u{te400 zimzeleni sadnici. Za kolku}e se zgolemi brojot na sadnicitedoneseni toa utro?

1

Poznato e deka a + b = 200. Neka edniot od sobirocite se zgolemi za 300. Presmetaj go zbirot a + (b + 300).

2

Kako }e se promeni zbirot 340 + 620 = 960

a) ako edniot sobirok se namali za 60;

b) ako edniot sobirok se namali za 60, a drugiot se zgolemi za 60?

3

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.a) 2 600 + 3 100 = 5 700; utroto se doneseni 5 700 sadnici.b) (2 600 + 400) + 3 100 = 3 000 + 3 100 = 6 100 = 5 700 + 400. Brojot na sadnicitedoneseni utroto se zgolemil za 400.

a) (340 - 60) + 620 = 280 + 620 == 900 = 960 - 60;

b) (340 - 60) + (620 + 60) = 960; zbirot ne se promeni.

a) Zbirot se namali za tolku za kolku{to se namali edniot od sobirocite.

Sogleda deka

Voo~i op{to za zbirot a + b = c

Ako edniot sobirok se zgolemi za odreden broj, a drugiotostane ist, toga{ i zbirot }e se zgolemi za istiot toj broj. (a + m) + b = c + m

Ako edniot sobirok se namali za odreden broj, a drugiotostane ist, toga{ i zbirot }e se namali za istiot toj broj. (a - m) + b = c - m

Zbirot nema da se promeni ako edniot sobirok se namaliza odreden broj, a drugiot se zgolemi za istiot toj broj. (a - m) + (b + m) = c

�

�

�

32 B Dadena e razlikata 750 - 430 = 320. Presmetaj i sogledaj kako semenuva razlikata ako namalenikot

a) se zgolemi za 50; b) se namali za 50.

4

Dadena e razlikata 2 480 - 560 = 1 920. Kako }e se promeni razlikata, ako namali -telot: a) go namali{ za 30; b) go zgolemi{ za 30?

5

Presmetaj ja razlikata 6 354 - 2 314. Kako }e se promeni razlikata ako i namale -nikot i namalitelot

a) se zgolemat za 120; b) se namalat za 120?

6

Kako }e se promeni razlikata, ako namalenikot se zgolemi za 10, a namalitelot senamali za 10?

7

Sekako sogleda:a) (750 + 50) - 430 = 800 - 430 == 370 = 320 + 50.

Razlikata: a) }e se zgolemi za 30; b) }e se namali za 30.

b) Razlikata }e se namali za 50.

a) Razlikata se zgolemi za 50, t.e.isto kolku {to be{e zgolemennamalenikot.

Voo~i deka razlikata ostanuva ista.

Voo~i op{to za razlikata a - b = d

Ako namalenikot se zgolemi (odnosno se namali) zaodreden broj, a namalitelot ostane ist, toga{ i razlikata}e se zgolemi (odnosno }e se namali) za istiot toj broj.

(a + m) - b = d + m(a - m) - b = d - m

Ako namalitelot se zgolemi za odreden broj, a namale -nikot ostane ist, toga{ razlikata }e se namali za toj broj.Ako namalitelot se namali za odreden broj, a namale nikotostane ist, toga{ razlikata }e se zgolemi za istiot toj broj.

a - (b + m) = d - ma - (b - m) = d + m

Razlikata nema da se promeni ako namalenikot i nama -litelot se zgolemat ili se namalat za eden ist broj.

(a + m) - (b + m) = d(a - m) - (b - m) = d

�

�

�

Kako se menuva zbirot na dva broja,ako edniot sobirok:

Treba da znae{!

se zgolemi za daden broj;

se namali za daden broj;

se zgolemi za daden broj, a drugiotsobirok se namali za toj broj?

Kako se menuva razlikata na dva broja:

ako namalenikot se zgolemi odnosnose namali za daden broj;

ako namalitelot se namali, odnosnose zgolemi za daden broj;

ako i namalenikot i namalitelot sezgolemat, odnosno se namalat, zaistiot toj broj.

33

Zbirot na dva broja iznesuva 3 540. Kolku }e iznesuva zbirot ako edniot od sobiro -cite se namali za 140?

Razlikata na dva broja iznesuva 270. Kolku }e iznesuva razlikataa) ako namalenikot se namali za 27? b) ako namalitelot se zgolemi za 27?

Presmetaj 460 - 120.Odredi go x vo ravenkata: (460 + x) - (120 + 58) = 340.

Proveri se!

Zada~i

Kako }e se promeni zbirot ako edenod sobirocite se zgolemi za 234?

1.

Ako namalitelot se zgolemi za 25,{to treba da se napravi so nama -lenikot za da ne se promeni raz-likata?

4.

Ako a - b = 100, presmetaj:a) (a - 20) - (b - 20);b) (a + 30) - (b + 30);v) (a - 10) - (b + 10);g) (a + 5) - (b - 5);

5.

Edno utro Milica dobila izvesnasuma pari od tatko £ i izvesna sumapari od majka £. Od parite od majka£ taa potro{ila 100 denari.Ve~erta, tatko £ i dal u{te 200denari i taa utvrdila deka ima 700denari. Kolku denari vkupno utroto£ dale tatko £ i majka £?

6.

Ako 1 230 + 670 = 1 900, toga{ kolkue (1 230 - 350) + 670?

2.

Dadena e razlikata6 543 - 2 732 = 3 811.

Za koja vrednost na x e to~no raven-stvoto

6 543 - (2 732 - x) = 3 811 + 13.

3.

Problem

Razmisli i obidi se da presmeta{ usno. Kolkava erazlikata me|u zbirot na prvite sto parni i zbirot naprvite sto neparni broevi?

Potseti se!

34

Komutativno svojstvo namnoèweto.

a ⋅⋅ b = b ⋅ a

Ako se promenat mestata na mnoìtelite proizvodotostanuva nepromenet.

4 ⋅ 6 = 24 ili 6 ⋅ 4 = 24

mnoìteli proizvod mnoìteli proizvod

Asocijativno svojstvo namnoèweto.

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)Zatoa, zagradite moè da seizostavat: a⋅ b⋅ c.

Mnoèwe so brojot 1

a ⋅ 1 = a

Trite mnoìteli moàt da se grupiraat na dvana~ina. Proizvodot ostanuva nepromenet.

(2 ⋅ 5) ⋅ 3 ili 2 ⋅ (5 ⋅ 3)

10 ⋅ 3 = 2 ⋅ 15

30 = 30

Ako edniot od mnoìtelite e eden, toga{ proizvodote ednakov na drugiot mnoìtel.

468 ⋅ 1 = 468

Mnoèwe so brojot 0

0 ⋅ a = 0

Ako eden od mnoìtelite e nula, toga{ proizvodot eednakov na nula.

0 ⋅ 235 = 0

A Eden avtomobil tro -{i 7 litri benzin zaizminati 100 kilo-metri pat.

Presmetaj:

35 ⋅ 5 = 480 ⋅ 3 =

1 260 ⋅ 38 = 4 004 ⋅ 20 =

145 ⋅ 23 = (3 ⋅ 5) ⋅ 200 = Kolku litri benzin }e potro{i avto-mobilot za 400 kilometri pat?

1

Dragan patuval 5 dena so svojot velosiped i sekoj denpominuval po 9 kilometri.Zoran patuval 6 dena so svojot velosiped i sekoj denpominuval po 8 kilometri.

2

Kolku kilometri pove}e pominal Zoran od Dragan?

Potseti se i voo~i gi svojstvata na mnoèweto vo mnoèstvoto N0.

MNO@EWE13

�

�

35

Primer

Koga se koristat svojstvata, mnoèwetoe polesno!

Presmetaj:

2 ⋅ (50 ⋅ 9) =

3

Presmetaj:4

(7 ⋅ 25) ⋅ 4 = 7 ⋅ (25 ⋅ 4) = 7 ⋅ 100 = 700

(500 ⋅ 7) ⋅ 2 =

50 ⋅ (4 ⋅ 8) =

40 + (130 ⋅ 10) =

(280 + 32) ⋅ 8 =

96 − 2 ⋅ (30 − 18) =

Presmetaj:5

40 ⋅ (25 + 5) = i (40 ⋅ 25) + (40 ⋅ 5) =

Kakvi se vrednostite na brojnite izrazi?

Proveri dali e to~no?

(68 - 10) ⋅ 5 = 68 ⋅ 5 - 10 ⋅ 5

Kako se formiraat izrazite {to gisporeduva{?

To~kite odatpred crti~kite

No, prvo vozagradite!

Voo~i deka: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c; (a + b) ⋅ c = (a ⋅ c) + (b ⋅ c);a ⋅ (b − c) = (a ⋅ b) - (a ⋅ c); (a − b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c.

Proceni go proizvodot 324 ⋅ 48, zaokruùvaj}i gi mnoìtelite na desetki. Za kolku se razlikuva dobienata pribli`na vrednost od to~nata?

6

320 ⋅ 50 = 16 000; 324 ⋅ 48 = 15 552; procenkata e za 448 pove}e od to~nata vrednost.

So ovie ravenstva e iskaàno:

distributivnoto svojstvo na mnoèweto vo odnos na sobiraweto.

distributivnoto svojstvo na mnoèweto vo odnos na odzemaweto.��

BKolku kilometri pominal Jovan?

Jovan pe{a~el 4 sedmici, po 4 dena sedmi~no, po 4 kilometri na den.7

Sogledaj!

Proizvodot 4 ⋅ 4 ⋅ 4 kratko se zapi{uva 43, a se ~ita: ~etiri na treti. Zapisot 43 se vika stepen so osnova 4 i stepenov pokazatel 3.

36

Mnoèwe Kratok zapis Vrednost

4 ⋅ 4 ⋅ 4 43 643 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

6 ⋅ 6

8 ⋅ 8 ⋅ 8 ⋅ 8

[to pokaùva osnovata na stepenot?

[to pokaùva stepenoviot poka zatel?

Zapi{i go 108 vo vid na mnoèwe.

Odredi ja vrednosta na 14.

Po dogovor: 51 = 5; a1 = a.

43

�STEPEN

�OSNOVA�STEPENOVPOKAZATELDa zapomnam: Proizvodot na

ednakvi mnoìteli kratkozapi{an se vika stepen.

Kratko zapi{i go mnoèweto i proizvodot.

Da odredi{ proizvod na dva ilipove}e broevi;

da gi primenuva{ svojstvata namnoèweto;

da go proceni{ proizvodot odmnoèweto na dva boja;

da odredi{ vrednost na stepen.

Treba da znae{!

Ilija i Jovan kupile po 8 paketi, vo koiimalo po 8 bonbonieri so po 8 bonboni vosekoja bonboniera.

Kolku paketi kupile Ilija i Jovanzaedno?

Po kolku bonbonieri imal sekoj od niv?

Kolku bonboni imal Jovan?

Zapi{i go brojot na bonboni na Ilija vo vid na stepen.

Presmetaj:1.

Vo eden zbir, brojot 245 se javuvakako sobirok 48 pati. Presmetaj gotoj zbir.

2.

Radiusot na Zemjata iznesuva 6 370kilometri. Rastojanieto od Zemjatado Mese~inata e pogolemo okolu 60pati od radiusot. Odredi go rastojanieto od Zemjatado Mese~inata.

3.

Proceni go proizvodot 127 ⋅ 268zaokruùvaj}i na:a) stotki; b) desetki.Odredi ja razlikata na to~niot iprocenetiot proizvod.

4.

186 ⋅ 35 =

(427 ⋅ 5) ⋅ 24 =

(1 376 - 376) ⋅ 100 =

50 ⋅ (60 + 80) =

496 ⋅ 12 - 96 ⋅ 12 =

73 =

42 + 4 + 34 - 25 =

Proveri se!

Zada~i

Koi cifri treba dagi zapi{e{ na mesta-ta od ∗, za mnoè we -to da bide to~no pre -smetano?

439 ⋅ ∗7

3∗73

+ ∗756

2∗633

5.

Potseti se!

A

37

14 : 7 =

20 : 10 =

22 : 2 =

88 : 22 =

396 : 3 =

1 200 : 60 =

Presmetaj: U~enicite sobrale 1 300 de-nari za da kupat topki. Sekojatopka bila po 325 denari.

1

Vkupno 84 u~enici se prijavile za u~ili{niotturnir vo odbojka. Za treneri na ekipite seprijavile 6 nastavnici.

2

Kolku topki kupile?

Ako sekoja ekipa e sostavena od 12 u~enici, dali brojot na nastavnici za trenerie dovolen?

1 300 : 325 =

delenik delitel koli~nik

Delewe so brojot 1a : 1 = a

Ako delitel e brojot 1, toga{ koli~nikot e ednakov nadelenikot.

23 765 : 1 = 23 765

Delewe na broj sam so sebe.a : a = 1, a ≠ 0

Delewe na brojot 0.0 : a = 0, a ≠ 0

Ako delenikot e ednakov na delitelot, toga{ koli~nikote 1.

762 : 762 = 1

Ako delenik e brojot 0, toga{ koli~nikot e ednakov nabrojot 0.

0 : 16 = 0

2 : 0 nema smisla!Brojot 0 ne mo`e da bide delitel.

Izvr{i proverka na dobienite rezultati.

DELEWE14

Presmetaj:

(28 + 32) : 1 = 432 : 3 + 168 =

(40 + 7) ⋅ 12 - 225 : 5 =

108 : 18 + 3 485 : 85 =

3

Odredi go delenikot, ako delitelot e72, a koli~nikot e 102.

So koj broj treba da se podeli brojot 18 712 za da se dobie brojot 1?

76 - 12 ⋅ 3 + 53 - 100 =

anSekoga{ sumprv jas

To~kite odatpred crti~kite

Potseti se i voo~i gi svojstvata na deleweto vo mno`estvoto N0.

B

18

54

: 3 : 6

108

Treba da znae{!

Da odredi{ koli~nik na dvabroja;

da go pretstavi{ delenikotso pomo{ na koli~nikot,delitelot i ostatokot.

Presmetaj go koli~nikot:

1 584 : 9 = 17 472 : 84 =

Presmetaj 1 510 : 125 =Delenikot pretstavi go so pomo{ na koli~ nikot,delitelot i ostatokot.

38

Po kolku marki dobil sekoj? Kolku marki ostanale nepodeleni?

Ako a = 77 i b = 5, odredi go koli~nikot a : b i ostatokot r.Zapi{i go brojot a vo forma a = b ⋅ q + r.

16 : 3; 50 : 15; 125 : 11.

Voo~i deka 71 = 23 ⋅ 3 + 2.

Ivan, Bojana i Beti sobiraat po{tenski marki. Tie imale 71 markai sakale da si gi podelat podednakvo.

4

Odredi gi koli~nikot q i ostatokot r pri deleweto a : b i zapi{i go brojot a voforma a = b ⋅ q + r.

6

5

Vo deleweto 71 : 3 brojot 23 ekoli~nik, a brojot 2 e ostatok.

Ako vo deleweto a : b, brojot q ekoli~nik, a r e ostatok, toga{:

a = q ⋅ b + r

Razmisli i odgovori!

Pri deleweto vo koe delitelot e brojot 8, ostatokot mo`e da bide: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Zo{to ostatokot ne mo`e da bide brojot 8?

Zada~i

Podeli so prviot broj, a potoa dobi-eniot rezultat podeli go so vtoriotbroj.

1.42

84

: 7 : 2

98

Proveri se!

Edno jato lastovici pripreselbata preletalookolu 10 000 kilometri.Najgolemata brzina {to ja dostig-nalo jatoto bila 40 kilometri na~as.Kolku najmalku ~asovi letalojatoto?

39Koj broj treba da se zapi{e vo kva -drat ~eto za da bide to~no deleweto?2.

Zapi{i izraz i presmetaj ja negovatavrednost.

Odredi go zbirot na brojot 85 iproizvodot na broevite 4 i 15.

Na koli~nikot od broevite 210 i 30dodaj go brojot 700.

Koj broj e razlikata me|u proizvo -dot na broevite 120 i 6 i nivniotkoli ~ nik?

3.

Vo kvadrat~eto odredi broj za dabide to~no ravenstvoto:

a) 3 020 = 125 ⋅ 24 + ;

b) 2 100 = 261 ⋅ + 12.

4.

Eden pol`av so najgolemata negovabrzina pominal 12 metri za 4 ~asa.Kolku centimetri pominal pol ̀ a -vot za 1 minuta?

5.

72 63 9

9 600 50

4 169 13

: 9 :

:

:

: 19

: 19

Se se}avam:: 5

⋅ 5

4 10

:

2= 10 : 2

Koi cifri treba da gi zapi{e{ namestata od ∗, za deleweto da bideto~no presmetano.

6.

Dvajca u~enici delele eden ist broj:prviot so 16, a vtoriot so 19. Prviotdobil koli~nik 22 i ostatok 9.Kolkav koli~nik dobil drugiotu~enik?

7.

Zbirot na dva broja e 660. Ako napogolemiot broj mu se izbri{e ednanula oddesno, toga{ tie se ednakvi.Koi se tie broevi?

8.

1∗55 : ∗5 = 3∗ - 13∗

∗∗∗- ∗∗∗

0

40 ZZAVISNOST NA PROIZVODOT I KOLI^NIKOT ODPROMENATA NA KOMPONENTITE

15Potseti se!

Spored koe svojstvo e to~no raven-stvoto:a) 10 ⋅ 4 = 4 ⋅ 10;b) (10 ⋅ 4) ⋅ 5 = 10 ⋅ (4 ⋅ 5)?

Dadeno e: 80 ⋅ 5 = 400. Zapi{i broj vokvadrat~eto za da bide to~no raven-stvoto.a) (80 ⋅ 3) ⋅ 5 = ; b) 80 ⋅ (3 ⋅ 5) = ;

v) 80 ⋅ (5 ⋅ 3) = ; g) (80 ⋅ 5) ⋅ 3 = .

DELENIK DELITEL KOLI^NIK

KOMPONENTI

96 : 24 = 4

Deleweto a : b ima smisla za b ≠ 0.

A Presmetaj go proizvodot 15 ⋅ 6.Potoa, zgolemi go prviot mno -ìtel:a) 2 pati; b) 3 pati; v) 7 patii proveri kolku pati se zgo -lemil proizvodot.[to voo~uva{?

1

Neka a ⋅ b = 50. Presmetaj: a) (a ⋅ 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b ⋅ 10).2

Presmetaj go proizvodot 40 ⋅ 9. Potoa, prviot mnoìtel namali go: a) 2 pati; b) 4 pati; v) 5 pati

i sporedi go dobieniot proizvod so dadeniot. [to zabeleùva{?

3

Ako a ⋅ b = 120, presmetaj kolku iznesuva: a) (a : 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b : 5).4

Dadeno e 15 ⋅ 16 = 240. Presmetaj gi proizvodite: (15 ⋅ 2) ⋅ (16 : 2); (15 : 5) ⋅ (16 ⋅ 5),

a potoa sporedi gi so dadeniot proizvod.

5

Sporedi go tvoeto re{enie so slednoto.15 ⋅ 6 = 90;

a) (15 ⋅ 2) ⋅ 6 = 30 ⋅ 6 = 180 = 90 ⋅ 2.

Sogleda deka dadeniot proizvod sezgolemilb) 3 pati; v) 7 pati.

Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto.40 ⋅ 9 = 360;

a) (40 : 2) ⋅ 9 = 20 ⋅ 9 = 180 = 360 : 2.

Proizvodot e namalen: b) 4 pati; v) 5 pati.

Voo~i deka edniot mnoìtel e zgolemen 2 pati, odnosno 5 pati, a drugiot mnoìtel enamalen 2 pati, odnosno 5 pati. Proizvodot ne se promenil.

Dadeniot proizvode zgolemen 2 pati.

Edniot mnoìtel e nama -len 2 pati i dadeniot pro -izvod e namalen 2 pati.

� � �

41

B Poznato ti e deka 72 : 12 = 6.Presmetaj:a) (72 ⋅ 2) : 12 = ; (72 : 2) : 12 = ; b) 72 : (12 ⋅ 3) = ; 72 : (12 : 3) = ;

v) (72 : 4) : (12 : 4) = ; (72 ⋅ 4) : (72 ⋅ 4) = .

6

Poznato ti e deka a : b = 30.Presmetaj:a) (a ⋅ 2) : b; b) a : (b : 3); v) (a : 5) : (b : 5).

7

Delenikot e zgolemen 2 pati,odnosno namalen 2 pati i ko -li~nikot e zgolemen 2 pati,odnosno e namalen 2 pati.

Op{to za proizvodot a ⋅ b = p

Ako edniot mnoìtel se zgolemi odreden broj pati, a dru-giot mnoìtel ostane ist, toga{ i proizvodot }e se zgolemiisto tolku pati.

(a ⋅ m) ⋅ b = p ⋅ m

Ako edniot od mnoìtelite se namali odreden broj pati, adrugiot ostane ist, toga{ i proizvodot }e se namali istotolku pati.

(a : m) ⋅ b = p : m

Proizvodot ne se menuva koga edniot mnoìtel se namaliodreden broj pati, a drugiot mnoìtel se zgolemi isto tolkupati.

(a : m) ⋅ (b ⋅ m) = p

�

�

�

Op{to za koli~nikot a : b = q

Ako delenikot se zgolemi (odnosno se namali) odredenbroj pati, a delitelot ostane ist, toga{ koli~nikot }e sezgolemi (odnosno }e se namali) isto tolku pati.

(a ⋅ m) : b = q ⋅ m(a : m) : b = q : m

Ako delitelot se zgolemi (odnosno se namali) odredenbroj pati, a delenikot ostane ist, toga{ koli~nikot }e senamali (odnosno }e se zgolemi) isto tolku pati.

a : (b ⋅ m) = q : ma : (b : m) = q ⋅ m

Koli~nikot ne se menuva ako i delenikot i delitelotistovremeno se zgolemat (odnosno se namalat) ist broj pati.

(a ⋅ m) : (b ⋅ m) = q(a : m) : (b : m) = q

�

�

�

Voo~i kolku pati e zgolemen, odnosno namalen: delenikot vo a); delitelot vo b);delenikot i delitelot vo v).

Sporedi gi dobienite koli~nici sodadeniot. [to zabeleùva{?

Sporedi go tvoeto re{enie so slednovo.a) (72 ⋅ 2) : 12 = 144 : 12 = 12 = 6 ⋅ 2;(72 : 2) : 12 = 36 : 12 = 3 = 6 : 2.

Sogleda vo b) deka delitelot e zgolemen (namalen) 3 pati, a koli~nikot e namalen(zgolemen) 3 pati. Koli~nikot vo v) ne se promeni.

42 Treba da znae{!

Kako se menuva proizvodot na dva brojavo zavisnost od promenata namnoìtelite;

kako se menuva koli~nikot na dva brojavo zavisnost od pro menata na deleni -kot, odnosno na delitelot.

Odredi gi nepoznatite broevi p i m, ako:a) 50 ⋅ 23 = p, (50 ⋅ m) ⋅ 23 = p ⋅ 9;b) 30 ⋅ 12 = p, 30 ⋅ (12 : m) = p : 6.

Znae{ deka 600 : 30 = 20. Presmetaj:a) (600 ⋅ 7) : 30; b) 600 : (30 ⋅ 4);v) 600 : (30 : 5); g) (600 : 10) : (30 : 10).

Proveri se!

Zada~i

Daden e proizvodot a ⋅ b = 60. Presmetaj:a) (a ⋅ 3) ⋅ b; b) a ⋅ (b ⋅ 7);v) (a : 4) ⋅ b; g) (a : 6) ⋅ (b ⋅ 6).

1. Vo fabrikata za ~okolada, dve ekipipakuvale ~okoladi od po 100 g voednakvi kutii.Vtorata ekipa spakuvala vkupno 1 680~okoladi, a toa e 3 pati pomalkukutii otkolku prvata ekipa. Kolku ~okoladi spakuvala prvataekipa?

4.

Presmetaj go koli~nikot 7 680 : 240,no prethodno svedi go na delewe soednocifren delitel, koristej}i gosvojstvoto za nepromenlivost nakoli~nikot.

5.

Daden e koli~nikot a : b = 90.Presmetaj:a) (a ⋅ 5) : b; b) a : (b : 6);v) (a ⋅ 7) : (b ⋅ 7) g) (a : 12) : (b : 12).

2.

Dadeno e a ⋅ (b ⋅ 5) = 80. Presmetaj:a) a ⋅ b; b) a ⋅ (b : 4); v) (a ⋅ 8) ⋅ (b : 8).

3.

Zanimliv problem!

Edna èna donela na pazar ko{nica so jajca. Naprviot kupuva~ mu prodala polovinata od jajcata ipolovina jajce, na vtoriot polovina od ostatokot ipolovina jajce, na tretiot polovina od ostatokot ipolovina jajce, na ~etvrtiot polovina od ostatokot ipolovina jajce. Koga pettiot kupuva~ kupil polovinaod ostatokot i polovina jajce, se konstatiralo dekasite kupuva~i kupile celi jajca i ènata gi prodalasite jajca. Kolku jajca donela ènata na pazar?

43BROEN IZRAZ. RAVENKI16Potseti se!

Presmetaj:

a) 26 - 4 ⋅ 5 - 3;

b) 14 + 6 ⋅ (9 - 24 : 3) - 23.

Zbirot na dva broja e 200, aedniot sobirok e 120. Kolkue drugiot sobirok?

Sostavi izraz od podatocite i soodvet-nite operacii.

Po koj redosled }e gi izvr{uva{ operaciite?

120 + 300 : 2 - 4 ⋅ 35 - 50 = 120 + 150 - 140 - 50 == 270 - 190 = 80.

Izrazot {to go sostavi se vika broen izraz.

Rezultatot po izvr{uvaweto na site operacii vonego se vika vrednost na brojniot izraz.

Presmetaj go dobieniot izraz.Proizvodot na dva broja e128, a edniot mnoìtel e 64.Kolku e drugiot mnoìtel?

A Darko imal 120 denari. Majka mu mudala 300 denari da si gi podelat pod-ednakvo so sestra mu. Vo kniàrnicatakupil 4 tetratki po 35 denari i {estarza 50 denari. Kolku denari mu ostanalena Darko?

1

Odredi ja vrednosta na brojniot izraz:

a) 85 + 15 -30; b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2; v) 24 - (16 + 4 ⋅ 3) : 7.2

⋅ x

: 64

12864x

+ x

− 120

200120x

120 + x = 200x = 200 - 120x = 80

64 ⋅ x = 128x = 128 : 64x = 2

Sporedi go tvoetore{enie so dadenoto

Izrazi se slednive zapisi: 3, 5, 140; 13 + 17; 10 - 4 ⋅ 8; 5 + 18 : 6 - (4 ⋅ 25 + 25).

Ne se izrazi: 2 + + 3; 5 -; : (8-2); 2 + ( ⋅ 8).

Sobiraweto i odzemaweto se vikaat operacii od prv red, a mnoèweto i delewetose operacii od vtor red.

Voo~i i zapomni

Prvo }e gi izvr{am operaciite mnoèwe i delewe, potoa sobirawe iodzemawe; no, pred s¢ - vo zagradite.

44

Operaciite od ist red se izvr{uvaat po redosledot kako {to se zapi{ani vo broj -niot izraz.

Op{to za redosledot na izvr{uvawe na operaciite

Voo~i ja postapkata i postapi po barawata.

��

Prvo se izvr{uvaat operaciite od vtor red, a potoa operaciite od prv red.�Ako vo brojniot izraz ima zagradi, toga{ prednost ima izvr{uvaweto na operaciitevo zagradite.

�

Presmetaj ja vrednosta na brojniot izraz:

a) 45 - 5 ⋅ 3 - 24 : 6; b) 5 ⋅ 12 : 3 ⋅ 2; v) 96 + 4 ⋅ (18 - 8 : 2) - (27 - 4 ⋅ 6) : 3.3

Re{i ja ravenkata

a) (x + 1) + 300 = 702; b) 1 432 + x = 3 200 + 17.5

B Rifat zamislil takov priroden broj, koj{to sobran so najgolemiot tricifrenbroj go dava brojot 1 234. Koj e toj broj?

4

Prvo, baraniot broj ozna~i go so nekoja bukva, na primerso bukvata x.

Na brojot x dodaj mu go najgolemiot tricifren broj - toa e 999; taka }e go dobie{zbirot x + 999.

Zna~i, x = 1 234 - 999; x = 235.

Spored uslovite na zada~ata, zbirot x + 999 e ednakov na 1 234, pa x + 999 = 1 234.

Kako }e go odredi{ nepoznatiot sobirok od ova ravenstvo?

Sobirokot x }e go odredam ako od zbirot 1 234 go odzemam drugiotsobirok 999.

+ 999 = 1 234

Ravenstvoto x + 999 = 1 234 so koe go odredi nepoznatiot broj x se vika ravenka.

Nepoznatiot broj x se vika nepoznata.

Odreduvaweto na nepoznatiot broj se vika re{avawe na ravenkata.

x

45Dadena e ravenkata: a) x - 1 270 = 2 380; b) 8 226 - x = 1 149.6

Re{i ja ravenkata: a) x - (1 300 + 78) = 2 630; b) 5 273 - x = 3 700 - 37.7

Vo edna vinarska vizba vo kutii treba da spakuvaat 1 392 {i{iwa, a vo sekojakutija treba da ima po 16 {i{iwa. Kolku kutii bile potrebni?

8

Odgovori na pra{awata i re{i ja dadenata ravenka.

a) � [to e nepoznatiot broj x, a {to se poznatite broevi 1 270 i 2 380?� Kako se odreduva nepoznatiot namalenik pri dadeni namaleitel i razlika?

b) Kako }e go odredi{ nepoznatiot namalitel x vo ravenkata pri dadeniot nama -lenik 8 226 i dadenata razlika 1 149?

Op{to za ravenkite vo koi se odreduva nepoznat: sobirok, namalenik ili namalitel

Ako go ozna~i{ so k brojot na potrebnite kutii, toga{ vo niv }e ima 16 ⋅ k {i{iwa, pa16 ⋅ k = 1 392.

Brojot 1 392 e proizvod na mnoìtelite 16 i k.Kako }e go odredi{ mnoìtelot k?

Namalenikot x }e go odredam taka {to na razlikata 2 380 }e go dodadamnamalitelot 1 270.

Namalitelot x }e go odredam taka {to od namalenikot 8 226 }e ja odze-mam razlikata 1 149.

Mnoìtelot k }e go odredam ako proizvodot 1 392 go podelam somnoìtelot 16.

Nepoznat sobirok, pri poznat zbir i drugiot sobirok, seodreduva taka {to od zbirot se odzema poznatiot sobirok.

x + b = c; x = c - b(b i c se poznati broevi)

Nepoznat namalenik, pri poznati namalitel i razlika, sedobiva koga na razlikata £ se dodade namalitelot.

x - b = d; x = d + b(b i d se poznati broevi)

Nepoznat namalitel, pri poznati namalenik i razlika sedobiva taka {to od namalenikot se odzema razlikata

a - x = d; x = a - d(a i d se poznati broevi)

�

�

�

k = 1 392 : 16; k = 87. [i{iwata bile spakuvani vo 87 kutii.

Re{i ja ravenkata: a) 17 ⋅ y = 595; b) (10 + 3) ⋅ z = 178 + 4.9

46

Potoa obrazloì go zaklu~okot deka x = 47 ⋅ 25.Koj broj e re{enieto? Proveri go svoeto tvrdewe.

Kako moè{ "da ja pro~ita{# ravenkata x : 25 = 47,

t.e. {to se poznatite broevi 25 i 47, a {to e nepoznatata x?

10

"Pro~itaj# ja ravenkata 1 120 : x = 35 i obrazloì go zaklu~okot x = 1 120 : 35.11

Re{i ja ravenkata

a) x : 7 = 63; b) (z + 4) : 10 = 8; v) 1 080 : x = 24; g) 50 : (x + 2) = 10.12

Op{to za ravenkite vo koi se odreduva nepoznatiot: mnoìtel, delenik ili delitel.

Nepoznatiot mnoìtel, pri poznat proizvod i drugiotmnoìtel, se odreduva taka {to proizvodot }e se podeli sopoznatiot mnoìtel.

a ⋅ x = p; x = p : a(a i p se poznati)

Nepoznatiot delenik, pri poznat delitel i koli~nik, seodreduva taka {to koli~nikot }e se pomnoì so delitelot.

x : b = q; x = q ⋅ b(b i q se poznati)

Nepoznatiot delitel, pri poznat delenik i koli~nik seodreduva taka {to delenikot }e se podeli so koli~nikot.

a : x = q; x = a : q(a i q se poznati broevi)

�

�

�

Treba da znae{!

Da odreduva{ vrednost na daden broenizraz;

koi operacii vo broen izraz imaatprednost pri nivnoto izvr{uvawe;

da re{ava{ ravenki spored svojstvatana aritmeti~kite operacii.

Odredi ja vrednosta na brojniot izraz:17 + 3 ⋅ (56 - 4 ⋅ 13) - (62 - 18 : 3).

Re{i gi ravenkite:a) 235 + x = 250; b) x - 37 = 63;v) x : 15 = 10; g) 645 : x = 15;d) (x + 2) ⋅ 35 = 105.

Proveri se!

Zada~i

Odredi ja vrednosta na brojniotizraz:a) 190 - (5 ⋅ 30 - 128 : 16);b) 325 - (144 : 16 + 7 ⋅ 13).

1.

Vo edna firma napolnile 1 360 gajbijabolka, od koi 420 od vidot deli{es,635 ajdaret, a ostanatite gajbi od vi -dot tetovsko jabolko. Kolku gajbitetovsko jabolko bile?

3.

Ana ima 11 godini. Pred 3 godini majka£ imala 4 pati pove}e godini od Ana.Kolku godini ima sega majka £ na Ana?

4.

Jana i Jovan imaat po ist broj orevi.Se znae deka zaedno bi imale 140orevi koga Jana bi imala 2 pati pove -}e, a Jovan 5 pati pove}e. Po kolkuorevi imaat Jana i Jovan?

5.

Re{i ja ravenkata:a) 115 + x = 225; b) 1 320 - x = 1 120;v) 17 ⋅ x = 289; g) x : 30 = 40;d) 483 : x = 23; |) 50 : (x + 2) = 10.

2.

47

Ponedelnik 12

Den Broj na kaseti

R A B O T AS O P O D A T O C I

Sa{o e sopstvenik na videoklub i izdava videokaseti. Podatocite za izdadenitekaseti gi zapi{uval vo tabela.

1

Vtornik 9

Sreda 15

^etvrtok 6

Petok 23

Koj den Sa{o izdal najmnogu kaseti?

Kolku kaseti pove}e bile izdadeni vo petok otkolku vo vtornik?

Kolku vkupno kaseti bile izdadeni?

Sa{o go interesiralo kolku kaseti iz -daval prose~no na den, a za toa e po -trebno da ja presmeta aritmeti~katasredina na broevite od tabelata.

12 + 9 + 15 + 6 + 23 = 65

65 : 5 = 13

Voo~i!

Vkupno izdadenikaseti

Prose~no izdadeni kasetisekoj den

Broj na denovi

Vo tekot na pette rabotnidenovi vo sedmicata Sa{oizdaval pro se~no po 13 videokaseti dnevno.

Brojot 13 e aritmeti~ka sredi-na za broevite 12, 9, 15, 6 i 23.

Pretstavi gi podatocite vo tabela.

Kolku poeni prose~no osvoil Ace na testovite po matematika?

Presmetaj ja aritmeti~kata sredina na broevite: 2

Na testovite po matematika Agim gi postignal sledive rezultati: na testot 1osvoil 89 poeni, na testot 2 osvoil 91 poen, na testot 3 osvoil 100 poeni i natestot 4 osvoil 80 poeni.

3

24, 36, 42; 657, 890, 1 240, 121, 3 522.

ARITMETI^KA SREDINA17

Da zapomnam: Aritmeti~ka sredina na dva ili pove}e broevi ekoli~ nikot od zbirot na tie broevi i brojot na sobirocite.

48

3 3 ⋅ 6

3

9

1 ⋅ 18

2 9 2 ⋅ 9

1 18 1 ⋅ 18

Broj na Broj na u~enici Vkupnoredovi vo sekoj red u~enici

Potseti se!A

Presmetaj:

Vo koi od delewataostatokot e 0?

24 : 6 =

139 : 2 =

265 : 5 =

2 785 : 8 =

Osumnaeset u~enici od VI oddelenie sepodgotvuvaat za patroniot praznik. Tie sa -kaat da nastapat taka {to }e se podredu-vaat vo redovi so ednakov broj u~enici.

1

Na kolku razli~ni na~ini moè da se podredatu~enicite?

Dopolni ja tabelata so podatocite za podreduvawena u~enicite.

Se veli: 18 e deliv so broevite 1, 2, 3, 6, 9i 18. Tie broevi se vikaat deliteli na bro-jot 18. Se zapi{uva: D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

Na kolku na~ini moè da se dobie brojot 18 kakoproizvod na dva broja?

So koi broevi moè da se podeli brojot 18 taka {toostatok pri deleweto da bide brojot 0 (bez ostatok)?

Da zapomnam: Brojot 18 se deliso broevite 1, 2, 3, 6, 9 i 18bez ostatok.

So delewe proveri dali:2

Brojot 4 e delitel na brojot 8 (4 ⋅ 2 = 8 ili 8 : 4 = 2 i ostatok 0).4

brojot 6 e delitel na brojot 24;

brojot 31 e deliv so brojot 5;

brojot 42 e deliv so brojot 6.

Zapi{i 5 broevi {to se delivi so brojot 4.

Odredi go mnoèstvoto D14 na site deliteli nabrojot 14.

3

Voo~i deka za da gi odredi{ site deliteli na brojot 14 treba postapno da deli{ so1, 2, 3, ..., 7.

JAS SUM

DELITEL!

DELIVOST NA PRIRODNI BROEVI.DELIVOST NA ZBIR I RAZLIKA

18

49

B

Prirodniot broj b e delitel na prirodniot broj a, ili a e deliv so b, ako osta-tokot pri deleweto na a so b e 0.

10 : 5 = 2 10 = 5 ⋅ 2

Prirodniot broj b e delitel na prirodniot broj a, ako a = b ⋅ k za nekoj prirodenbroj k. Zapi{uvame: b | a. îtame: b e delitel na a.

Prirodniot broj a e sodràtel na prirodniot broj b, ako b e delitel na a.35 e sodràtel na 5, bidej}i 5 | 35

Sekoj priroden broj e deliv so 1 i sam so sebe.10 : 1 = 10 i 10 : 10 = 1a : 1 = a i a : a = 1

DELITEL NA 10

Proveri dali se delivi so brojot 7: 28, 42 i 28 + 42; 14, 18 i 14 + 18.

Proveri dali se delivi so brojot 3: 9, 24 i 24 - 9; 15, 22 i 22 - 15.

Proveri dali se delivi so brojot 4: 12, 15 i 12 ⋅ 15; 10, 15 i 15 ⋅ 10.

Mnoèstvoto od site sodràteli na brojot 4 go ozna~uvame so S4; S4 = {4, 8, 12, 16, ...}.

5

Delivost na zbirm | a i m | b

m | (a + b)

Delivost na razlikam | a i m | b

m | (a - b)

Delivost na proizvodm | a ili m | b

m | (a ⋅ b)

Ako brojot a e deliv so brojot m i brojot b e deliv sobro jot m, toga{ zbirot (a + b) e deliv so brojot m.

5 | 15 i 5 | 35 5 | (15 + 35)

Ako brojot a e deliv so brojot m i brojot b e deliv sobrojot m, toga{ razlikata (a - b) e deliva so brojot m.

3 | 21 i 3 | 9 3 | (21 - 9)

Ako brojot m e delitel ba rem na eden od broevite a ilib, toga{ m e delitel na proizvo dot (a ⋅ b).

2 | 8 i 2 | 15 2 | (8 ⋅ 15)

Voo~iv vo zada~ata!

Zbirot e deliv so brojot 7 ako dvata sobiroka se delivi so 7.

Razlikata e deliva so brojot 3 ako namalenikot i namalitelot sedelivi 3.

Proizvodot e deliv so brojot 4 ako eden od mnoìtelite e deliv so 4.

Site broevi {to se delivi so brojot 4 se vikaat sodràteli na brojot 4.

�

�

�

�

�

�

�

Zapi{uvame: 5 | 10. îtame: 5 e delitel na 10.

Op{to

50 Od broevite: 15, 18, 25 i 28 odredi dva broja taka {to:zbirot e deliv so 5; razlikata e deliva so 3;

proizvodot e deliv so 7, a ne e deliv so 5.

Voo~i deka nieden od sobirocite, odnosno i namalenikot i namalitelot ne se deliviso 5, a zbirot, odnosno razlikata se delivi so 5.

6

Proveri dali zbirot 12 + 8, odnosno razlikata 24 - 9, se delivi so 5.7

Koga eden priroden broj e deliv sodrug priroden broj;

da odredi{ deliteli i sodràtelina daden priroden broj;

so primer da ja pokaè{ delivostana zbir, razlika i proizvod naprirodni broevi.

Treba da znae{!

Dadeni se broevite: 5, 8, 30 i 56.

Koj od tie broevi e deliv so 6?

Zapi{i gi site deliteli na brojot 30.

Zapi{i tri sodràteli na 5.

Dali brojot 5 e delitel na 58?

Proveri bez da presmetuva{ dali e to~no:

4 | (8 + 36); 5 | (56 - 30);5 | (30 - 5); 5 | (30 ⋅ 6).

Zada~i

Koi od broevite 1, 2, 3, 5 ili 7 sedeliteli na brojot 70?

Odredi gi site deliteli na brojot64.

Proveri dali 4 | 12; 3 | 36; 10 | 1 000.Zapi{i 7 sodràteli na brojot 3. Kolku sodràteli ima brojot 3?

1.

Zapi{i po eden primer za da japokaè{ delivosta na:

zbir na 4 prirodni broevi so broj;

razlika na 2 prirodni broevi sobroj;

proizvod na 3 prirodni broevi sobroj.

2.

Bez da go presmeta{ zbirot, odnosnorazlikata, odredi dali e deliv so 5.

a) 40 + 25; b) 27 + 20;

v) 50 - 15; g) 35 - 29.

3.

Bez da gi presmetuva{ proizvodite,utvrdi koj od niv e deliv so 3, a kojso 7.

a) 9 ⋅ 5; b) 4 ⋅ 14 ⋅ 2;

v) 5 ⋅ 12; g) 8 ⋅ 21 ⋅ 5.

4.

Neka A = {6, 7, 13, 16, 24, 32, 43}.Zapi{i go tabelarno mnoèstvotoB = {x | x ∈ A i 4 | x}.

5.

Proveri se!

51

Voo~i ja postapkata

132 : 2 = (130 + 2) : 2; 2 | 132, bidej}i 2 | 130 i 2 | 2.254 : 2 = (250 + 4) : 2; 2 | 250, bidej}i 2 | 250 i 2 | 4.365 : 2 = (260 + 5) : 2; 2 | 365, bidej}i 2 | 360 i 2 | 5.

Zapomni!

Eden broj e deliv so 2, ako cifrata na edinicite na tojbroj e 0, 2, 4, 6 ili 8.

Koi od broevite: 132,254 i 365 se deliviso 2?

2

Koj od broevite: 530, 738, 1 336, 1 112 i 2 243 e deliv so 2?3

Moàm da voo~am! Dali eden broj e deliv so 2 ili ne e, zavisi od cif-rata na edinicite na toj broj.

A

Proveri dali broevite: 10, 70 i 270 sedelivi so 2.

Za da utvrdi{ dali eden broj edeliv so drug broj, dovolno e dago odredi{ nivniot koli~nik.

Delivosta moè da se utvrdi ibez da se vr{i deleweto. Toa gopravime so pomo{ na kriteriumiili takanare~eni priznaci zadelivost.

1

Voo~i ja postapkata

10 = 2 ⋅ 5; 2 | (2 ⋅ 5), t.e. 2 | 10.70 = 7 ⋅ 10; 2 | (7 ⋅ 10), t.e. 2 | 70.290 = 29 ⋅ 10; 2 | (29 ⋅ 10), t.e. 2 | 290.

Moàm da voo~am!

Brojot {to zavr{uva nanula, moè da se zapi{e ka -ko proiz vod vo koj eden mno -ì tel e 10. Toj proizvod edeliv so 2.

Sekoj broj na koj cifratana edinici e 0 e deliv so 2.

PRIZNACI ZA DELIVOST SO 2 I SO 519Potseti se!

Eden priroden broj e deliv so drugpri roden broj ako ostatokot prideleweto e 0.

Odredi koj od broevite: 37, 64 i 310e deliv so 2.

Koj od broevite: 65, 800 i 273 edeliv so 5?

�

��

��

Ova tvrdewe se vika priznak za delivost so 2.

52

Moàm da voo~am! Brojot~ija cifra na edinici e5 e deliv so 5.

B Voo~i ja postapkata10 : 5 = (2 ⋅ 5) : 5; 5 | 10 bidej}i 5 | 2 i 5 | 5.70 : 5 = (10 ⋅ 7) : 5; 5 | 70 bidej}i 5 | 10 i 5 | 7.360 : 5 = (10 ⋅ 36) : 5; 5 | 360 bidej}i 5 | 10 i 5 | 36.

Moàm da voo~am!

Brojot ~ija cifra na edinici e nula moè da se zapi{e kako pro izvodvo koj eden od mnoìtelite e 10.

Toj priroden broj e deliv so 5.

Sekoj priroden broj na koj cifrata na edinicite e 0 e deliv so 5.

Proveri dalibro e vite: 10,70 i 360 sedelivi so 5.

4

Voo~i ja postapkata

65 : 5 = (60 + 5) : 5; 5 | 65, bidej}i 5 | 60 i 5 | 5.105 : 5 = (100 + 5) : 5; 5 | 105, bidej}i 5 | 100 i 5 | 5.263 : 5 = (260 + 3) : 5; 5 | 263, bidej}i 5 | 260 i 5 | 3.

Koi od broevite: 65,105 i 263 se deliviso 5?

5

�

��

��


Zapomni!

Eden broj e deliv so 5, ako cifratana edinicite na toj broj e 0 ili 5.

Koj od broevite: 180, 243, 525, 420 i 1 275 e deliv so 5?6

Da proveri{ dali nekoj priroden broj edeliv so 2, odnosno so 5, bez da goizvr{i{ deleweto;

da go primeni{ priznakot za delivostso 2, odnosno so 5, vo zada~i.

Treba da znae{!

Koj od broevite: 13, 24, 15, 57, 155, 850 i1 000 e

deliv so 2; deliv so 5;

deliv so 2 i so 5?

Proveri se!

Zada~i

Bez da go izvr{i{ deleweto proverija delivosta so 2 na broevite: 28, 70,96, 797, 2 001 i 25 000.

1.

Iskaì go priznakot za delivost so 5.2.

Koi od broevite: 102, 275, 400, 876 i995 se delivi so 5?

3.

Ana imala pove}e od 60, a pomalku od70 bonboni. Taa gi podelila bonbo ni tena 5 svoi drugarki podednakvo.

Kolku bonboni imala Ana?

4.

53

BOdredi go zbirot na cifrite na sekoj od broevite.

Utvrdi na koi od broevite zbirot na cifrite e deliv so 9?

Mo`am da voo~am! Koga eden broje deliv so 3 i zbirot na negovitecifri e deliv so 3.

Mo`am da voo~am! Koga edenbroj e deliv so 9 i zbirot nanegovite cifri e deliv so 9.

Zapomni!

Eden broj e deliv so 3, akozbirot od cifrite so koi toj ezapi{an e broj deliv so 3.

Zapomni!

Eden broj e deliv so 9, akozbirot od cifrite so koi toj ezapi{an e broj deliv so 9.

Koj od broevite: 111, 292, 1 112 i 1 236 e deliv so 3?3

Koi od bro e vite: 78, 117, 348, 486 i 1 567 se delivi so brojot 9?4

so 3; so 9; so 3 i so 9.

Bez da deli{ opredeli koj od broevite: 459, 774, 1 497, 5 640, 6 327 i 7 235 e deliv:5

Zapi{i tri broja ~ij zbir na cifrite edeliv so 3.

2

Proveri dali broevite {to gi zapi {ase delivi so 3.

PRIZNACI ZA DELIVOST SO 3 I SO 920Potseti se!

Odredi koi od broevite: 9, 66, 171i 231 se delivi so 3.

Koi od broevite: 18, 999, 1 062 i 11 000 se delivi so 9?

A Koi od broevite: 72, 84, 297 i373 se delivi so brojot 3?

1

Odredi go zbirot na cifrite nasekoj od broevite.

Utvrdi kaj koi od broevite zbi -rot na nivnite cifri e delivso 3.

Utvrdi koi broevi se delivi so3 i kaj koi broevi zbirot na ci -frite e deliv so 3. [to zaklu -~uva{?



54 Mo`am da voo~am! Broevite: 459, 774 i 6 327se delivi so 3 i so 9.

Zapomni!

Sekoj broj {to e deliv so9 e deliv i so 3.

Ako saka{ da znae{ pove}e!

Obidi se da zaklu~i{!

Zo{to eden broj e deliv so 9 koga zbirot na negovite cifri e deliv so 9?

Voo~i na sledniov primer: 486 = 400 + 80 + 6 = 100 ⋅ 4 + 10 ⋅ 8 + 6 = =(99 + 1) ⋅ 4 + (9 + 1) ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4) + 1 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 + 1 ⋅ 8 + 6 = (99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8) + (4 + 8 + 6);

Izrazot 99 ⋅ 4 + 9 ⋅ 8 e deliv so 9 spored praviloto za delivost na proizvod i zbir.

Od vrednosta na izrazot 4 + 8 + 6 zavisi dali brojot 486 e deliv so 9.

4 + 8 + 6 = 18; 9 | 486, bidej}i 9 | 18.Na sli~en na~in poka`i ja delivosta na brojot 123 so 3.

Milica vlegla vo prodavnica da kupi eden sladoled i tri ~okoladi. Znaela dekasladoledot ~ini 60 denari. Prodava~ot i rekol deka treba da plati 220 denari. Taarekla deka smetkata ne e to~na. Prodava~ot povtorno presmetal i se izvinil. KakoMilica znaela deka smetkata ne e to~na, a ne ja znaela cenata na ~okoladata?

Koj priroden broj e deliv so 3;

da odredi{ dali daden broj e deliv so 9;

sekoj priroden broj {to e deliv so 9 e deliv so 3.

Treba da znae{!

Koi od broevite: 75, 94, 258 i 347 sedelivi so 3?

Koja cifra treba da stoi na mestoto na ∗vo 5 6∗3 za da se dobie broj deliv so 9?

Zapi{i eden broj {to e deliv so 3 i so 9.Zada~i

Koi od broevite 348, 512, 1 245 i 6 123 se delivi so 3?

1.

Koi od broevite 4 279, 9 126 i 540 sedelivi so 9?

2.

Koja cifra treba da se zapi{e namestoto ozna~eno so ∗, za dobieniotbroj da bide deliv so 3?

1 3∗7; 6 53∗; 3 ∗25; 24 ∗62.

3.

Zameni ja yvezdi~kata so cifra, takadobieniot b

Documents

DEVETGODI[NO OSNOVNO OBRAZOVANIE · 2018. 8. 31. · prirodni broevi 23 9. Instrumenti za pribirawe podatoci 26 10. Sobirawe 27 11. Odzemawe 29 12. Zavisnost na zbirot i razlikata