SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO

Pós-graduação em Engenharia de Transportes

D f õ N t ã I di i lDeformações na Notação IndicialMAJ MONIZ DE ARAGÃO

• Campo de deslocamentos; Componentes de deformação; Relações deformação-deslocamento; Deformação linear específica numa direção qualquer; Deformações Principais.

Referências bibliográficas:• Elasticidade Não Linear, Taborda Garcia, L. F., Ed. Letra Capital,

2007.• Theory of Elasticity, Timoshenko, S. P., Goodier, J.N., McGraw-Hill

Classic Textbook Reissue Series, 3rd Ed., 1970.

Notação Indicial (Indicial Notation)ç ( )

Notação indicial é uma forma compacta de escrever sistemas deequações.

Ela pode ser usada em substituição da forma escrita por extensoou representação matricialou representação matricial.

A t i é i li t t dA matriz é mais valiosa para representar o armazenamento devalores no sistema, mas para escrever equações em uma formacompacta, e especialmente para tensores de ordem superior, anotação indicial é mais eficiente.

Deformações: notação indicialç ç

Na notação indicial no lugar das variáveisNa notação indicial, no lugar das variáveis

x, y e z usa-se:33,x

(subentende-se i=1, 2 ou 3) 3A*

2

1

xx

xix“tensor de 1ª ordem”

3xA

3x

Desta forma, a posição dos pontos após a deformação pode ser definida como:

1x

2x22,x

2

321 xxxii ,, ou inversamente por:

1

11,xi Coordenadas Eulerianasix Coordenadas Lagrangianas

321 ,,ii xx

Regras da notação indicial

1 Quando um índice aparece uma única vez em um termo

g ç

1. Quando um índice aparece uma única vez em um termo(monômio), é chamado de índice livre (unique/free index) eassume sucessivamente os valores 1, 2 e 3. O número de índiceslivres indica a ordem do tensor:livres indica a ordem do tensor:

Regras da notação indicial

2 Quando um índice aparece duas vezes em um termo (monômio) é

g ç

2. Quando um índice aparece duas vezes em um termo (monômio), é denominado de índice mudo (repeated/dummy index) e corresponde à soma implícita de três termos (regra de soma de Einstein):

3. O mesmo índice pode não aparecer mais que duas vezes em qualquer termo (monômio) dado dentro de uma equação.

Exemplos de notação indicialp ç

iB

B iB

Tensor de 1ª ordem

Exemplos de notação indicialp ç

Tensor de 2ª ordem

Deformações: notação indicial

C d d E l i d it f ã d

ç ç

Como as coordenadas Eulerianas podem ser escritas em função de

, suas diferenciais totais são:i

321 xxx ,,

Deformações: notação indicial 33

22

11

dxx

dxx

dxx

d iiii

321 xxxii ,,

i dd

Na notação indicial tem-se:

jj

ii dx

xd

Analogamente, fazendo-se: , obtém-se: 321 ,,ii xx

ixj

j

ii dxdx

Deformações: notação indicialç ç

O comprimento ds do segmento AB fica então:O comprimento ds do segmento AB fica então:

dxdxdxdxdxds 2222iidxdxdxdxdxds 321

Na configuração deformada, temos analogamente:

2222iidddddds 2

32

22

12*

kjk

i

j

i dxdxxx

ds

2*

jj

ii dx

xd

mas

j

notação indicial: delta de Kroneckerç

Exemplos:

jiji AA

AA jkijik AA

Deformações: notação indicialç ç

Quantificando se a variação de comprimento do segmento através daQuantificando-se a variação de comprimento do segmento através da diferença entre os quadrados dos segmentos, após e antes da deformação, evita-se a medição dos deslocamentos de corpo rígido, obtendo-se:

kikjij dxi

dxikj

k

i

j

i dxdxdxdxxx

dsds

22*

kjjk

kikjij

dxdx

kjjkii dxdxdsds

22*kjjk

kj

dxdxxx

dsds

2é o TENSOR DEFORMAÇÃO DE GREEN,

ij2

ii1 Ç

expresso em função das coordenadas Lagrangianas xi

jkk

i

j

iij xx2

1 [Eq. 1]

Como o Tensor de Green se relaciona com a definição de deformação linear específica ?definição de deformação linear específica ?

Denominando se de u as componentes do deslocamento de um ponto A tem seDenominando-se de ui as componentes do deslocamento de um ponto A, tem-se a seguinte relação entre as coordenadas:

iii xu 22 x 22,x

A*

exprimindo também os deslocamentos em função das coordenadas Lagrangeanas, pode-se obter:

2u

A*

u

p

321 ,, xxxuu ii

2x2 A

j

i

j

i

j

i

xx

xxu

1x11,x

1u

ij

jjj

ii u

[Eq. 2]1x

1

1u ijjj xx

[ q ]

Como o Tensor de Green se relaciona com a definição de deformação linear específica ?definição de deformação linear específica ?

S b tit i d E 2 E 1 bté ã d T d GSubstituindo-se a Eq. 2 na Eq. 1, obtém-se a expressão do Tensor de Green em função dos deslocamentos:

ijkjj

kki

i

kij x

uxu

21

ijkjkik

kikjkkk

ijuuuu

21

jjj

jiji

j xxxx2

Pode se perceber que o tensor geral

j

k

i

k

i

j

j

iij x

uxu

xu

xu

21

Pode-se perceber que o tensor geral de (grande) deformação contém um termo quadrático. Isto significa que todas as análises de grandes jiij xxxx2 todas as análises de grandes deformações são não-lineares.

Regras da notação indicial: convenção da derivada

4 Uma vírgula entre índices implica uma derivada relativamente à

g ç ç

4. Uma vírgula entre índices implica uma derivada relativamente à variável designada pelo(s) índice(s) depois da vírgula:

j

iji x

uu

,i

jmi xxuu

2

,jx mj xx

jkikijjij

k

i

k

i

j

j

iij uuuu

xu

xu

xu

xu

,,,,21

21

jiij

Relações Deformação – DeslocamentoSi lifi ã d d fi ãSimplificação para pequenas mudanças de configuração

Considerando a classe de problemas em que as derivadas dos deslocamentos p qem relação às coordenadas são muito pequenas em relação à unidade:

1u1u kk

11

x ii

,

os termos quadráticos na equação do tensor deformação se tornam de ordem inferior em relação aos lineares, podendo ser desprezados. Além disso, passa a ser irrelevante que as derivadas dos deslocamentos sejam calculadas para um certo ponto na sua posição inicial ou final, não sendo necessário portanto se di ti i t d d L E l i õ ddistinguir entre coordenadas Lagrangeanas e Eulerianas nas expressões das componentes da deformação.

Tem-se assim:

ijjiij uu21

,, Assim, supondo-se que a deformação é pequena, caem os termos quadráticos do t d G l i l à d fi i ã

ijjiij 2 ,, tensor de Green e ele se iguala à definição de deformação específica linear

Relações Deformação – Deslocamento LinearesRelações Deformação Deslocamento Lineares

Na notação algébrica usual: ,,,, 321 zyxxxx Na notação algébrica usual:

,,,,,,,,

321

321

wvuuuuzyxxxx

...,,...,, xyxx1211

u

1vu1

vxu

y

x

xzxz

xyxy

1wu121

xv

yu

21

zwy

z

y

yzyz

xzxz

21

yw

zv

21

2xz2

z 2yz2

x é o alongamento relativo da projeção em x de um segmento elementar originalmente na direção x.

x é o alongamento relativo de um segmento elementar na direção x.

Deformação linear numa direção qualquerç ç q q

Na figura abaixo um segmento elementar PQ de comprimento ds e direção s éNa figura abaixo, um segmento elementar PQ de comprimento ds e direção s é representado na sua configuração inicial.

co-senos diretores:co senos diretores:

xs

ddx ,cos1

d

ysdsdyds

,cos2

zs

dsdz ,cos3

Transformação dos Tensoresç

Pode se mostrar pelas propriedades dos Tensores que o Tensor de primeira ouPode-se mostrar pelas propriedades dos Tensores, que o Tensor de primeira ou segunda ordem pode ser colocado sob novas coordenadas x’, y’, z’ como:

t

Lei de Transformação do Tensor de 1ª ordem: ρR ρ 'tRρR ρ 'Lei de Transformação do Tensor de 2ª ordem:

onde:

),'cos(),'cos(),'cos(),'cos(),'cos(),'cos(

232221

131211

zyyyxyzxyxxx

ij

R

onde:

),'cos(),'cos(),'cos(),(),(),(

333231

232221

zzyzxz

yyyyij

IRR ijjit ij

Deformação linear numa direção qualquerç ç q q

Após a deformação o segmento passa para a posição P*Q* de comprimento ds*Após a deformação o segmento passa para a posição P Q de comprimento ds .

As projeções dos deslocamentos up e uq sobre a direção s são dadas por:

ssPs uu

ddus

ds

dsuu s

PsQs

Deformação linear numa direção qualquerç ç q q

Considerando se a hipótese de pequenas mudanças de configuração:Considerando-se a hipótese de pequenas mudanças de configuração:

dsudsduuds s

*

dsdu

ds

dsudsds

uds

dsdsds s

ss

s

*

ijsjsisiiss u ,

ijtjsist Para deformações angulares:

Deformação linear numa direção qualquerç ç q q

ys

xs

s

s vetor de deformações no ponto M associado ao plano de normal s

zs M

Fórmula de Cauchy

xzxyxxxs

nm

zzzyzx

yzyyyx

zs

yss

jiji

Transformação dos Tensoresç

Lei de Transformação do Tensor de 2ª ordem:

ijqjpipq εε '

Equações de compatibilidade de deformações:

0 kiljljkiijklklij εεεε ,,,, kiljljkiijklklij