DÃY SỐ CHUỖI SỐ - bai-giang.webnode.vn. DÃY SỐ-CHUỖI SỐ.pdf · - các chuỗi số phổ biến - sự hội tụ và các tiêu chuẩn hội tụ - hội tụ tuyệt

GV: ThS. PHẠM THỊ YẾN ANH

Email: [email protected]

CHƯƠNG III

DÃY SỐ - CHUỖI SỐ

CALCULUS FOR COMPUTING

NỘI DUNG

- Khái niệm, tính chất dãy số và chuỗi số

- Dãy đơn điệu

- Các chuỗi số phổ biến

- Sự hội tụ và các tiêu chuẩn hội tụ

- Hội tụ tuyệt đối

2 CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ


1. DÃY SỐ



Vi du: Cho cac day sô sau:

a/ {1} = 1, 1, 1, …, 1, …

b/ {(-1)n } = -1, 1, -1, …, (-1)n ,…

c/ 1

𝑛= 1,

1

2,1

3, … ,

1

𝑛, …

d/ {n2} = 1, 4, 9, …, n2, …

e/ 𝑛

𝑛+1=

1

2,2

3,3

4… ,

𝑛

𝑛+1, …



GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ


Số L đươc goi la giơi han cua day 𝑎𝑛 nếu

vơi moi sô 𝜀 dương be tuy y cho trươc, tôn tai

một sô tư nhiên n0 sao cho vơi moi n > n0 thi

∀𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ 𝑅: ∀𝑛 > 𝑁 ⇒ 𝑥𝑛 − 𝐿 < 𝜀.

Ta viết: lim𝑛→∞

𝑎𝑛 = 𝐿 hay 𝑎𝑛 → 𝐿 𝑘ℎ𝑖 𝑛 → ∞

Khi đó, day 𝑎𝑛 có giơi han hữu han đươc goi

la day hội tu ; Ngươc lai ta goi là dãy phân kỳ.


TÍNH CHẤT



Tinh cac giơi han sau:

a/ lim𝑛→∞

3𝑛−5

9𝑛+1 (dang

∞

∞)

b/ lim𝑛→∞

3𝑛3+5𝑛−4

𝑛2+5 (dang

∞

∞)

c/ lim𝑛→∞

3𝑛+4

𝑛2+5 (dang

∞

∞)

d/ lim𝑛→∞

( 2𝑛 + 3 − 𝑛 − 1 ) (dang ∞ −∞)

e/ lim𝑛→∞

𝑛2(𝑛 − 𝑛2 + 1) ( d𝑎 𝑛𝑔 ∞. 0)

7

VÍ DỤ


f/ lim𝑛→∞

3𝑛2+𝑛−1

4𝑛2+2

3

g/ lim𝑛→∞

𝑛2− 𝑛33 + 𝑛

h/

i/

8

VÍ DỤ


j/ lim𝑛→∞

1+22+32+⋯+𝑛2

𝑛3+5

9

VÍ DỤ

Giải. Ta có: 2 2 2

3 3

1 2 3 ... 1 ( 1)(2 1).65 1 5 1n

n n n nx

n n n n.

Vậy 3

1 ( 1)(2 1) 1lim6 155 1n

n n nL

n n.


k/

10

VÍ DỤ

Giải. Ta có: 1

2 2 2

2 2

9 2 5 1 9 2 5ln .ln1 2 1

n

nn n n n nn n n

nx e e .

Vậy

2

2

1 9 2 5lim . lim ln

2 1n n

n n n

n nL e

2

2

1 9 2 5.ln lim2 1 ln3 3

n

n n

ne e .


l/

11

VÍ DỤ

Cách khác

1lim

12 22

2

9 2 5lim 9 3

1

n

n

n

n

n nL

n.


m/

12

VÍ DỤ

Cách khác

1lim

12 22

2

9 2 5lim 9 3

1

n

n

n

n

n nL

n.


TÍNH CHẤT

Định lý 2. (Nguyên lý kẹp)



TÍNH CHẤT


Định lý 3. (Liên hệ vơi hàm liên tục)


TÍNH CHẤT



CHƯƠNG 1. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Một số kết quả giới hạn cần nhớ

1) lim ,nk k k

2) 1

lim =0 lim =nn n

n

xx

; lim = lim =n nn nx a x a .

3) 1

lim 0, 0n n

; 1

lim 0, 1nn

.

4) Nếu 1a thì lim 0n

na ; 1a thì lim n

na .

5) lim 1n

na ( 0a ); lim 1n

nn ;

1lim 1

n

ne

n.

16


7) Tính

limg n

nL f n

(dang 1)

Ta áp dụng công thức lim 1 .

lim nf n g ng n

nL f n e

6) Nếu 1, 1 thì ln

lim lim 0nn n

n n

n.

Một số kết quả giới hạn cần nhớ

17


VÍ DỤ



VÍ DỤ


CALCULUS FOR COMPUTING 20

CHƯƠNG III. DÃY SỐ-CHUỔI SỐ


VÍ DỤ



VÍ DỤ



DÃY ĐƠN ĐIỆU


Day sô 𝑎𝑛 goi la tăng nếu an < an+1 , ∀𝑛 ∈ 𝑁

∗

Day sô 𝑎𝑛 goi la giam nếu an > an+1 , ∀𝑛 ∈ 𝑁

∗

Day sô tăng hay giam đươc goi la day sô đơn điêu.


DÃY SỐ BỊ CHẶN


Day sô 𝑎𝑛 goi la bi chăn trên nếu tôn tai sô

M sao cho 𝑎𝑛 ≤ 𝑀,∀𝑛 ∈ 𝑁∗

Day sô 𝑎𝑛 goi la bi chăn dươi nếu tôn tai sô

m sao cho 𝑎𝑛 ≥ 𝑚,∀𝑛 ∈ 𝑁∗

Day sô vưa bị chăn trên vưa bị chăn dươi goi

la day sô bi chăn.


TÍNH CHẤT



Vi du

a/ Day 1

𝑛 la day giam, bị chăn dươi bơi 0 va bị

chăn trên bơi 1, nên day bị chăn.

b/ Day {n2} la 2 day tăng, bị chăn dươi bơi 1

nhưng không bị chăn trên nên day không bị

chăn.

c/ Day {(-1)n } không tăng, không giam va nó bị

chăn dươi bơi -1 va bị chăn trên bơi 1.



BÀI TẬP



2. CHUỖI SỐ



2. CHUỖI SỐ



2. CHUỖI SỐ



VÍ DỤ


1 1 1...

1.2 2.3 1

1 1 1 1 1 1 1... 1 1

1 2 2 3 1

nSn n

nn n n

1

11 Héi tô

1n n n


VÍ DỤ


1 1 1

1 1ln 1 ln ln 1 ln

ln 2 ln1 ln 3 ln 2 ... ln 1 lnn

ln 1 Ph©n kú

n n n

n

k k k

kS k k

k k

n

n

1

1ln 1

n n

Xét tính hội tụ cua chuỗi


VÍ DỤ


1

1 1 1 1 11 ... .

2 3

n

n

k

S nn n n

n

Vậy chuỗi phân kỳ

1

1

n n

Xét tính hội tụ cua chuỗi


CHUỖI HÌNH HỌC



VÍ DỤ



TÍNH CHẤT



TÍNH CHẤT





CHUỖI SỐ DƯƠNG



CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ DƯƠNG

1. Tiêu chuẩn so sánh




1. TIÊU CHUẨN SO SÁNH




Ví dụ 1: Xét tính hội tụ cua chuỗi

1

1

n n

1ln 1

Ta cã: 11lim

n

n

n

1 1

1 1m¯ ln 1 ph©n kú nªn ph©n kú

n nn n




Ví dụ 2: Xét tính hội tụ cua chuỗi

2

1 1

1/ .sin / 1n

n n

a n b nn

2

21 1

1 1/ Ta cã: sin ~

1 1ph©n kú nªn .sin ph©n kú

n n

a nn n

mµ nn n




1ln

1 1

1 1/ Ta cã: 1 1 ~ ln

1m¯ ph©n kú nªn 1 ph©n kú

nn n

n

n n

b n e nn n

nn


2. TIÊU CHUẨN HỘI TỤ D’ALEMBERT



VÍ DỤ


2

1 1 1

° ¸ :

5 !1 1 . !/ 1 / /

3 2 !

n n n

n nn n n

Kh os t sù héi tô

n e na b c

n n n

1 1

11

1 1 11 1

13 1 1/

31 1 11 1

3

1 1. 1 Héi tô

3 3

n n

nn

n n

n

n

a n na

a

n n

e

e


VÍ DỤ


21

21

1

2 2

2

5 1 !

2 1 ! 5 1 ! . 2 !/

5 ! 5 ! . 2 2 !

2 !

5 1 51

2 1 2 2 4

chuçi ph©n kú

n

n

n

n nn

n

n n nab

a n n n

n

n

n n


VÍ DỤ


1

1 1

1

1

. 1 !

1 . 1 !./ 1

. ! 11 . . !1

cha thÓ kÕt luËn ®îc

n

n n n

n

n n nnn

n

e n

n e n na ec

e na n e n

n n



Khao sát sự hội tụ cua chuỗi:


TIÊU CHUẨN CĂN THỨC CAUCHY



VÍ DỤ


1

° ¸ :2nn

nKh os t sù héi tô

1Ta cã: 1

2 2

n

nn

na héi tô


VÍ DỤ


Khao sát sự hội tụ cua chuỗi:


3. TIÊU CHUẨN TÍCH PHÂN MACLAURIN-CAUCHY



VÍ DỤ


1 2

° ¸ :

1 1/ /

.lnn n

Kh os t sù héi tô

a bn n n


CHUỖI ĐAN DẤU



VÍ DỤ



TIÊU CHUẨN HỘI TỤ CỦA CHUỖI ĐAN DẤU



VÍ DỤ



HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI VÀ HỘI TỤ CÓ ĐIỀU KIỆN









TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI



CHUỖI LŨY THỪA




CHUỖI LŨY THỪA



CHUỖI LŨY THỪA


ĐỊNH LÝ HỘI TỤ CỦA CHUỖI LŨY THỪA



VÍ DỤ



VÍ DỤ



BÀI TẬP 1



BÀI TẬP 2



BÀI TẬP 3



BÀI TẬP 4



BÀI TẬP 5


Documents

DÃY SỐ CHUỖI SỐ - bai-giang.webnode.vn. DÃY SỐ-CHUỖI SỐ.pdf · - các chuỗi số phổ biến - sự hội tụ và các tiêu chuẩn hội tụ - hội tụ tuyệt