27/06/2013 Bất đẳng thức phụ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/63996-bất-dẳng-thức-phụ/ 1/8

Diễn đà n Toá n học → Toá n Tr u n g học Phổ th ôn g v à Th i Đại học → Bất đẳn g thức v à cực tr ị

T ra n g 1 / 4

Bất đẳng thức phụBắt đầu bởi v ietfrog, 25-1 0-201 1 - 1 9:51

Quyên gópQuyên góp,, TTổổng hng hợợpp,,

vietfrog

BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ

Trong nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức ở cấp THPT, ta thường bắt gặp các Bất đẳng thức phụ , các Bổ đề nhỏ.

Có khi các Bất đẳng thức, Bổ đề đó ta có thể dễ dàng nghĩ tới để sử dụng. Nhưng cũng có khi ta băn khoăn không hiểu vì

sao lại sử dụng bất đẳng thức phụ đó và đôi khi ta không biết về nó.

Chính vì vậy, mình mở topic này để cùng anh em VMF thảo luận, thu thập, tổng hợp các Bất đẳng thức phụ.

Biết càng nhiều Bất đẳng thức phụ xem như ta có thêm nhiều vũ khí, khi cần có thể đem ra dùng để đối phó với các bài

toán Bất đẳng thức.

Rất mong được mọi người ủng hộ.

* Một số yêu cầu nhỏ:

- Các Bất đẳng thức phụ đưa ra phải có hình thức ngắn gọn.

- Cách chứng minh các Bất đẳng thức phụ đó cần rõ ràng, mạch lạc, càng ngắn gọn càng tốt.

- Mọi người đưa BĐT phụ lên nếu có thể thì chứng minh luôn.

- Mọi người có thể post nhiều cách chứng minh bổ đề.

- Topic ứng dụng các BĐT phụ này sẽ được mở sau khi đã có số lượng BĐT phụ phong phú.

Hy vọng mọi người tham gia nhiệt tình để tổng hợp thành một tài liệu hay cho VMF.

Bài v iết đã được ch ỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 25-1 0-201 1 - 21 :25

Đã gửi 2 5 -1 0-2 01 1 - 1 9 :5 1

vietfrog

BĐT 1:

Chứng minh rằng: Với và thì ta luôn có:

Chứng minh

Ta có:

Theo BĐT AM-GM ta có:

Tương tự ta cũng có được:

Từ ta có đpcm.

Bài v iết đã được ch ỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 25-1 0-201 1 - 20:07

Đã gửi 2 5 -1 0-2 01 1 - 2 0:06

a, b, c > 0 abc ≤ 1

+ + ≥ a + b + ca

c

b

a

c

b

abc ≤ 1 ⇒ ≥ a1bc

+ = + + ≥ 3 ≥ 3 = 3a(1)2a

c

c

b

a

c

a

c

c

b

a2

bc

−−−√3 . aa2− −−−

√3

+ ≥ 3b(2); + ≥ 3c(3)2b

a

a

c

2c

b

b

a

(1); (2); (3)

vietfrogĐã gửi 2 5 -1 0-2 01 1 - 2 0:1 1

27/06/2013 Bất đẳng thức phụ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/63996-bất-dẳng-thức-phụ/ 2/8

BĐT 2:

Với ta luôn có:

Chứng minh

Biến đổi tương đương:

Ta có đpcm.

Bài v iết đã được ch ỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 25-1 0-201 1 - 23:37

ab ≥ 1

+ ≥1

1 + a2

1

1 + b2

21 + ab

+ ≥1

1 + a2

1

1 + b2

21 + ab

⇔ − + − ≥ 01

1 + a2

11 + ab

1

1 + b2

11 + ab

⇔ ≥ 0(ab − 1)(a − b)2

(1 + )(1 + )(1 + ab)a2 b2

vietfrog

BĐT 3:

Cho . Chứng minh rằng:

Chứng minh:

Trước tiên ta xét:

.

Ta có: ; . Lập BBT.

Chọn ta có:

BĐT trên là BĐT tổng quát giúp ta dễ nhớ.

Từ BĐT trên ta có thể thay n=2,3,4...

Sẽ được một số BĐT phụ khá hữu ích. ( cái mà ta muốn nói đến)

; ....

Bài v iết đã được ch ỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 25-1 0-201 1 - 23:51

Đã gửi 2 5 -1 0-2 01 1 - 2 3 :4 6

a, b ∈ R; n ∈ N ∗

≥+an bn

2( )a + b

2

n

f(x) = + (c − x ; c > 0, n ∈xn )nN ∗

(x) = n − n(c − xf ′ xn−1 )n−1 (x) = 0 ⇔ x =f ′ c

2

BBT → f(x) ≥ f( ) ⇔ + (c − x ≥ 2c

2xn )n ( )c

2

n

x = a; c = a + b

+ ≥ 2 ⇔ ≥an bn ( )a + b

2

n +an bn

2( )a + b

2

n

≥+a3 b3

2( )a + b

2

3

≥+a4 b4

2( )a + b

2

4

alex_hoang

BĐT4

Cho các số thức dương .CMR

Đã gửi 2 6 -1 0-2 01 1 - 01 :03

a, b

+ ≥1a

1b

4a + b

27/06/2013 Bất đẳng thức phụ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/63996-bất-dẳng-thức-phụ/ 3/8

Chứng minh

Ta thấy

Bài v iết đã được ch ỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01 -1 1 -201 1 - 1 9:42

(a + b)( + ) ≥ 2 2 = 41a

1b

ab−−√

1

ab−−√

hxthanh

Bản thân Cauchy đặt tên bất đẳng thức:

Với các số thực dương

là BĐT "Trung bình điều hoà" mà

Đã gửi 2 6 -1 0-2 01 1 - 1 8 :3 4

, i =ai 1, n¯ ¯¯̄¯

≥+ +. . . +a1 a2 an

n

n

+ +. . . +1a1

1a2

1an

Ispectorgadget

BĐT trên có tên quốc tế là AM-HM "HM" viết tắt của chữ Hamonic means

BĐT 5

Với a,b,c dương ta có:

Chứng minh

Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 cái ngoặc ta có:

Ta có đpcm.

----------------------------------------------------------------------------

BĐT 6:

Cho a,b,c là số thực dương.

Ta luôn có

Chứng minh:

(luôn đúng)

=> BĐT ban đầu đúng

-----------------------------------------------

BĐT 7

Với a,b,c dương ta có:

Chứng minh

BĐT tương đương:

Dễ thấy (1) luôn đúng với BĐT AM-GM ( hay chính là BĐT số 6 )

Đã gửi 2 6 -1 0-2 01 1 - 1 8 :5 1

(a + b + ). (ab + bc + ac) ≥ 9abcc

(a + b + c)(ab + ac + bc) ≥ 3 .3 = 9abcabc−−−√3

a2b2c2− −−−−√3

+ + ≥ ab + bc + aca2 b2 c2

2( + + ) ≥ (2ab + 2bc + 2ac)a2 b2 c2

(a − b + (b − c + (a − c ≥ 0)2 )2 )2

+ + ≥ a + b + cab

c

bc

a

ac

b

abc( + + ) ≥ a + b + c1

a2

1

b2

1

c2

⇔ + + ≥ + + (1)1

a2

1

b2

1

c2

1ab

1bc

1ac

27/06/2013 Bất đẳng thức phụ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/63996-bất-dẳng-thức-phụ/ 4/8

-----------------------------------------------

BĐT 8:

Cho a,b,c là số thực dương

Ta luôn có:

Chứng minh:

VT= Tới đây sử dụng BĐT 6 ta có

Bài v iết đã được ch ỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 26-1 0-201 1 - 22:56

(a + b + c ≥ 3(ab + bc + ac))2

+ + + 2ab + 2bc + 2aca2 b2 c2

V T ≥ 3(ab + bc + ac)

vietfrog

Vào lúc 26 Tháng 10 2011 - 18:34, hxthanh đã nói:

Bản thân Cauchy đặt tên bất đẳng thức:

Với các số thực dương

là BĐT "Trung bình điều hoà" mà

@hxthanh : Thưa thầy, ý bạn Hoàng muốn nói tới BĐT AG-HM dạng đó. Ta sẽ xét những BĐT phụ thường dùng,

nhiều ứng dụng, không nhất thiết phải là BĐT tổng quát.

Vào lúc 26 Tháng 10 2011 - 18:51, Ispectorgadget đã nói:

BĐT trên có tên quốc tế là AM-HM "HM" v iết tắt của chữ Hamonic means

Với a,b,c dương ta có:

2 BĐT này ch ỉ cần sử dụng BĐT AM-GM

@spectorgadget : Bạn nên đánh số thứ tự BĐT nhé. Chứng minh 2 BĐT trên không dài dòng lắm nên bạn có thể

chứng minh luôn nhé. Theo mình thì mỗi BĐT và cách chứng minh nó nên để ở 1 post. Cảm ơn bạn đã tham gia!

Đã gửi 2 6 -1 0-2 01 1 - 1 9 :1 2

, i =ai 1,n¯ ¯¯̄¯

≥+ +. . .+a1 a2 an

n

n

+ +. . .+1

a1

1a2

1an

(a + b + ).(ab + bc + ac) ≥ 9abcc

+ + ≥ a + b + cab

c

bc

a

ac

b

khanh3570883

BĐT 8: bất đẳng thức này khá hay và rất nhiều ứng dụng, mọi người nghĩ ra trường hợp tổng quát hơn nữa nha!

Cho là các số dương; m và k là các số nguyên dương, ta có bất đẳng thức sau:

Chứng minh:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho (m+k) số:

Làm lại tương tự như vậy rồi cộng lại ta được đpcm.

Bài v iết đã được ch ỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01 -1 1 -201 1 - 1 9:36

Đã gửi 2 6 -1 0-2 01 1 - 2 2 :2 5

, , . . . ,a1 a2 an

+ +. . . + ≥ + +. . . +am+k1 am+k

2 am+kn am

1 ak2 am

2 ak3 am

n ak1

m + k ≥ (m + k)am+k1 am+k

2 am1 ak

2

vietfrog

@Ispectorgadget : Bạn nên trình bày cho đẹp hơn chút, để cho nhưng bạn chưa biết có thể dễ dàng đọc được.

Các BĐT phụ được đưa ra đều là những BĐT đơn giản, dễ chứng minh nhưng bạn vẫn nên chứng minh ra nhé.

Mình đã chứng minh BĐT 5 và 7 phía trên cho bạn.

Mong rằng bạn sẽ tiếp tục đóng góp những BĐT phụ hay.

@khánh: Khánh có thể nêu một số dạng đơn giản để dễ áp dụng được không? Nêu ngay dưới bài post của Khánh cũng

được.

Đã gửi 2 6 -1 0-2 01 1 - 2 3 :01

HÀ QUỐC ĐẠTĐã gửi 2 7 -1 0-2 01 1 - 1 1 :1 9

27/06/2013 Bất đẳng thức phụ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/63996-bất-dẳng-thức-phụ/ 5/8

BĐT9,

Với mọi a,b,c>0 ta có (1)

Chứng minh:

----------------------------------------------------------------

BĐT10,

Cho ta có:

(2)

Chứng minh:

(2)

(đúng)

Bài v iết đã được ch ỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01 -1 1 -201 1 - 1 9:43

(a + b)(b + c)(c + a) ≥ (a + b + c)(ab + bc + ca)89

(a + b)(b + c)(c + a) = (ab + bc + ca)(a + b + c) − abc

≥ (ab + bc + ca)(a + b + c) − (ab + bc + ca)(a + b + c)19

= (ab + bc + ca)(a + b + c)89

ab ≥ 0vàa, b, a + b ≥ −1+ ≥ 1 +1 + a

− −−−√ 1 + b− −−−√ 1 + a + b

− −−−−−−√

⇔ 2 + a + b + 2 ≥ 2 + a + b + 2(1 + a)(1 + b)− −−−−−−−−−−√ 1 + a + b

− −−−−−−√

⇔ (1 + a)(1 + b) ≥ 1 + a + b ⇔ ab ≥ 0

Ispectorgadget

BĐT 11:

Cho x,y 2 là số thực dương ta có

Chứng minh: Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz

BĐT 12: cho 2 số x,y thực dương ta có

Bài v iết đã được ch ỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01 -1 1 -201 1 - 1 9:36

Đã gửi 2 7 -1 0-2 01 1 - 1 3 :5 5

+ + ≥x2 y 2 z 2 (x + y + z)2

3

+ + ≥x2

1y 2

1z 2

1(x + y + z)2

3(x + y ≥ (x + y − (x − y = 4xy)2 )2 )2

HÀ QUỐC ĐẠT

BĐT12:

Với mọi a,b,c >0 ta có:

(*)

Chứng minh:

(*)

Bài v iết đã được ch ỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01 -1 1 -201 1 - 1 9:37

Đã gửi 2 7 -1 0-2 01 1 - 2 1 :5 4

+ + ≥ ≥ abc(a + b + c)a2b2 b2c2 c2a2 (ab + bc + ca)2

3

⇔ (ab − bc + (bc − ca + (ca − ab ≥ 0)2 )2 )2

Ispectorgadget

BĐT 13: Với mọi số a,b thực ta có

Chứng minh:

BĐT (luôn đúng)

Suy ra BĐT ban đầu đúng

*Các dạng khác

Đã gửi 2 7 -1 0-2 01 1 - 2 2 :1 7

+ ≥ b + aa4 b4 a3 b3

⇔ (a − b) − (a − b) ≥ 0a3 b3

⇔ (a − b ( + + ab) ≥ 0)2a2 b2

+ ≥ ab(a + b)a3 b3

+ ≥ (a + b)5 5 2 2

27/06/2013 Bất đẳng thức phụ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/63996-bất-dẳng-thức-phụ/ 6/8

Việc chứng minh hoàn toàn tương tự

--------------------------------------------------------

BĐT 14:Cho a,b thực dương ta có

Chứng minh:

Các dạng khác của BĐT này là

Cách chứng minh tương tự sử dụng AM-GM 3 số ta có

Bổ đề này áp dụng cho một số bài toán khá thú vị do chủ topic không yêu cầu gửi những bài tập áp dụng nên mình

không dám gửi

Mà sao không ai góp thêm vậy

Bài v iết đã được ch ỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01 -1 1 -201 1 - 1 9:41

+ ≥ (a + b)a5 b5 a2b2

≤ 12a − 1− −−−−√

a

≤2a − 1− −−−−√

a

2a − 1 + 12a

≤ 13a − 2− −−−−√3

a

≤ = 13a − 2− −−−−√3

a

3a − 2 + 1 + 13a

vietfrog

BĐT 15:

Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Chứng minh

Theo nguyên lý Diricle thì luôn tồn tại 2 trong 3 số : cùng dấu.

Giả sử:

Ta chứng minh:

BĐT trên luôn đúng theo BĐT AM-GM.

Đã gửi 3 0-1 0-2 01 1 - 2 3 :4 7

a, b, c + + + 2abc + 1 ≥ 2(ab + bc + ac)a2 b2 c2

(a − 1); (b − 1); (c − 1)

(a − 1)(b − 1) ≥ 0

⇔ ab + 1 ≥ a + b

⇔ 2abc + 2ab + 2c ≥ 2(ab + bc + ca)

+ + + 1 ≥ 2ab + 2ca2 b2 c2

Ispectorgadget

BĐT 16: BĐT này cũng khá quen thuộc

Cho là 3 cạnh tam giác ta có

Chứng minh

Cmtt ta có

Nhân lại lấy căn suy ra đpcm dấu bằng xảy ra khi

@vietfrog: BĐT 16 vẫn đúng với là các số dương.

Bài v iết đã được ch ỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 05-1 1 -201 1 - 21 :30

Đã gửi 01 -1 1 -2 01 1 - 2 2 :4 6

a, b, c abc ≥ (a + b − c)(b + c − a)(a + c − b)

≥ − (b − c = (a − b + c)(a + b − c)a2 a2 )2

≥ (b − a + c)(b + a − c)b2

≥ (c − a + b)(c + b − a)c2

a = b = c

a, b, c

perfectstrongĐã gửi 01 -1 1 -2 01 1 - 2 3 :03

27/06/2013 Bất đẳng thức phụ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/63996-bất-dẳng-thức-phụ/ 7/8

Một số bổ đề mà mình gom được khi học bđt:

BĐT 17

Tổng quát hơn chút,

BĐT 18

∀x : ≥ 1 −1

1 + x2

x

2

∀x : ≥ −1

k + x2

1k

x

2 k√

(1 + )(1 + )(1 + ) ≥a3 b3 c3 (1 + abc)3

( + + )( + + )( + + ) ≥a3 b3 c3 m3 n3 p3 x3 y 3 z 3 (amn + bny + cpz) 3

Ispectorgadget

BĐT 18 là holder thì phải. Bạn chứng minh luôn nhé mình đang cần cái chứng minh của holder

Đã gửi 01 -1 1 -2 01 1 - 2 3 :1 5

Mai Duc Khai

Vào lúc 01 Tháng 11 2011 - 23:15, Ispectorgadget đã nói:

BĐT 1 8 là holder thì phải. Bạn chứng minh luôn nhé mình đang cần cái chứng minh của holder

Chứng minh BĐT 18

Sử dụng BĐT AM-GM ta có:

Xây dựng tương tự 2 BĐT nữa với và rồi cộng vế theo vế lại ta có điều phải chứng minh.

Trích Quyển Sáng tạo bất đẳng thức.( Trang 27)

Bài v iết đã được ch ỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 05-1 1 -201 1 - 21 :31

Đã gửi 02 -1 1 -2 01 1 - 1 2 :09

+ +a3

+ +a3 b3 c3

x3

+ +x3 y 3 z 3

m3

+ +m3 n3 p3

≥3axm

( + + )( + + )( + + )a3 b3 c3 x3 y 3 z 3 m3 n3 p3− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

√3

(b; y; n) (c; z; p)

Ispectorgadget

BĐT 19:

Với a,b,c là 3 số thực dương ta có

Chứng minh:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có

Đã gửi 08 -1 1 -2 01 1 - 1 3 :3 5

+ + ≥ + +a2

b2

b2

c2

c2

a2

a

b

b

c

c

a

3( + + ) ≥ ( + +a2

b2

b2

c2

c2

a2

a

b

b

c

c

a)2

( + + ) ≥ 32 2 2

27/06/2013 Bất đẳng thức phụ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học

diendantoanhoc.net/forum/index.php?/topic/63996-bất-dẳng-thức-phụ/ 8/8

T ra n g 1 / 4 Trở lại Bất đẳng thức v à cực tr ị · Chủ đề chưa đọc tiếp theo →

Diễn đà n Toá n học → Toá n Tr u n g học Phổ th ôn g v à Th i Đại học → Bất đẳn g thức v à cực tr ị

Toán Trung học Phổ thông v à Thi Đại học → Đại số → Phương trình v à hệ

phương trình → Phương trình-hệ phương trình qua các kỳ TS Đại Học

Bắt đầu bởi v ietfrog, 1 5-1 1 -201 1 Tổng hợp

HOT 90 Trả lời

1 1 453 Views

Tran Hoai Nghia1 8-03-201 3

Áp dụng BĐT AM-GM ta được

Từ đây ta có đpcm

Bài v iết đã được ch ỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 1 0-1 1 -201 1 - 22:1 6

( + + ) ≥ 3a2

b2

b2

c2

c2

a2

3( + + ≥ 3( + +a2

b2

b2

c2

c2

a2)2 a

b

b

c

c

a)2

1 2 3 5 →