Di piennuli, di api e di bolle di sapone

Liceo Scientifico Evangelista Torricelli di Somma Vesuviana - Napoli

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Il “Pomodorino del Piennolo del Vesuvio DOP” è uno dei prodotti più antichi e tipici dell’agricoltura campana.I contadini vesuviani intrecciano , intorno ad uno spago legato a cerchio, i grappoli  di pomodorini, sino a formare un grande grappolo (il piennolo) che viene poi appeso in un ambiente asciutto e ventilato. I pomodorini potranno così essere staccati di volta in volta dal “piennolo” per essere consumati nei mesi successivi. La coltivazione in terreni non irrigui e la buccia particolarmente spessa favoriranno la conservazione per tutto l’inverno.

La ditta “VESUVIANA PIENNULI” ha avuto una richiesta di 1500 piennuli da una ditta di Berlino.

Il trasporto del piennolo non è facile: bisogna salvaguardare la qualità e le proprietà organolettiche del prodotto. Il grappolo non può essere poggiato

Come spedire a Berlino la merce?

Bisogna ideare la

scatola giusta

E’ necessario confezionare ogni grappolo di pomodorini in un contenitore in modo che il grappolo sia sospeso all’interno della scatola e il materiale con cui è costruita la scatola dovrà proteggere il piennulo da variazioni di temperatura e da eventuali cattivi odori.

Il materiale relativamente pregiato per la costruzione della scatola ci induce a ricercare per la scatola una forma che a parità

di volume abbia superficie minore.

Ciò equivale a ricercare quella figura che a parità di area abbia perimetro minore

Variazione di area in poligoni isoperimetrici

Il poligono regolare ha area maggiore di qualunque poligono isoperimetrico con lo stesso numero di lati

( la base della nostra scatola dovrà essere o un cerchio o un poligono regolare)

Tra tutti i poligoni regolari isoperimetrici ha area maggiore quello che ha un numero di lati maggiore

Il cerchio ha area maggiore di qualunque figura isoperimetrica

1) il triangolo isoscele ha perimetro minore di ogni altro triangolo di uguale base e altezza (e quindi di uguale area)

2) il trapezio isoscele ha perimetro minore di ogni altro trapezio di uguale basi e uguale altezza (e quindi di uguale area)

Il cerchio ha perimetro minimo fra tutte le figure di uguale area

Viceversa

Due proposizioni da premettere

1) DIMOSTRAZIONE

ABC è isoscele. DBC è scaleno. Costruiamo il simmetrico di B (B’) rispetto ad r, risulta che B’ , A , C sono allineati e B’C= 2a , B’D=BD=b . Ma in ogni triangolo un lato è minore della somma degli altri 2, quindi :B’C < B’D + CDda cui 2a < b+c

A

B C

D

c

a ab

B C

A D

B’

r

a

a

ab

b

c

2) DIMOSTRAZIONE

ABCD è un trapezio isoscele. LMPN è un trapezio nn isoscele, ma tale che:

LM=AB PN=DC LK=AH

Basta dunque far vedere cheLP + MN > AD +BC

Conduciamo per A la parallela AR a BC, e per L la parallela LS a MN; si ottiene così il triangolo ADR, isoscele perché AR=BC, il triangolo LPS non isoscele. Per la proprietà 1) risulta:AD + BC < LP + LSsi ha quindi :AD + BC < LP + MN

A B

D H C P

L M

NKR S

In base a queste 2 proprietà del triangolo e del trapezio isoscele riusciremo a dimostrare che :-Si può trasformare un poligono in uno equivalente ma che ha un asse di simmetria, e che ha perimetro minore del poligono mancante di asse di simmetria.

Partendo ad esempio da un pentagono attraverso il semplice processo di simmetrizzazione otteniamo un ottagono sicuramente di stessa area, ma di perimetro minore perché i suoi lati sono lati di triangoli e trapezi isosceli, mentre nel caso del pentagono i triangoli e i trapezi che lo costituiscono non sono isosceli.

A

B

C

D

E

F

GP

H

L

M

N

O

Il processo di simmetrizzazione può ripetersi : la figura mostra la trasformazione dell’ottagono in un poligono equivalente che ha come nuovo asse si simmetria una retta s perpendicolare ad r. per lo stesso principio il poligono formatosi (un dodecagono) ha la stessa area dell’ottagono ma perimetro minore.

Via via che si procede si nota che aumenta il numero dei lati del poligono e che il suo contorno si “arrotonda”: il poligono tende a una figura curvilinea, e si capisce che fra le figure curvilinee avrà perimetro minimo quella con massimo numero di assi di simmetria, cioè il CERCHIO

F

GP

H

L

M

N

O

Q

R

TS

UV

Z

A’B’

C’D’

E’

DECISO: il nostro contenitore sarà un bel cilindrone

… anche Didone sarebbe stata d’accordo

DECISO: il nostro contenitore sarà un bel cilindrone

… anche Didone sarebbe stata d’accordo

ma, siamo sicuri?

Da ogni vertice di un poligono di n lati possiamo condurre n-2 diagonali

Ogni poligono di n lati può essere decomposto in n-2 triangoli con gli stessi vertici

La somma degli angoli interni di un poligono di n lati è 180°(n-2)

Ogni angolo di un poligono regolare di n lati misura 180°(n-2)/n

Un poligono regolare può tassellare un piano se ogni angolo è un sottomultiplo di 360°

poligono misura dell’angolo

è un sottomultiplo di 360?

Triangolo 60° si

Quadrato 90° si

Pentagono 108° no

Esagono 120° si

Ettagono 128,57° no

Ottagono 135° no

Ennagono 144° no

FACCIAMO QUALCHE CALCOLO

Come tasselliamo?

Abbiamo praticamente

progettato un alveare

Le Api hanno capito tutto

e…per magia…. anche le bolle di sapone fanno esagoni

Vedere per credere

Le bolle di sapone vengono prodotte da una soluzione di acqua e sapone . Il sapone è generalmente un sale di  sodio odi potassio combinato con un acido carbossilico a lunga catena.

“... Credo che non ci sia nessuno in questa stanzache non abbia fatto qualche volta una comune bolla di sapone,

e che, ammirandone la forma perfettae la meravigliosa lucentezza dei colori,non si sia chiesto come fosse possibile

fare tanto facilmente un oggetto così splendido ...

... in una comune bolle di sapone c’è molto di più di quanto immagini di solito chi si limita a considerarla un gioco.”

Charles Vernon Boys,

Se si estrae un contorno metallico da una bacinella di acqua e sapone,le molecole di sapone vi si attaccano, trascinando con loro molecoled’acqua. Si forma così una lamina, dello spessore di qualche unità o decinadi nanometri (1 nm = 10−9m), costituita da due strati di molecole di saponefra i quali l’acqua resta intrappolata.

E che forma assumono?

Chiediamolo alle lamine saponate

Un esperimento indica una strada(ma il metodo scientifico non era una caratteristica della fisica?)

Il problema di superfici minime ha nuova linfa

E’ luogo comune che la matematica sia al servizio della scienza

Ma la matematica non è avulsa dal reale

Il modello fisico, talvolta, indica una direzione per il matematico.

Di un dato problema esiste la soluzione? Un esperimento può dare una risposta. Poi il matematico va oltre, generalizza , si allontana del concreto e così la matematica si allontana da noi studenti che spesso non riusciamo a comprendere il motivo e l’utilità di studiare certe cose tanto astruse

ma poi, con il progetto lauree scientifiche …

Noi del Liceo Torricelli diciamo GRAZIE al prof.

Lapegna e a tutto il gruppo dei docenti che ci hanno

seguito in questi due anni: ci sentiamo come delle api

che hanno conquistato la seconda celletta.