Architettura e Geometria delle lamine di sapone

Stefano Pigola

“Penso che la “tendenza” a imparare dalla natura ci sia sempre stata. Dobbiamo distinguere tra copiare la natura e imparare dalla natura.

Imparare dall’intelligenza della natura significa avere degli edifici più leggeri, meno spreco di materiali, più efficacia delle risorse energetiche e più ambienti naturali (...)

Copiare significa provare a imitare una forma senza capirne i principi e facendo uno sforzo immenso di energie e di materiali per l’imitazione.”

- Chris Bosse, L’architettura delle bolle di sapone.

Matematica e Cultura 2007. Springer

Cubo d’Acqua, Olimpiadi di Pechino 2008

(Immagine presa da wikipedia)

Otto Frei: ricerca della forma e architettura della minimalità

parte I

Otto Frei è uno tra i più celebrati architetti (e ingegneri strutturali) del nostro tempo, specializzato in coperture leggere formate da una membrana pre-tesa di grandi dimensioni, con contorni e altezze variabili, sospese mediante funi che confluiscono in uno o più pennoni e ancorate a terra (tensostrutture).

Expo67, Canada

Stadio Olimpico di Monaco, 1975

Tanzbrunnen, Cologna, 1957

L'architettura di membrane sospese di Frei è espressione di uno spirito "ecologico" e di armonia con la Natura.

Principi ispiratori:– Ottimalità delle coperture– Economia ed efficienza dei materiali,– Trasportabilità,– Leggerezza della struttura fisica e immagine

di leggerezza che essa ispira in chi la osserva.

Come è stato possibile realizzare queste architetture? A quali “oggetti” in natura si è veramente ispirato Frei? Come realizzare il modello che provi la possibilità di tali strutture?

Ottimalità in natura

La Natura agisce sempre nel modo più semplice possibileper produrre i suoi effetti.

Moto di un sistema Equilibrio di un sistema

Principio di minima azione(Maupertuis-Euler)

Principio dei lavori virtuali(Johann Bernulli)

Energia potenzialee principio dei lavori virtuali

Energia potenziale = energia immagazzinata dal sistema. Potenzialmente, essa può essere trasformata in energia di movimento, in calore etc...

Cime, selle = equilibrio instabile

Valli, buche = equilibrio stabile

Energia potenziale dello sciatore dovuta all’altezza

Gli stati di equilibrio di un sistema sono quelli per i quali l’energia potenziale è stazionaria (massimo, minimo o sella).

– Johann Bernoulli, Lettera a Pierre Varignon. 1717

• Equilibrio stabile: corrisponde ai punti di minimo dell’energia potenziale. Se perturbiamo il sistema spostandolo da questo suo speciale stato, il sistema tende a tornarci dopo un certo tempo.

• Equilibrio instabile: piccole perturbazioni (in opportune direzioni) distruggono definitivamente la situazione di equilibrio.

Muovendo il telaio, la pellicola di sapone in equilibrio viene perturbata ma ritorna quasi istantaneamente allo stato di equilibrio

... il precedente “esperimento” di equilibrio stabile usa pellicole saponate....

...ma come fanno a formarsi le pellicole saponate sui telai? Come si formano le bolle di sapone?

Tensione superficialeLa pelle dell’acqua

Le molecole sulla superficie di un liquido esercitano una forza le une sulle altre. Si forma una pelle elastica capace di equilibrare il peso del liquido che racchiude.

Goccia d’acqua in equilibrio. La forma è dovuta all’azione della forza di gravità

Le molecole sulla superficie del liquido esercitano una forza anche su una possibile struttura (recipiente o altro) che viene a contatto con esse. E’ il fenomeno della capillarità.

La pelle elastica del liquido aderisce alla superficie interna del tubicino (che quindi si bagna) e, arrampicandosi su di essa, trascina con sè il resto del liquido ad una altezza superiore a quella del liquido nella bacinella, sino a quando il peso dell'acqua trascinata non equilibria la forza esercitata dalla pelle.

Le forze esercitate dalle molecole del pelo libero le une sulle altre e su una eventuale struttura di contatto (filo di ferro, recipiente etc...) è chiamata tensione superficiale.

La formula di Young-LaplaceVerso una geometria

delle pellicole di sapone

Quale legge governa la forma assunta dalle pellicole di sapone?

Le pellicole saponate sono così sottili e leggere che possiamo trascurare l’effetto della gravità nella nostra indagine sulla “forma”

La bolla racchiude aria ad una certa pressione. L'aria racchiusa spinge verso l'esterno con una certa forza. Ma all'esterno c’è la pressione dell'atmosfera che preme sulla bolla. Queste due forze si equilibrano attraverso la tensione superficiale della bolla del liquido saponato. La bolla assume la forma di una sfera.

La bolla più grande si gonfia, la bolla più piccola sgonfia.

• Più piccola è la bolla più grande è la pressione della regione interna.

• La tensione superficiale è sempre la stessa, indipendentemente da forma e dimensione della bolla. Solo la differenza di pressione risente della “grandezza” della bolla.

Le precedenti deduzioni si riassumono nella formula di Young-Laplace

p = 2T x 1/R,

p = differenza di pressione tra pellicola interna ed esterna della bolla

T = la tensione superficiale

R = raggio della bolla

Più in generale, per un liquido saponato,

p = 2T x H,

dove

H = la curvatura media della pelle del liquido che ne descrive la forma geometrica

La differenza di pressione è nulla quindi la “curvatura media” è nulla. Si noti che la superficie

non è piana

La differenza di pressione tra l’interno e l’esterno è sempre costante e non zero. Quindi, la “curvatura media”

è costante e non nulla in ogni punto

Superfici a curvatura media costante nello spazio Euclideo

(a) Curvatura delle curve nel piano

Una curva “liscia” f(t) nel piano viene percorsa in un senso assegnato e ad una certa velocità. La velocità istantanea della curva è rappresentata da un vettore (segmento orientato) v(t), tangente alla curva, diretto nel senso di percorrenza della curva e con lunghezza pari alla velocità

La rapidità con cui la velocità cambia è chiamata accelerazione. Assumiamo che v abbia lunghezza costante, non nulla. Allora, la lunghezza del vettore accelerazione a(t) esprime quanto velocemente la curva cambia direzione all’istante t. Sia k(t) la lunghezza con segno di a(t).

Def. k(t) = curvatura istantanea della curva

k(t)>0, la curva sta “sopra” la retta tangente

(b) Curvatura delle superfici nello spazio

Sezioni normali e curvature principali

Ogni punto P della superficie ha un versore normale N(P). I piani che contengono N(P) tagliano la superficie in curve piane che hanno una certa curvatura k al punto P.

Def. Curvature principali

k1(p) = max k

k2(p) = min k

al variare del piano di sezione normale.

Def. Curvatura media

H(p)= {k1(p)+ k2(p)}/2

la media delle curvature principali.

Superfici a curvatura media costante

(a) Superfici minime: H=0

Catenoide Elicoide

Superficie minima completa e con auto-intersezioni

(immagine prodotta dal gruppo di Granada)

(b) Curvatura media costante non nulla

Sfera (superficie chiusa e senza auto-intersezioni)

Onduloide (superficie completa e senza auto-intersezioni)

Superficie chiusa a curvatura media costante, con auto-intersezioni

(immagine di Matthias Heil)

Proprietà ottimali di telai saponati e bolle di sapone

Energia potenziale delle pellicole saponate

Upoten = T x A

T = tensione superficiale

A = Area della superficie saponata

Ma le pellicole saponate sono in equilibrio stabile, quindi (principio dei lavori virtuali)

Upoten = T x A = minimo

Inoltre, la tensione superficiale non dipende da forma e dimensione. Quindi:

Pellicole di saponeArea minima!

Conseguenze:

(a) Telai sponati: il liquido saponato su un telaio realizza la superficie che ha area minima tra tutte le superfici che si appoggiano allo stesso telaio

(b) Bolla di sapone: la bolla di sapone minimizza l’area della superficie che contiene un volume fissato (problema isoperimetrico). Soluzione: sfera!

Otto Frei: ricerca della forma e architettura della minimalità

parte II

Abbiamo visto che le pellicole saponate che si formano sopra un telaio hanno la proprietà di minimizzare l’area tra tutte le possibili superfici con lo stesso contorno. Queste superfici saponate, poichè appaiono, sono anche stabili sotto perturbazioni. Ecco la fonte di ispirazione in Natura per le architetture di Frei, ed ecco un esperimento che mostra la loro possibile realizzazione...

La struttura “architettonica” alla quale aderisce il liquido saponato presenta “pennoni” e “corde”, proprio come nelle realizzazioni di Frei