Dia 2 Algebra de Boole

8/18/2019 Dia 2 Algebra de Boole

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2.1Álgebra de Boole2.1.1 Operaciones lógicas básicas 2.1.2

Teoremas y propiedades básicas delálgebra booleana.2.1.3 Operaciones lógicas con cadenasde bits.2.1.4 Diagramas de tiempo

2.1.5 Formas canónicas y estándar(mintérminos y maxtérminos).

HS3Q8-PF5WW


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ÁLGEBRA DE BOOLE Y

SIMPLIFICACIÓN LÓGICAEl álgebra de Boole son lasmatemáticas de los sistemas digitales.Es indispensable tener unosconocimientos básicos del álgebra

booleana para estudiar y analizar loscircuitos lógicos.


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ÁLGEBRA DE BOOLE Y

SIMPLIFICACIÓN LÓGICALos términos variable, complemento yliteral son términos utilizados en elálgebra booleana. Una variable es unsímbolo (normalmente una letra

mayúscula en cursiva) que se utilizapara representar magnitudes lógicas.Cualquier variable puede tener un valor

de 0 ó de 1.


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ÁLGEBRA DE BOOLE Y

SIMPLIFICACIÓN LÓGICAEl complemento es el inverso de lavariable y se indica mediante una barraencima de la misma. Por ejemplo, elcomplemento de la variable A es Ā. Si

A = 1, entonces Ā

= 0. Si A = 0,entonces Ā= 1. El complemento de lavariable A se lee “A negado”.


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ÁLGEBRA DE BOOLE Y

SIMPLIFICACIÓN LÓGICAEn el álgebra de Boole, un términosuma es una suma de literales.Algunos ejemplos de términos suma

son A + B,A + B +CA + B +C +D.


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ÁLGEBRA DE BOOLE Y

SIMPLIFICACIÓN LÓGICAEn el álgebra de Boole, un términoproducto es un producto de literales.En los circuitos lógicos, un término

producto se obtiene mediante unaoperación AND, sin que exista ningunaoperación OR en la expresión.

Algunos ejemplos de términos sumason, AB, ABC y ABCD


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ÁLGEBRA DE BOOLE Y

SIMPLIFICACIÓN LÓGICA


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ÁLGEBRA DE BOOLE Y

SIMPLIFICACIÓN LÓGICA


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Leyes del álgebra de Boole

Las leyes básicas del álgebra de Boole

(las leyes conmutativas y las leyesasociativas de la suma y lamultiplicación,la ley distributiva) son las

mismas que las del álgebra ordinaria.


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Leyes del álgebra de BooleLeyes conmutativas: La ley conmutativade la suma para dos variables se

escribe como sigue:A + B = B + AEsta ley establece que el orden en que

se aplica a las variables la operaciónOR es indiferente.


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Leyes del álgebra de BooleCuando se aplica a los circuitos lógicos,la suma y la operación OR es lo mismo.

La figura ilustra la ley conmutativaaplicada a una puerta OR, en la que sepuede ver que es indistinto a qué

entrada asignemos cada una de lasvariables. (El símbolo ≡ significa“equivalente a”.)


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Leyes del álgebra de BooleLa ley conmutativa de la multiplicaciónpara dos variables es AB = BA

Esta ley establece que el orden en quese aplica a las variables la operaciónAND es indiferente. La figura ilustra

esta ley tal y como se aplica a la puertaAND.


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La ley asociativa de la suma para tresvariables se escribe como sigue:A + (B + C ) = (A + B ) + C

Esta ley establece que cuando se aplica laoperación OR a más de dos variables, elresultado es el mismo independientemente

de la forma en que se agrupen las variables.La figura ilustra esta ley aplicada a puertasOR de dos entradas.


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La ley asociativa de la multiplicación paratres variables se escribe del siguientemodo: A(BC) = (AB)C

Esta ley establece que cuando se aplica laoperación AND a más de dos variables, elresultado es el mismo independientemente

de la forma en que se agrupen las variables.La figura ilustra esta ley aplicada a puertasAND de dos entradas.


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La ley distributiva para tres variables seescribe como sigue:A(B + C) = AB + AC

Esta ley establece que aplicar la operaciónOR a dos o más variables y luego aplicar laoperación AND al resultado de esa operación

y a otra variable aislada, es equivalente aaplicar la operación AND a la variable aisladacon cada uno de los sumandos y luego

realizar la operación OR con los productosresultantes.


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La ley distributiva expresa también elproceso de sacar factor común en el quela variable común A se saca como

factor de los productos parciales, comopor ejemplo, AB ++++ AC ==== A( B ++++ C ). Lafigura 4.5 ilustra la ley distributiva mediante

su implementación de puertas.


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TEOREMAS DE DeMORGAN

El primer teorema de DeMorgan seenuncia de la siguiente forma:El complemento de un producto de

variables es igual a la suma de loscomplementos de las variables.

Compuerta NAND


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El segundo teorema de DeMorgan seenuncia como sigue:El complemento de una suma de

variables es igual al producto de loscomplementos de las variables.

Compuerta NOR


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Como se ha establecido en losteoremas de DeMorgan, cada variablepuede representar una combinación de

otras variables. Por ejemplo, X puedeser igual al término AB + C,e Y puede ser igual a A + BC .

TEOREMAS DE D MORGAN


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Al aplicar aobtenemos:

Ahora aplicamos

Y obtenemos:

Al final:

U i lid d d l t


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Universalidad de las compuertasNAND y NOR

NOT, AND y OR Implementadas concompuertas NOR

U i lid d d l t


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Universalidad de las compuertasNAND y NOR

NOT, AND y OR Implementadas concompuertas NAND

L t OR l i (XOR)


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La puerta OR−exclusiva (XOR)

En la figura se muestran los símbolosestándar para la puerta OR−exclusiva(XOR). La puerta XOR tiene sólo dos

entradas.La salida de una puerta OR −exclusivase pone a nivel ALTO sólo cuando las

dos entradas están a niveles lógicosopuestos.

L t OR l i


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La puerta OR−exclusiva

Esta operación se puedeexpresar, en función de dosentradas A y B y una salida

X , del siguiente modo:En una puerta

OR−exclusiva, la salida

X es un nivel ALTO si las

entradas A y B están a

niveles opuestos; X es un

nivel BAJO si tanto Acomo B son iguales.

L t OR l i


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La puerta OR−exclusiva

Esta operación se puedeexpresar, en función de dosentradas A y B y una salida

X , del siguiente modo:En una puerta

OR−exclusiva, la salida

X es un nivel ALTO si las

entradas A y B están a

niveles opuestos; X es un

nivel BAJO si tanto Acomo B son iguales.

La puerta NOR exclusiva (XNOR)


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La puerta NOR−exclusiva (XNOR)

En la figura se presentan los símbolosestándar de la puerta NOR−exclusiva(XNOR). La puerta XNOR sólo tiene dos

entradas. El círculo en la salida delsímbolo de la puerta XNOR indica que susalida es la opuesta a la de la puerta

XOR.

La puerta NOR exclusiva (XNOR)


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La puerta NOR−exclusiva (XNOR)

La operación sepuede expresar delsiguiente modo: En

una puertaNOR−exclusiva, la

salida X es un nivel

BAJO si lasentradas A y B son

opuestas; X es un

nivel ALTO si A y B son iguales.

X = A B


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Formas canónicas y estándar

En Álgebra booleana, se conoce comotérmino canónico de una función

lógica a todo producto o suma en lacual aparecen todas las variables ensu forma directa o inversa.


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Mintérminos; F(x y z) =∑(0 3)


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Mintérminos; F(x,y,z) =∑(0, 3)

FunciónEquivalente:m0 + m3

Maxtérminos: F(x y z) =∏(1 2)


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Maxtérminos: F(x,y,z) =∏(1, 2)

Función

Equivalente:M1M2


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Operaciones lógicas con cadenas debits.Aplicar la operación OR, AND, EXOR,EXNOR a los siguientes bits:

11110010111

10011001010

Diagramas de tiempos


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Diagramas de tiempos.La Figura es un ejemplo de un diagrama detiempos para tres señales.

Diagramas de tiempos


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Diagramas de tiempos.Este es otro ejemplo de un diagrama detiempos para tres señales.


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Operaciones lógicas con cadenas de

bits.Aplicar la operación OR, AND, EXOR,EXNOR a los siguientes bits:

11110010111

10011001010

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