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Diagrama de Venn

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Artculo bueno

Diagramas de Venn que corresponden respectivamente a las relaciones topolgicas de interseccin, inclusin y disyuncin entre dos conjuntosLos diagramas de Venn son esquemas usados en la teora de conjuntos, tema de intersen matemtica, lgica de clases y razonamiento diagramtico. Estos diagramas muestrancolecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de lneas cerradas. La lneacerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideracin, el conjunto universal U.

ndice [ocultar]1 Introduccin 1.1 Interseccin

1.2 Inclusin1.3 Disyuncin

2 Orgenes e historia3 Diagramas de Venn de enunciados4 Diagramas de Venn y cantidad de definiciones 4.1 Diagrama de un conjunto4.2 Diagrama de dos conjuntos4.3 Diagrama de tres conjuntos4.4 Diagramas de ms de tres conjuntos 4.4.1 Diagramas de Edwards4.4.2 Otros diagramas

5 Otras representaciones 5.1 Lneas de Leibniz

5.2 Crculos de Euler5.3 Mapas de Karnaugh5.4 Grficos de Peirce

6 Vase tambin7 Referencias8 Enlaces externos

Introduccin[editar]

Con los diagramas de Venn es posible representar las relaciones de interseccin, inclusin y disyuncin sin cambiar la posicin relativa de los conjuntos

Interseccin[editar]

Dado que los conjuntos pueden tener elementos comunes, las regiones encerradas por sus lneas lmite se superponen. El conjunto de los elementos que pertenecen simultneamente a otros dos es la interseccin de ambos.1

A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}B = {1; 3; 5; 15}U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16} Diagrama de Venn - i

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nterseccin con elementosA = {x | x es divisor natural de 12}B = {x | x es divisor natural de 15}U = {x | x es natural menor o igual que 16} Diagrama de Venn - interseccin sin elementos

Inclusin[editar]

Si todos los elementos de un conjunto son parte de los elementos de otro, se dice que el primero es un subconjunto del segundo o que est incluido en el segundo.1En los diagramas de Venn, todas las regiones de superposicin posibles deben serrepresentadas. Y, cuando hay regiones que no contienen elementos (regiones vacas), la situacin se indica anulndolas (con un color de fondo distinto).2

A = {1; 2; 3; 4; 6; 12}B = {1; 2; 3; 6}U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} Diagrama de Venn - inclusin con elementosA = {x | x es divisor natural de 12}B = {x | x es divisor natural de 6}U = {x | x es natural menor o igual que 12} Diagrama de Venn - inclusin sin elementos

Disyuncin[editar]

Cuando los conjuntos no tienen elementos comunes, la regin de superposicin queda vaca.

A = {2; 4; 6; 8}B = {1; 3; 5; 7; 9}U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} Diagrama de Venn - inclusin con elementosA = {x | x es par y de una cifra}B = {x | x es impar y de una cifra}U = {x | x es natural menor o igual que 10} Diagrama de Venn - inclusin sin elementos

A la izquierda de los diagramas, las definiciones de los conjuntos por enumeracin

y por comprensin.

Orgenes e historia[editar]

Vitral del comedor del Caius College (Cambridge) en homenaje a John Venn y su creacinLos diagramas de Venn tienen el nombre de su creador, John Venn, matemtico y filsofo britnico.3 Estudiante y ms tarde profesor del Caius College de la Universidad de Cambridge, Venn desarroll toda su produccin intelectual en ese mbito.4

Los diagramas que hoy conocemos fueron presentados en julio de 1880 en el trabajo titulado De la representacin mecnica y diagramtica de proposiciones y razonamientos,5 que tuvo gran repercusin en el mundo de la lgica formal. Los diagramas de Venn tienen varios antecedentes. La primera representacin grfica de deducciones lgicasy, en particular, de silogismosse atribuye comnmente a Gottfried Leibniz. Variantes de la misma fueron empleadas luego por George Boole y Augustus De Morgan, pero fue el gran matemtico suizo Leonhard Euler quien primero introdujo una notacin clara y sencilla.2 El siguiente diagrama muestra de otro modo la relacin de inclusin del ejemplo dado en la introduccin.

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Diagrama de Euler - inclusindiagrama de Euler

Los diagramas de Euler se distinguen de los de Venn en dos aspectos:en ellos no aparecen las regiones vacas yel conjunto universal no se representa.

Si bien fue Venn quien introdujo la expresin "universo del discurso", l nunca represent al universal en sus trabajos.3 Por eso la idea de conjunto universal se atribuye habitualmente a Charles Dodgson, ms conocido como Lewis Carroll, el lgico yautor de cuentos para ninos que populariz el concepto de conjunto complementario.1 El conjunto universal fue cuestionado por Bertrand Russell, quien mostr que contal concepto la teora de conjuntos resultaba inconsistente (vase paradoja de Russell). Sin embargo, dicha definicin fue rescatada y aun justificada en una reciente extensin de los diagramas de Venn que distingue al universal del Todo (universodel discurso).6 Por las dos razones recin mencionadas, los diagramas de Venn llegaron a convertirse en el nuevo estndar para la formalizacin de operaciones lgicasy los sistemas de representacin anteriores cayeron en desuso.2

Tiempo despus de la aparicin del primer artculo, Venn desarroll algo ms su nuevo sema en el libro Lgica simblica, publicado en 1881 y cuyo propsito era interpretar yrevisar los trabajos de Boole en el campo de la lgica formal. Este libro sirvi sobre todo para presentar ejemplos del uso de los diagramas.7 Otro libro de Venn q

ue ayud a divulgar el nuevo sistema de representacin fue el titulado Los principios de la lgica emprica o inductiva, publicado en 1889.8

La primera constancia escrita del uso de la expresin "diagrama de Venn" es muy tarda (1918) y se encuentra en el libro A Survey of Symbolic Logic de Clarence Irving Lewis.9

Diagramas de Venn de enunciados[editar]

Como se mostr en la introduccin, los diagramas de Venn pueden ser definidos por enumeracin de sus elementos o por indicacin de una caracterstica comn que los identifca unvocamente.1 De ah que haya dos tipos de diagramas de Venn: los que muestran elementos reunidos por lneas cerradas y los que simplemente muestran enunciados o

conceptos. Estos ltimos son ms interesantes porque permiten operar de manera abstracta y llegar a conclusiones ms generales.10

Los siguientes diagramas del segundo tipo muestran los resultados de cuatro operaciones bsicas con conjuntos usando el cdigo del semforo de dos colores.11

Venn operaciones 2 Venn operaciones 1 Venn operaciones 3 Venn operaciones 4A A ? B A ? B = ((A) ? (B)) A B = A ? (B)

Como se desprende de las igualdades, con las dos primeras operaciones (negacin yconjuncin), es posible hacer las otras dos (disyuncin y sustraccin).

El cdigo de dos colores puede ser interpretado en el sistema binario de numeracin:

rojo = 0; verde = 1. A los resultados de las operaciones se los puede entoncesdigitalizar. Y a los trminos que participan de las operaciones, tambin. De este modo, las operaciones con conjuntos se convierten en operaciones con nmeros.12

Diagramas de Venn y cantidad de definiciones[editar]

Los siguientes diagramas muestran la cantidad de regiones en que queda divididoel conjunto universal con una, dos y tres definiciones.

Diagrama de Venn - 1 conjunto Diagrama de Venn - 2 conjuntos Diagrama de Venn -

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3 conjuntos1 conjunto (2 colores) 2 conjuntos (4 colores) 3 conjuntos (8 colores)

Entre los colores se cuenta el gris, que en todos los casos corresponde a los elementos que no caen en ninguna definicin.

Diagrama de un conjunto[editar]

Tiene slo 2 regiones: la de los elementos que responden a la definicin A y la de los que se oponen a ella.1

Diagrama de dos conjuntos[editar]

Tiene 4 regiones. Considrese el siguiente ejemplo: el conjunto A es el de los animales bpedos y el conjunto B es el de los animales que pueden volar. El rea dondelas dos regiones se superponen contiene por lo tanto a todos los animales que, al mismo tiempo, son bpedos y pueden volar. En resumen:A (regiones amarilla y verde): animales bpedos,B (regiones azul y verde): animales que pueden volar,A y B (regin verde): animales bpedos que pueden volar,A y no B (regin amarilla): animales bpedos que no pueden volar,no A y B (regin azul): animales no bpedos (que no tienen dos patas) que pueden volar,no A y no B (regin gris): animales no bpedos que no pueden volar,

A o B (regiones amarilla, azul y verde): animales bpedos o que pueden volar.Los pinginos, que tienen dos patas y no pueden volar, estn en la regin amarilla; los mosquitos, que tienen seis patas y pueden volar, estn en la regin azul; los loros, que tienen dos patas y pueden volar, estn en la regin verde; las ballenas, queno tienen patas ni pueden volar, estn en la regin gris.

Diagrama de tres conjuntos[editar]

Tienen 8 regiones. Los diagramas de tres conjuntos fueron los ms usados por Vennen toda su obra. Un ejemplo de aplicacin podra ser el siguiente: dado un grupo depersonas, A es el conjunto de las de sexo masculino, B el conjunto de las mayores de 18 anos y C el conjunto de las que trabajan. De este modo, la regin verde se

ra la de las personas de sexo masculino, mayores de 18 anos, que no trabajan.13

Diagramas de ms de tres conjuntos[editar]

La dificultad de representar ms de tres conjuntos mediante diagramas de Venn es evidente. Venn senta aficin por los diagramas de ms de tres conjuntos, a los que defina como "figuras simtricas, elegantes en s mismas". A lo largo de su vida, disen vrias representaciones usando elipses, y dej indicaciones para la construccin de diagramas con cualquier cantidad de curvas, partiendo del diagrama de tres crculos.14

Diagramas de Edwards[editar]

Anthony William Fairbank Edwards propuso diagramas para ms de tres conjuntos, proyectando el diagrama sobre una esfera. Tres conjuntos pueden ser representados fcilmente tomando tres hemisferios en ngulos rectos (x = 0, y = 0 y z = 0). Un cuarto conjunto puede ser representado tomando una curva similar a la juntura de unapelota de tenis que suba y baje alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes pueden ser proyectados de nuevo sobre el plano para mostrar diagramas de tipoengranaje, con cantidades cada vez mayores de dientes. Edwards ide estos diagramas mientras disenaba la ventana acristalada en memoria de Venn que hoy adorna elcomedor del Caius College.15

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Diagrama de Edwards de 3 conjuntos Diagrama de Edwards de 4 conjuntos3 conjuntos 4 conjuntosDiagrama de Edwards de 5 conjuntos Diagrama de Edwards de 6 conjuntos5 conjuntos 6 conjuntos

Otros diagramas[editar]

Los diagramas de Edwards son topolgicamente equivalentes a los diagramas disenados por Branko Grnbaum, que se basan en la interseccin de polgonos con cantidades crecientes de lados.16 17 18 Phillip Smith ide diagramas similares de n conjuntos usando curvas senoidales con ecuaciones del tipo y = sen(2i x)/2i, 0 ? i ? n 2. Por su parte, Lewis Carroll disen un diagrama de cinco conjuntos.

Otras representaciones[editar]

A continuacin se hace referencia a representaciones relacionadas con los diagramas de Venn.

Lneas de Leibniz[editar]

Las lneas de Leibniz fueron las primeras representaciones de conceptos lgicos. Leibniz tambin represent los conceptos con crculos, pero prefera las lneas.

Crculos de Euler[editar]

Artculo principal: Diagrama de Euler

Los crculos de Euler preceden histricamente a los diagramas de Venn y en algunas aplicaciones son todava usados.

La diferencia entre los diagramas de Euler y de Venn se observa sobre todo en las relaciones de inclusin y de disyuncin.

inclusin disyuncinLeibniz Diagrama de Venn Euler 5 Diagrama de Venn Euler 6Euler Diagrama de Venn Euler 3 Diagrama de Venn Euler 4Venn Diagrama de Venn Euler 1 Diagrama de Venn Euler 2

Los diagramas de Venn muestran la topologa del sistema sin que sea necesario modificar la posicin relativa de los conjuntos, a costa de introducir una nueva convencin: el sombreado de las regiones vacas.

Mapas de Karnaugh[editar]

Artculo principal: Mapa de Karnaugh

Los mapas de Karnaugh o diagramas de Veitch son una representacin visual de expresiones del lgebra de Boole.19

Grficos de Peirce[editar]

Artculo principal: Grficos existenciales

Los grficos de Peirce son extensiones de los diagramas de Venn que incluyen informacin sobre afirmaciones existenciales, disyuntivas, de probabilidades y otras relaciones.2

Vase tambin[editar]DiagramasTeora de conjuntos

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Crculos de EulerMapas de KarnaughCartas de SmithDiagramas de CarrollGrficos existencialesRazonamiento diagramticoCamino del Serlgebra de Boole

Referencias[editar]

1.^ Saltar a: a b c d e Juan Jos Luetich, "Ser o ser no, se es el dilema", Actas Suplemento 1, 1 (1) 1, Rosario, Academia Luventicus, 20012.^ Saltar a: a b c d Edward N. Zalta Uri Nodelman Colin Allen (editores), artculo: "Diagrams", Stanford Encyclopedia of Philosophy, Stanford, Metaphysics Research Lab Center for the Study of Language and Information Stanford University, 200120133.^ Saltar a: a b Margaret E. Baron, "A Note on the Historical Development of Logic Diagrams: Leibniz, Euler and Venn", The Mathematical Gazette, Vol. 53 No. 384, Leicester, The Mathematical Association, 19694.Volver arriba ^ Annimo, "Obituary Notices of Fellows Deceased: Rudolph Messel,Frederick Thomas Trouton, John Venn, John Young Buchanan, Oliver Heaviside, Andrew Gray", Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 110 No. 756, Londres, The Royal Society, 1926

5.Volver arriba ^ John Venn, "On the Diagrammatic and Mechanical Representationof Propositions and Reasonings", The London, Edinburgh, and Dublin PhilosophicalMagazine and Journal of Science, 10 (58) 118, Escocia, Taylor & Francis, 18806.Volver arriba ^ "Camino del ser y diagrama total", Actas Editoriales, Rosario,Academia Luventicus, 20137.Volver arriba ^ John Venn, Symbolic Logic, Londres, Macmillan, 18818.Volver arriba ^ Clarence Irving Lewis, A survey of symbolic logic, Berkeley, University of California Press, 19189.Volver arriba ^ John Venn, The Principles Of Empirical Or Inductive Logic, Londres, Macmillan, 190710.Volver arriba ^ Juan Jos Luetich, "Ser y pertenecer", Actas Suplemento 1, 1 (2) 1, Rosario, Academia Luventicus, 200811.Volver arriba ^ Javier R. Movellan, "Tutorial on axiomatic ser theory", Tutor

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2, 199218.Volver arriba ^ Branko Grnbaum, "The search for symmetric Venn diagrams", Geombinatorics, Vol. 8 No. 1, 199919.Volver arriba ^ Andreas Otte, "Venn-Diagramme: Einleitung", Begriffslogik.de,1998