MEDICIÓN ANGULAR
Un grado es una medida angular correspondiente a 1/360 de un círculo o una
revolución completa. Un radián es la medición angular a lo largo de la
circunferencia de un círculo que es igual al radio del círculo. Un radián (rad)
equivale a !.3"# como se ilustra en la figura 11$%1. &n una revolución de 360"#
'a %p radianes.
  La letra griega (pi) representa la relación de la circunerencia de
cual!uier c"rculo a su diá#etro $ tiene un %alor constante de
apro&i#ada#ente '*+
*as calculadoras científicas tienen una función p de modo que el valor num+rico
real no tiene que ser ingresado.  
 
,NGUL-. DE -NDA .EN-
*a medición angular de una onda seno se ,asa en 360" o % para un ciclo
completo. -edio ciclo son 10" o /rad un cuarto de ciclo son 0" o /% rad así
sucesivamente. *a figura (a) muestra ángulos en grados para un ciclo completo de
una onda seno la parte (,) muestra los mismos puntos en radianes.
/A.E DE UNA -NDA .EN-
*a ase de una onda seno es una medición angular que especifica la posición de
dic'a onda seno con respecto a una referencia. *a figura muestra un ciclo de una
onda seno que se utiliará como referencia. 2,serve que el primer cruce 'acia
positivo del ee 'oriontal (cruce por cero) se localia en 0" (0 rad)# el pico
positivo está en 0" (/% rad). &l cruce por 0 'acia negativo está en 10" ( rad)#
el pico negativo está en %!0" (3/% rad). &l ciclo se completa en 360" (% rad).
4uando la onda seno de desplaa 'acia la iquierda o la derec'a con respecto a
esta referencia# 'a un desplaamiento de fase.
 
*a figura que
se muestra a
continuación ilustra desplaamientos de fase de una onda seno. &n la parte (a)# la
onda seno B se desplaó 'acia la derec'a en 0" (/% rad) con respecto a la onda
seno A. 5or tanto# 'a un ángulo de fase de 0" entre la onda seno  A la onda
seno B. &n función del tiempo# el pico positivo de la onda seno B ocurre despu+s
que el pico positivo de la onda seno  A porque el tiempo se incrementa 'acia la
derec'a a lo largo del ee 'oriontal. &n este caso# se dice que la onda seno B
está retrasada con respecto a la onda seno  A en 0" o /% radianes. &presado
de otra manera# la onda seno  A va 0" adelante de la onda seno B.
&n la figura (,) mencionada# la onda seno B aparece desplaada en 0" 'acia la
 
de la onda seno B ocurre antes que el de la onda seno  A por consiguiente# se
dice que la onda seno B va 0" adelante de la onda seno A.
4omo cuestión práctica# cuando se mide el desplaamiento de fase entre dos
formas de onda con un osciloscopio# se de,erá 'acer que pareca que tienen la
misma amplitud. &sto se 'ace sacando uno de los canales del osciloscopio de su
cali,ración vertical austando la forma de onda correspondiente 'asta que su
amplitud aparente sea igual a la de la otra forma de onda. &ste procedimiento
elimina el error provocado si am,as formas de onda no se midieran en su centro
eacto.
LA /ÓRMULA DE LA -NDA .EN-
Una onda seno puede representarse gráficamente mediante valores de voltae o
corriente en el ee vertical por una medición angular (grados o radianes) a lo
largo del ee 'oriontal.
&n la figura se muestra una gráfica generaliada de un ciclo de una onda seno. *a
amplitud de +sta ( A) es el valor máimo de voltae o corriente en el ee vertical los
valores angulares aparecen a lo largo del ee 'oriontal. *a varia,le y es un valor 
instantáneo que representa o voltae o corriente a un ángulo dado# u. &l sím,olo u
es la letra griega teta.
 
7odas las ondas seno el+ctricas siguen una fórmula matemática específica.
 y= A senθ
&sta fórmula esta,lece que cualquier punto en la onda seno# representado por un
valor instantáneo (y )# es igual al valor máimo A por el seno (sen) del ángulo 8 en
dic'o punto. 5or eemplo# cierta onda seno de voltae tiene un valor pico de 10 9.
:e puede calcular el voltae instantáneo en un punto localiado en 60" a lo largo
del ee 'oriontal como sigue# donde  y=v    A=Vp .
v=Vpsenθ=(10V  ) (0.866 )=8.66V 
*a figura muestra este valor instantáneo particular de la curva. :e puede encontrar 
el seno de cualquier ángulo con la maoría de las calculadoras ingresando primero
el valor del ángulo oprimiendo luego la tecla ;sin<. 4erciórese de que la
calculadora est+ en el modo de grados.
E01RE.I-NE. 1ARA -NDA. .EN- C-N DE.1LA2AMIEN3- DE /A.E
4uando una onda seno se desplaa 'acia la derec'a de la referencia
(retrasándose) en cierto ángulo# = (letra griega fi)# como ilustra la figura (a)# donde
la referencia es el ee vertical# la epresión general es>
 y= A sen(θ−∅)
 
IN3R-DUCCIÓN A L-. /A.-RE.
*os fasores proporcionan un m+todo gráfico para representar cantidades que
tienen tanto magnitud como dirección (posición angular). *os fasores son
especialmente @tiles para representar ondas seno en función de su magnitud su
ángulo de fase# tam,i+n para analiar los circuitos reactivos.
5uede ser que usted a est+ familiariado con los vectores. &n matemáticas
ciencias# un vector es cualquier cantidad que tiene tanto magnitud como dirección.
&emplos de vectores son la fuera# la velocidad la aceleración. *a manera más
simple de descri,ir un vector es asignando una magnitud un ángulo a una
cantidad.
&n electrónica# un asor es un tipo de vector pero el t+rmino en general se refiere
a cantidades que varían con el tiempo# tal como las ondas seno. *a longitud de la
;flec'a< del fasor representa la magnitud de una cantidad. &l ángulo# 8 (con
respecto a 0")# representa la posición angular# seg@n muestra la parte (a) para un
ángulo positivo. &l eemplo de fasor específico de la parte (,) tiene magnitud de %
ángulo de fase de A". &l fasor de la parte (c) tiene magnitud de 3 ángulo de
fase de 10". &l fasor de la parte (d) tiene magnitud de 1 ángulo de fase de $ A"
(0B31"). 2,serve que los ángulos positivos se miden en sentido contrario al de
 
(0")# los ángulos negativos se miden en el sentido de las manecillas del relo
(4C# por sus siglas en ingl+s) a partir de la referencia.
RE1RE.EN3ACIÓN /A.-RIAL DE UNA -NDA .EN-
Un ciclo completo de una onda seno puede ser representado por la rotación de
360" de un fasor.
  El %alor instantáneo de la onda seno en cual!uier punto es igual a la
distancia %ertical desde la punta del asor 4asta el e5e 4ori6ontal
*a figura muestra cómo traa el fasor la onda seno conforme va desde 0 'asta
360". :e puede relacionar este concepto con la rotación que se presenta en un
generador de c.a. Ddvierta que la longitud del fasor es igual al valor pico de la
onda seno (o,serve los puntos de 0" %!0").
&l ángulo del fasor medido a partir de 0" es el punto angular correspondiente en la
onda seno.
/A.-RE. 7 LA /ÓRMULA DE LA -NDA .EN-
&aminemos una representación fasorial a un ángulo específico. *a figura muestra
un fasor de voltae en una posición angular de A" el punto correspondiente en la
onda seno. &n este punto# el valor instantáneo de la onda seno está relacionado
con la posición con la longitud del fasor. 4omo previamente se mencionó# la
distancia vertical desde la punta del fasor 'asta el ee 'oriontal representa el
valor instantáneo de la onda seno en dic'o punto.
2,serve que# cuando se traa una línea vertical desde la punta del fasor 'asta el
ee 'oriontal# se forma un triángulo rectángulo# como ilustra el área som,reada en
la figura. *a longitud del fasor es la 'ipotenusa del triángulo# la proección
vertical es el lado opuesto. 5or trigonometría.
• El lado opuesto de un triángulo rectángulo es igual a la 4ipotenusa por 
el seno del ángulo u.
*a longitud del fasor es el valor pico del voltae sinusoidal# 9p. 5or tanto# el lado
opuesto del triángulo# que es el valor instantáneo# se epresa como
 y=Vp senθ
Eecuerde que esta fórmula es la misma enunciada con anterioridad para calcular 
voltae sinusoidal instantáneo. Una fórmula similar se aplica a una corriente
sinusoidal.
,NGUL-. /A.-RIALE. 1-.I3I8-. 7 NEGA3I8-.
*a posición de un fasor en cualquier instante puede epresarse como un ángulo
positivo# como a se vio# o como un ángulo negativo equivalente. *os ángulos
positivos se miden en sentido contrario al de las manecillas del relo a partir de 0".
*os ángulos negativos se miden en el mismo sentido de las manecillas del relo a
partir de 0". 5ara un ángulo positivo dado u# el ángulo negativo correspondiente es
8 $ 360"# como ilustra la figura (a). &n la parte (,)# se muestra un eemplo
 
DIAGRAMA. /A.-RIALE.
&s posi,le utiliar un diagrama fasorial para demostrar la relación relativa de dos o
más ondas seno de igual frecuencia. :e utilia un fasor en una posición fia  para
representar una onda seno completa porque una ve esta,lecido el ángulo de fase
entre dos o más ondas seno de la misma frecuencia o entre la onda seno una
referencia# el ángulo de fase permanece constante durante todos los ciclos. 5or 
eemplo# las dos ondas seno de la figura (a) pueden ser representadas mediante
un diagrama fasorial# seg@n muestra la parte (,). 4omo se puede ver# la onda
seno B adelanta en 30" a la onda seno  A tiene menos amplitud que la onda seno
 A# así lo indican las longitudes de los fasores.