CC
DINAMICA DE UNA PARTICULA EN COORDENADAS DIVERSAS
INTEGRANTES:
Ballena Tapia Chrystian
Cosmopolis Viteri Jose
Nez Garca Henry Edwin
Palomino Espinoza Frank Carlos
Terrones Fernndez Cesar
Ciclo: III
Docente: Ing. Loayza Rivas Carlos Adolfo
Fecha:
Chiclayo, 16 de junio del 2011
DINAMICA DE LA PARTICULA EN COORDENADAS DIVERSAS
INTRODUCCION
El movimiento de un cuerpo cambia cuando este interacta con
otros cuerpos. Dichos cambios dependern por un lado de las
propiedades del cuerpo y por otro del medio que lo rodea. El
problema central de la dinmica de la partcula es el siguiente: Dada
una partcula cuyas caractersticas (masa, carga, momento magntico)
son conocidas, colocada en determinadas condiciones de movimiento
en cierto medio del cual se tiene una descripcin completa,
determinar cual ser el movimiento subsiguiente de la partcula.
OBJETIVOS
En base a los conocimientos previos adquiridos se aplicara para
el desarrollo y entendimiento de problemas usando las leyes de
newton y otros teoremas ejercitando el manejo del lgebra vectorial
aplicada a la formulacin de la solucin de problemas de dinmica de
partculas.
Conocer los conceptos de impulso y momentum, tanto lineal como
angular. Aplicar la ecuacin de impulso y cantidad de movimiento
para resolver problemas en funcin de tiempo. Y establecer la
diferencia entre fuerzas impulsivas y no Impulsivas.
Aplicar la segunda ley de newton para caracterizar el estado
dinmico de una partcula sujeta a fuerzas externas. Y aplicar los
principios de conservacin de momentum a la dinmica de
partculas.
Al trmino del informe se desea explicar lo ya mencionado, con la
finalidad de describir matemticamente el movimiento de partculas
relacionndolo con las fuerzas que lo originan.
Dinmica de la Partcula
El propsito de la dinmica es predecir el comportamiento futuro
de un sistema, en particular de una partcula cuando son conocidas
las fuerzas y las restricciones que actan sobre ella y se conoce el
presente.
Si los efectos de rotacin pueden ser despreciados para un cuerpo
particular, entonces el cuerpo puede ser tratado como si fuese una
simple partcula con la masa del cuerpo concentrada en un punto.
Leyes de Newton
Desde los tiempos de Galileo se ha reconocido que no es
necesario aplicar fuerzas para mantener el movimiento de los
cuerpos. Esto evidentemente choca con lo observado diariamente
puesto que si se dejan de aplicar fuerzas, los cuerpos se
detienen.
Primera Ley de Newton
Todo cuerpo continuar en su estado de reposo o de velocidad
constante en lnea recta, a menos que una fuerza neta que acte sobre
el cuerpo el lo obligue a cambiar este estado de reposo o de
movimiento.
En otros trminos se dice de la siguiente forma: si la suma de
fuerzas que acta sobre un cuerpo es cero, su aceleracin es cero.
Esto significa que la partcula se encuentra en equilibrio. La
primera Ley de Newton se conoce tambin como Ley de Inercia.
= 0 = 0
2. Segunda Ley de Newton
Estamos ahora en condiciones de enunciar la Segunda Ley de
Newton, ella establece que: En los sistemas de referencia
inerciales:
Donde Fes la suma de todas las fuerzas resultantes, m la masa de
la partcula y a su aceleracin.
Habiendo definido previamente las fuerzas y las masas, la
Segunda Ley de Newton es una ley experimental que establece que las
masas son independientes del valor de la fuerza que se utiliza para
su definicin.
Obsrvese que en ausencia de fuerzas externas aplicadas sobre un
cuerpo, F = 0 y por lo tanto a = 0, por lo que una partcula libre
se mover con movimiento rectilneo uniforme como era establecido por
la Primera Ley.
= m = m
El enunciado que hemos dado de la Segunda Ley no es el ms
general posible, en efecto, tal como lo hemos enunciado, la Ley slo
vale cuando la masa de la partcula no vara con el tiempo. Si
deseamos describir el movimiento de un cohete, por ejemplo, su masa
variar con el tiempo a medida que los gases de propulsin son
expulsados por la tobera. Para describir este tipo de fenmenos es
necesario generalizar la Segunda Ley introduciendo la nocin de
momento lineal o cantidad de movimiento.
El momento lineal de una partcula se define como el producto de
su masa por su velocidad:
La versin generalizada de la Segunda Ley establece que:
En los sistemas de referencia inerciales
La variacin de la cantidad de movimiento es igual a la fuerza
que acta sobre el objeto.
=m
=
Tercera Ley de newton
La Tercera Ley de Newton permite estudiar la interaccin mutua
entre dos cuerpos.
Ella establece que:
Si un cuerpo A ejerce sobre otro cuerpo B una fuerza FAB
entonces B ejerce sobre A una fuerza igual y contraria:
Esta ley tambin es conocida como Ley de accin y reaccin. Si la
fuerza ejercida sobre el cuerpo A se denomina accin de B sobre A,
entonces la fuerza que ejerce A sobre B se denomina la reaccin de A
sobre B.
Ecuaciones diferenciales del movimiento de una partcula
a. En coordenadas cartesianas:
a=i+j+k
De F=ma
F=mi+mj+mk
Ecuacin diferencial
Del movimiento de la partcula
Fx
Fy
Fz
b. En coordenadas cilndricas
a=( -) +( +2 +
F=ma =m( -) +m( +2 +
Ecuaciones del Impulso y Momentum
Si una fuerza acta sobre una partcula durante un tiempo muy
pequeo dt se denomina impulso elemental de la fuerza a la
expresin
Si la fuerza que acta sobre la partcula dura entre los instantes
y , se denomina impulso total de la fuerza a la expresin:
Momentum Lineal
El momentum lineal de una partcula se define como el producto de
su masa por su velocidad. Designndolo por p, tenemos:
El momentum lineal es una cantidad vectorial, y tiene la misma
direccin de la velocidad. Es un concepto fsico de mucha importancia
porque combina los dos elementos que caracterizan el estado dinmico
de una partcula: su masa y su velocidad. En adelante escribiremos
la palabra momentum en lugar de momentum lineal. En el sistema
MKSC, el momentum se expresa en m kg s-1 (a esta unidad no se le ha
dado un nombre especial).
P = mv
Momentum Angular
Se define momento angular de una partcula respecto de del punto
O, como el producto vectorial del vector posicin r por el vector
momento lineal mv.
El momentum angular con respecto a 0 de una partcula de masa m
que se mueve con velocidad v (y por consiguiente momentum p=mv)
esta definido por el producto vectorial.
L = r x p L = r x mv
Momento angular de una masa puntual
En mecnica newtoniana, el momento angular de una partcula o masa
puntual con respecto a un punto O del espacio se define como el
momento de su cantidad de movimiento P con respecto a ese punto.
Normalmente se designa mediante el smbolo L , siendo r el vector
que une el punto O con la posicin de la masa puntual, ser:
El vector L es perpendicular al plano que contiene r y V, en la
direccin indicada por la regla del producto vectorial o regla del
sacacorchos y su mdulo o intensidad es:
Esto es, el producto del mdulo del momento lineal por su brazo (
en el dibujo ) definido ste como la distancia del punto respecto al
que se toma el momento a la recta que contiene la velocidad de la
partcula.
Momento angular y momento dinmico
Derivemos el momento angular con respecto al tiempo:
El primero de los parntesis es cero ya que la derivada de r El
primero de los parntesis es cero ya que la derivada de v y, como el
vector velocidad es paralelo al vector cantidad de movimiento P ,
el producto vectorial es cero. En cuanto al segundo parntesis,
tenemos:
Donde a es la aceleracin de la partcula, de modo que ma= F es la
fuerza que acta sobre ella. Puesto que el producto vectorial de r
por la fuerza es el momento o momento dinmico aplicado a la masa,
tenemos:
As, la derivada temporal del momento angular es igual al momento
dinmico que acta sobre la partcula. Hay que destacar que en esta
expresin ambos momentos, L y M debern estar referidos al mismo
punto O.
Momento angular de un conjunto de partculas puntuales
El momento angular de un conjunto de partculas es la suma de los
momentos angulares de cada una:
La variacin temporal es:
El trmino de derecha es la suma de todos los momentos producidos
por todas las fuerzas que actan sobre las partculas. Una parte de
esas fuerzas puede ser de origen externo al conjunto de partculas.
Otra parte puede ser fuerzas entre partculas. Pero cada fuerza
entre partculas tiene su reaccin que es igual pero de direccin
opuesta y colineal.
El momento angular de un sistema de partculas se conserva en
ausencia de momentos externos. Esta afirmacin es vlida para
cualquier conjunto de partculas: desde ncleos atmicos hasta grupos
de galaxias.
Momento angular de un slido rgido
Tenemos que en un sistema inercial la ecuacin de movimiento
es:
Donde: W es la velocidad angular del slido.
I es el tensor de inercia del cuerpo.
Ahora bien, normalmente para un slido rgido el tensor de inercia
I depende del tiempo y por tanto en el sistema inercial
generalmente no existe un anlogo de la segunda ley de Newton, y a
menos que el cuerpo gire alrededor de uno de los ejes principales
de inercia sucede que:
Donde es la aceleracin angular del cuerpo. Por eso resulta ms
til plantear las ecuaciones de movimiento en un sistema no inercial
formado por los ejes principales de inercia del slido, as se logra
que I = cte aunque entonces es necesario contar con las fuerzas de
inercia:
Que resulta ser una ecuacin no lineal en la velocidad
angular.
Teorema Impulso Momentum
Si una fuerza acta sobre una partcula, el impulso total de dicha
fuerza es igual a la variacin de la cantidad de movimiento.
De:
Multiplicando en dt:
Impulso Total
Variacin del Movimiento lineal
En Trminos Escalares:
Teorema de la Conservacin de la Cantidad de Movimiento
Si sobre una partcula o sobre un sistema de partculas no acta
ninguna fuerza exterior, la cantidad de movimiento se conserva.
Cabe indicar que si la proyeccin de la fuerza sobre uno de los
ejes coordenados es nula, la cantidad de movimiento a lo largo de
este eje se conserva an cuando no se cumple para otro eje. Para una
partcula:
De:
Si:
Momento = Momento
Inicial Final
Para dos partculas:
Va1
Va2
m2
m2
-
m2
VS2
Para la Masa =
Para la Masa
Igualando
Momentum Inicial del Sistema Momentum Final del Sistema
En general:
mi vi = cte.
PROBLEMAS APLICATIVOS
1) Cuando un proyectil de masa m es disparado contra masas de
tierra, experimenta na fuerza retardatriz (C1 + C2 V 2) donde C1 y
C2 dependen de las propiedades del material y de la forma del
proyectil. Si la velocidad de impacto es Vo , encontrar la
penetracin total.
Solucin:
m
De:
C1 + C2 V2
X
Vo
X max
X
Y
Pero:
Luego:
Clculo de C: Si x=0 V=
Se pide
2) Un peso descansa en la parte superior de una esfera de radio
r sin friccin. El peso se desliza hacia abajo lateralmente sobre la
esfera siguiendo un plano vertical bajo la accin de la gravedad.
Encontrar la posicin en que el peso se separa de la esfera.
2
En 1:
3) Dos cuerpos 1y 2 estn unidos por una cuerda inextensible y su
peso segn se indica. Inicialmente los cuerpos estn en reposo. Si el
coeficiente de friccin es M, determinar la velocidad de los cuerpos
para el tiempo t, de modo que ste sea lo bastante pequeos para que
el cuerpo 1 no llegue al extremo de la superficie inclinada.
Para el cuerpo 1:
Para el cuerpo 2:
1 y 2:
4) Un can cuya nima forma un ngulo con la horizontal dispara una
granada que tiene la velocidad con relacin al nima. El conjunto del
can se encuentra montado sobre un emplazamiento horizontal sin
friccin. La masa total del can es M y la masa de la granada es m.
encontrar la velocidad de retroceso y del can y la magnitud de la
velocidad absoluta de la granada en el momento de salida. (El
retroceso tiene lugar sin que se opongan fuerzas de
resistencia).
Solucin:
El momentum a lo largo del eje x se conserva, luego:
( momentum inicial) = (momentun final)
o = m ( Vabs granada ) x
Mv
La velocidad absoluta de la granada ser:
CONCLUSIONES
La dinmica del punto material es una parte de la mecnica
newtoniana en la que los sistemas se analizan como sistemas de
partculas puntuales y que se ejercen fuerzas a distancia
instantneas. En la teora de la relatividad no es posible tratar un
conjunto de partculas cargadas en mtua interaccin, usando
simplemente las posiciones de las partculas en cada instante, ya
que en dicho marco se considera que las acciones a distancia viola
la causalidad fsica. En esas condiciones la fuerza sobre una
partcula debida a las otras depende de las posiciones pasadas de
las partculas.
En muchos casos observamos el movimiento de solamente una
partcula, ya sea porque no tenemos manera de observar las otras
partculas con las cuales interacta o porque las ignoramos a
propsito. En esta situacin es algo difcil usar el principio de
conservacin del momentum. Sin embargo, hay una manera prctica de
resolver esta dificultad, introduciendo el concepto de fuerza. La
teora matemtica correspondiente se denomina dinmica de una
partcula.
La primera y la tercera leyes de Newton del movimiento se
emplearon de manera amplia en esttica para estudiar cuerpos en
reposo y las fuerzas que actan sobre ellos. Estas dos leyes tambin
se utilizan en dinmica en realidad, son suficientes para el estudio
del movimiento de cuerpos que no tienen aceleracin. sin embargo,
cuando los cuerpos estn acelerados, esto es, cuando cambia la
magnitud o la direccin de su velocidad, es necesario recurrir a la
segunda ley de newton para relacionar el movimiento del cuerpo con
las fuerzas q actan sobre el.
RECOMENDACIONES
Al estudiar la Dinmica de una Partcula se debe de tener en
cuenta primero que es dinmica, estudia el movimiento de los cuerpos
considerando las causas que lo producen. es una rama de la mecnica
que abarca casi toda la mecnica clsica. Esto es bsico entender ya
que es elemental para la buena aplicacin de sus teoremas.
El estudio de La Dinmica de la Partcula es fundamental basndose
en teoras sobre las leyes de Newton y otras teoras en comn y en la
cual se debe de estudiar teniendo en cuenta que los sistemas se
analizan como sistemas de partculas puntuales y que se ejercen
fuerzas a distancia instantneas.
La aplicacin de La dinmica de una partcula en coordenadas
diversas ya sea cartesianas, cilndricas y tangenciales es
recomendable desarrollarlo teniendo como base el desarrollo de lo
tratado tambin en las coordenadas ya mencionadas en la Cinemtica de
una partcula.
