Diario de Campo Matematica

Instituto Tecnológico Superior “El Oro”

Luis A. Quinche Página 1

Carrera: Electricidad

Nivel: 3do

Luis A. Quinche A.

Ing. Carlos Albán



Horario de Clase

Horario Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

18h45

a

20h45

-------------- Matemática

III -------------- -------------- --------------

20h45

a

22h30

-------------- -------------- Matemática

III

Matemática

III

Matemática

III

# de Crédito 5

Crédito 1 cada crédito tiene el valor de 6 puntos.

1- Trabajos extra clase.

2- Trabajo intercalase.

3- Prueba.

4 punto restante se lo obtendrá dando 2 exámenes

Primer examen será ha mediado del módulo que tendrá un valor de 2

puntos.

Segundo examen será al finalizar el módulo que tendrá un valor de 2

puntos.



INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO “EL ORO”

Ciencia y Tecnología para el Progreso COORDINACIÓN NIVEL SUPERIOR

CARRERA DE ELECTRICIDAD

SÍLABO POR COMPETENCIAS

1. DATOS INFORMATIVOS:

1.1. Carrera: ELECTRICIDAD

1.2. Modalidad de Estudio: PRESENCIAL

1.3. Eje de Formación: PROFESIONAL

1.4. Periodo Lectivo: 2015 - 2015

1.5. Asignatura: MATEMÁTICAS III

1.6. Prerrequisitos: MATEMÁTICAS I Y MATEMÁTICAS II

1.7. Nivel: II

1.8. Sección: NOCTURNA

1.9. Créditos: 5

1.10. Total de horas de la asignatura: 80

a. Horas Presenciales: 80

b. Horas de Trabajo Autónomo: 80

c. Fecha de Inicio: 26 Octubre de 2015

d. Fecha de Finalización:03 de Enero de 2015

1.11. Docente: ALBÁN TINOCO CARLOS ALBERTO, INGENIERO ELECTRÓNICO

[email protected]

1. DESCRIPCIÓN DEL CURSO

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias o EDO es una materia que aplica el estudiante en el ámbito

de la matemática superior y tecnología, mediante el conocimiento progresivo de teoremas,

reglas, principios y técnicas para resolver Ecuaciones Diferenciales ordinarias de primer orden,

orden superior, sistemas de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones, a fin de que haga suyo

el lenguaje de las Ciencias, que es matemática, alrededor de la cual se articula la formación del

tecnólogo, con ayuda de software como derive 6.1 y la simulación de circuitos transitorios con

el uso de software Proteus 8.0.

mailto:[email protected]



Software Derive 6.1 Software Proteus 8.0

2. CONTRIBUCIÓN DEL CURSO EN LA FORMACIÓN PROFESIONAL

Esta asignatura corresponde a la primera etapa del eje de formación profesional, proporciona

al futuro profesional las bases conceptuales de leyes y principios del cálculo diferencial e

integral, con el apoyo de asignaturas del área de matemáticas en el análisis de los circuitos en

función al tiempo.

3. COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA

1.- La derivada y la Integral

2.- Ecuaciones diferenciales ordinarias y lineales

4.- Ecuaciones diferenciales de orden superior

5.- Transformada de Laplace

4. PROGRAMACIÓN TEMÁTICA

UNIDAD I: LA DERIVADA Y LA INTEGRAL DURACIÓN: 12 horas

Competencia de la unidad de aprendizaje: Revisión de los procesos de

derivación e integración.

N°. de

Semana CONCEPTUAL PROCEDIMENTAL ACTITUDINAL

1

2

Resolución de derivadas

de funciones y funciones

ordinarias y funciones

trascendentes

Resolución de Integrales

de funciones ordinarias y

funciones trascendentes

Ejercicios resolviendo las

derivadas de funciones y


Ejercicios resolviendo las

integrales de funciones y


Aplicación de Software en el

desarrollo de derivadas e

integrales

Realización de ejercicios

y verificación de

respuestas utilizando

software derive 6.1 para

garantizar las respuestas

correctas

UNIDAD II: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DURACIÓN: 20 horas

Competencia de la unidad de aprendizaje: Las ecuaciones diferenciales ordinarias

y los métodos de solución.



N°. de


3

4

5

Definición de las ecuaciones

diferenciales ordinarias

Ecuaciones diferenciales de

primer orden

Método para la resolución de

ecuaciones diferenciales

ordinarias

Ecuaciones diferenciales

homogéneas

Aplicación de las ecuaciones

diferenciales ordinarias en

circuitos eléctricos

Las ecuaciones

diferenciales de

ecuaciones ordinarias y la

solución aplicando los

métodos de integración y

derivada.

Aplicación de programas

computacionales en la

solución de ecuaciones

diferenciales.

Aplicación de software en

la determinación de las

gráficas de las familias de

curas

Realización de

múltiples ejercicios

para encontrar la

fórmula general de

las ecuaciones

diferenciales y sus

familias de curvas

UNIDAD III: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR

DURACIÓN: 20 horas

Competencia de la unidad de aprendizaje: Gráfica de las funciones matemáticas

más importantes en el cálculo, su intervalo de existencia y límites de dicha función.

N°. de


6

7

Definición de las ecuaciones

diferenciales de orden superior

Solución de las ecuaciones

diferenciales de orden superior

Valores de frontera en la

solución general de ecuaciones

diferenciales

Aplicación de las ecuaciones

diferenciales de segundo orden

en circuitos eléctricos

Las ecuaciones

diferenciales de orden

superior y la solución

aplicando los métodos de

integración y derivada.

Determinación de las

constantes de integración

usando los valores de

frontera

Aplicación de programas

computacionales en la

solución de ecuaciones

diferenciales de orden

superior.

Aplicación de software en

la determinación de las

gráficas de las familias de

curvas

Realización de

múltiples ejercicios

para encontrar la

fórmula general de

las ecuaciones

diferenciales usando

los valores de

frontera de los

ejercicios

UNIDAD IV: LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

DURACIÓN: 22 horas

Competencia de la unidad de aprendizaje: Interpretación geométrica de la

derivada, reglas para derivar funciones algebraicas y derivadas de funciones

trascendentes

N°. de CONCEPTUAL PROCEDIMENTAL ACTITUDINAL



Semana

8 9

10

Definición y propiedades de la

transformada de Laplace

Transformada de funciones

elementales

Inversa de la transformada de

Laplace

La transformada de Laplace en

la solución de ecuaciones

diferenciales

Aplicación de la transformada

de Laplace en circuitos

eléctricos con inductancias y

capacitancias

La transformada de

Laplace como la solución

de Ecuaciones

diferenciales

Solución en el dominio

del tiempo de las

ecuaciones diferenciales

presentes en un circuito

eléctrico

Uso de programas

computacionales en el

desarrollo de las

soluciones de la

transformada de Laplace

La transformada de

Laplace y su relación

en el desarrollo de

circuitos que poseen

ecuaciones

diferenciales que

dependen del tiempo

5. METODOLOGÍA

Debido a que Matemáticas III es una materia 100% teórica consta solamente del método

científico, se dictarán las clases utilizando pizarrón, marcadores y proyector, siguiendo

rigorosamente el plan de clases ya establecido en este sílabo.

Dicho de otra manera se utilizará el método Deductivo, es decir, se presenta la parte teórica

seguido de una serie de ejemplos y finalmente se exponen las conclusiones de dicho tema de

clase.

6. PORTAFOLIO DE LA ASIGNATURA

El portafolio de Matemáticas I es la recopilación de toda la materia vista en el salón de

clases, en el constará los siguientes puntos de calificación:

Materia: Los aspectos más importantes vistos en el salón de clases

Investigaciones

Tareas enviadas a casa

Tareas intraclase y

Resolución de pruebas



7. EVALUACIÓN

La nota parcial equivale al 60% de la nota total, está dividida de la siguiente manera:

NOTA FINAL

PROMEDIO

NOTA CRÉDITO 1

Participación en clase

Actividades extra clase

Evaluación 1

NOTA CRÉDITO 2



Evaluación 2

NOTA CRÉDITO 3



Evaluación 3

NOTA CRÉDITO 4



Evaluación 3

NOTA CRÉDITO 5 Participación en clase


Portafolio

=60% NOTA

Y el examen final está dividido en:

Examen final

Evaluación 20%

Proyecto final 20%

NOTA FINAL: = 40% NOTA

8. BIBLIOGRAFÍA

Zill G. Dennis, Ecuaciones Diferenciales, Séptima Edición, editorial Cengage Learning,

2009, México.

https://www.youtube.com/watch?v=v3CsjgKeB7U

https://www.youtube.com/watch?v=94YQF2BWis0

https://www.youtube.com/watch?v=v3CsjgKeB7U

https://www.youtube.com/watch?v=94YQF2BWis0



https://www.youtube.com/watch?v=7XB7vRL_MZ8

https://www.youtube.com/watch?v=Og4DnRUrXQE

9. RELACIÓN DEL CURSO CON EL RESULTADO DE APRENDIZAJE

Al terminar el curso, el alumno entenderá la aplicación de las ecuaciones diferenciales en los

circuitos eléctricos que poseen inductancias, condensadores y resistencias y la elaboración

del análisis transitorio.

10. FECHA DE ELABORACIÓN

Martes, 05 de Noviembre de 2015

11. FIRMA DEL PROFESOR Y DEL COORDINADOR.

ING. CARLOS ALBÁN TINOCO. ING. VICTOR MEDINA G.

Docente de Asignatura Coordinador ISTO

https://www.youtube.com/watch?v=7XB7vRL_MZ8

https://www.youtube.com/watch?v=Og4DnRUrXQE



INTRODUCCIÓN

En este portafolio se incluyen ejercicio de Ecuaciones Diferenciales

séptima edición del autor Dennis G. Zill y Michael R. Cullen. El cual hace

referencia a la solución de una aplicación de una ecuación diferencial

lineal homogénea de coeficientes constantes. De igual forma consiste en la

solución de un PVI (Problema con Valor Inicial). Y solución de un PVI

mediante cualquiera de los métodos, en el caso del EJERCICIO 2.5 por

método de sustitución y con el método de Bernoulli y para finalizar

ecuaciones diferenciales de segundo orden homogénea, y ecuaciones NO

homogéneas usando coeficientes indeterminados que se fueron

aprendiendo en el transcurso de este módulo. Esperando que todo lo que se

presente a continuación sea claro y no presente error que cause confusión.



ÍNDICE INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................................... 9

DERIVADAS E INTEGRALES .................................................................................................................... 13

Ejercicio #1 ........................................................................................................................................ 13

Ejercicio #2 ........................................................................................................................................ 13

Ejercicio #3 ........................................................................................................................................ 14

Ejercicio #4 ........................................................................................................................................ 15

Ejercicio #5 ........................................................................................................................................ 16

Ejercicio #6 ........................................................................................................................................ 17

Ejercicio #7 ........................................................................................................................................ 18

Ejercicio #8 ........................................................................................................................................ 19

INTEGRACIÓN ............................................................................................................................................ 19

Ejercicio #1 ........................................................................................................................................ 19

Ejercicio #2 ........................................................................................................................................ 20

Ejercicio #3 ........................................................................................................................................ 20

Ejercicio #4 ........................................................................................................................................ 21

Ejercicio #5 ........................................................................................................................................ 21

Ejercicio #6 ........................................................................................................................................ 22

Ejercicio #7 ........................................................................................................................................ 22

Corrección del Examen del Primer Crédito .................................................................................................... 23

Ejercicio #1 ........................................................................................................................................ 23

Ejercicio #2 ........................................................................................................................................ 24

Ejercicio #3 ........................................................................................................................................ 25

CAPÍTULO I .................................................................................................................................................. 26

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS .................................................................................. 26

EJERCICIOS 1.1 .................................................................................................................................... 27

Ejercicio #11 ...................................................................................................................................... 27

Ejercicio #29 ...................................................................................................................................... 28

Ejercicio #32 ...................................................................................................................................... 29

Ejercicio #30 ...................................................................................................................................... 30

PROBLEMAS CON VALORES INICIALES ........................................................................................... 31

EJERCICIO 1.2 ...................................................................................................................................... 31

Ejercicio #1 ........................................................................................................................................ 31

Ejercicio #6 ........................................................................................................................................ 32

Ejercicio #9 ........................................................................................................................................ 34

CAPÍTULO 2 ................................................................................................................................................. 35

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN ........................................... 35



EJERCICIOS 2.2 .................................................................................................................................... 35

Ejercicio #1 ........................................................................................................................................ 35

Ejercicio #3 ........................................................................................................................................ 36

Ejercicio #8 ........................................................................................................................................ 37

Ejercicio #9 ........................................................................................................................................ 39

Ejercicio #10 ...................................................................................................................................... 40

Ejercicio #23 ...................................................................................................................................... 41

Ejercicio #25 ...................................................................................................................................... 42

Ejercicio #46 ...................................................................................................................................... 43

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN 1 ................................................................................... 44

EJERCICIO 2.3 ...................................................................................................................................... 45

Ejercicio #3 ........................................................................................................................................ 45

Ejercicio #3 ........................................................................................................................................ 46

Ejercicio #9 ........................................................................................................................................ 47

Ejercicio #8 ........................................................................................................................................ 48

Ejercicio #25 ...................................................................................................................................... 49

Ejercicio #24 ...................................................................................................................................... 51

Ejercicio #23 ...................................................................................................................................... 52

Ejercicio #47 Marcapasos del corazón................................................................................................ 53

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR SUSTITUCIÓN ............................................ 54

EJERCICIO 2.5 ...................................................................................................................................... 54

Ejercicio #1 ........................................................................................................................................ 54

Ejercicio #3 ........................................................................................................................................ 56

Ejercicio #10 ...................................................................................................................................... 58

Ejercicio #12 ...................................................................................................................................... 59

Ejercicio #8 ........................................................................................................................................ 61

ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI .................................................................................. 62

CAPÍTULO 2 ............................................................................................................................................. 63

EJERCICIOS 2.5 .................................................................................................................................... 63

Ejercicio #15 ...................................................................................................................................... 63

Ejercicio #17 ...................................................................................................................................... 65

EXPOSICIÓN SOBRE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI A CARGO DE UNA

ESTUDIANTE ............................................................................................................................................... 67

Ejercicio #21 ...................................................................................................................................... 67

MODELOS LINEALES ............................................................................................................................. 68

Ejercicio de circuito en serie RC. ....................................................................................................... 68

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN ....................................................................... 71



EJERCICIO 1.1 ...................................................................................................................................... 71

Ejercicio # 23...................................................................................................................................... 71

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA .......................................................................................... 72

ECUACIÓN DIFERENCIAL NO HOMOGÉNEA ................................................................................... 72

EJERCICIO 4.1 ...................................................................................................................................... 72

Ejercicio # 1 ....................................................................................................................................... 72

Ejercicio # 3 ....................................................................................................................................... 74

Ejercicio # 7 ....................................................................................................................................... 75

Ejercicio # 23...................................................................................................................................... 76

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ...................................................................... 77

REDUCCIÓN DE ORDEN ........................................................................................................................ 77

EJERCICIO 4.2 ...................................................................................................................................... 78

Ejercicio # 1 ....................................................................................................................................... 78

Ejercicio # 2 ....................................................................................................................................... 79

Ejercicio # 11...................................................................................................................................... 80

Ejercicio # 13...................................................................................................................................... 81

ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN. ..................................................................................................... 83

EJERCICIO 4.3 ...................................................................................................................................... 85

Ejercicio # 3 ....................................................................................................................................... 85

Ejercicio # 4 ....................................................................................................................................... 86

Ejercicio # 6 ....................................................................................................................................... 87

Resolución de la prueba correspondiente al crédito 3 y 4 aplicando ecuaciones diferenciales a circuitos

eléctricos .................................................................................................................................................... 88

Ejercicio # 1 ....................................................................................................................................... 88

Ejercicio # 2 ....................................................................................................................................... 91

SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO HOMOGENEAS ................................................................................ 92

Ejercicio # 3 ....................................................................................................................................... 92

Ejercicio # 5 ....................................................................................................................................... 94

RECOMENDACIONES ................................................................................................................................ 95

CONCLUSIÓN .............................................................................................................................................. 95

ANEXOS ....................................................................................................................................................... 96

Ejercicio #29 ...................................................................................................................................... 96

Ejercicio #34 ...................................................................................................................................... 97



Martes 27 Octubre del 2015

DERIVADAS E INTEGRALES

Ejercicio #1

. Determine la segunda derivada de la siguiente función

Ejercicio #2

Determine la segunda derivada de la siguiente función.

𝒚 =𝟏

𝒙

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑

𝑑𝑥(𝑥−1)

𝑓′(𝑥) = −𝑥−2

Primera derivada

𝒇′′(𝒙) = −𝒙−𝟐

𝑓′′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥(−𝑥−2)

𝑓′′(𝑥) = −(−2)𝑥−2−1

𝑓′′(𝑥) = 2𝑥−3

𝒇′′(𝒙) =𝟐

𝒙𝟑

Segunda derivada

𝒇 (𝒙) = 𝒕. 𝒆𝒕

𝑓′(𝑥) = 𝑡. 𝑒𝑡

𝑓′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑡𝑡. 𝑒𝑡 +

𝑑

𝑑𝑡𝑒𝑡. 𝑡

𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡. 𝑡

Primera derivada

𝒇′′(𝒙) = 𝒆𝒕 + 𝒆𝒕. 𝒕

𝑓′′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑡𝑒𝑡 + [

𝑑

𝑑𝑡𝑒𝑡. 𝑡 +

𝑑

𝑑𝑡𝑡. 𝑒𝑡]

𝑓′′(𝑥) = 𝑒𝑡 + [𝑒𝑡. 𝑡 + 𝑒𝑡]

𝑓′′(𝑥) = 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡. 𝑡 + 𝑒𝑡

𝑓′′(𝑥) = 𝑒𝑡(1 + 𝑡 + 1)

𝒇′′(𝒙) = 𝒆𝒕(𝟐 + 𝒕)

Segunda derivada



Ejercicio #3

. Encontrar la segunda derivada de la siguiente función

𝒇(𝒕) = 𝒕. 𝒆𝒌𝒕

𝑓′(𝑡) =𝑑

𝑑𝑡(𝑡) ∗ 𝑒𝑘𝑡 +

𝑑

𝑑𝑡(𝑒𝑘𝑡) ∗ 𝑡

𝑓′(𝑡) = 𝑒𝑘𝑡 + 𝑡. 𝑒𝑘𝑡𝑑

𝑑𝑡(𝑘𝑡)

𝒇′(𝒕) = 𝒆𝒌𝒕 + 𝒌𝒕. 𝒆𝒌𝒕

Primera derivada

𝒇′′(𝒕) = 𝒆𝒌𝒕 + 𝒌𝒕. 𝒆𝒌𝒕

𝑓′′(𝑡) =𝑑

𝑑𝑡𝑒𝑘𝑡 +

𝑑

𝑑𝑡[𝑘𝑡. 𝑒𝑘𝑡]

𝑓′′(𝑡) = 𝑒𝑘𝑡𝑑

𝑑𝑡(𝑘𝑡) + [

𝑑

𝑑𝑡(𝑘𝑡). 𝑒𝑘𝑡 +

𝑑

𝑑𝑡(𝑒𝑘𝑡). 𝑘𝑡]

𝑓′′(𝑡) = 𝑒𝑘𝑡𝑑

𝑑𝑡(𝑘𝑡) + [𝑘. 𝑒𝑘𝑡 + 𝑒𝑘𝑡

𝑑

𝑑𝑡(𝑘𝑡). 𝑘𝑡]

𝑓′′(𝑡) = 𝑘𝑒𝑘𝑡 + [𝑘. 𝑒𝑘𝑡 + 𝑒𝑘𝑡𝑘. 𝑘𝑡]

𝑓′′(𝑡) = 𝑘𝑒𝑘𝑡 + 𝑘. 𝑒𝑘𝑡 + 𝑒𝑘𝑡𝑘2𝑡

𝑓′′(𝑡) = 𝑘𝑒𝑘𝑡( 1 + 1 + 𝑘𝑡)

𝒇′′(𝒕) = 𝒌𝒆𝒌𝒕( 𝟐 + 𝒌𝒕)

Segunda derivada



Miércoles 28 Octubre del 2015

Ejercicio #4

Encontrar la segunda derivada de la siguiente función aplicando la ley del cociente.

𝑦 =𝑥 − 1

𝑥 + 1 𝑓(𝑥) =

𝑥 − 1

𝑥 + 1

𝒇′(𝒙) =𝒙 − 𝟏

𝒙 + 𝟏

𝑓′(𝑥) =(𝑥 + 1) ∗

𝑑𝑑𝑥(𝑥 − 1) − (𝑥 − 1) ∗

𝑑𝑑𝑥(𝑥 + 1)

(𝑥 + 1)2

𝑓′(𝑥) =(𝑥 + 1) ∗ (1) − (𝑥 − 1) ∗ (1)

(𝑥 + 1)2

𝑓′(𝑥) =𝑥 + 1 − 𝑥 + 1

(𝑥 + 1)2

𝑓′(𝑥) =2

(𝑥 + 1)2

Primera derivada

𝒇′′(𝒙) =𝟐

(𝒙 + 𝟏)𝟐

𝑓′′(𝑥) =(𝑥 + 1)2 ∗

𝑑𝑑𝑥(2) − (2) ∗

𝑑𝑑𝑥(𝑥 + 1)2

(𝑥 + 1)4

𝑓′′(𝑥) =−(2) ∗ 2(𝑥 + 1)2−1

(𝑥 + 1)4

𝑓′′(𝑥) =−4(𝑥 + 1)1

(𝑥 + 1)4

𝑓′′(𝑥) =−4

(𝑥 + 1)3

Segunda derivada



Ejercicio #5

. Encontrar la derivada de la siguiente función aplicando la ley del cociente

𝒚 =√𝒙

(𝒙 − 𝟏)𝟐 𝒇(𝒙) =

√𝒙

(𝒙 − 𝟏)𝟐

Primera derivada

𝑓′(𝑥) =𝑥1/2

(𝑥 − 1)2

𝑓′(𝑥) =(𝑥 − 1)2 ∗

𝑑𝑑𝑥(𝑥1/2) − (𝑥1/2) ∗

𝑑𝑑𝑥(𝑥 − 1)2

(𝑥 − 1)4

𝑓′(𝑥) =

(𝑥 − 1)2 ∗ 1 2⁄ (𝑥12−1) − (𝑥1/2) ∗ 2. (𝑥 − 1)2−1

(𝑥 − 1)4

𝑓′(𝑥) =

12⁄ . (𝑥 − 1)2 ∗ (𝑥−

12) − 2(𝑥1/2) ∗ (𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)4

El dominio de la función es (1 ; + ) (0 ; 1)

Es el mismo dominio tanto para 𝒇′(𝒙) 𝒚 𝒇′′(𝒙)

Una cosa es una indeterminación matemática y otra

es un número imaginario



Ejercicio #6

. Derivar las siguientes funciones trascendentes

𝒚 = 𝐥𝐧(𝒙𝟐 + 𝟐) 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧(𝒙𝟐 + 𝟐)

𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐧(𝒙𝟐 + 𝟐)

𝑓′(𝑥) =1

(𝑥2 + 2)∗ 𝑑

𝑑𝑥 (𝑥2 + 2)

𝑓′(𝑥) =1

(𝑥2 + 2)∗ 2𝑥

𝒇′(𝒙) =𝟐𝒙

(𝒙𝟐 + 𝟐)

Primera derivada

𝒚 =𝐬𝐢𝐧(𝒙)

𝒙 𝒇 (𝒙) =

𝐬𝐢𝐧(𝒙)

𝒙

𝒇′(𝒙) =𝐬𝐢𝐧(𝒙)

𝒙

𝑓′(𝑥) =𝑥 ∗

𝑑𝑑𝑥 sin(𝑥) − sin(𝑥) ∗

𝑑𝑑𝑥(𝑥)

𝑥2

𝒇′(𝒙) =𝒙 ∗ 𝐜𝐨𝐬 (𝒙) − 𝐬𝐢𝐧(𝒙)

𝒙𝟐

Primera derivada



Jueves 29 Octubre del 2015

Ejercicio #7

. Encontrar la derivada de la siguiente función aplicando la ley del cociente

𝒚 =𝒙𝟐

√𝟏 + 𝒙𝟑

𝒚′ =√1 + 𝑥3

𝑑𝑑𝑦(𝑥2) − 𝑥2

𝑑𝑑𝑦(√1 + 𝑥3)

(√1 + 𝑥3)2

𝒚′ =√1 + 𝑥3 ∗ 2𝑥 − 𝑥2 ∗

12(1 + 𝑥3)−

12𝑑𝑑𝑦(1 + 𝑥3)

1 + 𝑥3

𝒚′ =√1 + 𝑥3 ∗ 2𝑥 − 𝑥2 ∗

12(1 + 𝑥3)−

12 ∗ 3𝑥2

1 + 𝑥3

𝒚′ = 2𝑥√1 + 𝑥2 −3

2

𝑥4

√1 + 𝑥3

𝒚′ =4𝑥(1 + 𝑥3) − 3𝑥4

2√1 + 𝑥3

𝒚′ =𝑥4 + 4𝑥

2√1 + 𝑥3

Primera derivada

𝑣 ∗𝑑𝑑𝑥𝑢 − 𝑢

𝑑𝑑𝑥𝑣

𝑣2

FORMULA



Ejercicio #8

Encontrar la derivada de las siguientes funciones trascendentales.

INTEGRACIÓN

APLICACIONES

Valores RMS

Centro de Maza

Volúmenes en Sólidos en Revolución

Área Bajo la Curva

Longitud de Arco

Ejercicio #1

𝒔 = 𝒆𝒕 ∗ 𝐜𝐨𝐬 𝒕

𝒇′(𝒕) = 𝑒𝑡𝑑

𝑑𝑡(cos 𝑡) + cos 𝑡

𝑑

𝑑𝑡(𝑒𝑡)

𝒇′(𝒕) = 𝑒𝑡 ∗ − sin 𝑡 + cos 𝑡 ∗ 𝑒𝑡

𝒇′(𝒕) = −𝑒𝑡 sin 𝑡 + cos 𝑡 ∗ 𝑒𝑡

𝒇′(𝒕) = 𝑒𝑡(cos 𝑡 − sin 𝑡)

Primera derivada

∫𝑥94. 𝑑𝑥

=𝑥94+1

94+1

=𝑥134

134

=13

4𝑥134 + 𝑐

Encontrar la siguiente integral

∫𝑥𝑛𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝑐

Integral inmediata



Ejercicio #2

Viernes 30 Octubre del 2015

Ejercicio #3

∫(𝑎 + 𝑏𝑡)2𝑑𝑡

∫𝑣2 ∗𝑑𝑣

𝑏

1

𝑏∫𝑣2𝑑𝑣

=1

𝑏∗𝑣2+1

2 + 1+ 𝑐 =

=1

𝑏∗𝑣3

3+ 𝑐 =

=(𝑎 + 𝑏𝑡)3

3𝑏+ 𝑐


𝑣 = 𝑎 + 𝑏𝑡

𝑑𝑣 = 0 + 𝑏. 𝑑𝑡

𝑑𝑣 = 𝑏. 𝑑𝑡

𝑑𝑣

𝑏= 𝑑𝑡

Cambio de variable


𝑛 + 1+ 𝑐

Integral inmediata

∫𝑥(2 + 𝑥2)2𝑑𝑥

∫𝑥𝑣2 ∗𝑑𝑣

2𝑥

1

2∫𝑣2𝑑𝑣

=1

2∗𝑣2+1

2 + 1+ 𝑐 =

=1

2∗𝑣3

3+ 𝑐 =

=1

2∗(2 + 𝑥2)3

3+ 𝑐

=(2 + 𝑥2)3

6+ 𝑐


𝑣 = 2 + 𝑥2

𝑑𝑣 = 0 + 2𝑥. 𝑑𝑡

𝑑𝑣 = 2𝑥. 𝑑𝑡

𝑑𝑣

2𝑥= 𝑑𝑡

Cambio de variable


𝑛 + 1+ 𝑐

Integral inmediata



Ejercicio #4

Ejercicio #5

∫𝑡2

(𝑎 + 𝑏𝑥3)𝑑𝑡

∫𝑡2

𝑣2∗𝑑𝑣

3𝑏𝑡2

1

3𝑏∫𝑣−2𝑑𝑣

=1

3𝑏∗𝑣−2+1

−2 + 1+ 𝑐 =

=1

3𝑏∗ 𝑣−1 + 𝑐 =

=1

3𝑏𝑣+ 𝑐

=1

3𝑏(𝑎 + 𝑏𝑡3)+ 𝑐


𝑣 = 𝑎 + 𝑏𝑡3

𝑑𝑣 = 0 + 3𝑏𝑡2. 𝑑𝑡

𝑑𝑣 = 3𝑏𝑡2. 𝑑𝑡

𝑑𝑣

3𝑏𝑡2= 𝑑𝑡

Cambio de variable


𝑛 + 1+ 𝑐

Integral inmediata

∫𝒕𝒈 [𝒙

𝟐] . 𝐬𝐞𝐜𝟐 [

𝒙

𝟐] 𝒅𝒙

∫(𝑡𝑔 𝑥

2 . sen2 (

𝑥

2) .

𝑑𝑢

sen2 (𝑥2) .12

)

= 2∫𝑢 𝑑𝑢

= 2 ∫𝑢1+1

1 + 1

=2

2 𝑢2

= 𝑢2

tan2 [𝑥

2] + 𝑐


𝑢 = 𝑡𝑔 [𝑥

2]

𝑑𝑢 = sec2 [𝑥

2] .1

2 𝑑𝑥

𝑑𝑥 =𝑑𝑢

sec2 [𝑥2] .12

Cambio de variable



Ejercicio #6

Ejercicio #7

∫𝒙 . 𝐬𝐞𝐧 [𝒙

𝟐 ] 𝒅𝒙

= 𝑢 . 𝑣 − ∫𝑣 . 𝑑𝑢

= −2𝑥 𝑐𝑜𝑠 [𝑥

2] + 2∫𝑐𝑜𝑠 [

𝑥

2] 𝑑𝑥

2 . 2

= −2𝑥𝑐𝑜𝑠 [𝑥

2] + 2 . 𝑠𝑒𝑛 [

𝑥

2] . 2

= −2𝑥𝑐𝑜𝑠 [𝑥

2] + 4 𝑠𝑒𝑛 [

𝑥

2] + 𝑐


𝑢 = 𝑥

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 [𝑥

2] 𝑑𝑥

𝑣 = ∫2 𝑠𝑒𝑛 [𝑥

2] 𝑑

2

𝑤 = [𝑥

2]

𝑑𝑤 =1

2 𝑑𝑥

𝑣 = 2∫𝑠𝑒𝑛(𝑤)𝑑𝑤

𝑣 = −2𝑐𝑜𝑠 [𝑥

2] + 𝑐

Integración por Parte

∫𝟐𝒙 + 𝟑

𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 𝒅𝒙

=𝐴

𝑥+

𝐵

(𝑥 + 2)+

𝐶

(𝑥 − 1)

2𝑥 + 3 = 𝐴(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥)(𝑥 − 1) + 𝐶(𝑥)(𝑥 + 2)

2𝑥 + 3 = 𝐴(𝑥2 + 𝑥 − 2) + 𝐵(𝑥2 − 𝑥) + 𝐶(𝑥2 + 2𝑥)

2𝑥 + 3 = 𝑥2(𝐴 + 𝐵 + 𝐶) + 𝑥(𝐴 − 𝐵 + 2𝐶) − 2𝐴


𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥

= 𝑥(𝑥2 + 𝑥 − 1)

= 𝑥(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)

𝐴 = −3

2

−3

2+ 𝐵4𝐶 = 0

𝐵 =3

2−5

3

− 3

2−3

2+ 𝐶 + 2𝐶 = 2

3𝐶 = 5

𝐶 =5

3



∫2𝑥 + 3

𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫

−3 2⁄

𝑥 𝑑𝑥 − ∫

16⁄

𝑥 + 2 𝑑𝑥 + ∫

53⁄

𝑥 − 1 𝑑𝑥

∫2𝑥 + 3

𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑥 = −

3

2ln(𝑥) −

1

6ln(𝑥 + 2) +

5

3ln(𝑥 − 1) + 𝐶

Jueves 5 de Noviembre del 2015

Corrección del Examen del Primer Crédito

Ejercicio #1

𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 0

𝐴 − 𝐵 + 2𝐶 = 2

−2𝐴 = 3

∫𝟐𝒙 + 𝟏

𝒙𝟐 − 𝟏𝒅𝒙

∫2𝑥

𝑥2 − 1𝑑𝑥 + ∫

𝑑𝑥

𝑥2 − 1

∫2𝑥

𝑥2 − 1∗𝑑𝑣

2𝑥+ ∫

𝑑𝑥

𝑥2 − 1

∫𝑑𝑣

𝑣+ {1

2𝑙𝑛 [

𝑥 − 1

𝑥 + 1]}

𝑙𝑛(𝑥2 − 1) +1

2𝑙𝑛 [

𝑥 − 1

𝑥 + 1] + 𝑐


𝑣 = 𝑥2 − 1

𝑑𝑣 = 2𝑥 − 0 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 2𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑥 =𝑑𝑣

2𝑥

Cambio de variable



∫𝟐𝒙 + 𝟏

𝒙𝟐 − 𝟏𝒅𝒙

𝐴

𝑥 + 1+

𝐵

𝑥 − 1

2𝑥 + 1 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 − 𝐴 + 𝐵

2𝑥 + 1 = 𝑋(𝐴 + 𝐵) + 𝐵 − 𝐴

{𝐴 + 𝐵 = 2𝐵 − 𝐴 = 1

𝐵 = 1 + 𝐴

𝐴 + (1 + 𝐴) = 2

𝐴 + 1 + 𝐴 = 2

2𝐴 = 2 − 1

𝐴 =1

2

𝐵 = 1 +1

2

𝐵 =3

2

𝐴

𝑥 + 1+

𝐵

𝑥 − 1= ∫

12⁄

(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 + ∫

32⁄

(𝑥 − 1) 𝑑𝑥

= ∫1

2 .𝑑𝑥

𝑥 + 1+ ∫

3

2 𝑑𝑥

𝑥 − 1

1

2𝑙𝑛(𝑥 + 1) +

3

2 𝑙𝑛 (𝑥 − 1)

Ejercicio #2


𝒙𝟐 − 𝟏 = (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏)



𝒅

𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏)

√𝒂 + 𝒙𝟐

𝑑

𝑑𝑥 (𝑥 + 1)

(𝑎 + 𝑥2)1/2

(𝑎 + 𝑥2)12 𝑑𝑑𝑥 (𝑥 + 1) − (𝑥 + 1)

𝑑𝑑𝑥(𝑎 + 𝑥2)1/2

(𝑎 + 𝑥2)

(𝑎 + 𝑥2)12 − (𝑥 + 1) . 1 2⁄ (𝑎 + 𝑥2)

12 (𝑥)

(𝑎 + 𝑥2)

(𝑎 + 𝑥2)12 −

𝑥(𝑥 + 1)

(𝑎 + 𝑥2)12

(𝑎 + 𝑥2)=

𝑎 + 𝑥2 − 𝑥2 − 𝑥

(𝑎 + 𝑥2)12

(𝑎 + 𝑥2)1

=

𝑎 − 𝑥

(𝑎 + 𝑥2)32

Ejercicio #3




CAPÍTULO I

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

. Una ecuación diferencial es una ecuación que Ecuaciones diferenciales; Orden y Grado

contiene derivadas o diferenciales.

Si una ecuación contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a

una o más variables independientes se dice que es una ecuación diferencial.

Es la aplicación a través de ecuaciones de un fenómeno físico. Modelo Matemático. –

𝟏𝒆𝒓 𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐 𝟐𝒅𝒐 𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐 𝟑𝒆𝒓 𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐 𝟒𝒕𝒐 𝑮𝒓𝒂𝒅𝒐

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3

𝑑4𝑦

𝑑𝑥4

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑦´

𝑓´(𝑥)

𝑓´(𝑡)

Variable dependiente

Variable independiente



El orden indica en una ecuación diferencial la mayor derivada

∫𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 1 𝐸𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛

Una ecuación diferencial es lineal si o solo si cumple lo siguiente:

a) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado.

b) Cada coeficiente depende de solo de la variable independiente.

[𝑑𝑦

𝑑𝑥]2

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 2

[𝑑𝑦

𝑑𝑥]3


[𝑑𝑦

𝑑𝑥]4


𝟐𝒚 + 𝒚 = 𝟎; 𝒚 = 𝒆−𝒙/𝟐

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦´ = 𝑒−𝑥/2.

𝑑

𝑑𝑥 . {−𝑥

2}

𝑦´ = 𝑒−𝑥/2 . {− 1

2}

2 [− 1

2] 𝑒−𝑥/2 + 𝑒−𝑥/2 = 0

−𝑒−𝑥/2 + 𝑒−𝑥/2 = 0

0 = 0

EJERCICIOS 1.1

Ejercicio #11

Compruebe que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial

dada.



Martes 10 de Noviembre del 2015

𝒚´´ − 𝟓𝒚´ + 𝟔𝒚 = 𝟎 ; 𝒚 = 𝒆𝒎𝒙

𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔

𝑚2 . 𝑒𝑚𝑥 − 5𝑚𝑒𝑚𝑥 + 6𝑒𝑚𝑥 = 0

𝑒𝑚𝑥{𝑚2 − 5𝑚 + 6} = 0

𝑚2 − 5𝑚 + 6 = 0

(𝑚 − 3)(𝑚 − 2) = 0

𝑚1 = 3

𝑚2 = 2

𝑦 = 𝑒𝑚𝑥 = {𝑒3𝑥

𝑒2𝑥 𝑆𝑜𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒𝑟 29𝑅𝑜𝑙𝑙

Ejercicio #29

Determinar los valores de m tales que la función y=emx

sea una solución de

la deferencial dada.

𝒚 = 𝒆𝒎𝒙

𝑦´ = 𝑒𝑚𝑥

𝑦´ = 𝑒𝑚𝑥 .𝑑

𝑑𝑥 .𝑚𝑥

𝑦´ = 𝑒𝑚𝑥 . 𝑚

𝑦´ = 𝑚𝑒𝑚𝑥

Primera derivada

𝒚´´ = 𝒎 .𝒅

𝒅𝒙 𝒆𝒎𝒙

𝑦´´ = 𝑚 . 𝑒𝑚𝑥 .𝑑

𝑑𝑥 (𝑚𝑥)

𝑦´´ = 𝑚 . 𝑒𝑚𝑥 .𝑚

𝑦´´ = 𝑚2 . 𝑒𝑚𝑥

Segunda derivada

𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏

𝑦´ = 𝑒3𝑥

𝑦´ = 3 𝑒3𝑥

𝑦´´ = 9 𝑒3𝑥

𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏

9 𝑒3𝑥 − 5(3 𝑒3𝑥) + 6 𝑒3𝑥 = 0

9 𝑒3𝑥 − 15𝑒3𝑥 + 6𝑒3𝑥 = 0

0 = 0



𝒙𝟐𝒚´´ − 𝟕𝒙𝒚´ + 𝟏𝟓𝒚 = 𝟎 ; 𝒚 = 𝒙𝒎


𝑥2𝑚(𝑚 − 1). 𝑥𝑚−2 − 7𝑥𝑚𝑥𝑚−1 + 15𝑥𝑚 = 0

𝑥2+𝑚−2(𝑚)(𝑚 − 1) − 7𝑚𝑥1+𝑚−1 + 15𝑥𝑚

𝑚(𝑚 − 1)𝑥𝑚 − 7𝑚𝑥𝑚 + 15𝑥𝑚 = 0

𝑥𝑚{𝑚(𝑚 − 1) − 7𝑚 + 15} = 0

𝑥𝑚{𝑚2 − 1𝑚 − 7𝑚 + 15} = 0

{𝑚2 − 8𝑚 + 15} = 0

𝑚2 − 8𝑚 + 15

(𝑚 − 5)(𝑚 − 3) = 0

Ejercicio #32

Determinar los valores de m tales que la función y=xm

sea una solución de la

deferencial dada.

𝑚 = 5

𝑚 = 3

{𝑦 = 𝑥5

𝑦 = 𝑥3

𝒚 = 𝒙𝒎

𝑦´ = 𝑚𝑥𝑚−1

Primera derivada

𝒚´´ = 𝒎 .𝒅

𝒅𝒙. 𝑥𝑚−1

𝑦´´ = 𝑚(𝑚 − 1). 𝑥𝑚−1−1

𝑦´´ = 𝑚(𝑚 − 1). 𝑥𝑚−2

Segunda derivada

𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏

𝑥220𝑥3 − 7𝑥5𝑥4 + 45𝑥5 = 0

20𝑥5 − 35𝑥5 + 14𝑥5 = 0

0 = 0



𝟐𝒚´´ − 𝟕𝒚´ − 𝟒𝒚 = 𝟎 ; 𝒚 = 𝒆𝒎𝒙


𝟐𝑚2𝑒𝑚𝑥 + 7𝑚𝑒𝑚𝑥 − 4𝑒𝑚𝑥 = 0

𝑒𝑚𝑥(2𝑚2 + 7 − 4) = 0

2𝑚2 + 7 − 4 = 0

𝑚1,2 =−7 ± √49 − 4(2)(−4)

4

𝑚1 =−7 + 9

4= 1

2⁄

𝑚3 =−7 − 9

4= −4

𝒚 = 𝑒𝑚𝑥 {𝒆𝟏/𝟐𝒙𝒆−𝟒𝒙

𝑺𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆𝒓 𝟑𝟎

Ejercicio #30

Determinar los valores de m tales que la función y=emx

sea una solución de la

deferencial dada.

𝒚 = 𝒆𝒎𝒙

𝑦´ = 𝑒𝑚𝑥

𝑦´ = 𝑒𝑚𝑥 .𝑑

𝑑𝑥 .𝑚𝑥

𝑦´ = 𝑒𝑚𝑥 .𝑚

𝑦´ = 𝑚𝑒𝑚𝑥

Primera derivada

𝒚´´ = 𝒎 .𝒅

𝒅𝒙 𝒆𝒎𝒙

𝑦´´ = 𝑚 . 𝑒𝑚𝑥 .𝑑

𝑑𝑥 (𝑚𝑥)

𝑦´´ = 𝑚 . 𝑒𝑚𝑥 .𝑚

𝑦´´ = 𝑚2𝑒𝑚𝑥

Segunda derivada



Miércoles 11 de Noviembre del 2015

∫𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶

𝒚(𝟎) = −𝟏

𝟑 ; 𝒚 =

𝟏

𝟏 + 𝑪𝟏 𝒆−𝒙


−1

3=

1

1 + 𝐶1𝑒−0

−1

3=

1

1 + 𝐶1

−1(1 + 𝐶1) = 3

−1 − 𝐶 = 3

−𝐶1 = 3 + 1

−𝐶1 = 4

𝐶1 = −4

PROBLEMAS CON VALORES INICIALES

Ecuación diferencial puede poseer una solución general tenga factor de

una constante llamada C

EJERCICIO 1.2

Ejercicio #1

Es una familia uniparametrica de soluciones de la Ecuaciones Diferenciales de

primer orden y’=y-y2. Encuentre una solución del P.V.I. de primer orden que

consiste en esta ecuación diferencial y la condición inicial dada.

𝒚 =𝟏

𝟏 − 𝟒𝒆−𝒙

𝑦´ =(1 − 4𝑒−𝑥)

𝑑𝑑𝑥(1) − (1)

𝑑𝑑𝑥(1 − 4𝑒−𝑥)

(1 − 4𝑒−𝑥)2

𝑦´ =(1 − 4𝑒−𝑥)(0) − 1 . −4𝑒−𝑥

𝑑𝑑𝑥(−𝑥)

(1 − 4𝑒−𝑥)2

𝑦´ =−1 . −4𝑒−𝑥 . −1

(1 − 4𝑒−𝑥)2

𝑦´ =−4𝑒−𝑥

(1 − 4𝑒−𝑥)2

Derivar



𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒏𝒅𝒐

−𝟒

(𝟏 − 𝟒𝒆−𝒙)𝟐𝒆𝒙

−4

(1 − 4𝑒−𝑥)2𝑒𝑥=

1

1 − 4𝑒−𝑥−

1

(1 − 4𝑒−𝑥)2

−4

(1 − 4𝑒−𝑥)2𝑒𝑥=(1 − 4𝑒−𝑥)

(1 − 4𝑒−𝑥)2

−4

𝑒𝑥= 1 − 4𝑒−𝑥 − 1

−4

𝑒𝑥= −

4

𝑒𝑥

𝒚 [𝟏

𝟐] = −𝟒 ; 𝒚 =

𝟏

𝒙𝟐 + 𝒄

−𝟒 =𝟏

(𝟏𝟐)

𝟐 + 𝒄=

1

14 + 𝑐

=1

1 + 4𝑐4

=

=>4

1 + 4𝑐=> −4 =

4

1 + 4𝑐=>

1 + 4𝑐 = −1

4𝑐 = −2

𝑐 = −1

2

Ejercicio #6

Es una familia uniparametrica de soluciones de la Ecuaciones Diferenciales de

primer orden y’+2xy2=0. Determinar una solución del P.V.I. de primer orden que

consiste en esta ecuación diferencial y la condición inicial dada.



Derivar

𝒚 =𝟏

𝒙𝟐 −𝟏𝟐

𝑦´ =

(𝑥2 − 0.5) 𝑑 𝑑𝑥⁄ (1) − (1)𝑑 𝑑𝑥⁄ (𝑥2 − 0.5)

(𝑥2 −12)2

𝑦´ =(𝑥2 − 0.5)(0) − 1 . (2𝑥)

(𝑥2 −12)2

𝑦´ =−2𝑥

(𝑥2 −12)2

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑛𝑑𝑜

𝒚´ + 𝟐𝒙𝒚𝟐 = 𝟎

−2𝑥

(𝑥2 −12)2+ 2𝑥 .

1

(𝑥2 −12)2= 0

2𝑥

(𝑥2 −1

2)2=

2𝑥

(𝑥2 −1

2)2



𝒙 (𝝅

𝟔) =

𝟏

𝟐 ; 𝒙′ (

𝝅

𝟔) = 𝟎

𝒙 = 𝒄𝟏𝒄𝒐𝒔(𝒕) + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏(𝒕)

1

2= 𝑐1𝑐𝑜𝑠 (

𝜋

6) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

6)

1

2= 𝑐1 .

√3

2+ 𝑐2 .

1

2

1 = √3 . 𝑐1 + 𝑐2

𝑐2 = 1 − √3 𝑐1

𝑥´ = −𝑐1 . 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 𝑐2𝑐𝑜𝑠(𝑡)

0 = −𝑐1𝑠𝑒𝑛 (𝜋

6) + 𝑐2𝑐𝑜𝑠(

𝜋

6)

0 = −𝑐1 .1

2+ 𝑐2 .

√3

2

0 = −𝑐1 + 𝑐2 .√3

𝑐1 = √3 𝑐2

Ejercicio #9

x =C1 Cos.t +C2 Es una familia uniparametrica de soluciones de dos parámetros de

la Ecuaciones Diferenciales de segundo orden x’’+x=0. Determinar una solución

del P.V.I. de segundo orden que consiste en esta ecuación diferencial y la

condición inicial dada.

𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠

𝑐2 = 1 − √3 . √3 𝑐2

𝑐2 = 1 − 3 𝑐2

𝑐2 =1

4

𝑐1 = √3 𝑐2

𝑐1 = √3 .1

4

𝑐1 =√3

4

𝑅𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

𝑥 =√3

4cos(𝑡) +

1

4 𝑠𝑒𝑛(𝑡)




𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑦′

𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝐬𝐢𝐧𝟓𝒙

𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑥, 𝑦 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑦

𝑑𝑦 = (sin(5𝑥))𝑑𝑥

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑎𝑠 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠

∫𝑑𝑦 = ∫(sin(5𝑥))𝑑𝑥

𝑦 = ∫(sin(5𝑥)) ∗𝑑𝑢

5

𝑦 =1

5cos(5𝑥) + 𝐶

CAPÍTULO 2

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE

PRIMER ORDEN

EJERCICIOS 2.2

Ejercicio #1

Resuelva la ecuación diferencial dada por separación de variables.

Aplicar

integral

𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒

𝑢 = 5𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 5 𝑑𝑥

𝑑𝑥 =𝑑𝑢

5



𝒅𝒙 + 𝒆𝟑𝒙𝒅𝒚 = 𝟎


𝑑𝑥 = −𝑒3𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑒3𝑥= −𝑑𝑦

𝑑𝑦 = −1

𝑒3𝑥(𝑑𝑥)


∫𝑑𝑦 = −∫1

𝑒3𝑥𝑑𝑥

𝑦 = −∫𝑒−3𝑥 𝑑𝑥

𝑦 = −∫𝑒−3𝑥 ∗𝑑𝑢

−3

𝑦 = −1

3∗ 𝑒−3𝑥 + 𝐶

𝑦 = −1

3𝑒−3𝑥+ 𝐶

Ejercicio #3



𝑢 = −3𝑥

𝑑𝑢 = −3 𝑑𝑥

𝑑𝑥 =𝑑𝑢

−3



Ejercicio #8


𝒆𝒙𝒚𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝒆−𝒙 + 𝒆−𝟐𝒙−𝒚


𝑒𝑥𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒−𝑦 + 𝑒−2𝑥 . 𝑒−𝑦

𝑒𝑥𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑒−𝑦|1 + 𝑒−2𝑥|

𝑒𝑥𝑦. 𝑑𝑦 = 𝑒−𝑦|1 + 𝑒−2𝑥|𝑑𝑥

𝑦

𝑒−𝑦𝑑𝑦 =

1 + 𝑒−2𝑥

𝑒𝑥 . 𝑑𝑥

𝑦

𝑒−𝑦𝑑𝑦 = |

1

𝑒𝑥+𝑒−2𝑥

𝑒𝑥| 𝑑𝑥

𝑦𝑒𝑦𝑑𝑦 = |1


𝑒𝑥| 𝑑𝑥


∫𝑦𝑒𝑦𝑑𝑦 = ∫ |1


𝑒𝑥| 𝑑𝑥

∫𝑦𝑒𝑦𝑑𝑦 = ∫|𝑒−𝑥 + 𝑒−3𝑥|𝑑𝑥

∫𝑦𝑒𝑦𝑑𝑦 = ∫𝑒−𝑥 +∫𝑒−3𝑥 𝑑𝑥

𝑢 = 𝑦 𝑑𝑦 𝑑

𝑑𝑢 = 𝑑𝑦

𝑑𝑣 = 𝑒𝑦 𝑑𝑦

𝑣 = ∫𝑒𝑦𝑑𝑦

𝑣 = 𝑒𝑦

𝑦𝑒𝑦𝑑𝑦 = (𝑒−𝑦 + 𝑒−3𝑥)𝑑𝑥

𝑢 . 𝑣 − ∫𝑣 𝑑𝑢

𝑦 . 𝑒𝑦 −∫𝑒𝑦 𝑑𝑦

𝑦 𝑒𝑦 − 𝑒𝑦

𝑒𝑦(𝑦 − 1)

Integración por parte



𝑒𝑦(𝑦 − 1) = ∫𝑒−𝑥 ∗𝑑𝑣

−1+ ∫𝑒−3𝑥 ∗

𝑑𝑣

−3

𝑒𝑦(𝑦 − 1) =−1

−1∫𝑒−𝑥 +

1

−3∫𝑒−3𝑥

𝑒𝑦(𝑦 − 1) = −𝑒−𝑥 +1

−3𝑒−3𝑥 + 𝐶

−𝑒𝑦(𝑦 − 1) = −𝑒−𝑥 −1

3𝑒−3𝑥 + 𝐶

𝑒𝑦(1 − 𝑦) = 𝑒−𝑥 +1

3𝑒−3𝑥 + 𝐶

𝑒𝑦(1 − 𝑦) =1

𝑒𝑥+

1

3𝑒3𝑥+ 𝐶

𝑣 = −𝑥

𝑑𝑣 = (−𝑥)𝑑𝑥

𝑑𝑣 = (−1)𝑑𝑥

𝑑𝑥 =𝑑𝑣

−1

Cambio de Variable

𝑣 = −3𝑥

𝑑𝑣 = (−3𝑥)𝑑𝑥

𝑑𝑣 = (−3)𝑑𝑥

𝑑𝑥 =𝑑𝑣

−3

Cambio de Variable



Ejercicio #9


𝒚 𝐥𝐧𝒙𝒅𝒙

𝒅𝒚= (

𝒚 + 𝟏

𝒙)𝟐


𝑦 ln 𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑦=(𝑦 + 1)2

𝑥2

𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 =(𝑦 + 1)2

𝑦𝑑𝑦


∫𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑦 + 1)2

𝑦𝑑𝑦

ln 𝑥 .𝑥3

3−𝑥3

9=𝑦2

2+ 2𝑦 + ln 𝑦 + 𝐶 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

∫𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥

𝑢 . 𝑣 − ∫𝑣 𝑑𝑢

ln 𝑥 .𝑥3

3− ∫

𝑥3

3∗1

𝑥

ln 𝑥 .𝑥3

3−1

3∫𝑥2

ln 𝑥 .𝑥3

3−1

3∗𝑥3

3

ln 𝑥 .𝑥3

3−𝑥3

9


∫(𝑦 + 1)2

𝑦𝑑𝑦

(𝑦)2

𝑦+2(𝑦)(1)

𝑦+(1)2

𝑦

𝑦2

𝑦+2𝑦

𝑦+1

𝑦

𝑦 + 2 +1

𝑦

∫𝑦𝑑𝑦 +∫2𝑑𝑦 + ∫1

𝑦𝑑𝑦

𝑦2

2+ 2𝑦 + ln𝑦 + 𝐶




Ejercicio #10


𝒅𝒚

𝒅𝒙= (

𝟐𝒚 + 𝟑

𝟒𝒙 + 𝟓)𝟐


𝑑𝑦

𝑑𝑥=(2𝑦 + 3)2

(4𝑥 + 5)2

(4𝑥 + 5)2𝑑𝑦 = (2𝑦 + 3)2𝑑𝑥

𝑑𝑦

(2𝑦 + 3)2=

𝑑𝑥

(4𝑥 + 5)2


∫𝑑𝑦

(2𝑦 + 3)2= ∫

𝑑𝑥

(4𝑥 + 5)2

∫𝑑𝑦

𝑣2∗𝑑𝑣

2= ∫

𝑑𝑥

𝑣2∗𝑑𝑣

4

∫𝑣−2 ∗𝑑𝑣

2= ∫𝑣−2 ∗

𝑑𝑣

4

1

2∗𝑣−1

−1=1

4∗𝑣−1

−1

−1

2𝑣= −

1

4𝑣

−1

2(2𝑥 + 3)=

1

4(4𝑥 + 5)

1

4𝑥 + 6=

1

16𝑥 + 20+ 𝐶

𝑣 = 4𝑥 + 5

𝑑𝑣 = (4𝑥 + 5)𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 4𝑑𝑥

𝑑𝑥 =𝑑𝑣

4

Cambio de Variable

𝑣 = 2𝑦 + 3

𝑑𝑣 = (2𝑦 + 3)𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥

𝑑𝑥 =𝑑𝑣

2

Cambio de Variable



Ejercicio #23


𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝟒(𝒙𝟐 + 𝟏) ; 𝑷. 𝑽. 𝑰 𝒙 (

𝝅

𝟒) = 𝟏

𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑥, 𝑦 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑡

1

𝑥2 + 1𝑑𝑥 = 4𝑑𝑡


∫1

𝑥2 + 1𝑑𝑥 = ∫4𝑑𝑡

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) = ∫4𝑑𝑡

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) = 4𝑡 + 𝐶 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙

𝑷. 𝑽. 𝑰 𝒙 (𝝅

𝟒) = 𝟏

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(1) = 4𝝅

𝟒+ 𝐶

𝜋

4= 𝝅 + 𝐶

𝜋

4− 𝝅 = 𝐶

𝐶 =3

4𝜋

Viernes 13 de Noviembre del 2015

∫1

𝑥2 + 1𝑑𝑥

∫𝑑𝑣

𝑣2 + 𝑎2=1

𝑎𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑣

𝑎+ 𝐶

1

1𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑥

1

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥

Usamos tabla de integrales immediate

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) = 4𝑡 + 𝐶

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) = 4𝑡 +3

4𝜋

𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 (4𝑡 +3

4𝜋)

𝑓(𝑡) = 𝑡𝑎𝑛 (4𝑡 +3

4𝜋)

Solución Particular



Ejercicio #25


𝒙𝟐𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝒚 − 𝒙𝒚 ; 𝑷. 𝑽. 𝑰 𝒚(−𝟏) = −𝟏


𝑥2𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦(1 − 𝑥)

𝑑𝑦

𝑦=(1 − 𝑥)

𝑥2𝑑𝑥


∫𝑑𝑦

𝑦= ∫

(1 − 𝑥)

𝑥2𝑑𝑥

∫𝑑𝑦

𝑦= ∫

1

𝑥2𝑑𝑥 − ∫

𝑥

𝑥2𝑑𝑥

∫𝑑𝑦

𝑦= ∫

1

𝑥2𝑑𝑥 − ∫

1

𝑥𝑑𝑥

ln(𝑦) = ∫𝑥−2𝑑𝑥 − ln(𝑥)

ln(𝑦) =𝑥−2+1

−2 + 1− ln(𝑥)

ln(𝑦) = −1

𝑥− ln(𝑥) +𝐶

𝑒ln(𝑦) = 𝑒(−1𝑥−ln(𝑥)+𝐶)

𝑦 = 𝑒−1𝑥. 𝑒−ln(𝑥). 𝑒𝐶

𝑦 =𝑒−

1𝑥

𝑥.1

𝑥. 𝑒𝐶

𝑦 =𝑒−

1𝑥

𝑥.1

𝑥. 𝑒𝐶

𝑦 =𝑒−

1𝑥

𝑥. 𝑒𝐶

𝑦 =𝑒−

1𝑥

𝑥. 𝐶𝑒

𝑦 = 𝐶 ∗𝑒−

1𝑥

𝑥 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟

𝑷. 𝑽. 𝑰 𝒚(−𝟏) = −𝟏

𝑦 = 𝐶 ∗𝑒−

1𝑥

𝑥

−1 = 𝐶 ∗𝑒−

1−1

−1

−1 = 𝐶. 𝑒

𝐶 = 𝑒−1

𝑦 = 𝐶 ∗𝑒−

1𝑥

𝑥

𝑦 = 𝑒−1 ∗𝑒−

1𝑥

𝑥

𝑦 =𝑒−(

1𝑥+1)

𝑥



Ejercicio #46


(√𝒙 + 𝒙)𝒅𝒚

𝒅𝒙= √𝒚 + 𝒚

𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑥, 𝑦 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑡

∫𝑑𝑦

√𝑦 + 𝑦= ∫

𝑑𝑥

√𝑥 + 𝑥


∫1

𝑥2 + 1𝑑𝑥 = ∫4𝑑𝑡

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) = ∫4𝑑𝑡

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) = 4𝑡 + 𝐶 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙

𝑷. 𝑽. 𝑰 𝒙 (𝝅

𝟒) = 𝟏

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(1) = 4𝝅

𝟒+ 𝐶

𝜋

4= 𝝅 + 𝐶

𝜋

4− 𝝅 = 𝐶

𝐶 =3

4𝜋



Miércoles 18 de Noviembre del 2015

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN 1

Solo dependen de la variable x

𝑎1(𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+𝑎0(𝑥)

𝑎1(𝑥) 𝑦 =

𝑔(𝑥)

𝑎1(𝑥)

𝑝(𝑥) 𝑓(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍

𝐹𝐼 = 𝑒∫𝑝(𝑥)𝑑𝑥



EJERCICIO 2.3

Ejercicio #3

Determinar la solución general de la ecuación diferencial dada. Indique el intervalo

I mas largo en el que esta definida la solución general. Determine si hay algunos

términos transitorios en la solución general..

Determinar el Factor Integrante F.I.

𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒚 = 𝒆𝟑𝒙

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 1𝑦 = 𝒆𝟑𝒙 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

𝑃(𝑥) = 1

𝑭. 𝑰 = 𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥

𝑭. 𝑰 = 𝑒∫ 1𝑑𝑥

𝑭. 𝑰 = 𝑒∫ 1𝑑𝑥 𝑒𝑥

𝑭. 𝑰 = 𝑒𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 1𝑦 = 𝒆𝟑𝒙 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

𝑒𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 1(𝑒𝑥)𝑦 = (𝑒𝑥)𝒆𝟑𝒙

𝑑𝑦

𝑑𝑥(𝑒𝑥𝑦) = 𝒆𝟒𝒙

𝑒𝑥𝑦 = ∫𝒆𝟒𝒙 𝑑𝑥

𝑒𝑥𝑦 = ∫𝒆𝟒𝒙 ∗𝑑𝑣

4

𝑒𝑥𝑦 =1

4𝒆𝟒𝒙 + 𝑪

P(X) f(X)

𝑣 = 4𝑥

𝑑𝑣 = (4𝑥)𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 4𝑑𝑥

𝑑𝑥 =𝑑𝑣

4

Cambio de Variable



Ejercicio #3


I mas largo en el que esta definida la solución general. Determine si hay algunos



𝒚′ + 𝟑𝒙𝟐𝒚 = 𝒙𝟐

𝑦′ + 3𝑥2𝑦 = 𝒙𝟐 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

𝑃(𝑥) = 3𝑥2


𝑭. 𝑰 = 𝑒∫3𝑥2𝑑𝑥 𝑒

∫3𝑥2+1

2+1𝑑𝑥 𝑒

∫3𝑥3

3 𝑑𝑥

𝑭. 𝑰 = 𝑒𝑥3

𝑦′ + 3𝑥2𝑦 = 𝒙𝟐 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

(𝑒𝑥3)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 3𝑥2(𝑒𝑥

3)𝑦 = (𝑒𝑥

3)𝒙𝟐

𝑑𝑦

𝑑𝑥(𝑒𝑥

3𝑦) = (𝑒𝑥

3)𝒙𝟐

(𝑒𝑥3𝑦) = ∫(𝑒𝑥

3)𝒙𝟐 𝑑𝑥

(𝑒𝑥3𝑦) = ∫ 𝑒𝑥

3𝒙𝟐 ∗

𝑑𝑣

3𝑥2

𝑒𝑥3𝑦 =

1

3𝒆𝒙

𝟑+ 𝑪

P(X) f(X)

𝑣 = 𝑥3

𝑑𝑣 = (𝑥3)𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 3𝑥2𝑑𝑥

𝑑𝑥 =𝑑𝑣

3𝑥2

Cambio de Variable



Ejercicio #9


I más largo en el que esta definida la solución general. Determine si hay algunos



𝒙 𝒅𝒚

𝒅𝒙− 𝒚 = 𝒙𝟐 . 𝒔𝒆𝒏(𝒙)

𝑑𝑦

𝑑𝑥−1

𝑥 𝑦 = 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛(𝑥) (1)

𝑑𝑦

𝑑𝑥−1

𝑥 𝑦 = 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

𝑃(𝑥) = −1

𝑥


𝑭. 𝑰 = 𝑒∫−1𝑥𝑑𝑥 𝑒−ln𝑥

1

𝑒ln𝑥

1

𝑥

𝑭. 𝑰 =1

𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥−1

𝑥 𝑦 = 𝑥 . 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

(1

𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥− (

1

𝑥) ∗ (

1

𝑥)𝑦 = (

1

𝑥) 𝑥 sin(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥(1

𝑥𝑦) = sin(𝑥)

(1

𝑥𝑦) = ∫sin(𝑥)𝑑𝑥

(1

𝑥𝑦) = −𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝐶 𝒚 = −𝒙𝒄𝒐𝒔(𝒙) + 𝑪

P(X) f(X)



Ejercicio #8





𝒚′ = 𝟐𝒚+ 𝒙𝟐 + 𝟓

𝑦′ − 2𝑦 = +𝑥2 + 5

𝑦′ − 2𝑦 = 𝑥2 + 5 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

𝑃(𝑥) = −2


𝑭. 𝑰 = 𝑒∫−2𝑑𝑥 𝑒−2𝑥

𝑭. 𝑰 = 𝑒−2𝑥

𝑦′ − 2𝑦 = 𝑥2 + 5 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

(𝑒−2𝑥)𝑦′ − 2(𝑒−2𝑥)𝑦 = (𝑥2 + 5)𝑒−2𝑥

(𝑒−2𝑥)𝑦′ − 2(𝑒−2𝑥)𝑦 = 𝑥2𝑒−2𝑥 + 5𝑒−2𝑥

𝑒−2𝑥 𝑦 = ∫ 𝑒−2𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 +∫5𝑒−2𝑥 𝑑𝑥

𝑒−2𝑥 𝑦 = −𝑥2

2(𝑒−2𝑥) − ∫(−

1

2𝑒−2𝑥) 2𝑥𝑑𝑥

𝑒−2𝑥 𝑦 = −𝑥2

2𝑒−2𝑥 +∫ 𝑥 𝑒−2𝑥𝑑𝑥

P(X) f(X)


𝑢 𝑣 − ∫𝑣 𝑑𝑢

𝑢 = 𝑥2

𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥

𝑣 = ∫𝑒−2𝑥 𝑑𝑥

𝑣 = −1

2 .∫ 𝑒𝑣 𝑑𝑣

𝑣 = −1

2 𝑒−2𝑥




Ejercicio #25

Resolver el problema con valores iniciales. Indique el intervalo I más largo en el

que está definida la solución.


𝒙𝒚′ + 𝒚 = 𝒆𝒙 ; 𝒚(𝟏) = 𝟐

𝑦′ +1

𝑥𝑦 =

1

𝑥𝑒𝑥

𝑦′ +1

𝑥𝑦 =

1

𝑥𝑒𝑥 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

𝑃(𝑥) =1

𝑥


𝑭. 𝑰 = 𝑒∫1𝑥𝑑𝑥 𝑒ln𝑥

𝑭. 𝑰 = 𝑥

𝑦′ +1

𝑥𝑦 =

1

𝑥𝑒𝑥 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

(𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+1

𝑥(𝑥)𝑦 = (𝑥)

1

𝑥𝑒𝑥

P(X) f(X)

−𝑥2𝑒−2𝑥

2− 𝑥

2𝑒−2𝑥 + |−

1

2 𝑒−2𝑥|

1

2

−𝑥2

2𝑒−2𝑥 −

𝑥

2𝑒−2𝑥 −

1

4𝑒−2𝑥

𝑒−2𝑥𝑦 = −𝑥

2𝑒−2𝑥 −

𝑥

2𝑒−2𝑥 −

1

4𝑒−2𝑥 −

5

2𝑒−2𝑥 + 𝑐

𝑒−2𝑥𝑦 =𝑥2

2𝑒−2𝑥 −

𝑥

2𝑒−2𝑥 −

11

4𝑒−2𝑥 + 𝑐



𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑒𝑥

𝑑

𝑑𝑥 (𝑥 . 𝑦) = 𝑒𝑥

𝑥𝑦 = 𝑒𝑥 + 𝑐

𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒚 (𝟏) = 𝟐

𝑐 = 𝑥𝑦 − 𝑒𝑥

𝑐 = 1.2 − 𝑒1 = 2 − 𝑒

𝑐 = 2 − 𝑒


𝑥𝑦 = 𝑒𝑥 + 2 − 𝑒

𝑦 =𝑒𝑥

𝑥+2 − 𝑒

𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑥 𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 . 1

𝑥2+ (2 − 𝑒)

𝑑

𝑑𝑥(𝑥−1)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑒𝑥(𝑥 − 1)

𝑥2+ (2 − 𝑒)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑒𝑥(𝑥 − 1)

𝑥2+ (2 − 𝑒)(−1)

1

𝑥2

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑒𝑥(𝑥 − 1) − 2 + 𝑒

𝑥2

𝑥 . 𝑒𝑥(𝑥 − 1) − 2 + 𝑒

𝑥2+𝑒𝑥

𝑥+2 − 𝑒

𝑥= 𝑒𝑥

𝑒𝑥(𝑥 − 1) − 2 + 𝑒

𝑥+𝑒𝑥

𝑥+2 − 𝑒

𝑥= 𝑒𝑥

2 − 𝑒 + 𝑒𝑥 + 𝑒𝑥 . 𝑥 − 𝑒𝑥 − 2 + 𝑒 = 𝑒𝑥 . 𝑥

𝑒𝑥𝑥 = 𝑒𝑥𝑥



Ejercicio #24





(𝒙𝟐 − 𝟏)𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝟐𝒚 = (𝒙 + 𝟏)𝟐

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

2

(𝑥2 − 1)𝑦 =

(𝑥 + 1)2

(𝑥2 − 1)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

2

(𝑥2 − 1)𝑦 =

(𝑥 + 1)2

(𝑥2 − 1) 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

𝑃(𝑥) =2

(𝑥2 − 1)


𝑭. 𝑰 = 𝑒∫

2(𝑥2−1)

𝑑𝑥 𝑒ln

{𝑥−1𝑥+1

}

𝑭. 𝑰 = {𝑥 − 1

𝑥 + 1}

𝑑𝑦

𝑑𝑥+

2

(𝑥2 − 1)𝑦 =

(𝑥 + 1)2

(𝑥2 − 1) 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

{𝑥 − 1

𝑥 + 1} 𝑑𝑦𝑑𝑥+

2

(𝑥2 −1){𝑥 − 1

𝑥 + 1}𝑦 = {

𝑥 − 1

𝑥 + 1} ∗

(𝑥 + 1)2

(𝑥2 − 1)

{𝑥 − 1

𝑥 + 1} 𝑦 = {

𝑥 − 1

𝑥 + 1} ∗(𝑥 + 1)2

(𝑥2 − 1)

{𝑥 − 1

𝑥 + 1} 𝑦 =

(𝑥 + 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

P(X) f(X)

Viernes 20 de Noviembre del 2015

𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙

∫𝑑𝑣

𝑥2 − 𝑎2=1

2𝑎𝑙𝑛 {

𝑣 − 𝑎

𝑣 + 𝑎}

= 2 .1

2 𝑙𝑛 {

𝑥 − 1

𝑥 + 1} =

𝑙𝑛 {𝑥 − 1

𝑥 + 1}



Ejercicio #23





𝒙𝒅𝒚

𝒅𝒙+ (𝟑𝒙 + 𝟏)𝒚 = 𝒆−𝟑𝒙

𝑑𝑦

𝑑𝑥+(3𝑥 + 1)

𝑥𝑦 =

𝑒−3𝑥

𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+(3𝑥 + 1)

𝑥𝑦 =

𝑒−3𝑥

𝑥 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

𝑃(𝑥) =(3𝑥 + 1)

𝑥


𝑭. 𝑰 = 𝑒∫(3𝑥+1)𝑥 𝑑𝑥 𝑒3𝑥+ln 𝑥 𝑥𝑒3𝑥

𝑭. 𝑰 = 𝑥𝑒3𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+(3𝑥 + 1)

𝑥𝑦 =

𝑒−3𝑥


(𝑥𝑒3𝑥)𝑑𝑦

𝑑𝑥+(3𝑥 + 1)

𝑥(𝑥𝑒3𝑥)𝑦 =

𝑒−3𝑥

𝑥(𝑥𝑒3𝑥)

P(X) f(X)

{𝑥 − 1

𝑥 + 1} 𝑦 = 1

{𝑥 − 1

𝑥 + 1} 𝑦 = ∫1𝑑𝑥

{𝑥 − 1

𝑥 + 1} 𝑦 = 𝑥 + 𝐶

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛

∫(3𝑥 + 1)

𝑥=

∫3𝑥

𝑥𝑑𝑥 + ∫

1

𝑥𝑑𝑥 =

3𝑥 + ln 𝑥



Ejercicio #47 Marcapasos del corazón

Un marcapasos de corazón consiste en un interruptor, una batería de voltaje

constante E, un capacitor con capacitancia constante C y un corazón como un

resistor con resistencia constante R. Cuando se cierra el interruptor, el capacitor se

carga; cuando el interruptor se abre, el capacitor se descarga enviando estímulos

eléctricos al corazón. Todo el tiempo el corazón se está estimulando, el voltaje E a

través del corazón satisface la ecuación diferencial lineal.


𝒅𝑬

𝒅𝒕= −

𝟏

𝑹𝒄∗ 𝑬

𝑑𝐸

𝑑𝑡+1

𝑅𝑐∗ 𝐸 = 0

𝑑𝐸

𝑑𝑡+1

𝑅𝑐∗ 𝐸 = 0 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

𝑃(𝑥) =1

𝑅𝑐


𝑭. 𝑰 = 𝑒∫1𝑅𝑐𝑑𝑥 𝑒

1𝑅𝑐∗𝑡

𝑭. 𝑰 = 𝑒1𝑅𝑐∗𝑡

P(X) f(X)

(𝑥𝑒3𝑥)𝑦 = 𝑒

(𝑥𝑒3𝑥)𝑦 = 1

(𝑥𝑒3𝑥)𝑦 = ∫1𝑑𝑥

(𝑥𝑒3𝑥)𝑦 = 𝑥 + 𝐶



Ejercicio #1

Resuelva la ecuación diferencial dada usando las sustituciones adecuadas.

Cambio de variable

𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢

(𝒙 − 𝒚)𝒅𝒙 + 𝒙𝒅𝒚 = 𝟎

𝑦 = 𝑢𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑢

𝑑

𝑑𝑥(𝑥) + (𝑥)

𝑑

𝑑𝑥𝑢

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑢 + 𝑥𝑢´

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑢 + 𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 𝑢 𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢

𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝐸

𝑑𝑡+1

𝑅𝑐∗ 𝐸 = 0 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓

(𝑒1𝑅𝑐∗𝑡)

𝑑𝐸

𝑑𝑡+1

𝑅𝑐(𝑒

1𝑅𝑐∗𝑡) ∗ 𝐸 = 0(𝑒

1𝑅𝑐∗𝑡)

𝑒1𝑅𝑐∗𝑡 ∗ 𝐸 = 0

𝑒1𝑅𝑐∗𝑡 ∗ 𝐸 = ∫0𝑑𝑡

𝑒1𝑅𝑐∗𝑡 ∗ 𝐸 = 𝐶

Martes 24 de Noviembre del 2015

SOLUCIONES DE ECUACIONES

DIFERENCIALES POR SUSTITUCIÓN Son de 1

er grados y primer orden

EJERCICIO 2.5

Ecuación

Homogénea

Para resolver estas ecuaciones

tienen que ser de primer orden



(𝑥 − 𝑢𝑥)𝑑𝑥 + 𝑥{𝑥𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢} = 0

𝑥𝑑𝑥 − 𝑢𝑥𝑑𝑥 + 𝑢𝑥𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑢 = 0

(𝑥 − 𝑢𝑥 + 𝑢𝑥)𝑑𝑥 = −𝑥2𝑑𝑢

𝑥𝑑𝑥 = −𝑥2𝑑𝑢

𝑑𝑥 = −𝑥𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑥= −𝑑𝑢

∫𝑑𝑥

𝑥= −∫𝑑𝑢

ln(𝑥) = −𝑢 + 𝑐

ln(𝑥) = −𝑦

𝑥+ 𝑐

ln(𝑥) =−𝑦 + 𝑐𝑥

𝑥

𝑥𝑙𝑛(𝑥) = 𝑐𝑥 − 𝑦

𝑦 = 𝑐𝑥 − 𝑥𝑙𝑛(𝑥) 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐸𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎



Ejercicio #3


Cambio de variable


𝒙𝒅𝒙 + (𝒚 − 𝟐𝒙)𝒅𝒚 = 𝟎

𝑦 = 𝑢𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑢

𝑑

𝑑𝑥(𝑥) + (𝑥)

𝑑

𝑑𝑥𝑢

𝑑𝑦


𝑑𝑦


𝑑𝑢

𝑑𝑥


𝑑𝑥 𝑑𝑥


𝑃(𝑥) =(3𝑥 + 1)

𝑥


𝑭. 𝑰 = 𝑒∫(3𝑥+1)𝑥

𝑑𝑥 𝑒3𝑥+ln𝑥 𝑥𝑒3𝑥


𝑑𝑦

𝑑𝑥+(3𝑥 + 1)

𝑥𝑦 =

𝑒−3𝑥



𝑑𝑥+(3𝑥 + 1)


𝑒−3𝑥

𝑥(𝑥𝑒3𝑥)

𝑥𝑑𝑥 + {𝑢𝑥 − 2𝑥}{𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢} = 0

𝑥𝑑𝑥 + 𝑢2𝑥𝑑𝑥 + 𝑢𝑥2𝑑𝑢 − 2𝑢𝑥𝑑𝑥 − 2𝑥2𝑑𝑢 = 0

(𝑥 + 𝑢2𝑥 − 2𝑢𝑥)𝑑𝑥 = 2𝑥2𝑑𝑢 − 𝑢𝑥2𝑑𝑢

𝑥(1 + 𝑢2 − 2𝑢)𝑑𝑥 = 𝑥2(2 − 𝑢)𝑑𝑢

(1 − 𝑢)2𝑑𝑥 =𝑥2

𝑥(2 − 𝑢)

(1 − 𝑢)2𝑑𝑥 = 𝑥(2 − 𝑢)𝑑𝑢

∫𝑑𝑥

𝑥= ∫

2 − 𝑢

(1 − 𝑢)2𝑑𝑢

𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛

𝐴

(1 − 𝑢)2+

𝐵

(1 − 𝑢)=𝐴 + 𝐵 − 𝐵𝑢 = 2 − 𝑢

(1 − 𝑢)2= 2 − 𝑢

{−𝐵 = −1𝐴 + 𝐵 = 2

−𝐵 = −1

𝐵 = 1

𝐴 + 1 = 2

𝐴 = 2 − 1

𝐴 = 1



1

(1 − 𝑢)2+

1

(1 − 𝑢)=1 + (1 − 𝑢)

(1 − 𝑢)2=

2 − 𝑢

(1 − 𝑢)2

𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠

∫𝑑𝑥

𝑥= ∫

1

(1 − 𝑢)2𝑑𝑢 + ∫

1

1 − 𝑢 𝑑𝑢

∫𝑑𝑥

𝑥= −∫

𝑑𝑣

𝑣2−∫

1

𝑤 𝑑𝑥

𝑙𝑛(𝑥) = −∫𝑣−2+1

−2 + 1 𝑑𝑣 − 𝑙𝑛(𝑤)

𝑙𝑛(𝑥) =1

𝑣− 𝑙𝑛(𝑤)

𝑙𝑛(𝑥) =1

(1 − 𝑢)− 𝑙𝑛(1 − 𝑢) + 𝑐

𝑙𝑛(𝑥) =1

(1 −𝑦𝑥)− 𝑙𝑛 (1 −

𝑦

𝑢) + 𝑐

𝑙𝑛(𝑥) =𝑥

𝑥 − 𝑦− 𝑙𝑛 {

𝑥 − 𝑦

𝑥} + 𝑐

𝑙𝑛(𝑥) =𝑥

𝑥 − 𝑦− [𝑙𝑛(𝑥 − 𝑦) − 𝑙𝑛(𝑥)] + 𝑐

𝑜 =𝑥

𝑥 − 𝑦− 𝑙𝑛(𝑥 − 𝑦) + 𝑐

Cambio de variable

𝑣 = 1 − 𝑢

𝑑𝑣 = −𝑑𝑢

Cambio de variable

𝑤 = 1 − 𝑢

𝑑𝑤 = −𝑑𝑢



Ejercicio #10


Cambio de variable


𝒙 𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝒚 + √𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 ; 𝒙 > 𝟎

𝑦 = 𝑢𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑢

𝑑

𝑑𝑥(𝑥) + (𝑥)

𝑑

𝑑𝑥𝑢

𝑑𝑦


𝑑𝑦


𝑑𝑢

𝑑𝑥


𝑑𝑥 𝑑𝑥


𝑃(𝑥) =(3𝑥 + 1)

𝑥


𝑭. 𝑰 = 𝑒∫(3𝑥+1)𝑥 𝑑𝑥 𝑒3𝑥+ln𝑥 𝑥𝑒3𝑥


𝑑𝑦

𝑑𝑥+(3𝑥 + 1)

𝑥𝑦 =

𝑒−3𝑥



𝑑𝑥+(3𝑥 + 1)


𝑒−3𝑥

𝑥(𝑥𝑒3𝑥)

𝑥 𝑑𝑦 = {𝑦 + √𝑥2 − 𝑦2} 𝑑𝑥

𝑥(𝑢𝑑𝑥 + 𝑢𝑑𝑢) = {𝑢𝑥 + √𝑥2 − 𝑢2𝑥2} 𝑑𝑥

𝑢𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥2 𝑑𝑢 = 𝑢𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥√1 − 𝑢2𝑑𝑥

𝑥2 𝑑𝑢 = 𝑢𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥√1 − 𝑢 𝑑𝑥 − 𝑢𝑥 𝑑𝑥

𝑥2 𝑑𝑢 = 𝑥√1 − 𝑥2 𝑑𝑥

𝑥𝑑𝑢 = √1 − 𝑢2𝑑𝑥

∫𝑑𝑢

√1 − 𝑢2= ∫

𝑑𝑥

𝑥

𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(𝑣 𝑎⁄ ) = ln(𝑥)

𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(𝑢) = ln (𝑥)

ln(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(𝑢) + 𝑐

ln(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (𝑦𝑥⁄ ) + 𝑐




Ejercicio #12


Cambio de variable


(𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐)𝒅𝒙

𝒅𝒚= 𝒙𝒚 ; 𝒚(−𝟏) = 𝟏

𝑦 = 𝑢𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑢

𝑑

𝑑𝑥(𝑥) + (𝑥)

𝑑

𝑑𝑥𝑢

𝑑𝑦


𝑑𝑦


𝑑𝑢

𝑑𝑥


𝑑𝑥 𝑑𝑥


𝑃(𝑥) =(3𝑥 + 1)

𝑥


𝑭. 𝑰 = 𝑒∫(3𝑥+1)𝑥 𝑑𝑥 𝑒3𝑥+ln 𝑥 𝑥𝑒3𝑥


𝑑𝑦

𝑑𝑥+(3𝑥 + 1)

𝑥𝑦 =

𝑒−3𝑥



𝑑𝑥+(3𝑥 + 1)


𝑒−3𝑥

𝑥(𝑥𝑒3𝑥)

(𝑥2 + 2𝑦2) 𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 𝑑𝑦

(𝑥2 + 2𝑢2𝑥2) 𝑑𝑥 = 𝑥𝑢𝑥(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢)

(𝑥2 + 2𝑢2𝑥2) 𝑑𝑥 = 𝑥2𝑢(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢)

𝑥2(1 + 2𝑢2)𝑑𝑥 = 𝑢𝑥2(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢)

(1 + 2𝑢2)𝑑𝑥 =𝑢𝑥2(𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢)

𝑥2

(1 + 2𝑢2)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢)

(1 + 2𝑢2)𝑑𝑥 = 𝑢2𝑑𝑥 + 𝑢𝑥 𝑑𝑢

1 𝑑𝑥 + 2𝑢2𝑑𝑥 − 𝑢2𝑑𝑥 = 𝑢𝑥 𝑑𝑢

𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑥 = 𝑢𝑥 𝑑𝑢

𝑑𝑥(1 + 𝑢2) = 𝑢𝑥 𝑑𝑢

∫𝑑𝑥

𝑥= ∫

𝑢

1 + 𝑢2 𝑑𝑢

ln(𝑥) = ∫

𝑑𝑣2⁄

𝑣𝑑𝑢

ln(𝑥) =1

2∫𝑣−1 𝑑𝑣

ln(𝑥) =1

2ln(1 + 𝑢2) + 𝑐

ln(𝑥) =1

2ln

(

1 +

𝑦2

𝑥2⁄

𝑥2

)

;𝒎𝒄𝒎 = 𝒙𝟐

ln(𝑥) =1

2{ln (𝑥2 + 𝑦2) − ln (𝑥2)} + 𝑐

𝑪𝒂𝒎𝒃𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆

𝑣 = 1 + 𝑥2

𝑑𝑣 = 2𝑢 𝑑𝑢

𝑑𝑣

2= 𝑢𝑑𝑢

𝑷𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒓í𝒕𝒎𝒊𝒄𝒂

𝑙𝑛 |𝑎

𝑏| = 𝑙𝑛(𝑎) − 𝑙𝑛(𝑏) + 𝑐



ln(𝑥) =1

2{𝑙𝑛(𝑥2 + 𝑦2) − 2ln (𝑥)} + 𝑐

ln(𝑥) =1

2ln(𝑥2 + 𝑦2) − ln(𝑥) + 𝑐

2ln(𝑥) =1

2𝑙𝑛(𝑥2 + 𝑦2) + 𝑐

ln(𝑥2) =1

2ln(𝑥2 + 𝑦2) + 𝑐

𝑙𝑛(1) =1

2𝑙𝑛(1 + 1) + 𝑐

−1

2𝑙𝑛(2) = 𝑐

{𝑐 = 𝑙𝑛√2𝑐 = 𝑙𝑛(2)

𝑐 = 𝑙𝑛(1 √2)⁄

𝑙𝑛(𝑥2) = 𝑙𝑛√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑐

𝑙𝑛(𝑥2) − 𝑙𝑛√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑐

𝑙𝑛 |𝑥2

√𝑥2 + 𝑦2| = 𝑐

𝑐 = 𝑙𝑛(1√2⁄ )

𝑒𝑙𝑛{

𝑥2

√𝑥2+𝑦2}

= 𝑒𝑙𝑛{

1

√2}

𝑥2

√𝑥2 + 𝑦2=1

√2

√2 . 𝑥2 = √𝑥2 + 𝑦2

2𝑥4 = 𝑥2 + 𝑦2

𝑦2 = 2𝑥4 − 𝑥2

𝑦2 = 𝑥2(2𝑥2 − 1)

𝑦 = 𝑥√2𝑥2 − 1



Ejercicio #8


Cambio de variable

𝒅𝒚

𝒅𝒙=𝒙 + 𝟑𝒚

𝟑𝒙 + 𝒚

𝑦 = 𝑢𝑥


𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑥 + 3 |

𝑦𝑥|

3𝑥 + |𝑦𝑥|

𝑑𝑦

𝑑𝑥=1 + 3𝑢

3 + 𝑢


𝑢 + 𝑥𝑑𝑢

𝑑𝑥=1 + 3𝑢

3 + 𝑢

𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥=1 + 3𝑢

3 + 𝑢− 𝑢

𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥=1 + 3𝑢 − 𝑢(3 + 𝑢)

3 + 𝑢

𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥=1 + 3𝑢 − 3𝑢 + 𝑥2

3 + 𝑢

𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥=1 − 𝑢2

3 + 𝑢

∫(3 + 𝑢)

(1 − 𝑢2)𝑑𝑢 + ∫

𝑑𝑥

𝑥

∫2

(1 − 𝑢)𝑑𝑢 + ∫

1

(1 + 𝑢)𝑑𝑢 = 𝑙𝑛(𝑥)

−2𝑙𝑛(1 − 𝑢) + 𝑙𝑛(1 + 𝑢) = 𝑙𝑛(𝑥)

𝑙𝑛(1 − 𝑢)−2 + 𝑙𝑛(1 + 𝑢) = 𝑙𝑛(𝑥)

𝑙𝑛(1 − 𝑢)−2 + 𝑙𝑛(1 + 𝑢) − 𝑙𝑛(𝑥) = 𝑐

𝑙𝑛 {(1 + 𝑢)

𝑥(1 − 𝑢)2} = 𝑐

−𝐴 + 𝐵 = 1

𝐵 = 1 + 𝐴

𝐴 + 1 + 𝐴 = 3

2𝐴 = 2

𝐴 = 2/2

𝐴 = 1

−1 + 𝐵 = 1

𝐵 = 2

𝑨𝒓𝒕𝒊𝒇𝒊𝒄𝒊𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏

𝟑 + 𝒖

𝟏 − 𝒖𝟐=

𝑨

(1 + 𝑢)+

𝑩

(1 − 𝑢)

𝟑 + 𝒖 = 𝑨(1 − 𝑢) + 𝐵(1 + 𝑢)

𝟑 + 𝒖 = 𝑨 − 𝑨𝒖 + 𝑩 + 𝑩𝒖

𝟑 + 𝒖 = (𝑨 + 𝑩) + (−𝑨 + 𝑩)𝒖

{𝐴 + 𝐵 = 3

−𝐴 + 𝐵 = 1



Martes 1 de Diciembre del 2015

ECUACIONES DIFERENCIALES DE

BERNOULLI

Pasos

Proceder con una sustitución.


𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥). 𝑦 = 𝑓(𝑥). 𝑦𝒏

𝒏 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙.



𝒙𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒚 =

𝟏

𝒚𝟐

𝒅𝒚

𝒅𝒙+𝑦

𝑥=1

𝑥. 𝑦−2

(1

3𝑢−2 3⁄ ) .

𝑑𝑢

𝑑𝑥+1

𝑥(𝑢1 3⁄ ) =

1

𝑥. (𝑢1 3⁄ )−2

𝑑𝑢

𝑑𝑥+1

𝑥.(𝑢1 3⁄ )

(13 𝑢

−2 3⁄ )=1

𝑥.(𝑢1 3⁄ )−2

(13𝑢

−2 3⁄ )

𝑑𝑢

𝑑𝑥+3

𝑥𝑢 =

3



𝑭. 𝑰 = 𝑒∫3𝑥𝑑𝑥

𝑭. 𝑰 = 𝑒∫3𝑥𝑑𝑥 𝑒3ln(𝑥) 𝑥3

𝑭. 𝑰 = 𝑥3

CAPÍTULO 2

EJERCICIOS 2.5

Ejercicio #15

Estas ecuaciones diferenciales es una ecuación de Bernoulli.

Resuelva la ecuación diferencial dada usando una sustitución adecuada.

Proceder con una sustitución

Reemplazamos y con la derivada implícita

Pasar a la forma estándar


𝑢 = 𝑦1−𝑛

𝑢 = 𝑦1−(−2)

𝑢 = 𝑦1+2

𝑢 = 𝑦3

𝑦3 = 𝑢

𝑦3 = 𝑢3

𝑦 = √𝑢3

𝑦 = 𝑢1 3⁄ 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑢1 3⁄ .

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥=1

3𝑢1 3−1⁄ .

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝒅𝒚

𝒅𝒙=1

3𝑢−2 3⁄ .

𝑑𝑢

𝑑𝑥

P(X) f(X)



𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 𝑭. 𝑰.

𝑑𝑢

𝑑𝑥+3

𝑥𝑢 =

3

𝑥 ∗ 𝑭. 𝑰 = 𝑥3

𝑥3𝑑𝑢

𝑑𝑥+ (𝑥3).

3

𝑥𝑢 =

3

𝑥(𝑥3)

𝑑

𝑑𝑥(𝑥3. 𝑢) =

3

𝑥(𝑥3)

𝑥3. 𝑢 = 3𝑥2

𝑥3. 𝑢 = ∫3𝑥2

𝑥3. 𝑢 = 𝒙𝟑 + 𝑪

𝑥3. 𝑦3 = 𝒙𝟑 + 𝑪

𝑦3 =𝒙𝟑

𝑥3+𝐶

𝑥3

𝑦3 = 1 +𝐶

𝑥3

𝑦3 = (1 +𝐶

𝑥3)3

𝒚 = √1+𝐶

𝑥3

3

𝑹//

∫3𝑥2 𝑑𝑥

3∫𝑥2+1

2 + 1𝑑𝑥

3 ∗𝑥3

3

𝒙𝟑 + 𝑪

𝑢 = 𝑦1−𝑛

𝑢 = 𝑦1−(−2)

𝑢 = 𝑦1+2

𝑢 = 𝑦3

Integración



𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝒚(𝒙𝒚𝟑 − 𝟏)

𝒅𝒚

𝒅𝒙= 𝒙𝒚𝟒 − 𝒚

𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝑦 = 𝒙𝒚𝟒

(−1

3𝑢−4 3⁄ ) .

𝑑𝑢

𝑑𝑥+ 𝑢−1/3 = 𝑥(𝑢−1/3)4

𝑑𝑢

𝑑𝑥+

𝑢−1/3

−13𝑢

−4 3⁄

= 𝑥(𝑢−1/3)4

−13𝑢

−4 3⁄

𝑑𝑢

𝑑𝑥− 𝟑. 𝑢 = −𝟑𝒙 𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓


𝑭. 𝑰 = 𝑒∫−3𝑑𝑥

𝑭. 𝑰 = 𝑒−∫3𝑑𝑥 𝑒−3𝑥 𝑒−3𝑥

𝑭. 𝑰 = 𝑒−3𝑥

Ejercicio #17



Proceder con una sustitución

Reemplazamos y con la derivada implícita

Pasar a la forma estándar


𝑢 = 𝑦1−𝑛

𝑢 = 𝑦1−(4)

𝑢 = 𝑦−3

𝑦−3 = 𝑢

𝑦−3 = 𝑢−3

𝑦 =1

√𝑢3

𝑦 = 𝑢−1/3 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑢−1 3⁄ .

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

1

3𝑢1 3−1⁄ .

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝒅𝒚

𝒅𝒙= −

1

3𝑢−4 3⁄ .

𝑑𝑢

𝑑𝑥

f(X) P(X)



𝑭𝒐𝒓𝒎𝒂 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒆𝒍 𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 𝑭. 𝑰.

𝑑𝑢

𝑑𝑥− 𝟑. 𝑢 = −𝟑𝒙 ∗ 𝑭. 𝑰 = 𝑒−3𝑥

𝑒−3𝑥𝑑𝑢

𝑑𝑥− 𝟑(𝒆−𝟑𝒙). 𝑢 = −𝟑𝒙𝒆−𝟑𝒙

𝑑

𝑑𝑥(𝑒−3𝑥 . 𝑢) = −𝟑𝒙𝒆−𝟑𝒙

(𝑒−3𝑥 . 𝑢) = −𝟑𝒙𝒆−𝟑𝒙

𝑒−3𝑥 . 𝑢 = ∫−𝟑𝒙𝒆−𝟑𝒙

𝑒−3𝑥 . 𝑢 = −3∫𝒙𝒆−𝟑𝒙

𝑒−3𝑥 . 𝑢 = −3 {−𝒙

𝟑𝒆−𝟑𝒙 −

𝟏

𝟗𝒆−𝟑𝒙}

𝑒−3𝑥 . 𝒖 = − {−𝒙𝒆−𝟑𝒙 −𝟏

𝟑𝒆−𝟑𝒙}

−3𝑥 . 𝑦−3 = {𝒙 +𝟏

𝟑} 𝒆−𝟑𝒙 + 𝐶

𝑦−3 ={𝒙 +

𝟏𝟑} 𝒆−𝟑𝒙

𝑒−3𝑥+

𝐶

𝑒−3𝑥

𝒚 =1

√𝑥 +13 + 𝐶𝑒

3𝑥3

𝑦−3 = 𝒙 +𝟏

𝟑+ 𝐶𝑒3𝑥 𝑹//

𝒖. 𝒗 − ∫𝒗. 𝒅𝒖

𝑢 = 𝑥

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑤 = −3𝑥

𝑑𝑤 = −3𝑑𝑥

∫𝑑𝑣 = ∫𝑒−3𝑥

𝑣 = −1

3𝑒−3𝑥𝑑𝑥

𝒖. 𝒗 − ∫𝒗. 𝒅𝒖

−𝒙

𝟑𝒆−𝟑𝒙 +∫

𝟏

𝟑𝒆−𝟑𝒙𝒅𝒙

−𝒙

𝟑𝒆−𝟑𝒙 −

𝟏

𝟗𝒆−𝟑𝒙

𝑢 = 𝑦1−𝑛

𝑢 = 𝑦1−(4)

𝑢 = 𝑦−3




Jueves 3 de Diciembre del 2015

EXPOSICIÓN SOBRE LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES DE BERNOULLI A CARGO

DE UNA ESTUDIANTE

Ejercicio #21



𝒙𝟐𝒅𝒚

𝒅𝒙− 𝟐𝒙𝒚 = 𝟑𝒚𝟒 ; 𝒚(𝟏) =

𝟏

𝟐

𝑑𝑦

𝑑𝑥−

2

𝑥𝑦 = 3

1

𝑥2𝑦4

𝟏𝒆𝒓 𝑷𝒂𝒔𝒐 ∶ 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏

−1

3𝑢−

43𝑑𝑦

𝑑𝑥−2

𝑥𝑢−

13 = 3

1

𝑥2(𝑢−1/3)4

𝑑𝑦

𝑑𝑥−2

𝑥.𝑢−

13

−13 𝑢

−43

=3

𝑥2.𝑢−4/3

−13𝑢

−4/3

𝑑𝑦

𝑑𝑥+6

𝑥𝑢 =

−9

𝑥2

𝟐𝒅𝒑 𝑷𝒂𝒔𝒐: 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝑭. 𝑰

𝑥6𝑑𝑦

𝑑𝑥+𝑥6

𝑥. 6. 𝑢 = −

9

𝑥2 . 𝑥6

𝑑

𝑑𝑥(𝑥6 . 𝑢) = −9𝑥4

𝑥6 . 𝑢 = −9𝑥5

5+ 𝑐

𝑢 = 𝑦1−𝑛 = 𝑦−3

𝑢 = 𝑦−3

𝒖 =𝟏

𝒚𝟑

𝑦3 =1

𝑢

𝑦 =1

𝑢1/3= 𝑢−1/3

𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒊𝒎𝒑𝒍í𝒄𝒊𝒕𝒂

𝒅𝒚

𝒅𝒙= −

𝟏

𝟑𝒖−

𝟒𝟑.𝒅𝒖

𝒅𝒙

𝑭𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆

𝐹. 𝐼 = 𝑒∫6𝑥 𝑑𝑥

𝐹. 𝐼 = 𝑒6ln (𝑥)

𝑭. 𝑰 = 𝒙𝟔



𝑥6

𝑦3= −

9

5𝑥5 + 𝑐

𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒚(𝟏) = 𝟏/𝟐

8 = −9

5+ 𝑐

8 +9

5= 𝑐

𝑐 =49

5

𝑹𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏

𝑥6

𝑦3= −

9

5𝑥5 +

49

5

𝑦 = (−9

5𝑥+49

5𝑥−6)−1/3


MODELOS LINEALES

Ejercicio de circuito en serie RC.

Se aplica una fuerza electromotriz d 𝟏𝟎𝟎 𝒗𝒍𝒕𝒔 a un circuito en serie 𝑹𝑪, en el que la

resistencia es de 𝟐𝟎𝟎 𝒐𝒉𝒎𝒔 y la capacidad es de 𝟏𝟎−𝟒 𝒇𝒂𝒓𝒂𝒅𝒔. Determine la carga

𝒒(𝒕) del capacitor, si 𝒒(𝟎) = 𝟎. Encuentre la corriente 𝒊(𝒕).



Datos

𝐹𝐸𝑀 = 100𝑣 𝑞(𝑡) =?

𝑅 = 200𝛺 𝑞(0) = 0

𝑐 = 10−4𝐹 𝑖(𝑡) =?

∈ (𝑡) = 𝑉𝑟 + 𝑉𝑐 𝐿𝑉𝐾

∈ (𝑡) = 𝑖(𝑡)𝑅 +1

𝑐𝑞(𝑡)

∈ (𝑡) =𝑑𝑞

𝑑𝑡. 𝑅 +

1

𝑐𝑞(𝑡)(𝑡)

Forma estándar

𝑑𝑞

𝑑𝑡+1

𝑅𝑐𝑞 =

1

𝑅 ∈ (𝑡)

Factor integrante

𝐹. 𝐼 = 𝑒∫1𝑅𝑐 𝑑𝑡

= 𝑒1𝑅𝑐 ∫𝑑𝑡

𝑒1𝑅𝑐𝑡.

𝑑𝑞

𝑑𝑡+ 𝑒

1𝑅𝑐𝑡𝑞 = 𝑒

1𝑅𝑐𝑡

1

𝑅∈ (𝑡)

𝑒1𝑅𝑐𝑡𝑞 = ∫

1

𝑅∈ (𝑡)𝑒

1𝑅𝑐𝑡

Cambio de Variable

𝑣 = 50𝑡

𝑑𝑣 = 50 𝑑𝑡

𝑑𝑣

50= 𝑑𝑡



Reemplazamos

𝑒50𝑡. 𝑞 = ∫1

200. 100. 𝑒50𝑡 𝑑𝑡

𝑒50𝑡𝑞 =1

200. 100.∫ 𝑒50𝑡 𝑑𝑡

𝑒50𝑡𝑞 =1

2∫𝑒50𝑡 𝑑𝑡

𝑒50𝑡𝑞 =1

2.50

50∫𝑒50𝑡 𝑑𝑡

𝑒50𝑡𝑞 =1

100. 𝑒50𝑡 + 𝑐

Encontramos el valor de c

𝑐 = 𝑒50𝑡. 𝑞 −1

100𝑒50𝑡

𝑐 = 𝑒0. 0 −1

100𝑒0

𝑐 = −1

100

Reemplazamos c en la e1cuación

𝑞 =1

100−

1

100.1

𝑒50𝑡

𝑞(𝑡) =1

100

𝑖(𝑡) =𝑑𝑞

𝑑𝑡= −

1

100 .𝑑

𝑑𝑡(𝑒−50)

𝑖(𝑡) = −1

100. 𝑒−50𝑡 (−50)

𝑖(𝑡) =1

2𝑒−50𝑡 =>

1

2.1

𝑒50𝑡



Miércoles 9 de Diciembre del 2015

ECUACIONES DIFERENCIALES DE

SEGUNDO ORDEN

EJERCICIO 1.1

Ejercicio # 23

Comprueba que la familia de funciones indicada es una solución de la ecuación

diferencial dada. Suponga un intervalo I de definición adecuada para cada solución.

𝒅𝒚𝟐

𝒅𝒙𝟐− 𝟒

𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝟒𝒚 = 𝟎 ; 𝑦 = 𝑐1𝑒

2𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒2𝑥

𝟏𝒓𝒂 𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑐1𝑒

2𝑥(2) + 𝑐2|𝑥. 𝑒2𝑥(2) + 𝑒2𝑥|

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑐1𝑒

2𝑥 + 2𝑐2𝑥. 𝑒2𝑥 + 𝑐2𝑒

2𝑥

𝟐𝒅𝒂 𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂

𝑑2𝑦 = 2𝑐1𝑒2𝑥(2) + 2𝑐2|𝑥. 𝑒

2𝑥(2) + 𝑒2𝑥| + 𝑐2𝑒2𝑥(2)

𝑑𝑦2

𝑑𝑥2= 4𝑐1𝑒

2𝑥 + 4𝑐2𝑥𝑒2𝑥 + 2𝑐2𝑒

2𝑥 + 2𝑐2𝑒2𝑥

𝑑𝑦2


2𝑥 + 4𝑐2𝑥𝑒2𝑥 + 4𝑐2𝑒

2𝑥

{

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑐1𝑒

2𝑥 + 2𝑐2𝑥. 𝑒2𝑥 + 𝑐2𝑒

2𝑥

𝑑𝑦2


2𝑥 + 4𝑐2𝑥𝑒2𝑥 + 4𝑐2𝑒

2𝑥



Reemplazo en la ecuación

4𝑐1𝑒2𝑥 + 4𝑐2𝑥𝑒

2𝑥 + 4𝑐2𝑒2𝑥 − 4|2𝑐1𝑒

2𝑥 + 2𝑐2𝑥. 𝑒2𝑥 + 𝑐2𝑒

2𝑥| + 4|𝑐1𝑒2𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒

2𝑥| = 0

4𝑐1𝑒2𝑥 + 4𝑐2𝑥𝑒

2𝑥 + 4𝑐2𝑒2𝑥 − 8𝑐1𝑒

2𝑥 − 8𝑐2𝑥. 𝑒2𝑥 − 4𝑐2𝑒

2𝑥 + 4𝑐1𝑒2𝑥 + 4𝑐2𝑥𝑒

2𝑥 = 0

0 = 0

Que la solución de la ecuación diferencial satisface a la ecuación las constantes C1 y

C2 sean desconocida

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

Una ecuación homogénea posea la siguiente característica.

𝑎𝑛(𝑥)𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1(𝑥)

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥−1. . . . . . . . . . . . . . 𝑎1(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 0

ECUACIÓN DIFERENCIAL NO HOMOGÉNEA

𝑎𝑛(𝑥)𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1(𝑥)

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥−1. . . . . . . . . . . . . . 𝑎1(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)

Ecuación homogénea

𝑦´´ + 2𝑦´ + 5𝑦 = 0

Ecuación no homogénea

𝑦´´ + 5𝑦´ + 𝑦 = 𝑥

EJERCICIO 4.1

Ejercicio # 1

La familia de funciones que se proporciona es la solución general de la ecuación

diferencial en el intervalo que se indica. Encuentre un miembro de la familia que sea

una solución del problema con valores iniciales.



𝑦 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥

{𝑦(0) = 0

𝑦´(0) = 1

(−∞;∞)

𝑦´´ − 𝑦 = 0

𝑦(0) = 0

𝑦 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥

0 = 𝑐1𝑒0 + 𝑐2𝑒

−0

0 = 𝑐1 + 𝑐2

𝑦´(0) = 1

𝑦´ = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥

1 = 𝑐1𝑒0 + 𝑐2𝑒

−0

1 = 𝑐1 − 𝑐2

𝑐1 + 𝑐2 = 0𝑐1 − 𝑐2 = 12𝑐1 = 1

𝑐1 =12⁄

𝑐2 = −1 2⁄

Reemplazamos 𝒄𝟏 y 𝒄𝟐 en la ecuación

𝑦 =1

2𝑒𝑥 −

1

2𝑒−𝑥

{

𝑦´ =

1

2𝑒𝑥 −

1

2𝑒−𝑥

𝑦´´ =1

2𝑒𝑥 −

1

2𝑒−𝑥

Reemplazamos en 𝒚´´ − 𝒚 = 𝟎

1

2𝑒𝑥 −

1

2𝑒−𝑥 −

1

2𝑒𝑥 +

1

2𝑒−𝑥 = 0

0 = 0



Ejercicio # 3

La familia de funciones que se proporciona es la solución general de la ecuación

diferencial en el intervalo que se indica. Encuentre un miembro de la familia que sea

una solución del problema con valores iniciales.

𝒚 = 𝒄𝟏𝒙 + 𝒄𝟐𝒙 . 𝐥𝐧 (𝒙)

𝑦(1) = 3

𝑦´(1) = −4

𝑥2𝑦´´ − 𝑥𝑦´ + 𝑦 = 0

𝑦(1) = 3

3 = 𝑐11 + 𝑐21 . ln (1)

𝑐1 = 3

𝑦´ = 𝑐1 + 𝑐2|ln(𝑥) + 1|

−1 = 𝑐1 + 𝑐2|ln(1) + 1|

−1 = 𝑐1 + 𝑐2

Reemplazamos

−1 = 3 + 𝑐2

−4 = 𝑐2

𝑐2 = −4

Reemplazamos 𝒄𝟏 𝒚 𝒄𝟐 en la ecuación

𝑦 = 3𝑥 − 4𝑥 𝑙𝑛(𝑥)

Derivamos

𝑦´ = 3 − 4 [𝑙𝑛(𝑥) + 1]

𝑦´ = 3 − 4 𝑙𝑛(𝑥) − 4

𝒚´ = −𝟏 − 𝟒𝐥𝐧 (𝒙)

𝒚´´ = −𝟒𝟏

𝒙

Sustituimos y´´, y´, y en la ecuación

𝑥2 (−41

𝑥) − 𝑥(−1 − 4𝑙𝑛(𝑥))

+ (3𝑥 − 4𝑥𝑙𝑛(𝑥)) = 0

−4𝑥 + 𝑥 + 4𝑥𝑙𝑛(𝑥) − 3𝑥 − 4𝑥𝑙𝑛(𝑥) = 0

0 = 0




Ejercicio # 7

Como x(t)=C1.Cos t + C2.Sen t es la solución general de x’’+2x=0 en el intervalo

(-, ), demuestre que una solución que satisface las condiciones iniciales

x(0)=x0,x’(0)=x1 esta dada por.

𝒙(𝒕) = 𝒄𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕)

𝒙(𝒕) = 𝒄𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕)

𝒙´´ +𝝎𝟐𝒙 = 𝟎

𝒙(𝒕) = 𝒙𝟎 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) +𝒙𝟏𝝎 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕)

𝒙(𝟎) = 𝒙𝟎

𝒙´(𝟎) = 𝒙𝟏

𝒄𝟏

𝑥(0) = 𝑥0

𝑥0 = 𝑐1 cos(𝜔. 𝑜) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛(𝜔. 0)

𝑐1 = 𝑥0

𝒄𝟐

𝑥´(0) = 𝑥1

𝑥´ = −𝑐1𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)𝜔 + 𝑐2cos (𝜔𝑡)𝜔

𝑥´ = 𝑐2. 𝜔. 1

𝑐2 =𝑥1𝜔

𝒙(𝒕) = 𝒙𝟎 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕) +𝒙𝟏𝝎. 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕)

Primera derivada

𝑥´(𝑡) = −𝑥0𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)𝜔 +𝑥1𝜔 cos (𝜔𝑡)𝜔

𝑥´(𝑡) = −𝑥0𝑠𝑒 𝑛(𝜔𝑡)𝜔 + 𝑥1 cos(𝜔𝑡)

Segunda derivada

𝑥´´(𝑡) = −𝑥0𝜔cos(𝜔𝑡) . 𝜔 − 𝑥1𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)𝜔

𝑥´´(𝑡) = −𝑥0𝜔2 cos(𝜔𝑡) − 𝑥1𝜔𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)



Reemplazamos

−𝑥0𝜔2 cos(𝜔𝑡)−𝑥1𝜔𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) + 𝜔

2 {𝑥0 cos(𝜔𝑡) +𝑥1𝜔. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)} = 0

−𝑥0𝜔2 cos(𝜔𝑡)−𝑥1𝜔𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) + 𝑥0𝜔

2 cos(𝜔𝑡)+𝑥1𝜔𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡) = 0

0 = 0

Ejercicio # 23

Compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones

de las ecuaciones diferenciales en el intervalo que se indica. Forme la solución

general.

𝒚´´ − 𝟐𝒚´ + 𝟓𝒚 = 𝟎; 𝒆𝒙 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙), 𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) (−∞ ,∞)

Primera derivada

𝒚 = 𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙)

𝑦´ = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(2𝑥) + 𝑒𝑥 . −𝑠𝑒𝑛(2𝑥)(2)

𝑦´ = 𝑒𝑥 cos(2𝑥) − 2𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

Segunda derivada

𝑦´´ = −𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥)(2) + 𝑒𝑥 cos(2𝑥) − 2{𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝑒𝑥cos (2𝑥)(2)}

𝑦´´ = −2𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝑒𝑥 cos(2𝑥) − 2𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥) − 4𝑒𝑥cos (2𝑥)

𝑦´´ = −4𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥) − 3𝑒𝑥cos (2𝑥)



Reemplazamos

−4𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥) − 3𝑒𝑥 cos(2𝑥) − 2𝑒𝑥 cos(2𝑥) + 4𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

+ 5𝑒𝑥 cos(2𝑥) = 0

0 = 0

Primera derivada

𝒚 = 𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)

𝑦´ = 2𝑒𝑥 cos(2𝑥) + 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

Segunda derivada

𝑦´´ = 2{𝑒𝑥 cos(2𝑥) − 2𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥)} + {2𝑒𝑥 cos(2𝑥) + 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥)}

𝑦´´ = 4𝑒𝑥 cos(2𝑥) − 3𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

Reemplazamos

𝑦 = 𝑐1𝑒𝑥 cos(2𝑥) + 𝑐2𝑒

𝑥𝑠𝑒𝑛(2𝑥)


ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN

SUPERIOR

REDUCCIÓN DE ORDEN

𝒚′′ + 𝑷(𝒙)𝒚′ +𝑸(𝒙)𝒚 = 𝟎

Esta ecuación tiene que ser:

1.- homogénea

2.- Es de 2do orden

3.- Posee Q(x) y P(x)

𝑌2(𝑥) = 𝑌1(𝑥)∫𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥

𝑌21(𝑥)∙ 𝑑𝑥

𝑦′′ + 𝑃(𝑥)𝑦′ +𝑄(𝑥)𝑦 = 0

Ecuación:



EJERCICIO 4.2

Ejercicio # 1

La función indicada y1(x) es una solución de la ecuación diferencial dada. Use la

reducción de orden o la formula. Como se indica para encontrar una segunda solución

y2(x).

𝒚′′ − 𝟒𝒚′ + 𝟒𝒚 = 𝟎 ; 𝒚𝟏(𝒙) = 𝒆𝟐𝒙

𝑃(𝑥) = −4

= 𝒆−∫𝑷(𝒙)𝒅𝒙

= 𝒆∫𝟒∙𝒅𝒙 = 𝒆𝟒𝒙

Reemplazamos:

𝒀𝟐(𝒙) = 𝒀𝟏(𝒙)∫𝒆−∫𝑷(𝒙)𝒅𝒙

𝒀𝟐𝟏(𝒙)∙ 𝒅𝒙

𝑌2(𝑥) = 𝑒2𝑥∫𝑒4𝑥

𝑒4𝑥∙ 𝑑𝑥

𝑌2(𝑥) = 𝑒2𝑥∫𝑑𝑥

𝒀𝟐(𝒙) = 𝒆𝟐𝒙 ∙ 𝒙

Comprobamos si se iguala las soluciones:

𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒚𝟏(𝒙) = 𝒆𝟐𝒙:

𝒚𝟏′(𝒙) = 𝟐 ∙ 𝒆𝟐𝒙

𝒚′′𝟏(𝒙) = 𝟒 ∙ 𝒆𝟐𝒙

Reemplazamos:

𝒚′′ − 𝟒𝒚′ + 𝟒𝒚 = 𝟎

𝟒 ∙ 𝒆𝟐𝒙 − 𝟒{𝟐 ∙ 𝒆𝟐𝒙} + 𝟒{𝒆𝟐𝒙} = 𝟎

4 ∙ 𝑒2𝑥 − 8𝑒2𝑥 + 4𝑒2𝑥 = 0

𝟎 = 𝟎

𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒚𝟐(𝒙) = 𝒆𝟐𝒙 ∙ 𝒙 ∶



𝑦2′(𝑥) = 2𝑒2𝑥 ∙ 𝑥 + 𝑒2𝑥

𝑦′′2

(𝑥) = 2{2𝑒2𝑥 ∙ 𝑥 + 𝑒2𝑥} + 2𝑒2𝑥

𝒚′′𝟐

(𝒙) = 𝟒𝒆𝟐𝒙 ∙ 𝒙 + 𝟒𝒆𝟐𝒙

Reemplazamos:

𝒚′′ − 𝟒𝒚′ + 𝟒𝒚 = 𝟎

4𝑒2𝑥 ∙ 𝑥 + 4𝑒2𝑥 − 4{2𝑒2𝑥 ∙ 𝑥 + 𝑒2𝑥} + 4{𝑒2𝑥 ∙ 𝑥} = 0

4𝑒2𝑥 ∙ 𝑥 + 4𝑒2𝑥 − 8𝑒2𝑥 ∙ 𝑥 − 4𝑒2𝑥 + 4𝑒2𝑥 ∙ 𝑥 = 0

𝟎 = 𝟎

𝒚𝒈 = 𝑪𝟏𝒆𝟐𝒙 + 𝑪𝟐𝒆

𝟐𝒙 ∙ 𝒙

Ejercicio # 2



y2(x).

𝒚′′ + 𝟐𝒚′ + 𝒚 = 𝟎 ; 𝒚𝟏(𝒙) = 𝒙 ∙ 𝒆−𝒙

𝑃(𝑥) = 2


= 𝒆−∫𝟐𝒅𝒙 = 𝒆−𝟐𝒙

Reemplazamos:

𝒀𝟐(𝒙) = 𝒀𝟏(𝒙)∫𝒆−∫𝑷(𝒙)𝒅𝒙


𝑌2(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑒−𝑥∫𝑒−2𝑥

𝑥2 ∙ 𝑒−2𝑥∙ 𝑑𝑥

𝑌2(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑒−𝑥∫1

𝑥2𝑑𝑥

𝑌2(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑒−𝑥∫𝑥−1 𝑑𝑥



𝑌2(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑒−𝑥 ∙

𝑥−1

−1𝑑𝑥

𝑌2(𝑥) = −𝑥 ∙ 𝑒−𝑥 ∙1

𝑥

𝒀𝟐(𝒙) = −𝒆−𝒙

Comprobamos si se iguala la solución:

𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒚𝟐(𝒙) = −𝒆−𝒙:

𝒚𝟐′(𝒙) = 𝒆−𝒙

𝒚′′𝟐(𝒙) = −𝒆−𝒙

Reemplazamos:

𝒚′′ + 𝟐𝒚′ + 𝒚 = 𝟎

−𝑒−𝑥 + 2{𝑒−𝑥} − 𝑒−𝑥 = 0

−𝑒−𝑥 + 2𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑥 = 0

𝟎 = 𝟎

𝒚𝒈 = 𝑪𝟏𝒙 ∙ 𝒆−𝒙 + 𝑪𝟐𝒆

−𝒙

Ejercicio # 11



y2(x).

𝒙𝒚′′ + 𝒚′ = 𝟎 ; 𝒚𝟏(𝒙) = 𝒍𝒏(𝒙)

𝒚′′ +𝟏

𝒙𝒚′ = 𝟎

𝑃(𝑥) =1

𝑥




= 𝒆−∫𝟏𝒙𝒅𝒙 = 𝒆−𝒍𝒏(𝒙) = 𝒙−𝟏 =

𝟏

𝒙

Reemplazamos:

𝒀𝟐(𝒙) = 𝒀𝟏(𝒙)∫𝒆−∫𝑷(𝒙)𝒅𝒙


𝑌2(𝑥) = ln(𝑥)∫ {1

𝑥∙

1

{ln(𝑥)}2} 𝑑𝑥

𝑣 = ln(𝑥)

𝑑𝑣 =1

𝑥∙ 𝑑𝑥

𝑌2(𝑥) = ln(𝑥)∫𝑑𝑣

𝑣2

𝑌2(𝑥) = ln(𝑥) ∙𝑣−1

−1

𝑌2(𝑥) = − ln(𝑥) ∙1

ln(𝑥)

𝒀𝟐(𝒙) = −𝟏

𝒚𝒈 = 𝑪𝟏𝒍𝒏(𝒙) + 𝑪𝟐 − 𝟏

Miércoles 16 de Diciembre del 2015

Ejercicio # 13



y2(x).



𝒙𝟐𝒚′′ − 𝒙𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝟎 ; 𝒚𝟏 = 𝒙𝑺𝒆𝒏(𝒍𝒏𝒙)

𝒚′′ −𝟏

𝒙𝒚′ +

𝟐

𝒙𝟐𝒚 = 𝟎

𝑃(𝑥) = −1

𝑥


= 𝒆∫𝟏𝒙𝒅𝒙 = 𝒆𝑳𝒏(𝒙) = 𝒙

Reemplazamos:

𝒀𝟐(𝒙) = 𝒀𝟏(𝒙)∫𝒆−∫𝑷(𝒙)𝒅𝒙


𝑌2(𝑥) = 𝑥𝑆𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)∫𝑥

𝑥2𝑆𝑒𝑛2(𝑙𝑛𝑥)∙ 𝑑𝑥

𝑌2(𝑥) = 𝑥𝑆𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)∫1

𝑥 ∙ 𝑆𝑒𝑛2(𝑙𝑛𝑥)∙ 𝑑𝑥

𝑣 = 𝐿𝑛(𝑥)

𝑑𝑣 =1

𝑥

𝑌2(𝑥) = 𝑥𝑆𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)∫1

𝑆𝑒𝑛2(𝑣)∙ 𝑑𝑣

𝑌2(𝑥) = 𝑥𝑆𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)∫ csc2(𝑣) ∙ 𝑑𝑣

𝑌2(𝑥) = −𝑥𝑆𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) ∙ 𝑐𝑡𝑔(ln(𝑥))

𝑌2(𝑥) = −𝑥𝑆𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) ∙𝐶𝑜𝑠(ln(𝑥))

𝑆𝑒𝑛(ln(𝑥))

𝒀𝟐(𝒙) = −𝒙 ∙ 𝑪𝒐𝒔(𝐥𝐧(𝒙))

Comprobamos si se iguala la solución:

𝑫𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒀𝟐(𝒙) = −𝒙 ∙ 𝑪𝒐𝒔(𝐥𝐧(𝒙))

𝑦2′(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑆𝑒𝑛(ln(𝑥))

1

𝑥− 𝐶𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥)



𝑦2′(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(ln(𝑥)) − 𝐶𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥)

𝒚′′𝟐(𝒙) = 𝑪𝒐𝒔(𝐥𝐧(𝒙))

𝟏

𝒙+ 𝑺𝒆𝒏(𝒍𝒏𝒙)

𝟏

𝒙

Reemplazamos:

𝒚′′ −𝟏

𝒙𝒚′ +

𝟐

𝒙𝟐𝒚 = 𝟎

𝐶𝑜𝑠(𝑙𝑛(𝑥))1

𝑥+ 𝑆𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)

1

𝑥 −1

𝑥{𝑆𝑒𝑛(ln(𝑥)) − 𝐶𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) } +

2

𝑥2{−𝑥 ∙ 𝐶𝑜𝑠(ln(𝑥))} = 0

𝐶𝑜𝑠(𝑙𝑛(𝑥))1

𝑥+ 𝑆𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)

1

𝑥 −1

𝑥𝑆𝑒𝑛(ln(𝑥)) +

1

𝑥𝐶𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) −

2

𝑥∙ 𝐶𝑜𝑠(ln(𝑥)) = 𝟎

𝟎 = 𝟎

𝒚𝒈 = 𝑪𝟏𝒙𝑺𝒆𝒏(𝒍𝒏𝒙) + 𝑪𝟐 − 𝒙 ∙ 𝑪𝒐𝒔(𝒍𝒏 (𝒙) )

ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN.

Caso1: Las raíces son reales y distintas. 𝑚1 ≠ 𝑚2

Caso2: Las raíces son reales e iguales. 𝑚1 = 𝑚2

Caso3: Las raíces son imaginarias… (Euler)

Se usara la siguiente formula:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 0

5𝑚2 + 4𝑚 + 3

𝑚1;2 =−4 ±√16 − 4(5)(3)

2(5)

𝑚1;2 =−4 ± √−44

10



𝑚1;2 =−4 ± 2√11𝑖

10

𝑚1 = −2

5+√11𝑖

5

𝑚2 = −2

5−√11𝑖

5


Caso1:

𝑦1(𝑥) = 𝑒𝑚1𝑥 𝑦2(𝑥) = 𝑒

𝑚2𝑥

Caso2:

𝑦1(𝑥) = 𝑒𝑚1𝑥 𝑦2(𝑥) = 𝑥𝑒𝑚2𝑥

Caso3:

𝑦1(𝑥) = 𝑒∝𝑥 cos(𝛽𝑥) 𝑦2(𝑥) = 𝑒∝𝑥 sin(𝛽𝑥)

Caso1:

𝑦𝑔 = 𝐶1𝑒𝑚1𝑥 + 𝐶2𝑒

𝑚2𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛

Caso2:

𝑦𝑔 = 𝐶1𝑒𝑚1𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒

𝑚2𝑥

Caso3:

𝑦𝑔 = 𝐶1𝑒∝𝑥 cos(𝛽𝑥) + 𝐶2𝑒

∝𝑥 sin(𝛽𝑥)



EJERCICIO 4.3

Ejercicio # 3

Obtenga la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden dada.

𝒚′′ − 𝒚′ − 𝟔𝒚 = 𝟎

𝑚2 −𝑚 − 6 = 0

(𝑚1 − 3)(𝑚2 + 2) = 0

𝑚1 − 3 = 0 𝑚1 = 3

𝑚2 + 2 = 0 𝑚2 = −2

𝑦1(𝑥) = 𝑒3𝑥 𝑦2(𝑥) = 𝑒−3𝑥

𝑦1(𝑥) = 𝑒3𝑥

𝑦′1(𝑥) = 3𝑒3𝑥

𝑦′′1(𝑥) = 9𝑒3𝑥

𝒚′′ − 𝒚′ − 𝟔𝒚 = 𝟎

9𝑒3𝑥 − 3𝑒3𝑥 − 𝟔𝑒3𝑥 = 𝟎

0 = 𝟎

𝑦2(𝑥) = 𝑒−2𝑥

𝑦′2(𝑥) = −2𝑒−2𝑥

𝑦′′2(𝑥) = 4𝑒−2𝑥

𝒚′′ − 𝒚′ − 𝟔𝒚 = 𝟎

4𝑒−2𝑥 − (−2𝑒−2𝑥) − 𝟔𝑒−2𝑥 = 𝟎

4𝑒−2𝑥+2𝑒−2𝑥 − 𝟔𝑒−2𝑥 = 𝟎

0 = 𝟎



Ejercicio # 4


𝒚′′ − 𝟑𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝟎

𝑚2 − 3𝑚 + 2 = 0

(𝑚1 − 2)(𝑚2 − 1) = 0

𝑚1 − 2 = 0 𝑚1 = 2

𝑚2 − 1 = 0 𝑚2 = 1

𝑦1(𝑥) = 𝑒2𝑥 𝑦2(𝑥) = 𝑒1𝑥

𝑦1(𝑥) = 𝑒2𝑥

𝑦′1(𝑥) = 2𝑒2𝑥

𝑦′′1(𝑥) = 4𝑒2𝑥

𝒚′′ − 𝟑𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝟎

4𝑒2𝑥 − (𝟑)2𝑒2𝑥 + (𝟐)𝑒2𝑥 = 𝟎

4𝑒2𝑥 − 6𝑒2𝑥 + 𝟐𝑒2𝑥 = 𝟎

0 = 𝟎

𝑦2(𝑥) = 𝑒𝑥

𝑦′2(𝑥) = 𝑒𝑥

𝑦′′2(𝑥) = 𝑒𝑥

𝒚′′ − 𝟑𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝟎

𝑒𝑥 − (𝟑)𝑒𝑥 + (𝟐)𝑒𝑥 = 𝟎

𝑒𝑥 − 3𝑒𝑥 + 𝟐𝑒𝑥 = 𝟎

0 = 𝟎



Ejercicio # 6


𝒚′′ − 𝟏𝟎𝒚′ + 𝟐𝟓𝒚 = 𝟎

𝑚2 − 10𝑚 + 25 = 0 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜

𝑚 2 5 = 0

(𝑚 − 5)2 = 0

(𝑚1 − 5)(𝑚2 − 5) = 0

𝑚1 − 5 = 0 𝑚1 = 5

𝑚2 − 5 = 0 𝑚2 = 5

𝑦1(𝑥) = 𝑒5𝑥 𝑦2(𝑥) = 𝑥𝑒5𝑥

𝑦1(𝑥) = 𝑒5𝑥

𝑦′1(𝑥) = 5𝑒5𝑥

𝑦′′1(𝑥) = 25𝑒2𝑥

𝒚′′ − 𝟏𝟎𝒚′ + 𝟐𝟓𝒚 = 𝟎

25𝑒2𝑥 − 𝟏𝟎(5𝑒5𝑥) + 𝟐𝟓𝑒5𝑥 = 𝟎

25𝑒2𝑥 − 50𝑒5𝑥 + 𝟐𝟓𝑒5𝑥 = 𝟎

0 = 𝟎

𝑦2(𝑥) = 𝑥𝑒5𝑥

𝑦′2(𝑥) = 5𝑥𝑒𝑥

𝑦′′2(𝑥) = 25𝑥𝑒𝑥

𝒚′′ − 𝟏𝟎𝒚′ + 𝟐𝟓𝒚 = 𝟎

25𝑥𝑒𝑥 − 𝟏𝟎(5𝑥𝑒𝑥) + 𝟐𝟓𝑥𝑒5𝑥 = 𝟎

25𝑥𝑒𝑥 − 50𝑥𝑒𝑥 + 𝟐𝟓𝑥𝑒5𝑥 = 𝟎

0 = 𝟎



Miércoles 6 de Enero del 2016

Resolución de la prueba correspondiente al crédito 3 y 4

aplicando ecuaciones diferenciales a circuitos eléctricos

Ejercicio # 1

𝐸(𝑡) = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐿

𝐸(𝑡) = 𝑖. 𝑅 + 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝑖. 𝑅 + 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡= 𝐸(𝑡)

𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 𝑖. 𝑅 = 𝐸(𝑡)

𝑑𝑖

𝑑𝑡+𝑅

𝐿𝑖 =

1

𝐿𝐸(𝑡)

𝑃(𝑡) =𝑅

𝐿

𝑒∫𝑃(𝑡)𝑑𝑡 ⇒ 𝑒∫𝑅𝐿𝑑𝑡 ⇒ 𝑒∫

11𝑑𝑡 ⇒ 𝑒∫𝑑𝑡 ⇒ 𝒆𝒕

𝑑𝑖

𝑑𝑡+𝑅

𝐿𝑖 =

1

𝐿𝐸(𝑡)

𝒆𝒕𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 𝒆𝒕

1

1𝑖 = 𝒆𝒕

1

1𝐸(𝑡)

𝒆𝒕𝑑𝑖

𝑑𝑡+ 𝒆𝒕𝑖 = 𝒆𝒕𝐸(𝑡)

𝑖(0) = 𝑜

2𝑡 0 < 𝑡 ≥ 0,35

𝑒−𝑡 𝑡 > 0,35 𝐸(𝑡) =



𝒆𝒕𝑖 = ∫𝒆𝒕. 𝐸(𝑡). 𝑑𝑡

Remplazamos en 𝐸(𝑡) 𝐸(𝑡) = 2𝑡

𝒆𝒕𝑖 = ∫𝒆𝒕. 2𝑡. 𝑑𝑡

𝒆𝒕𝑖 = 2∫𝒆𝒕. 𝑡. 𝑑𝑡

𝒆𝒕𝑖 = 2{𝒕𝒆𝒕 − 𝒆𝒕 + 𝑪}

solución general 𝒆𝒕𝑖 = 2𝒕𝒆𝒕 − 2𝒆𝒕 + 𝑪𝟏

Remplazamos el 𝑃𝑉𝐼 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖(0) = 0

𝑒𝑡0 = 20𝑒0 − 2𝑒0 + 𝐶1 =

−2.1 + 𝐶1 =

𝐶1 = 2

Remplazamos 𝐶1 en la solución general despejando 𝑖

𝒆𝒕𝑖 = 2𝒕𝒆𝒕 − 2𝒆𝒕 + 2

𝑖 =2𝒕𝒆𝒕

𝒆𝒕−2𝒆𝒕

𝒆𝒕+𝟐

𝒆𝒕

𝑖(𝑡) = 2𝑡 − 𝟐 +𝟐

𝒆𝒕

𝑖(𝑡) = 2𝑡 − 𝟐 +𝟐

𝒆𝒕 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒊𝒏𝒚𝒆𝒄𝒕𝒂𝒎𝒐𝒔 𝑬(𝒕) = 𝟐𝒕

Remplazamos cuando 𝑡 = 0,35

𝑖(0,35) = 2(0,35) − 𝟐 +𝟐

𝒆0,35

𝑖(0,35) = 2(0,35) − 𝟐 + 𝟏. 𝟒𝟎𝟗𝟑

𝑖(0,35) = 0,1093𝐴

𝑢 = 𝑡

𝑑𝑢 = 𝑑𝑡

𝑑𝑣 = 𝑒𝑡𝑑𝑡

𝑣 = ∫𝑒𝑡𝑑𝑡

𝑣 = 𝑒𝑡

𝒆𝒕𝑖 = 2∫𝒆𝒕. 𝑡. 𝑑𝑡

𝑢 . 𝑣 − ∫𝑣 𝑑𝑢

𝑡 . 𝑒𝑡 −∫𝑒𝑡 𝑑𝑡

𝐯 = 𝒕𝒆𝒕 − 𝒆𝒕 + 𝑪

Integración por partes



𝒆𝒕𝑖 = ∫𝒆𝒕. 𝐸(𝑡). 𝑑𝑡

Remplazamos en 𝐸(𝑡) 𝐸(𝑡) = 𝑒−𝑡

𝒆𝒕𝑖 = ∫𝒆𝒕. 𝑒−𝑡 . 𝑑𝑡

𝒆𝒕𝑖 = ∫𝒆𝒕−𝒕𝑑𝑡

𝒆𝒕𝑖 = ∫𝒆𝟎𝑑𝑡

𝒆𝒕𝑖 = ∫𝟏𝑑𝑡

solución general 𝒆𝒕𝑖 = 𝑡 + 𝐶2

Despejamos 𝐶2 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙

𝐶2 = 𝒆𝒕. 𝑖 − 𝑡

Remplazamos cuando 𝑖(0,35) = 0,1093𝐴

𝐶2 = 𝒆𝟎.𝟑𝟓. 0,1093𝐴 − 0,35

𝐶2 = −0,195𝐴

solución general 𝒆𝒕𝑖 = 𝑡 + 𝐶2

𝑖(𝑡) =𝑡

𝒆𝒕+𝐶2𝒆𝒕

𝑖(𝑡) =𝑡

𝒆𝒕+0,195

𝒆𝒕

𝑖(𝑡) =𝑡

𝒆𝒕+0,195

𝒆𝒕 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒊𝒏𝒚𝒆𝒄𝒕𝒂𝒎𝒐𝒔 𝑬(𝒕) = 𝒆−𝒕

𝑖(𝑡) = 2𝑡 − 𝟐 +𝟐

𝒆𝒕 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟎. 𝟑𝟓

𝑖(𝑡) =𝑡

𝒆𝒕+0,195

𝒆𝒕 𝒕 ≥ 𝟎. 𝟑𝟓



Ejercicio # 2

𝟔𝒚′′ + 𝒚′ − 𝒚 = 𝟎 ; 𝑦1(𝑥) = 𝑒𝑥3

𝑦′′ +1

6𝑦′ −

1

6𝑦 = 0

𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒−𝑥6

𝑦2(𝑥) = 𝑦1(𝑥) ∫𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥

[𝑦1]2𝑑𝑥

𝑦2(𝑥) = 𝑒𝑥3∫

𝑒−𝑥6

[𝑒𝑥3]2 𝑑𝑥

𝑦2(𝑥) = 𝑒𝑥3∫

𝑒−𝑥6

𝑒2𝑥3

𝑑𝑥

𝑦2(𝑥) = 𝑒𝑥3∫[𝑒−

𝑥6−2𝑥3 ] 𝑑𝑥

𝑦2(𝑥) = 𝑒𝑥3∫𝑒−

5𝑥6 𝑑𝑥

𝑦2(𝑥) = 𝑒𝑥3∫𝑒−

5𝑥6 .

𝑑𝑣

−56

𝑦2(𝑥) = 𝑒𝑥3 (−

6

5)∫𝑒−

5𝑥6 .

𝑦2(𝑥) = −6

5𝑒𝑥3. 𝑒−

5𝑥6 .

𝑦2(𝑥) = −6

5𝑒𝑥3−5𝑥6

𝑦2(𝑥) = −6

5𝑒−

𝑥2

𝑦𝑔 = 𝑦1 + 𝑦2

𝑦𝑔 = 𝐶1𝑒𝑥3 + 𝐶2

6

5𝑒−

𝑥2


𝑣 =−5𝑥

6

𝑑𝑣 = −5

6 𝑑𝑥

𝑑𝑥 =𝑑𝑣

−56



Jueves 7 de Enero del 2016

SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO HOMOGENEAS

𝑎𝑦′′ − 𝑏𝑦′ + 𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑁𝑜 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎

𝑎𝑚2 − 𝑏𝑚 + 𝑐 = 0 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎

𝒚𝑮 = 𝒚𝑪 + 𝒚𝑷

Superposición

Ejercicio # 3

Resuelva la ecuación diferencial dada usando coeficientes indeterminados.

Para resolver esta Ecuación se resuelve como si fuera una Ecuación Homogénea si la g(x).

𝒚′′ − 𝟏𝟎𝒚′ + 𝟐𝟓𝒚 = 𝟑𝟎𝒙 + 𝟑

𝑦′′ − 10𝑦′ + 25𝑦 = 0

1𝑚2 − 10𝑚 + 25 = 0

𝑚 . 2 . 5 = 0 Trinomio cuadrado perfecto

(𝑚 − 5)2 = 0

𝑚1 = 5 ⇒ 𝑦1=𝑒5𝑥 Solución

𝑚2 = 5 ⇒ 𝑦2=𝑥. 𝑒5𝑥

𝒚𝑪 = 𝑪𝟏𝑒5𝑥 + 𝑪𝟐𝑥. 𝑒

5𝑥

Solución Particular

Solución de la Ecuación Homogénea

g(x) ⇒ E(t)

g(x) ⇒ E(t)



𝒚′′ − 𝟏𝟎𝒚′ + 𝟐𝟓𝒚 = 𝟑𝟎𝒙 + 𝟑

Remplazamos las derivadas la solución particular de prueba 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵 3.

0 − 10(𝐴𝑥 + 0) + 25(𝐴𝑥 + 𝐵) = 30𝑥 + 3

10𝐴𝑥 + 25𝐴𝑥 + 25𝐵 = 30𝑥 + 3

Se agrupan los términos en términos semejantes

1. − 25𝐴 = 30 𝐴 =30

25 ⇒

6

5

2.− 25𝐵 − 10𝐴 = 3

Remplazamos lo que vale A en la segunda ecuación

2.− 25𝐵 − 10(6

5) = 3

2.− 25𝐵 − 12 = 3

2.− 25𝐵 = 3 + 12

2.− 𝐵 =15

25 ⇒

3

5

2.− 𝐵 = 3

5

Sustituimos en la 𝑦𝑝 cuánto vale A y B

𝑦𝑝 = 𝐴𝑥 + 𝐵 3.

𝑦𝑝 =6

5𝑥 +

3

5

𝒚𝒈 = 𝒚𝒄 + 𝒚𝒑

𝒚𝒈 = 𝑪𝟏𝑒5𝑥 + 𝑪𝟐𝑥. 𝑒

5𝑥 +6

5𝑥 +

3

5

𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵 3.

Tabla 4.1 soluciones particulares de prueba

𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐵

𝑦′ = 𝐴𝑥 + 0

𝑦′′ = 0

Derivar dos veces



Ejercicio # 5

Resuelva la ecuación diferencial dada usando coeficientes indeterminados.

𝟏

𝟒𝒚′′ + 𝒚′ + 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝑿

1

4𝑚2 +𝑚 + 1 = 0

½ m 1=0

(1

2𝑚 + 1)

2

= 0

1

2𝑚1 = −1

𝑚1 = −2

𝑚2 = −2

𝒚𝑪 = 𝑪𝟏𝑒−2𝑥 + 𝑪𝟐𝑥. 𝑒

−2𝑥

𝒚𝒑 = 𝑨𝒙𝟐 +𝑩𝒙 + 𝑪

𝑦′𝑝 = 2𝐴𝑥 + 𝐵

𝑦′′𝑝 = 2𝐴

𝟏

𝟒2𝐴 + 2𝐴𝑥 + 𝐵 + 𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒙 + 𝑪

= 𝒙𝟐 − 𝟐𝑿

𝑨𝒙𝟐 + 𝒙(2𝐴 + 𝐵) +𝟏

𝟐𝐴 + 𝑩 + 𝑪

= 𝒙𝟐 − 𝟐𝑿

𝐴 = 1

2𝐴 + 𝐵 = −2

1

2𝐴 + 𝐵 + +𝐶 = 0

𝐵 = −4

𝐶 =7

2

Sustituimos en la 𝑦𝑝 cuánto vale A, B y C

𝒚𝒑 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 +𝟕

𝟐

𝒚𝒈 = 𝒚𝒄 + 𝒚𝒑

𝒚𝒈 = 𝑪𝟏𝑒−2𝑥 + 𝑪𝟐𝑥. 𝑒

−2𝑥 + 𝑥2 − 4𝑥 +7

2



RECOMENDACIONES Manejar eficientemente las técnicas de derivación e integración

CONCLUSIÓN De acuerdo con la metodología realizadas se concluye que para resolver

una ecuación diferencial de primer grado en esencia se trabaja con el

método de separación de variables y la ecuación lineal y para las

ecuaciones de segundo grado se trabaja con el de coeficientes constantes

para el caso homogéneo y el de coeficientes indeterminados para el caso

no-homogéneo.



𝒇(𝑿) =𝒍𝒏𝒙

𝒙 + 𝟏 𝑷(𝑿) =

1

𝑥 + 1

ANEXOS En el problemas 29 resuelva el problema con valores iniciales. Indique el intervalo I más largo en el

que está definida la solución.

Ejercicio #29

(𝒙 + 𝟏)𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 𝒚(𝟏) = 𝟏𝟎

𝒅𝒚

𝒅𝒙+

𝟏

𝒙 + 𝟏𝒚 =

𝒍𝒏𝒙

𝒙 + 𝟏 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑨 𝑬𝑺𝑻𝑨𝑵𝑫𝑨𝑹

𝑭𝑰 = 𝑒1 𝑥+1⁄ = 𝑒∫1 𝑥+1𝑑𝑥⁄ = 𝑒ln(𝑥+1) = 𝑥 + 1

𝑭𝑰 = 𝑥 + 1

(𝑥 + 1)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ (𝑥 + 1)

1

𝑥 + 1𝑦 = (𝑥 + 1)

𝑙𝑛 𝑥

𝑥 + 1

(𝑥 + 1)𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥

(𝒙 + 𝟏)𝒚 = ∫ 𝑙𝑛 𝑥 . 𝑑𝑥

(𝒙 + 𝟏)𝒚 = xln 𝑥 − 𝑥 + 𝐶 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑎𝑠𝑡𝑖𝑓𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙

(𝒙 + 𝟏)𝒚 = xln 𝑥 − 𝑥 + 𝑐

𝒚 =xln 𝑥

𝑥 + 1−

𝑥

𝑥 + 1+

𝐶

𝑥 + 1 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰𝑶𝑵 𝑮𝑬𝑵𝑬𝑹𝑨𝑳 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒚(𝟏) = 𝟏𝟎

𝟏𝟎 =1ln 1

1 + 1−

1

1 + 1+

𝐶

1 + 1

𝟏𝟎 =1ln 1

2−1

2+𝐶

2

𝟏𝟎 =1ln 1 − 1 + 𝐶

2

∫𝑙𝑛 𝑥 . 𝑑𝑥

∫𝑢. 𝑑𝑢 = 𝑢. 𝑣 − ∫𝑣. 𝑑𝑢

𝑢 = ln 𝑥 𝑑𝑢 =1

𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥

∫ 𝑙𝑛 𝑥 . 𝑑𝑥 = ln 𝑥 (𝑥) − ∫𝑥 .1

𝑥𝑑𝑥

∫𝑙𝑛 𝑥 . 𝑑𝑥 = xln 𝑥 − ∫𝑥 .1

𝑥𝑑𝑥

∫𝑙𝑛 𝑥 . 𝑑𝑥 = xln 𝑥 − ∫𝑑𝑥

∫ 𝑙𝑛 𝑥 . 𝑑𝑥 = xln 𝑥 − 𝑥 + 𝐶

Resolvemos la integración por parte



𝟐 ∗ 𝟏𝟎 = 1ln 1 − 1 + 𝐶

𝟐𝟎 + 𝟏 = ln11 + 𝐶

𝟐𝟏 = 0 + 𝐶

𝑪 = 21

𝒚 =𝑥𝑙𝑛 𝑥

𝑥 + 1−

𝑥

𝑥 + 1+

𝑪

𝑥 + 1

En el problemas 34 proceda como en el ejemplo 6 para resolver el problema con valores iniciales

dado. Utilice un programa de graficación para trazar la función continua y(x).

Ejercicio #34

(𝟏 + 𝒙𝟐)𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝟐𝒙𝒚 = 𝒇(𝒙) , 𝒚(𝟎) = 𝟎

𝒚 =𝑥𝑙𝑛 𝑥

𝑥 + 1−

𝑥

𝑥 + 1+

𝟐𝟏

𝑥 + 1

𝒚 =𝑥𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥 + 𝟐𝟏

(𝒙 + 𝟏) 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰𝑶𝑵 𝑷𝑨𝑹𝑻𝑰𝑪𝑼𝑳𝑨𝑹

(𝒙 + 𝟏)𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒚 = 𝒍𝒏𝒙 , 𝒚(𝟏) = 𝟏𝟎

𝒚 =𝑥𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥 + 𝟐𝟏

(𝒙 + 𝟏) 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰𝑶𝑵 𝑷𝑨𝑹𝑻𝑰𝑪𝑼𝑳𝑨𝑹

Por lo tanto el PVI

Solución

Intervalo

0 x

Dominio

(0,)



𝒇(𝑿) =𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐 𝑷(𝑿) =

𝟐𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐

𝒇(𝒙) = 𝒙 𝒇(𝒙) = {𝒙, 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟏

−𝒙, 𝒙 ≥ 𝟏

Cuando f(x)=x

𝒅𝒚

𝒅𝒙+

𝟐𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐𝒚 =

𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑨 𝑬𝑺𝑻𝑨𝑵𝑫𝑨𝑹

𝑭𝑰 = 𝑒2𝑥 1+𝑥2⁄ = 𝑒∫ 2𝑥 1+𝑥2𝑑𝑥⁄ = 𝑒ln(1+𝑥2) = 1 + 𝑥2

𝑭𝑰 = 1 + 𝑥2

(1 + 𝑥2)𝒅𝒚

𝒅𝒙+ (1 + 𝑥2)

𝟐𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐𝒚 = (1 + 𝑥2)

𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐

(1 + 𝑥2)𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝟐𝒙𝒚 = 𝒙

(1 + 𝑥2)𝒚 = ∫𝒙 . 𝒅𝒙

(1 + 𝑥2)𝒚𝟐 =𝒙𝟐

𝟐+ 𝑪𝟏

𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑎𝑠𝑡𝑖𝑓𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙

𝒚𝟏 =𝒙𝟐

𝟐(1 + 𝑥2)+

𝑪𝟏(1 + 𝑥2)

𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰𝑶𝑵 𝑮𝑬𝑵𝑬𝑹𝑨𝑳, 𝒚(𝟎) = 𝟎

𝟎 =(𝟎)𝟐

𝟐(1 + (0)2)+

𝑪𝟏(1 + (0)2)

𝟎 =𝟎

𝟐+𝑪𝟏1

𝑪𝟏 = 𝟎(𝟏)

𝑪𝟏 = 𝟎

𝒚𝟏 =𝒙𝟐

𝟐(1 + 𝑥2)+

𝑪𝟏(1 + 𝑥2)

𝒚𝟏 =𝒙𝟐

𝟐(1 + 𝑥2)+

𝟎

(1 + 𝑥2)

∫𝟐𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐. 𝑑𝑥

𝑢 = 𝟏 + 𝒙𝟐 𝑑𝑢 = 0 + 2𝑥. 𝑑𝑥

𝑑𝑥 =𝑑𝑢

2𝑥

∫𝟐𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐. 𝑑𝑥 = ∫

𝟐𝒙

𝒖.𝑑𝑢

2𝑥

∫𝟐𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐. 𝑑𝑥 = ∫

𝑑𝑢

𝒖.

∫𝟐𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐. 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝒖

∫𝟐𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐. 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛(1 + 𝑥2)

Resolvemos la integración por cambio

de variable



𝒇(𝑿) =−𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐 𝑷(𝑿) =

𝟐𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐

Cuando f(x)=-x

𝒅𝒚

𝒅𝒙+

𝟐𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐𝒚 =

−𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐 𝑭𝑶𝑹𝑴𝑨 𝑬𝑺𝑻𝑨𝑵𝑫𝑨𝑹

𝑭𝑰 = 𝑒2𝑥 1+𝑥2⁄ = 𝑒∫ 2𝑥 1+𝑥2𝑑𝑥⁄ = 𝑒ln(1+𝑥2) = 1 + 𝑥2

𝑭𝑰 = 1 + 𝑥2

(1 + 𝑥2)𝒅𝒚

𝒅𝒙+ (1 + 𝑥2)

𝟐𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐𝒚 = (1 + 𝑥2)

−𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐

(1 + 𝑥2)𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝟐𝒙𝒚 = −𝒙

(1 + 𝑥2)𝒚 = −∫𝒙 . 𝒅𝒙

(1 + 𝑥2)𝒚𝟐 = −𝒙𝟐

𝟐+ 𝑪𝟐

𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑎𝑠𝑡𝑖𝑓𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙

𝒚𝟐 = −𝒙𝟐

𝟐(1 + 𝑥2)+

𝑪𝟐(1 + 𝑥2)

𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰𝑶𝑵 𝑮𝑬𝑵𝑬𝑹𝑨𝑳, 𝒚(𝟎) = 𝟎

A continuación igualamos las soluciones generales

𝒚𝟏 = 𝒚𝟐

𝒙𝟐

𝟐(1 + 𝑥2)= −

𝒙𝟐

𝟐(1 + 𝑥2)+

𝑪𝟐(1 + 𝑥2)

𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒙 = 𝟏

1

2(1 + 1)= −

1

2(1 + 1)+

𝐶2(1 + 1)

1

4= −

1

4+𝐶22

1

4+1

4=𝐶22

𝒚 =𝒙𝟐

𝟐(1 + 𝑥2) 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰𝑶𝑵 𝑷𝑨𝑹𝑻𝑰𝑪𝑼𝑳𝑨𝑹

∫𝟐𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐. 𝑑𝑥

𝑢 = 𝟏 + 𝒙𝟐 𝑑𝑢 = 0 + 2𝑥. 𝑑𝑥

𝑑𝑥 =𝑑𝑢

2𝑥

∫𝟐𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐. 𝑑𝑥 = ∫

𝟐𝒙

𝒖.𝑑𝑢

2𝑥

∫𝟐𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐. 𝑑𝑥 = ∫

𝑑𝑢

𝒖.

∫𝟐𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐. 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝒖

∫𝟐𝒙

𝟏 + 𝒙𝟐. 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛(1 + 𝑥2)

Resolvemos la integración por cambio

de variable



1

2=𝐶22

𝐶22=1

2

𝐶2 = (2)1

2

𝐶2 = 1

𝒚𝟐 = −𝒙𝟐

𝟐(1 + 𝑥2)+

𝑪𝟐(1 + 𝑥2)

𝒇(𝒙) = 𝒙 𝒇(𝒙) =

{

𝒙,

𝒙𝟐

𝟐(1 + 𝑥2) 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟏

−𝒙,= −𝒙𝟐

𝟐(1 + 𝑥2)+

𝟏

(1 + 𝑥2) 𝒙 ≥ 𝟏

𝒚𝟐 = −𝒙𝟐

𝟐(1 + 𝑥2)+

𝟏

(1 + 𝑥2) 𝑺𝑶𝑳𝑼𝑪𝑰𝑶𝑵 𝑷𝑨𝑹𝑻𝑰𝑪𝑼𝑳𝑨𝑹

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