Upload
beemaia
View
23.335
Download
24
Embed Size (px)
Citation preview
DIBUJO
GEOM
ÉTRIC
ODE
SCRI
PTIVA
NORM
ALIZA
CIÓN
DIBUJODIBUJO
TÉCNICOTÉCNICO IIII
EDITORIAL DONOSTIARRA
�����������
M N O N N N
N
N
N
7'
6'
5'
4'
3'
2'
1'
8
7
7
6421
12
2
21
1/2 D
1
6
6
67
7
8 9
9
N
SS
LH P
N
60
60
Ø100
esfera25
o
SOLUCIONARIO
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� �
���������� �����������
� ���������������
����� �����������������
�������������������
������������ ������������������������������������������������������������� �!�"�� ����!� �#�����$�%��� �!���"!�
!##�&���'�(�')��'��*(
����������
����������
������ ��������� ���
������������������������������
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� �
�������������������������������������������������������
Este CD es LA GUÍA para el Profesor, referida al libro de DIBUJO TÉCNICO II - 2º BACHILLERATOde los autores Fco. Javier Rodríguez de Abajo, Víctor Álvarez Bengoa y Joaquín Gonzalo Gonzalo yeditado por Editorial Donostiarra, S.A.
EDITORIAL DONOSTIARRA, S.A.C/Pokopandegi, 4 Barrio Igara - 20018 SAN SEBASTIÁNTels. 943 215 737 / 943 213 011 - Fax. 943 219 521e-mail: [email protected]
Comprende los apartados siguientes:
1. Solucionario de las actividades del libro.2. Solucionario de la Guía del Alumno.3. Proyecto curricular.
1. Solucionario de las actividades del libro
Este solucionario va dirigido a los Profesores que imparten la metria del Dibujo Técnico II de2º curso de Bachillerato con objeto de ayudarles en la resolución de las actividades propuestasen el libro.
Para facilitar la comprensión del proceso de resolución de las actividades se acompaña a lasolución gráfica el texto explicativo de la misma. En algunos casos se indican los fundamentosteóricos en los que se basa su resolución.
Hay algunos temas que por las razones que se indican no se da el solucionario.
• Tema 2: No tiene actividades.
• Tema 6: No tiene actividades.
• Tema 12: No tiene actividades.
• Tema 15: Las actividades resueltas se incluyen en el libro.
• Tema 19: No tiene actividades.
• Tema 20: No tiene actividades.
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� �
����������
������������������� ��������������������������������������������������
��� �������������������������������������� ������������!"��������
�� ���������������������� ������������������������������������!"���������� ������������������������
��� #����������������������$������������������������%��������������������������������������&��������������������
��������������������������������������������
����������������
�����
����������
�������������������������������������������������������������������������'���������������&'���������������(
)� *�������������������������������������������������������������������������������
+� *��������������������������������������������������������
#����)(
��� ������$���������������������������� ������������������������������������������,����������������������������!"���������
�������������������������������������
#����+(
��� �������������������������������������������������������������� �������������������������$�������������%���
�� ������$��������������������������������������������������������������������������������,�����������������-����������
���
��� #����������������������$���������������������������� ����
.�� #����������������������$������������������� �����������������������������������������
/�� 0��������������������$����������������������������������������������������������������������������
1
OP O’≡
B B’
A A’a a’
b b’
1 1’
20 20
o o30’
30’
1
1 1
1 1
2
Or
O’A
1B
A B
b
a
N
N
b’
a’
P r
O’’O’
Pc’
N
b’B’
1’
A’
N
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� �
���������� �
���������������������!"����������������������
��� ��������������������������������$�������������3�����������������������$�������������3�����������������������������
���������������%�����������4�����������
�� ���������������������$�������������������������������������!�����������������������������������
���������� �
��� ��������������������������������$�������������$�������������������������� ��������������������./����������
�� *����������������������������������������������./���������������������������$�
��� &�����������������������������������������������������������������������$�����������������%�.�����������
��������./��
.�� &��������������������������$����������������������������������5��6./��%���/��
1
a AV
dc
2
P
1
b
1
1
1
C
R
Ep
O
m
BA
Q G
r
F
45
45
45
45
135
135
135
o
o
o
o
o
o
o
D
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� �
����������
��� 7�����������������%������ �����
�� #���������������������$��������������������������������%�����
��� #��������%����%�.�/������'��������������������� ���������������������
��������
�������������������������������
�������������(�����������������������������������������������
������������������������$���������������������
���%�.�/����
��� ������� ��������������������������������������� ������������������������$��8������������������,����������
� ���
.�� ���������������� ���������������������������������������������������������������,��
2
���������� �
��� ���$����������������%� �/��������������'��������������������%������ �����
�� 9�����������������������������������0�������'���������������������������������������:�;���������������� ��
��������������������,��������������������3�������������� �������������������������
30
30
3030
o
o
oo
A
c
c
c’’
A’b
A
a = 30 cm
CB
O
2
2
1
1
12
1
b
b
1
3
h =
3 cm
a
D BC
A
b c
m = 2,5 cm
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� �
���������� �
��� 7����������������������%����������%�/���������������������,������������������$���������������������������
����������������%��</�%�5����
�� 0��������������1�������������������=����$����������������������������������� ��������������������������������
������&����������������%���������������������������8������������������� ��� � ��� ��!����! "�"�#���$ "���� "
%���&�%��'
��� 9������������������� ���������������������������������������������
a
D OBC
A
b c
m = 3 cm
h
n = 5 cm
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� �
��� ��
�����
����������
*���������������������(������������������������������������������ ������������������������������������������
����������������������������������������������������$��������������������������������������������������( �%���>���
��������������������%�4.�������%������
�� ����������������������� ��������������������"����������������������������������������������������
� ������$�������������������������������������������������������������������)��������������������������������������
*3���������������*��(��������������������������
a = 64
T
x = 43,7612
BAC
O
b = 30
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� �
����������
&���������������������������������������� ���������
&����������������������������������������������������������������������������"������������������������������ ���������
������������������������������������
&��������������������������������������������������������������������������� �������������������
9���������������������������������������������������������������������������������
*����������������������*����������������������������$������������������������ ����������������������������
�����������������������������������������������
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
��� ������$����������� �������������������������
�
�� 7���������������� ������� ������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������*
��
��� &��������������������������������$��������������������������������������������������������������������������@������
��������
&��!������������������������������������ ���������������������������������������������������������������������������������
� ���������������������������������������������������������������������$��������������������'�����������������
������������������* �������������*
�%�+�
*�����������������8�������������������������������������������������� ��������������������������������������������������
���������������� �
3
r
2
1
2 1
T
P
Q
T
O
O T
Reje radical e
L/2
K
KL/2
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� �
���������� �
&�����������$������������������
�������������������������������������������������������������!��������������
��
���������������
&�����������������������������������������������������������������������"������������������������������ ������������
���������������������������������
&��������������������������������������������������������������������������� �������������������
9���������������������������������������������������������������������������������
*����������������������*����������������������������$������������������������ ����������������������������
�����������������������������������������������
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
��� ������$����������� �������������������������
�
�� 7�������������������$����������������
�������������������������������������������������
��� 7�����������������������������������,�����������������������������������������������������������������
��������������������@���������������������
����������������
����������������������������
.�� &�����������������������������������$����������������&�����������������������������������+���������������������
��������������������������������� �����������������
����!���������������������������������������������
����$������������������������
r
2
2
1
1
O
P
MPN
L/2 L/2
O
TT
O
eje radical e
K
K
o
o
30
30
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� �
���������� �
&�����������������������������������������������������������������������"������������������������������ ������������
���������������������������������
&��������������������������������������������������������������������������� �������������������
9���������������������������������������������������������������������������������
*����������������������*����������������������������$������������������������ ����������������������������
�����������������������������������������������
&��������������������������������������������������������������������������������������������������������������
&��������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������
�����������������������������8������������������������������,������������������������������������������������������������
�����������
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
��� 7����������,�����������������������1����������������������������
�����
=(
����������$����������� �������������������������
�
�� �7����������������������������'���������� ������ ������������������������������������������������
��&���
�������������������������������������������������������������������������!�������
�������8��������������������������������������������������������'����������������������������������������������
�������������������,���������������������������������������������������������������������������������������
�����������������
�
��.�*��������������������������������������������������
��������������������
��
�� 7����������,�������������������� ��1����������������������������
�����
���6����������6=(
���7����������������������������'���������� ������ ������������������������������������������������
����&���
����������������������������������������������������-��.��,�������������!�������
� � ���8�������������������������-.���,������������������������'����������������������������������������������
�������������������,�������������������������&�������������������������������������'������������������������
��������������������������������
����*��������������������������������������������������
����������������������
�
��� &���������������������,����������������������������������
����� �����������������������
���������
K
1
2
Q
P
C
A
O
T’T’
O
O
T
T
CF
ED
M
N
B
1
12
2
3∞
2
1
r
eje radical e
r = e
K
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
&��������������������������������������������������
&�����������������������������������������������������������������������"������������������������������ ������������
���������������������������������
&��������������������������������������������������������������������������� �������������������
9���������������������������������������������������������������������������������
*����������������������*����������������������������$������������������������ ����������������������������
�����������������������������������������������
&��������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������
�����������������������������8������������������������������,������������������������������������������������������������
�����������
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
��� �7����������,�����������������������1����������������������������
�����
�=(
����������$����������� �������������������������
��
�� �7������������������������ ������������������������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������
����&��������������������������������$������������������������������������������������������������������������
��������������������
��
�� 7����������,�������������������� ��1����������������������������
�����
=(
���������$��������������'����������������������������������������������
�����������������������������������!��
�������,�
� �*�������������������$�����������������������������������������������������������������������������
����������
��������� �
��� &���������������������,����������������������������������
����� ��������������������������������������������������
K
2
1
O
O
Q
R
N P M
TT’
T’
C
O
T
3
2
11
2
r
1
2
eje radical e
eje radical e
K
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
7������������������������������ ��(������������!�������������,���������������������������!���������
������������������������������������������������������������/�!��������������
������������������������%�����������������������3��! �%������������������
0������������������������!���������������������������$��������������������������������������������������������
�������*�������� �������������������������������������������������������������"��������������������������&������������
%�!���������������������������������!�$��"������������������!����1A��������������������������������,�=�
�����������������������������������������������������������,������������������������������������������������,�����
�������(
��� 0�������������������!���������������������������������������#������������������������������������������
���������������������������������$���������� ����������������������������������������������������������������
�������������������������0����������������������������������������������&��������������!�������������������
������������������������������������
�� B���������������������������������!��������������$���������������������������������������!������������ �����
�����������������������!"������������������
��� 7�����������������������������������������������������������������������$����������������� ������������������
����������������������������������-������!"�������������������
.�� 9�����������!"��������������������-�� �����������������������
���������C�����������������������������������������,��������������������������������@���������������,����������
�
�
�
�
�
�
�
�
�
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
d + l
P’
Q’
O’
Q
A
l
T
d - l
d
O
d
d +
l
dd
- ll
d/2
d/2
d - l
ld
l
l
d
P’
DO
Q’
C
E
DO
P’
CO’P
Q
A
B
T
Q’l/2
T
B
O’P
Q
A
E
d/2
A C
l
P
����������������������������������� �������������������!��
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
����������
?����������������� �"��������������������������������������������
7������������������������������ ��(������������(�������������,���������������������������(���������
������������������������������������������������������������/�(��������������6!��������������������6�
������������������������%������������������������������3��(�%�������������������������
���8������� ��������������(������������������������������������������,�� ��������������������������������� ��
��(���������������(���"����������!�$��������������������������������������D!��������������������6�
)�����������,��������������������������������������������������������������,��������������(
��� ������$���������������������������� ������������������������(�
�� 0�������������������!����������������������������������#��������������������������������$���������� �������������
�������������������������������������B���������������������������������������������������������(�����
����������������������������������(E �
��� *�������� �����������������������������������������������������������������"��������������������������&���������
������(�����������������������(���"���������!�$��������������������������������������
.�� B�������������������������������������������$���������� ���������������������������������������������������
�����������������������$���������!"���������������������������������������� �����������������������
A
x m - x
m
P
m
m
m - x
m - x
Q’
N
O
Q
A
DN
Q’
O
P
C
rB
m - xx
m
A
Q
P B
m - x
m
x
B
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
F�����"������������������������������������(
��� ������$�����������������������������������������(�
�� 0��������������������$��������������������������������!��������������������������%�����#�������������,�������
���������������������,�������$���������� �������������������������&���������������������������������
���������
��� #������������������(������������������������������
A
x m - x
m
PM
M
d
D
A
N C
P B
x
r
d
m - xx
m
B
N
������������� �
����� ������
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
&�����������������������������������������������������������������������"������������������������������ ������������
����������������������������������9�������������������������������������������������������������������������
����������������������
&��������������������������������������'���������������������������������������������� ��������������������������������
�����������������������������-����������������������������
&�������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������
�����������������������������8������������������������������,������������������������������������������������������������
�����������
*����������������������*����������������������������$����������������������������������������������������������������
���������������������������������
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
��� 7����������������������������������$������������������������������������������������������
���*������������
���������*����*�
���������������������������������������������
�������������G�
�� 7������������������ ����
��������$��������������������������������������������������������
��� �����������������
�����������������������* ��*�
���*
���*�
�����������!�������
��� #�������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������������
KK
B T’
T’
T’
O
90
90
90
90
o
o
o
o
O
O
C
Q
A
F
L/2L/2
N
PM
R
E
T
T
O O
O
T
C
C
D1
2
3
1 2
3
r
2
1
12
3
3
r
�����������
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
��������
�����
����������
��� ������$����������������������������������������� ����
�� #������������������������������������������������������������������������4������ ����������������������������
��������������������
��� 9��������������������������� ������������������������������������
1
B
c = 6
0 m
mb = 60 m
m
C
O
A
32 m
m
a
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
����������
0���������!�������������������8��� ������������������������������(
���,�%��E��,3�����
�1�%��E��13�����
��%��E���
��� ������������������������%�//���3����������������������������$�����������������������%��������
��%��/�
��������!������3��������������������������������������� ��������������������
�� )������������������������������������������� ������:�;���������������!��������������3�������������!���,����������
���������������������!���,��2�������$����������������������������
�� �����������������������,��������
��������������,�
��� 9�������������������������������������������������������������������� ���������������������������
.�� 9��������������������������������������������
���������� �
��� ���$������8����������������%�4����
�� 7���������������������$�������8�����������3�������������������������������������,����������������$�������
8�����������������$�����������������������������������4�����
��� ������$�������������������8����������������������������� /���3�����������������������������������������������
������������������� �����������!"�������������������������������������������
.�� 9���������������������������������!�����������������������������������������������
A1
23
N Bc
AB = 30 BB = 35
M
a
C
30 = 2/3 AM
15 = 1/3 AM
L
bBc
c
c
r
A
c b’ bc’
B C
a = 60 mm
Dos soluciones
O
h =
25 m
m
A’
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
��� ������-�����������������������������������%�4/���������������������������������$������������������������������
%�5��������%�//������������!������3�����������������������������!"��������� ����������������������������
��������
�� B�������������������������������������������$�������������������������������������������������� ������������������
���������������������������������������������������������������������������������������
��� 7���������������������������������������������$������������������������������������������������,�������������������
������������!�����������������
.�� ���$���������������3��������������������$����������������������������������������������,����������������������������
���������������������������������������������������
/�� 7������������������������������������������$������������������������������������������,������������������������������
���������������������������������������������������������������������:,�����;����������
55 mm
65 mm
80 m
mC
B
OP
I
QNcA
n
B
c
c
c
c
C
1
a
Mm
b
R
L
2
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� �
���������� �
���������!�������������$����������������������'������
��� ������������������������ �����������������������������������������������������D�1
�������������������
���������������������������
�� ������������������������������!������������������������/�1�%� /�����������,��0������������,�������$����
����������������������������������������������������,�����������&�����������������������������������������
����������,����/�1�%�5/�D�4��%� /����
A A’≡
C
BB’
N
MD - L =
25
D - L
1
1L
= 60
D = 85
D
D’C’
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
*����������,��������������!������������������������������,����������(
*������ �����4��$��54��$ � "�! "�$��6�#4! "�54��$������!����"�����"�����#4�!��!$4���" ���54�7�!��$�")��4�!54���
� !8# � ����%���!�� "�"���4����� �7��$������4��$��6�#4! ����6�����54�7�!��$�'
��� 7��������������������29:���������!�%�������
�� ���������������������������������������� ��!���������/�,�/�������������������������:�/�,�����/�������
������������/�9�����/�2�������������
��� &������������������������������1��>��=E �� ������������������������������� ��!����������������������������
�������1 ��&������������������������������������������������������������1 �%���>��E 3���-�������������
�����������������������������������������������������������������������������������������1��������������
L
A
1
2
30b
P
D
O
5
a/2
b
C
N34M
a
B
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
����������
0���������!������������!������8�����������������������������������������������������(
H ;��� !8# � ���#4!���� �7�( ��4�!54�����$�����$��$ "�� !8# � "��"$��!!�� "�� � ��<��� "���$�� "���&���� ��"
54��"4���$��� �0���&����� "�� ��%��'
H � ��"��$����7�"� ��"� ���$6# � ���#4!���� �7�( �)�!����$����"�2):�&�! "��<��� "���$�� "����� "�� ��=���� ��"
���2):�" ���!���&��!�2'�>�#<���"$ )��!����$6# � �$������ "��"$��!!�� ")�54��"�� �$������4����� �! "�7?�$���"�����
�����&����2����2'
��� 7����������������������������/������������������������������������������������������
�� ���8������������������������������������������������������$�����������,���������������������,�������$����
��������������������&����������,������������!I�����8����������������������������������������������/�3���
���!��������!���������%�,��������������������@�������I�������
��� #����������������������� ��������������������������!"���������� ���� �������������������������
.�� ���$����������������� ��������������������������!"������������������������!�����������������
1
C 1
2 7
A
6
NO
3
4
D
5
B
M
≡
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
��� 7������������������������������� ����������������������������$����������������������������������������
�� 7�!�����������$���������"�����������������!���,���������������������������������������������������������������
����������/�����������������������������!���������'���������������������������������������������
��� B��������������������������������� �������������������,����������������$���������������������������@A��������
�����������������������������
C
22H
O
A
15 D
B E
1
F
G
Ø120
Ø100
O
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
��������� ����������� ��
�����
����������
#��������������� ���!���(#��������������� ���!���(#��������������� ���!���(#��������������� ���!���(#��������������� ���!���(
&������8�����@�����!�������� ��(
H *���������������������8����,�������������������������������������������������������������������������������������
8�����@��
H *���������������������������� �"���"���������������������������������������������������������������������������������
8�����@��
H *��������������������������������8����,���������@������������������������������������������������������
*�������������������������������������8�����@�����(
H&���������F����������������������������������8����,������������
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
0����������������������8����,�����������������������������������������������������������������������������(
��� 0������������������������������8����,��������������3�����������������,�������������������������������������
�����������9����������������������������������������� �����������������������
�� ���$������������"�1�������������������=������8����,�������1������)�6 �=��������������������� ������������������
�������������������������� ��� �����������
&��������#�����������������������������8�����@��F#������������������&�����������������������������������������
��������#��
�����"������������������������������#��������$�����������������������
L L’
M M’
P P’3 3’
N N’
2 2’
1 1’
r
r’
A’
s
s’ C’
e
B’C
t
t’
A
O
B
≡
≡
≡≡
≡
≡
≡
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
����������
#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���(
&������8�����@�����!�������� ��(
H *���������������������8����,�������������������������������������������������������������������������������������
8�����@��
H *���������������������������� �"���"���������������������������������������������������������������������������������
8�����@��
*�������������������������������������8�����@�����(
H &��������������������������������������������8����,������������
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
0����������������������8����,�����������������������������������������������������������������������������(
���������������������� ����������������������8��,��������0��������(
H 9������������1������"=�8����� ����������������������������&��8��,����������������������������������������
��������������������
H 9��������������1������"�=��&��������������������������������������8�����@������������������"���&�������������
���������������������������������������
�� ���$������������$�1�������������������=������8����,����$��1���������������������=��������������������� ��������
����������������������������������������������������
&��������������������������������������8�����@������������������$���&�����������������������������������������
�����������
�����"���������������������������������������$��������������������8��,��������������������7���7��
1 1’
e
C’s’
A’
B
u’
D’
u D
Ar
B’t
t’r’
v’
v
O
C
s
≡
2 2’≡
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���(
&������8�����@�����!�������� ��(
H *���������������������8����,�������������������������������������������������������������������������������������
8�����@��
H *���������������������������� �"���"���������������������������������������������������������������������������������
8�����@��
H *�����������@������!���!��������������������"���������������������������8��,����������������������������������
H *���������@�����!���������������"�������������8����,������������������������������������������������
H #�������������������� ���������������������@�����!�����������������������������,������������������8��,������������
������������������������������������������������,����������������@�����!��������1�������������������8�����@��
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
7������������������������������������������8����,������������������!"��������������������������������!�������������
��������8�����@������������������������������������������������������8����,������������
0����������������������8����,���������������������������������������������������������������������������������(
��� ����������������������1�������������������=�����������������������1������������,����������������@�����!������
����������,����������������8�����@����
�� 9�������������1�����������������������,��������������������8��,����������0����������������8��,�����������������
������������������������������$��������������������������,��1���������������������������&��8��,���������������������
���������������������������������������
��� &��������������������������������������8�����@����������������������&�����������������������������������������
�����������
.�� &��������������������������������������8�����@����������������������&�����������������������������������������
�����������
/�� &��8��,�������������������������������������������������������������
4�� 9��������������������������������������������������8��,����������������������������
1 1’
1 1’
O
O
d d
d
d
1 2
2
1
H
H
G
GG’
l’
H’
∞
∞
∞
∞
C
C
C’
C’
B
Br
r
r’
r’
B’
B’
A
A
L
L
M
A’
d
d
e
e
A’
l
l
≡
≡
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���(
&������8�����@�����!�������� ��(
H *���������������������8����,�������������������������������������������������������������������������������������
8�����@��
H *���������������������������� �"���"���������������������������������������������������������������������������������
8�����@��
H *�����������@������!���!��������������������"����������������������������8��,����������������������������������
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
7�������������������������������8���������8����,������������������!"��������������������������������!�������������
��������8�����@������������������������������������������������������8����,������������
0����������������������8����,����������������������������������������������������������������������������������(
��� &��������@���������������������@��� �����������������������������������������������������������@��������������
������������8�����@���@������������������������������,��������������������������������������������
�� &��������������8���������������������,���������������������������@�����8����,���������� ������������������������
�������@���&�����������������������������������������
.�� &��������������������������������������8�����@������������������������8��,��������������������&�������������
���������������������������������������
/�� &��������������������������������������8�����@������������������������8��,�����������6�����&����������������
������������������������������������
4�� 9������������������������������������������������������8��,�������������������������������
A A’
2 2’
B
C
D
C’
B’D’
eje
m’
G’
O
1 1’
G
G
∞
∞
≡
≡
≡
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���(
&������8�����@�����!�������� ��(
H *���������������������8����,�������������������������������������������������������������������������������������
8�����@��
H *�����������������������������"���"���������������������������������������������������������������������������������
8�����@��
H &���������8�����@������������������"���������������������������������
H *�����������@������!���!��������������������"����������������������������8��,����������������������������������
H *�����������@�����������������������������������8��,����������������������������������
H #����������������������������������������������� �������������������������8�����@�����������!�����
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
��� 7����������,�������������8�����@������������������(
*���������������8��,������������������������3���������������������������������8�����@����� ��������"���
����������������������� ��������������������������������������������"������������������������������������������
����������,������������������,������������������
�� 7����������,�����������������@�����(
��� ?������@�����!�(
&��8����,��������������@������������������������"��������������������"���������������������������@
���������
�������@���������������������������,��������������������������"�������
*������������������������������$�����������������@����������������@�����!�������������
����?������@�����!(
&��������A��8����,�������A������������������������������"��������������������,������"���������������������
��"��
*������������������������������$�����������������A���������������@�����!������������
&����������������������!����� ������������������������������������������������������@����������������������������
��������������������
1 1’
r r’ e
G
P
P’
G’
Hl
=
= l’
O
G
H’H’
s
s’
∞
∞
∞
∞
≡
≡ ≡
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���(
&����������������,����������������������������@��������8�����@��������������������������������
0�������������������������� ��������������������������������������(
H *��������������������������������������������������������8������������������������������������@������������������
�������,������������������������������,��������������
H *���������������������������� �"���"�������������������������������� ������������������������������������������������
���������
H &������������������-���������������������������������������*���������������������������������������"������������
����������0����������$,��������������������������������������������,��������������@������ �����������������
7����� �����������������������(
&��������������������������������������
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
7���������������������������������������������������������@�����������������������������,����������������� ����������
��������������������������������
0����8�����������������@����������������������������������������������������������������(
��� 9���������������������������������������������������������,����������������
�� &��������������@����������������������8������������������������"���������������������������,������������������������
������������@�������� ����������������������������������������������������������
��� &��������#�����@������������������#�����8������������������������"���������������))����������,���������������������
���������������@�������� ������������#���7���������������������������������� ��� ��
.�� &��������7�����@����������������7�����8������������������������"���������������))����������,������������������������
������������@�������� ������������#���7���������������������������������� ��� ��
/�� 9���������������������������)���+���#����7�����������������������)�+�#�7�����@�������������)+#7�
1 1’
2 2’
D
A A’
D’
ed
C’
B’C
B
s’
sr r’
≡
≡
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� �
����������
#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���(
&����������������,����������������������������@��������8�����@��������������������������������
0�������������������������� ��������������������������������������(
H *��������������������������������������������������������8������������������������������������@������������������
�������,������������������������������,��������������
H *�����������������������������"���"�������������������������������� ������������������������������������������������
���������
H &������������������-���������������������������������������*���������������������������������������"������������
����������0��������������������������������������������������������,��������������@������ �����������������
7����� �����������������������(
7�������������������
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
������������8�����������@������������������ �������������������������� ����������������������������������������������
���!����������������������������������������������������������������
0����8���������������������@���������������������������������������������������������������������(
��� 9���������������������������������������������������������,����������������
�� ������������������� ��������
��� &��������������@����������������������8������������������������"���������������������������,������������������������
������������@�������� ���������������������������������������������������������
.�� &��������������@������������������������8������������������������"���������������������������,���������������������
���������"�����@�����"�� ����������������������������������������������������������
&�������������������������!��� ����������������������������@����������������������������������������������������
2 2’
1 1’
dA
r
C
e’C’r’A’
B
B’
s’
s
≡
≡
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���(
&����������������,����������������������������@��������8�����@��������������������������������
0�������������������������� ��������������������������������������(
H *��������������������������������������������������������8�������������������������������������@������������������
�������,������������������������������,��������������
H *�����������������������������"���"�������������������������������� ������������������������������������������������
���������
H &������������������-���������������������������������������*���������������������������������������"������������
����������0��������������������������������������������������������,��������������@������ �����������������
?�$,��������������
&�����������������������������������������������������������������������������@����������������������������� ��
��������������������������,�������������0�������������������(����1E�1�%�+�
#���������!��������+���������!��������������������������������������������������@�������������������
7����� �����������������������(
&��������������$,��������������+�������������,����
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
)���������������������������������������,��������������������������������������������
���������������������������@�������������������������!��������������������������������������������������������������������
�����������������������������������������������������
0����8���������������������@���������������������������������������������������������������������(
��� 0���������������)��)��)�����-�������$��������������������������������������������������������������������,����
������������*�������� ������������������������������1�
�� �����!����������������1������������������������������������������������!������������ ������������������
��������������������$,��������������
��� &��������������8��������������������,���������������1�������������������������������!���������������������������
����������������������������������$,��!����������!��
.�� &��������������@������������������8������������������������"����������������,�������������������������������������@����
��� ����������������������������������������������������������
/�� *������������)�-����.����������������������������������������������������������-���.��������������������������
��������@�����
1 1’3 3’2 2’
4 4’d
F’
E’
s’
B’
r’
eCC’
B
r
A
F
t
E
s
t’ u’
Lu D’
vD
v’
A’
≡≡≡
≡
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���(
&����������������,����������������������������@��������8�����@��������������������������������
0�������������������������� ��������������������������������������(
H *��������������������������������������������������������8�������������������������������������@������������������
�������,������������������������������,��������������
H *�����������������������������"���"�������������������������������� ������������������������������������������������
���������
H &������������������-���������������������������������������*���������������������������������������"������������
����������0��������������������������������������������������������,��������������@������ �����������������
J����� ��� �������� )(J����� ��� �������� )(J����� ��� �������� )(J����� ��� �������� )(J����� ��� �������� )(
&������������������������������ ��������������������������������������������������������$�����������������
&�����������$��������������������������������K������������������������������������������������!���������������
����������������K��������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������
&�����������$����������������������������������K������������������������������������������������!�����������������
����������������K��������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������
0��������������������������������������������������������������������!�������
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
��������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������!����������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������*���������� ���������������������������������������'���������������������������������������� ���������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������(
��� *���������,������������������!��������������������������� �������������������������������������������������������
������������������!�������
�� ������$�������������$��������� ��������������������������������������������������������������������� ���������������
��������������������������������������������������������������������
��� ����������������������������������������������������"���������������������������������������-�����������������
����������������������������������������!@����������������&��������������������������������"���������������������
���������������������������!������������������������"������������ ����������������������������������������������
����������
.�� 7����������,��������������������������������(
H ������$�����������$����@�����$��������������������������������������������������2�����������������2��D����������,�
���$�������6�������������������@�������D����������,�����"������$�6�
H &��������������������������������������������*���������*����������������������������������$�������
���������������������������
1 1’
2 2’
Figura de análisis A e
Q’
Q
sP
r
r’
s’
≡
≡
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
/�� �������������������������������������������������������*�� ��������������������������"����������!��������������
��������������������
4�� *��������������������������������������������������������������������������������������!��������������
���������������������������������������������0�����������������������,������������!���������8�������������������
�������������
&�������,������������������������������������������������������������������������������������ �
&�����������+�����������������+�����������������+�����������������+�����������������+����������������������������!���������������������������(
H *���������������������� �����������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������"�
H *���������������������������������������������������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������� �������������������
1-1’T t N3 3’
2 2’
dT’
C’ Ct’N’
B’
Q’
r’
A’
D’
s’e
P
s
D
Q
B
A r
≡
≡
Figura de análisis BC
B
AD
Q
r
PD’
C’
s’
e
sA’
B’
r’
Q’
1 1’
2 2’
d≡
≡
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� "
#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���(
*����!����,���������������������,�� ���8��������������������������������������������������������������������������(
H &����������������������������������������������������������������������!����,��
H &���������������������������������������������������������������!����������������+������������������������!����,��
���+�L��������������!�������������!������+�������������������������!���������8������������������������������������!����,����
0����!������������!������+�������������������������!���������8��������������������������������������!����,����
*����!������������������ ���������������������������!����,���������������������&��������������������������������������
�������
&�������!����,������������������������������������������(�� ������� ��������������������������!���������������������
�����
*������������������������������������'�'�'��������������������������!����,�������������������������@$���������������
������������+�
7�����������������������!��������������@������������������8���������������������� �������������������������
7���������������������������������������������������������������������������������������������!���������������!����,�
������������
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
M"����� �M"����� �M"����� �M"����� �M"����� �
���������������������������������������������������������� �'�'�'�������������������������������������������!���������'
*������������,�� ������!���������$�������������������������������������������������������(�-��4��$��6�#4! ����$6�#4!
�������$�$ ��"��������� � ��� ��!���$���!����� $��4"��&�"4��� &����B��" �����!!��
0�����������������������!����������������������������������������������������������������������������������(
��� ������$���������������������������������������0����������������������!��������������������������������� ������
�������� ����������������������������������������������������,���,������������������������ �'�'�'���������$������
��������������������������������������������
�� 7����������������������$������������������8��������������������������������������������������
��� ���$����������������������������������������������������������������������������������!���������
Método 1
M M’
c.p.d.
N N’
A
P
P’A’
O
K
≡≡
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
M"����� M"����� M"����� M"����� M"�����
����������������������������������������� ���������������������������������!����������@�������������������������
�������
0�����������������������!����������������������������������������������������������������������������������(
��� ������$������������������������������� ������ �������������������������!���������������������������������������
������-���������������������������������!����,������������������!������������ ��������������
�� ������$�������������������� ����������������������������������&��������������������������������������������������
�����������������������������
Método 2
A
B
C
B’
P
P’
A’
O
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
����������
#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���(
*����!����,���������������������,�� ���8��������������������������������������������������������������������������(
H &����������������������������������������������������������������������!����,��
H &�������������������������������������������������������F�������!����������������+������������������������!����,��
���+�L��������������!�������������!������+�������������������������!���������8������������������������������������!����,����
���+�N���������!����,������������'�'�'
*������������������������������������'�'�'��������������������������������������������@$����������������������������+�
7�����������������������!��������������@������������������8���������������������� �������������������������
*����������!������������������ ������������������������������!����,������������������������ ������������"�������
����������8�������������������������������������������������������!����,��
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
���������������������������������������������������������� �'�'�'���������������������8����(
H &��������������������������������������������������������������������������������!����������
H &���������������������������������������
������������������� ��������!����,�������!������������'�'�'�������������������������������������������������� �'�'�'��
������8���������������������������������������������������������������������������������������������������0������
�����������,����������������������������������������������������������������(
��� 0��������������������������������������!�����������������$�����������������������������������������������������,�����
���������������������������������&���������������������������������������������������������������!��������������
����������,��������������������������������������������������������
�� &����!��������������������������������������������������������������������!����,�������������������������'���������
��������������������������������������������� ����������������������������������������!�����������+���/+��������
���������!���������������������!���������
��� 7����������,����������������'�'�'(
������$���������������������������������������0���������������������!��������������������������������� ������
�������� ����������������������������������������������������,���,������������������������ �'�'�'���������$������
����������������������������������������������������+�
&��������������,������������������������������������������������������(�-��4��$��6�#4! ����$6�#4! ��������$�$ ��"
�������� � ��� ��!���$���!����� $��4"��&�"4��� &����B��" �����!!�'
&��������������8��8��������������������!���������������� ���������������
O P’
M M’
c.p.d.
K
≡
≡ B
r
B’
A
D
P∞
D’A’
C
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
����������
#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���(
*����!����,���������������������,�� ���8����������������������������)������)��������������������������������������(
H &����������������������������������������������������������������������!����,��
H &���������������������������������������������������������������!����������������+������������������������!����,��
���+�N�������������������!������������!������+�������������������������!���������8�����������������������������������
��!����,����
���+�N���������!����,������������'�'�'
*����������!��������������������������� ������������������������������!����,������������������������� ����������
������������8��������������������������!������8����"���������������������������8��������������������������������!����,�
���������$,�����8������������+0��1��������������������������������!����,��������������������������������!����,����������
����������������������������=�
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
��� �����������������������@��������������������������������������������������������
�� &���������������������,��������������������������@������������������
��������������������������!����,�� ��
�����������������������������������������������������������
�
��� 0���� �������$��������������������������
��� ����������������������������������������
����������������
.�� *����������������������������� ���������������������!���������'
*�������������������-��������������������������������������������������������*����*
�
E
P
D
F’D’
P’E’
B
A
OFC
T
T
B’C
A’
1
1
2
2
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���(
*����!����,���������������������,�� ���8��������������������������������������������������������������������������(
H &����������������������������������������������������������������������!����,��
H &���������������������������������������������������������������!����������������+������������������������!����,��
���+�L��������������!�������������!������+�������������������������!���������8������������������������������������!����,����
*������������������������������������'�'�'��������������������������������������������@$���������������������������+�
*����������!��������������������������� ������������������������������!����,������������������������� ����������
������������8��������������������������!������8����"���������������������������8��������������������������������!����,�
���������$,�����8������������+0��1��������������������������������!����,��������������������������������!����,����������
����������������������������=�
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
��� �����������������������@���������������������������������������������������������������������������������!����,��
������������������������������������������������������������������������!����������������
�� &������������������8�������������������������������������������������������������������
&������������������������������������������,�����������������!������������������������������������������������
��!����,��������������!������������!��
N N’
M M’
O
O
B’D’
E’
E
B
D
C
A
A’
Q T
T
2
1
B’
A’
QA
B
C
c.p.d.
K
≡
≡
Figura de análisis y comprobación
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���(
*����!����,���������������������,�� ���8����������������������������)������)��������������������������������������(
H &�����������������������������������������������F����������������������!����,��
H &�������������������������������������������������������F�������!����������������G������������������������!����,��
���+�L��������������!�������������!������+�������������������������!���������8������������������������������������!����,����
*������������������������������������'�'�'��������������������������������������������@$���������������������������G�
*����������!��������������������������� ���������������������������!����,��������������� ���������������"������
������������������������� �����������������������������!����,����������������������������
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
��� 7����������,����������������������!����,�(
&����������������!����,��������������������������������������������,��������������������������������������������
�������������
�� ���$�������������������� ���������������������!������������������������������������(
H ������$����������� �������������������������������������������������������������!����,�����
H 0����������������������$�����������������,����������������������������������
&�����������������,�����8�����������������"�������'�'�'�����������"�������������������������������������������
B B’
A A’
D D’
O
P
P’
C
r
c.p.d.
K
≡
≡
≡
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� �
B B’A’
A
N N’
M M’
O C
c.p.d.
K
≡
≡
≡
���������� �
#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���(
*����!����,���������������������,�� ���8��������������������������������������������������������������������������(
H &����������������������������������������������������������������������!����,��
H &���������������������������������������������������������������!����������������+������������������������!����,��
���+�L��������������!�������������!������+�������������������������!���������8������������������������������������!����,����
*������������������������������������'�'�'��������������������������������������������@$���������������������������+�
*����������!��������������������������� ���������������������������!����,��������������� ���������������"������
������������������������� �����������������������������!����,����������������������������
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
��� 7����������,���������'�'�'(
&����������������������������������������������������������������������������������������������� �����������
�����������������������$�����������������������������������!����,���0�������������������������������������(
H ������$�������������������� ������������������������������
H 7��������������������!����,������������$����������������������������������������������������������������������
���������������'�'��
H #���������������������������������������������������������������������������
�� ���$������������������!������������������������������������(
H ������$���������������������������������������� �������������������������������,���,�����������������������,�
���������������������������������������'�'�������������+�
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���#��������������� ���!���(
*����!����,���������������������,�� ���8����������������������������)������)��������������������������������������(
H &�����������������������������������������������F����������������������!����,��
H &�������������������������������������������������������F�������!����������������G������������������������!����,��
���+�L��������������!�������������!������+�������������������������!���������8������������������������������������!����,����
*������������������������������������'�'�'��������������������������������������������@$���������������������������G�
*����������!������������������ ������������������������������!����,������������������������ ������������"�������
����������8�������������������������������������������������������!����,��
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
�������������������������������������������!����������������������������������������������������������������������������
������������������������!����������������������������������������������������!������ ��������������������������������,�����
����������
��� 7����������,�������������������������!����������������#(
&�����������������������������������������������������������!����,������������������8��������������������������
���������������������������������������������������������$�������������0��������������������������������������(
H ������$����������� �����������������������������������������������������������������������
H &����!���������������������������������������� ���8��������������������������������������!����,�����
H &�������������������������������������!���������� �����������������8�������������������8��,����������������
���������������������������������������������
�� ���$����������������������������!�������������������������(
H *�����������������������,�����������������������������������������������������������������������������������
���������������������������������
&������������������������������������������,�����������������!������������������������������������������������
��!����,��������������!������������!��
1
O P’ O P’
CD’ D’
D D
r r
P P∞∞
B’
Figura de análisis y de comprobación
A’ A’
A A
BB
M M’ M M’
c.p.d.
c.p.d.
K K
≡ ≡
≡ ≡
B’
C
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
��� ���
�����
����������
#��������������� ���!���(#��������������� ���!���(#��������������� ���!���(#��������������� ���!���(#��������������� ���!���(
����������������������������������������������*������������������������@���������������
*����������$�������������*����������������������������������������������������*�
&���������������������������������������������������������������������������"������������������������������ ���������
������������������������������������
&��������������������������������������������������������������������������� �������������������
9���������������������������������������������������������������������������������
*����������������������*����������������������������$������������������������ ����������������������������
�����������������������������������������������
&�������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������
�����������������������������8������������������������������,������������������������������������������������������������
�����������
�������������������������� �������������������������������������������������������������$������������� �������������
�������������������������������
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������$����
������������������������������������������ ��������������������������������������������������������������� ����������������
�����������������������������������
��� ������$�����������������������'����������������-�� ����������������������������3�������������������������������
�������������������������������������
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
�� &������������������������������������������������������������������������������������������������8�$� �����������
�����������������������
��� *������������������������������������������������������������������������������������*
����*
���������������
����������������������������������������������������������,��������������
.�� *�����������������������������������
�����8���������������!�������������������������*
�����*
�������������
��������$����������������
T
O
C
O
T
B
P
C
Q
E
A
1
1
r
2
2
K
K
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
����������
#��������������� ���!���(#��������������� ���!���(#��������������� ���!���(#��������������� ���!���(#��������������� ���!���(
����������������������������������������������*������������������������@���������������
*����������$�������������*����������������������������������������������������*'
&���������������������������������������������������������������������������"������������������������������ ���������
������������������������������������
&��������������������������������������������������������������������������� �������������������
9���������������������������������������������������������������������������������
*����������������������*����������������������������$������������������������ ���������������������������
�����������������������������������������������
&��������������������������������������������������������������������������������������������������������������
&�������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������
�����������������������������8������������������������������,������������������������������������������������������������
�����������
9������������������������������������������������������������������������������������������������"���������"���
������������� �"��������*�� �������������������������� ���������������������������������������
�������������������������� �������������������������������������������������������������$������������� �������������
�������������������������������
?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(?�������,�� ���� ���������(
������������8����������������������������������������������������������������������������������������$��������
�������������������������������������� ��������������������������������������������������������������� �����������������
�������� �������������������������������������������������
��� ������$�����������������������'����������������-�� ������������������������������������������3��������������������
���������������������������������������
�� &�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������8�$� ������������������������������������������������������������������&�����������������
������������������������������������������������������������������������������������+������"��
��� *������������������������������������������������'����������������-������������������������������*
&���
����������*&�%��+����@$�����������������������������
���������������������������������������������*������������
���������*����*
����������������������������������,�������������������������������������������������
������
�����������+���������������
.�� *�����������������������������������
������������������������������������8�����������������������������������
����*����*
�����������������!���������������������$����������������
P Q≡
T
TA
a
E
r
T
C
O
O
B
2
E
1
r
2
1
K
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
������ �� ��
�����
����������
��� 7�������������������,��������������
H �����������������������%����%�5����������%����%�/�����
H #���������������������������:�;���������������������������.���.������������������!��
H ���������������������� ���������������������3�������������������������.�������$�����������������������������������
���.��������$�����������3���������������������������������������,�� ����������������������������
�� ���$����������������������!����������������
H *����������������������������������,���������������������$����������$��'���������������� ���������������������!�������
� �%�,.�������,.�'
M
t
a
r
1
r’
O
D
F’A
2
F N1 2 3 4
C
B
a = 40
2a = 80
2b =
50
������������������
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
��� #�����������������������������������������,��
H 0���������������������������������$�����������������������1�)��)�2)�9=������� ����������������������
H #�������������������2����9�������������.�������$������������������������������������������2����9��������������.����
���$��������������3��������������������������������!������������������$�����������.������������������������
��������������������-������������������������������8��!��������������������������� ������"�����������������������������
�������
.�� #����������������������8�������������!���
H ���������������������������1���������!�����������������������1���������������-����������������������������
������������
H *������������������2����9�������������������!������������������������������2����9���������������C��3��A���@������
�������
/�� #�����������������������������������������������������������������������
*������������������������������@���������������������������������������������������������������,�������������
�������������������������������������������������������"�������@�����������������������������������������������������,�
�����������������������������������������������������������������������
H #����������������������$�����������������������������������������%�.���������������������%� /����
H ������$��������������� ������ ���������������������������������������������3��������������$������������������������
��������������������� �������������������������������������������������������
H &�����������,����������������������!�����
r’
O
L
B
C
H
I
F’
DE
r
Método de afinidad
Método por puntos
Método de haces proyectivos
A
R
R’’
R’
aF N
11
1
2
3
4
22
33
44
a = 40
2a = 80
2b =
50
G
J
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
4�� ���$������������������������!������������������'����������� �������������������������������������������
��������� �����������������������������������������"�����������������������"�����������������������������������������
�������� ��������������������������� �������������.�������������������������������������������������������������������.��
H #�������������.�������$��������������������������������������%�5��������8�����������������������������.��������$�
��������������������� �������������������������������������,����
H 9������,��������.�������$�������������������������������������� ������������������������������������$����$
������������
H *�������������������������8��������������,�����.�������� �����������$��������������*
����������.������������������
��$ �������������*
�
B
C
F’F
N
t
t
M
T
T
2
1
1
2
D
A O
P
2a = 80
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
I�� ��������������������!���������������������������������������������������������������������!��
H #����������������������$�����������������������������������������%�.���������������������%� /����
H ������$����������������� ������ �������������������������������������������������������2���93���������2�������$������������
���������������9���������������� ��������������������������������������������������������'�����������������������������
����������
H 0���������������������$������������������������������������������� �������������������������������������������������:��D��=��
E3�����D���=�������$������������������������:���E���������������� ���������������������������������������������������'������
��������������������������
H 9����������������������������������������������������������������������������
B
B’
8
7
4
D’ 3
6
5
A’
C
1
C’2
D
AO
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
����������
��� B������������������������!��
H ���������������������������������������%�5���������%�/��� ���������������������4���
H 0���������������������$����������������������������������!�����%����3�����������������������8�������������������������
������������������������
H #�������������������������
���������$����������������������>3�������������������>����������������������������������
���������,��
H *������������������������(���%��3�����%��A�� ���������!�����������������������������������!�������
�� 7�����������������������������!������8�������������!���
H ���������������������������������������%�5���������%�/��
H ������$�����������������������������������������������
H ������$������������������������������������������������������������������
H *��������������������������������������������������������������������������������������������,�����������������6
��������������������
B
B’
S
O
D’ D
A
A’
C H
O
C’
I
R
P
1
B’OM
D’
A’
C’
C
P
N 1
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� �
���������� �
0���������!������������!������8��� ������������������� ���������������������������������������������"�����������������
��������������������������$����������������������������������������������
H ������$������������������������������������������ ��������������1!�������!������6�=�
H ������$�����������������������������3�����������������������������.����������.�������$����������������������������������
�.����.�� �����������������������������������������������������������������
H *�����������������������������������������"��������
���������� �
0���������!������������!������8��� ������������������� ���������������������������������������������"�����������������
��������������������������$����������������������������������
H ������$��������������������������������.�� ����������������������������������������������������������� ����������
�������������������������������$�����������.�����������������$���$��
H 9��������������������������������������������������$���$
��� �����������������������������
H 0����������������������������������������������������������������������������.�������$�����������������������
����������8����� �������������������������$���$����������������*���*
�����������!�������
D
2a = 80
N’
t
C
O
O F’B
FA
N
P
O2 1
D
C
O BF
A
O
T
t
N
P
T
t
F’
N
1
1
1
1
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
����������������8���������������������������������,���������������������������������������������������I6&�������64
�����������������������������������������������������������8�������������.��1 ���������������������������=�����������������������
���������������������������� ������������.���������������������������������,��������0�������������������������������,�
�����������������������������(
H ���$�������.�������������������������������,��������������������������������������������������������3������������������
���������������������������������,������������������������������$���$��
H 0����������������������������������������������������������������������������.�������$�����������������������
����������8����� �������������������������$���$����������������*���*
��
���������� �
0���������!������������!������8��� ������������������� ���������������������������������������������"�����������������
��������������������������$������������������������������������ ���������������������������������������*���������������
������$����������$��'���������������� ���������������������!����������%�*.������%�*.��
H ���������������.��������������������������*�����������������������������������������
H ��������������� ���8����������������������������!���������������!�������������������/�.*�����������������*.���������
��� ������������������������������
H *�������������,���������������������������������$��������������������������������$�������������������������������������
C
N
T
FA
D
T
t
N
B P
d
∞F’O
1
1
1
t
t
M
r’
r2a = 70 mm
r’r
T
N
A F O F’ B
α
β = α
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
����������
0���������!������������!�����������������������������������������������������������(
H *�����������������������������������������"��������������������������������������������$������������������������
���������
H *�����������������������������������*�����������������������$
�����������$��'���������������� ��������������������
!����������%�*�.�������*
�.��
H *��������������������"���������������������������������������� ����������������������������������������
�����������������������������������
H ���8�����������������.����.�����"����������.��������������������������������
H &�������.����������������������$�������������.��.������ ��������������������������������������������������������
.���������"�������������������������!�������
�� ������������*
��
H *��������������
��������������������������������������������������������������������������������������,�������
��������$�����6
����������������.�.
��
H *���!"���������������������������������� ����������������������������������
t
T
N
F
r
B
O
F’’
T
t
N
F’
r
AF
eje
1
1
1
1
1
2
α
β
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
H ���8��������������������������������������������������������������
H �����������.�����"���������������.������������������������$�
H #����.�������������������������������������������������� ������������������������������������,������������$������
����������.��������������������������������������.����������������������3��������������������������������������.��
t
c = 26,38
b = 23
a = 35
F
B
1
a = 35
b = 23
2a = 70
F
F’
N
O
A
2c = 52,76
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
��������������������
����������
��� 7����������������������� ���������������!�(
H ������������������������%����%� �������..��%����%�/�����
H ���������������������� ��������������������������������������������������������.���.��������$������������� ��
����������������������������8��"����������������3����������������.��D��.�%����%���%� �����
�� ������������������!������$���������������������������(
*������������������������������8��"��������������������$���������� ���������������������!���������������
H 0�������������������������$��������������!�������������������������������������$�������������������$�$ ��������������
!���������������
��� 7�������������������������!�(
H ������������������������%����%� �������..��%����%�/�����
H ����������������������� ����������������������������������������������������������.���.��������$������������� �����
����������,���������������8��"������
H 0����������������������������������!�������������������������������������)�2)�9���:��������������
.�� J���������!"��������������������������(
0���������$������������!������8����������������������������������������������������8��"�����(���$����) ���&����(�"$�
!����!���B�F�� �%�� �<�� �
H ���������������������������!����������������������$�������������������������������%� /�������������� �������������
�����������������������������������������������������������������!"�������������������������������
t
C
P
r
N F A BO
c
F’
D
2 4 51 3
2c = 50
r
MM
MM
M
M’
M’M’M’M’
1
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
2a = 20
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
/���������������������!������$��������������������������������'���������������������������'������������������������������(
��������� �������������������������������������.����������������"�����������������������"����������������.���������
������������������������� ������������������������������ ��������������.������������������������������������������
���������������������.�
H ������������������������%����%� ������..��%����%�/������������������'
H #�������������.��������$��������������������������������������%� ��������8�����������������������������.�������$�
��������������������� �������������������������������������,����
H 9������,��������.������$�������������������������������������� ������������������������������������$����$
�����8��"������
H *�������������������������8��������������,�����.��������� �����������$��������������*
����������.��������� ��������
��$ �������������*
�
4������$������������������������!�������������������������������������������������������������(
&����������!���������������������������������� ���������$��������������������������!�������������������������*�
��������������������� ��������8�����������������������������������������������������������,���������� ��������� ��
�������������������������������������
*����������������� ���������������.��������������������������������� ���������������������������.��������������������
������������,���������
H ������������������������%����%� ������..��%����%�/��������������������������������������
H #�������������.�������$��������������������������������������%� �����
H ������$��������������.�������������������������������������,������������������������������������������������������.�������
�������,����
H *������������$����$
������8��"�����������������������������������������.����.�,�
H *�������������������������8��������������,�����.�������� �����������$��������������*
����������.�������� ����������
$ �������������*
�
P
M
2a
BF’
N
O
T
t
Tt
FA
2
2
1
1
P∞
2a
T
M
N
F’BOAF
d
T
t t
2
1
21
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
I������$���������@���������������!�(
*�����@�������������8��"�������������������������������!����������������������������3��������"����������������������
��������������������������������������!���0����������������������,�����������������$�������������������������������!�
�����������������
H ������������������������%����%� �������..��%����%�/�����
H #�������������.�������$��������������������������������������%� �����
H *����������������������������������������.����������������������������.���������������������
H ������$�������������������������������������������.�����.�3��������������� ��������������������������@������������
���!��
H �����"����������������������������������������������������9��������������������������������������������..��1�����
%��=�������������������������������������&�������������������������������������������������3��������������'
1
R
c
b
Aa
F O B F’
34
Q
2a
2
a a1
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
5���J�������������������������,������������������'��������������������������!�(
�����������������������������������������������������8��"�����������������8�����������������������������������,����������
������!��
&�������������������!�������������� ������8��"��������������������"�������������������� �����������������
����������������������������������������������������������������������������� �����������������������������&�����������
��������������������,������������������������8��"��������������������������������������������������������������������.
�� ������������������������.����.������"���������.�������������������������
H ������������������������%����%� �������..��%����%�/�����
H ���$������������������������������������.��������������
H ��������������������������������������������������������� �������������.��������������"������.
����������������������
������������������������������������������.��0�������������������������������������������(
� B���������������.�����"���������������.���������������
� ���$������������������������'���������� �������������������������������� �����������������������.����.����������
�������������������������������������
� *������������������������.��.�����������������������������������
��
H 7��������������$����������������������������������������������������*
����*
�������������.��������"���������
��������3����3
������� ����������������������������������������������8��"�������������!�$���������������������������
�����������������������.��������������������������.���0��������������������������������������������!��
C C
Comprobación
F F
I IT T
I I
T T1 1
F’ F’B
BO O
C C
A AF F
2 2
2a
r r
r r
1 1
2 22 2
1 1
1 1
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
����������
���$�������������������8��"�������������������������������������������������������������������
0���������!������������!������8��� ������������������� ���������������������������������������������"�����������������
��������������������������$��������������������������������������������
H ������$����������������������!������������������� ��������������1!�������!������6�=�
H ������$�����������������������������3����������������������������!������.����������$������������������������������
�.��������������������������������������������������,�
H *���������,��������������������8��"��������������������
���������� �
���$���������������������8��"����������������������'������������������������������������������������
0���������!������������!������8��� ������������������� ���������������������������������������������"�����������������
��������������������������$��������������������������������������������
H ������$����������������������!����������������� ���������'��������������
H ������$�����������������������������������������������.������������������������������������������� ���������������
��������������������������$�����������.����������������$���$��
H 9��������������������������������������������������$���$
��� �����������������������������
H 0����������������������������������������������������������������������������.��������$����������������
��������!�������������8����� �������������������������
O
P
M
B F’O
t
AF
1
P
N
T
t
O
T
t
N
F’BOAF
1
1
1
1
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
���$���������������������8��"������������������������������,������������������������������������������������
&�����������!������������������������������������.��������������1�������������������=�������������������.�����
��������������������������,�����0�������������������������������,�������������������������������(
H ������$������.������������������������������,���3�������������������������������������������������������������
���������$���$�����������������������������������������������������,����
H 0�����������������������������������������������������������������������������.��������$����������������
��������!�������������8����� �������������������������$���$
����������������*���*
��
���������� �
7������������������������������������8��"���������������������������.���.����������@������
H ���������������������.��.����������@������"�
H *��������.�.�������������������������@������"����������������������8��"������
H #������������������������.�%��.��������$�������������������� ������������A���A���������@�����3��������������������
�������������������.�.����������!"�������������������8��"������
H #�������������������������������$�������������������� �������������������������������������������������������������
�����
H &�������������������������������%����%��3�A��%��3��A�%��A��%���
t
T
N
d
N
P∞
O B F
t
T
F’ A
1
1
1
Oa B
F’
b
H
s
C
cc
A
H’D
F
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� �
���������� �
7������������������������������������8��"�������������������������.��������@������"����������������
H ��������������������������������
H 0�����������.�������$��������������������������@���������������������������!������������������������������
�������������@��������������������������8��"������
H *���������.��������������������������������������!"����������'�����������"�����(
� ������!���.�����A3�������A�������$�����������������������������������������!"����������������������
� #�������������������������������$�������������������� ���������������������������
H �������������������"����������.������������������������������������������������������.������
H #�������������������������������$�������������������� �������������������������������������������������������������������
����������
7������������������������������������8��"�������������������������.��������������$��������������������������*
���������������
0���������!������������!������8������������������������ ��������������������������*�������8��"��������������������$
��������� ���������������������!���������������
H �������������������������������(������.���������������$��������������������������*�
H �������������!"���������������*������������������������������������������������$������������������������������
�����������$�
H ������$���������������������*���������*.� �����������������������������������A�
H )�����������A�����������������������������!�����!�����������������������������������.�3�������������������.���.�� ����
��������������������������
H ������$�����������������������������������������������..����������������������������������!"�������������������8��"������
F’
B
c
C
O a A F
H
N
s
b
D
c
a
F’ B O
a
A
t
F
rα
α
Tr’
H
2a
r’ = r + 2a
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
7������������������������������������8��"�������������������������.�����������������������������������������*
����������������
0���������!������������!������8������������������������ ��������������������������*�������8��"��������������������$
��������� ���������������������!���������������
H �������������������������������(������.���������������$��������������������������*�
H �������������!"���������������*������������������������������������������������$������������������������������
�����������$�
H ������$���������������������.������������ �����������������������������������.�3�������������������.���.�� �������������
�����������������
H ������$��������������������*���������*.� �����������������������������������A3��������������A.��������
H ������$�����������������������������������������������..����������������������������������!"������������������
8��"������
t
r
F
α
α
T
H
r’
AOB
F’
2a
2c
a
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
7������������������������������������8��"�������������������������.��������@������"���������������$�
0���������!������������!������8������������������������ �������������������������������������8��"����������������
���"��������������������������������������������$����������������������������������������������
H �������������������������������(������.����@������"��������������$�
H 0�����������.��������$�������������������������������������@���������������������� �������������������!���������
�������������������������������
3��������������
����
������������������������������������
H *����������$�����
��������������@����������������������������!����������������������.����������������������
H �����������@����������������,�%��.�������,�������$�����������������������������������������!"�������������������
��������������"����������.����������������������������������������.�������!"��������
F’B
O
N
N
t
M
s
FA
1
2
eje
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
����� ��������� ����
����������
&����������������������.��������/���������!"����������������(
����#���������������!�������������
0���������!�������������������8������������������������ ������!"������������������ ������������������ �������������
��������$��������������.���������������%��.�%��/����
H ���������������������.����3���������� �������������������������������������������
H #�������������.����������.�%��/��������$������������� �����������������������������3�����������������������������$��
�����������������������������������������������������$����������������������!"������$!�
H ������$���������������������������������������������"��������������������.�������������%������������������8�
���������������������������������������������"������� �����������������������!�3������������@���%��.�%������-�
�����������,�����������!��
H &�����������,��������������������������������������
52,89
Pr
r
N
d tv
A V
15 15
F1 eje
52,8
9
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������������������������������$������"���������������������!��
*����������������������������������������������������$���������� ���������������������!�������������.�
H 0�������������������������$��������������!�����������������C�������������������� �����������������!�����������$����
��������������$�$���������������!�������������.�
Pr
r
N
d tv
AV
F
eje
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
�������$������������������������!������������������'�������
��������� ���������������������������1��������������$��=���������������"�����������������������"����������������.
���������������������������������� ������������������������������ ��������������.���������������������������
������������������������������������.�
H ���������������������
H ������$������������������������������.����������������������������������������$�� �����������������8���������������������
���������������������������������������������
H 9����������������.������$�������������������������������������� ������������������������������������$����$
��
�����������
H *����������������������*����*
����������������$��������������������������!�������� ������������������������
P
2
1
d tt
t
T
T
v1
2
2
1
A V F eje
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
.������$������������������������������������,������(
&����������!���������������������������������� ���������$�����������������������!�������������������������*������������
���������� ���������8���������������������������������������������,�������"�� ��������� ������������������������
���������������������������������8������������������������������,��"�
H ��������������������,��"�
H 0�����������������$���������������������"�������������������,��������������$��������3��������������������!"������$!�
H *����������������������������3���������������������������*���������������������,����������������������
d
M
t t
T
v
A
I
V F
eje
s
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
����������
7������������������������������������������������������������$�������������������������������!�(
H �������������������������������
H 0���������������$������������������������������������$������������������������
�����������������������.������������
�������������,��
H *���������������������.���������������� �������������"��������������!"��������
d
A
t
r
r
A
v
1
1
FV
BB
eje
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
7���������������������������������������������������������.����������������$����$
(
H ��������������������������������
H ���8��������������������"����������������.�������������������������$����$
����������
�����
�� ���������������������$���
H *����������������!"������$!���������������������
����
���������������������������������$�����������������.������
���������������
d t
t
T
t
F
N’
N
N
A V
v
1
1
2
1
2
1
22N’ T
eje
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� ��
���������� �
#���������������������������������������.�������������������(
H ��������������������������������
H ����������������������������������
���������������������!�����������������.����.����������������������&����
��������������������������������������������-�����$������������������������������������������.����.��
H *���������
���������������������!"������$
!�
H *����������������
��������������������������!�����������
H &���������������.����������������������$!�
d tt
O
O
A
N
N
B
t
F
v
B
1
2
1
2
A
ejeV
DIB
UJ
O G
EO
MÉ
TR
IC
O
�������������� ������������� ����������� �
���������� �
#������������������������������������������$������������������$����$
(
H ��������������������������������
H *������������$����$
���������������������$������������������,3�����!"����������������������������������������
������������������������3�����������������������������������������������������������������.�
H *����������������.>��������������������!"�����������������������������.>��&��������������,�������������� �����
�������.���������,
�����������������������������������������$�����������������.�����������������������������
,.����.��������,�������
d
A
tt
α
β
β
α
t
F eje
N
N
M
1
1
v
1
2
VS
B
M