Dicc Esencial Matemáticas file1 + = 1. Diccionario Esencial Matemáticas acutángulo, triángulo h TRIÁNGULO adición h SUMA adjunta, matriz h MATRIZ ADJUNTA afijo de un número

Diccionario Esencial Matemáticas

abscisa Primera coordenada de un punto medida sobre el eje de absci-sas (eje X) o cualquier eje paralelo al mismo. Su signo determina la po-sición relativa del punto respecto al centro de coordenadas; en el pla-no, si el valor es positivo el punto se encuentra a la derecha del (0, 0) ysi es negativo a la izquierda; en el espacio, si el valor es positivo se en-cuentra delante del (0, 0, 0) y si es negativo por detrás.h EJE DE ABSCISAS; ORDENADA

• abscisa en el origen Valor de la abscisa de un punto de una recta cuyaordenada es cero.h ECUACIÓN DE UNA RECTA EN EL PLANO (FORMA CANÓNICA); ORDENADA EN EL ORIGEN

aAEjemplo

La abscisa del punto del plano P(– 3, 1) corresponde a – 3 y suvalor negativo indica que elpunto P se halla a la izquierdadel eje y y a una distancia de 3unidades respecto al mismo.

abscisaY

X

( , 1)-3

eje de ordenadas

eje de abscisas

-1-2-3-4 4321

Ejemplo

La abscisa en el origen de la recta corresponde a 3,ya que al sustituir x por 3 en larecta se obtiene que y = 0, es de-cir, el punto (3, 0).

x y3 1

1+ =

(3, 0)

Y

X

(0, 1)

ordenada en el origen

abscisa en el origen

x3

y1

+ = 1


acutángulo, triángulo h TRIÁNGULO

adición h SUMA

adjunta, matriz h MATRIZ ADJUNTA

afijo de un número complejo Punto del plano que representa a uncierto número complejo c. Sus coordenadas se obtienen a partir de losvalores de la parte real e imaginaria de dicho número complejo; así porejemplo, el afijo del número complejo c = 4 + 3i corresponde al puntoP (4, 3).

afín, función h FUNCIÓN AFÍN

álgebra Rama de las matemáticas que utiliza habitualmente letras ensus operaciones. Suele considerarse una simplificación y una generali-zación de la propia aritmética. La simplificación se consigue sustitu-yendo los números por letras con lo que sus conclusiones son, a lavez, mucho más generales.

afijo

Y

X

P (4, 3)

acutángulo

b ¡FÍJATE BIEN! abscisa en el origen

El punto asociado a la abscisa en el origen x tiene la forma (x, 0) y corresponde al punto de la recta que corta con el ejede X (eje de abscisas).

< ¿SABÍAS QUÉ...? álgebra

El origen del álgebra se remonta al siglo III d C., gracias a la obrade Diofanto de Alejandría relativa a la aritmética. En el siglo XVI,

→


algebraica, expresión h EXPRESIÓN ALGEBRAICA

altura Dimensión de un cuerpo o figura medida de forma perpendiculara su base. Generalmente se abrevia con la letra h.

• altura de un sólido Distancia perpendicular entre las dos bases delcuerpo o desde una de las bases hasta el punto más alejado del mismo,el vértice. Generalmente, la altura se representa gráficamente en elcentro de las figuras.

• altura de una figura plana Distancia perpendicular medida entre am-bas bases o respecto a sus prolongaciones.

altura

hh

altura

hh

altura

hh

rectángulo romboide trapecio

prolongación base

alturah

alturah

alturah

alturah

pirámide cilindro cono prisma

vérticevértice

base

base

altura

el álgebra dio un salto cualitativo con el matemático francésFrançois Viète quien introdujo el uso de letras como sustitutode los números e inventó la mayoría de las simplificaciones quese pueden realizar sobre una estructura algebraica. Más tarde,Descartes amplió la notación algebraica para los exponentes y sistematizó sus reglas de cálculo. Ya en el siglo XIX, el álgebrase generalizó todavía más con la adopción de nuevos lenguajescomo el vectorial y el matricial, además de las estructuras deconjuntos numéricos ( ) dotados de operacionesy de sus propiedades respectivas.

� � � � �, , , ,


• altura de un triángulo Distancia perpendicular a uno de los lados o suprolongación hasta el vértice opuesto. Todos los triángulos poseen tresalturas que se cruzan en un mismo punto denominado ortocentro.h PUNTOS NOTABLES

• altura, teorema de la h TEOREMA DE LA ALTURA

amortización Cantidad fija que se paga a principio de cada cierto pe-ríodo para reducir un préstamo o hipoteca. Cuando se realiza unasola amortización al año (período de amortización anual) se denomi-na anualidad de amortización. La fórmula que permite calcular laanualidad de amortización tras haber pedido un préstamo o una hi-poteca de cuantía D, a un interés compuesto r (expresado en tanto

por uno) durante t años es . Cuando los períodos de

amortización no son anuales (mensuales, trimestrales, semestrales,

etc.) se aplica la fórmula

Ejercicio

¿Qué cantidad hay que pagar cada trimestre para amortizar unpréstamo de 3 500 € al 6 % de interés compuesto anual duran-te seis años?Los datos e incógnitas son:– la cantidad prestada o préstamo: D = 3 500 €.– el interés expresado en tanto por uno: r = 0,06.

aD

rn

rn

rn

n t

n t=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

· ·.

·

·

1

1 1

aD r r

r

t

t=

+( )+( ) −

· ·1

1 1

altura

h

altura

h

altura

ortocentro

amortización

→


análisis

– los períodos de amortización: n = 4, ya que las amortizacionesson cada tres meses.– el tiempo de amortización: t = 6.

Al aplicar la fórmula se obtiene que cada

trimestre debe ingresarse 174,73 € para cancelar el préstamo.

174,73 €

amplitud de un ángulo Magnitud o medida de un ángulo. Puede expre-sarse en grados centesimales, grados sexagesimales o en radianes. Asíun ángulo recto posee una amplitud de 90° (grados sexagesimales),100g (grados centesimales) o rad (radianes).

amplitud de un intervalo h INTERVALO

amplitud de un sector circular h SECTOR CIRCULAR

análisis Rama de las matemáticas puras que se dedica a la deducción,resolución de problemas y verificación de hipótesis con el objetivo decompararlos con otros conceptos matemáticos ya conocidos. Incluyelas materias no comprendidas en la aritmética, el álgebra y la geome-tría, aunque sus límites son poco definidos.

π2

=( )

( ) −=

3500 1 015 0 015

1 015 1

24

24

· , · ,

,

=+( )

+( ) −=

3500 1 0 015 0 015

1 0 015 1

24

24

· , · ,

,a =

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3500 10 06

40 06

4

10 06

4

4 6

4

·,

·,

,

·

··6

1−

aD

rn

n t rn

rn

n t=

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

··

·

·

1

1 1

< ¿SABÍAS QUÉ...? análisis

El análisis es una de las ramas matemáticas más modernas queadoptó su forma definitiva durante el siglo XVII, gracias a los

→


ángulo Región del plano limitada por dos semirrectas unidas por un ori-gen común. Cada una de las semirrectas recibe el nombre de lado y ellugar donde se originan, vértice.

El ángulo puede simbolizarse de dos maneras: mediante un arco yuna letra del alfabeto griego (α, β, etc.) o bien con la letra mayús-cula del vértice (A) y el símbolo de ángulo encima de la misma (Â).

• ángulo de depresión Ángulo formado entre la línea horizontal trazadasobre los ojos de un observador y la existente entre dichos ojos y el obje-to observado, cuando este último se encuentra en una posición inferior.

• ángulo de elevación Ángulo formado entre la línea horizontal trazadasobre los ojos de un observador y la existente entre dichos ojos y elobjeto observado, cuando este último se encuentra en una posiciónsuperior.

ladovértice

αA

ángulo

esfuerzos de Newton y Leibniz, principalmente. El análisis estáconstituido por un gran número de campos con aplicaciones y métodos diferentes: uno de los más actuales y con másaplicaciones es el de las ecuaciones diferenciales. La teoría defunciones de variable compleja es otra de las ramas del análisisen el que mediante una serie de potencias se realizanrepresentaciones de funciones como el seno, el coseno, laexponencial, etc. También cabe destacar el análisis armónicoiniciado por Bernoulli en el siglo XVIII y Fourier en el siglo XIX, y el análisis funcional, imprescindible para la resolución de ecuaciones diferenciales, la mecánica cuántica, etc.

ángulo de elevación

α

objeto observado

observador


ángulo

• ángulo entre dos planos Valor del menor de los ángulos que formandos planos entre sí. Se calcula a partir del ángulo (α) que generan losvectores normales de cada uno de los planos, ya que dicho ángulo tie-ne la misma amplitud que el que forman realmente ambos planos (α′).

La fórmula utilizada es , donde y son los vectores

normales a los planos y y sus módulos.

Ejercicio

¿Cuál es el ángulo formado por los planos π: 9x + 3y – 1 = 0 y ω: – x + 3y + 2z + 5 = 0?

Como los planos se expresan en la forma general, los vectoresnormales corresponden a los coeficientes de las variables (x, y, z)�n� (9,3,0) y �n� (–1,3,2) respectivamente. El ángulo se calcula:

→

→ → cos α = 0 →cos α =0

1260cos α =

− + +9 9 0

90 14·

cos α =( ) −( )

+ + −( ) + +

9 3 0 1 3 2

9 3 0 1 3 22 2 2 2 2 2

, , · , ,

·cos

n n

n nα

π ω

π ω

=

→ →

→ →

·

·

π

ω

n π

n ω

α

vector normal al planoω

ángulo menor ángulo mayor

α’

nω

→

nπ

→

nω

→

nπ

→

cosn n

n nα

π ω

π ω

=

→ →

→ →

·

·

→


α = arc cos 0 → α = 90°.En este ejercicio los dos planos son perpendiculares.

• ángulo entre dos rectas Valor del menor de los ángulos que formandos rectas al cortarse. Se puede calcular mediante la fórmula:

donde m y m′ son las respectivas pendientes de las rectas (coeficientesde x cuando la función se expresa en forma explícita); también puedeobtenerse a partir del ángulo que forman los vectores directores de am-bas rectas mediante la fórmula:

donde �u y �v corresponden a los vectores directores de las rectas, yy a sus módulos.

Ejercicio

¿Cuál es el ángulo que forman las rectas r: y = 2x – 3 y s: y= – x—4

+ 1?

Dado que las rectas se encuentran en forma explícita, se utilizala primera de las fórmulas; m = 2 es la pendiente de la recta r ym′ = – 1—

4la pendiente de la recta s. Los cálculos son:

→ tg α = 4,5 → α = arc tg 4,5 → α = 77,47° → α = 77° 28′ 16′′.

tgm m

m mtgα α= ′ −

+ ′→ =

−( ) − ( )+ ( ) −( )1

0 25 2

1 2 0 25·

,

· ,→→ = −

−tgα 2 25

1 0 5,

,

αv

u

vector directorángulo menor

ángulo mayor

�v

�u

cosu v

u vα =

� �

� �·

·

tgm m

m mα = −

+'

· '1

ángulo


• ángulo entre dos vectores Valor del menor de los ángulos que formandos vectores entre sí. Se calcula mediante la fórmula:

donde �u y �v son los dos vectores y y sus módulos.

Ejercicio

¿Cuál es el ángulo formado por los vectores y ?

Para hallar el ángulo se debe calcular el producto escalar de ambosvectores y sus módulos:

– producto escalar: 4 – 15= – 11.

– módulos: ; .

Aplicando la fórmula del ángulo se obtiene que: →

→ cos α = –0,3834 → α = 112° 32′ 35′′.

• ángulo entre una recta y un plano Valor del ángulo menor que se gene-ra entre una recta y un plano. Como el vector normal del plano es per-pendicular al plano, el ángulo que se forma entre el vector normal y elvector director de la recta es complementario al ángulo menor existente

cos α = −11

89 9 25· ,

cosu v

u vα =

� ��

··

�v = ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ =12

3 9 252

2 ,�u = + −( ) =8 5 892 2

� �u v· , · ,= −( ) ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

=8 512

3

�v

12

3,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

�u 8 5, −( )

αv

u

ángulo menor

ángulo mayor

�v

�u

cosu v

u vα =

� ��

··

,

ángulo


entre la recta y el plano; la fórmula que permite su cálculo es

o bien , donde es el vector

director de la recta y el vector normal al plano.

ángulos, conversión entre medidas de Transformación que consis-te en expresar la amplitud de un ángulo en unas unidades distintas delas que se encuentra inicialmente. Existen tres tipos de transformacio-nes entre unidades: de sexagesimal a centesimal y viceversa; de sexa-gesimal a radián y viceversa; de radián a centesimal y viceversa. Pararealizar las conversiones se pueden emplear dos métodos distintos: laregla de tres y el factor de conversión; en ambos casos es necesario te-ner presente las relaciones de equivalencia entre las distintas unidades;la más utilizada es 180° = 200g = π rad; para los ángulos en forma in-compleja suele emplearse 648 000′′ = 200g = π rad.

Ejercicio

Transforma el ángulo 0,75π rad a grados sexagesimales.Si se aplica el factor de conversión, se obtiene que

¿Cuál es el valor del ángulo 32° 16′ 8′′ expresado en grados centesimales?En primer lugar se transforma el ángulo 32° 16′ 8′′ a su forma incompleja:

0 75180

1135,

º.π

πrad

rad× = °

π

α

vector normaldel plano

n

vector directorde la recta

v90°- α

nπ

→

�vsen

v n

v nα

π

π

=

→ →

→ →

·

·cos

v n

v n90°−( ) =

→ →

→ →α

π

π

·

·

ángulos

→


32° 16′ 8′′ → (32·60·60)′′ (16·60)′′ + 8′′ → 116 168′′.Si se aplica una regla de tres, se obtiene:

116 168′′ → xg

648 000′′ → 200g

Como el sistema de grados cente-

simal es igual que el sistema decimal de numeración, el ángulo re-sultado queda de la siguiente manera: 35,8543g → 35g 85m 43s.¿Cómo se expresa el ángulo 75g 69m 18s en π radianes?En primer lugar se procede a transformar el ángulo 75g 69m 18s a suforma incompleja: 75g 69m 18s → 75,6918g. Debe recordarse quecada grado, minuto o segundo centesimal contiene 100 unidadesinferiores; por ello: 75g 69m 18s = (75·100·100)s (69·100)s 18s =756 918s o 7 569,18m o 75,6918g.Si se aplica una regla de tres, se obtiene:

75,6918g → x π rad200g → π rad

0,3785π rad.

ángulos, operaciones con Grupo de operaciones que se realizan conángulos; destaca la suma, diferencia, división y el producto de un án-gulo por un número escalar.

• diferencia o resta de dos ángulos Operación que consiste en restar elángulo minuendo con el sustraendo. Cuando los ángulos están expre-sados en forma compleja debe procurarse que todas las unidades delminuendo sean mayores que las del sustraendo. Finalmente se restacada unidad por separado (en este caso, grados con grados, minutoscon minutos y segundos con segundos). Gráficamente consiste en mo-ver el ángulo sustraendo (menor) hacia el interior del ángulo minuendo(mayor) de forma que coincidan sus vértices y uno de sus lados.

αβ β

αα−β

=

ángulo minuendo ángulo sustraendo

x = =π rad g

g

· ,75 6918200

x = =116168 200

64800035 8543

''·''

, .g

g

ángulos


Ejercicio

Resta numéricamente los ángulos 28° 10′ 32′′ y 75° 45′ 3′′.Dado que el minuendo debe ser mayor que el sustraendo, en esteejemplo se resta 75° 45′ 3′′ – 28° 10′ 32′′. Como los segundos delminuendo son menores que los del sustraendo, se convierte 1′ delos 45′ del minuendo en 60′′, que se añaden a los 3′′ existentes. Elminuendo obtenido es 75° 45′ 3′′ = 75° 44′ (60 + 3)′′ = 75° 44′ 63′′.Ahora ya se puede proceder a realizar la resta: 75° 44′ 63′′ – 28°10′ 32′′ = (75 – 28)° (44 – 10)′ (63 – 32)′′ = 47° 34′ 31′′.

• división de un ángulo por un número Operación que consiste en di-vidir cada unidad del ángulo en forma compleja (grados, minutos y se-gundos) entre un número natural; en caso de que el resto no fuesecero se transforma a la unidad inmediatamente inferior. Gráficamen-te debe dividirse la región angular en tantas partes como indique eldivisor.

• producto de un ángulo por un número Operación que consiste enmultiplicar cada unidad del ángulo en forma compleja (grados, minutosy segundos) por el número natural. Si finalmente alguna de las unida-des se excede debe convertirse a la siguiente unidad mayor. Gráfica-mente se suma el ángulo tantas veces como indica el número por elque se está multiplicando (por ejemplo, 3·α = α + α + α).

α

ααα

3α� 3 =

52° 24′ 49′′ 317°51°

1°60′84′

28′

84′0′

0′′49′′

16′′

48′′1′′

ángulos


Ejercicio

¿Qué ángulo resulta de multiplicar 5° 50′ 38′′ por 6?

Se multiplica cada unidad por el número 6: (5° 50′ 38′′)·6 = (5°)·6(50′)·6 (38′′)·6 = 30° 300′ 228′′. Como los segundos y los minutossobrepasan su valor máximo (60), se procede a transformarlos a launidad inmediatamente superior:– en primer lugar se operan los segundos: 228′′ equivale a 3′ + 48′′((60·3)′′ + 48′′); por lo tanto, el ángulo queda como 30° 303′ 48′′.– en segundo lugar se procede con los minutos: 303′ puede expre-sarse como 5° + 3′, ya que (60·5)′ + 3′; por lo tanto, el ángulo resul-tado es 35° 3′ 48′′.

• suma de dos ángulos Operación que consiste en sumar cada unidadde ambos sumandos, grados con grados, minutos con minutos y se-gundos con segundos. Si tras la operación alguna de las unidades seexcede se convierte a la siguiente unidad mayor. Gráficamente consis-te en adosar los dos ángulos de manera que coincidan ambos vérticesy uno de sus lados sin que se superpongan las regiones angulares. Elángulo suma es la región entre los dos lados no coincidentes.

ángulos, sistema de medida de h GRADO CENTESIMAL; GRADO SEXAGESIMAL;

RADIÁN

ángulos, tipo de Los ángulos se clasifican en función de su amplitud yde su posición respecto a otro u otros ángulos.Según su amplitud los ángulos se clasifican en:

• ángulo agudo Ángulo cuya amplitud es menor de 90° (inferior al án-gulo recto).

• ángulo completo Ángulo cuya amplitud es de 360° (abarca toda la re-gión de la circunferencia).

α

β

αα+β

+ =β

ángulos


• ángulo cóncavo Ángulo cuya amplitud se encuentra entre 180° y360° (cualquier ángulo mayor que el llano pero inferior al completo).

• ángulo convexo Ángulo cuya amplitud es inferior a 180° (menor queel ángulo llano). El ángulo convexo y el cóncavo son suplementarios.

• ángulo llano Ángulo cuya amplitud es de 180° (sus lados se encuen-tran alineados en sentido opuesto).

• ángulo nulo Ángulo cuya amplitud es 0° (no ocupa región angular).• ángulo obtuso Ángulo cuya amplitud es inferior a 180° pero superior

a 90° (el ángulo intermedio entre el recto y el llano).• ángulo recto Ángulo cuya amplitud es de 90° (sus lados son perpendi-

culares).

Según su posición relativa los ángulos pueden ser:• ángulos adyacentes Par de ángulos que poseen uno de sus lados su-

perpuestos y los no comunes alineados. La suma de dos ángulos adya-centes suman 180°, por lo que son suplementarios.

• ángulos coincidentes Par o más de ángulos que se pueden superponercompletamente y que por tanto poseen la misma amplitud. Los ángu-los coincidentes también son iguales.

• ángulos complementarios Par de ángulos que sumados forman unángulo recto (90°).

• ángulos consecutivos Par de ángulos que tienen uno de sus lados su-perpuestos y el vértice en común. Los ángulos adyacentes son con-secutivos.

• ángulos contiguos Par de ángulos que tienen uno de sus lados alinea-dos entre sí formando un segmento común; sus dos vértices se sitúanen los extremos del segmento común.

• ángulos desiguales Ángulos que poseen diferente amplitud.

α α

ángulo agudo

α

α

ángulo llano ángulo convexo

ángulo cóncavo

α αα

ángulo obtuso ángulo rectoángulo nulo

90º

180º

α

ángulo completo

ángulos


• ángulos iguales Ángulos que tienen la misma amplitud y por tantoson coincidentes.

• ángulos opuestos por el vértice Ángulos que comparten el mismovértice y cuyos lados configuran dos rectas que se cortan por dicho vér-tice. Dos ángulos opuestos por el vértice tienen la misma amplitud, esdecir, son iguales.

• ángulos poligonales Conjunto de ángulos relacionados con una líneapoligonal o alguna de sus prolongaciones. Los ángulos poligonales in-ternos son los que se hallan en su interior, mientras que los ángulos po-ligonales externos se encuentran entre alguno de los lados y la prolon-gación de otro.

• ángulos suplementarios Par de ángulos que sumados forman un án-gulo llano (180°).

antecedente h RAZÓN

anualidad Importe que se percibe o se paga a intervalos regulares detiempo, generalmente de un año. Si la anualidad se lleva a cabo al prin-cipio del intervalo se denomina anualidad anticipada, mientras que sise realiza al final de dicho período se denomina anualidad ordinaria osimplemente anualidad.

ápice h VÉRTICE

aplicación Correspondencia generada entre dos conjuntos diferentesen la que a cada uno de los elementos del conjunto inicial (denomina-do dominio) le corresponde uno y sólo un elemento del conjunto final(denominado imagen). Las aplicaciones en las que los elementos delconjunto inicial y final son números se denominan funciones.h FUNCIÓN

internos

externos

ángulos poligonales

α α

ángulos adyacentesángulos suplementarios

ángulos coincidentesángulos iguales

ββ

ángulos complementarios

βα α

ángulos consecutivos

β α

ángulos contiguos

β

α

ángulos opuestos por el vértice

β

aplicación


apotema de pirámides regulares Altura de las caras de la pirámide.Su longitud se puede calcular a partir de dos fórmulas, según los

datos de los que se disponga: , donde h es la altura de lapirámide y a′ la longitud de la apotema del polígono regular que

forma la base; , donde l es la longitud de la arista lateral

y b la longitud de la arista básica.

apotema

vértice

a lb= −2

2

4

a h a= +2 2'

apotema de pirámides regulares

Ejemplo

La correspondencia queasigna a cada persona suDNI es una aplicación yaque a cada una de laspersonas del conjunto inicialle corresponde un únicoelemento del conjunto final,su DNI. En cambio, lacorrespondencia que asignaa cada mujer sus hijos no esuna aplicación, ya que habráciertas mujeres del conjuntoinicial que no tienen imagen(es decir, no tienen hijos) y mujeres a las que lescorresponde más de unelemento del conjunto final,ya que tienen más de un hijo.

Conjunto inicial Conjunto final

Madre Hijo

Teresa

Ana

Carmen Julia

Isabel

Gloria

Juan

SergioCristina

Iván

Laura

Íngrid

Correspondencia (No aplicación)

Conjunto inicial o dominio

Conjunto final o imagen

Persona DNI

Olga

Ana

Carmen

Sergio

Cristina

Aplicación

Carlos

398434564-F368601342-E143748810-W

302045621-T343444540-A

296001287-I


apotema de poliedros regulares Segmento que une el centro delpoliedro y el centro de una de sus caras. La apotema es perpendiculara la cara sobre la que se traza. Su longitud es igual al radio de la esferainscrita en el poliedro y su valor se puede calcular con la fórmula

, donde R es el radio del poliedro y r el radio del polígonoque forma la cara.

apotema de polígonos regulares Segmento que une el centro de unpolígono regular y el punto medio de uno de sus lados (punto medio deun segmento). La apotema es perpendicular al lado sobre el que setraza, por lo que también es la mediatriz de éste.

Su longitud es igual a , donde r es el radio del polígono

regular y l la longitud de su lado, y coincide con el radio de la circunfe-rencia inscrita en el polígono.h POLÍGONO REGULAR

aproximación Expresión que se utiliza para simplificar a otra. La aproxi-mación más habitual es la numérica, como cuando se toma el valor 3,14como el número π o el valor 1,414 como resultado de . También seemplea para aproximar funciones, como en el cálculo de límites en el infi-nito cuando se considera que 3x2 + x – 1 puede aproximarse por 3x2.

• aproximación numérica por defecto Número con n cifras decimalesde magnitud inferior al valor dado. El grado de aproximación depende

2

a rl= −22

4

centro

apotema

centropoliedro

apotema

a R r= −2 2

aproximación


del número de decimales utilizados (denominado orden). Por ejemplo,si se sabe que π = 3,1415926... la aproximación por defecto de orden4 es 3,1415 y la de orden 3 vale 3,141.

• aproximación numérica por exceso Número con n cifras decimalesde magnitud superior al valor dado. Se calcula sumando una unidad ala última cifra decimal. El grado de aproximación depende del númerode decimales utilizados (denominado orden). Por ejemplo, si se sabeque π = 3,1415926... la aproximación por exceso de orden 4 es 3,1416y la de orden 3 equivale a 3,142; en este caso, la aproximación de or-den 5 es 3,14160.

aproximación normal de la distribución binomial Aproxima-ción de las probabilidades de una distribución binomial a otra que seamuy parecida, en este caso la distribución normal. El ajuste de una

variable binomial B (n, p) a una de normal puede

realizarse siempre y cuando se verifique que n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5. Este ti-po de aproximaciones se realizan porque es muy costoso calcular lasprobabilidades con valores de n muy grandes en las distribuciones bi-nomiales. Dado que la distribución normal es de variable continua y eneste tipo de distribuciones es imposible calcular probabilidades pun-tuales, cuando se aproxima una distribución binomial a una normal seaplican una serie de correcciones para que puedan llevarse a cabocualquier tipo de cálculos, incluso los de probabilidades puntuales.h DISTRIBUCIÓN BINOMIAL; DISTRIBUCIÓN NORMAL; TIPIFICACIÓN

N n p n p q· , · ·( )

2,143exceso

defecto

2,15

2,14

aproximación normal de la distribución binomial

Ejemplo

p (X = a) = p (a – 0,5 ≤ Y ≤ a + 0,5)p (X ≤ a) = p (Y ≤ a + 0,5) p (X < a) = p (Y < a – 0,5)p (X ≤ a) = p (Y ≤ a – 0,5) p (X > a) = p (Y > a + 0,5)


Ejercicio

¿Cuál es la probabilidad de obtener más de 475 caras despuésde lanzar una moneda 1000 veces?Las probabilidades del experimento de lanzar una moneda siguenuna distribución binomial, ya que presentan únicamente dos posi-bles sucesos: que salga cara o que salga cruz. Esta distribución bi-nomial es del tipo B (1000, 0,5), ya que n = 1000 y la p = 0,5 (pro-babilidad que salga cara). Para calcular la probabilidad de quesalgan más de 475 caras en mil lanzamientos supone realizar uncálculo de 524 probabilidades: p (x > 475) = p (x = 476) + p (x =477) + ... + p (x = 1000). Como el cálculo sería excesivamente lar-go, es preferible aproximar la distribución binomial B (1 000, 0,5)a la normal, donde la resolución será más simple. Para ello hayque asegurarse de que n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5 (n·p = n·q = 100·0,5 = 500,mucho mayor que 5) y calcular los parámetros de la nueva distri-bución:

B (1000, 0,5) N (500, 15,8114)

Antes de calcular la probabilidad se llevarán a cabo dos cálculos: lacorrección para transformar la variable discreta de la binomial (X) auna de continua (Y), y la tipificación de la variable normal mediante

la fórmula , en este caso . Finalmente,

la probabilidad de que se obtengan más de 475 caras tras lanzar milveces una moneda es: p (x > 475) = p (x > 475 + 0,5) = p (x > 475,5) =

= = p (Z > – 1,5495) = p (Z < 1,5495) =

= 0,9394. Es decir, en el 93,94 % de las ocasiones en que se lancen1 000 monedas se obtienen más de 475 caras.

arco de un círculo Parte de una circunferencia que se encuentra com-prendida entre dos puntos de ella misma. Sobre un arco se puede

p Z > −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=475 5 50015 8114

,,

ZY= − 50015 8114,

ZY x

s= −

⎯ →⎯= =

= =⎯ →⎯

x n p

s n p q

·

· · ,

500

15 8114

arco de un círculo


medir su longitud y su cálculo depende de en qué unidad está medidoel ángulo α: si está medido en grados se emplea la expresión

, mientras que si está medido en radianes L = α·R.

h CÍRCULO; CIRCUNFERENCIA; RADIÁN

• arco mayor Arco de un círculo en el que el ángulo central es ob-tuso.

• arco menor Arco de un círculo en el que el ángulo central es agudo.• arcos iguales Arcos de un mismo círculo o de dos círculos distintos

pero con el mismo radio, cuyos ángulos centrales son iguales.área Medida de la superficie que ocupa una figura en el plano. Es el nú-

mero de veces que una cierta medida, por ejemplo un metro cuadrado(m2), cabe en dicha figura. También se denomina área a la unidad desuperficie que equivale a 100 m; se representa por a.Para calcular el área de una figura en concreto (triángulo, cuadrado,círculo, etc.), ir a la entrada corresponiente.

h FIGURA

• área, unidades de h UNIDAD

• área de poliedros Suma de las áreas de todas las caras del poliedro.• área de polígonos h POLÍGONO

• área lateral de cuerpos redondos Suma de las áreas de todas las ca-ras del cuerpo, exceptuando las bases.

• área total de cuerpos redondos Suma de las áreas de todas las carasdel cuerpo, incluyendo las bases.

1 m

4,5 m2

2

α

R

R

L

LR= ⋅ ⋅π α

180

área


argumento de un número complejo Ángulo formado por el semiejereal positivo y el vector asociado a dicho número complejo. General-mente se designa con la letra α. Si se conocen los componentes de unnúmero complejo, a y b, se puede hallar su argumento mediante la

fórmula . Por ejemplo, el argumento del número complejo en

forma binómica 6 – 2i es 341° 33′ 54′′, ya que →

→ → α = 341° 33′ 54′′, expresado en su forma compleja.

h NÚMERO COMPLEJO

arista Segmento que resulta de la intersección de dos caras contiguasde un poliedro. Si el poliedro es un prisma recto, la longitud de las aris-tas coincide con la altura de dicho poliedro. h POLIEDRO; PRISMA

• arista básica Arista de la base de un poliedro.• arista lateral Arista de una cara lateral de un poliedro.

asíntota Recta tangente a una curva en el infinito; también puede defi-nirse como la recta a la que se le aproxima indefinidamente una o dosramas de una función. Existen tres tipos de asíntotas según la natura-leza de la recta: horizontales, verticales y oblicuas.

arista lateral

arista básica

Y

X

6 2i

αa = 6

b=

-2

eje real

eje imaginario

vector asociado

α = −arc tg 1 3,�

tg α = −26

tgba

α =

asíntota


• asíntota horizontal Recta horizontal del tipo y = k que es tangente auna función f (x) y que cumple que . Toda asíntota hori-

zontal tiene una serie de propiedades: 1) Una función puede tener, como máximo, dos asíntotas horizontales. 2) La curva de una función puede cortar la asíntota horizontal. 3) La función exponencial y algunas racionales poseen asíntota hori-

zontal.4) El signo que resulta de f (x) – k determina si la curva se aproxima

por encima o por debajo de la asíntota horizontal para cierto valorde x grande: si f (x) – k > 0, la curva se aproxima por encima, mien-tras que si f (x) – k < 0, la curva se aproxima por debajo.

h FUNCIÓN EXPONENCIAL; FUNCIÓN RACIONAL

Ejercicio

¿Cuál es la asíntota horizontal de la función ?

Para determinar la asíntota se procede a calcular los límites:

,

,

que una vez simplificados se obtiene y = 3. Por tanto, existeuna sola asíntota horizontal en y = 3.

yx

xy

x=

−= ∞

∞⎯ →⎯⎯⎯⎯ =

→−∞lim li

34

2

2regla de Hôpital mm

x

xx→−∞

62

yx

xy

x=

−= ∞

∞⎯ →⎯⎯⎯⎯ =

→+∞lim li

34

2

2regla de Hôpital mm

x

xx→+∞

62

Y

X

asíntota horizontal y = 3

aproximación por encima

f(x) = 3xx - 42

2

f xx

x( ) =

−3

4

2

2

l mi f x kx→± ∞

( ) =

asíntota


• asíntota oblicua Recta ni vertical ni horizontal del tipo y = a·x + b que

es tangente a una función f (x) y que cumple que .

El cálculo de los valores a y b de la asíntota oblicua se llevan a cabomediante las fórmulas:

y ,

respectivamente. Toda asíntota oblicua tiene una serie de propieda-des: 1) Una función puede presentar, como máximo, una asíntota obli-

cua. 2) La asíntota oblicua puede ser cortada por la curva de la función.3) Algunas funciones racionales poseen asíntota oblicua. 4) El signo que resulta de f (x) – (a·x + b) determina si la curva se

aproxima por encima o por debajo de la asíntota oblicua (para uncierto valor de x grande); es decir, si f (x) – (a·x + b) > 0, la curva seaproxima por encima, y si f (x) – (a·x + b) < 0, la curva se aproximapor debajo.

h FUNCIÓN RACIONAL

b f x a xx

= ( )−( )→∞

l im ·af x

xx=

( )→∞

l im

l i mx

f x

xk

→±∞

( )=

asíntota

< ¿SABÍAS QUÉ...? asíntota horizonatl

Para detectar si la curva se aproxima a la asíntota porencima o por debajo se calculará dos veces f (x0) – k: una para valores de x0 grandes (por ejemplo x0 = 10) y otra para valores pequeños (x0 = – 10); así, para x0 = – 10 se obtiene que f (x0) – k > 0 es 0,125 (3,125 – 3 = 0,125), por lo que cuando la curva se dirige a – ∞ ésta se aproxima a la asíntota por encima. Es fácil comprobar que para x0 = 10 la curva también se aproximará por encima


Ejercicio

Calcular, en caso de que exista, la asíntota oblicua de la función

.

Para determinar la asíntota oblicua hay que calcular el valor de a yde b; en caso de que dichos valores no sean reales querrá decir queno existe asíntota oblicua.

,

que una vez simplificado da a = – 2.

,

es decir, b = 2. Por tanto, existe una asíntota oblicua y es y = – 2x + 2.

bx

=→ ∞lim

21

regla de Hôpital⎯ →⎯⎯⎯⎯∞∞

limx

xx→ ∞

++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=2 4

1

limx

x x xx→∞

− + ++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=4 2 2 2

1

2 2limx

xx

x→∞

−+

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=4 2

12

2

limx

xx

x→∞

−+

− −( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=4 2

12

2

·b f x a xx

= ( ) −( ) =→∞

lim ·

ax

=−

→−∞lim

42

regla de Hôpital⎯ →⎯⎯⎯⎯ax

xx=

−+→−∞

lim4

2 1regla de Hôpital⎯ →⎯⎯⎯⎯

∞∞

limx

xx x→∞

−+

=4 2 2

2limx

xx

x→∞

−+ =

4 21

2

af x

xx=

( )=

→∞lim

Y

X

asíntota oblicua y = -2x + 2

f(x) = 4 - 2xx + 1

2

(0,4)

f xx

x( ) =

−+

4 21

2

asíntota


• asíntota vertical Recta vertical del tipo x = k tangente a una función f(x) y que cumple que . Sus propiedades son:

1) Una función puede presentar varias asíntotas verticales.2) La curva de la función nunca puede cortar la asíntota vertical.3) La función logarítmica y algunas funciones racionales poseen

asíntota vertical.4) El signo que resulta de determina que cuando la curva

se aproxima por la derecha se dirija a + ∞ o a – ∞. De forma similar, elsigno que resulta de determina que cuando la curva se

aproxima a la asíntota por la izquierda se dirija a + ∞ o a – ∞. Las cuatro posibilidades son:– Si , la curva se dirige a + ∞ a medida que se aproxima

a la asíntota vertical por la derecha.– Si , la curva se dirige a – ∞ a medida que se aproxima

a la asíntota vertical por la derecha.– Si , la curva se dirige a + ∞ a medida que se aproxima

a la asíntota vertical por la izquierda.– Si , la curva se dirige a – ∞ a medida que se aproxima

a la asíntota vertical por la izquierda.h FUNCIÓN LOGARÍTMICA; FUNCIÓN RACIONAL

l imx a

f x→ −

( ) = −∞

l imx a

f x→ −

( ) = +∞

l imx a

f x→ +

( ) = −∞

l imx a

f x→ +

( ) = +∞

l imx a

f x→ −

( )

l imx a

f x→ +

( )

l imx a

f x→

( ) = ±∞

asíntota

< ¿SABÍAS QUÉ...? asíntota oblícua

La manera más rápida de determinar la existencia de unaasíntota oblicua en una función racional es observar si elnumerador tiene un grado más que el denominador.

Así pues, en el caso de la función es evidente

que tendrá una asíntota oblicua, ya que el grado del numeradores 2 y el denominador 1.

f xx

x( ) =

−+

4 21

2


Ejercicio

Determina la asíntota vertical de la función

y cómo se comporta la función cuando se aproxima a ella.Dado que cualquier valor que genera una asíntota vertical debecumplir que , es posible obtener estos valores cal-culando aquellos que anulan el denominador. En este caso, el va-lor será x = 3, por lo que la función tiene una asíntota

vertical en x = 3. Para determinar el comportamiento de dichafunción cuando se aproxima a x = 3 es necesario calcular:

y .

Por tanto, la función se comporta tal como se indica en la figurasiguiente:

asociativa, propiedad h OPERACIONES, PROPIEDADES DE LAS

atributo h VARIABLE ESTADÍSTICA CUALITATIVA

axioma Principio o demostración matemática que es tan evidente quese admite sin una demostración. Por ejemplo, el axioma de la paralelaasegura que por un punto exterior a una recta sólo pasa una sola rectaparalela a dicha recta.

Y

X

1

asíntota horizontal

asíntota vertical y = x

x - 3

3

l i mx

xx→ − −−

=−

= = −∞3 3

33 3

30-

l i mx

xx→ + ++

=−

= = +∞3 3

33 3

30-

f xx

x( ) =

- 3

l i mx a

f x→

( ) = ±∞

f xx

x( ) =

- 3

asociativa


azar, ley del Ley que afirma que la frecuencia relativa de un suceso seaproxima a un número fijo denominado probabilidad a medida que elnúmero de pruebas tiende a infinito. También se denomina ley de losgrandes números.

azar

Ejemplo

En un experimento que se puede realizar en casa, se lanzan100 monedas al aire y se anotan cada diez lanzamientos elnúmero de caras que han salido y su probabilidad. En la tablay gráfica adyacentes se puede observar que a medida queaumenta el número de pruebas, la frecuencia relativa seaproxima paulatinamente a la probabilidad del suceso «salircara» (p = 0,5).

0,5

0,6

X

0,4

0,3

0,7

10 20 10090

fi

p(A)=

Número de pruebas

Número de caras (ni)

Frecuencia relativa (fi)

1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 7 12 16 18 21 28 37 43 45 51

0 0,7 0,6 0,45 0,42 0,53 0,54 0,5 0,510 46,�

0 53,�

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Dicc Esencial Matemáticas file1 + = 1. Diccionario Esencial Matemáticas acutángulo, triángulo h TRIÁNGULO adición h SUMA adjunta, matriz h MATRIZ ADJUNTA afijo de un número