DIDATTICA DELLA MATEMATICA TFA A048-A049-Matematica Incontro 22 marzo 2013 Rosetta Zan Dipartimento di Matematica, Università di Pisa [email protected]

DIDATTICA DELLA MATEMATICA

TFA A048-A049-Matematica

Incontro

22 marzo 2013

Rosetta ZanDipartimento di Matematica, Università di Pisa

[email protected]

Attività su Federico:alcune riflessioni

Che tipo di ragazzo è Federico? (Franta e Colasanti, 1995)

Federico entra in classe e si dirige subito al suo posto. Si siede, tira fuori dallo zainetto penne e quaderni e inizia a ripassare le lezioni. I compagni lo invitano a giocare, ma si rifiuta dicendo che deve studiare. All’arrivo dell’insegnante Federico si alza, le sorride, quindi torna a sedersi.

Secondo lei, che tipo di ragazzo è Federico? 1: per niente 2: un po’ 3: non so 4: abbastanza 5: molto

• Responsabile 1 2 3 4 5

• Secchione 1 2 3 4 5

• Diligente 1 2 3 4 5

• Socievole 1 2 3 4 5

• Studioso 1 2 3 4 5

• Indipendente 1 2 3 4 5

• Intelligente 1 2 3 4 5

• Isolato 1 2 3 4 5

• Furbo 1 2 3 4 5

• Maturo 1 2 3 4 5

Prima riflessione...

OSSERVAZIONE

Federico fa...

Federico è...

GIUDIZIO

Postman e Weingartner, 1973:‘…noi trasferiamo i nostri sentimenti e le nostre

valutazioni a oggetti al di fuori di noi. Per esempio, diciamo “John è stupido” o “Helen è vivace” come se la stupidità e la vivacità fossero delle caratteristiche di John e Helen.

Una parafrasi letterale di “John è stupido” (ovvero, il suo significato più scientifico) può essere qualcosa del tipo:

“Quando percepisco il comportamento di John, sono deluso, angustiato, frustrato o disgustato”. La proposizione che uso per esprimere le mie percezioni e valutazioni di questi fatti è “John è stupido”.

Dicendo “John è stupido”, parliamo di noi stessi molto di più che di John.

Eppure, questo fatto non si riflette per nulla nell’affermazione.

L’io – il segno della partecipazione di colui che percepisce – è stato rimosso mediante una peculiarità grammaticale.’

Seconda riflessione...

OSSERVAZIONE

Federico fa...

Federico è...

GIUDIZIO

Federico fa così perché…

INTERPRETAZIONE

OSSERVAZIONE

Federico fa...

Federico fa così perché…

INTERPRETAZIONE

influenzata da:le nostre esperienzei nostri schemi interpretativimette in gioco:

le nostre emozioni

Attività sulle scene:alcune osservazioni

GRAVI / NON GRAVI

Marco:

Grave perché: non padroneggia il linguaggio

Non grave perché: è solo un problema di linguaggio

Azzurra:

Grave perché: non ha studiato

Non grave perché: non ha studiato

1. Valutazioni diverse possono rimandare a valori diversi

Azzurra:

Grave perché:

• Studio mnemonico non ragionato

• Mancanza di concetto di perimetro

• Dimostra che non sta ragionando ma sta rispondendo a caso

• Dimostra chiaramente di non aver studiato

2. La stessa valutazione può poggiare su argomentazioni completamente diverse

“Grave perché l’alunna ha imparato meccanicamente il procedimento di soluzione ma non ne ha compreso il significato”

• “Grave perché non riesce ad astrarre”

• “Grave perché non ha la più pallida idea di cosa sta facendo”

3. Il giudizio poggia su un’interpretazione dell’errore

OSSERVARE INTERPRETARE

- non ha fatto…

- non è in grado di fare

- non ha capito

- non ha studiato

la valutazione della gravità

degli errori

QUANDO è stato commesso (prima / dopo l’azione didattica)

QUANTE VOLTE

POSSIBILI CAUSE

POSSIBILI CONSEGUENZE

IMPORTANZA DELL’ARGOMENTO

DIFFICOLTA’ DELL’ARGOMENTO

QUALE LIVELLO DI SCUOLA

POSSIBILITA’ DI CORREGGERLO


degli errori



Individuazione di ‘saperi minimi’


degli errori


QUANTE VOLTE

Necessità di un’osservazione continua e contestualizzata


degli errori QUALE LIVELLO

DI SCUOLA

Importanza del raccordo


degli errori


Visione della gravità centrata sull’insegnante


degli errori


QUANTE VOLTE

POSSIBILI CAUSE



DIFFICOLTA’ DELL’ARGOMENTO

QUALE LIVELLO DI SCUOLA



degli errori

CONOSCENZE

VALORI

EMOZIONI VISSUTO

CONVINZIONI EPISTEMOLOGIA

…dell’insegnante!

ERRORE = indicatore ‘oggettivo’?

• In quale contesto è stato commesso l’errore?• Chi ha costruito la ‘verifica’?• Chi ha stabilito gli obiettivi?• Chi ha stabilito che l’esercizio proposto permette

di riconoscere il raggiungimento degli obiettivi?• Cosa c’è di oggettivo nei vincoli che si

impongono o meno agli allievi? (tempo / numero di esercizi / uso dei testi, della calcolatrice…)

L’OGGETTIVITA’ DELLA VALUTAZIONE

ASSUNZIONE DELLA RESPONSABILITÀDELLE PROPRIE SCELTE DIDATTICHE

OSSERVARE INTERPRETARE

- non ha fatto…

- non è in grado di fare

- non ha capito

- non ha studiato

INTERPRETAZIONE

Le parole più usate:

-“Non riesce …”

-“Non ha capito…”

-“Non ha le basi…”

-“Non si impegna”

l’interpretazione

giusta / sbagliata

è un’ipotesi di lavoro

funziona / non funziona

Perché l’interpretazione sia un’ipotesi di lavoro:

• Deve dirigere, e non bloccare, l’interventoEsempio: ‘non è in grado’

• Deve essere puntuale, e non genericaEsempi:

‘Non si impegna’ ‘Non ha le basi’ ‘Non capisce’ ‘Non ha metodo di studio’

Perché l’interpretazione sia un’ipotesi di lavoro:

• Deve dirigere, e non bloccare, l’interventoEsempio: ‘non è in grado’

• Deve essere puntuale, e non genericaEsempi:

‘Non si impegna’ ‘Non ha le basi’ ‘Non capisce’ ‘Non ha metodo di studio’

l’interpretazione

giusta / sbagliata

è un’ipotesi di lavoro

funziona / non funziona

importanza per l’insegnante di avere un repertorio di interpretazioni possibili


L’apprendimento come attività costruttiva


visione ‘tradizionale’: il contenitore vuoto da riempire… l’apprendimento come attività costruttiva ...la conoscenza è in gran parte costruita dal

discente l’individuo è soggetto attivo che interpreta

l’esperienza costruisce convinzioni mondo degli oggetti fisici mondo degli organismi viventi mondo degli esseri umani teorie

Prevedere il moto della pallina all’uscita del tubo

Anche studenti di fisica rispondono così:

Ricerche classiche

• Processi decisionali

Kahneman & Tversky

• Fisica ingenua

Processi decisionali:Kahneman, Tversky, ShafirVossPerkinsFisica ‘ingenua’: McCloskey, DiSessa

Per approfondire:Howard Gardner, Educare al comprendere, 1993 Piattelli Palmarini, L’illusione di sapere, 1993Graziano Cavallini, La formazione dei concetti scientifici, 1995

Alcune implicazioni generali

1. Il ruolo del contesto

Prevedere il moto della pallina all’uscita del tubo

Anche studenti di fisica rispondono così:

Problema: La figura mostra un tubo metallico curvo visto dall’alto.Una sfera metallica è inserita alla fine del tubo indicato dalla freccia ed è spinta dall’altra parte del tubo ad alta velocità. Il punto in cui fuoriesce la sfera ha coordinate (2,-2) (la misura è in metri). La sfera esce nella direzione del vettore 3 i + 4 j con una velocità iniziale di 500 m/sec. Dare le coordinate della sfera un secondo dopo l’uscita dal tubo.

A R 4 7

TEST DI WASON

Quali carte gireresti per verificare se per queste 4 carte vale la regola:

'Se da una parte c’è una vocale, dall’altra c’è un numero pari‘ ?

Bevebirra

Beve acqua

Sopra i 16 anni

Sotto i 16 anni

VARIAZIONI SUL TEMA…

'Se una persona beve birra deve avere più di 16 anni'.

Quali casi controllereste?



2. Il ruolo dell’errore:2.1 L’epistemologia e la pedagogia dell’errore

2.2 L’interpretazione dell’errore2.2.1 Distinzione errore / fallimento

2.2.2 Un repertorio di interpretazioni






1. Popper

‘Evitare errori è un ideale meschino: se non osiamo affrontare problemi che siano così difficili da rendere l’errore quasi inevitabile, non vi sarà allora sviluppo della conoscenza. In effetti, è dalle nostre teorie più ardite, incluse quelle che sono erronee, che noi impariamo di più. Nessuno può evitare di fare errori; la cosa più grande è imparare da essi.‘

2. BachelardQuando si ricercano le condizioni psicologiche

dei progressi della scienza, ci si convince ben presto che è in termini di ostacoli che bisogna porre il problema della conoscenza scientifica. (…)

Tornando su un passato di errori, la verità la si trova in un vero e proprio pentimento intellettuale.

Si conosce, infatti, contro una conoscenza anteriore, distruggendo conoscenze mal fatte, superando quello che nello spirito stesso fa da ostacolo alla spiritualizzazione.

3. F. Enriques‘Il Maestro sa che la comprensione degli errori dei suoi allievi è la

cosa più importante della sua arte didattica. Egli impara presto a distinguere gli errori significativi da quelli, che non sono propriamente errori - affermazioni gratuite di sfacciati che cercano di indovinare - dove manca lo sforzo del pensiero, della cui adeguatezza si vorrebbe giudicare. E degli errori propriamente detti, che talora sono in rapporto con manchevolezze delle singole menti, ma nei casi più caratteristici si presentano come tappe del pensiero nella ricerca delle verità, il maestro sa valutare il significato educativo: sono esperienze didattiche che egli persegue, incoraggiando l'allievo a scoprire da sé la difficoltà che si oppone al retto giudizio, e perciò anche ad errare per imparare a correggersi’

4. TuringAnche il matematico umano prende qualche

cantonata quando sperimenta nuove tecniche.

E’ facile per noi considerare queste sviste come non rilevanti e dare al ricercatore un’altra possibilità, ma alla macchina non viene riservata alcuna pietà.

In altre parole, se si aspetta che la macchina sia infallibile, allora essa non può anche essere intelligente.’

5. Krygowska

Questa accortezza didattica [n.d.r.: il blocco delle occasioni di errore] consiste nella scelta, da parte del professore abile, delle difficoltà che l’allievo incontrerà sulle vie del ragionamento in modo che l’ occasione di commettere errori sia minima.

Certi manuali e certe raccolte ci offrono esempi al riguardo. Gli esercizi sono raggruppati sistematicamente, dopo che alcuni sono presentati come esempio, le istruzioni sono talmente suggestive che è difficile, anche a un alunno che capisca poco, di commettere un errore.

[Krygowska]

Un simile blocco degli errori non dà risultati positivi che apparentemente. Quello che è oscuro nel cervello dell’alunno rimane oscuro benché il segnale «errore» non si accenda.

Questo modo di procedere dà delle illusioni ai professori e agli alunni e il primo passo sulla via del verbalismo è compiuto, l’abolizione delle difficoltà non essendo equivalente alla vittoria riportata sopra di esse.’

6. Gardner

‘Insegnanti e studenti (...) non sono disposti ad assumersi i rischi del comprendere e si accontentano dei più sicuri “compromessi delle risposte corrette”.

In virtù di tali compromessi, insegnanti e studenti considerano che l’educazione abbia avuto successo quando gli studenti sono in grado di fornire le risposte accettate come corrette.’

7. Alla maniera di Postman e Weingartner…

Gillupsie: E lei, dottor Bluffing, cosa mi racconta?

Bluffing: Tutto a posto, dottor Gillupsie. I miei pazienti sono stati dimessi.

Gillupsie: Ottimo, Bluffing. Anche quel paziente della 302 che aveva quel febbrone inspiegabile?

Bluffing: Anche lui, dottor Gillupsie: ora è a casa.

Gillupsie: E come ha fatto a fargli calare la temperatura? Ci abbiamo provato in tutti i modi e non c’era riuscito di farla andare sotto i 38°! Quale metodo ha trovato? Cosa gli ha dato?

Bluffing: Beh, dottor Gillupsie, la temperatura in sé non è calata… ma abbiamo stabilito, naturalmente dopo aver consultato diversi articoli scientifici, che d’ora in poi la febbre è sopra i 39°. Ufficialmente quindi possiamo dichiarare che il paziente 302 non è proprio malato! E quindi l’abbiamo rassicurato e dimesso.

Gillupsie: Geniale, dottor Bluffing! [rivolto agli altri dottori] Imparate da Bluffing, ragazzi! [di nuovo rivolto a Bluffing] E mi dica, John, quel paziente che aveva le analisi del sangue così sballate? Quei valori così alti di insulina?

Bluffing: Anche quello dimesso, capo. Guarito!

Gillupsie: Eccezionale, Bluffing! Fossero tutti così al Blear Hospital, le nostre azioni salirebbero alle stelle! Ma mi dica, quale cura ha funzionato per abbassare l’insulina?

Bluffing:In realtà le abbiamo provate tutte senza successo, capo.

Gillupsie: E allora, Bluffing? Come mai l’ha dimesso?

Bluffing: Beh, capo, ho pensato che visto che con l’insulina non se ne veniva a capo, era meglio fargli l’analisi dei globuli bianchi. E quella era proprio perfetta, capo! Da dimissione immediata. E avesse visto come era contento anche il paziente!

Gillupsie: [serio] Lo so, Bluffing… La serenità dei pazienti è davvero importante! E fortunatamente qui al Blear ci sono medici come lei che se ne preoccupano…

L’errore come risorsa didattica(Raffaella Borasi)

Esempio

dc

ba

d

b

c

a

- Ci sono altre operazioni fra frazioni in cui numeratore e denominatore sono combinati separatamente?- Ci sono dei casi (cioè scelte particolari degli interi a, b, c, d) in cui l'algoritmo corretto e quello descritto sopra portano allo stesso risultato? - Ci sono delle situazioni di vita reale che possono essere descritte da quel modo di sommare, piuttosto che dall'algoritmo corretto per la somma di frazioni?

10

7

7

5

3

2

11

9

7

6

4

3











COMPITO PER CASA

Riflettere:• sulla distinzione fra errore e fallimento•sulle implicazioni di tale distinzione






Da L’insegnamento come attività sovversiva, di N. Postman e C. Weingartner

Il dottor Gillupsie ha chiamato molti dei suoi chirurghi interni del Blear General Hospital. Essi stanno per cominciare la loro relazione settimanale sulle varie operazioni compiute negli ultimi quattro giorni. Dopo aver ascoltato i chirurghi più anziani, Gillupsie si rivolge al dottor Carstairs.

• Gillupsie: E lei, Carstairs, come le vanno le cose?

• Carstairs: Temo di essere stato sfortunato, dottor Gillupsie. Niente operazioni questa settimana, ma solo tre pazienti morti.

• Gillupsie: Bene; dovremmo parlarne un po’, non le pare? Di che cosa sono morti?

• Carstairs: Non lo so con certezza, dottor Gillupsie, ma comunque ho dato a ciascuno di loro un bel po’ di penicillina.

• Gillupsie: Ah! Il sistema tradizionale della cura “buona di per se stessa”, eh, Carstairs?

• Carstairs: Beh, non esattamente, capo. Pensavo solo che la penicillina li avrebbe fatti stare meglio.

• Gillupsie: Per che cosa li stava curando?• Carstairs: Insomma, stavano proprio male, capo, e io

so che la penicillina fa star meglio gli ammalati.• Gillupsie: Certamente, Carstairs. Penso che lei abbia

fatto bene.

• Carstairs: E i morti, capo?• Gillupsie: Cattivi, figlio mio, cattivi pazienti. E non c’è

niente che possa fare un buon dottore quando si trova di fronte dei cattivi pazienti. E nessuna medicina può farci nulla, Carstairs.

• Carstairs: Eppure mi è rimasta ancora la seccante impressione che forse non avevano bisogno di penicillina, che servisse qualcos’altro.

• Gillupsie: Sciocchezze! La penicillina non fa mai cilecca su dei buoni pazienti. Lo sanno tutti.

Al suo posto non mi preoccuperei troppo, Carstairs.



• Misconcetti e modelli primitivi

• Linguaggio matematico e linguaggio quotidiano

• Razionalità matematica e altre forme di razionalità

• Convinzioni, atteggiamenti, emozioni

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