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APT
AleksandarArandjelovic
Portfoliotheorie
Markowitz
CAPM
Kritik
ArbitragePreis Modell
Das APM
Nutzenfunktion& Risikoaversion
Arbitrage PreisTheorie
Abschluss
Die Arbitrage Preis Theorie
Aleksandar Arandjelovic
Technische Universitat Wien
16. Dezember 2017
APT
AleksandarArandjelovic
Portfoliotheorie
Markowitz
CAPM
Kritik
ArbitragePreis Modell
Das APM
Nutzenfunktion& Risikoaversion
Arbitrage PreisTheorie
Abschluss
Ausblick
1 PortfoliotheorieMarkowitzCAPMKritik
2 Arbitrage Preis ModellDas APMNutzenfunktion & RisikoaversionArbitrage Preis Theorie
3 Abschluss
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ArbitragePreis Modell
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Nutzenfunktion& Risikoaversion
Arbitrage PreisTheorie
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Markowitz’ Grundidee
N Assets
rit = Rendite des Assets i zum Zeitpunkt t
dit = Diskontfaktor von i von t auf Gegenwart
Xi = relatives in i investiertes Vermogen (∑
iXi = 1)
short sales (Leerverkaufe) ausgeschlossen, dh Xi ≥ 0
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Nutzenfunktion& Risikoaversion
Arbitrage PreisTheorie
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Markowitz’ Grundidee
Definition
Ri :=
∞∑t=1
ditrit
Folgerung
R =
∞∑t=1
N∑i=1
ditritXi
=
N∑i=1
Xi
( ∞∑t=1
ditrit
)
=
N∑i=1
XiRi.
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Nutzenfunktion& Risikoaversion
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Markowitz’ Grundidee
Idee
maximiere R → finde Ri∗ = maxi=1...nRi
Alternative
falls mehrere Rj , j = 1, ...,K maximal → wahle Portfolio mit
K∑j=1
Xj = 1
Problem
Diversifikation nur selten bevorzugt!
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Nutzenfunktion& Risikoaversion
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Markowitz’ Grundidee
Erwartungswert & Varianz
E = E[R] =N∑i=1
Xiµi
V = V ar(R) =
N∑i=1
N∑j=1
σijXiXj ,
effizientes Portfolio P
@ Portfolio P mit
EP = EP und VP > VP oder
VP = VP und EP < EP
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Menge der effizienten Portfolios
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Grundidee des CAPM
Sharpe und Lintner
Rf = gemeinsame, risikofreie Zinsrate
Keine Kosten
Homogenitat der Erwartungen: Investoren stimmen inerwarteter Rendite sowie Varianz und Korrelation derbetrachteten Großen uberein.
Die betrachteten Zufallsvariablen folgen in Praxis genauden angenommenen Verteilungen.
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Grundidee & Tangentenportfolio
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Das CAPM
Zentrale Gleichung
E[Ri] = Rf + (E[RT ]−Rf )βiT , i = 1, ..., N, (1)
wobei
βiT =cov(Ri, RT )
σ2(RT )
βiT = Empfindlichkeit von Ri gegenuber RT
(E[RT ]−Rf ) = Risikopramie fur Investments in i
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Markowitz’ Grundidee
Varianz = ausreichendes Maß fur Risiko?
nicht immer zweiparametrigen Verteilungen (zB N(µ, σ2))relevant
Homogenitat der Erwartungen fragwurdig
praktische Verteilungen nicht immer wie theoretische(behavioral finance)
Kosten nicht ignorierbar
einperiodische Struktur unzureichend(Intertemporal Capital Asset Pricing Model ICAPM)
weiter Faktoren wichtig (zb Kurs-Buchwert-VerhaltnisKBV)
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Das Modell
Faktormodell
Definition - Einfaktormodell
xi = Ei + βiδ + ei. (2)
e vom Modell unabhangig genug, dass asymptotischvernachlassigbar
e = (1, 1, ..., 1)T
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Das Modell
Vorgehensweise
bilde Portfolio η mit∑
i ηi = 0 (Arbitrageportfolio)
ηi hat Großenordnung 1n
ηx = ηE + (ηβ)δ + ηe
≈ ηE + (ηβ)δ
wahle η sodass ηβ = 0 (kein systematisches Risiko)
ηx ≈ ηE.
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Das Modell
Vorgehensweise
da∑
i ηi = 0 muss ηE = 0 (sonst Arbitragemoglichkeit)
dies gilt fur alle solchen η (ηe = ηβ = 0)
also ist E von e und β linear abhangig (Kronecker-Capelli)
Arbitrage Bedingung
Ei = p+ λβi (3)
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Das Modell
Typische Faktoren
die Inflationsrate
der Olpreis
das BIP
verschiedene Borsenindizes
die wichtigsten Devisenkurse
die Leitzinsen
Empirie
Faktorenanalyse
Regression
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Nutzenfunktion
Definition
Eine Funktion U : X → R, wobei X der Raum der moglichenAusgangssituationen des Wirtschaftssubjektes W ist, wirdNutzenfunktion genannt, falls gilt:
W misst xa ∈ X einen großeren Nutzen zu als xb ∈ X⇒ U(xa) ≥ U(xb) (sogenannte Praferenzrelation)
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Nutzenfunktion
Eigenschaften von U
1 U ist streng monoton wachsend: W bevorzugt großeresVermogen
2 U ist konkav: relativer Nutzen des Geldes nimmt mitsteigendem Vermogen ab
3 U ist stetig und oft genug differenzierbar.
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Risikoaversion
absolute und relative Risikoaversion
r(x) := −U′′(x)
U ′(x), x ∈ X,
r∗(x) := −U′′(x)x
U ′(x), x ∈ X.
Interpretation
negative Werte von r = Risikofreude, positive Werte =Risikoscheu
r∗ liefert Zusammenhang zwischen Risiko und Vermogen
relevant, wenn Risiko mit Vermogen zunimmt
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Risikoaversion
Typ B Investor
Ein Typ B Investor folgt gleichmaßig beschrantker relativerRisikoaversion, dh
∃ R : supx−U
′′(x)x
U ′(x)≤ R <∞.
Bedeutung
Falls keine Typ B Investoren vorhanden, konnen sich konkreteGegenbeispiele angeben lassen, in denen die APT versagt!
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Risikoaversion
Resultat A
Sei U(x;R) eine Nutzenfunktion mit konstanter relativerRisikoaversion R. Dann gilt:
U(x;R) =
{x1−R
1−R falls R 6= 1.
log x falls R = 1.(4)
Resultat B
Sei U Typ B Nutzenfunktion, dann existiert eine monotonwachsende, konvexe Funktion G, sodass
U(x) = G(U(x;R)),
wobei U(x;R) die Nutzenfunktion mit konstanter relativerRisikoaversion R ist.
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Die APT
Das Modell
xi = Ei + βi1δ1 + . . .+ βikδk + ei = Ei + βiδ + ei, (5)
wobei
E[δj ] = E[ei] = 0,
σ2i = E[e2i ] ≤ σ2,
und die ei’s paarweise unkorreliert sind.
optimales Portfolio α0
E[U(wα0x)] = maxα
(E[U(wαx)])
(bedingt auf∑
i αi = 1)
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Technische Vorbereitung
Lemma 1
Sei (Xn)n∈N eine Folge von n× k Matrizen, die dadurchgebildet wird, dass man von einer Matrix mit k Spalten undunendlich vielen Zeilen jeweils immer die ersten n Zeilenbetrachtet, und (Hn)n∈N eine Folge von Diagonalmatrizendiag(h1, ...hn) mit hi ≥ h > 0 ∀ i fur ein h > 0. Angenommenes existieren b ∈ Rk und a ∈ R sodass fur alle regularen Xn
b′[Xn′HnXn]−1b ≥ a > 0. (6)
Dann existieren a∗ ∈ Rk und A ∈ R sodass
(Xna∗)′(Xna∗) ≤ A <∞, (7)
unda∗′b = 1. (8)
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Technische Vorbereitung
Lemma 2
Sei (Xn)n∈N eine Folge von Zufallsvariablen mit E[Xn] = 0und (Konvergenz im quadratischen Mittel)
limn→∞
√∫|Xn|2 = 0. (9)
Sei U konkav und beschrankt von unten, also
U ′′(x) ≤ 0 ∀ x ∈ R,∃ a ∈ R : ∀x : U(x) ≥ a.
Dann gilt fur jede Konstante p ∈ R
E[U(p+Xn)]→ U(p). (10)
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Erstes zentrales Resultat
Annahme 1 - beschrankte Haftung
Es gibt zumindest ein Asset mit beschrankter Haftung: es gibteine Schranke t fur den Verlust, bis zu welcher ein Investor mitseinem Vermogen haftet.
Resultat 1
Betrachte einen Typ B Investor welcher glaubt dass Renditendurch ein Faktormodell erzeugt werden und gelte Annahme 1.Gelte außerdem
∃ m <∞ : α0E ≤ m. (11)
Dann folgt: ∃ p ∈ R, γ ∈ Rk:
∞∑i=1
[Ei − p− βiγ]2 <∞. (12)
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Erstes zentrales Resultat
Aussage
Die Arbitrage Bedingung
Ei ≈ p+ βiγ
= p+ γ1βi1 + . . . γkβik
ist im approximativen Sinne erfullt ist, da aus
∞∑i=1
[Ei − p− βiγ]2 <∞.
unmittelbar|En − p− βnγ| → 0
folgt.
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Vorbereitung fur Resultat 2
Einwand
Bis jetzt nur Typ B Investoren betrachtet
Fur allgemeine Markttheorie weitere Uberlegungennotwendig
Asymptotische Vernachlassigbarkeit
Der Investor av ist asymptotisch vernachlassigbar, falls mitsteigender Anzahl der Assets (n→∞) gilt
limn→∞
wv
w= 0, (13)
wobei wv das Vermogen von av und w =∑
v′ wv′
das gesamtevorhandene Vermogen aller Investoren ist.
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Vorbereitung fur Resultat 2
Annahme 2
Es gibt zumindest einen nicht asymptotisch vernachlassigbarenTyp B Investor.
Annahme 3
Alle Investoren haben dieselben Erwartungen E und sindrisikoscheu.
Annahme 4
Sei ξi die Gesamtnachfrage nach dem Asset i als Anteil desGesamtvermogens w. Wir nehmen an, dass durchwegs ξi ≥ 0gilt.
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Das zentrale Resultat 2
Annahme 5
Die Folge (Ei)i sei gleichmaßig beschrankt, es gelte also
‖E‖ = supi|Ei| <∞ (14)
Resultat 2
Unter den Annahmen 1-5 gilt: ∃ p ∈ R, γ ∈ Rk:
∞∑i=1
[Ei − p− βiγ]2 <∞. (15)
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Zusammenfassung
Interessante Alternative zum CAPM
Verallgemeinerung des CAPM
Empirische Testung: Faktorenanalyse & Regression
Weiters: ICAPM & Black-Litterman Modell
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Ende