Embed Size (px)
Citation preview
DIE GEBRUIK VAN SIGBLAAIE OM DIE
EFFEKTIEWE LEER VAN WISKUNDE TE
BEVORDER
deur
SOPHIA GERTRUIDA OOSTHUIZEN
voorgele to vervulling van die vereistes vir die graad
MAGISTER EDUCATIONIS
in
VAKDIDAKTIEK WISKUNDE
in die
FAKULTEIT OPVOEDKUNDE EN VERPLEEGKUNDE
aan die
RANDSE AFRIKAANSE UNIVERSITEIT
STUDIELEIER: PROF. J. STRAUSS
Mei 1999
i
DANKBETUIGINGS
Graag wil ek my opregte dank en waardering uitspreek teenoor die volgende
persone:
My studieleier Professor J. Strauss vir sy bekwame leiding.
Mej. Elsie Henn vir haar huip met die taalversorging
Aan my ouers vir hulle ondersteuning en liefde gedurende my studies die
afgelope paar jaar.
Aan David vir al sy ondersteuning en voortdurende aanmoediging.
Aan die Raad vir Geesteswetenskaplike Navorsing vir hul finansiele bystand
tydens hierdie studie.
Die personeel van Queens High School, in besonder Mev McCorckel, Mev
Gannaway en Mev Prinsloo vir hul huip tydens die empiriese studie.
Mr T Wilsenach, hoof van Queens, en Mev Canton, hoof van die Natuur-en
Skeikunde departement, vir al die ongewone bystand, raad en ure se moed
inpraat.
Al my vriende wat altyd 'n oor gehad het om to luister.
Hierdie studie word opgedra aan my ouers.
11
INHOUDSOPGAWE
BYLAES
LYS VAN FIGURE
LYS VAN TABELLE
SYNOPSIS
HOOFSTUK 1
ALGEMENE ORIeNTASIE
1.1. Inleiding 1
1.2. Probleemstelling. 6
1.3. Algemene doelstellings met die studie 6
1.4. Program van ondersoek 7
HOOFSTUK 2
LEERTEORETIESE BEGINSELS IN WISKUNDE-ONDERRIG
2.1. Inleiding 9
2.2. 'n Kritiese beskouing oor die leerteoriee 10
2.2.1. Behaviorisme . 11
2.2.1.1. Teoretiese onderbou 11
2.2.1.2. Leerteoretiese implikasies op die leersituasie...... 13
2.2.1.3. Die implikasie van behaviorisme op effektiewe 15
leer in Wiskunde... .............. ........ ..... ......
2.2.2. Inligtingprosessering 17
2.2.2.1. Teoretiese onderbou 17
2.2.2.2. Leerteoretiese implikasies op die leersituasie 19
2.2.3. Konstruktiwisme 20
2.2.3.1. Teoretiese onderbou . 20
iii
2.2.3.2. Leerteoretiese implikasies op die leersituasie...... 23
2.2.3.3. Die implikasie van konstruktiwisme op effektiewe 25
leer van Wiskunde
2.3. Wiskundige kennis 26
2.4. Leerteoretiese implikasies op effektiewe leer in Wiskunde 28
2.5. Samevatting 38
HOOFSTUK 3
DIE GEBRUIK VAN DIE REKENAAR IN WISKUNDE-
ONDERRIG
3.1. Inleiding 41
3.2. Die gebruik van RGO in die klaskamer. 42
3.2.1. Bevindinge na aanleiding van navorsing in terme van 42
die effektiwiteit van RGO
3.2.2. Voordele en Nadele met die gebruik van RGO ...... ... 44
3.3. Tipes RGO 47
3.3.1. Dril-en-inoefening 47
3.3.2. Tutoriale 49
3.3.3. Simulasies 52
3.3.4. Opvoedkundige speletjies 55
3.4. Evaluering van die tipes RGO-benaderings aan die hand 57
van vasgestelde kriteria vir effektiewe leer van Wiskunde...
3.5. Samevatting 60
HOOFSTUK 4
DIE GEBRUIK VAN SIGBLAAIE AS ALTERNATIEF TOT RGO-
BENADERINGS
4.1. lnleiding 61
iv
4.2. Die elektroniese sigblad. 62
4.3. Moontlikhede met die gebruik van sigblaaie in die
Wiskundeklas 64
4.4. Die gebruik van sigblaaie vir die effektiewe leer van
reguitlyn grafieke. 70
4.5. Samevatting. 74
HOOFSTUK 5
DIE EMPIRIESE ONDERSOEK
5.1. Inleiding 75
5.2. Navorsingsontwerp 75
5.2.1. Proefpersone 75
5.2.2. Program van ondersoek. 76
5.2.2.1. Die behandeling 77
5.2.2.2. Die voor- en natoets 82
5.2.2.3. Onderhoude 82
5.3. Resultate 83
5.3.1. Voor- en natoets. 83
5.3.1.1. Opsomming van data 84
5.3.1.2. Die t-toets: Statistiese berekeninge 86
5.3.1.3. Interpretasie van die resultate... ............. 88
5.3.2. Bespreking van onderhoude 90
5.3.2.1. Onderhoude met die leerlinge 90
5.3.2.2. Onderhoude met die onderwysers 91
5.4. Gevolgtrekking 92
HOOFSTUK 6
SAMEVATTING, GEVOLGTREKKING EN AANBEVELINGS
6.1. Samevatting .
6.2. Gevolgtrekking .
6.3. Aanbevelings
6.4. Slot
BIBLIOGRAFIE
94
96
98
100
101
vi
BYLAES
BYLAAG A:
Vraelys 111
BYLAAG B:
Les 1: SIGBLAD 1: Filmteater 113
BYLAAG C:
Les 1: SIGBLAD 2: Filmfees . 115
BYLAAG D:
Les 1: SIGBLAD 3: Geheime boodskap 117
BYLAAG E:
Les 1: Werkkaart: Inleiding tot grafieke en koOrdinate.............. 119
BYLAAG F:
Les 2: SIGBLAD 1: Plot van data in 'n kartetiese vlak 122
BYLAAG G:
Les 2: Werkkaart: Plot van data in 'n kartetiese vlak... ... 124
BYLAAG H:
Les 3: SIGBLAD 1: Die reguitlyn grafiek — tabel metode
Onvoltooide sigblad 126
BYLAAG I:
Les 3: SIGBLAD 1: Die reguitlyn grafiek — tabel metode
Voltooide sigblad 128
BYLAAG J:
Les 3: Werkkaart: Die reguitlyn grafiek — tabel metode 130
BYLAAG K:
Les 4: SIGBLAD 1: Plot van y = 4x + 1 — tabel metode
vii
Onvoltooide sigblad
BYLAAG L:
Les 4: SIGBLAD 1: Plot van y = 4x + 1 — tabel metode
Voltooide sigblad
BYLAAG M:
Les 4: SIGBLAD 2: Plot van y = 4x — 1 — tabel metode
Onvoltooide sigblad
BYLAAG N:
Les 4: SIGBLAD 2: Plot van y = 4x — 1 — tabel metode
Voltooide sigblad
BYLAAG 0:
Les 4: Werkkaart: Die reguitlyn grafiek — tabel metode
BYLAAG P:
Les 5: SIGBLAD 1: Afsnitte en gradiente
Onvoltooide sigblad
BYLAAG Q:
Les 5: SIGBLAD 1: Afsnitte en gradiente
Voltooide sigblad
BYLAAG R:
Les 5: SIGBLAD 2: Afsnitte en gradiente
Onvoltooide sigblad
BYLAAG S:
Les 5: SIGBLAD 2: Afsnitte en gradiente
Voltooide sigblad
BYLAAG T:
Les 5: Werkkaart: Afsnitte en gradiente
135
137
139
141
144
146
148
150
152
133
Viii
BYLAAG U:
Onderhoude met leerders
BYLAAG V:
Onderhoude met onderwysers .........
155
157 ••• ......... • .................
ix
LYS VAN FIGURE
Figuur 2.2.1.1. Die behavioristiese leerteorie 12
Figuur 2.2.2.1. Die inligtingsproseseringsleerteorie 19
Figuur 2.2.3.1. Die konstruktiwistiese leerteorie 23
Figuur 3.3.1. Die dril-en-inoefeningsprosedure 47
Figuur 3.3.2. Die tutoriaal as 'n RGO-benadering. 51
Figuur 3.3.3. Die simulasie as 'n RGO-benadering 54
Figuur 4.2.a. Die elektroniese sigblad 62
Figuur 4.2.b. Etikette, waardes en formules 63
Figuur 4.3.a. Manipulering van waardes in 'n elektroniese sigblad 65
Figuur 4.3.b. Hierdie sigblad dien as data vir reguitlyn grafiek 67
Figuur 4.3.c. Grafiek van data in figuur 4 3 b 67
Figuur 4.3.d. Uittoets van skema deur manipulering van waardes 68
Figuur 4.3.e. Bevestiging van voorspelling deur toetsing 68
x
LYS VAN TABELLE
Tabel 5.3.1.1.a. Verwerkte data van die eksperimentele groep 85
Tabel 5.3.1.1.b. Verwerkte data van die kontrole groep....... 85
Tabel 5.3.1.2. Berekening van t vir beide groepe........................ 87
xi
SINOPSIS
The objective of this study was to explore the possibilities of applying and using
the computer in the Mathematics classroom. The effectiveness of the various
possibilities of this application was of particular importance, as the main
motivation for the use of the computer as educational aid in the Mathematics
classroom was to promote learning effectively and to transform learners from
passive to active participators in the learning environment.
A literary study was assigned to a broad discussion of three learning theorems.
The behaviourist, information processing and constructivist learning theories
were weighed up against one another. The distinguishing characteristics of each
one, as well as implications thereof on the effective learning of Mathematics,
were analysed. The nature of mathematical knowledge serves ultimately as
criteria for effective learning. A list of criteria and guidelines, which the learning
situation had to meet, in order to promote effective learning in Mathematics, was
presented before the computer could be considered as an alternative teaching
strategy.
In the course of the study, there was regular reference to the computer as a tutor.
Varius advantages and disadantages of computer aided instruction (CAI) in the
Mathematics classroom were discussed thoroughly. Four types of CAI
approaches were seen as alternatives to traditional teaching methods. Each of
these approaches was weighed up against the suggested/recommended list of
criteria which the learning situation should meet in order to promote effective
learning.
As an alternative to these approaches, the possibilities of application software
were considered. This study focused particularly on the possibilities of the use of
spreadsheets in the Mathematics classroom. Various advantages and
xii
disadvantages of the implementation of spreadsheets in the Mathematics
classroom were discussed thoroughly.
During an empirical study, a lesson unit, implementing spreadsheets as teaching
aid, was put to the test and its value assessed. The success of this lesson unit
was evaluated according to a West.
In conclusion, it can be assumed that constructivist learning theory principles
served as a foundation for this study which effectively promoted learning. The
learners were constructively active, on the computer, and were guided in their
construction of knowledge with the assistance of inductive questions and
observation of the spreadsheet generated graphs. In a group situation, the
learners supported one another and the teacher acted merely as facilitator. By
using spreadsheets in the Mathematics classroom as an alternative to the
traditional CAI material, learning could be effectively promoted as the
progression of lesson aspects and phases depended on the foundation of
constructivism.
1
HOOFSTUK I ALGEMENE ORIe TASTE
1.1. Inleiding
Daar bestaan onder leerlinge 'n algemene gevoel van hulpeloosheid
wanneer dit kom by die leer van Wiskunde. Hulpeloos omdat leerders nie
weet hoekom dit belangrik is om oor Wiskundige kennis te beskik nie.
Hierdie probleem is veral 'n voortvloeisel uit die metode waarvolgens
Wiskunde in skole tradisioneel onderrig word. eestal bestaan die
onderrig uit 'n verduideliking, gevolg deur 'n reeks oefeninge waarmee die
nuwe konsep ingeoefen moet word. Die oefeninge begin aanvanklik as 'n
eenvoudige toepassing op die teorie, gevolg deur meer ingewikkelde
probleme en somtyds toepassings op probleme uit die werklikheid.
Hierdie sogenaamde toepassingsprobleme (storiesomme) is veral vir die
swakker leerder 'n geweldige probleem, aangesien die teoretiese
verduidelikings in die klas so abstrak en ver verwyderd van die
werklikheid is.
Behoort onderriggewers dus nie eerder by werklike problems te begin en
Wiskundige toepassings daarop te maak nie? Sodoende sal leerders die
toepassingsmoontlikhede van Wiskunde in hul alledaagse !ewe makliker
raaksien en in werklikheid meer effektief leer. Dewey (Gadanidis, 1994:
92) stel dat leer in Wiskunde effektief kan plaasvind wanneer leerders
besig is om te soek na oplossings tot probleme wat buite die Wiskunde-
kurrikulum val. Volgens die tradisionele metode vind leer dus nie effektief
pleas nie, aangesien leerders sukkel om hul Wiskundige kennis toe te pas
op die werklike levee. In 'n tradisionele klaskamersituasie word leerders
blootgestel aan 'n denkpatroon wet somtyds kreatiewe denke en
probleemoplossingsvermoe inhibeer.
2
Bogenoemde stelling impliseer dus dat leerders effektief sal leer indien
hul aktief besig is met die konstruksie van eie kennis deur die soeke na
oplossings van probleme in die werklike lewe. Leerders behoort dus die
geleentheid Begun te word om kreatiewe oplossings te vind. Hierdie
uitgangspunt sluit nou aan by die konstruktiwistiese siening van leer
(Jaworski, 1994: 16). Tradisioneel word behaviorisme in die
onderrigsituasie beoefen, wanneer leerders slegs konsepte inoefen, wat
nie noodwendig tot werklike begrip lei nie (Orton, 1992: 149).
Dieperliggende Wiskundige begrip tree in wanneer dear weg beweeg
word van die oorbeklemtoning van memorisering. Blais (1988: 627) voer
aan dat leerders wet suksesvol rekenkunde kan uitvoer, wat die uiteinde
is van herhaalde inoefening van "resepte", nie noodwendig oor die kennis
of insig beskik om variasies op problems te kan oplos nie. Sulke leerders
sien nie die geheelbeeld nie. Leerders wat op hierdie manier onderrig
word beskik dus nie oor die vermoe om verbande tussen Wiskundige
konsepte te kan raaksien nie en plaas elks konsep in sy/haar eie "vakkie".
Probleme wat nie gekiassifiseer kan word nie is dus vir so 'n leerder
ondoenbaar.
Die eerste step tot suksesvolle leer in Wiskunde le moontlik in die
klemverskuiwing na 'n "nuwe" leerteorie. Die konstruktiwistiese leerteorie
pleas kiem op die proses van organisering en aanpassing van ervaringe
uit die leefwereld waartydens begrip gevorm word (Gadanidis, 1994: 93).
Volgens die konstruktiwisme word leer gedefinieer as die verandering in
betekenis deur ervaring. Met ander woorde nuwe kennis word deur die
leerder self gekonstrueer (Resnick & Ford in Orton, 1992: 193). Dear
word dus totaal wegbeweeg van die idee dat die leerder deur die
onderriggewer soos 'n spons "gevul" kan word met kennis.
Die leersituasie behoort dus te bestaan uit geleenthede wet aan die
leerders gegee word om konteksspesifieke begrippe te ontwikkel (Ertmer
& Newby, 1993: 63). Die onderriggewer behoort dus die rol aan te neem
3
van organiseerder van ervaringe. Deur probleme te stel waartydens die
leerders konstruktief oplossings formuleer en uittoets, word leerders die
geleentheid gegun om kennis te konstrueer as deel van hulle eie
vervvysingsraamwerk.
Uit bogenoemde stellings blyk konstruktiwisme die oplossing te wees om
leer effektief te bevorder. Dit lyk goed op papier, maar is so 'n benadering
prakties in die huidige onderrigsituasie in Suid-Afrika? Een van die
grootste probleme waarmee onderwysers vandag gekonfronteer word, is
die oorvol klasse. 'n Konstruktiwistiese onderrigsituasie klink vir enige
onderwyser na 'n nagmerrie waartydens daar byna geen orde kan wees
nie, indien leerders besig is om in groepe te werk en eie
oplossingsmetodes vir probleme te formuleer. Dit is duidelik dat die
onderwyser van hulpmiddels gebruik behoort te mask om die klaskamer
meer ordelik te bestuur sonder om die leerders se eie kreatiwiteit dood te
druk. Die rekenaar kan aangewend word in so 'n diverse
onderrigsituasie. Die rekenaar kan dien as 'n effektiewe hulpmiddel
waartydens die leersituasie voorsien kan word van 'n versameling van
doeltreffende sensomotoriese ervaringe waartydens leer effektief kan
plaasvind (Forcier, 1996: 223).
Die implementering van die rekenaar hou verskeie voordele vir die
onderriggewer in. Een van die grootste voor die handliggende voordele is
die felt dat daar volgehoue interaksie met die leerder is en die leerder dus
konstruktief besig is in die Ieeromgewing (Hannafin & Peck, 1988: 8).
Daar bestaan dus 'n totale klemverskuiwing vanaf passief hoor en sien na
konstruktief doen.
"Tell me, I forget. Show me, I remember. Involve me, I understand."
(Stahl, 1991)
4
Deur leerders dus betrokke te maak by die leersituasie vind leer effektief
pleas. Bogenoemde aanhaling deur Stahl sluit aan by Coetzee (Marx &
Van der Walt, 1989: 411) wat beweer dat die volgende tydens die
leerproses onthou word:
10% van wat hy lees
20% van wat by hoor
30% van wat by sien
70% van wat hy se
90% van wat hy doen
Die probleem met die tradisionete onderrigsituasie is dat dit grootliks
bestaan uit dit wat die leerder hoor en lees. Deur dus van die rekenaar as
hulpmiddel gebruik te maak, kan die leerder aktief betrokke raak, soos
voorgeskryf deur konstruktiwisme. Die leerder is dus tydens
implementering van die rekenaar in die onderrigsituasie, ten voile in
beheer van sy/haar eie leer. Die rekenaar beskik ook oor die eienskap
om te kan individualiseer en onmiddellike terugvoer te kan gee wat
geweldig behulpsaam is in oorvol klasse. Konstruktiewe leer kan dus
moontlik gemaak word deur die rekenaar as hulpmiddel te gebruik.
Die nadeel met die gebruik van die rekenaar is voor die handliggend,
naamlik die feit dat rekenaartoerusting baie duur is. Met die nodige
befondsing en geldinsameling kan hierdie probleem egter oorbrug word.
Die grootste probleem wat skole ervaar wat reeds oor 'n toegeruste
rekenaarlokaal beskik, is die probleem met sagteware. Daar is nie juis in
fenomenale versameling van sagteware te koop nie. Dit wat wel
beskikbaar is, is geweldig duur, benodig baie duur hardeware, goedkoop
maar van lae kwaliteit of is nie volgens die Suid-Afrikaanse skoolsillabus
opgestel nie. Sagteware word ook maandeliks opgegradeer en tesame
met die opgradering, gaan natuurlik gepaard die opgradering van
hardeware wat enige skool se sak kan ruk op 'n jaarlikse basis. Die
5
alternatief tot rekenaar gerugsteunde programmatuur is die
gebruikmaking van toepassing-sagteware, soos sigblaaie.
Sigblaaie kan uiters behulpsaam wees in die Wiskundeklas tydens die
leer van verskeie konsepte. Indien sigblaaie korrek benut word in die
onderrigsituasie kan dit die leerders in hul konstruksie van kennis
behulpsaam wees. Sigblaaie toegepas op die korrekte manier is in
sekere opsigte van meer waarde as van die verskeie rekenaar
gerugsteunde onderrig benaderings.
Die grootste voordeel verbonde aan die implementering van sigblaaie is
die feit dat dit aangepas kan word vir spesifieke behoeftes. Verskeie
VViskundige konsepte kan met 'n bietjie inisiatief van die onderwyser deur
middel van sigblaaie bestudeer word. Sodoende word dear ook nie
onnodige tyd gemors met die inoefening van rekenkunde nie, maar kan
kiastyd effektief benut word om interessante verbande tussen konsepte te
bestudeer. Die onderwyser stel sigblaaie op wet tesame met 'n werkkaart
in die klas gebruik word. Dear kan byvoorbeeld van die leerders gevra
word om waardes in die sigblad in te vul of om sekere waardes te skat en
sodoende vrae uit die werkkaart te beantwoord. Die onderwyser self is in
beheer van die lesbeplanning en verloop daarvan en nie 'n vreemdeling
(professionele sagteware programmeerder) wet Been ides het oor die
spesifieke groep leerders se unieke behoeftes nie. 'n ekenaarlokaal
benodig ook net een pakket wet jars sal hou, aangesien die sigblaaie
aangepas kan word soos wet die behoeftes verander, wet dus opsigself
koste-effektief is.
Die implementering van die rekenaar kan dus beskou word as 'n
alternatiewe onderrigmetode om leer effektief te bevorder. Uit
bogenoemde arguments blyk dit of die gebruikmaking van die rekenaar in
die leersituasie weliswaar oor die potensiaal beskik om die tradisionele
les te omskep in 'n konstruktiewe leerervaring.
6
1.2. Probleemstelling
Uit die voorafgaande bespreking kan die volgende vraag gestel word wat
as fokus vir die studie dien:
Sal di gebruik van die Felon r On le isersituasie B er y lee r 4111 are
effe tiien n bevord r?
1.3. Igemene doelstellings met the studie
Die doelstellings met hierdie studie is om die toepassingsmoontlikhede
van die rekenaar in die Wiskundeklas te ondersoek. Die effektiwiteit van
die verskillende toepassingsmoontlikhede is veral van belang, aangesien
die grootste motivering vir die gebruikmaking van die rekenaar as
hulpmiddel in die Wiskundeklas is om leer effektief te bevorder en
leerders te transformeer van passiewe na aktiewe deelnemers in die
leeromgewing.
Met bogenoemde stelling in gedagte gaan dear veral gepoog word om
antwoorde op die volgende vrae te verkry:
Hoe vind leer plaas in Wiskunde?
Wanneer vind leer effektief pleas?
Aan watter kriteria behoort die leersituasie voldoen, ten einde
effektiewe leer te bevorder?
Kan die rekenaar in die Wiskundeklas toegepas word, as
alternatiewe strategie, om leer effektief te bevorder?
Hoe behoort die rekenaar in die Wiskundeklas toegepas word om
aan die kriteria vir effektiewe leersituasies te voldoen?
7
In wetter mate ken die gebruik van toepassings sagteware, soon
sigblaaie, die leerder van huip wees tydens die konstruksie van
kennis?
Voldoen die implementering van sigblaaie in die leersituasie aan die
vereistes vir effektiewe leer?
Aan wetter voorwaardes behoort die gebruikmaking van die
elektroniese sigblad as hulpmiddel in die klas te voldoen ten einde
leer effektief te bevorder?
1.4. Program van ondersoek
Die program van ondersoek is as voig:
In hoofstuk 1 is die motivering vir die ondersoek gedoen. 'n
Probleemstelling het gevolg uit die motivering wet dien as doel met die
navorsing. Hierdie hoofstuk word afgesluit met 'n ordening vir die res van
die studie.
Hoofstuk 2 word gewy aan 'n breedvoerige bespreking van drie
leerteoriee. Die behavioristiese, inligtingsprosesserings en
konstruktiwistiese leerteoriee word teen mekaar opgeweeg. Elk se
uitstaande kenmerke, asook die implikasie daarvan op die effektiewe leer
van VViskunde, word beskou. Die acrd van Wiskundige kennis dien ten
slotte as samevattende kriteria vir effektiewe leer. 'n Lys van kriteria en
riglyne waaraan die leersituasie moet voldoen om effektiewe leer in
Wiskunde te bevorder word laastens in hierdie hoofstuk uiteengesit.
In hoofstuk 3 word die rekenaar beskou as altematiewe onderrigstrategie.
Daar word veral na die gebruik van die rekenaar as tutor gekyk. Verskeie
voordele en nadele met die gebruik van rekenaar gerugsteunde onderrig
(RGO) in die Wiskundeklas word deurdagtig beskou. Vier tipes rekenaar
8
gerugsteunde onderrigbenaderinas word beskou as alternatief tot die
tradisionele onderrigmetodes. Elk van die benaderings word opgeweeg
teen die voorgestelde lys van !criteria waaraan die leersituasie behoort te
voldoen om leer effektief te bevorder.
As altematief tot hierdie benaderings word dear na die moontlikhede met
toepassing-sagteware in hoofstuk 4 gekyk. Hierdie hoofstuk brei uit op
die moontlikhede met die gebruik van sigblaaie in die Wiskunde
kiaskamer. Verskeie voordele en nadele met die implementering van
sigblaaie in die Wiskundekias word aandagtig bespreek.
In hoofstuk 5 word 'n uitgewerkte leseenheid, waartydens sigblaaie as
hulpmiddel aangewend word tydens die bestudering van grafieke in die
praktyk getoets. Die suksesvolheid van hierdie leseenheid word
geevalueer aan die hand van 'n t-toets.
Die studie word in hoofstuk 6 deur 'n samevatting, gevolgtrekkings en
aanbevelings uit die studie afgesluit.
9
HOOFSTUK 2
LEERTEORETIESE BEGINSELS Ifs WISKUNDE-ONDERRIG.
2.1. Inleiding
In die soeke na metodes om leer effektief in die Wiskundeklas te
bevorder, is dit noodsaaklik om leerteoretiese beginsels in Wiskunde-
onderrig as 'n basiese rasionaal vir 'n alternatiewe metode aan te hang.
Om enige argument vir die gebruik van die rekenaar, as hulpmiddel om
leer effektief te bevorder, te ondersteun, behoort dear eers te gekyk word
hoe leer plaasvind.
'n Teorie word volgens Richey (Newby, Stepich, Lehman en Russel et al.,
1996: 27) gedefinieer as 'n stel verbandhoudende beginsels wat die
oorsaak-gevolg-verhouding in gebeure kan verklaar. 'n Teorie het dus 'n
praktiese waarde in die sin dat dit observasies kan verklaar en
toekomstige gedrag kan voorspel. In hierdie opsig vorm leerteoriee die
onderbou van die leersituasie. Leerteoriee verklaar dus sekere uitkomste
van die leerproses en terselfdertyd kan hierdie uitkomste vooraf voorspel
word. Lerman en Sierpinska (1996: 844) illustreer hoe navorsers met
behulp van eksperimentele prosedures teoriee daarstel om sodoende te
probeer sin maak uit leerders se gedrag, en hoe toekomstige
gedragspatrone voorspel kan word, na aanleiding van hierdie teoriee.
Hierdie teoriee stel ook onderriggewers in die praktyk in staat om die
mees effektiewe onderrigmetode toe te pas om effektiewe leer te
bevorder.
Elke Wiskunde-onderwyser beskik reeds oor 'n bestaande teorie vir
onderrig, wat waarskynlik vorm gegee is deur die wyse waarop hy/syself
onderrig is (Prevost, 1993: 75). Wat ookal die onderriggewer se siening
oor die aard van Wiskunde, dit beinvloed die onderrigsituasie direk. Met
10
ander woorde 'n kritiese beskouing oor relevante leerteoriee worm 'n
logiese deel van enige ondemggewer se idea van hoe die leer van
Wiskunde die effektiefste sal plaasvind (Orton, 1994: 36). 'n Wiskunde-
onderwyser kan homself/haarself dus nie kant teen, of skaar by enige
leerteorie indien hy/sy nie beskik oor 'n behoorlike kennis van die
verskillende bestaande leerteoriee nie (Orton, 1992: 148). Skemp (1987:
101) se verder dat 'n onderriggewer wat inmeng in die leerproses, sonder
om behoorlik kennis te dra van wat werklik dieperliggend gebeur, meer
skade doen as goed.
'n Kritiese bespreking van die bestaande leerteoried stet dus die
onderriggewer in staat om riglyne daar te stel waaraan die leersituasie
moat voldoen om effektiewe leer in Wiskunde te bevorder. Die
bespreking word gedoen met die oog op die moontlike implementering
van die rekenaar in die leersituasie. 'n Toepaslike leerteorie kan dus as
grondsiag dien vir die debat rondom die effektiwiteit van die rekenaar in
die klaskamer.
2.2. 'n Kritiese beskouing oor die leerteoriee
Newby et al.,(1996: 28 — 36) onderskei drie bred teoretiese perspektiewe
op leer, naamlik die behaviorisme, inligtingsprosessering en
konstruktiwisme. Al drie hierdie benaderings word vandag nog steeds in
die praktyk ondersteun en impliseer uiteenlopende onderrigmetodes. Alle
onderriggewers se onderrigmetodes toon kenmerke van 'n spesifieke
perspektief op leer of 'n kombinasie daarvan. Die rekenaar kan moontlik
gelmplementeer word as 'n onderrigstrategie bevorderlik tot leer. Hier
volg 'n kritiese beskouing oor elk van die leerteoriee en die implikasies
daarvan op die onderrigsituasie.
11
2.2.1. F ehaviorisme
2.2.1.1. Teoretiese onderbou
Die behavioristiese sielkunde, wat ook bekend staan as stimulus-
responssielkunde, het vroeg in die 20ste eeu ontstaan en word
ten nouste verbind met die werk van Skinner (Newby et al.:1996,
29). Volgens Fourie (n.d. :7) word hierdie teorie gebaseer op die
beginsel dat leer die gevolg of resultaat (uitkoms) is van die
kombinering van response met stimuli. Die klassieke Pavlov-
eksperiment, waartydens honde geleer het om die lui van 'n kiok
met kos to assosieer, is 'n voorbeeld. Die belangrike
gevolgtrekking van hierdie eksperiment is dat oedraq beInvloed
word deur dit wat die gedrag voorafoaan, asook dit wat op die
gedrag vcg. V rsterking (dit wet na die respons voig) vorm 'n
belangrike onderbou in hierdie teorie. Positiewe versterking is 'n
reaksie op die respons wet weer tot dieselfde respons sal lei en
negatiewe versterking 'n reaksie wat tot gevolg het dat die
respons nie weer herhaal sal word nie (Hannafin & Peck, 1988:
46).
Volgens Newby et al., (1996: 29) is gedrag die primbre fokus van
die behavioristiese perspektief. Verandering in gedrag
(behavior') is die uiteinde van die invloed van die eksteme
omgewing — vandaar die term behaviorisme. Die sksi/e
nage Mg (A) het dus 'n invloed op die mens se g drag (B) en
dit lei tot 'n spesifieke ge ogg (C). Leer het dus plaasgevind
wanneer die leerder konsekwent optree, met ander woorde
wanneer A konsekwent lei tot B. (Vergelyk ook Forcier, 1996:
216)
000000000000000000000000000000020000000000000000000000000000 0 0
RES
POSITIEWE VERSTERKING
GEWENSTE GEVOLG
(C)
ONGEWENSTE GEVOLG
(C)
NEGATIEWE VERSTERKING
000000000000000000000.0000000000.0000000000000008000000000 0 0 0 0 0
GEDRAG 03)
rp0MOM017000012014000000.00000000000000000
STIMULI
EKSTERNE ONIGEWING (A) noRsAAK
0000000000000000000000000000000000000
12
Skinner (1968: 64) verwys na onderrig as:
`...arrangement of contingencies under which students learn..."
Na sy mening is die leersituasie slegs 'n versameling van
eksterne kondisies (ekst m e *mg -wOng (A)) wat die leerder
kondisioneer om 'n sekere gedrag Cs) to openbaar. Daar bestaan
dus twee soorte kondisies, naamlik:
orsaak:
Daardie kondisie wat die respons veroorsaak (stimuli).
• esvo0g:
Die kondisie wat geld na die respons (positiewe of
negatiewe versterking).
Die onderstaande figuur beeld opsommenderwys die leersituasie
aan die hand van die behavioristiese leerteorie uit:
Fig. 2.2.1.1. Die behavioristiese leerteorie
13
2.2.1.2. Leerteoretiese implikasies op die ieersituasie
Die behavioristiese leerteorie skryf pertinent sekere riglyne vir die
leersituasie voor om sodoende effektiewe leer te waarborg.
Soos reeds opgemerk stel Skinner die onderrigsituasie voor as 'n
georganiseerde reeks "kondisies". Die implikasie op die
onderrigsituasie is dus dat die onderwyser die eksterne faktore
moet identifiseer en organiseer (Newby et al.:1996, 30). Die
onderrigsituasie behoort dus te bestaan uit 'n reeks
georganiseerde stimuli wat tot sekere response sal lei, deurdat
die onderriggewer deurlopend van positiewe of negatiewe
versterking tydens begeleiding gebruik maak. Die behavioris
beskou bogenoemde as die primere determinant om effektiewe
leer te verseker.
Gagne en Briggs (1979) beskryf drie beginsels vir
onderrigontwerp wat uit hierdie teorie na yore kom.
Samehang: Die respons behoort die stimuli sonder
oponthoud te volg. Die leerder behoort dus aangemoedig te
word om dadelik te reageer op 'n stimuli. Herhaalde
positiewe versterking behoort te lei tot beter retensie.
Herhaling: Herhaalde oefening van die stimulus en respons
versterk leer en verbeter retensie. Die herhaalde inoefening
van tafels met behuip van flitskaarte is 'n voorbeeld.
Terugvoering en Versterking: Kennis aangaande die
korrektheid van die respons dra by tot leer. Met ander
woorde die leerder sal slegs die ongewenste gevolg
(respons) vermy indien die versterking wat volg op die
respons negatief is. Leer vind dus plaas indien die leerder
kennis dra van die gevolg van sy/haar gedrag (respons) en
14
sal dus sy/haar gedrag daarvolgens verander. (vergelyk or*
paragraaf 2.2.1.1)
`n Vierde beginsel word deur Hannafin en Peck (1988: 47)
ingesluit.
Aansporing en Onttrekking: Leer behoort plaas te vind
deur middel van deurlopende afskaling van begeleiding, van
die leerder, na die gevraagde respons (Skinner, 1968). Met
ander woorde aan die begin van 'n leseenheid sou dit nodig
wees om deur middel van begeleiding die leerder na die
gevraagde respons te lei, teen die einde van die leseenheid
behoort die leerder self/sonder hulp te respondeer.
Vanuit 'n behavioristiese perspektief word die volgende riglyne
vir die onderwyser voorgeskryf (Newby, et al.; 1995:39):
Eerstens moet die onderwyser doelwitte stel in terme van
leerdergedrag. Uit die leerder se gedrag kan afgelei word dat
leer plaasgevind het, daarom is dit belangrik dat die
verlangde drag beskryf word in die vorm van 'n leeruitkoms
(doelwit).
Tweedens moet die onderwyser wenke of riglyne bied wat die
leerder sal begelei tot die verlangde gedrag. (Vergelyk met
Skinner se "kondisies" in paragraaf 2.2.1.1) Die
onderriggewer behoort begeleiding, in die vorm van wenke,
deurlopend afskaal.
Derdens moet die gevolge aangewend word om die
verlangde gedrag te versterk. In 'n konteks bevorderlik vir
leer behoort die leerder kennis te dra van hierdie gevolge.
15
2.2.1.3. Die i plikasie van behaviorisme op effektiewe leer in
Wiskunde.
Die invloed van hierdie leerteorie op die onderrig van Wiskunde
was fenomenaal. Die standpunt dat die leerder gesien word as 'n
lee houer wat deur die onderwyser gevul moet word met kennis,
het 'n groot invloed gehad op die wyse waarop Wiskunde in die
kiaskamer bemeester is (Simonson & Thompson, 1994:6).
Mn die begin van die 20ste eeu het Thorndike voorgestel dat
leerders Wiskunde effektief sal kan bemeester deur dril en
inoefening (Gadanidis, 1994: 91). Sy argument was dat
verbande tussen stimuli en response versterk word deur
oefening waartydens sukses geprys word (Thorndike, 1922). Hy
brei uit deur te se dat indien hierdie verbande goad genoeg
ingeoefen word, leerders in staat sal woes om soortgelyke
probleme op te los indien die situasie opduik (Kilpatrick, 1992).
Thorndike se stelling is teengestean deur onder andere Brownell,
wat 'n voorstander is van betekenisvolle leer, wat die kiem plans
op begrip van geIntegreerde konsepte en patrone (Resnick &
Ford, 1981). Lilt onderhoude met Wiskunde leerders is die
opspraakwekkende gevolgtrekking gemaak dat leerders, selfs na
herhaalde dril- en inoefening sessies, steeds uiteenlopende
metodes gebruik vir probleemoplossing, wanneer hulle
blootgestel word aan soortgelyke probleme. Volgens Orton
(1992: 149) is dit moeilik om te waarborg dat stimulus-respons
dieperliggende Wiskundige begrip kan bewerkstellig. Dienes
(Orton,1992: 149) versterk hierdie argument deur te se dat
"...no one today doubts any more the fact that the
stimulus-response relation leads to a training which
leads most of the time to mental blockages."
16
Blais (1988: 627) voer hierdie argument verder deur aan te voer
dat remedierende prosessering (wat die resultaat is van dril en
inoefening), as gevolg van sy oorbeklemtoning van
memorisering, 'n verstandelike doodloopstraat is.
dat
"Successful performances resulting from remedial
processing seldom leads to competence,
insight:fulness, or expertise. Shallowness does not
reach a point of critical mass that causes it to
metamorphose into depth."
lais se verder
Uit die voorafgaande literatuurstudie is dear opsommenderwys
tot die volgende gevolgtrekking gekom: Deur leerders
herhaaldelik oefeninge te gee om hul rekenkunde in te oefen,
gee nie werklik aanleiding tot die ontwikkeling van 'n
probleemoplossingsvermoe nie. Die vraag ontstaan dus of leer in
Wiskunde wel volgens die behavioristiese siening kan plaasvind.
Die antwoord kan gesoek word in die kognitiewe sielkunde.
In reaksie op die behavioristiese perspektief op leer het die
kognitiewe sielkunde ontwikkel. Dit het gebeur as gevolg van
leemtes in die behavioristiese siening, veral ten opsigte van
taalkreatiwiteit (Gardner, 1995: 28). Solso (1984: 1) beskryf
kognitiewe sielkunde as 'n bestudering van
"...how we gain information from the world, how such
information is represented and transformed as
knowledge, how it is stored, and how that knowledge is
used to direct our attention and behavior."
17
Ontwikkelinqe op die terrein van die kognitiewe sielkunde het
aanleiding gegee tot die inligtingsprosesseringsperspektief en die
konstruktiwistiese perspektief.
2.2.2. Inligtingsprosessering
2.2.2.1. Teoretiese onderbou
Hierdie perspektief het sy ontstaan in die kognitiewe sielkunde se
metafoor tussen die rekenaar se inligtingsprosessering en
menslike inligtingsprosessering. Orton (1992: 167) verduidelik
dat die koms van die rekenaar, die
inligtingsprosesseringsbenadering ontwikkel het as 'n alternatief
tot behaviorisme. Volgens hierdie teorie word die rekenaar dus
as 'n model van die menslike brein beskou (Newby et al.; 1996:
31).
Binne hierdie perspektief fokus 'n definisie van leer op die interne
proses, met ander woorde wat binne die brein gebeur tydens
leer. Cobb (Orton, 1992: 167) stel dat inligtingsprosessering te
make het met wat in die brein gebeur tussen die stimuli en die
respons. Leer vind pleas as 'n verandering van kennis wat in die
geheue gestoor word (Newby et al.; 1996: 31). Die teorie rus op
die werking van die geheue. Geheue word beskou as die sleutel
tot leer. Die Joel van leer is dus om kennis te stoor in 'n maklik
herroepbare vorm vir kort of langtermyndoeleindes.
Volgens Newby et al.; (1996: 31 - 32) beskik die menslike
geheue oor twee essensiele kenmerke:
dit is georganiseerd
o dit is aktief
18
Dit is georganiseerd omdat die mens 'n manier soek om dit te
organiseer. Die geheue is dus nie 'n passiewe ontvanger van
inligting nie, maar is aktief in die organisasie en herrangskikking
van nuwe inligting, sowel as die aansluiting van nuwe kennis by
bestaande kennis in die geheue.
Bell-Gredler (1986) beskryf drie prosesse ingesluit in die aktiewe
optrede van die geheue, naamlik:
AANDAG. Die leerder word gekonfronteer met nuwe inligting
vanuit die eksteme omgewing (leersituasie). Hierdie inligting
wat ontvang word, word geselekteer.
ENKODERING. — Die geselekteerde inligting word
oorgeskakel in 'n kode wat dit makliker maak om in die
geheue op te neem. Dit is belangrik om te noem dat indien
daar 'n verband bestaan tussen nuwe inligting en reeds
bestaande inligting, aandag en enkodering makliker sal
plaasvind.
OPROEP. Die oproep en identifisering van relevante
inligting in die geheue vir 'n spesifieke doel is hier ter sprake.
Indien die leerder met 'n probleem gekonfronteer word, word
die relevante inligting vanuit die geheue dus geselekteer en
opgeroep en sodanig gebruik tydens die probleemoplossing.
Leer het dus plaasgevind wanneer nuwe inligting geenkodeer is
of wanneer bestaande kennis herkodeer is op 'h nuwe manier
(Newby, et al.; 1996: 32)
Die onderstaande figuur beeld opsommenderwys die leersituasie
aan die hand van die inligtingsprosesseringsleerteorie uit:
19
ENKODERING
AANDAG HERROEP
Fig. 2.2.2.1. Die inligtingsprosesseringsleerteorie
2.2.2.2. Leerteoretiese implikasies op the leersituasie
Die onderwyser se taak volgens hierdie teorie verskil
merkwaardig van die behavioristiese perspektief. Die hooftaak
van die onderwyser is om eksterne faktore so te organiseer dat
dit die leerder se aandag trek, die leerder dit enkodeer en dit kan
herroep.
Die inligtingsprosesseringsperspektief skryf die volgende riglyne
vir die onderrigsituasie voor (Newby, et al.; 1996: 32):
Eerstens moet die onderwyser nuwe inligting vir die leerder
organiseer. Die onderwyser kan gebruik maak van "mind
maps" om inligting so te organiseer dat dit 'n geheel vorm.
Tweedens moet die onderwyser verbande le tussen nuwe
inligting en reeds bestaande kennis.
Derdens moet die onderwyser gebruik maak van tegnieke wat
die leerders sal ondersteun in hul aandag, enkodering en
oproep van inligting. Daar kan gebruik gemaak word van
assosiasies om inligting te enkodeer wat dit vir die leerder
makliker sal maak om feite op te roep.
20
2.2.3. Konstruktiwisme
2.2.3.1. Teoretiese onderbou
"Intelligence organises the world by organising itself"
Piaget, 1937
Die konstruktiwistiese leerteorie kan teruggevoer word na die
werk van Jean Piaget, aihoewel sy werk nie doelbewus die
soeke na 'n leerteorie was nie (Orton, 1992: 149). Die
konstruktiwisme beskryf die vvyse waarmee kognitiewe prosesse
bekom, ontwikkel en gebruik word. Vygotsky het veral vorendag
gekom met verduidelikings vir kognitiewe prosesse en die sosiale
konstruering van kennis (Airasian en Walsh, 1997: 445; Van der
Spuy, 1997: 9). Ausubel (Gravett, 1993: 101) het veral kiem
geplaas op die belangrikheid van voorkennis vir betekenisvolle
leer, met ander woorde leer is afhanklik van voorkennis wat
gebruik word vir die konstruering van nuwe kennis.
Daar bestaan verskeie sieninge oor die aard van
konstruktiwisme, maar veral twee beciinsels kom na yore:
Dennisoga word aktief gekonstrueer deur die leerder.
.°00 Begrip word gebore uit 'n proses van organisering en
aanpassing van ervaringe uit die leefwereld (Gadanidis, 1994:
93; Von Glaserfeld, 1989: 162; Jaworski, 1994:16)
Von Glaserfeld (Steffe en Wiegel, 1994: 111) stel ook dat
21
a ...the most reinforcing for a cognitive organism [iis] to
achieve a satisfactory organisation, a viable way of dealing
with some sector of experience."
Die eerste beginsel word deur Schoenfeld (1992: 290) verbind
aan mentalisme. Subjektiewe kennis (eie oortuigings en begrip)
van 'n leerder bestaan uit kognitiewe strukture waardeur sy/haar
wereld waargeneem, georganiseer en verklaar word.
Konstruktiwisme is dus die siening dat die mens se denke aktief
nuwe kennis skep deurdat nuwe/eie interpretasies van inligting
gemaak word (Prevost, 1993: 75). Met ander woorde leerders
doen kennis op deur 'n aktiewe proses van assimilering en
akkomodering, waarby nuwe sowel as bestaande kennis
getransformeer word in 'n nuwe skema van begrip (Gadanidis,
1994: 93; Swart, 1994: 94; Van der Spuy, 1997: 16; Prevost,
1993: 76). Dewey (Newby et al.:1996: 34) stel dat:
"...education must be conceived as a continuing reconstruction of experience"
Whittrock (1990: 348) verduidelik verder dat:
"...the mind actively constructs its own interpretations of information and draws
interferences from them..."
Whittrock se stelling kan deur Piaget (Von Glaserfeld, 1987: 9)
se verduideliking aangaande konstruksie van eie kennis soos
voig verduidelik word:
Tydens die leerder se soeke na ooreenkomste in die
sogenaamde "patroon" waarin gebeure plaasvind, word die
ervaring gesegmenteer in kleiner dele en word hierdie aparte
dele vergelyk met segmente van vorige ervarings wat die patroon
voig. Hierdie ervaring word dus gekonstrueer as deal van die
kognitiewe struktuur, indien ooreenkomste voorkom. Indien nie,
22
word die struktuur aanaepas. I ndien hierdie skema
opeenvolgend suksesvol is, so het Piaget opgemerk, het die
leerder in werklikheid 'n manier ontdek om 'n sekere tipe ervaring
te kiassifiseer en te organiseer. Om sin te maak uit 'n
versameling van ervaringe moet die leerder dus oor die vermoe
beskik om hierdie ervaringe te kan organiseer en betroubare
voorspellings daaruit te kan maak (Von Glaserfeld, 1987: 9).
Piaget (Jaworski, 1994: 15) som bogenoemde as voig op:
"...all knowledge is tied to action, and knowing an object or an event is to use it
by assimilating in into an action scheme."
Leer word dus gedefinieer as die verandering in betekenis deur
ervaring. Nuwe kennis word deur die leerder self gekonstrueer
(Resnick & Ford in Orton, 1992: 163; Blais, 1988: 627). Met
ander woorde die leerder is konstruktief besig om nuwe kennis te
skep deur sy/haar soeke na oplossings van realistiese probleme,
in samewerking met ander (sosiale konstruktiwisme). Taylor en
Campbell-Williams (1993:24) sluit aan by die laaste stelling deur
te beklemtoon dat die leerproses as sosiokultureel beskou kan
word waartydens die leerder tydens interaksie met ander
interaktief besig is om kennis te konstrueer. Sos
konstru Waal verskil dus in die een opsig van tr disOoneOs
konstrukthvilem ,;: (word ook na verwys as radikale
konstruktiwisme). Piaget beskou die konstruering van kennis as
`n individuele kognitiewe ervaring waarop die buitewereld geen
invloed het nie, weens die felt dat kognitiewe strukture subjektief
van aard is — tradisionele of radikale konstruktiwisme (Airasian &
Walsh, 1997: 445; Van der Spuy, 1997: 10).
Die onderstaande figuur beeld opsommenderwys die leersituasie
aan die hand van konstruktiwisme uit:
23
Fig. 2.2.3.1. Die konstruktiwistiese leerteorie
2.2.3.2. Leerteoretiese 1 plikasies op die leersituasie
Die konstruktiwistiese leerteorie impliseer dat onderrig bestaan
uit 'n samewerkingsituasie wet aan die leerders geleenthede gee
om nuwe en konteksspesifieke begrippe te ontwikkel deur die
integrering van diverse bronne van voorkennis (Ertmer & Newby,
1993: 63).
Die rol van die onderwyser is om die leerder behulpsaam te
wees in die organisering en ook reorganisering van ervaringe. In
teenstelling met die behavioristise teorie is die rol van die leerder
om self te konseptualiseer (Orton, 1992: 164). Volgens die
24
knnQtri iktiwktieQe Qiening wrwri kennis gestrukti ireer rleir
leerder self en kan kennis nie gewoon oorgedra word vanaf die
onderwyser na die leerder nie (Blais, 1988: 627; Dosey, 1988:
291; Orton, 1992: 154; Lerman & Sierpinska, 1996: 843; von
Glasserfeld, 1989: 162). Lochead (Orton, 1992: 163) stel:
"...knowledge is not an entity which can simply be
transferred from those who have to those who
don't..."
Die leerder word dus nie "gevul" met kennis deur die onderwyser
nie. (vergelyk paragraaf 2.2.1).
Die konstruktiwistiese perspektief skryf die volgende riglyne vir
die leersituasie voor (Newby et al.; 1996: 35):
Stel goeie probleme. Leer vind plaas wanneer kennis
toegepas word in die oplos van probleme wat realisties en
interessant is vir die leerders. Deur leerders die
toepasbaarheid van Wiskunde deur die oplos van werklike
probleme te illustreer, kan leer effektief bevorder word. Die
onderrig van Wiskunde leen horn dus daaraan om die
relevansie van die vak in die werklike lewe te beklemtoon.
Skep geleentheid vir groepsaktiwiteite. Leer kan
vergelyk word met sosiale dialoog vvaarin die leerders en die
onderwyser saam ondersoek instel. Deur gebruik to maak
van elektroniese hulpmiddels kan groepwerk gefasiliteer word.
Modelleer en lei die konstruksie van kennis.
Onderwysers en leerders moet seam probleme oplos, terwyl
die onderwyser die nodige leiding verskaf.
25
3 r'~i® im raiiirm&Oc %anon knrktiwisme affektiewe legr2.2.3. . Cd ON, ID IOF1110,01%. ostu op
van Wiskunde.
Daar bestaan 'n klemverskuiwing in die vraag wet effektiewe leer
in Wiskunde impliseer,
" the question is not whether students construct
understandings of mathematical concepts but rather how
good are their constructions."
Die argument word ondersteun deur Confrey (1990: 110) deur te
stel dat
"...the first principle is that the teacher recognises that she is
not teaching students about mathematics, she is teaching
them how to develop their cognition".
Dit impliseer dat die onderwyser leeromgewings behoort te skep
wet leerders sal ondersteun in die samestelling van Wiskundige
strukture (Gadanidis, 1994: 93). Die onderwyser word die
fasiliteerder en begeleier in die leerproses en is nie net die
verspreider van kennis nie (Forcier, 1996:222; Prevost, 1993: 75).
inne die konstruktiwistiese paradigma se Blais (1988: 624) dat
onderrig beskou ken word as 'n proses waartydens 'n beginner
(novice) getransformeer word na 'n ekspert (expert). Begrip wat
voortvioei vanuit die persepsie van essensie, is die hart van 'n
ekspert se Wiskunde ervaringe, daarteenoor maak cri beginner
slags gebruik van algoritmes wet ingedril is sonder om werklik
waardering te toon vir verbande wet bestaan tussen
onderliggende Wiskundige konsepte. Die konstruktiwis meen dat
verduidelikings nie veel sal beat in 'n poging om beginners na
eksperte te transformeer nie, soos reeds genoem moet leerders
self hul kennis konstrueer (Blais, 1988: 627).
26
VV,iskunde ondervyysers behoort dus die klem te verskuff van passiewe na
aktiewe deelname in die kias, aangesien leer so effektief plaasvind.
Onderriggewers behoort dus alternatiewe onderrigstrategiee, bevorderlik
vir effektiewe leer, te ondersoek. Die rekenaar het definitief 'n plek in die
konstruktiwis se kiaskamer, aangesien implementering daarvan 'n
konstruktiwistiese leerklimaat skep.
Alvorens enige spesifieke leerteorie aangehang kan word om uiteindelik
kriteria daar te stel waaraan die leersituasie behoort te voldoen, moet
Wiskundige kennis beter omskryf word. Irldien dear 'n goeie begrip
aangaande die aard van Wiskundige kennis bestaan, is dit moontlik om 'n
leerteorie toe te pas in die kiaskamer om effektiewe leer in Wiskunde te
bevorder.
2.3. Wiskundige kennis
Dennis en die kenner is eers beskou as twee aparte identiteite. Later in
Descartes se tyd is die teorie: "Ke nis won..' beirorn deur enslike
S ri; g" aangehang. Daarvolgens word kennis opgedoen deur
observasies van die werklikheid (Von Glaserfeld, 1987: 4/5; Airasian &
Walsh, 1997: 445).
Die ontstaan van Wiskundige kennis word volgens die konstruktiwistiese
siening verklaar as sosiale konstruksie van intersubjektiewe kennis
(Steedman, 1991: 7; Jaworski, 1994: 25). Wiskundige kennis is dus nie a
priories nie, wat totaal in teenstelling is met Ernest (1991: 4) se siening
oor Wiskundige kennis. Wiskunde is die aktiwiteit waardeur leerders
verbande en patrone ontdek wat vir hulle doeltreffend is en waarop hulle
kan staatmaak. Wiskundige kennis is dus 'n instrument tot
probleemoplossing (Wheatley, 1991: 11-12). Wiskundige kennis is dus 'n
proses. Wiskundige kennis kan nie verminder word tot 'n voorraad van
herroepbare feite nie, maar dit kan gedefinieer word as die verrnoe om
27
nuwe resultate te bereken. Von Glaserfeld (1989: 10 — 16) is streng
gekant teen die idee om Wiskundige kennis te klassifiseer as
behavioristiese kennis (Die idee dat Wiskundige kennis opgebou word uit
'n reeks stimuli wat sekere response tot gevolg het).
Piaget (Von Glaserfeld, 1987: 10/11) beskou Wiskundige kennis as
operasioneel, en nie figuurlik nie. Wiskundige kennis is dus die produk
van 'n operasionele refleksie wat nie noodwendig sigbaar is nie. Die
uitkoms van die operasie is wel sigbaar en kan die produk wees van 'n
sigbare respons. Operasionele kennis word dus nie geassosieer met die
herroeping van 'n gewenste antwoord nie, maar eerder met die
prosedures wat in verband staan met die oplewering van die antwoord.
Wiskunde kan beskou word as 'n hierargiese vak. Hi6rargies in die sin
dat Wiskundige begrippe (terme en konsepte) afhanklik is van mekaar en
dat dear 'n bepaalde verhouding bestaan tussen die onderliggende
aksiomas (Ernest, 1991: 75). Met ander woorde nuwe kennis word in
verband gebring met reeds bestaande kennis. egrip aangaande 'n nuwe
konsep kan nie intree indien dear nie 'n verband bestaan tussen die
bestaande kennis en nuwe kennis nie. Dus kan leer nie plaasvind nie.
Hierdie siening oor die aard van Wiskunde word nou verbind met die
konstruktiwistiese siening van leer (Orton, 1992: 154). Die argument kan
soos volg verder gevoer word:
meaningful learning was a process through which new
knowledge was absorbed by connecting it to some existing
relevant aspect of the individual's knowledge structure. If
there were no relevant concepts already in the mind to which
new knowledge could be linked, the new knowledge would
have to be learned by rote and stored in an arbitrary and
disconnected manner. If new knowledge was assimilated
within the existing knowledge structure as a related unit, and if
28
appropriate modification of prior knowledge (accommodation)
took place, the result was meaningful learning."
Ausobel (Orton, 1994: 155/156).
Nuwe Wiskundige kennis kan dus nie, soos reeds genoem deur die
onderwyser na die leerder oorgedra word nie. Polya was van mening dat
leer nie in Wiskunde plaasvind deur hope Wiskunde huiswerk
(repeterende drilwerk) te doen nie, maar eerder deur die deurdagte
konstruksie van verhoudings en relasies wat geobserveer word deur die
leerder tydens probleemoplossing (Dosey, 1988: 291/292).
2.4. Leerteoretiese implikasies op effektiewe leer in iskunde
'n Mens kan verwag dat die kwaliteit van die interaksie tussen die leerder
en sy/haar omgewing, waarvan die onderwyser 'n belangrike komponent
kan vorm, 'n definitiewe effek op die kwaliteit van leer behoort te he.
Volgens Orton (1994: 35) bestaan dear egter geen direkte bewyse om
bogenoemde bewering te staaf nie. Verder beweer by dat, wet ookal die
defiriisie van leer is wat die onderwyser aanhang, bly dit die onderwyser
se belangrike en voortdurende verantwoordelikheid om gedurig op soek
te wees na metodes om leer te promoveer. Dear is wel onderwysers wat
vanuit die veronderstelling gaan dat die leeromgewing wat geskep is in
die klaskamer 'n uitwerking het op die leerders se prestasies en
belangstelling in Wiskunde (Chapin & Eastman, 1996:112). Skemp
(1987: 101) is van mening dat die mate van bereiking van 'n leerder se
voile potensiaal grootliks afhang van die onderwyser. Sy siening oor
onderrig is :
"...any kind of action that influences the learning process."
Omdat leerders eie kennis in die lig van bestaande kennis en deur eie
ervarings in die alledaagse lewe konstrueer, vind leer pleas indien dear 'n
konseptuele verandering by die leerder ingetree het. 'n Werklike
29
konseptuele verandering is slegs moontlik indien 'n diep-holistiese
leerbenadering deur leerders gevolg word. Met ander woorde die intensie
van die leerder by die aanpak van die leertaak beinvloed effektiewe leer.
Nou ontstaan die vraag of ons as onderriggewers die intensie van die
leerder positief kan beinvloed. Kan onderwysers dus die leerder
aanmoedig om 'n diep-holistiese leerbenadering te voig? Hierdie
vraagstuk is nie so maklik beantwoordbaar nie omdat 'n oppervlak-
atomiese benadering (passiewe kennis) onbewustelik aangemoedig word
tydens die onderrigfase. Daar bestaan dus 'n diskrepansie tussen die
onderriggewer se beoogde opvoedkundige doelstellings en die werklike
uitkomste van die onderrig (Gravett, 1995: 1).
Kan effektiewe leer aangemoedig word? Na aanleiding van die indiepte
literatuurstudie ten opsigte van effektiewe leer, is die antwoord hierop ja,
want onderriggewers het 'n bepaalde opvoedingstaak. Om effektiewe
leer te bevorder behoort leerbegeleideing te geskied aan die hand van die
leerondersteunende optrede van die onderriggewer deur middel van die
skep van 'n konteks bevorderlik vir leer (Gravett, 1995: 1).
Samevattend kan die volgende uiteengesit word as riglyne waaraan die
leersituasie moet voldoen om effektiewe leer in Wiskunde te bevorder:
Stel dub elike doetwitte.
Konstruktiwisme vra van die onderriggewer om ervarings in 'n rigting te
stuur vir die uitsluitlike bereiking van doelwitte (leeruitkomstes). Hierdie
standpunt kom veral na yore uit die werk van Vygotsky en Lave (Lerman
& Sierpinska; 1996: 845; Prevost, 1993: 77). Vir die suksesvolle bereiking
van effektiewe leer moet die onderriggewer 'n spesifieke doelwit
nastrewe, met ander woorde, waarna is die leerder oppad onder die
begeleiding van die onderwyser? Indien die doel met die onderwyser se
30
begeleiding bearip is, in pleas van inoefening van rekenkundige
vaardighede, sal sy/haar teak gefasiliteer word deur 'n konseptuele
Wiskundige model wat leerders tydens die leerproses assimileer met
sy/haar eie model, gekonstrueer deur doelbewuste, begeleide ervaringe
(Von Glaserfeld, 1987: 16). Kruger en Muller (1987: 42) beskryf die
volgende belangrike funksies van doelwitte:
Doelwitte dien as riglyn vir lesbeplanning.
Doelwitte verskaf riglyne vir die seleksie en organisering van nuwe
kennis.
Doelwitte verskaf riglyne vir Ieerlinghandelinge.
Dit is belangrik dat onderrig met konseptuele verandering as doel,
holisties beskou moet word (Gravett 1995: 6). Deur kursusse seam te stel
met konseptuele verandering in gedagte sal dit noodwendig aanleiding
gee tot onderrig wet konseptuele verandering (met ander woorde 'n diep-
holistiese benadering) aanmoedig. Gravett (1995: 7) beskou die
formulering van doelwitte essensieel omdat dit onderriggewers !siding gee
tydens die ondemgproses. Deur goed geformuleerde doelstellings en
doelwitte vir 'n kursus seam te stel weet die onderriggewer waarheen by
met die leerders oppad is. Onderriggewers behoort dus doelwitte en
doelstellings te formuleer met die oog op konseptuele verandering.
Ken egi situ sie
Volgens Ausobel (Orton, 1992: 135 - 164) kan betekenisvolle leer slegs
plaasvind indien die nuwe konsep kan aansluiting vind by die reeds
bestaande kennis (Prevost, 1993: 76/77). Daar behoort dus interaksie
pleas te vind tussen die bestaande kennis en die nuwe kennis waarmee
die leerder gekonfronteer word (Airasian & Walsh, 1997: 445). Steffe en
D'Ambrosio (Lerman en Sierpinska, 1996:845) beskryf konstruktiwistiese
onderrig as 'n interaksie met leerders in 'n leerarea, waarvan die
31
onderbou gebaseer is op werkbare Wiskundige agtergrondskennis. Dit
volg dus vansetfsprekend dat die onderwyser oor 'n goeie idee van die
leerder se verwysingsraamwerk moet beskik, dit wil se die leerder se
voorkennis of beginsituasie (Von Glaserfeld, 1987: 16). Steffe (1991: 181
—191) beskryf die vasstelling van die voorkennis van die leerders as een
van die belangrikste fundamentele beginsels van die konstruktiwistiese
benadering. Deur middel van sosiale interaksie moet daar vasgestel word
op wafter Wiskundige vlak leerlinge funksioneer, wat dan as die
vertrekpunt van onderrig dien (Van der Spuy, 1997: 17). Ramsden (1988:
65) voer die argument verder deur te wys op die felt dat diep-holistiese
leerbenaderings geassosieer word met 'n goed ontwikkelde basis van
kennis in die veld. Indien dear gapings bestaan in die begryp van basiese
konsepte, word die aanleer van nuwe konsepte bemoeilik. Hierdie
probleem kan ondervang word indien die onderriggewer tydens die
situasie-analise 'n goeie begrip kan vorm van wat die basis van
voorkennis by die leerders is.
Die wyse waarmee leerders 'n leertaak aanpak word deels bepaal deur
sy/haar vorige ondervinding met die vak. Dit hou opsigself 'n bale
belangrike implikasie vir onderriggewers in, omdat die leerder se
toekomstige leerbenaderings deur die onderriggewer beinvloed kan word
deur middel van sy/haar onderrigmetode. Aan die begin van enige nuwe
leseenheid behoort die relevansie in die daaglike leefwareld uitgewys te
word en elke stap nader aan die doelwit met groot entoesiasme
aangebied te word.
Organism' nuwe inligting.
Organiseer nuwe inligting sodat dit deel uitmaak van 'n reeds bestaande
struktuur. Konsepkaarte kan van waarde wees om die leerders by te
staan tydens organisering van inligting (Orton, 1992: 168 /169).
32
g©effe problems
Probleemoplossing word beskryf in die Cockcroft verslag (Ernest, 1989:
4) as een van die onderwysstyle wet in she vlakke van Wiskunde-onderrig
ingesluit behoort te word. Wanneer dear in 'n probleemoplossingsformaat
gewerk word, is die leerder aktief betrokke in die bou van kognitiewe
strukture deur te soek na wat by begryp en daarop voortbou (Jansen van
Rensburg, 1994: 10).
`n Goeie metode is om gebruik te mask van "incidental learning" van
Wiskunde. Dewey (Gadanidis, 1994: 91) beweer dat effektiewe leer in
Wiskunde plaasvind in die soeke na oplossings vir probleme buite die
Wiskunde kurrikulum.
Bruner (Gadanidis, 1994: 92) beskou Wiskunde as 'n proses en nie 'n
produk nie. Leerders behoort hulseif dus in die Wiskundeklas besig te
hou met probleme waartydens gesoek word na logiese patrone en
strukture om die sogenaamde disekwilibrium wat ontstaan te ekvvilibreer
(Shulman, 1979: 53). Farrel en Farmer (1988: 57) skryf dat
"...equilibration is the tendency of the mind to adjust and
restructure in response to apparent aberrations".
Die stel van goeie probleme tydens die leerervaring is dus om nuwe
begrippe te akkommodeer deur kognitiewe konflikte by leerders tuis te
bring (Lerman & Sierpinska, 1996: 845). "Exposition by the teacher" as 'n
onderrigmetode, word ook in die Cockcroft verslag ingesluit (Ernest, 1989:
4). Goeie probleme behoort dus aktiewe betrokkenheid, tydens die
leerervaring, by die leerders aan te wakker. Volgens Piaget en Dienes is
dit 'n definitiewe voorwaarde vir effektiewe leer (Orton, 1992: 149-153).
"Goeie" probleme beskik volgens Brooks (Newby et al.; 1996: 35) oor die
volgende kenmerke:
33
Leerders moet 'n voorspelling kan maak en dit kan toets.
Voorspellings en raaiskote is waardevolle aanknopingspunte by reeds
bestaande kennis, want dit is gebaseer op intulsie (Dossey, 1988:
291).
Dit kan opgelos word sonder duur apparate/toerusting.
Dit is realisties in sy kompleksiteit.
Die leerders beskou dit as relevant en interessant
Indien die probleem interessant is motiveer dit die leerder om na 'n
oplossing te soek (Dossey, 1988: 291). Wanneer belangstelling
gewek word in enigiets, ontstaan die geneigdheid om plesier uit die
verrigting van die taak te put. So 'n houding teenoor vakinhoud gaan
hand aan hand met 'n diep-holistiese leerbenadering.
> Die probleemstelling behoort groepsaktiwiteit aan te wakker.
Skep geleenthede vir groepsaktiwiteite
Vygotsky se teorie op die invloed van sosiale interaksie sluit in,
kommunikasie tussen leerlinge en onderwyser, asook tussen leerlinge
onderling (Jaworski, 1994: 26). Groepsaktiwiteite word ook in die
Cockcroft versiag ingesluit as een van die belangrike onderrigstrategiee
(Ernest, 1989: 4). Deur saam te werk met ander leerders, kry die leerders
geleentheid om idees uit te ruil (Gadanidis, 1994: 94). Kamii (Orton, 1992:
165/166) beklemtoon die belangrike aspek van sosiale interaksie. Tydens
interaksie met ander leerders vind debat, bespreking en soms
argumentering plaas wat belangrik is vir kenniskonstruering. Interaksie
met ander leerders lei tot dialoog, en die toetsing en verfyning van hul
begrip as 'n voortgesette proses (Newby et al.; 1996: 35). Een van die
primere redes vir kotiperatiewe leer, is die geleentheid wat geskep word
vir leerders om mekaar te help leer. Leerlinge leer van mekaar deur hulp
aan mekaar te verleen en hulp van mekaar te ontvang. Leer vind plaas
deurdat leerders verskille herken tussen hul eie sieninge, en die van hul
•
34
groepmaats. Leerders verstaan die probleme wat hul meats ondervind
somtyds beter as die onderwyser en kan dus dien as 'n goeie bron van
hulp (Fall, Tropper & Webb, 1995: 406).
ago e sr en lei in k- nisk nstruksie.
Gebruik tegnieke wat enkodering en oproep ondersteun. Dit is egter van
belang om hier te meld dat herhaalde dril en inoefening van 'n bepaalde
probleemoplossingsprosedure slegs van waarde is indien daar ware
begrip oor die konsep bestaan (Orton, 1992: 165). Leerders kan dus nie
`n probleem suksesvol oplos indien daar nie 'n struktuur tot sy/haar
beskikking is in sy/haar kognitiewe ontwikkeling nie. Die rol van die
onderriggewer is dus die van 'n daarstelling van 'n "werkbare" struktuur.
Hierdie struktuur sal net vir die leerder van waarde wees indien
toekomstige voorspellings korrek is. Indien die leerder se eie
interpretasie van die ervaring 'n struktuur konstrueer wat uitloop op 'n
onvermod om die probleem suksesvol op te los, behoort die
onderriggewer die nodige leiding te bled om die leerder se kognitiewe
struktuur te herkonstrueer. Soos reeds genoem is dit wanneer leer
plaasvind (Von Glaserfeld, 1987: 13/14).
Gee goed deurdagte wenke p die regte plek e tY
Begeleiding op die mate plek en tyd is van kritiese belang vir suksesvolle
konstruering van kennis. Dit is egter belangrik om te onthou dat 'n goeie
wenk nie 'n metode moet wees om die leerder se werk vir hom/haar te
doen nie.
"Do not try to do the students learning for him" Wheeler (Gadanidis, 1994: 94).
Navorsing toon dat leerders oor die vermod beskik om eie rekenkundige
roetines te ontwikkel. Dit is dus onnodig vir die onderwyser om gedurig in
• ..e
35
te meng met formele rekenkundige oplossingsprosedures (Orton, 19:19 :
163). Ausobel (Orton, 1992: 165) se egter dat die situasie op 'n
spesifieke tydstip homseif kan leen tot hulp aan die onderwyser om begrip
in die leerder te konstrueer. Suksesvolle konstruering van kennis vra
goeie tydsberekening van die onderwyser se kant. Die onderwyser moet
seker maak dat daar genoeg tyd Begun word om eers self met die
probleem te worstel alvorens leiding gegee word (Prevost, 1993: 76).
Dewey (Blais, 1988: 628) voer aan dat
u...Only by wrestling with the conditions of the problem at first
hand, seeking and finding his own way out, does he think."
Blais (1988: 628) voer die argument dat deur 'n maksimum verduideliking
te gee, implementeer die onderriggewer 'n luister-en-volg rol vir die
leerders, wat duidelik nie 'n bydrae sal maak tot eie konstruering van
kennis nie. Die veronderstelling dat, deur maksimum verduideliking en
begeleiding, intelligente lewe verbeter word deur begrip makliker te meek,
is volgens Blais totaal verkeerd. Inteendeel, intelligente lewe word eerder
meer oppervlakkig en goedkoop. Begeleiding vivid dus plaas in die sin dat
die onderriggewer die leerder lei in die proses van konseptuele
organisering van ervaringe. Kennis behoort self gekonstrueer te word.
Segekteer di gev Igo at g dK g sail versgerk.
in die konstruktiwisme is die bestudering van Wiskunde 'n intrinsieke
motivering. Eksterne versterking word nie heeltemal geIgnoreer nie, maar
kan nie die plek inneem van interne satisfaksie, wat teweeggebring word
uit die begrip van Wiskundige strukture en suksesvolle oplossings van
probleme nie (Steffe & Wiegel, 1994: 8). Volgens Ramsden (1992: 89)
voorsien intrinsieke belangstelling en 'n sin van eienaarsbelang vrugbare
grond vir pogings om struktuur en betekenis daar te stet. Intrinsieke
36
motivering en die afwesigheid van angs word dus geassosieer met diep-
holistiese leerbenaderings wat effektiewe leer bevorder.
Leer vind plaas wanneer gevolgtrekkings gemaak word uit ervaringe en
daarvolgens gehandel word. Hierdie stelling impliseer dat dear sekere
ervaringe is wat weer deur die leerder herhaal sal word en sekere
ervaringe wat deur die leerder in die vervolg vermy sal word. Hierdie
verwagting dat 'n leerder beheer oor ervaring kan uitoefen word afgelei uit
die volgende stellings:
'n patroon kan voorspel word uit die opvolg van gebeure en
ervarings;
toekomstige gebeure en ervarings sal in 'n sekere mate
dieselfde patroon voig.
Bogenoemde stellings word deur Hume beskou as die voorwaardes vir
die induktiewe proses waarin kennis opgedoen word (Von Glaserfeld,
1987: 8/9).
Die samestelling van 'n les is weliswaar nie maklike teak nie. Veral nie
as al die bogenoemde kriteria in gedagte gehou moet word nie. Gagne,
Briggs en Wagner (1992: 190) skryf nege momente tydens onderrig voor,
wat teenwoordig moet wees tydens goeie les (vergelyk ook Forcier,
1992: 217 en Alessi & Trollip, 1991: 17/18)
9 Wek aandag
5tel duidelike doelwitte
5tel voorkennis van die leerder vas
9 Voorsien stimuli
9 Begelei
Uitlok van prestasie
9 Gee terugvoer
9 Assesseer
9 Behou aandag en oordrag
37
Indien die inkorporering van die rekenaar aan al die bogenoemde kriteria
voldoen, behoort daar na die gebruik van die rekenaar as hulpmiddel
gekyk te word as alternatief tot die tradisionele onderrigmetode.
'n Samevattende sintese van bogenoemde kritiese bespreking word
opgeneem in die onderstaande kontrolelys. Hierdie kontrolelys dien as
evaluering van die gebruik van die rekenaar in die klaskamer in sy
verskillende benaderings. Die konstrolelys bestaan uit 'n aantal
didaktiese vrae wat deur die onderriggewer tydens die pro-, inter- en
postaktiewe lesfases afgevra behoort te word. Tydens die
implementering van die rekenaar as hulpmiddel in die klaskamer behoort
die verskillende benaderings tot rekenaar gerugsteunde onderwys
teenoor die onderstaande kontrolelys afgemeet te word, om sodoende die
effektiwiteit van die benadering te bepaal.
idatiese Vr e iyde s pro f ;ewe Beene
Is daar duidelike doelwitte gestel?
Is die nuwe inligting georganiseerd?
Is die leerder se voorkennis bepaal?
Sluit die nuwe kennis aan by bestaande kennis?
Word daar duidelike verbande gele tussen ou kennis en nuwe
kennis?
Didaktiese Vr e tydens inter 'ewe lesfase
Word die leerders deeglik bewus gemaak van die doelwit met die
les?
Is die leerder se aandag verkry deur 'n goeie aandag wekker?
Word daar hulp verleen om die leerder se aandag te rig in die rigting
van die doel met die les?
Word daar huip verleen aan leerders om verbande te trek tussen hul
eie kennis en die nuwe kennis waarmee hulle gekonfronteer word?
38
Word die nuwe kennis wat eie gemaak behoort te word in die vorm
van 'n goeie probleem gestel?
Is hierdie probleem realisties, relevant, interessant en van toepassing
op die werklikheid?
Is dit nodig vir die leerder om reeds bestaande kennis te gebruik om
die probleem suksesvol op te los?
Word daar goeie wenke aan die leerders gegee wat kan lei tot
probleemoplossing?
Word daar tyd bestee aan kotporatiewe groepsaktiwiteite?
Word die leerders deurlopend begelei in die konstruksie van kennis?
Word die konstruering van die probleemoplossing voortdurend
geassesseer?
Didaktiese Vrae tydens post-aktiewe lesfase Word daar konstruktiewe terugvoer gegee na aanleiding van die
probleemoplossing?
2.5. Samevatting
In die konstruktiwistiese tradisie behoort onderriggewers hul eie siening in
verband met die leer van Wiskunde te ondersoek, asook hul
onderrigmetodes en klaskamerpraktyk, en die diskrepansies wat bestaan
tussen eie metodes en die van die konstruktiwistiese skool te identifiseer.
Wiskunde onderriggewers behoort hul eie siening oor die leer van
Wiskunde te rekonstrueer (Borko, Eisenhart, Brown, Underhill, Jones &
Agard, 1994: 221).
Dit bly egter opsigself duidelik dat onderriggewers nooit werklik oor 'n
doeltreffende formule sal beskik waarvolgens produktiewe onderrig en
leer suksesvol voorspel kan word nie (Dossey, 1988: 290). Volgens
Gravett (1995: 8) staan die rasionele en affektiewe aspekte van leer nie
afsonderlik van mekaar nie. Onderriggewers behoort dus 'n positiewe en
39
motiverende leerklimaat te skep. Gravett (1995: 8-9) vvys ook op die felt
dat 'n positiewe leerklimaat 'n noodsaaklikheid is vir onderrig gemik op
konseptuele verandering, maar daar moet egter in gedagte gehou word
dat onderrig doelbewus gefokus behoort te wees op die begeleiding en
ondersteuning van leerders in die konstruksionering van begrip en insig.
Die gebruik van die rekenaar kan as 'n moontlike alternatief beskou word
om effektiewe leer in Wiskunde te bevorder, mits die kiaskamersituasie
aan die genoemde kriteria voldoen. Forcier (1998: 223) beskou die
rekenaar as 'n effektiewe hulpmiddel waartydens die leersituasie voorsien
kan word van 'n versameling van doeltreffende sensomotoriese ervaringe
waartydens leer volgens die konstruktiwistiese benadering suksesvol kan
plaasvind. Caldwell (1980: 7) stel 'n debatteerbare argument:
"This form of instruction serves to re-create the very worst of what presently occurs in a
traditional classroom..."
Caldwell se stelling gaan in hoofstuk drie krities beskou word om deel uit
te maak van die teoretiese onderbou van hierdie studie.
Verskeie leerders ontwikkel 'n vermoe om kreatief probleme op te los en
ander leerders sukkel om met die twee maal tafel te werk. Is Wiskundige
probleemoplossingsvermoe aangebore of kan die ontwikkeling daarvan
aangehelp word deur die klaskamer te herorganiseer in 'n omgewing
bevorderlik vir leer? Dear gaan gepoog word om hierdie vraag te
beantwoord deur groepe leerders bloot te stel aan 'n leeromgewing
waartydens daar gebruik gemaak word van konstruktiwistiese werkkaarte
wat voltooi word met behulp van die rekenaar. (Sien hoofstuk 5)
Samevattend kan daar gesb word dat ten einde die onderrigsituasie te
herorganiseer in 'n konstruktiewe leerervaring, daar van hulpmiddels
behoort gebruik gemaak word. Die rekenaar kan dien as so 'n
doeltreffende hulpmiddel. In die volgende hoofstuk word daar gekyk na
40
toepassingsmoontlikhede met die rekenaar en die effektiwiteit van
verskeie benaderings na aanleiding van die kontrolelys.
41
OOFSTUK 3
DIE GEBRUIK VAN DIE REKENAA - lid WISKUNDE-ONDERRIG.
3.1. Onleiding
Rekenaarsentrums in skole is nie meer 'n aardigheid nie. Inteendeel, al
hoe meer skole maak gebruik van die rekenaar as elektroniese
hulpmiddel om die onderwyser behulpsaam te wees in sy/haar
opvoedingstaak. Wiskunde onderwysers in besonder behoort dus die
moontlikhede wat die rekenaar die onderrigsituasie bled aan te gryp. Die
onderwyser kan die rekenaar in die kiaskamer implementeer in 'n
verskeidenheid van rolle. Die rekenaar kan die rol aanneem as 'n
"...tutor, tool or tutee...It serves either as a tutor (i.e., teacher), as a handy tool, or as a
tutee (i.e., student)." (Merril et al., 1996: 11)
Vir die doel van hierdie studie word daar spesifiek gekyk na die rekenaar
as 'n tutor.
Wanneer dear verwys word na die rekenaar as tutor tree veral die
Afrikaanse term Rekenaar Gerugsteunde Onderrig (afgekort deur RGO)
op die voorgrond. In Engels bestaan daar 'n groot aantal
woordkombinasies en afkortings om RGO te beskryf. Voorbeelde
daarvan is:
CAI Computer Aided Instruction
CBL Computer Based Learning
CAL Computer Assisted Learning
CBT Computer Based Training (Alessi en Trollip, 1991: 6;
Hannafin en Peck, 1988: 4; Van Zyl, 1997: 27; Fourie, n.d: 3/4)
Elk van bogenoemde terme impliseer 'n uiteenlopende benadering tot die
leersituasie. Wat bogenoemde wel in gemeen het, is dat die rekenaar
42
gebruik word as tegnologiese onderrig-hulpmiddel. RGO kan dus omskryf
word as daardie vorm van onderrig en leer waarvan die rekenaar 'n
integrate deel vorm (Fourie, n.d: 4; Hannafin en Peck, 1988: 3).
3.2. Die gebruik van RGO in die kiaskamer
3.2.1. Bevindinge na aanleiding van navorsing in terme van die
effektiwiteit van GO
Verskeie navorsings studies is onderneem om die effektiwiteit van
die rekenaar in die kiaskamer ten opsigte van' leer, gesindheid en
tydsbenutting te bepaal (Merril et al., 1996: 9 — 11). Navorsing,
gedoen in die laaste twintig jaar in die VSA, toon dat RGO nie
noodwendig 'n superieure instruksionele medium, in vergelyking met
die tradisionele, is nie (Hanafin en Peck 1988: 7). Kulik, Kulik en
Cohen (Hanafin en Peck 1980: 7) versterk die argument deur uit
navorsing te toon dat daar nie 'n merkwaardige verskil in algemene
klaskamerpraktyk (met of sonder die rekenaar as hulpmiddel)
bestaan by onderriggewers wat self hul RGO lesse ontwerp nie.
Onderwysers wat dus werklik belangstel in hul leerders se leer en
wat leer effektief writ bevorder is juis diegene wat die rekenaar sal
implementeer (daarom is daar geen merkbare verskil in klaskamer
praktyk nie). Sulke onderwysers moet juis aangemoedig word om
tegnologie in hul kiaskamers in te bring. Indiensopleiding by skole
behoort vir sulke onderwysers die moontlikhede met tegnologie uit te
wys en dit moontlik maak om dit te inkorporeer in hul kiaskamers.
Alhoewel die rekenaar dus nie as 'n superieure hulpmiddel beskou
kan word nie kan die volgende veralgemenings gemaak word
(Hannafin en Peck, 1988: 7; Haselbring, 1986: 319; erril et al.,
1996: 10; Bennett, 1992: 39; Sowell, 1993: 124):
43
RGO kan gebruik word as 'n medium om opvoedkundige
doelwitte te bereik. Die rekenaar is uitstekende elektroniese
media, alleenstaande in die leersituasie of as 'n hulpmiddel
tydens onderrig.
Dit is egter belangrik om aan te toon dat navorsing bewys dat
primere RGO (onderrig waar geen onderwyser interaksie
teenwoordig is nie) bale minder effektief is as RGO wear die
rekenaar slegs 'n hulpmiddel is (Hasselbring, 1986: 319).
Gevolgtrekkings uit navorsing toon dat die rekenaar nie die
onderwyser behoort te vervang nie. Maksimum doeltreffendheid
vind plaas wanneer die rekenaar as 'n hulpmiddel gebruik word.
Wanneer RGO vergelyk word met ander media wat nie
voorsiening maak vir verskille in leerders nie, wil dit voorkom of
RGO
meer effektief is in die akkommodering van leer in In gegewe
tyd,
meer effektief is in terme van tydsbeSparing in die
bemeestering van 'n gegewe konsep.
Tydens 'n RGO sessie word die leerder se aandag behou in
dieselfde mate as tydens 'n tradisionele les, mits die onderwyser
oor die vermod beskik om leerders se aandag te behou met
behuip van goeie klaskamerpraktyk. Alle rekenaars besit
dieselfde "vermoe", daarom is hierdie aspek 'n goeie argument vir
die gebruik van die rekenaar.
RGO blyk veral swak presteerders in Wiskunde behulpsaam te
wees. Die rede hiervoor kan moontlik gevind word in die feit dat
leerders in beheer is van hul eie leer en dat hul gemaklik is met
44
hierdie onderrigmetode wear dear geen sprake is van ongeduld
nie.
3.2.2.Voordele en Nadele met die gebruik van RGO
Daar is verskeie voordele en nadele verbonde aan die gebruik van
RGO as 'n media tot instruksie in die leeromgewing. Van die
voordete is kortliks die volgende aspekte (Hannafin en Peck, 1988:
8 — 10):
g> h14) e e volgehou lwateralasle m t Owo
Effektiewe RGO programmatuur veroorsaak leeraktiwiteit in die
sin dat die leerder konstruktief besig is in die leeromgewing. 'n
Leerder se aandag word ten voile behou. Volgens die
konstruktiwistiese leerteorie is dit 'n voorwaarde vir effektiewe
leer.
g> Di r kenaar se ve 05 • m te las er:
Die felt dat die rekenaar op 'n een tot een basis onderrig, is een
van die aspekte waar die onderwyser, in 'n oorvot kiaskamer, ver
te kort skiet. Die rekenaar beskik oor die vermoe om leer te
monitor en reageer na aanleiding van die leerder se individuete
respons. Elke leerder is 'n individu met bepaalde behoeftes en
die rekenaar kan hierdie behoeftes akkommodeer. Volgens
Newby et al. (1996: 57) is die rekenaar ideaal om die rol van tutor
te speel aangesien dit oor die vermoe beskik om vinnig en
effektief 'n komplekse spyskaart van verskillende opsies
beskikbaar te kan stel om uiteenlopende keuses van leerders te
akkommodeer. Dit is egter belangrik om te noem dat oeie RGO
programmatuur hierdie kenmerk moet toon en dat die
afwesigheid van individuatisasie 'n swakheid is in die program.
45
Tydens die aankoop van sagteware vir gebruik in sko!e behoort
hierdie aspek oorweeg te word tydens die evaluering van
rekenaarpakkette.
c:> V Ogehous posOtiewe k 'tisk en motverrOng:
Navorsing toon dat studente 'n waardering het vir die onvermoO
van die rekenaar om te kan kritiseer. Die rekenaar word nooit
"moeg" nie en kan oor en oor dieselfde verduidelikings !ewer.
*Onmiddellik terugv • sr:
Die rekenaar beskik oor die vermoe om antwoorde op vrae, plot
van grafieke, analisering van antwoorde ensovoorts, binne
sekondes te laat plaasvind. Kosbare kiastyd kan dus op hierdie
manier bespaar word. Volgens die verskeie leerteoriee, soos
bespreek in hoofstuk 2, is dit belangrik dat dear kontinuiteit
tydens 'n les behoort te bestaan om effektiewe leer te verseker.
foie lee er le ten v in '•-elleer van sy/h ar e0e leer:
Die leerder is dus in beheer met betrekking tot tempo en
voorkennis. Volgens Skeele (1993: 16) is gelndividualiseerde
leer 'n praktiese, waardevolle eienskap van RGO programme.
Die leerder is in staat om teen sy/haar eie tempo te werk en dit
speel 'n geweldige behuipsame rol by swakker leerders.
(Vergelyk ook krOger en Muller, 1990: 125; Steyn, 1993: 54 en
Blignaut, 1988: 10). Sommige tutoriale maak gebruik van 'n
voortoets om die beginsituasie van die leerder te bepaal. Peter
kwaliteit tutoriale neem die voorkennis deurlopend tydens die
sessie in ag en stel die leerder so in staat om in beheer te wees
van sy/haar eie leerproses (Alessi en Trollip, 1991: 22).
46
Enkele voor die handliggende nadele is soos volg (Hannafin en
Peck: 1988: 10 — 12):
Rekenamitkerassilring use dwir:
Die aankoop van toerusting is nie altyd koste-effektief nie. Vir
skole om tred te hou met die nuutste tegnologiese veranderings
wat gepaard gaan met opgradering van sagteware is bykans 'n
onmoontlike taak. Die beheerraad van enige skool in die huidige
toestand van onderwys in Suid-afrika sal veal eerder investeer in
ekstra onderwysers om sodoende getalle in klasse te laat krimp
voordat daar geld gespandeer gaan word aan die opgradering
van 'n rekenaarsentrum.
g> Lees en sk rdighe e w*trd skOarnt n:
Indien die leerder 'n taalprobleem het, kan dit veroorsaak dat die
leerder verbouereerd raak. Alhoewel die rekenaar "geduldig" is
en leerders in staat stet om teen hul eie tempo te werk, is dit
vanselfsprekend dat 'n leerder oor 'n basiese leesvermoe moet
beskik.
Leerders wat nie oor die basiese hand-oog kotirdinasie beskik
om met 'n muis te werk nie, sal werklik 'n probleem ondervind om
met verskeie sagteware pakkette onderrig te word. Me Microsoft
Windows sagteware maak staat op die gebruik van 'n muis vir die
aktivering van funksies.
Vir die onderriggewer wat sy/haar kiaskamer wil omskep in 'n
konstruktiwistiese leeromgewing met die rekenaar as hulpmiddel, behoort
alle benaderings tot RGO oorweeg te word. Alle benaderings is een of
ander voortvloeisel uit 'n leerteorie of 'n kombinasie daarvan. Aangesien
die doel met die implementering van die rekenaar die bevordering van
effektiewe leer is, volg 'n uiteensetting van die tipes RGO
vanselfsprekend.
47
3.3. Tipes RG
Daar bestaan verskeie verskillende benaderings tot RGO (Sien Forcier,
1996: 240 — 252; Newby et al., 1996: 47 — 58; Lockard et al., 1990: 167 —
185; Alessi en Trollip, 1991: 9/10; Hanafin en Peck, 1988: 17 — 204; Merril
et al., 1996: 11/12). Vir die doeleindes van die studie word die bespreking
beperk tot die mees algemene RGO-benadering wat in Wiskunde gebruik
word naamlik:
N
Dril-en-inoefening
Tutoriale
f'-°•1 Simulasies
o Opvoedkundige speletjies
Hier voig 'n bespreking van elk.
3.3.1. Dril-en-inoefening
Een van die mees algemene toepassings van die rekenaar as tutor is
in dril-en-inoefening (Lockard et al.: 1990: 167; Merril et al.: 1996:
65). Van die eerste RGO programmatuur was in die vorm van dril-
en-inoefening, om langdeling in Wiskunde te onderrig (Kepner, 1993:
600). Dril-en-inoefening kan beskryf word as die inoefen van
voorafgeleerde feite. Hierdie benadering maak sterk aanspraak op
memorisering. Tydens 'n dril-en-inoefeningsessie vind dear dus
geen onderrig pleas nie. Leerders is slegs besig om te "owff n" wat
hulle reeds weet (Bitter, 1989: 251). 'n Goeie beskrywing vir dril-en-
inoefening word gegee deur Merril et al. (1996: 65):
48
°Drill and practice involves any exercise, physical or mental,
that is performed regularly and with constant repetition. It is
often associated with rote-learning."
Die prosedure wat gedurende 'n dril-en-inoefening benadering
gevoig word is soos volg (Van Zyl, 1997: 28):
Die rekenaar stel 'n vraag aan die leerder;
Die leerling reageer op die vraag deur 'n antwoord in to tik;
Die rekenaar kontrdeer die antwoord (reg of verkeerd) en
reageer in die vorm van ter giv
Lockard et al. (1990: 168) vervvys tereg na dril-en-inoefening as volg:
aDrill and practice activities present a stimulus to the student, elicit a response,
and provide immediate reinforcement"
Hierdie prosedure herinner baie aan die behavioristiese
leerteorie: 'n Vraag word aan die leerder gestel (stimuli) wat gevoig
word deur 'n respons van die leerder. Die leerder word begelei tot
die gewenste respons deur middel van positiewe en negatiewe
versterking. Die proses herhaal homseif deurlopend tot die doelwit
(uitkoms) met die les bereik word.
VRAAGSTELLING stimuli
L--_J
TERUGVOERING versterking REPETISIE
KONTROLERING
BEANTWOORDING respons
<iD Fig. 3.3.1 Die dril-en-inoefeningsprosedure.
49
Dril-en-inoefening is in die algemeen die mees gebruikte vorm van
RGO in Wiskunde (van 41, 1997: 29). Bitter (1989: 251) verwys na
die rekenaar as 'n "mathematical tool" wat leerders kan gebruik, om
probleme op te los, deur gebruik te maak van hul Wiskundige kennis.
'n Studie gedoen deur Clark, Hosticka en `100 et al. (1993: 46) oor
die rol van tegnologie in Suid-afrika, toon dat die rekenaar die rol kan
inneem van "afrigter" deur dril-en-inoefening in die kiaskamer oor te
neem en sodoende die onderwyser se las, in oorvol kiaskamers,
ligter te maak. Hall en Petty (1993: 613) het ook gevind dat dril-en-
inoefening 'n waardevolle inset in die kiaskamer kan lever in die
vorm van tydsbeperkte, remedierende oefeninge. Newby et al.
(1996: 56) toon aan dat dril-en-inoefening van nut is wanneer feite
gememoriseer moet word. In paragraaf 3.4. word dril-en-inoefening
geevalueer teen die kontrolelys, soos uiteengesit in hoofstuk 2.
3.3.2. Tutorial's
Lockard et al. (1990: 171) gee die volgende definisie vir 'n tutoriaal:
'Tutorials are intended to introduce and present new,
unfamiliar material to the student. As the name suggest, they
are designed to tutor - to instruct."
Die groot verskil tussen 'n tutoriaal en dril-en-inoefening is, die feit
dat tutoriale leerders met nuwe inligting konfronteer (Merril et al.,
1996: 12). Die rekenaar neem tydens 'n tutoriaal die rol van die
onderwyser aan, deur nuwe konsepte aan die leerder te "onderrig"
(i= itter ,1989: 253; Simonson en Thompson, 1994: 4). Alessi en
Trollip (1996: 10) beskryf 'n tutoriaal as 'n rekenaarprogram wat die
eerste twee fases van onderrig (instruksie en begeleiding) betrek.
Vrae word tydens die sessie aan die leerders gestel en afhangende
van die respons word die leerder teruggelei na die vraag (miskien
50
nou met 'n wenk) of gelei na die volgende konsep om te bemeester
(Kemp en Dayton, 1985: 246; Newby et at., 1996: 57). Merril et al.
(1996: 12) verduidelik soos voig:
"Some relatively small piece of information is presented, the student is asked to
respond to a question about the information, and the computer provides feedback
concerning the accuracy of the students response. Then the cycle is repeated:
more information, question, feedback."
Die prosedure wat gedurende 'n tutoriaal gevolg word is soos voig
(Alessi en Trollip, 1991: 18; erril et al., 1996: 72 - 73):
Die rekenaar gee 'n kort i le0dOng tot die nuwe inhoud;
io Die n we ha d word aangebied;
4 Die rekenaar stel 'n vraag aan die leerder oor die nuwe inhoud;
Die leerling r ge = r op die vraag deur 'n antwoord in te tik;
Die rekenaar kontr leer die antwoord (reg of verkeerd) en
reageer in die vorm van terLogvoering.
Nuwe inligting word aangebied na aanleiding van die respons;
(die hele siklus herhaal homself weer)
Hierdie ontwerp toon in 'n groot mate eienskappe van die
behavioristiese leerteorie en in 'n meerdere mate die
inttingsprosessering leerteorie. Die wyse waarop dear
verbande gel§ word tussen ou (bestaande) kennis en nuwe kennis in
die vorm van 'n inleiding en aanbieding van die nuwe inhoud, toon
eienskappe van die inligtinsprosesseringsteorie waartydens drie
prosesse, ingesluit in die aktiewe optrede van die geheue, na yore
kom (sien paragraaf 2.2.2.1.) Aan die ander kant toon die
vraagstelling (stimuli), respons en versterking tydens 'n tutoriaal
eienskappe van 'n dril-en-inoefening benadering. 'n Tutoriaal kan
dus beskou word as 1 n dril-en-inoefening waartydens die rekenaar
die nuwe inligting aan die leerders bekend stel en so die rol van die
onderwyser byna vervang.
51
INLEIDING WEK-EN-RIG
AANBIEDING VAN NUWE
INHOUD
KONTROLERING
VRAAGSTELLING STIMULI
RESPONS
VERSTERKING
Fig. 3.3.2 Die tutoriaal as 'n RGO-benadering.
Volgens die Iiteratuur word daar onderskei tussen twee tipes
tutorials, naamlik (Bitter, 1989: 255; Lockard en Abrams, 1990: 171;
Forcier, 1996: 245):
1. Unike tut dee:
Ails leerders voig dieselfde pad deur die tutoriaal. Vroeere
tutorial het bloot feitelike inligting aangebied en staan bekend as
`n "electronic page turner" waartydens die interaksie tussen die
leerders en die rekenaar beperk is tot die druk van 'n enkele
knoppie (Simonson en Thompson, 1994: 96).
Hierdie tips tutoriaal word deur verskeie skrywers beskou as 'n
"presentation". Deur gebruik te maak van 'n pakket soos
Microsoft Power Point sal presies dieselfde resultaat verkry word.
Inligting word aan die leerder "present" vandaar die term
"presentation". Hierdie tips programmatuur het dieselfde waarde
as 'n skyfiereeks. Deur gebruik te maak van 'n LCD-panel (Lead
52
Crystal Display) word dit wat verskyn op die skerm van die
rekenaar geprojekteer op 'n skerm, met behulp van 'n oorhoofse
projektor.
20 V rtakkling tut dal
Dear word onderskei tussen die leerders in die sin dat opsies oop
is en die lesse in 'n volgorde aangebied word waarmee die
leerder gemaklik is. In hierdie tipe tutoriaal word die leerder se
behoeftes in ag geneem, met ander woorde die voorkennis van
die leerder speel 'n rol in die volgorde van gebeure tydens die
RGO sessie.
3.3.3. Simulasies
'n Simulasie kan, eenvoudig gestel, beskou word as 'n vorm van
rolspel waar die rekenaar die milieu vir die leerder skep. Alessi en
Trollip (1991: 119) gee die volgende uitgebreide beskrywing van 'n
simulasie:
"... a simulation is a powerful technique that teaches about
some aspects of the world by imitating or replacing it."
`n Simulasie is dus 'n voorstelling van die werklikheid (Merril et al.;
1996: 93; Flake, McClintock en Turner, 1985: 265). 'n Simulasie
voorsien aan leerlinge die geleentheid om veranderlikes te
manipuleer en sodoende hul onderlinge verhouding te bestudeer
(Lockhard et al.; 1990: 174). Die leerders word gekonfronteer met `n
situasie, analiseer dit, maak besluite gebaseer op die data en voer 'n
respons uit. Die gesimuleerde situasie verander dan ten opsigte van
die gebruiker se invoer om weer 'n nuwe situasie voor te stel.
Alessi en Trollip (1991, 1991: 120 — 130) onderskei vier Wes
53
simulators:
0:- Hsi se almagators:
'n Fisiese objek of fenomina word gesimuleer, soos byvoorbeeld:
eksperimente in die Wetenskapklas.
• Proses Simple • rs:
"...to inform students about a process or concept that does not
manifest itself visibly, such as how the economy works..." (Alessi
en Trollip, 1991: 123). Hierdie tipe simulator kan bale nuttig in
die Wiskunde klaskamer wees wanneer grafieke bestudeer word.
4:0 Pros Sima.dators:
"teach a sequence of actions that constitutes a procedure"
(Lockhard et al.; 1990: 176). Hierdie tipe simulators word dus
gebruik wear 'n prosedure aangeleer moet word. 'n Goeie
voorbeeld hiervan kan gevind word tydens die opleiding van
vlieeniers en medici.
IP SR asi.rasis Slmaillators:
"... usually allow the student to explore the effects of different
approaches to a situation, or to play different roles in it." (Alessi
en Trollip, 1991: 127)
Die prosedure wet gedurende simulasie gevoig word is soos volg
(Forcier, 1996: 248):
44 Die el P Ewe h
word aangebied in die vorm van 'n simulasie ,.1
wat van toepassing is op die werklikheid.
4' Die situasie word voorgestel.
k9, Die rekenaar stet 'n v raag aan die leerder na aanleiding van die
gesketste situasie.
54
k5 Die leerling rea_ sr op die vraag deur 'n antwonrd in te tik om
sodoende die situasie te manipuleer.
qo Die rekenaar try I er die antwoord.
Die rekenaar gee tenhav ing deur die situasie can te pas na
aanleiding van die respons.
Nuwe inligting word aangebied in die vorm van 'n nuwe
situasie.
(die hele siklus herhaal homself weer)
Hierdie ontwerp toon eienskappe van die konstruktiwistiese
leerteorie asook sekere eienskappe van die behavioristiese
leerteorie.
INLEIDING WEK-EN-RIG
STEL PROBLEEM IN DIE VORM VAN
`N WERKLIKE SITUASIE
mit* KONSTRUKTIEWE
DENKE
AANPASSING VAN SITUASIE
KONSTRUKTIEWE PROBLEEMOPLOSSING
RESPONS
KONTROLERING
Fig. 3.3.3 Die simulasie as 'n RGO-benadering.
`n Simulasie kan slegs in die VViskunde klaskamer van nut wees
indien dear konsepte gesimuleer word wat Wiskundige
toepassingswaarde het, byvoorbeeld, deur populasie aanwas te toon
met behuip van grafieke. Dit is ook belangrik om op hierdie stadium
te noem dat die elektroniese sigblad in sekere opsigte eienskappe
55
toon van proses simulators asook situasionele simulators. In
hoofstuk vier gaan daar meer uitgebrei word op die implementering
van die elektroniese sigblad in die leersituasie.
3.3.4. Opvoedkundige speletjies
Newby et al., (1991: 119) beskryf 'n opvoedkundige speletjie soos
volg:
"... provide an appealing environment in which learners follow
prescribed rules as they strive to attain a challenging goal."
Hierdie tipe RGO-benadering is uiters motiverend, veral vir
repeterende inhoud. Merril et al. (1996: 12, 98) beskryf
opvoedkundige speletjies as 'n interaktiewe kompeterende spel
tussen die leerder en die rekenaar om effektiewe leer te motiveer.
Alessi en Trollip (1996: 162) beskryf die doel van 'n speletjie as die
daarstelling van 'n omgewing wat leer fasiliteer en die aanleer van
vaardighede verspoedig deurdat die leerders genot uit die teak put.
Steffe en Wiegel (1994: 113) verduidelik hoe belangrik die medium is
waarin Wiskundige vaardighede aangeleer word. Hierdie medium
behoort die konstruksie van Wiskundige konsepte te ondersteun in 'n
leeromgewing wat motiverend is. Steffe en Wiegel stel verder dat
kinders makliker leer deur spel:
"Children's play is one feature of this model because children construct much of
their reality through playing. More specifically, playing in a mathematical context
could serve in children's construction of a mathematical reality and as a source of
their motivation to do mathematics."
Die rekenaarspeletjie wat in die Wiskundeklas gebruik word is dus
instruksioneel in die sin dat sekere vaardighede of konsepte in die
vorm van 'n speletjie bemeester word. Van Zyl (1997: 34) wys op
56
die felt dat hierdie RGO-benadering veral gewild is by laerskole en
skole vir buitengewone onderwys. Skeele (1993, 16) verduidelik dat
rekenaarspeletjies gebruik word as 'n vorm van rekreasie
waartydens die gestremde leerling in interaksie tree met 'n nie-
gestremde (die rekenaar).
Lockard et al., (1990: 178) toon drie karaktereienskappe van
leeromgewings aan wat intrinsieke leer by leerders motiveer:
UM gong
'n Rekenaarspeletjie het altyd 'n doel wat nagestrewe word wet 'n
sekere uitdaging aan die leerders stel. Dit kan varieer van
kompetiese teen tyd of hoogste puntetelling.
usgdealgheid
Die leerder antisipeer sekere gebeure wat sy/haar belangstelling
prikkel. Die leerder se nuuskierigheid word geprikkel deurdat .
"...computer's colour, sound and graphics capabilities to hold and capture and
hold the student's interest."
Goeie RGO programmatuur behou 'n goeie balans tussen multi-
media en berus nie alleen op die grafiese aspek van die program
nie, maar le sterk klem op die opvoedkundige waarde daarvan,
om leerders se aandag te behou.
Fantasi
Rekenaarspeletjies rus baie sterk op die leerder se kreatiewe
verbeelding.
(Sien ook erril et al., 1996: 99 —100)
Dit is egter baie belangrik om nie uit die oog te verloor waarvoor die
opvoedkundige speletjie gebruik word nie. 'n Spel het slegs waarde
indien dit opvoedkundig van aard is (Lockard et al., 1990: 181).
57
3.4. Evaluering van die tipes RGO-benaderings aan die hand van
vasgestelde kriteria vir effektiewe leer van Wiskunde
Elk van die bespreekte benaderings het voor die hand liggende voor-en-
nadele. Enkele van die sterk-en-swakpunte word kortliks in die
onderstaande bespreking uiteengesit (Newby et al., 1996: 53 — 57):
Voor-en Nodele van die verskillende RGO-bent derings:
DRIL INOEFENING (D)
Kan leerders behulpsaam wees wanneer spoed en akkuraatheid in
rekenkundige vaardighede geoefen moet word.
Voorsien individuele onderrig.
Terugvoering word onmiddellik verskaf.
x Maak staat op memorisering (Forcier, 1996: 241).
x Laevlak kognitiewe denke word gebruik (Forcier, 1996: 241).
x Nie motiverend nie, kan vervelig raak (Forcier, 1996: 241).
x Kan lei tot onsekerheid by leerder wanneer dit kom by die praktiese
toepassing van die ingedrilde konsepte.
x Daar bestaan geen waarborg dat leer effektief plaasgevind het nie,
aangesien die leerpatroon behavioristies van aard is.
TUT° MAL (T)
Voorsien optimale individuele onderrig.
Kan gebruik word deur leerders wat agterstallige werk moet inhaal
(Forcier, 1996: 246).
Neem die leerder se voorkennis in ag deur somtyds met 'n voortoets
die viak van die leerder to bepaal — vertakkings tutoriaal (Forcier,
1996: 245).
58
x Groepwerk is onmoontlik.
x Dit is onmoontlik om met 'n tutoriaal alle moontlike opsies in te bou.
Dit kan wees dat leerders vrae het wat nie deur die tutoriaal
beantwoord kan word nie, wat kan lei tot oppervlakkigheid.
SINULASOE QS)
1 Promoveer kognitiewe, affektiewe en interpersoonlike vermoens by
leerders.
1 Maak staat op hoer kognitiewe denke.
1 Konstruktiewe groepwerk is moontlik.
Motiveer deelname en effektiewe leer.
Stel realistiese probleme (Forcier, 1996: 247)
1 Bevorder probleemoplossingsvermot (Forcier. 1996: 247).
x Voorsien nie altyd genoegsame wenke om probleemoplossing aan te
help nie.
x Dit is fisies onmoontlik om alle moontlike situasies te antisipeer.
x Me juis effektief in tydsbenutting nie.
Si ELEME (G)
1 Voorsien die leerder van 'n uiters motiverende leeromgewing (iVierril et
al., 1996: 98 — 99).
1 Betrek al die sintuie.
evorder interpersoonlike kommunikasie vaardighede.
1 Skep geleentheid om, tesame met terugvoering, vaardighede in te
oefen.
x Dit is moontlik dat die doel met die speletjie heeltemal uit die oog
verloor word.
Samevattend kan die sterk-en-swakpunte teen die kontrole lys vir
effektiewe leer (sien hoofstuk 2) gemeet word.
59
Didaktiese llama T S 0 Is daar duidelike doelwitte gestel? ✓ V
Is die nuwe inligting georganiseerd? V
Is die leerder se voorkennis bepaal? ✓ V
Sluit die nuwe kennis aan by bestaande kennis? V V
Word daar duidelike verbande gels tussen ou kennis en nuwe kennis?
V
Is die leerder se aandag verkry deur 'n goeie aandag wekker?
V V V
Word daar hulp verleen om die leerder se aandag te rig in die rigting van die doel met die les?
✓ ✓ V
Word daar hulp verleen aan leerders om verbande te trek tussen hul eie kennis en die nuwe kennis waarmee hulle gekonfronteer word?
V V
Word die nuwe kennis wat eie gemaak behoort te word in die vorm van 'n goeie probleem gestel?
V
Is hierdie probleem realisties, relevant , interessant en van toepassing op die werklikheid?
V
Is dit nodig vir die leerder om reeds bestaande kennis te gebruik om die probleem suksesvol op to los?
V
Word daar goeie wenke aan die leerders gegee wat kan lei tot probleemoplossing?
✓ V V
Word daar tyd bestee aan koOporatiewe groepsaktiwiteite?
✓ V
Word die leerders deurlopend begelei in die konstruksie van kennis?
✓ V
Word die konstruering van die probleemoplossing voortdurend geassesseer?
V
Word daar konstruktiewe terugvoer gegee na aanleiding van die probleemoplossing?
✓ V
Totaag 6 9 i i
Dit wil voorkom of die simulasie as 'n GO-benadering die beste metode
is in die soeke na programmatuur wat effektiewe leer bevorder,
aangesien die implementering van 'n simulasie aan meeste van die
vereistes vir effektiewe leer voldoen. 'n Simulasie kan egter nie as
alleenstaande programmatuur die rol van die ondenwser inneem nie.
Om 'n konstruktiwistiese leerervaring moontlik to maak behoort
altematiewe ook beskou te word.
60
3.5. Samevatting
Uit die Iiteratuurstudie kan die gevolgtrekking dus gemaak word, dat die
rekenaar wel as 'n hulpmiddel in die kiaskamer, bevorderlik vir effektiewe
leer, aangewend kan word. Daar is egter voorwaardes aan die gebruik
van die rekenaar verbonde en nie werklik enige van die benaderings kan
alleen daarop staatmaak dat leer effektief bevorder word nie. Daar
behoort dus gekyk te word na 'n alternatiewe gebruik van die rekenaar,
sunder om van vooraf geprogrammeerde RGO gebruik te maak. In
hoofstuk vier gaan daar na die gebruik van sigblaaie, as alternatief tot
RGO-benaderings, gekyk word.
61
LiirinFeFB ime%ar c,2; %.:9 5 11 97
ti
DIE GEBRUIK V N SIGBLAAIE AS ALTERNATIEF TOT RGO-
BENADERINGS.
4.1. Inleiding
In die voorafgaande hoofstuk is die implementering van die rekenaar, in
die rol van 'n tutor, beskou. Deur gebruik te maak van verskeie RGO-
benaderings kan die rekenaar as 'n hulpmiddel dien om leer in die
Wiskundekias effektief te bevorder. Om egter aan die verskeie behoeftes
van verskillende kiaskamersituasies te voorsien is vir enige sagteware
programmeerder 'n onbegonne task, aangesien dit bykans onmoontlik is
om alle verwante veranderlikes in ag te neem. Dit kan ook nie van die
onderwyser verwag word om gedurig sagteware te programmeer wat as
hulpmiddel in die klaskamer gebruik kan word nie. Altematiewelik behoort
daar na toepassingsprogrammatuur gekyk te word as oplossing tot die
probleem.
Soos die naam aandui is toepassingsagteware in die ware sin van die
woord, sagteware wat vir 'n spesifieke toepassing benut word.
Toepassingsagteware word in die literatuur beskryf as "tool applications"
waar die rekenaar as 'n "tool" gebruik word en nie direk te make het met
onderrig, soos in die geval van RGO, nie (Merril et al., 1996: 120).
Toepassingsagteware wet deur rekenaargebruikers alledaags benut
word, word geklassifiseer as onderskeidelik:
Woordverwerkers, by. Microsoft Word of Word Perfect
Siglaaie, by. Microsoft Excel! of Lotus 123
Databasisse, by. Filexpress of Microsoft Access
Toepassingsagteware hou verskeie voordele in. Die mees voor die
handliggende is die feit dat dit geredelik bekombaar en
62
gebruikersvriendelik is Daar is ook sagteware ondersteuning beskikbaar
in die vorm van goed opgeleide rekenaardeskundiges wat enige probleem
vinnig kan uitsorteer. Omdat toepassingssagteware soos Microsoft Office
algemeen gebruik word, is dit ook nie nodig vir onderriggewers om
verdere opleiding te ontvang vir die ontwerp van sigblaaie nie, aangesien
byna alle profesionele persone in 'n meerdere of mindere mate
rekenaargeletterd is. Vir die doel van hierdie studie is daar spesifiek
gekyk na die gebruik van die elektroniese sigblad as alternatief tot RGO-
benaderings.
4.2. Die elektroniese sigblad
Die elektroniese sigblad, VisiCalc is in 1979 ontwikkel deur twee Harvard
Business School gegradueerdes, Daniel Bricklin en Robert Frankston
(Forcier, 1996: 125; Bitter, 1989: 133). Net soos die naam aandui is
VisiCalc as te ware 'n "visible calculator" (Lockard et al., 1990: 91). Merril
et al. (1996: 143/144) definieer 'n sigblad as volg:
"Electronic spreadsheets are general-purpose programs for processing numerical
data,...are electronic versions of the familiar manual spreadsheets,...marked of in rows
and columns that intersect, forming a grid. Each column is labelled at the top by a letter
(A, B, C,...) and each row is labelled along the left side by a number (1, 2, 3,...). The
intersection of a specific row and specific column is called a cell."
(Sien ook Newby et al., 1996: 292/293)
Ry 1
Sel C1
Kolom C
figuur 4.2.a. Die elektroniese sigblad
63
`n Gebruiker kan kJ 'e times data in `ri sel invoer (Rothery: 1990, 3):
&I Etikette (labels)
Etikette word meestal bo-aan die kolom ingetik en definieer die
waardes as deel van daardie spesifieke versameling. Etikette kan
wees woorde, frases of selfs wiskundige uitdrukkings (sien fig. 4.2.b).
&I Numeriese waardes (values)
Enige reele getal kan as 'n numeriese waarde in 'n sel ingetik word.
1 Formules (formulas)
Uitdrukkings van bewerkings en verhoudings tussen selle word
gedefinieer as formules. Vooraf geformuleerde formules staan bekend
as funksies en kom handig te pas by meer ingewikkelde wiskundige
berekenings (Lockard et al.; 1990: 93).
Etiket
Numeriese waarde
Ingeboude formule: =SUM(A4/B4)
Figuur 4.2.b. Etikette, waardes en formules.
Die formules wat ingevoer word in 'n elektroniese sigblad is nie sigbaar
nie, slegs die produk van die formule word vertoon. Sigblaaie gee aan die
gebruiker die geleentheid om data (numeriese waardes) in te voer in die
verskillende kolomme en rye en die verhouding, met behuip van formules,
tussen die ingevoerde data te definieer (Brownell, 1987: 99). Hierdie
funksie van die elektroniese sigblad maak implementering van sigblaaie in
die Wiskundekias relevant.
111
111
64
4.3. Moontlikhede met die gebruik van sigblaaie in die
Wiskundeklas
Dear is verskeie toepassingsmoontlikhede met sigblaaie in die
Wiskundeklas. Hierdie toepassing van sigblaaie kan leer effektief
bevorder indien dit korrek in die kias gelmplementeer word. Vervolgens
'n kort uiteensetting van bogenoemde:
Akk rate berekeninge tydens tydgebond s on
kons pte te bestudeer.
Merril et al. (1996: 143) beskryf akkurate, wiskundige berekeninge as
'n voor die handliggende gebruik van die rekenaar. lien van die
voordele van 'n elektroniese sigblad is dat dit outomaties enige data
wet ingevoer word binne sekondes verwerk (Bitter, 1989: 132;
Lockard, et al., 1990: 100). Tegnologie maak dit dus vir leerders nou
moontlik om hul aandag te bestee aan uitdagende, interessante
probleme in pleas van eindelose, langdurige rekenkunde Merril et al.
(1996: 143):
The What if? And automatic calculation features enable users to work with real-
world problems and concentrate on the variables and relationships involved rather
than the details of the calculations."
(Sien ook Lockard, 1990: 104 — 105; Arad, 1986: 87; Newby et al.,
1996: 295)
Skryf van wiskundige form& s
Sigblaaie kan ook in die Wiskundeklas gebruik word om studente te
leer wiskundige formules skryf (Bitter: 1989, 134). Hierdie praktiese
65
toepassing kan veral gebruik word by die oplossing van x in
kwadratiese vergelykings en die vind van 'n algemene vergelyking van
verskeie grafieke. Bitter verwys verder hoe die logiese beredenering,
wat deur leerders gebruik word om storiesomme om te skakel in
wiskundige algoritmes in sigblaaie, kognitiewe vaardighede verbeter.
@forming van eie werkbare kognitie e str ktuur d ur
toetsing van voorspellings
Deur sigblaaie in die klas te implementeer kan die leerder die
onderlinge verhouding wat tussen veranderlikes bestaan bestudeer,
deur van die waardes te verander. Op hierdie wyse word kennis
aktief gekonstrueer deur die leerder. Gadanidis (1994: 93) is van
mening dat begrip gebore word uit 'n proses van organisering van
ervaringe. Deur leerders aktief in die leeromgewing besig te hou met
konstruktiewe denke word leer effektief bevorder. Nuwe kennis word
geskep deurdat eie interpretasies van inligting gemaak word (Prevost,
1993: 75).
ie elektroniese sigblad maak juis hierdie eie •
interpretasies van inligting moontlik. Deur gebruik te maak van
sigblaaie kan effektiewe leer dus gefasiliteer word.
Van der Spuy (1997: 16) voer hierdie argument verder deur te se dat
kennis opgedoen word deurdat nuwe en bestaande kennis
geassimileer en geakkommodeer word in 'n nuwe skema van begrip.
(Vergelyk ook 2.2.3.1.) Om sin te kan maak uit hierdie nuwe skema,
behoort 'n leerder betroubare voorspellings te kan maak (Von
Glaserfeld, 1987: 9). Hierdie voorspellings kan akkuraat getoets word
deur waardes in 'n elektroniese sigblad te manipuleer. Soos reeds
genoem behoort die onderriggewer die rol aan te neem van
organiseerder van ervaringe. Deur leergeleenthede te skep
waartydens leerders konstruktief oplossings formuleer en uittoets,
66
word dit vir die leerders moontlik gemaak om self kennis te
konstrueer as deel van hul eie verwysingsraamwerk.
Konteksspesifieke begrippe word dus ontwikkel (Ertmer en Newby,
1993: 63).
Beskou die voldende elektroniese sigblad as voorbeeld:
A C
1 teller Noemer Breuk
2 1
3 2 4 0.5
4 3 3 1 =SUM(A2/B2)
Figuur 4.3.a. Manipulering van waardes in 'n elektroniese sigblad.
In die bostaande sigblad word breuke bestudeer. Kolom C het 'n
ingeboude formule waartydens die waardes vir kolom A (tellers)
gedeel word deur die waardes vir kolom B (noemers). Die konsep
dat 'n klein getal gedeel deur 'n groter getal, 'n waarde lewer van
tussen nul en een, is vir baie leerders 'n moeilike begrip. Deur
leerders toe te laat om die konsep self te bestudeer deur die waardes
van of die tellers of noemers te verander kan leerders die
leergeleentheid gegun word om self 'n skema seam te stel en hierdie
skema akkuraat uit te toets. Die ingeboude formule maak dit dus vir
die leerder moontlik orn die rekenkundige bewerkings binne sekondes
uit te voer en te konsentreer op die dieperliggende beginsels. Piaget
(Jaworski, 1994: 15) sien laasgenoemde as die voorwaarde vir kennis
aangesien leerders slegs begrip toon indien kennis geassimileer word
in 'n "aksie" skema. (Vergelyk ook 2.2.3.1.)
Bogenoemde voorbeeld sluit nou aan by die konstruktiwistiese
leerteorie. Kennis kan nie oorgedra word vanaf die onderriggewer na
67
die leerder nie (Orton, 1992: 154). Tydens 'n tradisionele \Niskunde-
les sou die ondervvyser bloot die teorie weergegee het, miskien 'n
moontlike resep om die teorie te memoriseer, gevoig deur 'n reeks
oefeninge om hierdie resep in te oefen. Hierdie behavioristiese
siening van leer is volgens Dienes (Orton, 1992: 149) die rede vir
leerders se verstandelike blokkerings. Hierdie "blank" waama
leerders bale maal verwys na 'n toets of eksamen is die uiteinde van
oorbeklemtoning van memorisering. Leer het in so 'n geval dus nie
effektief plaasgevind nie. Bais (1988: 627) wys verder op die feit dat
begrip nie intree deur herhaaldelik te dril en in te oefen nie. Soos
reeds genoem tree begrip in wanneer leerders self hul kennis
konstrueer (Swart, 1994: 94). Dit volg dus vanselfsprekend dat die
sigblad in die Wiskundeklas geImplementeer kan word om hierdie
kenniskonstruering te akkommodeer.
Konstruering van wiskundige kennis word vergemaklik deur die
visuele aard van die vak deur gebruik te maak van grafieke om
konsepte uit te lig. wiskundige begrippe is afhanklik van mekaar en
daar bestaan 'n bepaalde verhouding tussen die onderliggende
beginsels (Ernest, 1991: 75). Leer kan effektief bevorder word deur
die beginsels as 'n geheel aan te bied, aangesien begrip aangaande
`n nuwe konsep nie kan intree indien daar nie 'n verband bestaan
tussen bestaande kennis en nuwe kennis nie (Orton, 1992: 154).
Visualisering van Wiskunde
Forcier (1996: 136) wys op die felt dat sigblaaie oor die kragtige
vermod beskik om data om te skakel in grafieke. In die onderstaande
voorbeeld word verhoudings tussen getalle ondersoek . Die reguitlyn
grafiek is 'n kragtige visuele bewys dat daar 'n konstante verhouding
bestaan tussen getallepare.
4
0
68
A B C 1 y m breuk 2 1 4 0.25 3 2 8 0.25 4 3 12 0.25 5 4 16 0.25
Figuur 4.3.b. Hierdie sigblad dien as data vir 'n reguitlyn grafiek.
verrhouding tuasero x in
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x-waard a
Figuur 4.3.c Grafiek vanuit data in figuur 4.3.b.
In bogenoemde voorbeeld word die verhouding tussen x en y
uitgebeeld in die vorm van 'n reguitlyn grafiek. Die belangrike
gevolgtrekking is natuurlik dat:
yix = 0.25
Met ander woorde die verhouding tussen die getallepare is in al die
gevalle dieselfde. Die vraag wat by leerders behoort te ontstaan is, of
die feit dat die verhouding dieselfde is vir at die getallepare, jets te
make het met die feit dat die grafiek in die vorm van in reguitlyn is.
Die leerders kan nou die geteentheid gegun word om die teorie in die
praktyk te toets deur waardes in die elektroniese sigblad te verander
4
0
69
en tot die gevolgtrekking te kom dat indien die verhouding
konstant is vir al die getallepare, 'n reguitlyn grafiek wel die gevolg sal
wees.
C 1 y x breuk 2 1 4 0.25 3 2 10 0.2 4 3 12 0.25
Figuur 4.3.d. Uittoets van skema deur manipulering van waardes.
verhoudhl9 tams n x en y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
xwaa Ifs; OS
Figuur 4.2.e. Bevestiging van voorspelling deur toetsing.
Elektroniese sigblaaie maak dit dus vir leerders moontlik om visueel
die uitkoms van hul voorspellings binne sekondes te toets. Boos
reeds genoem is die uittoets van 'n eie "werkbare" skema 'n
voorwaarde vir betekenisvolle leer.
Uit bostaande argumente word dit dus duidelik dat die implementering
van die elektroniese sigblad tydens die bestudering van wiskundige
konsepte kan lien as 'n uitstekende hulpmiddel vir die onderriggewer om
leer effektief te bevorder.
70
4.4. Die gebruik van sigblaaie vir die effektiewe leer van reguitlyn
grafieke
Uit voorafgaande bespreking het dit duidelik vorendag gekom dat die
elektroniese sigblad in die Wiskundeklas geImplementeer word as
hulpmiddel om leer effektief te bevorder. Vir die doel van hierdie studie
word daar gefokus op die gebruik van 'n elektroniese sigblad om reguitlyn
grafieke aan graad neges te onderrig. Die volgende voorwaardes
waaraan die leersituasie behoort te voldoen behoort egter in gedagte
gehou te word tydens die beplanning van so 'n les. (Sien hoofstuk 2 p.
37/38, vir die uiteengesette kontrolelys)
P!O aktieg e lesfas
cr Stet tar:deka elwitte
Tydens die pro-aktiewe lesfase behoort die onderriggewer seker te maak
wat die doelwit met die les is en of die implementering van 'n sigblad wel
behulpsaam kan wees ten einde hierdie doelwit te bereik. Die
implementering van 'n sigblad in die leersituasie behoort ten eerste sinvol
te wees alvorens dit leer effektief sal bevorder. Die onderriggewer
behoort homself dus of te vra of die leerervaring (gebruikmaking van
sigblaaie) wat geskep word wel tot die uitsluitlike bereiking van doelwitte
(leeruitkomstes) gaan lei. 'n Konteks bevorderlik vir leer, behoort dus
geskep te word (Gravett, 1995: 1).
cO° rganis - c=r inhigting Die wiskundige konsep wet bestudeer gaan word, moet deel uitmaak van
'n geheelbeeld. Aangesien Wiskunde 'n hierargiese vak is behoort die
lesse deel te vorm van 'n leseenheid. Elke les moet so georganiseerd
wees dat dit 'n stap nader is om die oorkoepelende konsep te bemeester.
So behoort elke les klem te le op 'n eenvoudige konsep wat deel uitmaak
•
71
van die oorkoepelende, meer inaewikkelde wiskundige konsep,
uiteengesit in die doelstelling met die leseenheid. Deur hierdie konsep (in
die geval die reguitlyn grafiek) te verdeel in 'n aantal eenvoudiger maklik
"doenbare" konsepte, wet tydens 'n aantal lesse bemeester word, word
die leerder, met gemak, begelei na die uiteindelike doelstelling.
epee orkeiiimis
In die geval wear die rekenaar geimplementeer word, behoort nie net
alleenlik wiskundige voorkennis bepaal word nie. Die leerders se kennis
aangaande gebruik van die rekenaar in die algemeen moat ook in ag
geneem te word. Indien 'n Winows toepassingsprogram soos Office 97
gebruik word, moet die leerders se muisvaardighede van so 'n aard wees
dat die leerder kan konsentreer op die inhoud van die les. Die leerders
behoort ook genoeg selfvertroue te he om in die "Windows environment~"
te kan werk. Die onderriggewer moet seker maak dat die leerders ten
voile vertroud is met die rekenaar aivorens die impiementering van
sigblaaie enigsins oorweeg kan word. Die les sal ontaard in 'n
rekenaargeietterdheidsles en die effektiewe leer van Wiskunde sal
agterwee gelaat word indien hierdie aspek nie goed oorweeg word nie.
Dit word dus voorgestel dat dear 'n orientasieles moet plaasvind voor die
leseenheid in aanvang neem, om sodoende die leerders vertroud te meek
met die werking van sigblaaie.
Le v r de tussL n d& i k n is en nuwe kennis
Voigens Ausobel vind betekenisvolle leer pleas indien die nuwe konsep
aansluit by reeds bestaande kennis (Orton, 1992: 135). Dit is dus van
uiterste belang dat die leerders se voorkennis bepaal word. Dear behoort
duideiike verbande gele te word tussen ou kennis (`ri reeds werkbare
struktuur) en nuwe kennis.
72
inter-aktiewe lesfase:
Wek aandag en stel doetwit
Ten eerste is dit belangrik dat die leerders deeglik bewus gemaak word
met die doelwit van die les. Dit moet nooit uit die oog verloor word
waarvoor die sigblad aangewend word nie. Die sigblad kan as hulpmiddel
dien vir die oplossing van 'n verskeidenheid van probleme. Deur die
probleemstelling as 'n goeie aandagwekker aan te wend en die sigblad te
gebruik as 'n hulpmiddel tot probleemoplossing, behoort effektiewe leer
bevorder word. (Sien hoofstuk 3)
Maak gebruik van realistiese probleme
Tydens die les behoort die leerders hulself besig te hou met probleme
waartydens gesoek word na logiese strukture en patrone (Shulman, 1979:
53). Die sigblaaie wat vir die les opgestel word behoort dus voorbeelde te
wees van probleme uit die werklikheid waarvolgens leerders voorspellings
kan maak en hierdie voorspellings te kan uittoets.
Hierdie probleemstelling tydens die leerervaring is om nuwe begrippe te
akkommodeer deurdat die leerder aktief betrokke is in die leersituasie.
Hierdie probleme moet egter relevant wees en interessant vir die leerder.
Deur te komplekse probleme te stel en sigblaaie daarvoor aan te wend
sal die leerder gedemotiveerd raak aangesien dit moeilik is om verbande
raak te sien.
Die opgestelde sigblaaie behoort te same met 'n konstruktiewe werkkaart
aangewend te word. Leerders behoort in hul konstruksie van kennis gelei
te word deur konstruktiewe vrae te antwoord. Deur net op die rekenaar te
"speer dien geen opvoedkundige doel nie. Die leerders moet dus ten alle
tye besig wees met die konstruksie van eie kennis.
73
mak gebralk van groepsaktivelteige
Daar behoort geleentheid gegun te word vir groepsaktiwiteite. Leerders
leer deur mekaar te help. Interaksie met ander leerders lei tot toetsing en
verfyning van hul eie begrip (Newby et al., 1996: 35). Leerders verstaan
probleme wat hul maats ondervind en dit kan van groot hulp wees tydens
die konstruksie van kennis.
A° le konstruksie va r i kennis
Die onderriggewer behoort die leerders te lei in hul konstruksie van kennis
ten einde effektiewe leer te bevorder. Hierdie begeleiding moet op 'n
deurlopende basis plaasvind. Die onderriggewer moet egter bedag wees
om nie die leerder se werk vir horn te doen nie. Telkemale gebeur dit dat
`n leerder sou vashaak tydens die gebruik van 'n sigblad, deur
byvoorbeeld die verkeerde funksie te aktiveer. Deur net die leerder te se
wat hy/sy behoort te doen om die probleem te oorkom, terwyl die leerder
dit self doen, is die korrekte benadering. 'n r ens is geneig om te probeer
tyd spaar deur vinnig self die probleem uit te sorteer, in plaas van om die
leerder van hulp te wees.
Post-aktiewe I ease:
sitrukti we tenogveer
Na aanleiding van die les, behoort daar terugvoering pleas te vind oor die
verloop van die les asook die leseenheid. Die onderriggewer behoort
terugvoering te gee in die vorm van 'n opsomming oor die konsepte wet
bestudeer was. Die leerders behoort terugvoering te gee oor die
algemene verloop van die les in die rekenaarsentrum.
Oor byvoorbeeld:
0 algemene probleme wet ondervind was met die gebruik van die
rekenaar;
probleme wet ondervind was met die gebruik van 'n sigblad;
74
probleme wat ondervind was met die bestudering van die konsep.
Die onderriggewer behoort dus die opeenvolgende lesse daarvolgens aan
te pas om sodoende te verbeter op die foute wat gemaak is en so te fokus
op effektiewe leer.
4.5. Samevatting
Die navorser het 'n reeks lesse uitgewerk wat oor 'n periode van ses date
gebruik ken word om reguitlyn grafieke aan greed nege leerlinge te
onderrig. Tydens die beplanning van die lesse is at die kriteria, voorgestel
vir effektiewe leer in Wiskunde, soos uiteengesit in hoofstuk 2, in die oog
gehou. Die lesbeplanning het geskied aan die hand van summatiewe
evaluering met die kontrolelys, vir effektiewe leer in Wiskunde, in gedagte.
In die volgende hoofstuk word die empiriese studie uiteengesit en die
resultate bespreek.
75
RIO FSTUK
DIE EMPIRIESE ONDERSOEK
5.1. Onleiding
In die voorafgaande hoofstukke is die gebruik van die rekenaar in die
kiaskamer bespreek. Aandag is veral gegee aan die moontlikheid om
effektiewe leer te bevorder deur gebruik te maak van die rekenaar.
Moontlikhede met die gebruik van sigblaaie is as altematief tot die gebruik
van tradisionele RGO programmatuur beskou. In hierdie hoofstuk gaan
die gebruik van sigblaaie in die Wiskunde kiaskamer prakties toegepas
word. Tydens die lesaanbiedings is sigblaaie gebruik om te poog om
leerders behulpsaam te wees in hul konstruksie van kennis.
'n Empiriese studie is onderneem om die invloed wat die gebruik van
sigblaaie in die Wiskundeklas op die effektiewe leer van grafieke het, te
bestudeer. Vier graad nege klasse van Queens High School is in die
studie betrek. Queens High het 'n besonder goed toegeruste
rekenaarlokaal en uiters bekwame personeel wat die studie dus moontlik
maak. Dear is gebruik gemaak van 'n t-toets tussen die voor- en
natoetspunte om te bepaal in wafter mate leer plaasgevind het. Na afloop
van die leseenheid is verskeie leerlinge genader om kommentaar te lever
op die samestelling van die leseenheid. Die twee ondenwseresse se
inset gedurende die leseenheid asook na afloop daarvan is ook in die
navorsingsverslag ingesluit.
5.2. Navorsingsontwerp
5.2.1. Proefpersone
Daar is besluit op 'n kwasi-ontwerp omdat dit nie moontlik is om
twee groepe ewekansig te trek nie. Albei groepe het 'n voor-en
76
nntrIztc nfgmla. Die =en grnop haQtnnn i lit two.= gr==rI nago Minces
waarvan die een baie swak en die ander baie goed in Wiskunde
presteer. Albei kiasse word deur twee verskillende onderwysers
onderrig. Die swakker kias 9E, deur Mev Prinsloo en die kias wat
beter presteer, 9F, deur Mev McCorckel. Beide kiasse was van die
behandeling weerhou. Hierdie groep het dus gedien as die kontrole
groep.
Die eksperimentele groep het bestaan uit twee kiasse, weereens 'n
goed presterende kias en 'n swakker kias. In hierdie geval is die
goeie kias, 91, deur Mev Prinsloo onderrig en die swakker klas, 9A,
deur Mev McCorckel. Hierdie groep is aan die behandeling
onderwerp.
5.2.2. Program van ondersoek
Vooraf is die verloop van die leseenheid met die twee
onderwyseresse bespreek en daar is besluit op die inhoud wet
tydens die leseenheid behandel gaan word. Sodoende is dear seker
gemaak dat die twee groepe presies dieselfde inhoud bestudeer.
Die behandeling het bestaan uit 'n leseenheid waartydens die
leerders aan die rekenaar blootgestel word tydens die bestudering
van grafieke, in besonder, die reguitlyn grafiek, met behulp van
sigblaaie. Die twee kiasse wat van die behandeling weerhou is het
die gewone tradisionele klasonderrig ontvang, wat hoofsaaklik
bestaan uit verduidelikings, uitgeskryf op transparant of op die
skryfbord, klaswerk uit die voorgeskrewe handboek en drilwerk as
oefening tuis.
Die leseenheid het bestaan uit een sesdag siklus wat in totaal uit 7
periodes, van gemiddeld vyf en dertig minute elk, bestaan. Twee
van die dae bestaan uit dubbel periodes, op een van die dae is daar
77
gee) Wiskunde periode nie en die oorblywende drie dae bestaan uit
enkel periodes. Die ondersoek is voorafgegaan deur 'n voortoets
(Bylaag A). Die deelnemers aan die ondersoek is deeglik bewus
gemaak van die doel met die studie en die verloop van die
ondersoek. Al vier klasse het dieselfde voortoets afgebb. Na afloop
van die voortoets is die kontrole groep onderwerp aan die
tradisionele onderrigmetode en die eksperimentele groep aan die
behandeling.
5.2.2.1. Die behandeling
Vooraf is die leerders gevra om in groepe van twee by die
rekenaar te werk. Daar is twee redes hiervoor. Eerstens vir
praktiese redes omdat die rekenaarlokaal slegs uit vyf en
twintig rekenaars bestaan en die twee klasse wat aan die
ondersoek deelgeneem het onderskeidelik uit drie en dertig
en vier en dertig leerlinge elk. Tweedens beskik leerders oor
meer selfvertroue indien daar 'n maatjie is wat hom/haar kan
help indien hy/sy iets "verkeerd" op die rekenaar doen. Soos
reeds genoem in hoofstuk 2 is groepwerk 'n baie belangrike
steunmiddel om kennis konstruktief eie te maak. Dit is egter
belangrik om ook te noem dat al die leerlinge by Queens een
maal 'n siklus by die rekenaar spandeer tydens 'n
Rekenaargeletterdheid periode. Al die leerders beskik dus
oor die algemene kennis by die gebruik van die rekenaar,
veral die gebruik van die muis in Windows 95 en is ook
familiar met die basiese beginsels van Microsoft Office 97.
Microsoft Excell is 'n sagteware pakket wat deel uitmaak van
Office 97. Excell is 'n baie kragtige sigblad wat deur die
navorser verkies word bo Microsoft Works en ander
sagteware wat beskikbaar is. Excel) beskik oor 'n wye
verskeidenheid funksies wat toepassing op Wiskunde baie
78
mnnntlik maak. Die behandeling het bestaan uit 'n vyf lesse
waartydens die leerders grafieke, met behulp van sigblaaie,
bestudeer het.
L s 1 (clubbel•erllode):
Die eerste les het bestaan uit 'n algemene orientasie
waartydens die leerders die algemene beginsels met die
gebruik van 'n sigblad eers onder die knie moes kry. Dit was
uiters noodsaaklik dat die leerders byvoorbeeld die idee van
selnommers wat aangedui word met letters en nommers baie
goed moet verstaan om werklik te baat by die bestudering
van grafieke met behulp van sigblaaie.
Vooraf is drie sigblaaie voorberei. Die eerste sigblad (bylaag
B) bestaan uit kolomme A tot G en rye 1 tot 10 wat die vorm
van 'n filmteater aanneem (Ladewig, Potgieter en Pretorius
et al., 1992: 149). Die idee met hierdie sigblad is om aan die
leerders 'n konkrete voorbeeld te verskaf van die beskrywing
van 'n punt se posisie met behulp van twee verwysings,
horisontaal en vertikaal. (Sien ook die werkkaart, bylaag E).
Die sigblad in die bogenoemde applikasie is dus uiters
behulpsaam weens die felt dat selle ook beskryf word in
terme van horisontale (rye) en vertikale (kolomme)
verwysings. Die tweede sigblad (bylaag C) verduidelik die
omgekeerde van die eerste oefening deurdat die
selnommers gegee word waarvan die inhoude die name van
twee films bevat. (Sien bylaag E). Die derde sigblad
(Bylaag D) dien as inleiding tot die idee van twee asse
(getallelyne) wat mekaar in die oorsprong (nul op die
getallelyn) kruis (Laridon, Burgess, Jawurek, Kitto, Pike,
Strauss, Strimling en Wilson et al., 1992: 141). Die leerders
79
het vir oefening koordinaatpare neergeskryf in die vorm van
'n geheime boodskap waarmee die les suksesvol afgesluit is.
(Sien werkkaart, bylaag E).
Les 2 ( nkei pertiode):
Vooraf is 'n sigblad voorberei in die vorm van in Kartetiese
vlak waarmee die leerders die vier kwadrante bestudeer het
(Bylaag F). Tesame met die sigblad is 'n werkkaart voltooi
(bylaag G). Daar is veral gelet op die leerders die konsep
verstaan dat die koordinaatpaar bestaan uit 'n x- gevolg deur
'n y-koordinaat. Daar is ook van die leerders verwag om
sekere selle in die sigblad te merk met 'n letter van die
alfabet, wat dus as inleiding dien tot die plot van punte in die
kartetiese vlak (bylaag G). Die felt dat 'n sigblad "beskerm"
kan word was veral tydens hierdie les van groot waarde. Net
die korrekte selle kon gevul word met letters. Indien die
leerders probeer het om in die verkeerde sel te skryf het 'n
boodskap verskyn wat die gebruiker van die sigblad maan
dat die sel "beskerm" is teen verandering van inhoud.
L s 3 Oubbel peril (P) ro;
Hierdie les het veral gefokus op die idee van direkte
eweredigheid. Die sigblad wat vooraf voorberei is bestaan
uit 'n tabel vvaarin die nodige formules in die nodige selle
geskryf is (die selle gemerk met Nit) en 'n oningevulde
grafiek (Bylaag H). Die voordeel verbonde aan Microsoft
Office Exell is die felt dat die grafiek op dieselfde bladsy as
die datatabel (sigblad) kan verskyn. Dit maak dit dus vir die
gebruiker moontlik om waar te neem hoe die grafiek
verander, soos die waardes ingevul word in die tabel.
80
Weereens is die sigbleri "beskerrn” en is dit dus onmoontlik
vir die leerders om die formules per abuis uit te vee of die
opstelling van die grafiek te verander. Sells die weer
gevorderde gebruiker van Excel! sou nie die data kon
verander nie, aangesien die navorser 'n kodewoord ingebou
het waarna gevra word indien die gebruiker wel sou poog om
van die data te verander.
Die leerders is voorsien van 'n werkkaart (Sian bylaag J)
waartydens volledige instruksies aan die leerders gegee
word om sekere selle op die tabel te vul met die nodige
waardes. Dear is van die leerders verwag om P (die omtrek
van 'n vierkant) vir selle B3 tot B8 self te bereken en dan die
waardes op die tabel in te vul, deur gebruik te maak van die
vergelyking wat verskaf word. Die leerders kon hul
antwoorde maklik toets deur net na die vorm van die grafiek
te kyk. Die reguitlyn is gemerk in roof en toon slegs 'n
perfekte reguitlyn indien at die waardes korrek ingevul is
(Sien bylaag I). Dear is van die leerders verwag om 'n reeks
vrae op die werkkaart te voltooi. Deur gebruik te maak van
die waardes op die tabel en die reguitlyngrafiek kon die
leerders die verband trek tussen die y- en x-waardes, asook
die feit dat antwoorde wet verkry word uit vergelykings
getoets kan word deur grafieke.
Les 4 (enk I pad°
Hierdie les was slegs 'n inoefening van die konsepte
bestudeer in les 3. Die vooraf voorbereide sigblaaie het
bestaan uit twee kartetiese vlakke (voorafopgestelde
grafieke) tesame data Labelle. Die twee grafieke wat
bestudeer was, is onderskeidelik:
81
y=4x+1
y = 4x — 11 (Sien bylaag K, L, M en N)
Die konsep wat baasgeraak moes word was dus om die y-
afsnit vanuit die gegewe vergelykings te kan eel. Die x-
afsnit kon ook afgelei word deur die intersep metode deurdat
die leerders die data tabel bestudeer het en die waardes vir y
= 0 of te lees. Hierdie x-afsnit op die tabel kon getoets word
deur die fisiese afsnit op die grafiek te beskou. Die leerders
is weereens van 'n werkkaart (bylaag 0) voorsien en deur
konstruktiewe vrae te vra is die leerders gelei in hulle
konstruksie van kennis. Dit is ook belangrik om te let dat
groepswerk moontlik gemaak is weens die felt dat die
leerders in groepe van twee op die rekenaar werk.
Onderlinge bespreking in die antwoord van vrae was dus
moontlik. Hierdie metode is uiters suksesvol in die
konstruksie van kennis wat effektiewe leer bevorder.
Les 5 ( yoke ri de):
Hierdie les is het voortgebou op die konsepte bestudeer in
les vier met slegs die aanpassing van die gradiente. Die
twee grafieke wat bestudeer was, is onderskeidelik:
y = -3x ÷ 1
y = 3x —1 (Sien bylae P, Q, R en S)
Die voorafopgestelde grafieke het dit vir die leerders
moontlik gemaak om die invloed van die verandering van die
teken van c op die helling van die grafiek te bestudeer. Die
werkkaart (bylaag T) is deur die leerlinge voltooi as hulp tot
konstruksie van kennis. Die fokus van die les was om die te
82
kan onderskei tussen positiewe en negatiewe hellings van 'n
reguitlyn grafiek deur slegs die teken van c in y = mx ¢ c te
beskou.
5.2.2.2. Die voor- en natoets
Om die sinvolheid van die gebruik van sigblaaie tydens die
bestudering van grafieke te evalueer is 'n toets van sewe
items opgestel (Sien bylaag A). Die items toets onder
andere: algemene kennis ten opsigte van grafieke en die
gebruik daarvan in die alledaagse lewe, die relevansie van
grafieke in die oplossings van probleme en algemene gevoel
teenoor die gebruik van grafieke in die Wiskundeklas en
elders. Elke item op die vraelys bestaan uit vier moontlike
keuses a tot d. Aan elk van die keuses is 'n waarde
toegeken:
Korrekte antwoord: 2
Halwe korrekte antwoord: 1
Verkeerde antwoord: 0
Na 'n verwerking van die antwoorde van die leerders, is
gebruik gemaak van 'n t-toets tussen die voor- en
natoetspunte om te bepaal in wafter mate leer plaasgevind
het (Siegel, 1956: 61/62).
5.2.2.3. Onderhoude
Onderhoude is met vier leerders gevoer (Bylaag U) asook
met die twee onderwyseresse (Bylaag V) wat aan die
ondersoek deelgeneem het. Die onderhoude was op band
opgeneem en is getranskribeer waartydens alle verbale en
83
nie-verbale kommunikasie aenoteer is. Die onderhoude is
uiteengesit om ten einde menings, oor veral die volgende
drie aspekte, by die leerlinge en onderwysers vas te stel:
Beinvloed die gebruik van die rekenaar die effektiewe
leer van Wiskunde?
Wetter positiewe aspekte, indien enige, rakende die
rekenaar in die Wiskundeklas is benoemenswaardig?
Wetter positiewe aspekte, indien enige, rakende die
gebruik van sigblaaie tydens die bestudering van grafieke
is benoemenswaardig?
5.3. Resultate
5.3.1. Voor- en natoets
Soos reeds genoem in paragraaf 5.2.2.2. is die voor- en
natoetspunte verwerk deur waardes van nul tot twee aan die keuses
van al die items toe te ken. Tydens die afneem van die voortoets vir
beide die kontrole groep en die eksperimentele groep is daar
register geneem van die klasse sodat presies dieselfde leerlinge die
natoets kan afneem. Indien daar iemand afwesig was tydens die
afneem van die natoets wat wel die voortoets afgeneem het, is
daardie leerling se voortoetspunte buite rekening gelaat tydens die
verwerking van die data. Die verwerkte data sien opsommenderwys
as voig daar uit:
84
5.3.1.1. Opsomming van data
Die onderstaande uiteensetting gee 'n beskrywing van al die
veranderlikes wat tydens die statistiese verwerking gebruik
is.
9A Eksperimentele groep: Swakker kias
91 Eksperimentele groep: Goed presterende
kias
9E Kontrole groep: Swakker kias
9F Kontrole groep: Swakker kias
Aantal items op die vraelys
X1 Gemiddelde persentasie van 'n item van
die natoets
X2 Gemiddelde persentasie van 'n item van
die voortoets
xl -x2
ED Som van D
Gemiddeld van D
Die verwerkte data van die voor- en natoetspunte van
onderskeidelik die kontrolegroep en eksperimentele groep is
as voig:
Die voor- en natoetse word itemgewys, in persentasie,
uitgedruk vir die onderskeie kiasse.
85
N X2 Xi 0
fit ms 90 SA SO SA 90
1 50 45 78 65 28 20
2 47 34 77 69 30 35
3 68 61 94 86 26 25
4 37 22 100 90 63 68
6 44 26 95 64 51 38
6 56 43 74 57 18 14
7 48 28 83 71 35 43
"Fatale 350 259 601 502 251 243
Gemidd 0d 50 37 86 72 35.857 34.714
Tabel 5.3.1.1.a. Verwerkte data van die eksperimentele
groep.
N
Xi ---,
Item 9F 9E 9F SE 9F SE
1 48 42 65 44 17 2
2 49 30 55 31 6 1
3 72 55 86 62 14 7
4 41 19 44 15 3 -4
5 38 22 57 37 19 15
6 53 47 59 48 6 1
7 54 21 55 18 1 -3
Totale 355 236 421 255 66 19
Ge id ,i, 51 34 60 36 9.428 2.714
Tabel 5.3.1.1. b. Verwerkte data van die kontrole groep
86
5.3.1.2. Die t-toets: Statistiese berekeninge
Ho : Die gebruik van die rekenaar het geen uitwerking op die
effektiewe leer van Wiskunde nie.
Eli: Die gebruik van die rekenaar het wel 'n positiewe
uitwerking op die effektiewe leer van Wiskunde.
Die t-toets metode is gebruik om die data to interpreteer
(Steyn, Smit, Du Toit en Strasheim et al.; 1994: 434 — 437).
Die gemiddelde persentasies van die voor (X2)- en natoetse
(Xi) vir beide groepe, vir elke item afsonderlik, is geneem.
Die verskil tussen die gemiddeldes, D = X1 — X2 is
vervolgens bereken, asook die somtotale van onderskeidelik:
,ES die voortoets gemiddeldes,
)25 na- toets gemiddeldes,
..e die som van die verskille, ED
Daarna is die gemiddeld van die somtotale geneem, van
onderskeidelik:
-CS die voortoets gemiddeldes,
.1E5 die na- toets gemiddeldes,
-ES asook:
15. ED
wear N = 7, want dear is sewn items op die vraelys (sien
bylae A).
E D2 (I D)2 N -1
Sd =
87
ie..5 die standaard afwyking sd, is bepaai as volg:
,CS Om die hipotese to toets is t met behulp van die
volgende formule bereken:
t- sd /1-14
Klan ED 15 t
Eksperimentele Groep 9A 243 34.714 5.124
91 251 35.857 6.042
Kontrole Groep 9E 19 2:714 1.104
9F 66 9.428 3.494
Tabel 5.3.1.2. Berekening van t vir beide groepe
Die grade van vryheid is bereken as volg:
G.V. = N - 1
= 7 - 1
=6
Die berekende t is dan vergelyk met t' (Fisher se tabel vir
moontlike t-waardes, (Milton Smith, 1965:87)).
Indien t < t' dan word die nuihipotese aanvaar.
Indien t > t' dan word die alternatiewe hipotese aanvaar.
1% beduidenheidspeil: t' = 3.707
5% beduidenheidspeil: t' = 2.447
88
5.3.1.3. kite • retasie van die resuftate
Die gemiddelde punte van die voortoets van die
eksperimentele groep, uitgedruk in persentasie is 50% vir die
goed presterende klas en 37% vir die swakker klas. Die
kontrole groep se gemiddelde persentasies van die voortoets
is 51% en 34%, vir die goed presterende klas en swakker
klas, onderskeidelik. Hieruit kan die afleiding gemaak word
dat die gemiddelde persentasies vir die eksperimentele
groep (43.5%) en kontrole groep (42.5%) byna geen verskil
toon nie. Die groepe se voorkennis aangaande grafieke en
die gebruik daarvan in die alledaagse lewe is dus min of
meer dieselfde.
Die onderwyseresse het op hierdie stadium aan die navorser
uitgewys dat die graad neges 'n projek moes voltooi oor
statistiese verwerking van data met die gebruik van grafieke.
Die twee swakker klasse het egter geen belangstelling in die
projek getoon nie en bitter min van die leerders het die take
ingehandig. Die twee goad presterende klasse se
belangstelling in die projek was gemiddeld en het baie
gesukkel met heelwat van die konsepte.
Soos reeds genoem is beide groepe geweldig ontvanklik vir
die inkorporering van die rekenaar, aangesien die leerders
genoegsame blootstelling daarvan het in hul normale
skoolgang. Dit sou dus geen verskil gemaak het wetter van
die twee groepe as eksperimentele groep gebruik word nie.
Die natoetsgemiddeldes van die twee klasse in die
eksperimentele groep het 'n merkwaardige verbetering
89
getoon. Van 50% tot 86% vir 91 en van 37% tot 72% vir 9A.
Die berekende t vir die eksperimentele groep is 6.042 vir 91
en 5.124 vir 9A. Beide hierdie t waardes is groter as t' op die
5% beduidenheidspeil, asook die 1% beduidenheidspeil. Die
nulhipotese kan dus verwerp word op beide die 5% en 1%
beduidenheidspeil en die altematiewe hipotese kan aanvaar
word. Hieruit kan die afleiding gemaak word dat die gebruik
van sigblaaie tydens die bestudering van grafieke wel leer
effektief bevorder het.
In kontras met die eksperimentele groep, het die
kontrolegroep 'n effense verbetering getoon tydens die
natoets. Van 51% tot 60% vir 9F en van 34% tot 36% vir 9E.
Die berekende t vir die kontrole groep is 3.494 en 1.104 vir
9F en 9E onderskeidelik. eide hierdie t waardes is kleiner
as t' op die 5% en 1% beduidenheidspeil. Vergelykende met
die eksperimentele groep, het die kontrolegroep dus
aansienlik swakker gevaar in die natoets en kan die afleiding
gemaak word dat die eksperimentele groep meer suksesvol
was in die effektiewe leer van die konsepte. Aangesien die
kontrolegroep as kontrole gedien het en van die behandeling
weerhou was, kan die resultate toegeskryf word daaraan.
Met ander woorde, die afleiding kan gemaak word dat indien
die kontrole groep aan die behandeling onderwerp was, die
nulhipotese sou verwerp kon word.
Samevattend kan gestel word dat die gebruik van sigblaaie
tydens die bestudering van grafieke wel 'n invloed het op die
effektiewe leer van die onderskeie konsepte. Dit kan dus
aanvaar word dat die gebruik van die rekenaar, in besonder
die gebruik van sigblaaie in die Wiskundekias die leerling
van huip kan wees tydens konstruksie van eie kennis.
90
Vanuit die konstruktiwistiese leerteoretiese oogpunt %as die
lesreeks se aanbieding dus suksesvol.
5.3.2. espreking van onderhoude
Die volgende aspekte rakende die gebruik van sigblaaie tydens die
bestudering van grafieke en die gebruik van die rekenaar in die
Wiskundeklas in die algemeen het tydens die onderhoude na yore
gekom: (Bylae U en V)
5.3.2.1. Onderhoude met die leerlinge
Aspekte rakende effektiewe leer:
Al die leerlinge het gevoel dat hul makliker die konsepte
kon baasraak as die tradisionele metode. Die leerlinge is
ook van mening dat hulle die nut van grafieke sien en dat
dit nie so ver verwyderd van hul werklike leefwereld is
nie.
Aspekte rakende die gebruik van die rekenaar in die klas:
Die leerders het weliswaar baie genot geput uit die
gebruik van die rekenaar in die kias. Die groot pluspunt
was volgens die leerders die felt dat dit "lets anders" was.
Die rekenaarmetode was vir die leerders baie stimulerend
en daarom was die bestudering van so 'n moeilike
konsep soos grafieke baie genotvol.
Aspekte rakende die gebruik van sigblaaie
Die leerders het aanvanklik gesukkel om to verstaan wat
presies hulle moet doen, maar toe hulle eers op dreef
was you die kloutjie by die oor gekry. Die mees
stimulerendste van hierdie metode was volgens die
leerders die felt dat
91
"you can see how the graph grows...it's croocked at first,
but if you fill in all your values correctly... the red line
would be perfectly straight"
5.3.2.2. Onderhoude met die onderwysers
4m® Aspekte rakende effektiewe leer: 0
Die onderwyseresse was van mening dat leer wel
effektief piaasgevind het, maar dat dit nie werklik voor
die deur van die alternatiewe metode gele kan word nie.
Die inleidende les het veral indruk gemaak weans die felt
dat die leerders op 'n genotvolle manier bewus gemaak
was van die beskrywing van 'n posisie deur middel van
twee verwysings (sien les 1).
0.4 Aspekte rakende die gebruik van die rekenaar in die .z>
klas:
Die onderwyseresse was veral beTndruk met die
genotvolle wyse waarmee die lesse aangebied kan word
met behuip van die rekenaar. Die lesse was baie
stimulerend aangesien dit buite die tradisionele val.
Veral die sterker leerder kan baat vind by die gebruik van
die rekenaar, aangesien die onderwyseres vooraf meer
uitdagende probleme kan opstel met behuip van die
sigblaaie, terwyl die onderwyser ekstra aandag aan die
swakker leerder kan gee. Beide onderwyseresse het
egter beklemtoon dat die rekenaar nie die rol van die
onderwyser kan inneem nie, maar as 'n uitstekende
hulpmiddel kan dien om konstruktiewe leer te bevorder.
Daar is egter voorgestel om altyd 'n altematief gereed te
hou indien daar iets buite die beheer van die
onderriggewer gebeur, soos byvoorbeeld in die geval
van 'n kragonderbreking.
92
Aspekte rakende die gebruik van sigblaaie:
Beide die onderwyseresse het die voordele van die
gebruik van sigblaaie raakgesien. Een groot voordeel
wat uitgelig is, is die feit dat die grafieke onmiddellik
geplot word soos wat die data in die tabel ingevul word.
Dit maak dit dus vir die onderriggewer moontlik om
heelwat grafieke in klastyd te plot en nie net een op die
skryfbord nie. Foute kan ook baie maklik bespeur word
terwyl die korrisponderende y-waardes vir die
verskillende x-waardes met behuip van die onderskeie
vergelykings bereken word. Die feit dat die grafiek nie
as 'n perfekte reguitlyn getoon word indien daar foute
ingesluip het nie, is kragtige voordeel aangesien dit
visueel is.
5.4. Gevolgtrekking
In hierdie hoofstuk is bevind dat die gebruik van sigblaaie die onderwyser
van hulp kan wees om die effektiewe leer van Wiskunde by leerders te
bevorder. Alhoewel daar tydens hierdie studie slegs gefokus was op die
bestudering van die reguitlyngrafiek met behuip van sigblaaie, strek die
moontlikhede van sigblaaie veel wyer as dit. Die -onderwyser kan met 'n
bietjie inisiatief sigblaaie gebruik om al die tydrowende rekenkunde
letterlik binne sekondes uit te voer en eerder die les te fokus op die
bestudering van Wiskundige konsepte. Tydens hierdie studie het veral
die volgende kragtige voordele met die gebruik van sigblaaie na yore
gekom:
Formules kan ingebou word wat al die rekenkunde uitvoer.
Die sigblad kan "beskerm" word teen data verandering in selle.
❖ Grafieke kan tesame met die datatabel op een skerm beskou word.
93
• Selle in 'n sigblad kan met die nodige ingeboude instruksies
afhanklik wees van mekaar. Met ander woorde, soos wat die
inhoud van die een sel verander word, pas die gekoppelde sel se
waarde daarby aan.
ge Met behulp van kleur kan die belangrike konsepte uitgelig word.
Ten slotte kan daar tot die gevolgtrekking gekom word dat die
konstruktiwistiese leerteoretiese beginsels as onderbou gedien het vir
hierdie studie wat leer effektief bevorder het. l ie leerders was konstruktief
besig, op die rekenaar, en is gelei in hul konstruksie van kennis, met behulp
van konstruerende vrae in die werkkaarte en voltooiing en observasies van
die sigblaaie. In groepsverband het die leerders mekaar ondersteun en die
onderriggewer het slegs as fasiliteerder opgetree. Deur sigblaaie in die
Wiskundeklas to gebruik as 'n alternatief tot die tradisionele RGO materiaal
kan leer dus effektief bevorder word aangesien die sameloop van die
lesgebeure op die grondslae van konstruktiwisme rus.
94
H9OFSTuK 6
SAMEVA7TING, GEVOLGTREKKING E, AANBEVELI GS
6.1. Samevatting
Dear is gepoog om met hierdie studie die vraagstuk rondom die
effektiewe leer van Wiskunde aan te spreek. Die stelling dat leerders
sukkel met die leer van Wiskunde is 'n algemene felt. Die aard van die
vak is opsigself grootliks verantwoordelik vir die probleme wat leerders
met die vak ervaar. Soos reeds in die literatuurstudie vermeld, is
Wiskunde 'n proses en nie net bloot 'n databasis van herroepbare feite
nie. Die behavioristiese metode van leer, wear die leerder die lee houer
is wet deur die onderriggewer gevul moet word met kennis, sal dus nie die
leerder steun in sy/haar "eie maak" van Wiskundige kennis nie. Deur die
klassituasie te organiseer in 'n reeks opeenvolgende dril-en inoefeninge,
het in die verlede wel vrugte afgewerp vir die sterker leerder, maar
telkemale is die "a-ha" gevoel eers op 'n latere stadium ervaar wanneer
die leerder die dieperliggende verbande en konsepte kon identifiseer.
Hierdie sogenaamde "a-ha" gevoel kan ook beskou word as die eie
konstruksie van kennis. Dit kan dus aanvaar word dat wanneer leerders
konstruktief besig is om effektiewelik kennis eie te maak, leer weliswaar
plaasgevind het.
Die konstruktiwistiese siening van leer het juis 'n plek in die
Wiskundeklaskamer. Indien leerders tydens hul konstruksie van kennis
besig is om verbande tussen Wiskundige konsepte te le, sal die
toepassingsmoontlikhede van hierdie kennis op die alledaagse levee
duidelik word. Die wyse waarop leer in die klaskamer plaasvind,
beInvloed die leerder se siening, oor die bruikbaarheid en algemene
toepasbaarheid van Wiskundige kennis, direk. Die onderrigsituasie moet
dus bestaan uit vrae en opdragte wet die leerder sal lei in die konstruksie
95
van kAnnig tvrionA diA sopkef4 nn antwonrciR nn clip vonrgARtAlciA
probleme.
Indien die onderriggewer daarin slaag om leer effektief te laat plaasvind
sal die algemene prestasie in Wiskunde ook verbeter. Die doelstelling
met hierdie studie is om 'n altematiewe lesstrategie voor te stel wat die
effektiewe leer van Wiskunde moontlik kan bevorder. Die gebruik van die
rekenaar kan as moontlike alternatief beskou word. Die gebruik van
sigblaaie, tydens die oplossing van probleme in die klas, kan in besonder
behulpsaam wees met die konstruksie van kennis. Deur die leerders
tydens die klassituasie konstruktief besig te hou met uitvoering van
opdragte en soeke na antwoorde op konstruktiewe vrae kan leerders self
verbande tussen konsepte op hul eie manier ontdek.
Die gebruik van sigblaaie in die Wiskundeklas kan dus die leerder
bystaan in sy/haar ontginning van kennis, deurdat hy/sy self sy/haar eie
kognisie ontwikkel. Die gebruik van sigblaaie kan dus die onderriggewer
behulpsaam in die skep van leeromgewings, wat die leerders ondersteun
in die samestelling van Wiskundige strukture. Deur sigblaaie aan te wend
in die onderrig-leersituasie word daar weg beweeg van die behavioristiese
siening van leer en gefokus op die konstruktiwisme. Die breedvoerige
uitbreiding op bogenoemde leerteoriee, ter ondersteuning van die gebruik
van die rekenaar, is in die literatuurstudie (hoofstuk 2, 3 en 4) vervat.
`n Empiriese studie is onderneem om die doelstelling met hierdie studie te
verwesenlik. Sekere proefpersone is blootgestel aan 'n leseenheid
waartydens daar gepoog is om effektiewe leer te bevorder deur gebruik te
maak van sigblaaie. Daar is tydens die samestelling van die leseenheid
deurlopend ge-evalueer om seker te maak dat die leersituasie voldoen
aan die riglyne om effektiewe leer in Wiskunde te bevorder, soos
uiteengesit in hoofstuk 2. 'n Aantal gevolgtrekkings is hieruit gemaak.
96
R.2. Gevolgtrekking
Die doel met hierdie studie is om 'n alternatiewe strategie voor te stel wat
leer in Wiskunde effektief sal bevorder. Dit voig vanselfsprekend dat
hierdie strategie leerders behulpsaam moet wees tydens die konstruksie
van kennis. Hierdie konstruksie van kennis voig as uitvloeisel tot die
konstruktiwistiese siening van leer. Deur sigblaaie te implementeer as
alternatiewe onderrigstrategie is die volgende gevolgtrekkings vanuit die
empiriese studie gemaak:
Gevolgtrekkings aangaande klaskamerpraktyk:
Leerders is konstruktief in die leersituasie betrokke indien sigblaaie in
die Wiskundeklas aangewend word. Die leerders het in groepe van
twee hul werkkaarte voltooi terwyl die sigblaaie ingevul word. Daar is
dus nie geleentheid vir die leerder se aandag om te dwaal nie. Alle
leerders, nie net 'n gedeelte van die kias nie, was by die leersituasie
betrokke. Deur dus van sigblaaie gebruik te maak, het die klem
verskuif van passief luister, na aktief deelneem.
Elke leerder word verantwoordelik gehou vir sy/haar eie leer en die
aanwending van sigblaaie as elektroniese hulpmiddel het bygedra tot
`n selfstandige werksatmosfeer. Leerders het self antwoorde op vrae
probeer soek.
Die gebruik van die sigblaaie het noue en volgehoue interaksie met
die leerder moontlik gemaak, in 'n kias van tot drie en dertig leerders.
Deur sigblaaie te gebruik tydens die bestudering van grafieke is
antwoorde op vrae, rekenkundige verwerkings en plot van grafieke,
binne sekondes uitgevoer. Hierdie is veral 'n hulpmiddel, aangesien
die onderwyser nie op meer as een plek tegelykertyd kan wees om
vrae te antwoord nie.
Leerders het genot geput uit die alternatiewe metode.
97
Gevolgtrekkings aangaande effektiewe leer van Wiskunde:
Die gebruik van sigblaaie tydens die bestudering van Wiskundige
konsepte is weliswaar die leerders behulpsaam tydens die konstruksie
van kennis.
Leer vind meer effektief pleas indien sigblaaie in die onderrigsituasie
gebruik word as hulpmiddel.
Die gebruik van sigblaaie tydens die bestudering van grafieke het die
leerder bewus gemaak van die dieperliggende verbande tussen die
onderskeie Wiskundige konsepte.
to Meer leerders kon die nut van grafieke insien na afloop van die
leseenheid. Leerders kon dus die toepasbaarheid van Wiskunde in
die alledaagse lewe ervaar.
Die algemene gevolgtrekking ken gemaak word dat leer effektief
plaasvind indien sigblaaie in die Wiskundeklas gebruik word as
elektroniese hulpmiddel. Sigblaaie kan aangepas word na aanleiding van
die spesifieke leerders se behoeftes. Makliker probleme vir die swakker
leerder en meer ingewikkelde probleme vir die leerders wet 'n uitdaging
soek.
Die leerders het hul Wiskundige kennis uitgebrei, aangesien hul
konstruktief besig was in die denkproses. Leerders was dus die
geleentheid gegun om werklik deel to neem in die leerproses en kon
eksperimenteer met verskillende getalle, die verhoudings tussen
getallepare en die invloed wet dit op mekaar het.
In die volgende paragraaf word aanbevelings vir verdere navorsing
gemaak, asook aanbevelings aangaande toekomstige gebruik van
sigblaaie in die Wiskundeklas.
98
6.3, A _nbRivelinp
Die onderriggewer behoort sy/haar onderrigstrategie in herognskou neem.
Die tradisionele onderrigmetode, wat wens aan behaviorisme, is nie
voldoende om leerders effektief te laat leer nie. Inoefening kan
rekenkundige vaardighede toon miskien goeie resultate op die kort
termyn, maar op die lang duur faal dit om aan leerders die nodige insig te
verskaf om sie verband tussen Wiskundige konsepte te kan raaksien.
Die volgende algemene aanbevelings word gemaak aangaande die
onderrig van Wiskunde:
Wiskunde onderwysersbehoort kennis te dra van die nuutste
verwikkelinge in terme van Wiskunde-onderrig.
Wiskunde onderwysers behoort kennis te dra van hoe leer plaasvind
en hoe dit effektief bevorder kan word.
Wiskunde onderwysers behoort hul lesstrategie te herevalueer.
Wiskunde onderwysers behoort hulseif oop te stet vir die
konstruktiwistiese siening van leer en so 'n onderrigstrategie in die
praktyk uit te toets.
Die Wiskunde onderwyser se primere doel moet wees om leerders
bewus te maak van die toepasbaarheid van Wiskunde in hul
alledaagse lewe en so die vak te promoveer.
Wiskunde onderriggewers behoort hul teak met entoesiasme aan te
pak en sodoende 'n liefde vir die vak by leerders aan te kweek.
et die bogenoemde algemene aanbevelings in gedagte, word die
volgende spesifieke voorstelle gemaak om die leersituasie in 'n
konstruktiewe leerervaring te verander:
Wiskunde onderwysers behoort rekenaar geletterd te wees.
99
Wiskunde onderwysers behoort kennis to dra van a! dic=, m^ontlike
rekenaar gerugsteunde onderrig benaderings en hul
toepassingswaarde in 'n Wiskundeles.
Die Wiskunde onderwyser behoort die toepaslike - GO in sy/haar
lesse te inkorporeer.
Die Wiskunde onderwyser behoort sigblaaie as elektroniese
hulpmiddel, net soos die sakrekenaar, tydens lesse as hulpmiddel aan
te wend.
Die Wiskunde onderwyser behoort sigblaaie, tesame met
konstruktiewe werkkaarte, te gebruik as metode om leer effektief te
bevorder in die Wiskundekias.
Vir heelparty onderriggewers is bogenoemde voorstelle vergesog,
aangesien hulle in die tradisionele onderrigpatroon verval het. 'n
Gewoonte is baie moeilik om te oorkom, maar die Wiskunde
departemente by skole behoort aan onderwysers indiensopleiding verskaf
in die toepassing van rekenaars in die onderrigsituasie. 'n Goed
bestuurde departement se eerste prioriteit is juis om leer effektief te
bevorder en deur gebruik te maak van die nuutste tegnologie is dit wel
moontlik.
Die gebruik van sigblaaie in die Wiskundekias het potensiaal. Die
volgende word voorgestel:
Sigblaaie behoort in die Wiskundekias gebruik te word vir die
bestudering van alle konsepte waarby dit toepassingswaarde het.
Die sigblaaie behoort aangepas te word om aan die verskillende
leerders se behoeftes te voorsien.
`n Konstruktiewe werkkaart behoort die sigblaaie te vergesel met
voldoende instruksies. Leerders behoort self antwoorde te soek op
probleme na aanleiding van die werkkaart.
100
6.4. Slot
Vandag word daar deur die korporatiewe wereld gesoek na selfstandige
denkers. Die produk wat na twaalf jaar by die skoolbanke uitgestuur
word, is na aanleiding van tradisionele onderrig nie meer voldoende nie.
Die idee dat leerders op skool nog steeds met die lepel gevoer word en
nie die geleentheid gegun word om tydens die leersituasie self te dink nie,
maak van leerders passiewe deelnemers in die onderrigsituasie. Indien
onderriggewers alternatiewe onderrigstrategiee oorweeg, kan leerders
verander in aktiewe deelnemers en konstruktief kennis eie maak.
Leerders kan dus effektief leer om self te doen.
"Give me a fish
and I'll eat for a day.
Teach me to fish
and I'll eat for a life time." (skrywer onbekend)
101
BIBLIOGRAFIE
AIRASIAN, P.W. & WALSH, M.E. 1997: Constructivist Cautions. Phi Delta
Kappan, 78(6): 444 - 449.
ALESSI, S.M. & TROLLIP, S.R. 1991: Computer Based Instruction. Methods and
Development. New Jersey: Prentice Hall.
BELL-GREDLER, M.E. 1986: Learning and Instruction: Theory into Practice.
Englewood Cliffs, New Jersey: Merril/Prentice Hall.
BENNET, J.P. 1992: Computers in mathematics education: A "not really for the
researcher" Review of recent unique findings. School Science and
Mathematics, 92(1): 38 — 39.
BITTER, G.G. 1989: Microcomputer in education today. United States of
America: McGraw-Hill Book Company.
BLAIS, D. M. 1988: Constructivism — A Theoretical Revolution for Algebra. The
Mathematics Teacher, 81(8): 624 — 631.
BLIGNAUT, J. 1988: Rekenaarondersteunde onderwys as wyse van onderrig en
leer. Informedia, Maart 1988: 10 — 11.
BORKO, H.; EISENHART, M.; BROWN, C.A.; UNDERHILL, R.G; JONES, D.
AGARD, P.C. 1994: Learning to teach hard mathematics: Do novice
teachers and their instructors give up to easily? Journal for Research in
Mathematics Education, 23 (May 1992): 194 — 222.
102
CALDWELL, R.M. 1980: Guidelines for developing basic skills instructional
materials for use with microcomputer technology. Educational Technology,
20(11):7 — 12.
CHAPIN, S.H. & EASTMAN, K.E. 1996: Implementing the Professional
Standards for Teaching Mathematics; External and Internal Characteristics
of Learning Environments. The Mathematics Teacher, 89(2): 112-114.
CLARK, K.; HOSTICKA, A. & RICE, L. 1993: The role of technology in education
in the new South Africa. (In: Carey, D.; Carey R. & Willis, D.A. eds. 1993:
Technology and teacher educational annual. Published for the society for
technology and teacher education. Association for the advancement of
computing in education. Charlottesville: pp. 44 — 48).
DENCE, M. 1980: Toward defining the role of CAI: A review. Educational
Technology, 20(11): 50 — 54.
DOSSEY, J.A. 1988: Learning, Teaching and Standards. The Mathematics
Teacher, 81(4): 290 — 293.
ERNEST, P. 1989: Mathematics Teaching: The State of the Art. London: The
Falmer Press.
ERNEST, P .1991: The Philosophy of Mathematics Education. London: The
Falmer Press.
ERTMER, P.A. & NEWBY, T.J. 1993: Behaviorism, cognitivism, constructivism:
Comparing critical features from an instructional design perspective.
Performance Improvement Quarterly, 6(4): 50 — 72.
103
FALL, R.; TROPPER, D.T. & WEBB, N.M. 1995: Constructive Activity and
Learning in Collaborative Small Groups. Journal of Educational Psychology,
87(3): 406 — 423.
FARREL, M.A. & FARMER, W.A. 1988: Secondary Mathematics Instruction: An
Integrated Approach. Providence, R.I.: Janson Publications.
FLAKE, J.L. McCLINTOCK, C.E. &TURNER, S.V. 1985: Fundamentals of
Computer Education. Belmont, CA: Wadsworth.
FORCIER, R.C. 1996: The computer as a productivity tool in education.
Englewood Cliffs: Prentice Hall.
FOURIE, H.A.M. n.d.: Computer education II. Monograph. Johannesburg: Rand
Afrikaans University.
GADANIDIS, G. 1994: Deconstructing Constructivism. The Mathematics
Teacher, 87(2): 91 — 95.
GAGNE, R.M. & BRIGGS, L.J. 1979: Principles of Instructional design (second
ed.). New York: Holt, Rinehart & Winston.
GARDNER, H. 1995: The mind's new science: A history of the cognitive
revolution. New York: Basic Books.
GRAVET, S.J. 1995: Instruction to promote effective learning. Johannesburg:
Rand Afrikaans University.
104
GRAVETT, S.J. 1993: Onderrigontwikkeling op universiteitsvlak: 'n leer-
begeleidings-perspektief. Johannesburg: Randse Afrikaanse Universiteit
(D. Ed-proefskrif).
HALL, Jr. R.T. & PETTY, J.A. 1993: What is computer literacy for a mathematics
teacher. (In: Carey, D.; Carey R. & Willis, D.A. eds. 1993: Technology and
teacher educational annual. Published for the society for technology and
teacher education. Association for the advancement of computing in
education. Charlottesville: pp. 613 - 617).
HANNAFIN, M.J. & PECK, K.L. 1988: The Design, Development and Evaluation
of Instructional Software. New York: MacMillan Publishing Company.
HASSELBRING, T.S. 1986: Research on the effectiveness of computer-based
instruction: A review. International Review of Education, : 313 —324.
JANSEN VAN RENSBURG, P.J. 1994: Groepwerk as strategie in die
konstruktiwistiese benadering van Wiskunde-onderrig. Johannesburg:
Randse Afrikaanse Universiteit (D.Ed-proefskrif).
JAWORSKI, B. 1994: Investigating Mathematics teaching: A constructivist
inquiry. London: The Falmer Press.
KEMP, J.E & DAYTON, D.K. 1985: Planning and producing instructional media.
New York: Harper & Row Publishers.
KEPNER, Jr. H.S. 1993: District teacher teams integrating technology into the
mathematics/science curriculum. (In: Carey, D.; Carey R. & Willis, D.A. eds.
1993: Technology and teacher educational annual. Published for the society
105
for technology and teacher education. Association for the advancement of
computing in education. Charlottesville: pp. 600 — 604).
KILPATRICK, J. 1992: A History of Research in Mathematics Education. (In:
Grouws, D.A ed. 1994: Handbook of Research on Mathematics Teaching
and Learning. New York: Macmillan Publishing Cooperation, pp. 3-38)
KRUGER, R.A. & MULLER, E.C.C. 1987: Lesstruktuur en onderwyssukses.
Roodepoort: Krumul Publikasies.
KULIK, J.A.; KULIK, C.C. & COHEN, P.A. 1980: Effectiveness of computer-
based college teaching: A meta-analysis of findings. Review of Educational
Research, 50(4): 525 — 544.
LADEWIG, w.; POTGIETER, R. & PRETORIUS, J. 1992: Mathematics Plus 7.
Cape Town: Oxford University Press.
LARIDON, P.; BURGESS, A.; JAWUREK, A.; KITTO, A.; PIKE, M.; STRAUSS,
J.; STRIMLING, L. & WILSON, H. 1992: Classroom mathematics 7.
Johammesburg: Lexicon Publishers.
LERMAN, S. & SIERPINSKA, A 1996: Epistemologies of Mathematics and of
Mathematics Education. (In: Bishop, A.J.; Clements, K.; Keitel, C.;
Kilpatrick, J. & Laborde, C. eds. 1996: International Handbook of
Mathematics Education, Part 2. London: Kluwer Academic Publishers, pp.
843-845.)
LOCKARD, J.; ABRAMS, P.D. & MANY, W.A. 1990: Microcomputers for
educators. United States of America: Harper Collins Publishers.
106
LOUBSER, A. 1997: Kognitiewe kartering as strategie in Wiskunde-onderrig.
Johannesburg: Randse Afrikaanse Universiteit (M.Ed-skripsie).
MARX, S. & VAN DER WALT, A. (red.)1989: Bemarkingsbestur. Tweede
uitgawe. Juta en Kie, Bpk: Kaapstad.
MERRIL, P.F.; HAMMONS, K.; VINCENT, B. R.; REYNOLDS, P.L.;
CHRISTENSON, L. & TOLMAN, M. N. 1996: Computers in Education.
Boston: Allyn and Bacon.
MILTON SMITH, G. 1965: A simplified guide to statistics. New York: Holt,
Rinehart and Winston, Inc.
NEWBY, TJ, STEPICH, DA, LEHMAN, JD & RUSSELL, JD 1996: Designing
instruction, integrating computers and using media. Englewood Cliffs:
Prentice Hall.
ORTON, A 1992: Learning Mathematics: Issues, Theory and Classroom
Practice. London: Cassel.
ORTON, A. 1994: Learning Mathematics: Implications for Teaching. (In: Orton,
A. & Wain G. eds. 1994: Issues in Teaching Mathematics. London: Cassel,
pp. 35 — 56.)
PREVOST, F 1993: Implementing the Professional Standards for Teaching
Mathematics. Rethinking how we teach: Learning Mathematical Pedagogy.
The Mathematics Teacher, 86(1): 75-78.
107
RAMSDEN, P. 1988: Improving learning. New perspectives. London: Kogan
Page.
RESNICK, L.B. & FORD, W.W. 1981: The Psychology of Mathematics for
Instruction. Hillsdale, New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.
ROTHERY, A. 1990: Modelling with spreadsheets. Malabar, Florida: Robert E.
Krieger publishing company, Inc.
SCHOENFELD, A.H. 1992: Radical constructivism and the pragmatics of
instruction. Journal of Research in Mathematics Education, 23, 1992: 290 —
295.
SIEGEL, S. 1956: Nonparametric statistics for the behavioral sciences. Japan:
McGraw-Hill Kogakusha Ltd.
SIMONSON, M.R. & THOMPSON, A. 1994: Educational computations. Upper
Saddle River: Prentice Hall.
SINCLAIR, I. 1990: Students' guide to spreadsheets. London: Biddies Ltd.
SKEELE, R.W. 1993: Resolving computer equity issues through multicultural
education. (In: Carey, D.; Carey, R. & Willis, D.A. eds. 1993: Technology
and teacher education annual. Published for the society for technology and
teacher education. Association for the advancement of computing in
education. Charlottesville: pp. 14 — 18).
SKEMP, R. R 1987: The Psychology of Learning Mathematics. Hillsdale, New
Jersey: Elbaum Associates.
108
SKINNER, B.E. 1968: The technology of teaching. New York: Appleton-Century-
Crofts of Meredith Corporation.
SLAKTER, M.J. 1972: Statistical inference for educational researchers. London:
Addison-Wesley publishing company.
SOLSO, R.L. 1984: Cognitive Psychology. New York: Harcourt Brace
Jovanovich, Inc.
SOWELL, E.J. 1993: Programs for mathematically gifted students: a review of
empirical research. Gifted Child Quarterly, 37(3): 124 — 128.
STEEDMAN, P.H. 1991: There is no more safety in numbers: A new conception
of Mathematics teaching. (In: Von Glasserfeld, E. ed. : Radical
constructivism in Mathematics education. Dordrecht: Kluwer, pp. 1 — 11).
STEFFE, L.P. & WIEGEL, H.G. 1994: Cognitive Play and Mathematical Learning
in Computer Microworlds. (In: Cobb, P. ed. 1994: Learning Mathematics:
Constructivist and Interactionist Theories of Mathematical Development.
Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, pp. 7-9.)
STEFFE, L.P. 1991: The constructivist teaching experiment: illustrations and
implications. (In: Von Glaserfeld, e. ed. 1991: Radical constructivism in
Mathematics education. Dordrecht: Kluwer, pp. 177 — 194).
STEYN, SMIT C.F.; DU TIOT S.H.C. & STRASHEIM C. 1994: Moderne
statistiek vir die praktyk. Goodwood, Kaapstad: Nasionale Boekdrukkery.
STEYN, H.G. 1993: Mediabenutting in die onderrig van meganotegnologie.
Johannesburg: Randse Afrikaanse Universiteit (M.Ed-skripsie).
109
SWART, R.E. 1994: Die opleiding van die Opvoedkundige Sielkundige as
reflektiewe praktisyn. Johannesburg: Randse Afrikaanse Universiteit (D. Ed-
proefskrif).
TAYLOR, P. & CAMPBELL-WILLIAMS, M. 1993: Discourse towards balanced
rationality in the high school mathematics classroom: Ideas from
Habermas's critical theory. (In: Taylor, P.C.S. & Malone, A.S. eds. 1993:
Constructivist interpretations of teaching and learning mathematics. Perth:
Curtin University of Technology.)
THORNDIKE, E.L. 1922: The Psychology of Arithmetic. New York: MacMillan.
VAN DER SPUY, J. 1997: Kognitiese kartering as strategie van wikundeonderrig
aan leerders met 'n gesiggestremdheid. Johannesburg: Randse Afrikaanse
Universiteit (M.Ed-skripsie).
VAN ZYL, A. 1997: Die onderrig van eksponentwette deur middel van die
rekenaar. Johannnesburg: Randse Afrikaanse Universiteit (M.Ed-
verhandeling).
VON GLASERFELD, E. 1989: Constructivism in Education. (In: HUSEN, T. &
POSTLETHWAITE, N. eds. 1989: The International Encyclopedia of
Education. Oxford: Pergamon Press, pp. 162 — 163).
VON GLASERSFELD, E 1987: Learning as a constructive activity. (In: JANVIER,
C ed. 1987: Problems of representation in the teaching and learning of
mathematics. Hillsdale, New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Inc., pp
3-16.)
110
WHEATLEY, G.H. 1991: Constructivist perspectives on science and
mathematics learning. Science Education, 75(1), January 1991: 9 — 21.
WHITTROCK, M.C. 1990: Generative processes of comprehension. Educational
Psychologist, 24: 345 — 276.
111
BYLAAG A:
Vraelys
112
MATHEMATICS QUESTIONAIRE GRADE 9 INSTRUCTIONS:
Circle ONE answer of your choice with a pen. Your response is completely confidential. Thank you for your cooperation.
1. The reason why we do graphs in the Mathematics class is. to bring my marks down. to represent data graphically in order to see the whole picture. to use it in my other subjects, like Science and Accounting. I actually don't know.
2. I would use a graph to try to understand the relationship between two variables. to do Science or Accounting calculations. I would never use a graph. simply do my homework.
3. People that use graphs everyday is people like Engineers Doctors Accountants All of the above
4. I don't like using graphs because it doesn't make sense to me. I don't think I'll ever use it. it is far to abstract. This doesn't apply to me, I like using graphs.
5. A corrects way to describe the position of a point is to know the vertical and horizontal position. know the vertical position. know the horizontal position. I don't know.
6. On a graph the horizontal axis is used to describe the positions of a point horizontally. I don't know. have a number line that goes up. describe the position of a point vertically.
7. Graphs a re useful because I don't think it is useful, this doesn't apply to me. you can see how variables relate to each other. you can summarize information on a graph. you can get good marks for it in the exam.
113
BYLAAG B:
Les 1
SIGBLAD 1: Filmteater
114
A B C D E F G
1 Isabel Shane Elaine Joao 2 Tsepo Sheldon Lillian Serah 3 Jason Kevin Mark 4 Mark Serah Mahole Teboho 5 Melisizwe Nonceba 6 Grant Gareth Rayan Assunta Shannon 7 Marcello Stella 8 Rory Darryl Anil 9 Adilson Gilberto 10 Elred Jessica 11 The Movie Theatre
115
CON/I A A r% u I 1-riii‘,7
Les 1
SIGBLAD 2: Filmfees
116
A B C D
1 K C L M 2 T I E N 3 I H T A 4 A D F K 5 A N M B 6 T U J C 7 S A V 8 Movie Festival
117
BYLAAG D:
Les 1
SIGBLAD 3: Geheime boodskap
118
A B C D E F G H I J K it_XSDF 5QWE R T 2 K IGHG 4BTV FR 3J V BOT 3TYMAG 4 E H F D F 2 J U I C F 6LKJHG1VHNME 6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 7 I AQWD-IASDFG 8ADGOF -2 E E K J H 9 SLUIG-3DHL SK io H JKVB-4GHGVB liD X CVN -5 Z XDRT 12 Secret Message
119 •
BYLAAG E:
Les 1
Werkkaart: Inleiding tot grafieke en ko6rdinate
The top floor, second from the left.
120
GRADE 9 MATHENIATICS Introduction to co-ordinates
It is easy to describe the position of a point on a straight line. Sometimes it may be necessary to describe a position in terms of two directions. Look at the following example:
In mathematics we describe a position of a point in terms of its horizontal and vertical direction. We refer to the horizontal co-ordinate first, followed by the vertical co-ordinate.
The following exercise is based on the writing of co-ordinates of a position of a point. Use the three different spreadsheets to answer the questions that follow.
I M PORTANT! In a spreadsheet there are columns and rows. The columns are numbered by letters of the alphabet and form the HORIZONTAL co-ordinates of the point and are therefor referred to FIRST. The rows are numbered by whole numbers and form the VERTICAL co-ordinates of the point and are therefor referred to LAST.
Sheet 1: The movie theatre Your class has decided to attend the movie festival at Eastgate. Tsepo and Sheldon went to buy the tickets and did the bookings for every body in the class. Use the spreadsheet provided to answer the following questions. Remember: The columns are the HORIZONTAL co-ordinates! 1. What is Isabel's ticket number?
What is Marcello's ticket number?
Elred and Jessica want to move to the back row. What will their new ticket numbers be?
Shane wants to sit next to Stella. What will his new ticket number be?
Rory wants to sit next to the aisle in the same row. What will his new ticket number be?
Sheet 2: Movie Festival This sheet provides clues on the names of the movies that you are going to watch. Use the following co-ordinates as clues to decipher the names of the two movies.
6-65\ a<v>? [1b%$ m2 :n] »o _
. •
2 3 4 5 x-axis &dce@ x * #e A
p — oU * I awc!
} { 9 6 a
5 4 3 2
2 -3 4 5
121
Movie 1:
Movie2: A2 C3 B3 A3 C2 A6 C5 C7 A5 B5 B7 A3 D4 B1
Sheet 3: A secret Message On this sheet there is a secret message hidden. Use the number pairs to decipher the message. Remember: The first numbers represent the HORIZONTAL co-ordinates!
-4,4 -4,-3 2,4 3,3 -2,-2 2,-4 -2,3 1,1 5,1 -2,-4 2,-2 -1,-5
-5,2 4,-3
Exercise Use the following grid to encrypt the message. Remember: The first numbers represent the HORIZONTAL co-ordinates! Write the horizontal co-ordinates first, followed by the vertical co-ordinate. In other words, x-axis then y-axis.
ti t Y200 rqu lAk L ws i -.E a «h , _
icE ° gAy
-5 -4 -3 -2 - r 0 cAe a I g¢£ a i o a 6 q is y z a oi fi*
y-axis
m
0
v
i
E
s
i
s
f
u n
122
BYLAAG F:
Les 2
SIGBLAD 1: Plot van data in 'n kartetiese viak
B E
123
A F
H A
1 2 3 4 5
10
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-5 -4 -3 -2
C
D
G 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5
B
B C D E F G H J K
124
BYLAAG G:
Les 2
Werkkaart: Plot van data in 'n kartetiese viak
125
GRADE 9 tviATHEMATICS The Cartesian Plane
SUMMARY:
Second Quadrant First Quadrant
x-axis
Third Quadrant Fourth Quadrant
y-axis
Study the spreadsheet and write down the co-ordinates of the points, numbered A to M. Next to each point write down the number of the quadrant in which it lies.
Co-ordinates Quadrant A B C D E F G H
Mark each block on the Cartesian plane, the given letter in the spreadsheet with the following co-ordinates.
(4,3) (3,4) J (3,-4) K (1,1) (2,2) M (-5,-2) N (-3,2) 0
126
BYLAAG n":
Les 3
SIGBLAD 1: Die reguitlyn grafiek — tabel metode
Oningevulde sigblad
127
^ C u _ J
P = 4s , 2 0 V'
3 4
--1 5 6 7 8 9 ### 10 ### 11 ##/t 12 0 0 13 ### 14 NM 15 #### 16 17 18 0 19 u o — — A,, - . ^ 0 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
21 22 Lenth of side of square (s)
23 24 r i ' ; i 1 1 1
128
BYLAAG 1:
Les 3
SIGBLAD 1: Die reguitlyn grafiek — tabel metode
Voltooide sigblad
129
A B C D E F G H I J K 1
2 P = 4s AA, 3 2 P
Per
ime
ter
of
squ
are
(P
)
)N
4clo
coo
K)4
com
BN
WM
!ifrn
8t
, , ..
..
2 8 5 3 10 6 3 12 7
8 4 14 5 20 9 2 6 10 4 16 11 8 32 12 0 0' 13
14 8 30 9 36 15
10 38 16 17 18 19 20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Lenth of side of square (s) 21 22 23
130
BYLAAG J:
Les 3
Werkkaart: Die reguitlyn grafiek — tabel metode
131
GRADE 9 MATHEMATICS Graphing data in the Cartesian Plane
If you have a table of values for a situation in which there is a relation between two quantities, the sets of values can be represented on a system of axis. This representation is called a graph.
Let's look at the relation between the length of the side of a square and the perimeter of a square.
S
Let's assume the side of a square is equal to the length s. We all know that a square has four sides. To calculate the perimeter of the square, you simply add the lengths of the sides. Because a square's sides is equal in length, you can do the following simple calculation.
Length of the side = s Perimeter. P =s+s+s+s
P = 4s
FOLLOW THE INITRUCTIONI BELOW TO ANJWER THE QUEITIONI ON THE RELATION BETWEEN THE ADEI OF A JQUARE AND ITI PERIMETER.
1. Type in the following values for s (length of side of square):
Cell number Value A3 1 A4 2 A5 2,5 A6 3 A7 3,5 A8 5 A9 1.5 Al 0 4 All 8 A13 7.5
2. Calculate the corresponding values for P (perimeter) using the given values for s.
Example: Ifs = 7, then P = 4x7 = 28. Type in 28 in the cell next to 7.
3. Type in the following value for P (Perimeter):
Cell number Value B14 36 B15 38
ANJWER THE FOLLOWING QUEMONI:
What happens to the values of P as the values of s increases?
What happens to the values of s as the values of P increases?
132
What happens to the values of P as the values of s decreases?
What happens to the values of s as the values of P decreases?
We call this type of relation a direct proportion. The two variables s and P is directly proportional to each other. In other words. If the one increase the other also increase. If the ne decrease, the other also decreases.
REMEMBER! The X-axis represents s, and the Y-axis represents P.
Write down the coordinate pair for point A:
What is the x value (x-coordinate) for point A? (read it of the graph)
Your answer in 6 is the length of the square, in other words s. Use your answer in 6 to calculate the y-coordinate (P). Use the formula P = 4s.
What is the y-coordinate for point A if you read it of the graph?
What is the perimeter of a square with a side of 0.5?
What is the perimeter of a square with a side of 5? (Read it of the graph)
What is the perimeter of a square with a side of 5? (Read it of the table)
A square with a perimeter of 26 will have a side of
What is the perimeter of a square with a side of 8? (Read it of the graph and check your answer on the table)
What is the perimeter of a square with a side of 8? (Read it of the graph and check your answer on the table)
What is the side of a square with a perimeter of 36? (Read it of the graph and check your answer on the table)
What is the side of a square with a perimeter of 38? (Read it of the graph and check your answer on the table)
What is the perimeter of a square with a side of 6? (Read it of the graph)
What is the y-coordinate of a x value of 6?
What is the x-coordinate of a y value of 36?
Write down the coordinate pair of point B.
If s = 8, what is P? Calculate P = 4s
What is the perimeter of a square of side 8? (Read it of the graph)
What is the y-coordinate of point B?
133
BYLAAG K:
Les 4
SIGBLAD 1: Plot van y = 4x + 1 — tabel metode
Oningevulde sigblad
134
A B C D E F G H I J K 1
2 V .'', 6K + 1
3 K V 2
u)
>-
4 5 6 7 8 9
### 10 ### 11 1111# 12 ### 13 ### 14
#### 15 #### 16
17 18 19 20
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 0 1 2
X-AXIS 22 23 24 25
135
BYLAAn I • .0
Les 4
SIGBLAD 1: Plot van y = 4x + 1 — tabel metode
Voltooide sigblad
136
A B C D E F G H I J K 1
2 V === (J.K '' 1
H V 28 3
0
22 20 18 16
12 10
4 2
2426
14
S
V
/
1 5 4 5 2 9 6 3 13 7 4 17 8 5 21 9 6 25 10 -1 -3 11 -2 -7 12 -3 -11 13 -4
0 -15
1 - . -5 -4 -3 - 1 2 3 4 5 6 14
15 -0.3 0 -4 -6
/ -8
-10 -12
r.
-14 -16
.ZZ -18 -2
16 -5 -19 17 18 19 20 21
X-AXIS 22 23 24 25
137
BYLAAG
Les 4
SIGBLAD 2: Plot van y = 4x - 1 — tabel metode
Oningevulde sigblad
138
A B C D E F G H I J K 1
2 y .'='. 623 - 1
3 X V 2
to
>-
,
4 5 6 7 8 9
### 10 ### 11 ### 12 ### 13
14 #### 15 #### 16
17 18 19 20
6 7 8 9 10 11 12 13 14 21 0 1 2 3 4 5
X-AXIS 22 23 24 25
139
fa Off 0 It E9 V IL. PlZ,
g=zs Ltl. 10 81;
SIG
Les 4
LAD 2: Plot van y = 4x - 1
Voltooide sigblad
bel metode
140
A B C D E F G H I J K 1
2 y ° K - 1
26 3 1{ V 24 22 20 18 16 14 1210
8 6
2 4
A/
ze
1 3 4 2 7 5 3 11 6 4 15 7 5 19 8 6 23 9
-1 -5 10 -2 -9 11 -3 -13 12 -4 -17 13 0 -1 - ''
• -4 -3 -2
-6 0/ -8
-10 eV -12
-1416 Z -
-18 `0
1 2 3 4 5 6 14 0.25 0 15
5 19 16 17 18 19 20 21
X-AXS 22 23 24 25
141
YLAAG
Les 4
Werkkaart: Plot van reguitlyn grafiek — Label metode
142
GR bE 9 M THEM TICS
Graphing data in the Cartesian Pi n
y = mx - table method
In the next two lessons you are going to work with the general equation:
WO" y and x are variables (their values can change) m and c are constant values (their values doesn't change for a specific relation y = mx + c is called a relation
2 the value of y is dependant on x and the value of x dependant on y
2 for every value of x there exists a fixed value for y for every value of y there exists a fixed value for x
2 there exists a specific relation between x and y, it is called direct proportion
y = mx + c
FOLLOW THE INSTRUCTIONS BELOW TO ANSWER THE QUESTIONS THAT FOLL'sW
1. Activate sheet 1 for the file : "table method.wks" and type in the following values for x and y:
Cell number x y A3 1 A4 2 A5 3 A6 4 A7 5 A8 6 A9 -1 Al 0 -2 All -3 Al2 -4 A13 0 A14 0 A15 -19
Complete the above table using the formula: y = 4x + 1, in other words, take x multiply by 4 and add 1, that would give you the corresponding value for y. DON'T COPY THE SPREADSHEET!! Mark the grey blocks (right or wrong) on the table by comparing it with the correct answers on the spreadsheet. Correct it if necessary. If your table in the spreadsheet is completed correctly you will see a straight red line. If not — the line will be crooked. Correct your table until it gives a straight line.
Where does the red line cross the y — axis?
Where does the red line cross the x — axis?
143 '9 %11/141 ei6 is On. .6,0=11. nc ■•• in Oh.% niv11. 0 inn •• Ale a. 9') I . UUI,at 11.3 LI IG VI SI III •11V V41.8.1.11.011 y -rn, • I I
8. Activate sheet 2 for the file : 'table method.wks" and type in the following values for x and y:
Cell number x A3 1 A4 2 A5 3 A6 4 A7 5 A8 6 A9 -1 Al 0 -2 All -3 Al2 -4 A13 0 A14 0 A15 -19
Complete the above table using the formula: y = 4x - 1, in other words, take x multiply by 4 and subtract 1, that would give you the corresponding value for y. DON'T COPY THE SPREADSHEET!! Mark the grey blocks (right or wrong) on the table by comparing it with the correct answers on the spreadsheet. Correct it if necessary. If your table in the spreadsheet is completed correctly you will see a straight red line. If not — the line will be crooked. Correct your table until it gives a straight line.
Where does the red line cross the y — axis?
Where does the red line cross the x — axis?
What is the value of c in the equation y = 4x - 1?
woo c in the equation y = mx + c always give the value were the line
intercept the y — axis.
What is the value of c in the equation y = 3x + 3?
What is the value of c in the equation y = 4x -r- 2?
What is the value of c in the equation y = 4x — 2?
144
YLA OG P: Les 5
SfiG LAD 1: Afsnitte en grathente
Onigevulde sigblad
145
I I
M V 2
L.
### MN #itit 414t# VW
#### i ####
_1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
X-AXIS
! 1 1
146
BYLAAG Q:
Less
SIG LAD 1: Afsnitte en gradients
Voltooide sigbiad
147
A B C D E F G H I J K 1
2 y.=-- 3K - 1 K V 20 3
18
14 12 10
6 4 2
16
8
y,
Z
zeZ
eZ
1 2 4 2 5 5 3 8 6 4 11 7 5 14 8 6 17 9
-1 -4 10 -2 -7 11 -3 -10 12 -4 -13 - I 13 0 -1 - 3 -5 -4 -3 -2 - 7'
X-4
zeZ -6
-8
/0 10
V -12
Z -14
® -16 18
1 2 3 4 5 6 14 0.33 0 15,
-5 -16 16 17 18 19 20 21
X-AXIS 22 23 24 25
148
YLAAG R:
Les 5
SIIGB D 2: Afsnitte en gradiente
Oningevulde .sigblad
149
2 23 V
tY)
):=
0 4- 0 0' . . . . - • S • ,..., _ ,3. -- 0
#41# #4t# ### ### ###
#### ####
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
X AX IS
I I
150
BYLAAG S:
Les 5
SOGIBLAID 2: Afsnitte en gradients
Voltooide sigblad
151
I L I 1 1 v '.=, -3K -- 1 I I I I j
3 -8
•N
K V 16 1 -2 14
12 10
4 -11 8
5 -14 6
-2 7 . N-,
2 -5
6 -17 -1 4
-3 10 = -4 -3 -2 -1 -2
-4 13 -4
0 1 -6
0.33 0 -8
2 -5 -10 -12
-16 -18
iN2 3 4 5 6
NsN
-14
•
________
X-AXIS .
1 1
-1 I --t-
i i 1
152
va 0T: Les 5
Werkkaart: Afsnitte en gradiente
155
V Ile9 El 12.n AG U:
Onderhoude met leerders
156
OHNE. DUDE MET a PP DERS
(vertaal in Afrikaans)
1. Effektiewe leer va n Wiskunde:
8 Het hierdie metode jou werklik gehelp om grafieke beter te verstaan?
Hoe het hierdie metode jou gehelp?
Dink jy deur die rekenaar meer gereeld in te span dit jou Wiskundige kennis
sal kan verbeter?
2.le g rtalk van elle reken ar dle klaskarrier: 411
Moontlike Dositiewe oevoelens teenoor die gebruik van die rekenaar:
Geniet jy dit om op die rekenaar Wiskunde te doen?
Hoekom?
Waarvan hou jy die meeste wanneer jy op die rekenaar Wiskunde leer?
Moontlike neoatiewe oevoelens teenoor die gebruik van die rekenaar:
Voel jy enigsins bedreig deur die rekenaar?
Ea Is dit vir jou maklik om op die rekenaar te werk?
Noem enige nadele by die gebruik van die rekenaar in die kias.
3, Lae gebruik v sig au tydens•estudering v n grarneke:
Moontlike positiewe oevoelens teenoor die oebruik van sigblaaie:
Verkies jy om grafieke op hierdie manier te bestudeer?
Hoekom?
Wet link jy is die grootste voordeel verbonde aan die gebruik van sigblaaie
tydens die bestudering van grafieke?
Moontlike neoatiewe oevoelens teenoor die gebruik van sigblaaie:
Ikon jy at die instruksies verstaan en korrek uitvoer?
2 Is dit vir jou maklik om met sigblaaie te werk?
Noem enige nadele verbonde aan die gebruik van sigblaaie.
157
vg A ‘il a. 6 a..tpi NO n
Onderhoude met onderwysers
158
ONDERHOUDE MET ONDERSERSM
(vertaal in Afrikaans)
Effektiewe seer van Wiskunde:
El Het hierdie metode werklik die leerders gehelp om grafieke beter te
verstaan?
P. In wafter mater?
.E1 Dink U deur die rekenaar meer gereeld in te span dit leerders se Wiskundige
kennis sal kan verbeter?
Die gebruik van die rekenaar in die klaskarner:
Moontlike positiewe gevoelens teenoor die qebruik van die rekenaar:
Sou U dit geniet om die rekenaar in die klas te gebruik?
Hoekom?
Lewer positiewe kommentaar op die implementering van die rekenaar in die
Wiskundeklas.
Moontlike negatiewe qevoelens teenoor die gebruik van die rekenaar:
Voel U enigsins bedreig deur die rekenaar?
O. In wafter mate?
Noem enige nadele by die gebruik van die rekenaar in die klas.
6. Die gebruik van sigbiaaie tydens die bestudering van grafieke:
Moontlike positiewe qevoelens teenoor die qebruik van siqblaaie:
Dink U hierdie is 'n gepaste metode om grafieke te bestudeer?
Hoekom?
Wat dink jy is die grootste voordeel verbonde aan die gebruik van sigblaaie
tydens die bestudering van grafieke?
Moontlike negatiewe qevoelens teenoor die qebruik van siqblaaie:
El Was at die instruksies verstaanbaar?
Dink U die leerders vind dit moeiliker om so grafieke te bestudeer?
Noem enige nadele verbonde aan die gebruik van sigblaaie.
![LGEN - [ 1 ] TUTORIALE - Steve Solomon, Cum să grădinăreşti atunci când contează.doc](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/577cd6f41a28ab9e789daa78/lgen-1-tutoriale-steve-solomon-cum-sa-gradinaresti-atunci-cand.jpg)
