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Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Die Kreiszahl π
Svenja Kapitzke
Mathematisches Proseminar:Implementierung mathematischer Algorithmen
12.12.2013
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Gliederung
1 Geometrische Herleitung nach Archimedes
2 Monte-Carlo-Methode
3 Ist π eine ”Zufallszahl“?
4 Borwein-Algorithmus
5 Fazit und Ausblick
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Geometrische Definitionen
Umfang Kreis:U = 2 ∗ π ∗ r
Flacheninhalt Kreis:A = π ∗ r2
Oberflache Kugel:O = 4π ∗ r2
Volumen Kugel:
V =4
3π ∗ r3
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Pi geometrisch ermitteln nach Archimedes
Abbildung : Annaherung von π mittels Vielecken [1]
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Geometrische Annaherung nach ArchimedesHerleitung 1: Sechseck
Beispiel: Umfang, inneres Sechseck
USechseck = 6r
UKreis ≈ USechseck ⇒ 2πr ≈ 6r
⇒ π =6
2= 3
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Geometrische Annaherung nach ArchimedesHerleitung 2: Vom Sechseck zum Zwolfeck
Beispiel: Umfang, inneres 12-Eck
s2 =( r
2
)2+ x2 (1)
x = r −√
r2 −( r
2
)2(2)
s =
√√√√( r
2
)2+
(r −
√r2 − r2
4
)2
(3)
UKreis ≈ UZwoelfeck ⇒ 2πr ≈ 12s
Man erhalt: π =3.106
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Geometrische Annaherung nach ArchimedesHerleitung 3: Vom Zwolfeck zum Polygon
Zwolfeck:
s =
√√√√( r
2
)2+
(r −
√r2 − r2
4
)2
Polygon (Eckenverdoppeln sich jedesMal):
sn+1 =
√√√√s2n4
+
(r −
√r2 − s2n
4
)2
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
o.B.d.A. r=1, da π nicht von r abhangt:
sn+1 =
√√√√s2n4
+
(1−
√12 − s2n
4
)2
(4)
Ein Vieleck mit der Kantenlange sn hat 6 ∗ 2n Ecken(n=0 entspricht Sechseck, n=1 entspricht Zwolfeck...)
UKreis = UVieleck ⇔ 2π = 6 · 2n ·
√√√√√s2n−14
+
1−
√1−
s2n−14
2
⇔ π = 3 · 2n ·
√√√√√s2n−14
+
1−
√1−
s2n−14
2
(5)
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Geometrische Herleitung nach ArchimedesImplementierung - Matlab-Programmcode rekursiv
rekursiv:
funct ion e r g e b n i s=S e i t e n l a e n g e ( n )i f n==0e r g e b n i s =1;endi f n>0a l t=S e i t e n l a e n g e ( n−1) ;e r g e b n i s=sqr t ( ( ( a l t ˆ2) / 4 . 0 )+(1− sqr t (1−( a l t ˆ 2 / 4 . 0 ) ) ) ˆ2) ;end
PI=S e i t e n l a e n g e ( n )∗3∗2ˆ n
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Geometrische Herleitung nach ArchimedesImplementierung - Matlab-Programmcode mit Schleife
Iterativ mit Schleife:
funct ion e r g e b n i s=S e i t e n l a e n g e ( n )e r g e b n i s =1;
whi le ( n>0)e r g e b n i s = sqr t ( ( ( e r g e b n i s ˆ2)/4.0)+(1− sqr t (1−( e r g e b n i s ˆ 2 / 4 . 0 ) ) ) ˆ 2 ) ;n=n−1;end
PI=S e i t e n l a e n g e ( n )∗3∗2ˆ n
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Geometrische Herleitung nach ArchimedesImplementierung - Ergebnis
Legende
rote Ziffernfalsch
schwarzeZiffernrichtig
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Geometrische Annaherung nach Archimedes
Eine der ersten Annaherungen an π
Inneres Sechseck entspricht untererSchranke von π,Außeres Sechseck entspricht obererSchranke von π
Geht mit Flacheninhalt oder Umfang
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Geometrische Annaherung nach Archimedeshistorische Ergebnisse
Historisch erzielte Ergebnisse mit dieserMethode:
1. Konig Salomo (ca. 800 v. Chr.):
π = 3
2. Archimedes (ca 250 v. Chr.):
3, 1071 < π < 3, 17
3. Ludolf van Ceulen (ca. 1600 n.Chr.):
π = 3, 14159265....., 36 Dezimalen
”Ludolphsche Zahl“
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Pi in der Bibel
1. Buch der Konige, Kapitel 7, 23.26:Konig Salomo gibt ein ”Meer“ in Auftrag:”Und er machte das Meer, gegossen, von einem Rand zum anderenzehn Ellen weit und funf Ellen hoch, und eine Schnur von dreißigEllen war das Maß ringsherum. ... und es gingen zweitausend Eimerhinein.“
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Geometrische Annaherung nach Archimedes ∗∗∗historische Ergebnisse
Historisch erzielte Ergebnisse mit dieserMethode:
1. Konig Salomo (ca. 800 v. Chr.):
π = 3
2. Archimedes (ca 250 v. Chr.):
3, 1071 < π < 3, 17
3. Ludolph van Ceulen (ca. 1600 n.Chr.):
π = 3, 14159265....., 36 Dezimalen
”Ludolphsche Zahl“
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Monte-Carlo-MethodeGrundprinzip
Methode beruht aufWahrscheinlichkeiten
Generierung zufallige Punkteinnerhalb eines Quadrats
Ermitteln, wie viele Punkteim Kreis liegen mittelsKreisgleichung nachPythagoras x2 + y2 <= r2
Radius des Kreisesentspricht Seitenlange desQuadrats
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Herleitung Monte-Carlo-Methode
Punkte in Viertelkreis
generierte Punkte im Quadrat=
Viertelkreisflache
Quadratflache=
14 ∗ π ∗ r2
r2=π
4
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Monte-Carlo-MethodeImplementierung
Anstatt”Zufallszahlen“ habe ich die Nachkommastellen von π in
Packchen aufgeteiltBspl: 2-er Packchen: Koordinaten eines Punktes (05|78),Radius=99
Punkte zahlen:
i f ( x∗x+y∗y<=r a d i u s ∗ r a d i u s ){z a e h l e r i n k r e i s ++;}e l s e{z a e h l e r n i c h t i n k r e i s ++;}
Punkte zeichnen:
i f ( x∗x+y∗y<=r a d i u s ∗ r a d i u s ){cout<<”x ”<<e n d l ;}e l s e{cout<<” . ”<<e n d l ;}
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Monte-Carlo-Methodeoptisches Ergebnis
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Monte-Carlo-Methoderechnerische Losung
Zeitliches Limit erreicht
Untersuchung zeigt:Verarbeitung des pi-stringsin einem Vektor zuzeitaufwendig
Zufallszahlen schneller zuverarbeiten als dieNachkommazahlen von pi
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Monte-Carlo-Methoderechnerische Losung 2
r a d i u s =10000z a e h l e r i n k r e i s =0;z a e h l e r =0;
Z u f a l l s z a h l e n=r a n d i ( r a d i u s , 1 , a n z a h l p u n k t e ) ;
f o r ( i =1: a n z a h l p u n k t e −1)x=Z u f a l l s z a h l e n ( i ) ;y=Z u f a l l s z a h l e n ( i +1);
i f ( ( x∗x+y∗y)<= r a d i u s ∗ r a d i u s )z a e h l e r i n k r e i s=z a e h l e r i n k r e i s +1;
endz a e h l e r=z a e h l e r +1;i=i +2;
endPi=z a e h l e r i n k r e i s / z a e h l e r ∗4 ;
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Monte-Carlo-Methode ∗∗∗rechnerische Losung 2 - Ergebnis
Legende
rote Ziffernfalsch
schwarzeZiffernrichtig
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Ist π eine ”Zufallszahl“?Zahlenuniversum
Definition: Zahlenuniversum
In einer unendlichen Folge zufallig ausgewahlter Ziffern kommtjede beliebige endliche Folge vor, wenn jede Ziffer mit einer vonNull verschiedenen Wahrscheinlichkeit gezogen werden kann. DieseFolgen nennt man Folgenuniversum.Die reellen Zahlen, deren Dezimalenfolge ein Folgenuniversum ist,heißen Zahlenuniversum zur Basis 10 (auf jede Basis anwendbar).[5]
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Ist π eine ”Zufallszahl“?Zahlenuniversum
Beispiele: Zahlenuniversum
Champernownesche Zahl:0,123456789101112131415161718192021...
Zahlenuniversum zur Basis 10
Jede Folge s, die nicht mit 0 anfangt, kommt vor, wenn sie
”an der Reihe“ ist.
Jede Folge s, die mit 0 anfangt, kommt vor, wenn ’1s’”an der
Reihe“ ist.
Auch die Zahl 0,248163264128 (die Potenzen von 2 zur Basis 10aneinandergefugt) ist ein Zahlenuniversum zur Basis 10. [5]
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
David Gawen Champernowne(1912-2000)
Englischer Okonom undMathematiker
Schrieb Arbeit uberChampernownesche Zahl wahrendseines Bachelor-Studiums
Entwickelte einen der erstenSchachcomputer mit
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Ist π eine ”Zufallszahl“?Zahlenuniversum
Viele Verfahren zur Konstruktion von Zahlenuniversen
Es gibt uberabzahlbar viele Zahlenuniversen
Je langer die gesuchte Zahlenfolge, desto großer der Bereich,in dem sie wahrscheinlich zu finden ist
Noch nicht bekannt, ob π ein Zahlenuniversum ist.
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Ist π eine ”Zufallszahl“?gleichverteilte Zahlen
Definition: gleichverteilte Folge
Zieht man zufallige Ziffern zur Basis b mit gleicherWahrscheinlichkeit, dann ist die Haufigkeit jeder Ziffer nach demGesetz der großen Zahlen 1/b. Eine solche Folge heißtgleichverteilt. [5]
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Definition: Normal zur Basis b
Eine reelle Zahl heißt normal zur Basis b, wenn gilt: DieHaufigkeit von Ziffernfolgen beliebiger Lange ist gleichverteilt. Einezur Basis b normale Zahl ist gleichverteilt zur Basis bn fur jedesbeliebige n. [5]
Beispiel: Normal zur Basis 10
Bei einer zur Basis 10 normalen Zahl geht die Haufigkeit von”23“
unter den Dezimalstellen gegen 1/100, von”345“ gegen 1/1000,
etc.
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Gleichverteilt impliziert nicht normal
Eine zur Basis b gleichverteilte Zahl ist nicht zwingend zu dieserBasis normal.Eine gleichverteilte Zahl kann rational sein, eine normale Zahl istzwingend irrational. Ware sie rational, hatte sie eine Periode mitder Lange p und Folgen der Lange p waren nicht gleichverteilt. [5]
Beispiel
1/3 = 0, 01010101... ist gleichverteilt zur Basis 2 und rational,aber nicht normal zur Basis 2. [5]
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Definition: Normalitat
Eine Zahl heißt normal, wenn sie normal zu allen Basen ist. [5]
Beispiel: Normalitat
Die Champernownesche Zahl ist normal zur Basis 10
Noch nicht bewiesen, dass sie normal zu allen Basen ist
Eine Zahl kann normal zu einer Basis sein, auch wenn siegeordnet ist → Eine normale Zahl muss nicht zwingend eineZufallszahl sein
[5]
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Ist π eine ”Zufallszahl“?
π scheint zu allen Basen gleichverteilt zu sein
Die Mehrheit der Mathematiker glaubt, π sei normal
Bewiesen ist nicht einmal, dass π gleichverteilt zur Basis 10 ist
Da es effiziente Techniken zur Identifikation der Dezimalenvon pi gibt, sollte π in der Kryptographie nicht alsZufallsgenerator verwendet werden
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Ist π eine Zufallszahl?
i n t count ( s t r i n g s , s t r i n g g e s u c h t ){i n t z a e h l e r =0;i n t pos =0;
whi le ( s . f i n d ( gesucht , pos )!=−1){z a e h l e r ++;pos=s . f i n d ( gesucht , pos )+1;}return z a e h l e r ;}
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Ist π eine ”Zufallszahl“?Ergebnis der C++-Implementierung
Unter der ersten Million Ziffern von pi:
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Random Walk x-chromosom
Random Walk: Visualisierungeiner Zahlenfolge
Basiswechsel der Zahl zurBasis 4
0 heißt ein Kastchen nachrechts, 1 eins nach oben, 2eins nach links und 3 einsnach unten.
Farbverlauf: rot, orange,grun, blau, violett, rot.
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Random Walk 100 Milliarden Stellen von Pi ∗∗∗
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Borwein Brueder
Peter Borwein, geb. Okt 1953 inSchottland (links)
Jonathan Borwein, geb. Mai 1951in Schottland (rechts)
Zwei der beruhmtesten Vertreterder experimentellen Mathematik
Entwickler sehr effizienterAlgorithmen fur pi
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Borwein AlgorithmusMatlab-Programmcode
A=63365028312971999585426220+28337702140800842046825600∗ sq r t (5)+384∗ sq r t (5 )∗(10891728551171178200467436212395209160385656017+4870929086578810225077338534541688721351255040∗ sq r t ( 5 ) )ˆ ( 1/2 ) ;
B=7849910453496627210289749000+3510586678260932028965606400∗ sq r t (5 )+2515968∗ sq r t (3110)∗(6260208323789001636993322654444020882161+2799650273060444296577206890718825190235∗ sq r t ( 5 ) )ˆ ( 1/2 ) ;
C=−214772995063512240−96049403338648032∗ sq r t (5 )−1296∗ sq r t (5)∗(10985234579463550323713318473+4912746253692362754607395912∗ sq r t ( 5 ) ) ˆ ( 1 / 2 ) ;
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√−C 3
π=∞∑i=0
(6i)!
(3i)!(i !)3A + iB
C 3i
summe=0;
f o r i =0:1 : s c h r i t t esumme = summe + ( F a k u l t a e t (6∗ i )/( F a k u l t a e t (3∗ i )∗ ( F a k u l t a e t ( i ) ) ˆ 3 ) )∗(A+i ∗B) / (Cˆ(3∗ i ) ) ;
end
e r g e b n i s=sqr t (−Cˆ3)/summe ;
Sehr effizient: jeder Summand erzeugt ca. 50 neue Stellen von π
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Borwein-AlgorithmusErgebnis der Matlab-Implementierung
Ergebnis Borwein-Algorithmus: Die ersten 25000 Ziffern
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BBP-Formel ∗∗∗
Entwickelt von Simon Plouffe, Peter Borwein und DavidHarold Bailey
Mit einem von der Formel abgeleiteten Algorithmus ist jedebeliebige Nachkommastelle von π bestimmbar, ohne dievorherigen Nachkommastelllen zu kennen
Aber: funktioniert nur im 2er- oder Hexadezimalsystem oderin einem System zur Basis 2b, b∈ NBisherige Versuche, die Formel ins 10er-System zu ubertragen,sind gescheitert
π =∞∑k=0
1
16k
(4
8k + 1− 2
8k + 4− 1
8k + 5− 1
8k + 6
)
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Fazit und AusblickNachkommastellenrekorde Teil 1
William Sharks 1853:
Reihenentwicklung vonarctan 1/5 u. arctan 1/239
Berechnete 707 Dezimalenper Hand
1945 wurde entdeckt, dassdie letzten 180 falsch waren
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Fazit und AusblickNachkommastellenrekorde Teil 2
Abbildung : Yasumasa Kanada, geb.1954, japanischer Informatiker undtheoretischer Physiker
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Fazit und AusblickNachkommastellenrekorde Teil 3
Fabrice Bellard berechnete 2010 mit einen herkommlichemDesktop-Computer und einem eigens geschriebenen Programm2,7 Trillionen Nachkommastellen. Er benotigte 131 TageBerechnungszeit und mehr als ein Terabyte Speicherplatz.
Geometrische Herleitung nach Archimedes Monte-Carlo-Methode Ist π eine ”Zufallszahl“? Borwein-Algorithmus Fazit und Ausblick
Quellenverzeichnis
http://www.mathe-lexikon.at
Zwischenspiel mit Pi, Vortrag von Gerhard Aulenbacher
http://logisch-gedacht.de
http://de.wikipedia.org/wiki/Monte-Carlo-Algorithmus(24.10.2013, 16:43)
Delahaye, Jean-Paul:Pi-die Story, aus dem Franzosischen vonManfred Stern.-Basel;Boston;Berlin:Birkhauser, 1999Originaltitel: Le fascinant nombre π, ISBN:3-7643-6056-9
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-ist-die-kreiszahl-pi-normal-a-895876.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Borwein%27s algorithm(04.12.2013, 15:29)
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Quellenverzeichnis 2
http://www.sfu.ca/archive-sfunews/sfnews/1996/May23/borweins.GIF
http://academickids.com/encyclopedia/index.php/Borwein’s algorithm (others)http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/ISC/kanada1.gif
http://www.shortnews.de/id/807711/nachkommastellen-rekord-von-der-zahl-pi-gebrochen
Jorg Arndt und Christoph Haenel: Pi - Algorithmen,Computer, Arithmetik. Springer Verlag Berlin Heidelberg 1998
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Quellenverzeichnis 3
http://en.wikipedia.org/wiki/D. G. Champernowne(10.12.2013)
http://ancestry.com
Die Bibel
http://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl