1

Diferenciální geometrie křivek

2

Polární souřadnice

Kartézské souřadnice Polární souřadnice.

M

x

y

f

r M

x

y

cos

sin , 0

x

y

r f

r f r

2 2

arctan

x y

y

x

r

f

2

3

Spirály

Archimedova spirála fr a

Logaritmická spirála fr ba e

4

Způsoby zadání rovinné křivky

Parametrické rovnice

Implicitní rovnice

Explicitní rovnice

,X t x t y t

2 2

, 0, např. 14 9

x yF x y

2, např. ( 3)x

y f x y x e

Příklad:

1 3 , 2

3 5 0

1 5

3 3

X t t t

x y

y x

extremy1.ggb

3

Popis pohybu hmotného bodu

r(t)

x(t)

z(t)

y(t) x

y

z

Parametrické rovnice dráhy pohybu:

V časovém okamžiku t je hmotný bod v místě

popsaném polohovým vektorem

r(t) = [x(t), y(t), z(t)]

Průvodič bodu je vektorovou funkcí času.

Průměrná rychlost je rovna dráze (délce dráhy) vykonané za jednotku času.

Průměrná rychlost hodnotí rychlost hmotného bodu na celém úseku dráhy s ,

ale nevypovídá o „lokálním“ pohybovém stavu v jednotlivých okamžicích.

2 1 2 1; ; ( ) ( )s

v t t t s s t s tt

Okamžitá rychlost

6

Rychlost v daném čase . V určitém časovém okamžiku je hmotný

bod také na určitém místě dráhy, tj. v nějakém jejím bodě.

Okamžitá rychlost je definována jako podíl diferenciálních částí

(diferenciálů) dráhy a času.

0 0

( ) ( )lim limt t

s s t t s t dsv

t t dt

Příklad: Volný pád 21

2s gt

dsv gt

dt

Težké objekty padají rychleji než lehké. Rychlost pádu je přímo úměrná tíze.

Aristotélēs (384 – 322)

4

Okamžitá rychlost pomocí polohového vektoru

Diferenciál průvodiče:

0lim

( ) ( )

td r r

d r r t dt r t

d r ds

d r d r ds

Vektor rychlosti má směr tečny:

0limt

dsv v

dt

d r rv

dt t

d d

, ,d d

x yt v t v t x t y tt t

v

Okamžité zrychlení pomocí vektoru rychlosti

Diferenciál rychlosti:

0lim

( ) ( )

td v v

d v v t dt v t

Vektor rychlosti nemusí mít směr normály:

0limt

d v va

dt t

0

dlim

d

d d, ,

d d

t

x y x y

t t tt t

t t

t a t a t v t v tt t

v va v

a

5

Rozklad vektoru zrychlení do tečného a normálového směru

r

r

v

v

Dostředivé (normálové) zrychlení

je způsobené změnou směru rychlosti:

Podobnost trojúhelníků

2

pro 0n

v v r va t

t r t r

kde r je poloměr křivosti,

tt

a vd

dt

Tečné zrychlení je způsobené změnou velikosti rychlosti:

Rovnoměrný pohyb po kružnici

Okamžitá obvodová rychlost

Okamžitá úhlová rychlost

.cos ( ), .sin ( )s r t r t

sin ( ); cos ( ) ;ds d d d

v r t r t v rdt dt dt dt

vd

dt r

( )v v

t dt tr r

6

11

Mechanický harmonický oscilátor –

periodicky se přeměňuje potenciální a

kinetická energie.

0( ) cos

sin ( ); cos ( )

gt t

l

X t l t l l t

( ) ( )

za předpokladu sin ( ) ( )

gt t

l

t t

Perioda

2l

Tg

Matematické kyvadlo

Oscilator.ggb

12

Křivka třídy Cn

Množinu kE3 nazýváme křivkou třídy Cn jestliže souřadnice bodů křivky lze

vyjádřit zobrazením IR3, t X(t) s vlastnostmi

X(t) je spojitá na intervalu I

X(t) je prostá

X(t) má na intervalu I spojité derivace do n-tého řádu

Vektor derivace X´(t) není nulový.

Rovinná křivka

Prostorová křivka

;

; ;

X t x t y t

X t x t y t z t

7

13

Cykloida

Parametrizace prosté cykloidy úhlem otočení

trrtrrttX cos;sin)(

x(t)

y(t)

Cykloida.ggb

14

Transformace parametru

Nechť je funkcí X(t) dána křivka k třídy Cn, tI. Na intervalu J nechť je

definována funkce t = f(u) s následujícími vlastnostmi

1. f(u) je prostá na J

2. f(u) zobrazuje J na I

3. f(u) má spojité derivace až do n-tého řádu,

pak vektorová funkce Y(u)=X(f(u)) vyjadřuje tutéž křivku jako funkce X(t).

8

15

16

Tečna křivky

Tečna křivky X(t) v regulárním bodě X(t0):

0

0 0( ) ( )

x t r

y f t r f t

0 0( ) ,T r X t r X t r R

X(t0)

X(t)

X´(t0) t

X(t0) X(t)

0 0

00

lim

h

X t h X tX t

h

X(t0+h)

0 0 0

0 0

( )

( ) [ , ( )] ( ) , ( )

( ) [1, ( )] ( ) 1, ( )

y f x

X t t f t X t t f t

X t f t X t f t

Př: Tečna grafu funkce y=f(x)v bodě f(x0):

9

17

Tečna křivky

Tečna křivky X(t) v regulárním bodě

X(t0):

0 0( ) ,T r X t r X t r R

Pojem tečny je nezávislý na parametrizaci.

( ) [cos( ),sin( )]; [ sin( ),cos( )],

směrový vektor tečny v bodě K(0): ( 0)

( ) [cos(2 ),sin(2 )]; [ 2sin(2 ),2cos(2 )],

směrový vektor tečny v bodě L(0): ( 0

[0,1]

[0,2) ]

dKK t t t t t

dt

dKt

dt

dLL u u u u u

du

dLu

du

18

Šroubovice

10

19

Šroubový pohyb vzniká složením rotace kolem osy o a posunutí

ve směru osy o.

0( ) cos ; sin ; X r r v

Šroubovice

Šroubovice je dána poloměrem r, parametrem v0 a osou šroubového pohybu o = z .

20

Tečna šroubovice

0cos , sin ,X r r v

0 0

1

tan v v

t r

0

1

sin , cos ,

sin , cos ,0

t r r v

t r r

Šroubovice:

půdorys tečného vektoru:

Spád šroubovice:

Šroubovice je křivka

konstantního spádu

tečný vektor:

11

21

Frenetův doprovodný trojhran

Tečná rovina křivky – každá rovina, která obsahuje tečnu křivky

Normálová rovina křivky – rovina kolmá na tečnu křivky

Oskulační rovina křivky – tečná rovina, určená vektory první a druhé derivace.

Normála křivky – každá přímka, která je kolmá na tečnu křivky a prochází daným

bodem.

Hlavní normála – průsečnice oskulační a normálové roviny.

0 0 0 ; , X t r X t s X t r s R

nt

b

T

k

Frenetův doprovodný trojhran je tvořen

jednotkovými směrovými vektory přímek t, n, b

• t – tečna

• n – hlavní normála

• b – binormála

• = (t,n) – oskulační rovina

• = (b,n) – normálová rovina

22

tečna

hlavní

normála

binormála

Frenetův doprovodný trojhran šroubovice

12

23

Výpočet Frenetova trojhranu

Jednotkový vektor tečny

Jednotkový vektor binormály

Jednotkový vektor hlavní normály

nt

b

T

k

X

btn

XX

XXb

X

Xt

V inflexním bodě není určen Frenetův

doprovodný trojhran.

24

Inflexní bod

Bod X(t0) křivky X(t) se nazývá inflexní

bod křivky, jestliže jsou vektory první a

druhé derivace lineárně závislé.

V inflexním bodě není určena oskulační

rovina prostorové křivky.

00 tXtX

13

25

Ekvidistanta křivky k

Definice konstrukcí: V regulární bodě rovinné křivky k sestrojíme normálu

n a na ni naneseme úsečku, jejíž velikost je rovna distanci d.

)(

)()()(

tn

tndtXtEk

Ekvidistanta křivky k je obálka systému kružnic se středem na křivce k a

s poloměrem rovným distanci r=d

26

Délka oblouku křivky X(t) mezi body X(a) a X(b)

b b

a a

l X t dt X t X t dt

X(t)

X(t0)

b=X(tn)

X(t1)

X(t2)

X(t3)

1

1

0

Délka lomené čáry

n

i i

i

l X t X t

14

Délka oblouku křivky

parametrizace_oboukem.ggb

Parametrizace délkou oblouku

0

Funkci nazýváme obloukem křivky.

t

t

l t X u du

Říkáme, že křivka je parametrizovaná obloukem, když její parametr měří délku

křivky. X(t)=X(t(l)), kde t = t(l) je funkce inverzní k oblouku křivky l(t).

-1 0 1 2 3

4

2

X(1)

X(2)

X(3) 2

,2

x t

ty t R

15

Oskulační kružnice

29

oskulačni_parabola.ggb

30

Oskulační kružnice elipsy

16

31

Křivost křivky

Křivost křivky je mírou

vychýlení křivky od

tečny.

0

lims

k X ss

32

Geometrický význam křivosti

Bod křivky je inflexní právě tehdy, je-li v

něm první křivost nulová.

Je-li bod V vrchol křivky, pak v něm má

funkce první křivosti extrém.

Difgeo24_krivost.ggb

17

33

Křivka parametrizovaná délkou oblouku

Křivka X(l) je parametrizovaná obloukem právě tehdy, když je v každém

bodě vektor X´(l) jednotkový.

Je-li křivka parametrizovaná obloukem, pak je vektor X(l) směrový

vektor hlavní normály. Velikost vektoru X(l) je křivost k křivky.

Jestliže je křivka X(l) parametrizovaná obloukem, pak pro jednotkové

vektory Frenetova doprovodného trojhranu platí:

nt

b

T

k

t X l

X ln

X l

b n t

k X l

34

Výpočet křivosti křivky

1. Je-li křivka X(l) parametrizovaná obloukem

2. Je-li křivka X(t) dána obecným parametrem

3. Je-li křivka dána jako graf funkce y = f(x)

k X l

3

X Xk

X X

3

21

yk

y

Př: Vypočítejte funkci křivosti paraboly y = x2

2

2

2

y x

y x

y

3

2

2

1 4

k

x

32

2

1 4

k x

x

2y x x

18

35

Evoluta křivky

Obálka normál dané křivky

Množina středů oskulačních kružnic

Evoluta je množina singulárních bodů

ekvidistantních křivek

2

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

n lE l X l

k l

X lE l X l

X l

36

Oskulační kružnice křivky

V bodě T=X(t0) sestrojme hlavní normálu křivky. Na hlavní normále sestrojme

bod S, ST =1/k. Kružnici se středem S a poloměrem r =1/k ležící v oskulační

rovině křivky nazýváme oskulační kružnice křivky v bodě T.

Oskulační kružnice a daná křivka mají v bodě T stejnou tečnu a křivost.

r =1/k – poloměr křivosti

S – střed křivosti

Př: Určete oskulační kružnici paraboly 2py = x2

ve vrcholu V[0,0].

2

2

1

xy

p

xy

p

yp

32

1

1

1(0)

(0) , 0,

k

xp

p

kp

r p S p

19

37

Parametrizace šroubovice délkou křivky

0

2 2

0

sin , cos ,

t r r v

t r v0

cos

sin

;

x r

y r

z v R

2 2 2 2

0 02 2

0 0 0

ll t d r v d r v

r v

2 2

0

2 2

0

02 2

0

cos

sin

;

lx r

r v

ly r

r v

lz v s R

r v

38

Křivost a hlavní normála šroubovice

0

2 2 2 2 2 2

0 0 0

0

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0

2 2 2 22 2 2 20 00 0

( ) cos ; sin ;

( ) sin ; cos ;

( ) cos ; sin

v ll lX l r r

r v r v r v

vr l r lX l

r v r v r v r v r v

r l r lX l

r v r vr v r v

; 0

2 2

0

( )r

k X lr v

2 2 2 2

0 0

( ); 1

( )cos ; sin ; 0

t X l t

X l l ln

k r v r v

Šroubovice je křivka konstantní křivosti.

20

39

Dotyk křivek

O dvou křivkách řekneme, že mají v bodě P0 dotyk n-tého řádu (n+1

bodový), jestliže parametrizace obloukem X(l), Y(s) existují hodnoty

parametru s0, l0, pro které platí:

0 0 0

0 0

2 2

0 02 2

0 0

1 1

0 01 1

n n

n n

n n

n n

X l Y s P

dX dYl s

dl ds

d X d Yl s

dl ds

d X d Yl s

dl ds

d X d Yl s

dl ds

Dotyk nultého řádu

Dotyk 1.řádu

Dotyk 2. řádu

t

n

O

k

k

40

Dotyk rovinných křivek zadaných explicitně

Jsou-li křivky v rovině dány funkcemi y = f(x), y = g(x) a platí-li

pak tyto křivky mají v bodě x0 dotyk n-tého řádu.

0 0

0 0

0 0

0 0

1 1

0 0

n n

n n

f x g x

f x g x

f x g x

f x g x

f x g x

Křivka y = f(x) a její Taylorův polynom n-tého stupně mají v bodě x0 dotyk alespoň

n-tého řádu.

20 0 0

0 0 0 01! 2! !

nnf x f x f x

T x f x x x x x x xn

21

41

Taylorův rozvoj funkce y=sin(x)

42

Taylorův rozvoj kružnice

:= taylor_k

, 1

1

2t2 1

24t4 1

720t6

t1

6t3 1

120t5 1

5040t7

:= k [ ],( )cos t ( )sin t

22

43

Přechodnice

křivky, používané v silniční i železniční dopravě pro napojení přímého

úseku a kružnicového oblouku.

s

an

s

an Spojitý průběh křivosti.

Kubická parabola – užívala se v ČR v

železniční dopravě.

Bernoulliova lemniskáta – používala

se pro zatáčku menších poloměrů, na

železnicích, vodních cestách i

tramvajových kolejích.

( ) x2

y2

2

a2

( ) x2

y2

0

44

Klotoida

Křivost je přímo úměrná délce oblouku k(l) = a.l

2

0

2

0

cos2

sin2

l

l

atx l dt

aty l dt

cos ,sin

sin , cos

X l l l

X l l l l l

2

2

a l k X l l

a ll

l

23

45

Klotoida a kubická parabola

Sestrojíme v bodě X(0) = [0,0] Taylorův rozvoj klotoidy stupně 3.

2 2

0 0

2 2

2 2

2 2 2 22 2 2 2

cos ; sin 0 0,02 2

cos ; sin 0 1,02 2

sin ; cos 0 0,02 2

sin cos ; cos sin ; 0 0,2 2 2 2

l lat at

X l dt dt X

al alX l X

al alX l al al X

al al al alX l a a l a a l X a

20 0 0

0 0 0 01! 2! !

nnX t X t X t

T t X t t t t t t tn

2 30,[1,0] [0,0]

[0,0] 0 0 01! 2! 3!

aT t t t t

3

,3!

atT t t

Vzestupnice

Ke snížení účinků odstředivé síly se v koleji oblouku zřizuje převýšení koleje.

Zvyšuje se vnější kolejnicový pás v oblouku.

Vzestupnice – plynulý přechod z úseků bez převýšení do úseků s převýšením

lineárni 1:10.v na délku přechodnice

kubická pro Bloosovu přechodnici

46

211,8( )

vp l

r

24

47

Blossova přechodnice

Délka přechodnice je stejná jako délka vzestupnice – L.

Křivost zatáčky k(L) je převrácená hodnota poloměru zatáčky r.

Křivost k(l) je kubickou funkcí délky oblouku l.

Křivost je přímo úměrná hodnotě převýšení p(l) vzestupnice.

Celkové převýšení vzestupnice - pn

dclblallp 23)(

(0) 0 0

(0) 0 0

p d

p c

3 2

( )2 , 3

( ) 0

n n np L p p p

a bp L L L

32

23)(vv

nL

l

L

lplp

48

Blossova přechodnice

1

cos ,sin

sin , cos

X l

X l l l

X l l l l l

Převýšení je přímo úměrné křivosti

2 31

( ) ( )1 1( )

3 21

( )n

p l konst k l konstl lr l

r l r L Lp konst k L konst

r

2 3

( ) 3 2n

l lp l p

L L

Blossova přechodnice X(l) bude parametrizovaná obloukem

l,tj.

Kde (l) je orientovaný úhel, který svírá tečna Blossovy

přechodnice s rovným úsekem.

25

49

Blossova přechodnice

Pro odchylku tečny v bodě napojení na zatáčku (L) platí

3 4

2 32

2

l ll

r L r L

LL

r

3 4 3 4

2 3 2 3

0 0

cos , sin2 2

l lt t t t

X l dt dtr L r L r L r L

Parametrické rovnice - přechodnice je parametrizovaná délkou l.

50

Základní vytyčovací parametry

Souřadnice středu kružnicového oblouku

Pro koncový bod přechodnice l=L.

7 8 9 13 14 15 16 17

2 4 2 5 2 6 4 8 4 9 4 10 4 11 4 12

4 5 10 11 12 13

2 3 3 6 3 7 3 8 3 9

14 16 72 312 168 240 768 6528

4 10 60 44 96 624

l l l l l l l lx l

r L r L r L r L r L r L r L r L

l l l l l ly

rL rL r L r L r L r L

3 3

2 2

2 2

14 16

4 10

L LX L L

r r

L LY L

r r

sin , cosS X L r L Y L r L

3 4

2 32

2

l ll

r L r L

LL

r

Odchylka tečny přechodnice od přímého úseku