Funkce

Lineární funkce - příklady

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu

ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Jak pracovat s prezentací?

čti a opakuj si

zapiš a narýsuj grafy do školního sešitu

Sleduj, jak jsou označené jednotlivé snímky prezentace a dle toho postupuj

Opakování: Funkce - definice

Funkce je předpis, který každému číslu

z definičního oboru, který je podmnožinou

množiny všech reálných čísel R, přiřazuje

právě jedno reálné číslo.

Funkci značíme obvykle písmenem f, ale nic nebrání tomu, abychom použili i jiná písmena, např. g, h, …

a obvykle zapisujeme ve tvaru:

nebo ve tvaru:

y = f(x), např. y = 2x+1

f: y = 2x + 1kde proměnná x je argument funkce.

Opakování: zápis funkce

f: y = 2x + 1kde proměnná x je argument funkce, nebo-li

nezávisle proměnná.

Nezávislost je dána tím,

že její hodnotu můžeme

libovolně měnit, ovšem

jen v rámci definované

množiny, definičního

oboru.

Množina všech přípustných hodnot argumentu x,

tedy všechny hodnoty, kterých může proměnná x

pro danou funkci nabývat, se nazývá definiční obor.

Značí se: D(f)

Opakování: obor hodnot

Ke všem přípustným hodnotám argumentu x,

přísluší právě jedna funkční hodnota. Ty všechny

dohromady tvoří obor hodnot (obor funkčních hodnot).

Obor hodnot je množina všech reálných čísel, které

dostaneme jako výstupní hodnotu funkce f, jestliže

za x dosadíme všechny přípustné hodnoty z D(f).

Značí se: H(f)

Funkční hodnota neboli závisle proměnná je číslo,

které funkce přiřadí konkrétnímu argumentu x.

Jinak řečeno: výstupní hodnota funkce.

Obvykle ji značíme y nebo f(x).

Opakování: zadání, zápis funkce

1) Předpisem

(vzorcem, rovnicí)2) Tabulkou

3) Grafem

f: y = 2x + 1x -2 -1 0 1 2

y -3 -1 1 3 5

Opakování: Lineární funkce

Lineární funkce je funkce daná rovnicí

y = kx + qkde k, q jsou libovolná reálná čísla

a definičním oborem množina všech reálných čísel.

Poznámka: Je-li definičním oborem podmnožina (část) množiny všech reálných čísel,

hovoříme o části lineární funkce.

y = 0,5x - 3

Opakování: Graf lineární funkce

Sestrojte graf funkce f: y=2x-1, pro xR.

x -2 -1 0 1 2

y -5 -3 -1 1 3

Grafem funkce je

přímka.

Slovo přímka pochází z

latinského „linea“, což

označuje čáru nebo přímku.

Funkci, jejímž grafem je

přímka říkáme

lineární funkce.

Sestrojte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí:

32

1 xy

12

1 xy

12

1 xy

x 2 4

y 2 1

x 2 4

y 0 -1

x 2 4

y -2 -3

Jsou-li dvě lineární rovnice určeny

rovnicemi

y=k1x+q1; y=k2x+q2

a jestliže k1=k2, pak grafy těchto funkcí

jsou navzájem rovnoběžné přímky.

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí

Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient q

(koeficient k=1).

x 0 1

y 2 3

q=2: y=x+2

x 0 1

y 1 2

q=1: y=x+1

x 0 1

y 0 1

q=0: y=x

x 0 1

y -1 0

q=-1: y=x-1

x 0 1

y -2 -1

q=-2: y=x-2

Koeficient b určuje posunutí

grafu ve směru osy y.

Udává y-ovou souřadnici

průsečíku s osou y.

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí

Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a

(koeficient b=1).

x 0 1

y 1 3

k=2: y=2x+1

x 0 1

y 1 2

k=1: y=x+1

x 0 1

y 1 1

k=0: y=1

x 0 1

y 1 0

k=-1: y=-x+1

x 0 1

y 1 -1

k=-2: y=-2x+1

Funkce f je rostoucí, právě když

pro každé dvě hodnoty x1, x2

jejího definičního oboru D platí:

Je-li x1<x2, pak f(x1)<f(x2).

a>1funkce

rostoucí

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí

Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a

(koeficient b=1).

x 0 1

y 1 3

k=2: y=2x+1

x 0 1

y 1 2

k=1: y=x+1

x 0 1

y 1 1

k=0: y=1

x 0 1

y 1 0

k=-1: y=-x+1

x 0 1

y 1 -1

k=-2: y=-2x+1

Funkce f je klesající, právě když

pro každé dvě hodnoty x1, x2

jejího definičního oboru D platí:

Je-li x1<x2, pak f(x1)>f(x2).

a<1funkce

klesající

Opakování: Vlastnosti lineárních funkcí

Budeme měnit a tedy šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient a

(koeficient b=1).

x 0 1

y 1 3

k=2: y=2x+1

x 0 1

y 1 2

k=1: y=x+1

x 0 1

y 1 1

k=0: y=1

x 0 1

y 1 0

k=-1: y=-x+1

x 0 1

y 1 -1

k=-2: y=-2x+1

Zvláštní případ lineární funkce

y=b se nazývá konstantní funkce.

Grafem konstantní funkce je

přímka rovnoběžná s osou x.

a=0funkce

konstantní

Příklady

1) [1; -1]

Je dána funkce f: y=-3x+2 ; x -3;3). Rozhodněte, která

z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.

… pokud daná uspořádaná dvojice patří funkci f,

musí po dosazení za souřadnice x a y do její rovnice

nastat rovnost. A samozřejmě x-ová souřadnice musí

patřit do definičního oboru funkce.

-1=-3.1+2-1=-1 … uspořádaná dvojice [1; -1] funkci patří.

2) [2; 4]4=-3.2+2

4-4 … uspořádaná dvojice [2; 4] funkci nepatří.

3) [3; -7] … x-ová souřadnice nepatří do definičního oboru!

… uspořádaná dvojice [3; -7] funkci nepatří.

Příklady

[0; 1]

[0; -1]

[0,25; -1/2]

[-1/4; -1,5]

[3/2; -2]

Je dána funkce f: y=2x-1 ; x R. Rozhodněte, která

z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.

Příklady

[0; 1]

[0; -1]

[0,25; -1/2]

[-1/4; -1,5]

[3/2; -2]

Je dána funkce f: y=2x-1; x R. Rozhodněte, která

z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.

Ne

Ano

Ano

Ano

Ne

Příklady

[-3; 2,5]

[0; -0,5]

[3; -1,5]

[6; -3,5]

[-9; 6,5]

Je dána funkce f: y=-2/3x+0,5 ; x -3; 6). Rozhodněte,

která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.

Příklady

[-3; 2,5]

[0; -0,5]

[3; -1,5]

[6; -3,5]

[-9; 6,5]

Je dána funkce f: y=-2/3x+0,5 ; x -3; 6). Rozhodněte,

která z následujících dvojic [x; y] patří funkci f.

Ano

Ne

Ano

Ne

Ne

PříkladyVypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce y = 4x - 3

s osami souřadnic.

PříkladyVypočítejte souřadnice průsečíků grafu funkce y = 4x - 3

s osami souřadnic.

Průsečík s osou y má souřadnice: [0; y]

Dosazením do rovnice dostaneme: y=-3[0; -3]

Jinak také na základě znalostí vlastností lineárních funkcí

a průběhu jejich grafů víme, že koeficient b v rovnici

lineární funkce určuje průsečík s osou y, přesněji řečeno

jeho y-ovou souřadnici, přičemž x-ová je samozřejmě

nulová. Z toho tedy bez jakéhokoliv výpočtu také vyplývá,

že souřadnice průsečíku s osou x jsou: [0; -3]

Průsečík s osou y má souřadnice: [x, 0]

Dosazením do rovnice dostaneme: 0=4x-3

[3/4; 0]

4x=3

x=3/4

Obecně tedy platí, že průsečík s osou y má vždy souřadnice [0; b].

PříkladyJak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2x ?

Rozhodněte, zda jsou rostoucí nebo klesající, a zdůvodněte.

PříkladyJak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2x ?

Rozhodněte, zda jsou rostoucí nebo klesající a zdůvodněte.

f: y = 3

a=0 funkce konstantní

PříkladyJak se nazývají funkce f: y = 3 a g: y = -2x ?

Rozhodněte, zda jsou rostoucí nebo klesající, a zdůvodněte.

f: y = -2x

a<0 funkce klesající

PříkladyJsou dány tři lineární funkce: f: y = 2x - 3, g: y = 2x + 5,

h: y = 7x + 5. Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí f a g?

Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí g a h?

PříkladyJsou dány tři lineární funkce: f: y=2x-3, g: y=2x+5, h: y=7x+5.

Jakou společnou vlastnost mají grafy funkcí f a g? Jakou

společnou vlastnost mají grafy funkcí g a h?

Lineární funkce f a g mají

stejný kladný koeficient a,

jsou tedy rostoucí pod

stejným sklonem (úhlem).

Liší se jen koeficientem b,

tedy jejich grafy jsou

rovnoběžné přímky.

Lineární funkce g a h mají

stejný koeficient b, jejich

grafy tedy mají společný

průsečík s osou y … [0; 5].

Příklady

Napište rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body:

A[0,2] a B[2,3].

Příklady

Napište rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body:

A[0,2] a B[2,3].

Souřadnice bodů dosadíme do obecné rovnice lineární funkce:y = ax + b

2 = a.0 + b

3 = a.2 + b

Dostaneme tak

soustavu dvou

lineárních rovnic

o dvou neznámých:

koeficientech lineární

funkce a a b. 2 = b

3 = 2a + b 3 = 2a + 2

3 - 2 = 2a

1 = 2a

a = 0,5

Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu

ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Příklady

Napište rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body:

A[0,2] a B[2,3].

Souřadnice bodů dosadíme do obecné rovnice lineární funkce:y = ax + b

Dosazením vypočítaných

koeficientů a a b do

obecné rovnice lineární

funkce dostaneme námi

hledanou rovnici funkce

procházející zadanými

body.

y = 0,5x + 2