Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
DIGITALIZZAZIONE DEISEGNALI
2Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Segnale analogico( o tempo-continuo )
Segnale numerico( o digitale )
A/DADC
Conversione analogico - digitale
xa(t) x(nT)
Campionamento Quantizzazione
x(nT)xa(t)
TQ
Due operazioni:
xc(nT)
3Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
segnalenumerico o digitale
segnaletempo-continuo
segnaletempo-discreto
Relazioni tempo-frequenza (Trasformata di Fourier)
[Cap. 1.6-1.8]Segnale continuo
spettro(T.F. diretta)
(T.F. inversa)
xa(t)
dfefXtx tfjaa
2)()(
dtetxfX tfjaa
2)()(
t f
Xa (f)
4Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Segnale discreto
n
Tnfjcc enTxfX 2)()( T.F. diretta
(tempo-discreta)
n
nFjc enTx 2)(
)(FX c
cffTfF frequenza normalizzata
(è quella che conta nella ENS!)
5Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
T. F. inversadfefXTnTx TnfjT
Tcc
22/1
2/1
)()(
dFeFX nFjc
22/1
2/1
)(
dFeFX nFjc
21
0
)(|Xc( f )|xc(nT)
PERIODO
n-1 0 1 2 3 fT21
0T21
21
21 F1
6
T1
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Banda utile del segnale campionato:
per definizione quella compresa fra:
21
2 Fovveroff c
7Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Relazione fra Xc( f ) e Xa( f )
Teorema del campionamento
Xc( f ) è la somma di un numero infinitodi repliche dello spettro di xa(t),ciascuna traslata di un multiplo intero dellafrequenza fc
k
cac fkfXT
fX )(1)(
8Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
k=0
k=1
k=2
|Xa( f )|
N.B.: può presentarsi il fenomeno detto aliasing o sovrapposizione spettrale (distorsione spettrale)
fc
fc
2fc
9
|Xc( f )| N.B.: si sommano le funzioni complesse (non i moduli)
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Condizione di assenza di distorsione spettrale(condizione di Nyquist)
1) segnale limitato in banda B
2) fc > 2B (frequenza di Nyquist)
(1 e 2) repliche disgiunte in frequenza
10
BffX a per 0)(
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
-B B f
B fc - B fc + Bfc
Banda di guardia: fc - 2B (necessaria in pratica)Se 1 o 2 non sono entrambe verificate:parziale o totale sovrapposizione delle repliche (distorsione spettrale dovuta al campionamento)
2 fc
11
…....…....
|Xa( f )|
|Xc( f )|
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
12
D/ADAC
ya(t)y(nT)
Ricostruzione del segnale analogico
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Osservazione: Se yc(nT)=xc(nT) i campioni sono una rappresentazione equivalente del segnale analogico originario se le condizioni 1 e 2 sono verificate
B fcfc/2
1
fc /2filtro passa-basso ideale
(analogico)
yc (nT) ya (t)
-B B ff( a meno del fattore di scala 1/T )
f
13
|Yc( f )| |Ya( f )|
-B
Idealmente:
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
RICHIAMI DEL CAMPIONAMENTO DI SEGNALI ALEATORI
[per approfondimenti App. A)]
xa(t) segnale aleatorio• xc(nT) ha la stessa densità di probabilità di xa(t)
• segnali stazionari in senso lato
mediamnTxE xc )(
)()()( mTrmTnTxnTxE xcc autocorrelazione
rx(mT) corrisponde al campionamento dellaautocorrelazione continua )(r di xa(t)
14Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
• Spettro di potenza Gx( f ) di xc(nT)
Gx( f ) è la Trasformata di Fourier di rx(mT)
Se Ga( f ) è lo spettro di potenza di xa(t),cioè la trasformata di Fourier di
)(1)( cak
x fkfGT
fG
• Sequenze stazionarie ed ergodiche
Quelle per cui coincidono le medie temporali e le medie di insieme
)(r , si ha
15Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
)0( costante)( xx rfG
• Sequenze a spettro bianco
2x
)()0()( mTrmTr xx
• Potenza di una sequenza ( a media nulla)
)0()(2xcx rnTxES
che coincide con la varianza della sequenza
16Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
QUANTIZZAZIONE
17Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Campionamento Quantizzazione
x(nT)xa(t)
TQ
segnaletempo-discreto
Due operazioni:
xc(nT)
18
segnaletempo-continuo
segnalenumerico o digitale
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
QUANTIZZAZIONE
Qxc(nT) x(nT)
19
segnaletempo-discreto
segnalenumerico o digitale
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Quantizzazione uniformearrotondamento
q 2q 3q
2q
q
3q
q passo di quantizzazione
xc(nT)
x(nT)
20Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Errore di quantizzazione
)()()( nTxnTxnTe c ovvero
)()()( nTenTxnTxc
entoarrotondamqnTe2
)(
otroncamentqnTe )(0
21
[ ] non usato in ENS
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Modello dell’errore di quantizzazione( comunemente assunto)
e(nT) : segnale aleatorio indipendente da xc(nT) e quindi da x(nT)
densità di probabilità uniformemente distribuita: (arrotondamento)
2q
2q
q1
e0
bianco valor medio: 0 arrotondamento
[q/2 troncamento ]
varianza:12
1 22
2
22 qdeq
eq
qe
22Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Densità spettrale di potenza:
12)(
12)(
22 qFGovveroqfG ee
Potenza dell’errore di quantizzazione:
12)(
221
21
qdFFGN eq
23Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Rapporto segnale - rumore di quantizzazione
B bit (compreso il segno): 2B livelli
Bq22)1(2 Dinamica quantizzatore
(in uscita)
ionequantizzazdierrPotenza
segnaledelPotenzaNSSNR
qq .
BSq
S 22 23
12/
dBdBq SBSNR 77.402.6)( Ogni bit aggiunto fa aumentare SNRq di 6.02 dB
(dB)
24Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Segnale sinusoidale (val. max = 1, S=1/2)
76.102.6)( BdBqSNR
Segnale gaussianoSemi-Dinamica quantizzatore: S441
510 3.64 )( Pr nTxob c
161
S
27.702.6)( BSNR dBq
(dB)
(dB)
25
Esempi particolari
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Degradazione del rapporto segnale/rumore
Qxc(nT) x(nT)
segnale + rumore
segnale + rumore + err. quantizz.
S , Ni
)( qiuq
ii NN
SSNRNSSNR
S , Ni , Nq
26Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Ipotesi: rumore ed errore di quantizzazione incorrelati
qiuq SNRSNRSNR111
degradazione
dBuqdBidB SNRSNR )()(
Dati SNRi e B, si determina dB
Dati SNRi e dB si determina SNRq e quindi B.
27Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
28
TRASFORMATA Z
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Trasformata Z
E’ una generalizzazione della Trasformata di Fourier per segnali tempo-discreti (sequenze)[come la Trasformata di Laplace è una generalizzazione della Trasformata di Fourier per segnali tempo-continui]
E’ uno strumento fondamentale per l’analisi e la rappresentazione di segnali discreti e per l’analisi e il progetto di sistemi discreti lineari tempo-invarianti Pre-requisiti: teoria delle variabili complesse
29Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
sequenza:
reale o complessa
Trasformata Z: ,)(
n
nznxzX
z variabile complessa
Definizione:
30
nnTxnx ,)(
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Relazione con la Trasformata di Fourier
Se X(z) esiste sulla circonferenza unitaria, la Trasformata di Fourier X( f ) o X(F) della sequenza x[n] si ottiene per
FjTfj eez 22
TfjezzXfX 2)()(
ovvero
FjezzXFX 2)()(
[ Nota: per semplicità stesso simbolo X(·) per Trasformata Z e Trasformata di Fourier ]
piano z
Re[z]
Im[z]
F=0
1
F=1/2
F=1/4
31Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Esistenza (convergenza della trasformata Z)
X(z) esiste per un certo valore di jerz
|)(| zX
Condizione sufficiente
n
nznx ||
ovvero
|| n
nrnx
se
32Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Regione di convergenza (RdC)
Insieme di valori di z sul piano complesso per i quali X(z) esiste (la serie converge)
33Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
TRASFORMATA Z INVERSA
• La Trasformata Z inversa (o antitrasformata Z) ricostruisce la sequenza x[n] a partire da X(z)
Definizione generale
dzzzXj
nx n
c
1)(2
1
dove l’integrale è calcolato in senso antiorario su un contorno C, interno alla regione di convergenza che contiene l’origine (z=0)
34Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Nell’elaborazione numerica dei segnali interessa principalmente l’inversione di funzioni X(z) razionali
35Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
Iniziamo da funzioni razionali elementari.
Abbiamo visto
azz
zazX
11
1)(
||||:,1
||||:,azRdCnua
azRdCnuanx
n
n
36Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
2)()(
azazzX
nuannx n
RdC: |z| > |a|
Generalizzazione:Applicando più volte il teorema della derivata rispetto a z si ottengono le trasformate Z di funzioni razionali con poli superiori al secondo ordine e le espressioni delle relative sequenze
37Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
38
Tabella delle più comuni trasformate Z
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
39
SISTEMI DISCRETI LINEARI
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
40
Esempi di segnali discreti (sequenze)
0 00 1
nn
n impulso unitario(o sequenza campione)
Alcuni esempi di segnali discreti
Per semplicità : x[n] = x(nT), T passo di campionamento costante
0 1 2 n
n
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
41
0 00 1
nn
nu sequenza gradino
0k
kn
0 1 2 n
u[n]
La sequenza
ha un numero finito (N) di campioni non nulli (sequenza di durata finita)
Nnununx
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
42
nang sequenza geometrica
0 1 2 3 n
… …reale , 10 aa
Caso particolare:
2 Fjea esponenziale complesso alla frequenza normalizzata F
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
43
Segnale periodico (periodo L ) :
minimo il e LnLnxnx
Da notare che un segnale continuo periodico di periodo P non necessariamente generaun segnale digitale con periodo L=P/T !!
EsempioUna sinusoide a frequenza 30Hz campionata a 90Hz ha un periodo L=3=P/T.Campionata a 91Hz ha un periodo L=91.Campionata a 92Hz ha un periodo L=46.Che periodo ha se campionata a 70Hz?
Per esempio è periodica di periodo L se F=i/L (interi primi) Fnnx 2cos
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
44
In generale, per un qualunque segnale x[n], si può scrivere:
k
knkxnx
Interpretabile come la combinazione lineare di impulsi unitari traslati pesati da coefficienti costanti
kn kx
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
45
Sistemadiscreto
nx nxTrny
,2 nxny s.d. non lineare senza memoria
,123 nxnxny s.d. non lineare con memoria (finita)
Esempi di sistemi discreti (s.d.)
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
46
n
kkx
n
nyn
nnxn
ny
1][1
111 s.d. lineare tempo-variante (con memoria infinita)calcolo ricorsivo del valore medio dei valori di una sequenza da 1 a n
,1log nynxny s.d. non lineare con memoria (infinita)
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
47
Definizione
Dati nxTrny 11
e nxTrny 22
si ha
SISTEMI DISCRETI LINEARI
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
48
a1 , a2 costanti (reali o complesse) Si estende ad una combinazione lineare di un numero qualunque (anche infinito) di termini.
nxanxaTrny 2211
nxTranxTra 2211
nyanya 2211
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
49
Risposta impulsiva o indice
knTrnhk
risposta del sistema all’impulso applicato all’istante k.In generale è una famiglia di sequenze, una per ogni k
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei SegnaliRiepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
50
Proprietà fondamentale
k
knTrkxnxTrny
k
k nhkx
L’uscita è una combinazione lineare degli ingressi con coefficienti (generalmente) tempo varianti.
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
51
SISTEMI DISCRETI LINEARI TEMPO INVARIANTI(LTI)
Definizione ( x e k)
knyknxTr
knhknhnhk 0
quindi
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
52
L’uscita è data da:
kknhkxny
k
knxkh
nhnx (Convoluzione discreta)
Notare la proprietà commutativa della convoluzione discreta
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
53
Sistema discreto lineare tempo-invariante (LTI)
kk
knhkxknxkhnhnxny
h[n] risposta impulsiva del sistema [ risposta all’impulso unitario ]. caratterizza completamente il sistema
n
h[n]y[n]x[n]
LTI
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
54
Causalità
L’uscita al tempo m dipende solo dagli ingressi passati e presente, cioè per n m.
Equivale a:
Quindi:
0,0 nnh
0k
knxkhny
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
55
Due classi di sistemi discreti causali LTI
IIR (risposta impulsiva infinita)
0k
knxkhny
FIR (risposta impulsiva finita)
1
0
N
kknxkhny
durata della risposta impulsiva: N campioni.Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
56
Da notare che un sistema FIR non causale
1N
Mkknxkhny
può essere sempre trasformato in un sistema FIR causale (della stessa durata) ritardando l’uscita di M campioni e traslando di Mcampioni la risposta impulsiva:
1
0
MN
kknxMkhMnyny
1
0
MN
kknxkh
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
57
Stabilità (BIBO = Bounded Input Bounded Output)
Ogni ingresso limitato in ampiezza genera una uscita limitata in ampiezza.
Condizione necessaria e sufficiente:
kkh ||
FIR: sempre stabili
IIR: stabilità da verificareRiepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
58
EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE FINITE[Cap. 3.5]
Modo alternativo di definire un sistema LTI
Sistema di ordine N (causale)
0,10
nknyaknxbnyN
kk
M
kk
ak , bk coefficienti (costanti) del sistema e condizioni inizialiyi = y[i] , i = - N, ..., -1
FIR : tutti gli IIR : alcuni (salvo casi particolari, v. esempi)0ka
0ka
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
59
Esempio: sistema LTI, causale, stabile,
01,1 ynxnyany
che ha una risposta impulsiva (tipo IIR)
nuanh n
||1
1||0 a
nhn
stabilea 1||
stabilenona 1||
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
60
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
,)(
k
kzkhzH funzione di trasferimento del sistema (ROC)
x[n]
X(z)
h[n]
H(z) Y(z) = X(z) H(z)
nhnxny
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
61
Sistemi causali
FIR
1
0
)(N
k
kzkhzH
IIR
N
kk
M
kk
N
k
kk
M
k
kk
zP
zZb
za
zbzH
1
1
1
1
0
1
0
)1(
)1(
1)(
0k
kzkh
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
62
Ordine del sistema: N
Zk : zeri del sistema
Pk : poli del sistema
Stabilità : poli interni al cerchio unitario nel piano z.
Sistemi reali : zeri e poli reali o complessi coniugati
H(z) è la trasformata Z di h[n]h[n] è la trasformata Z inversa di H(z)[ modo alternativo di ottenere h[n]rispetto al calcolo diretto ]
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
63
RISPOSTA IN FREQUENZA
Sistema discreto LTI
Ingresso: esponenziale complesso alla frequenza normalizzata F
nFjenx 2
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
64
k
knFjekhny )(2
k
FkjFnj ekhe 22
FjezFnj zHe
2|)(2
)(2 FHe Fnj Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
65
La funzione complessa
della frequenza normalizzata F
è la risposta in frequenza del sistema
H(F) è la trasformata di Fourier della sequenza h[n]
k
FkjekhFH 2)(
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
66
Risposta di ampiezza:
| H(F ) | simmetrica
Risposta di fase:H(F ) antisimmetrica
Ritardo di fase:
FFFf
2
)()( (campioni)
Per sistemi reali [ sequenze h[n] reali ]
H (-F ) = H* (F )
)(F
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
67
Ritardo di gruppo:
dFFdFg
)(21)(
(campioni)
Sistemi non distorcenti in ampiezza (o passa-tutto)
| H (F ) | = costante
Sistemi non distorcenti in fase (o a fase lineare)
cost)()( FF gf
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
68
TRASFORMATA DISCRETADI FOURIER
(DFT)
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
69
TRASFORMATA DISCRETA DI FOURIER (DFT)
Definita per sequenze periodiche (o finite)
N periodo (o durata) di x[n], n = 0, 1, ..., N -1
1
0
/2:N
n
NknjenxkXDFT 1,,1,0 Nk
1
0
N
n
knNWnx )( /2 Nj
N eW
1
0
1
0
/2 11:N
k
knN
N
k
Nknj WkXN
ekXN
nxIDFT
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
70
pNkXkX
pNnxnx
p intero qualsiasi
X[k] e x[n] sono due sequenze (generalmente complesse) periodiche di periodo N
Valori significativi: 10 Nn
10 Nk
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
71
Se x[n] è una sequenza di durata finita N essa va considerata come un periodo di una sequenza periodica
m
mNnxnx~
m intero
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
72
Relazione utile
npN
jN
n
eN
21
0
1
= 1 , p = m N m intero
= 0 , altrimenti
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
73
Dimostrazione IDFT
1
0
21 N
k
nkN
jekX
Nnx
moltiplicando entrambi i membri pernr
Nj
e2
e, sommando da n=0 a N-1, si ha
1
0
1
0
)(221
0
1 N
n
N
k
rknN
jnrN
jN
n
ekXN
enx
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
74
Scambiando l’ordine della sommatoria
1
0
1
0
)(221
0
1N
k
N
n
rknN
jnrN
jN
n
eN
kXenx
ed essendo
altrimentirkper
eN
N
n
rknN
j
,0,11 1
0
)(2
si ha
1
0
2N
n
nkN
jenxkX
periodica con periodo N
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
75
Teorema di Parseval
1
0
21
0
2 1 N
k
N
nkX
Nnx Energia di un periodo
della sequenza
1
0
22
1
0
2 11 N
k
N
nkX
Nnx
NPotenza della sequenza
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
76
Traslazione circolare
0 1 2 3 4 n
N=5x[n]
0 1 2 3 4 n
x[n-2]5
kmN
j
N ekXmnx2
rotazione di fase pari a: Nkm2
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
77
Analogamente (in modo duale)
nlN
j
N enxlkX2
modulazione con esponenziale complesso
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
78
Convoluzione circolare
Proprietà molto importante per le implicazioni applicative e realizzative
Definizione nxnxnyc 21
NN
m
mnxmx
21
1
0
kXkXkYc 21Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
79
Il prodotto X1[k] X2[k] è la DFT di una convoluzione circolare di due sequenze(e non di una convoluzione discreta tradizionale, detta per distinzione lineare o aperiodica)
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
80
Convoluzione lineare
m
l mnxmxnxnxny 2121
Per es. per sequenze di durata N :yc[n] è periodica con periodo N
yl [n] è aperiodica di durata L = 2N-1
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
81
In generale:se x1[n] e x2[n] sono due sequenze rispettivamente di durata L e M (L > M), la loro convoluzione lineare ha una durata
L + M – 1
Per la loro convoluzione circolare occorre definire un periodo N (> L), allungandole rispettivamente con N-L e N-Mcampioni nulli.
Caso 1Se N > L +M – 1, yl [n] = yc [n] per n=0,1,…..,L+M-2
Caso 2Se L < N < L +M – 1
yl [n] = yc [n] per n=L+M-1-N, L+M-1-N+1,……,N-1ovvero per gli ultimi 2N-(L+M-1) della convoluzione circolare
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
82
Per poter utilizzare la DFT per il calcolo della convoluzione discreta lineare [p.es. y[n] = x[n] h[n] ], occorre usare tecniche opportune:
Overlap and add Overlap and save
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
83
TRASFORMATA VELOCEDI FOURIER
(FFT)
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
84
TRASFORMATA VELOCE DI FOURIER (FFT)
La DFT
,1
0
N
n
nkNWnxkX N
j
N eW2
richiede
N2 moltiplicazioni complesse [ 4 N2 m. reali + 2 N2 s. reali ]
N (N-1) somme complesse [ 2N (N-1) s. reali ]
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
85
Algoritmi FFT
Radice-2 decimazione nel tempo
Radice-2 decimazione in frequenza
Estensioni di questi algoritmi base
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
86
FFT RADICE-2 DECIMAZIONE NEL TEMPO
vN 2
disparin
nkN
parin
nkN WnxWnxkX
1
2
0
21
2
0
2 122
N
p
pkN
kN
N
p
pkN WpxWWpx
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
87
)( 2/
222
NN
j
N WeW
1
2
02/
12
02/ 122
N
p
pkN
kN
N
p
pkN WpxWWpx
kBWkA kN
)1,.....,0( Nk
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
88
A[k], B[k] sono DFTN/2
camp.dispari
DFT
DFT
A[k]
B[k]
camp.pari X[k]
kNX
2
WNkWN
N/2+k = -
stadioN/2 m.c. + N s.c.
(farfalle)
WNk
N/2
N/2k=0,…,N/2 -1
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
89
Il procedimento può essere iterato fino ad arrivare a DFT2 .
Il numero di stadi : v = log2 N
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
DFT4
90
GrafoEsempio: N = 8
WN0
-1
WN0
-1
WN0
-1
WN0
-1
WN0
WN0
WN2
WN2
-1
-1
-1
-1
WN0
WN2
WN3
WN1 -1
-1
-1
-1
x[0]
x[4]
x[2]
x[6]
x[1]
x[5]
x[3]
x[7]
X[0]
X[1]
X[2]
X[3]
X[4]
X[5]
X[6]
X[7]
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
91
Complessità finale
2log
2 2NN
moltiplicazioni complesse
m.c. eliminando le moltiplicazioni del primo stadio
somme complesse
]NN
2log2
NN 2log
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
92
Ingressi: bit-reversed order (ordine a bit invertiti)
Gli ingressi non sono in sequenza. Devono essere ordinati come nell’esempio (N = 8):
Posizione0 = 000 1 = 001 2 = 010 3 = 011 4 = 100 5 = 101 6 = 110 7 = 111
Campionex[0] = x[000]x[4] = x[100]x[2] = x[010]x[6] = x[110]x[1] = x[001]x[5] = x[101]x[3] = x[011]x[7] = x[111]
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
93
Calcolo “in-place”
Gli ingressi e le uscite di ogni “farfalla” stanno sulla stessa linea orizzontale. Bastano N locazioni di memoria (complesse), perché a coppie subiscono una trasformazione e il risultato può essere rimemorizzato nelle stesse locazioni degli ingressi.
[p]
[q]
decim. nel tempo
[q]
[p]
-1WNr
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
94
N m.c. s.c. m.c. s.c.
32 1024 992 80 160
1024 1048576 1047552 5120 10240
DFT FFT
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
95
FFT RADICE - 2 DECIMAZIONE IN FREQUENZA
vN 2
Algoritmo duale
Scompone la sequenza di uscita X[k] in due parti, la prima relativa agli indici pari (k=2r), la seconda relativa agli indici dispari (k=2r+1), r = 0,1,….,N/2-1.
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
96
FFT: CONSIDERAZIONI FINALI
1
0
1 N
k
nkNWkX
Nnx
La IDFTN
può essere calcolata (a meno del fattore 1/N ) da un algoritmo FFT sul quale si operi la sostituzione
1 NN WW(FFT) (IFFT)
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
97
La divisione per il fattore N può essere eseguita mediante divisione per un fattore 2 ad ogni stadio.
In pratica per il calcolo della DFTconviene sempre impiegare un algoritmo di FFT, a meno che non interessino pochipunti della DFT.
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
98
STIME SPETTRALI
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
99
Si vuole stimare la densità spettrale di potenza(spettro di potenza) di un segnale con potenza finita a partire dalla sequenza generalmente di durata molto lunga (“infinita”) dei suoi campioni
Utilizzando la DFT (FFT) si può effettuare la stima spettrale per qualunque tipo di segnale (stima non parametrica) e non si richiede l’ipotesi di un “modello” del segnale (stima parametrica)
Poiché la DFT ha dimensione finita, come può essere impiegata? Iniziamo a considerare un segnale (a energia finita) che abbia la TF
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
100
1
0
N
n
knNWnxkX
NkFn
nFjenwnx
|2
altrove 0
101 Nnnw (finestra rettangolare)con
La sua DFTN (a N punti), per esempio sui primi N campioni,
x[n] sequenza di durata molto lunga con TF X(F)
Operazione di modifica dello spettro (filtraggio) della DFT
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
101
che ha come TF
)()(
11)( )1(
2
2
FsenFNsene
eeFW NFj
Fj
NFj
cffTfF /con frequenza normalizzata
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
102
)()(
FsenFNsen
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
103
TFenwnxkXNkFn
nFj la è|2
calcolata alle frequenze normalizzate Nk
cfNk
NTk
(ovvero alle frequenze fisiche )
della sequenza
nwnxnx il cui spettro è
21
21
)()()()()( duuFWuXFWFXFX
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
104
Spettro di un segnale e della funzione finestra rettangolare centrato in F.
F
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
105
in definitiva:
)(FXkX
ovvero il coefficiente k-esimo della DFT è il valore mediato dello spettro X(F) di x[n]pesato dalla funzione W(F) centrata sulla frequenza normalizzata k/N.
Generalmente la DFT non coincide con i valori desiderati di X(F) alle frequenze k/N.
NkF
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
106
Risoluzione algoritmica e risoluzione spettrale
Valori spaziati di
ovvero diNTN
ff c 1
La risoluzione spettrale è la minima distanza di due componenti spettrali che possono essere ‘risolte’: dipende dall’ampiezza del lobo principale della finestra. Generalmente si assume la risoluzione spettrale uguale all’ampiezza del lobo principale.
Tuttavia:
NF 1
Risoluzione algoritmica
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
107
Finestra Risoluzione Picco lobo laterale spettrale ( F) (dB)
Rettangolare 2/N - 13
Hanning 4/N - 31
Hamming 4/N - 41
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
108
Stime spettrali (Periodogramma)
È uno dei metodi di stima spettrale per segnali a potenza finita. Impiega la DFT (FFT). x[n] segnale aleatorio discreto di durata molto lunga ( L ), supposto stazionario (in senso lato) per tutta la sua durata.
Algoritmo si suddivide x[n] in M = L/N blocchi
di N campioni
10,10, MiNniNnxnxi
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
109
Si forma
finestraopportuna , nwnwnxn'x ii
Si calcola
n'xDFTk'X iNi
21 |k'|XNW
kA ii
,nwN
WN
n
1
0
21con potenza della finestra
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
110
Si calcola la media
1
0
1 M
iix kA
MkP
Il valore Px[k] è la stima dello spettro di potenza del segnale x[n] alla frequenza F = k/N ovverof = fc k/N.
Il fattore 1/NW è introdotto per avere una stima non polarizzata (per N )Modifica possibile: i blocchi xi[n] possono essere anche parzialmente sovrapposti (in genere di N/2 ) per migliorare le stime.
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
111
CONVOLUZIONE DISCRETA LINEARE
Convoluzione discreta lineare fra due sequenze (filtraggio FIR) effettuata mediante l’impiego della DFT.
h[n] di durata N (FIR)x[n] di durata >> N (generalmente)
x[n]h[n]
X(z) H(z) Y(z)=X(z) H(z)
nhnxny
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
112
Due tecniche
1. Sovrapposizione e somma (Overlap and add)
2. Sovrapposizione e selezione (Overlap and save)
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
113
quando le durate N e M non sono “troppo diverse” essa realizza direttamente la loro convoluzione
quando la durata del segnale di ingresso è >> N, la convoluzione lineare può essere realizzata con DFT di dimensioni opportune.
Prima di descrivere queste due tecniche occorre considerare la convoluzione lineare mediante DFT di due sequenze di durata finita ( N e Mrispettivamente) per due motivi:
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
114
Convoluzione lineare fra sequenze finite
Durata delle sequenze “non troppo lunga”
h[n], durata N
x[n], durata M
,nhnxny durata L = N + M - 1
nhnx 00
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
115
1010
0 LnNNnnh
nh
1010
0 LnMMnnx
nx
sequenze allungate con valori nulli (zeri)
kHkXkY La DFT dell’uscita è il prodotto delle DFT delle due sequenze di partenza allungate con valori nulli.
DFT a L punti
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
116
Schema realizzativo
x[n]
(M)
h[n]
(N)
x0[n]
(L)
h0[n]
(L)
Allungamentocon
N - 1 zeri
Allungamentocon
M - 1 zeri
DFT L IDFTL
H[k]
(L)
X[k]
(L)(L)(L)
Y[k] y[n]
DFT L
L=N+M-1
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
117
Osservazione
La parte dello schema racchiusa nel rettangolo tratteggiato può essere calcolata una sola volta se la stessa h[n] è usata per filtrare successivamente sequenze diverse aventi durata M.
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
118
Sovrapposizione e somma (Overlap and add)
i
ii
i nynhnxny
Nh[n]
x[n]
yi-1[n]
Mxi-1[n] xi+1[n]xi [n]
L=N+M-1
+yi [n]
yi+1[n]
y [n]
+
N-1 N-1 N-1
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
119
Schema realizzativo
Scelta di L : L N + M - 1
h[n]
x[n]BlocchiM camp.
DFTL IDFTL
DFT LH[k]
(RAM, ROM)
sovrap.e somma
y[n]Xi[k] Yi[k]
yi[n]xi[n]
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
120
Osservazione
- Per semplicità nello schema l’operazione di allungamento con zeri è inclusa nel blocco DFT
- La parte racchiusa nel rettangolo tratteggiato è calcolata una sola volta.
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
121
Overlap and addComplessità realizzativa
(algoritmo FFT radice-2)
L log2 L + L m.c.
L log2 L + L m.c./campioneL-N+1
da confrontare con N (m.r. o m.c.) nel caso di realizzazione diretta della convoluzione discreta
ovvero
4L (log2 L + 1) m.r./campioneL-N+1
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
122
Sovrapposizione e selezione (Overlap and save)
Osservazione:
nella convoluzione circolare ad L punti di una sequenza di N campioni con una di L ( > N ) campioni, i primi N -1 campioni sono diversi mentre i successivi L-N+1 sono identici a quelli della convoluzione lineare fra le stesse sequenze
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
123
h[n]
x[n]Lxi-1[n] xi+1[n]
xi [n]
N-1
N-1
N-1
N
A
B
C
A B Cy[n]
L-N+1
yi[n]
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
124
Schema realizzativo
x[n]BlocchiL camp.
DFTL IDFTL
H[k]
sovrap.e selez.
y[n]
L campioni
Xi[k] Yi[k]yi[n]xi[n]
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
125
Overlap and saveComplessità realizzativa
(algoritmo FFT radice-2)
L log2 L + L m.c.
L log2 L + L m.c./campioneL-N+1
da confrontare con N (m.r. o m.c.) nel caso di realizzazione diretta della convoluzione discreta. O&A e O&S hanno la stessa complessità
ovvero
4L (log2 L + 1) m.r./campioneL-N+1
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
126
CORRELAZIONE
Data h[n] di durata N e x[n] di durata > N ,sappiamo che la loro correlazione (lineare) può essere espressa mediante la convoluzione discreta (lineare)
nxnhmnxmhnvN
m
1
0
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
127
- usando h[-n] al posto di h[n], ovvero
usando H[L – k] al posto di H[k]
Si possono applicare tutte le tecniche precedenti (sequenze entrambe finite, sovrapposizione e somma, sovrapposizione e selezione):
(con L dimensione della DFT usata)
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
128
Convoluzione e correlazione veloce
Si chiamano così quando si impiega un algoritmo FFT per il calcolo della DFT negli schemi precedenti.
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
129
PROGETTO DI FILTRIA RISPOSTA IMPULSIVA FINITA
(FIR)
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
130
Considerazioni generali sul progetto di filtri numericiSpecifiche di progetto
_______________________________________________________________________
L’obiettivo è di progettare una funzione di trasferimento H(z) di un sistema LTI realizzabile (FIR o IIR) la cui risposta in frequenza H(F) approssimi (con criterio opportuno) la desiderata (ideale) Hd (F). In genere Hd(F) non può essere realizzata esattamente. Occorre stabilire delle tolleranze accettabili della approssimazione → Specifiche di progetto
)()()( FXFHFY d)(FX)(FHd
• Operazione di filtraggio di un segnale
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
131
Esempio: passa-basso
12δ
2δ
21 FF1 F2
1
21 FF0
1
F0
ideale)( FH d
progettareda )( FH
Il filtro ideale non è realizzabile (discontinuità):• si impone una banda di transizione F1÷F2 • si impongono una deviazione max in banda passante
e una deviazione max in banda attenuata• nessun vincolo nella banda di transizione (salvo ovvie anomalie)
2δ1δ
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
132
PROGETTO DI FILTRI FIR(Finite Impulse Response)
nx
1
0
N
k
knxkhny nh
Proprietà e caratteristiche principali:+ Filtri FIR sono fra i più usati+ Possono avere una risposta in fase
esattamente lineare (assenza di distorsione di fase e di gruppo)
Progettare h[n] che abbia una accettabile risposta in frequenza H(F)
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
133
+ Sempre stabili
+ Strutture più facili da realizzare
+ Minore sensibilità nei confronti di una realizzazione con aritmetica a precisione finita
- Possono richiedere un numero di operazioni anche elevato
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
134
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO e
RISPOSTA IN FREQUENZA
1
0
N
k
knxkhny
Funzione di trasferimento
1
0
)(N
n
nznhzH solo zeri (escludendo l’origine)
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
135
Risposta in frequenza
,)(1
0
2
N
n
nFjenhFH
cffF frequenza normalizzata
)()( FjeFA
,)(FA
,)(F
risposta di ampiezza
risposta di fase
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
136
da cui si ottengono:
,2
)()(F
FF
,)(21)(
dFFdF
ritardo di fase (campioni)
ritardo di gruppo(campioni)
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
137
Fase lineare
aFF )(
cost 2
)()(
aFF
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
138
FIR a fase lineare:
z-1
z-1 z-1
x[n]
h[0] h[1]
y[n]
z-1
z-1 z-1
N dispari
h[N-1 ]2
h[N-3 ]2
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
139
z-1
z-1 z-1
x[n]
h[0] h[1]
y[n]
z-1
z-1 z-1
N pari
h[N-1]2
h[N-2]2
z-1
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
140
Complessità
Moltiplicazioni :
Somme :
( N dispari)
( N pari)
21N
2N
1N
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
141
- Un FIR più N IIR del 1° ordine (complessi)
- Struttura conveniente quando pochi H[k] 0 (filtri a banda stretta)
- I filtri IIR hanno poli sul cerchio unitario: per evitare problemi di instabilità si spostano leggermente all’interno
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
142
PROGETTO DI FILTRIA RISPOSTA IMPULSIVA INFINITA
(IIR)
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
143
FILTRI IIR (Infinite Impulse Response)
Sistema causale
DOMINIO TEMPORALE (equazione alle differenze finite)
N
kk
M
kk knyaknxbny
10
Ordine del filtro: N
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
144
DOMINIO DELLA TRASFORMATA Z (funzione di trasferimento)
N
kk
M
kk
N
k
kk
M
k
kk
zP
zZb
za
zbzH
1
1
1
10
1
0
)1(
)1(
1)(
NM
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
145
Se M > N filtro IIR di ordine N + filtro FIR di ordine M - N
Zk zeri del filtro
Pk poli del filtro (interni al cerchio unitario per filtri stabili e causali)
ak e bk reali per ogni k : filtro realeak e/o bk complessi per qualche k : filtro complesso
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
146
DOMINIO DELLA FREQUENZA)()()()( 2
Fjez eFHzHFH Fj
Risposta impulsiva infinita
Eccellenti risposte di ampiezza ma risposte di fase non lineari (filtri causali)
È necessario verificare la stabilità dal filtro
CARATTERISTICHE
Progetto: determinare gli ak e bk in modo che H(F) soddisfi le specifiche
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
147
Caso particolare: N = 2
Sezione del 2° ordine (reale)
22
11
22
110
1)(
zazazbzbbzH
Due zeri complessi coniugati: 00 ZeZ
Due poli complessi coniugati: 00 PeP
e/o
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
148
Filtro passa - tutto (2° ordine)
)()(
)()(
1)(
12
22
11
2112
zDzDz
zDzN
zazazzaazH p
reali) (coeff. 1 )()(
)( 2
2
Fj
Fj
p eDeD
FH
0)( F
N(z) e D(z) sono polinomi speculari
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
149
Filtro Passa-TuttoRisposta in frequenza di un filtro Passa-Tutto del 2° ordine. Poli: modulo 0.9, fase 0.25 ,Zeri sono definiti come il reciproco dei poli
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
150
Sezione del 2° ordine con solo poli(filtro accordato)
jer Poli
221cos211)(
zrzr
zH
Im
Re
x
x
r
2
pF Frequenza naturale del polo
pFje 2
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
151
Si può verificare che
)(FH ha un max relativo se :21
2cosrr
per ,2
cos)1(2cos:2
00 rrFF
che valesenrr
HM )1(1
11
per r ≈1(<1) il max è in corrispondenza della frequenza naturale del polo e inversamente proporzionale alla distanza del polo dalla circonferenza unitaria
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
152
Per , la banda a - 3dB
rB dB
13
il filtro è tanto più selettivo quanto più il polo si avvicina al cerchio unitario
1r
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
153
Risposta in frequenza di un filtro IIR del 2° ordine con soli poliPoli: modulo 0.9, fase 0.25
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
154
IIR del 2° ordine con zeri sul cerchio unitario
Risposta in frequenza di un filtro IIR del 2° ordine con zeri e poli.Poli: modulo 0.9, fase 0.24 Zeri: modulo 1, fase 0.5
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
155
STRUTTURE REALIZZATIVE per IIR
STRUTTURE REALIZZATIVE CANONICHE
Sono quelle che impiegano il minimo numero di operatori (memorie, moltiplicatori, addizionatori) elementari
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
156
Struttura canonica diretta
N
k
kkN
k
kk
N
k
kk
N
k
kk
zbzaza
zbzH
0
11
0
1
1
1)(
N
kk
N
kk
N
kk
N
kk
knwbny
knwanxnw
knyaknxbny
0
1
10
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
157
z-1
x[n] y[n]
z-1
z-1
b0
b1
b2
bN
-a1
-a2
-aN
w[n]
)1/(1 kkkza k
kkzb
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
158
Struttura canonica trasposta
Si ottiene con le operazioni di trasposizione per reti lineari
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
159
z-1
x[n] y[n]
z-1
z-1
b0
b1
bN-1
bN - aN
- aN-1
- a1
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
160
Caratteristica
Ciascun campione attuale dell’ingresso x[n]e dell’uscita y[n] è moltiplicato per tutti i corrispondenti coefficienti in successione: può semplificare la realizzazione HW/SW.
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
161
Realizzazione con sezioni in cascata
Si decompone
,)()(1
)(21
1
)2(
1
)1(
1
0
K
ii
K
iiN
k
kk
M
k
kk
zHzHGza
zbzH
21 2KKN
Hi(1) (z), sistema del 1° ordine con poli e zeri reali
Hi(2) (z), sistemi del 2° ordine con poli e/o zeri
complessiRiepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
162
x[n]H1(z) H2(z) H3(z)
K1+K2 filtri realizzati con strutture del 1° e del 2° ordine
y[n])(
21zH KK
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
163
Problemi connessi con questa struttura
1. Associazione di zeri e poli per ogni sezione2. Ordinamento delle sezioni in cascata3. Fattore di scala fra una sezione e l’altra per
prevenire il generarsi di valori troppo grandi (overflow) o troppo piccoli (underflow).
Aritmetica esatta (a precisione “infinita”): 1, 2 e 3 non hanno conseguenze.
Aritmetica a precisione “finita”: necessità di soluzioni adeguate per 1, 2 e 3
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
164
Associazione zeri e poli
Per ridurre gli effetti della realizzazione con aritmetica a precisione finita, si segue in pratica la seguente procedura:
i) partire dal polo più vicino alla circonferenza unitaria ed associare ad esso lo zero più vicino
ii) continuare come in (i) fino ad esaurimento di tutti i poli restanti
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
165
Ordinamento delle sezioni
La procedura seguita in pratica per ridurre gli effetti di una realizzazione in aritmetica a precisione finita è la seguente:
- sezioni ordinate in ordine decrescente dei valori massimi delle loro risposte in ampiezza.
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
166
Struttura parallela
Si esprime (mediante scomposizione in fratti semplici [Cap. 2])
K
iiN
k
kk
M
k
kk
zHAza
zbzH
1
1
0 )(1
)(
con
K = intero opportunoA = bN / aN (M=N)
Hi (z) sezione del I o II ordine (a seconda del tipo di zeri e poli)
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
167
H1(z)
H2(z)
HK(z)y[n]
x[n]
A
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali
168
FIR IIR Fase può essere
esattamente linearenon lineare
per filtri causaliStabilità sempre da controllare
Strutture realizzative
più facili e semplici più complicate
Numero di operazioni
maggiore minore
Precisione finita
effetti minori e più facili da analizzare
effetti maggiori e più difficili da analizzare
Procedure diprogetto
mediante calcolatore per filtri semplici procedura algebricain genere mediante
calcolatore
Confronto filtri FIR e IIR
Riepilogo del corso di Fondamenti di Elaborazione Numerica dei Segnali