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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 1 of 90
Elaborazione Numerica dei Segnali Musicali(v.8 2014-02-04)
Nicola [email protected]
Conservatorio di Musica “C.Pollini” – PadovaTecniche per la Multimedialita – Universita La Sapienza Roma
http://w3.uniroma1.it/master-multimedia/
Universita La Sapienza – Roma — A.A. 2007–2008
Copyright c© 2008 Nicola Bernardini <[email protected]>This work comes under the terms of theCreative Commons c© BY-SA 2.5 license
(http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/)
FourierScomposizioneTrasformataDFT-FFTSTFTNumeri complessiDFT - dettagliFFT - dettagli
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 2 of 90
Analisi di Fourier (1)
All’inizio del XIX secolo, Fourier mise a punto il metodoper scomporre un fenomeno periodico in una serie difunzioni periodiche semplici.Al di la della formalizzazione matematica, lascomposizione avviene:
moltiplicando la funzione periodica per una funzionesinusoidale ad ogni frequenzacalcolando l’integrale (== l’area sottesa) tra −∞ e +∞della funzione risultante
Il risultato sara non-nullo soltanto per le frequenzecontenute dalla funzione.Il metodo si chiama scomposizione in serie di Fourier (oanalisi di Fourier)
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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 3 of 90
Analisi di Fourier (2)
Ecco cosa succede quando si moltiplicano due componentisemplici (sinusoidali o cosinusoidali) di frequenza diversa:
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01
-1
-0.5
0
0.5
1
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01
frq1 = 750frq2 = 952
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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 4 of 90
Analisi di Fourier (3)
Ed ecco invece cosa succede quando si moltiplicano duecomponenti semplici (sinusoidali o cosinusoidali) difrequenza identica:
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01
-1
-0.5
0
0.5
1
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01
frq1 = 750frq2 = 952
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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 5 of 90
Analisi di Fourier (4)
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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 6 of 90
Trasformata di Fourier (1)
Quando il segnale non e del tutto periodico, vale a direquando:
la periodicita non e assoluta (segnali pseudo-periodici)il segnale e non-infinito
si prendono porzioni limitate del segnale e se ne simula laperiodicita: questa e la trasformata di Fourier.
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Trasformata di Fourier (2)
La trasformata contiene quindi degli errori, i quali possonoessere minimizzati moltiplicando il segmento limitato peruna funzione detta finestra:
0.00000 0.01364 0.02727 0.04091
segnale originale
0.00000 0.01364 0.02727 0.04091
finestra (-cos(x))
0.00000 0.01364 0.02727 0.04091
segnale * finestra
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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 8 of 90
DFT, FFT
Con un elaboratore e possibile realizzare delle trasformatedi Fourier discrete, sostituendo cioe all’integrale dellemoltiplicazioni una somma in un intervallo discreto e perun numero di campioni limitato. Tali trasformate sonodette Discrete Fourier Transforms o DFT.
Una versione ottimizzata delle DFT sfrutta le proprieta deinumeri binari e delle moltiplicazioni e/o divisioni per dueriducendo notevolmente la quantita di calcoli necessari.Queste trasformate sono chiamate Fast FourierTransforms o FFT. Le FFT sono realizzabili solo su unnumero di campioni (e per un numero di punti di analisi,cioe di frequenze) che sia una potenza di due.
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Trasformata di Fourier
Un esempio reale:
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La Short–Time Fourier Transform
se il segnale dura piu di qualche secondo, oppure se nonsappiamo quanto dura (ad es., nel caso dell’analisi intempo reale) e opportuno suddividerlo in sequenze piubrevi, opportunamente “finestrate”
per non perdere dettagli del segnale legati alla“finestratura” si sovrappongono le sequenze (ad es., con lefinestre di Hanning si usa una sovrapposizione di N
4 doveN e la grandezza della sequenza)
l’analisi e costituita da questa sequenza di analisi brevisovrapposte una all’altra
questa tecnica e chiamata Short–Time Fourier Transform(STFT)
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Prima di procedere. . .
. . . piccolo ripasso dei numeri complessi
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Numeri Complessi (1)
I numeri complessi sono una classe di numeribi-dimensionali, e cioe:
sono costituiti da due componenti, denominati parte realee parte immaginaria
questi numeri definiscono, geometricamente, un punto suun piano
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Numeri Complessi (2)
θ
R
z
Asse Reale
Asse Immaginario
Figura: Il piano complesso
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Numeri Complessi (3)
e possibile descriverli in due modi diversi:
coordinate cartesiane: z = x + iy (dove x = <z e y = =z)
oppure in coordinate polari: z = R∠θ dove ∠θ significa“l’angolo θ”
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Numeri Complessi (4)
Proprieta dei numeri complessi:
nel caso particolare in cui <z = 0 e =z = 1, allora:z = 1× ∠pi
2
questo numero complesso particolare e denominato i epossiede le proprieta che seguono:
i × i = i2 = −1, e quindi
i =√−1, da cui derivano le regole aritmetiche dei numeri
complessi, poiche
trattando separatamente parti reali e parti immaginariez1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2), e
z1 × z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1)
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La formula d’Eulero (1)
Perche abbiamo bisogno dei numeri complessi?
Analizzando la serie infinita che approssima ez :
1 +z
1!+
z2
2!+
z3
3!+ . . .
e ponendo z = iθ, otterremo:
1 +iθ
1!+
(iθ)2
2!+
(iθ)3
3!+ . . .
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La formula d’Eulero (2)
raggruppando parti reali e parti immaginarie, otterremo laserie:
(1− θ2
2!+θ4
4!− . . .) + i(
θ
1!− θ3
3!+ . . .)
la parte reale di questa serie approssima cos(θ) mentre lasua parte immaginaria approssima sin(θ), quindi
e iθ = cos(θ) + isin(θ)
che e la Formula di Eulero
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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 18 of 90
La formula d’Eulero (3)
La formula di Eulero ci permette di dimenticare latrigonometria classica. Infatti:
A(cosθ + isinθ) = Ae iθ
quindi ez+w = ezew
e ea+ib = eae ib = ea(cosb + isinb)
ecc.
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Fine della deviazione. . .
. . . torniamo all’analisi di Fourier.
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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 20 of 90
La Discrete Fourier Transform (1)
Tecnicamemte, la Discrete Fourier Transform o DFT edefinita come segue:
X k =N−1∑m=0
xmWmk dove:
k = 0, . . . ,N − 1W = e−i2π/N
i =√−1
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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 21 of 90
La Discrete Fourier Transform (2)
quindi:
X 0 =N−1∑m=0
xme−i2πm·0
N = x0e0 + x1e
0 + . . .+ xN−1e0
X 1 =N−1∑m=0
xme−i2πm·1
N = x0e0 +x1e
−i2πN + . . .+xN−1e
−i2π·N−1N
X 2 =N−1∑m=0
xme−i2πm·2
N =
x0e0 + x1e
−i2π·2N + . . .+ xN−1e
−i2π·2·N−1N
. . .
XN−1 =N−1∑m=0
xme−i2πm·N−1
N =
x0e0 + x1e
−i2π·N−1N + . . .+ xN−1e
−i2π·N−1·N−1N
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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 22 of 90
La Inverse Discrete Fourier Transform (1)
Le sequenze xm e X k sono legate univocamente da unacoppia di trasformazioni:
La prima e quella che abbiamo visto, la trasformazione daxm a X k
La seconda e la trasformata inversa (o iDFT), vale a direla trasformazione da X k a xm:
yl =1
N
N−1∑k=0
X kW−lk
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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 23 of 90
La Fast Fourier Transform (1)
Riprendiamo la nostra DFT di N punti:
X k =N−1∑m=0
xmWmk dove N non sia un numero primo
N puo quindi essere considerato come il prodotto di duefattori N = N1N2
possiamo ridefinire gli indici m e k cosı:
m = N1m2 + m1 per m1, k1 = 0, . . . ,N1 − 1k = N2k2 + k1 per m2, k2 = 0, . . . ,N2 − 1
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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 24 of 90
La Fast Fourier Transform (2)
m1 k1 m2 k2 m k
0 0 0 0 0 01 1 0 0 1 12 2 0 0 2 2. . . . . . . . . . . . . . . . . .
N1 − 1 N1 − 1 0 0 N1 − 1 N1 − 10 0 1 1 N1 N1
1 1 1 1 N1 + 1 N1 + 12 2 1 1 N1 + 2 N1 + 2. . . . . . . . . . . . . . . . . .
N1 − 1 N1 − 1 N2 − 1 N2 − 1 N1N2 − 1 N1N2 − 1
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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 25 of 90
La Fast Fourier Transform (3)
ora sostituiamo gli indici nell’equazione della DFT
X k diventa XN2k1+k2
xm diventa xN1m2+m1
Wmk diventaW (N1m2+m1)(N2k1+k2) = WN1N2k1m2+m1k2+N1m2k2+N2k1m1
ovvero WN1N2k1m2Wm1k2WN1m2k2WN2k1m1
ma N1N2 = N, quindi WNk1m2 = 1 per qualsiasi k1 e m2
(poiche W = e−i2π/N , quindi(WN)k1m2 = (e−i2π)k1m2 = 1 per qualsiasi k1,m2)
quindi. . .
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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 26 of 90
La Fast Fourier Transform (4)
alla fine della sostituzione, otterremo quindi:
XN2k1+k2 =
N1−1∑m1=0
N2−1∑m2=0
xN1m2+m1WN2m2k2Wm1k1WN2k1m1
distribuendo le somme con gli indici, avremo la formafinale:
XN2k1+k2 =
N1−1∑m1=0
WN2m1k1Wm1k2
N2−1∑m2=0
xN1m2+m1WN2m2k2
il che significa che una DFT di lunghezza N1N2
corrisponde ad una DFT di dimensioni N1 × N2, ovvero aN2 DFT moltiplicate per N1 DFT
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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 27 of 90
La Fast Fourier Transform (5)
in pratica:
1 si calcolano N1 DFT di dimensione N2:
Ym1,k2 =N2−1∑m2=0
xN1m2+m1WN1m2k2
2 si moltiplicano le DFT cosı calcolate per i fattori ditwiddle: Ym1,k2W
m1k2
3 e X k e quindi ottenuto calcolando N1 DFT di N2 puntisulle N2 sequenze Ym1,k2W
m1k2
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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 28 of 90
La Fast Fourier Transform (6)
. . . . N2 . . . .
· Y 0,k2W0
· Y 1,k2Wk2
N1DFT × twiddle× Y 2,k2W2k2
· . . .
· Y N1−1,k2W(N1−1)k2
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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 29 of 90
La Fast Fourier Transform (7)
Una DFT di grandezza M richiede M2 moltiplicazioni,quindi . . .
. . . una DFT di grandezza M = N1N2 richiede N21N
22
moltiplicazioni
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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 30 of 90
La Fast Fourier Transform (8)
In una FFT ci sono:
N1 DFT di dimensione N2
N2 DFT di dimensione N1
N1N2 moltiplicazioni per i fattori di twiddleossiaN1N
22 + N2N
21 + N1N2 = N1N2(N1 + N2 + 1)
moltiplicazioni
che sono evidentemente molte meno che N21N
22
FourierScomposizioneTrasformataDFT-FFTSTFTNumeri complessiDFT - dettagliFFT - dettagli
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 31 of 90
La Fast Fourier Transform (9)
ad esempio:
per 256 punti, le moltiplicazioni di una DFT saranno2562 = 65536se la dividiamo di due sequenze da 128 –N1 = 128,N2 = 2, le moltiplicazioni saranno ridotte apoco piu della meta – 33536
se M e “molto divisibile” (ad es. potenza di due), lascomposizione si puo reiterare piu volte
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Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 32 of 90
La Fast Fourier Transform (10)
N
K
N
K
N1 N2
K2
K1
N
K
N1 N2
K2
K1
Figura: La riduzione delle operazioni nella FFT
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 33 of 90
Introduzione alle Tecniche di Sintesi (1)
Le tecniche di sintesi dei suoni sono uno degli argomentifondanti dell’Informatica Musicale
Sin dall’inizio infatti, musicisti e ricercatori hanno cercatotecniche per la sintesi adatte alla musica e allacomposizione
La ricerca non e ancora conclusa, perche musicisti escienziati indagano, essenzialmente, su due linee ditendenza contrastanti:
I suoni piu attraenti dal punto di vista musicale sono suonicomplessi ed articolatiLa barriera della complessita impedisce di fare i necessarisalti di qualita musicali
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 34 of 90
Introduzione alle Tecniche di Sintesi (2)
Semplicita e controllo sono infatti due elementicompletamente divergenti nella sintesi dei suoni
Basta pensare all’esempio piu semplice: sintetizzare unsuono compilando a mano una lunga lista di numeri(44100 per ogni secondo!)
Quale sara il risultato?
Se non si segue nessuna regola, questo .
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 35 of 90
Introduzione alle Tecniche di Sintesi (3)
Il problema non e soltanto che il risultato e sempre esoltanto rumore bianco
Il problema e soprattutto che, sintetizzando suoni inquesto modo, possiamo disporre i campioni esattamentecome vogliamo. . .
. . . ma non abbiamo nessun controllo musicale reale sulprocesso di produzione:
se volessimo cambiar qualcosa, non sapremmo come farlo.
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 36 of 90
Introduzione alle Tecniche di Sintesi (4)
Potremmo allora scegliere delle regole semplici
Come, ad esempio, questa:
Y (t) = K (t)sin
(2πf
t
Tfc
)dove K (t) rappresenta l’ampiezza in funzione del tempo,f e la frequenza, Tfc e il periodo di campionamento
Questo e il risultato
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 37 of 90
Introduzione alle Tecniche di Sintesi (5)
Non e molto incoraggiante, ma indica una strada possibile
Le tecniche di sintesi sono quindi insiemi di regole e dialgoritmi che coniugano la completezza del controllo conla complessita del risultato
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 38 of 90
La Sintesi Additiva
La sintesi additiva consiste nel costruire i suoni con unasomma di oscillatori sinusoidali, ciascuno col proprioinviluppo di ampiezza e di frequenza:
Figura: Sintesi Additiva: schema di funzionamento
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 39 of 90
Principi di funzionamento
La sintesi additiva si basa sulla scomposizione in serie diFourier applicabile ai fenomeni periodici
Essendo i suoni pseudo-periodici, e possibile approssimarequesta scomposizione con sinusoidi modulate in ampiezzada un inviluppo (non-periodico)
La simulazione di suoni reali e ottenuta applicando uninviluppo anche sulla frequenza di ciascuna componente
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 40 of 90
Approssimazioni possibili
La scomposizione in serie di Fourier e infinita. Sono quindinecessarie una serie di approssimazioni:
In ambito numerico, la serie numerica va limitata allameta della frequenza di campionamento
Gli inviluppi possono essere approssimati ad una serie disegmenti (6-8)
Con queste approssimazioni ottime simulazioni di suonireali sono possibili (cf. ad esempio il Catalogo di Suoni diRisset)
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 41 of 90
La risintesi additiva
La ricostruzione di una forma d’onda a partire dalle suecomponenti armoniche sinusoidali si chiama trasformatainversa di Fourier
Con essa, e possibile approssimare qualsiasi forma d’onda,se se ne conoscono le ampiezze relative delle componentiarmoniche
Provare per credere. . .
Un altro esempio
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 42 of 90
L’Ampiezza delle Parziali
Alcune nozioni che regolano approssimativamente ilrapporto tra parziali e la forma d’onda risultante sono:
Le componenti piu acute generano cambiamenti piu rapidinella forma d’ondaRapporti semplici tra parziali generano forme d’ondasemplici
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 43 of 90
Componenti Acute
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 20 40 60 80 100
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 2000 4000 6000 8000 10000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 20 40 60 80 100
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0 2000 4000 6000 8000 10000
Figura: Componenti Acute
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 44 of 90
Parziale Periodica
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
420 430 440 450 460 470 480
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0 1 2 3 4 5 6
Figura: Rappresentazione Spettrale Statica
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 45 of 90
Parziale Pseudo-Periodica
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
420 430 440 450 460 470 480
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0 1 2 3 4 5 6
Figura: Rappresentazione Spettrale Dinamica
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 46 of 90
Un Esempio di Sintesi Additiva
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 47 of 90
Rilevanza Musicale della Sintesi Additiva
Numerosi aspetti della sintesi additiva hanno rilevanza sulpiano musicale:
Staticita vs. Dinamicita dello spettroArmonicita vs. InarmonicitaCompressione, Dilatazione, TraslazioneRelazioni d’ampiezza fra le parziali
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 48 of 90
Staticita vs. Dinamicita
I suoni reali sono fenomeni pseudo-periodici
La scomposizione in serie di Fourier va adattata a questasituazione reale (va re-inserita una dimensione temporale)
Ciascuna parziale va modulata in ampiezza
Si introduce quindi il concetto di “flusso spettrale”
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 49 of 90
Armonicita vs. Inarmonicita
Non c’e soluzione di continuita tra spettri armonici edinarmonici:
In linea generale, gli spettri di suoni “armonici” reali sonoleggermente inarmoniciPiccole inarmonicita “regolari” aggiungono ricchezzaspettrale (ad es. compressioni, espansioni, ecc.)Alcuni spettri altamenti inarmonici suonano quasi armonici(inarmonıa con regole - ad.es. campane)
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 50 of 90
Compressione, Dilatazione, Traslazione
f
A
Traslatof
A
Dilatatof
A
Compresso
Figura: Compressione, Dilatazione, Traslazione
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
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Problemi della sintesi additiva (1)
La sintesi additiva ha il problema del controllo. Larealizzazione di un singolo suono ha bisogno infatti di:
2 numeri (tempo e ampiezza) per ciascun segmentodell’inviluppo d’ampiezza (∼ 14 numeri per componente)2 numeri (tempo e frequenza) per ciascun segmentodell’inviluppo di frequenza (∼ 10 numeri per componente)
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ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
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Problemi della sintesi additiva (2)
un numero di componenti variabile a seconda dell’altezzadel suono (ad es. il la sotto il do centrale richiede ∼ 100componenti)
Per cui, una nota di la sotto il do centrale descritta da∼ 2400 numeri
IntroduzioneAdditivaLa risintesi additivaAmpiezza delle parzialiUn EsempioProblemiSoluzioni
ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
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Soluzioni: il Filtro ad Eterodina (1)
Un filtro ad eterodina e essenzialmente un banco di filtripassa-banda che puo essere intonato su una particolarefrequenza fondamentale
f
A
Figura: Analisi con un Filtro ad Eterodina
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ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
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Soluzioni: il Filtro ad Eterodina (2)
Un filtro ad eterodina puo essere utilizzato per rilevarel’inviluppo d’ampiezza delle singole componenti(eventualmente approssimandolo per segmenti con unainterpolazione lineare)
Con semplici tecniche adattive e possibile seguire anchel’andamento delle frequenze
Questa analisi permette di non generare manualmente inumeri necessari alla sintesi additiva
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Modulazione d’ampiezza (1)
Si ottiene moltiplicando una funzione (detta portante) conun’altra funzione (detta modulante)
Nel caso della modulazione d’ampiezza, la funzione fmod
deve essere unipolare (cioe ymod(t) > 0)
La funzione sara quindi:
y(t) = [(1− Imod) + Imod fmod(t)]Aport fport(t)
dove Imod e l’indice di modulazione il cui ambito e0 < Imod <
Aport
2
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Modulazione d’ampiezza (2)
La modulazione d’ampiezza di una portante sempliceprodurra il seguente risultato:
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 20 40 60 80 100
-1
-0.5
0
0.5
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
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Modulazione d’ampiezza (3)
La frequenza portante e contornata da due altrecomponenti collocate a frqport ± frqmod denominatebande laterali
L’ampiezza di queste componenti e data dalla seguenteespressione:
Abl = I2
Aport = Aport orig − 2Abl
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Modulazione ad Anello (1)
La modulazione ad anello e una variante dellamodulazione d’ampiezza, nella quale la modulante ebipolare (oscilla cioe tra +n e −n)
In questo caso la componente portante si annulla erimangono solo le bande laterali
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Modulazione ad Anello (2)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 50 100 150 200
-1
-0.5
0
0.5
1
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Figura: La modulazione ad anello
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Modulazione di Frequenza (1)
Si ottiene moltiplicando la frequenza di una funzioneportante con una funzione modulante, ovverosia variandola fase della funzione portante con un’altra funzione:
y(t) = fport(ωport(t) + Iφ(ωmod(t)))
Nella modulazione di frequenza si creano un’infinita seriedi componenti che si trovano alle frequenze:
fport ± (kfmod) per k = 1, 2, . . . , n
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Modulazione di Frequenza (2)
Le ampiezze dellecomponenti dipendonodall’indice di modulazionesecondo le funzioni di Besseldel n − esimo ordine (per lan − esima componente):
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 5 10 15 20 25 30
PortanteComponente1Componente 2Componente 3Componente 4Componente 5
Figura: Funzioni di Bessel
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Modulazione di Frequenza (3)
L’indice di modulazione si ricava dal rapporto tradeviazione frequenziale ∆f (cioe, in pratica, dall’ampiezzadella modulante Amod) e la frequenza modulante fmod :
I =∆f
fmod=
Amod
fmod
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Modulazione di Frequenza (4)
Ecco il risultato di una modulazione di frequenza con irapporti fport = 20, fmod = 34, Imod = 0.1:
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
0 100 200 300 400 500
-1
-0.5
0
0.5
1
0 500 1000 1500 2000
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Modulazione di Frequenza (5)
Modulazione di Frequenza: prova su strada
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Le Modulazioni Composte
Pro :
piu ricche delle modulanti semplici, menostereotipaterelativamente semplici da controllare
Contro :
risultati non semplici da prevederecomplessita crescente
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Tipologie (1)
Portanti Multiple
Modulanti Multiple
Modulanti Modulate
Automodulazioni
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Tipologie (2)
Portanti Multiple
ModulantiModulate
Modulanti Multiple
Automodulazioni
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Portanti Multiple
Le modulazioni su portanti multiple sono l’equivalente dimodulazioni singole su segnali complessi:
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
0 100 200 300 400 500
fm=0.5fc
-1
-0.5
0
0.5
1
0 500 1000 1500 2000
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
0 100 200 300 400 500
-1
-0.5
0
0.5
1
0 500 1000 1500 2000
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Modulanti Multiple
Le modulanti multiple sono l’equivalente di modulazionicon forme complesse su segnali semplici:
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
0 200 400 600 800 1000
fm1=3fc, f2=5fc, fm3=9fc
-1
-0.5
0
0.5
1
0 500 1000 1500 2000
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Modulanti Modulate
Anche le modulanti modulate sono l’equivalente dimodulazioni con forme complesse su segnali semplici:
10-3
10-2
10-1
100
0 100 200 300 400 500
fm1=3fc, fm2=5fc, fm3=9fc
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
La differenza tra modulanti multiple e modulanti modulaterisiede nelle modalita di variazione dinamica della formad’onda della modulante
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ModulazioniAMRMFMModulazioni Composte
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Automodulazioni
E anche possibile modulare le modulanti con se stesse
Il risultato e di complessita crescente:
10-2
10-1
100
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
fml=3fc
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 200 400 600 800 1000
output
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 200 400 600 800 1000
modulante
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
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La Sintesi per Distorsione
La distorsione puo rappresentare un metodo utile persintetizzare suoni o trasformare suoni gia esistenti
Pro:sintesi efficacecollega l’ampiezza con la forma d’onda(come accade in natura)
Contro:controllo non sempliceimpossibile cambiare dinamicamenteuna data combinazione armonica
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
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Schema di Funzionamento (1)
Una funzione in ingresso viene distorta e nella distorsioneappaiono nuove componenti armoniche
La distorsione viene realizzata usando la funzione iningresso come puntatore della tavola di distorsione
A seconda del tipo di tavola di distorsione, e possibileottenere risultati piu o meno controllati
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
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Schema di Funzionamento (2)
ingresso
uscita
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
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Le funzioni di Chebychev (1)
Le funzioni di Chebychev sono funzioni di distorsione chepermettono di controllare con precisione le quantita dellecomponenti armoniche in uscita dal distorsore
Sono funzioni di ordine crescente: ogni polinomiopermette di controllare con precisione la presenza di unacomponente armonica
La combinazione lineare dei polinomi permette unaqualsiasi combinazione delle componenti armoniche inuscita
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 76 of 90
Le funzioni di Chebychev (2)
T = 2x − 12
2
T = x1 T = 4x − 3x
3
3
T = 8x − 8x + 14
4 2
T (x)= 2x T (x) − T (x)n−1nn+1
−1
−0.5
0
0.5
1
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
−1 −0.5 0 0.5 1−1
−0.5
0
0.5
1
−1 −0.5 0 0.5 1
−1
−0.5
0
0.5
1
−1 −0.5 0 0.5 1
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 77 of 90
Le funzioni di Chebychev (3)
Una combinazione lineare delle funzioni di Chebychevgenera la forma d’onda desiderata
h = 9, h = 3, h = 5, h = 7, h = 11 2 3 4 5
Spettro con ampiezze:
f(x) = 16x + 56x − 50x − x + 45 4 2
Funzione di distorsione:
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
−1 −0.5 0 0.5 1
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 78 of 90
La Sintesi Sottrattiva
Il principio della sintesi sottrattiva e il seguente:
prendendo sorgenti ricche di componenti parziali, simodella il suono attenuando regioni spettrali (il principiodella scultura)questa attenuazione puo avvenire in forma statica (fissa) oin forma dinamica (= che cambia nel tempo)
Con questo principio e possibile ottenere trame timbrichecomplesse e articolate
Questa modellazione avviene attraverso operazioni difiltraggio
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 79 of 90
Sorgenti Ricche (1)
Siccome la sintesi sottrattiva funziona per attenuazione, eimportante avere componenti parziali nelle zonedesiderate.
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 80 of 90
Sorgenti Ricche (2)
Forme d’onda adeguate possono essere . . .
forme d’ondaimpulsive:
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
pulse wave
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
pulse fft
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 81 of 90
Sorgenti Ricche (3)
Forme d’onda adeguate possono essere . . .
rumore (bianco):
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
noise wave
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
noise fft
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 82 of 90
Sorgenti Ricche (4)
Forme d’onda adeguate possono essere . . .
. . . sorgenti reali . . .
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 83 of 90
Energia Spettrale
L’energia spettrale e, di fatto, il ”lavoro” svolto dal suononello spostare molecole d’aria
Per misurarla, si puo utilizzare l’area sottesa dall’inviluppospettrale
f
A
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 84 of 90
Variazione dell’Energia Spettrale (1)
La variazione dell’energia spettrale nel tempo e uno deifattori fondamentali della percezione di ”ricchezza” di unsuono
La capacita della sintesi sottrattiva di produrre variazionirapide e sostanziali dell’energia spettrale in manierasemplice e con pochi parametri la rende particolarmenteattraente
Tali variazioni vengono calcolate in dB/ottava
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 85 of 90
Variazione dell’Energia Spettrale (2)
Esempio: Variazione di -6 dB/Ottava
A(dB)
f(Hz)
0
−6
−12
−18
−24
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 86 of 90
Funzioni di Trasferimento
La funzione con la quale il filtro modifica lo spettro sichiama funzione di trasferimento
H(z)f
A
f
A
Filtro
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 87 of 90
Tipologie Semplici
Le tipologie piu semplici di filtri sono i filtri passa-alto ed ifiltri passa-basso:
A
fFiltro Passa−Basso
A
fFiltro Passa−Alto
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 88 of 90
Parametri dei Filtri
I parametri caratteristici di un filtro semplice sono:
la frequenza di tagliola larghezza di banda (anche detta fattore di qualita o Q)
A
f
2
1
Frequenza di Taglio
Larghezza di banda
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 89 of 90
Tipologie Composte (1)
Tipologie di filtraggio piu sofisticate possono essererealizzate collegando insieme filtri semplici
Tali connessioni possono essere in serie (cascata) oppurein parallelo
H (z)1
H (z)2
Filtri in serie
H (z)1
H (z)2
Filtri in parallelo
DNLPrincipiChebychev
SottrattivaFiltriTipologie
Elaborazione Numerica dei Segnali Roma 2008 90 of 90
Tipologie Composte (2)
Componendo un filtro passa-alto ed un filtro passa-bassoassieme e possibile, ad esempio, realizzare filtripassa-banda e filtri elimina-banda:
Passa−Banda Elimina−Banda