Diktat Mateter 2 2013

8/20/2019 Diktat Mateter 2 2013

1/57

DIKTAT KULIAH

MATEMATIKA TERAPAN II

Oleh: Noor Anis Kundari

PROGRAM STUDI DIPLOMA-IV:

TEKNOKIMIA NUKLIR

URUSAN TEKNOKIMIA NUKLIR

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI NUKLIR

!ADAN TENAGA NUKLIR NASIONAL

"OG"AKARTA

#$%&

Diktat Kuliah Matematika Terapan II, Noor Anis Kundari, 2015 Page 1


2/57

PENGANTAR METODE NUMERIS

Berbeda dengan penyelesaian analitis, jawaban yang diperoleh dengan metode numeris adalah

pendekatan namun tidak memerlukan manipulasi matematika yang rumit, semua didekati dengan

persamaan aljabar Metode numeris adalah teknik penyelesaian masalah matematika dengan

merumuskannya sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh operasi aritmetika (tambah, kurang,

kali, bagi).

Walaupun banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya metode ini mempunyai satu dasar

karakteristik umum. Metode numeris selalu mencakup banyak hitungan berulang-ulang dan

menjenuhkan. Namun dengan perkembangan komputer digital yang cepat dan eisien, hal yang

menjenyhkan dalam metode numeris itu dapat diatasi.

!lasan tambahan mengapa kita harus mempelajari metode numeris antara lain adalah sebagai berikut.

". Metode numeris adalah perangkat guna menyelesaikan masalah yang sangat berkemampuan.

Metode ini sanggup menangani sistem persamaan yang besar, tidak linier, serta geometri yangrumit yang seringkali tidak mungkin dipecahkan secara analitis#

$. Meskipun sekarag sudah tersedia paket program komputer, namun keahlian dalam memanaatkan

program ini haruss didukung oleh pemahaman tentang metode numerik, atau bahkan bisa

membuat paket program sendiril#

%. Metode numerik dapat menjadi sarana untuk memperkuat pemahaman tentang matematika.

Materi yang dibahas dalam Matematika &erapan ''

". ierensiasi Numeris

$. 'ntegrasi Numeris%. Mencari !kar *ersamaan Non +inier

. ptimasi Numeris

. *enyelesaian *ersamaan +inier /imultan

0. Menentukan *ersamaan 1mpiris

2. *eyelesaian * rdiner 3enis 'nitial 4alue *roblem

5. *enyelesaian *ersamaan ierensial rdiner 3enis Boundary 4alue *roblem

6. *enyelesaian *ersamaan ierensial *atsial

"7. *enyelesaian *ersamaan Non +inier /imultan



3/57

11./tudi kasus yang terkait dengan bidang teknokimia nuklir



4/57

A. Diferensiasi Numeris

Jika diketahui suatu fungsi: y = f(x)

Ingin dicari nilai dy/dx atau y’ pada x = x0

erdasarkan de!nisi "ate"atika:

x x ∆∆+

=→∆

f(x)-x)f(x

dx

dy

7lim

(#$1)

Pada diferensiasi nu"eris yang sederhana% nilai x →0 didekati dengan

&ilangan kecil '% sehingga diperleh ru"us$ru"us se&agai &erikut.

1. ara fr*ard (selisih "a+u)

ε

ε )f(x-)f(xdxdy 00 +≈= 7 x x

(#$,)

2. ara &ack*ard (selisih "undur)



5/57

ε

ε )f(x-)f(x

dx

dy 00 −≈= 7 x x(#$-)

3. ara central (selish tengah)



6/57

ε

ε ε

$7)-f(x-)f(x

dx

dy 00 +≈= x x(#$)



7/57

nth:

entukan nilai dy/dx pada x=, untuk y = 1/- x- x, 1 dengan cara fr*ard%

&ack*ard% dan central dengan "enga"&il ε=12 0%12 dan 0%012 &andingkan dengan

nilai yang diperleh secara analitis.

Penyelesaian:

Dengan =1:

Cara forward:ε

ε )f(x-)f(x

dx

dy 00 +≈= 7 x x

f(,) = 1/-(3) () 1 = ,/-

f(,1) = 1/-(,4) (5) 1 = 1,

dy/dx= (1, $ ,/-) /1 = 4%63

Jika =0,1 dy/dx = 6%,,6

Jika =0,01 dy/dx = 6%01

Cara backward:

f (,$1) = 1/- (1) (1) 1 = 1%63

dy/dx = ( ,/- 7 1%63)/1 = -%05

Jika =0,1 dy/dx = %43,

Jika =0,01 dy/dx = 6



8/57

Cara central

dy/dx = (1, $ 1%63 )/, = 6%--6

Jika =0,1 dy/dx = 6%00,6

Jika =0,01 dy/dx = 6

Peritungan secara analitis:

")$8"($

$

$

=+=+==

= x

x

x xdx

dy

8atihan:

9itung dy/dx pada x=6 secara nu"eris dengan teknik: fr*ard% &ack*ard% dan

central% untuk suatu fungsi: y= , x -x, x- dengan "enga"&il ε = 12 0%12 dan

0%01. (Ja*a&an analitis = 105).

!. "ntegrasi Numeris

anyak cara untuk "engintegralkan suatu fungsi secara nu"eris

1. ara rapesiu" (rapesidal ule)

;isalnya:

∫ n

0

x

x

ydx dengan y = f(x) ($1)

y



9/57

x0 x1 x, xn$1 xn x

e"akin &anyak +u"lah interal n% hasil

integrasi se"akin &aik. atas$&atas interal di&eri indeks 0% 1% ??% n$1% n.

@engan de"ikian diperleh hu&ungan:

xi = x0 ix

Perhitungan hasil integrasi dilakukan dengan cara setiap interal &er&entuk

trapesiu".Ailai integral yang "erupakan luasan di &a*ah kura dari x0 sa"pai

dengan xn didekati dengan +u"lahan dari luas trapesiu"$trapesiu" kecil

terse&ut. 8uas trapesiu" adalah B x tinggi x +u"lah pan+ang sisi se+a+ar. Cleh

karena itu diperleh:

$

x ydx

∆=∫

n

0

x

x

(y0y1) $

x∆ (y1y,)

$

x∆ (y,y-) ?

$

x∆(yn$1yn)

#tau

$

x ydx

∆=∫

n

0

x

x

(y0,y1 ,y, ,y- ?? ,yn$1yn) ($,)

,. ara >i"psn

y



10/57

x x

x0 x" xn x

i"psn

Jika interal tidak &egitu &esar dan fungsi (kura) tidak &eru&ah ta+a"% "aka

integrasi seperi i"psn - titik se&agai

&erikut.

%

x

ydx

∆=∫

n

0

x

x(y0y" yn) ($-)

Jika interal terlalu le&ar dan atau fungsi &eru&ah cukup ta+a"% "aka interal x0

sa"pai dengan xn di&agi "en+adi &agian$&agian kecil sa"a &esar% setiap interal

atau - titik &erturutan dikenai ru"us >i"psn.

y

??.

x0 x1 x, x- x xn$, xn$1 xn x

i"psn untuk interal

yang le&ar

@engan de"ikian diperleh:



11/57

%

x ydx

∆=∫

n

0

x

x

(y0y1 y,) %

x∆(y, y- y) ?.

%

x∆(yn$, yn$1 yn)

atau

%

x ydx

∆=∫

n

0

x

x

(y0y1 ,y, y- ,y ?. ,yn$, yn$1 yn) ($)

#atian $etode %im&son dalam 'eknologi Proses

eaksi fasa cair &lak &alik # di+alankan dala" reaktr batch adia&atis.

Dlu"e ca"puran dapat dianggap tetap. >uhu a*al reaktr 0. Eecepatan

reaksi "engikuti persa"aan:

−=K

CCkr B A A dengan:

=

−=

T

βα.expK

RT

A.expk

Panas reaksi λ kal/"l% rapat ca"puran% ρ g/8% kapasitas panas ca"puran p

cal/g/E. Ensentrasi # "ula$"ula #0 "l/8 dan knersi a*al x0. Enersi

akhir diinginkan xA. Ingin dihitung *aktu reaksi yang diperlukan +ika suhu a*al

0 = F00 E2 #=,62 =1%5342 α=,0002 G=30002 β=$6.0002λ=$

100.0002ρ=1,602 p=1%,2 #0 =12 x0=02 dan xA=0%.

Persa"aan yang diperleh dari neraca "assa # dan neraca panas adalah:

Haktu reaksi t: ∫ −−=nx

0 K.x!x)k"(1

dx# (&erdasarkan neraca "assa) dan suhu :

)x(x$Cp

%CTT 0

A00 −+= (&erdasarkan neraca panas)

i"psn - titik.



12/57

%

x ydx

∆=∫

n

0

x

x

(y0y" yn) ($-)

8angkah$langkah:

Pada x=0

1. 9itung

,. 9itung k

-. 9itung E

. dapat dihitung

Pada x=0%,

6. 9itung

F. 9itung k

4. 9itung E

3. " dapat dihitung

Pada x=0%

5. 9itung

10.9itung k

11.9itung E

1,.A dapat dihitung



13/57



14/57

C. $encari akar &ersamaan non #inier

@ala" &idang teknlgi prses% sering di+u"pai persalan "encari akar

persa"aan nn linier: f(x) = 0% &erapa nilai x yang "e"enuhi persa"aan ini

sering tidak "udah diselesaika secara analitis. ara nu"eris "enyediakan

&e&erapa cara% na"un kita &ahas salah satu cara sa+a yaitu cara isectin dan

Ae*tn$aphsn se&agai &erikut.

1. isectin

ara &isectin dilakukan dengan langkah$langkah se&agai &erikut:

1. ;ula$"ula dia"&il suatu interal (# ≤ ≤ ) yang diperkirakan akar terse&ut

&erada dala" interal yang dia"&il dengan titik tengah ; (+ika ternyata akarterse&ut tidak &erada dala" interal yang dia"&il &erarti gagal dan haru

dic&a interal yang lain)2

,. @ihitung nilai f(x) pada #% % dan ;. Jika intera &etul% nilai # dan

harus &erla*anan tanda (psitif dan negatif atau se&aliknya)2

-. erdasarkan nilai f(x) pada tiga titik yang diperleh dengan langkah , dapat

dipilih interal yang "erupakan te"pat nilai akar yang dicari &erada yaitu

yang tandanya &erla*anan (# ≤ ≤ ; atau ; ≤ ≤ )2 (Perhatikan


15/57

etelah interal cukup kecil% akar persa"aan yang dicari itu dapat didekati

dengan persa"aan: = B (# ).

,. Ae*tn$aphsn

;ula$"ula diperkirakan suatu nilai x ("isalnya xld) yang "e"enuhi persa"aan%

kenudian &erdasar nilai terse&ut diperkirakan nilai yang le&ih &aik dengan

persa"aan:

xne* =xld $)

)

&'d

&'d

(xf

f(x

($1)

>elan+utnya nilai xne* dipakai se&agai xld dan dicari nilai x yang le&ih &aik lagi

(xne*). @e"ikian seterusnya sa"pai diperleh nilai x yang cukup &aik% yang

ditandai dengan nilai xne* dekat dengan xld atau nilai f(x) ≈ 0.

nth kasus: ;enghitung lu"e gas se+ati dengan persa"aan an der Haals

Persa"aan gas an der Haals adalah se&agai &erikut:

( ) nRT nbV V

an P =−

+ $

$

($,)

untuk gas C,: a=-%65,% &=0%0,F4. C,: a=1%-F0% &=0%0-13-% A, a=1%-5 (8,$

at"/"l,) dan &=0%0-51-. 9itunglah lu"e 1 "l gas itu pada tekanan 1%

10 dan 100 at" dan suhu -00% 600% dan 400 E dengan cara Ae*tn aphsn.



16/57

e&akan perta"a dapat "enggunakan persa"aan gas ideal PD=n dengan

=0%03, 8.at"/("l.E).

Penyelesaian:

( ) nRT nbV V

an P v f −−

+=

$

$

)( 2 n =1

%$

9 $)(v

ab

v

a pv f +−= 2 n =1 ($-)

erdasarkan Persa"aan $1

ne* =ld $)

)

&'d

&'d

(f

f(

($1)

D ld yang perta"a dapat "enggunakan persa"aan uhu% E P% at" Dideal DC, DC, DA,

-00 1 ,%F1F, ,%61,F ,%65,3 ?..

10 ,%F1F ,%-66 ,%-3 ??

100 0%,F, 0%0456 0%,,F ?..

dst

#atian &enggunaan Newton (a&son dalam bidang 'eknologi Proses.

airan dengan sifat$sifat !sis rapat ρ g/"8% kekentalan µ% dialirkan dari tangki

"elalui pipa &erdia"eter @. inggi per"ukaan cairan K. Ingin dicari kecepatan

aliran. 9u&ungan f dengan e "engikuti persa"aan :

0*215Re

0*0596f = .



17/57

Persa"aan yang di perleh dari 9uku" ernulli (Aeraca Gnergi) adalah:

02.+

2.+.,

f.-e.f()

22

=−−= .

/$..,Re =


18/57

•

•

l

• l •

x# xP xM x

•

• •

l

l •

x# xP xM x

x# xP xM x


19/57

@i sini ada pr&le"% di"ana letak titik P dan M agar pada interal &erikutnya

salah satu titiknya "asih &isa dipakai. ;isal titik P dan M &er+arak l interal

a*al dari titik dan #. @ala" hal ini nilai l akan dicari.

erdasarkan lan+utnya:

Nl 7 (1$l)O(x 7 x#)la"a = (1$l) )O(x 7 x#)&aru

(,l$1) )(x 7 x#)la"a =(1$l).l.(x 7 x#)la"a

,l$1 = 1$(l),

(l), l 7 1 = 0

0"5,7==2

1-5l

(@$-)

Ee"ungkinan$ke"ungkinan yang ter+adi pada saat eli"inasi dengan cara

ectin adalah se&agai &erikut.

;aksi"asi:

Jika diperleh nilai yP yM : "aka daerah yang dieli"inasi adalah interal x# sd

xP sehingga titik$titik &arunya adalah: x# = xP2 xP = xM x = x xM = dicari

Jika diperleh nilai yP Q yM : "aka daerah yang dieli"inasi adalah interal xM sd

x sehingga titik$titik &arunya adalah: x# = x#2 x = xM xM = xP xP = dicari

Lntuk ;ini"asi:

Jika diperleh nilai yP yM : "aka daerah yang dieli"inasi adalah interal xM sd

x sehingga titik$titik &arunya adalah: x# = x#2 x = xM xM = xP xP = dicari

Jika diperleh nilai yP Q yM : "aka daerah yang dieli"inasi adalah interal x# sd

xP sehingga titik$titik &arunya adalah: x# = xP2 xP = xM x = x xM = dicari.



20/57

Gfektiitas ealuasi:

;isal diinginkan pengecilan interal sa"pai "en+adi 0%0001 se"ula% "aka

+u"lah step yang diperlukan adalah:

(0%F13)A = 0%001 (@$)

A = 1%- ≈ 16

Ju"lah titik yang diperlukan untuk eauasi = , (A$1) 1 = 1F

. )&timasi !anyak *ariabel dengan cara -ooke ee*es

;isalnya diketahui suatu fungsi dengan &anyak aria&el se&agai &erikut.

y = f(x1% x,% x-% ?.% xA) (@$6)

Ingin dicari nilai x1% x,% x-% ?.% xA yang "e"&erikan nilai y "aksi"u"

("aksi"asi) atau "ini"u" ("ini"asi). >alah satu cara yang dapat digunakan

adalah ara 9ke Jeees.

Cpti"asi dengan cara 9ke$Jeees dapat di+elaskan dengan cnth se&agai

&erikut.

;isal ingin dilakukan "ini"asi terhadap fungsi:

y = (x1 7 ), 0%6(x, 7 5), - (@$F)

>e&agai cek secara analitik terlihat &ah*a "ini"u" ter+adi pada:



21/57

x1 = % x, = 5 dan nilai y"ini"u" = -.

ara 9ke Jeees dilakukan dengan cara "ene&ak suatu nilai x 1 dan x, lalu

dihitung nilai y se&agai &asis% ke"udian dilkukan eksplrasi di sekitar x1 dan

x,% di&andingkan dengan nilai y se&elu"nya. Lntuk "ini"asi +ika nilai y le&ih

rendah dari &asis &erarti eksplrasi sukses sehingga dapat diulang se"entara

kalau le&ih &esar &erarti gagal. >etelah eksplrasi gagal% ke"udian dilakukan

pengecilan interal.

;isalya dite&ak se&agai titik a*al x1 = 1 dan x, = 1F dan interal eksplrasi

a*al x1 = 1 dan x, = ,% "aka langkah perhitungannya adalah se&agai

&erikut.

1 , =

(x1 7 ),

0%6(x, 7 5), -

k"entar

1 1F -F%F &asis

Gksplrasi dengan x1 = 1 dan x, = ,

, 1F -1%6 sukses

, 13 4%6 gagal

, 1 15%6 sukses

;engulangi langkah sukses

- 1, 3%6 sukses

10 -%6 sukses

6 3 %6 gagal

6 10 %6 gagal

- 10 %6 gagal

1, 4%6 gagal

3 -%6 gagal



22/57

Gksplrasi denganx1 = 0%, dan x, = 0%

%, 10 -%6 gagal

-%3 10 -%6 gagal

10% %5F gagal

5%F -%13 sukses

;engulang langkah sukses

5%, -%0, sukses

3%3 -%0, gagal

Gksplrasi dengan x1 = 0%0 dan x, = 0%03

%0 5%, -%,1 gagal

-%5F 5%, -%0,1 gagal

%00 5%,3 -%0-5 gagal

%00 5%1, -%004 sukses

%00 5%0 -%0003 sukses

%00 3%5F -%0003 gagal

-%5F 5%1, -%004 gagal

%0 5%1, -%003 gagal

-%5F 5%0 -%00, gagal

Gksplrasi dengan x1 = 0%0, dan x, = 0%0

-%53 5 -%000 sukses

5 - sukses

Prses dihentikan setelah eksplrasi gagal dan x1 serta x, cukup kecil.

/. Penyelesaian Persamaan #inier %imultan



23/57

entuk L"u" persa"aan linier si"ultan:

a11 x1 a1,x, a1-x- ?. a1nxn = &1 (G$1)

a,1 x1 a,,x, a,-x- ?. a,nxn = &, (G$,)

a-1 x1 a-,x, a--x- ?. a-nxn = &- (G$-)

????????????????

an1 x1 an,x, an-x- ?. annxn = &n (G$n)

@ala" hal ini akan ditentukan nilai x1% x,% ?..% xn . >alah satu cara yang dapat

digunakan adalah Gli"inasi


24/57

.

.

aris ke , dikalikan dengan an,/a,,% ke"udian dikurangkan ke &aris ke n

-. Prses yang sa"a dilakukan untuk kl" selan+utnya sa"pai dengan kl"

ke n$1.

. erdasarkan prses eli"inasi diperleh persa"aan upper triangular matri

se&agai &erikut.

a11 x1 a1,x, a1-x- ?. a1nxn = &1

,,,x, a,-x- ?. a,nxn = &,

a--x- ?. a-nxn = &-

????????????????

an$,%n$, xn$, an$,%n$1xn$1 an$,%nxn = &n$,

an$1%n$1xn$1 an$1%nxn = &n$1

an%nxn = &n

>etelah itu nilai x1% x,% ?..% xn dihitung dengan &ack*ard su&stitutin se&agai

&erikut.

nn*

nn

x =



25/57

"-n",-n

nn,",n"-n

"-na

:a b:

−−=

$-n$,-n

"-nn,$,nnn,",n$-n

$-na

:a:a b:

−− −−=

.

.

ii,

nni,$i$,ii,"i",ii,i

ia

:a...:a:a b

:

−−−=

++++

ii,

jiji,

"

i

ia

:a b

:

∑+=

−=

n

i j

.

.

@an seterusnya% sa"pai x1.

ara ini "e"punyai kele"ahan% yaitu:

1) Jika pada saat eli"inasi ke i nilai k aii = 0% "aka prses tidak dapat &er+alan2

,) Jika pada saat eli"inasi ke i nilai "utlak a ii "endekati 0 atau sangat kecil"aka ketelitian hitungan "en+adi rendah.

Eedua kele"ahan terse&ut dapat diatasi dengan "axi"u" clu"n piting

yaitu: pada saat akan "elakukan eli"inasi kl" ke i% dicari dahulu nlai$nilai a ii%

ai1%i% ai,%i% ?.%an%I yang "e"punyai nilai "utlak paling &esar. Jika diperleh yang



26/57

"e"punyai nilai "utlak ter&esar adalah ak%I% &aris ke i ditukar dengan &aris ke k%

&aru dieli"inasi kl" ke i.

. $enentukan Persamaan /m&iris

Persa"aan e"piris adalah persa"aan yang diperleh &erdasarkan

data.epresentasi data perc&aan dala" &entuk persa"aan "ate"atik sangat

penting artinya dala" &idang teknik. Penyusunan persa"aan ini teruta"a

&ertu+uan untuk: (1) "e*akili se+u"lah &esar data dala" &entuk pernyataan

singkat dan (,) "e"per"udah pelaksanaan perasi "ate"atik le&ih lan+ut

terhadap data. Cleh karena itu persa"aan e"pirik diusahakan agar dapat "e*akili

data dengan se&aik$&aiknya na"un dala" &entuk yang sedapat "ungkin

sederhana.

8angkah penyusunan persa"aan e"pirik &iasanya "eliputi:

(1) penentuan &entuk persa"aan yang "e*akili data2

(,) penetapan nilai$nilai tetapan yang terdapat pada persa"aan hasil langkah

perta"a2

(-) penetapan tingkat kesalahan persa"aan &ila di&andingkan dengan data

perc&aan2

entuk persa"aan kadang$kadang dapat diperkirakan dari analisis

teritis% sehingga tinggal "enetapkan nilai tetapan$tetapannya. #da ke"ungkinan

&ah*a kura hu&ungan fungsunalnya akan "elalui titik asal dari su"&u krdinat

atau "en+adi asi"ttik "ulai suatu nilai tertentu salah satu peu&ah yang ada. Jadi

&leh dikatakan &ah*a penentuan &entuk persa"aan pada u"u"nya dilakkan

dengan c&a$c&a% "eskipun ada ped"an tertentu yang dapat dipakai dala"

praktek. ila data dapat di&uat kura sede"ikian sehingga "enun+ukkan &entuk

garis lurus% &aik dengan cara "e"ilih +enis kertas gra!k atau dengan "engatur

peu&ah yang dilukiskan kuranya% "aka &entuk linier yang diperleh dapat dengan

"udah di&a*a ke &entuk hu&ungan kura dari peu&ah asalnya. ara linierisasi

hu&ungan kura dari data ini &anyak dipakai dala" "enentukan &entuk persa"an

e"pirik.



27/57

e&erapa cnth &entuk hu&ungan fungsinal sederhana yang dapat

dinyatakan dengan kura hu&ungan linier adalah e&agai &erikut.

A. Rungsi a*al entuk gra!k

1. =a&x dengan x

,. = axn 8g y dengan lg x pada kertas gra!k

skala &iasa atau y dengan x pada kertas

gra!k skala lg$lg

-. = c axn ;ula$"ula dicari c yang "erupakan

intersep kura y dengan x% selan+utnya

di&uat hu&ungan (y$c) dengan x pada

kerta gra!k skala lg$lg

. = a.e&x @i&uat hu&ungan y dengan x pada

kertas gra!k skala se"ilg

6. = a.&x @i&uat kura hu&ungan y dengan x

pada kertas gra!k skala se"ilg

F. = a &/x dengan (1/x) pada kertas gra!k skala

&iasa

4. = x/(a &x) (x/y) dengan x atau (1/y) denngan 1/x

pada kertas gra!k skala &iasa

3. =a&xcx, (y$yn)/(x$xn) dengan x pada kertas

gra!k skala &iasa dengan xn dan yn

adalah krdinat titik yang dilalui leh

kura yangn ditarik "elalui titik$titik

data perc&aan.

nth

>uatu perc&aan "enghasilkan data hu&ungan y dengan x se&agai

&erikut:

0%, 0%6 1%0 ,%0 -%0 %0



28/57

-%, -%4 %1 3%1 1-%4 ,,%F

idak ada infr"asi lain kecuali data di atas. @iinginkan "enetapkan

&entuk persa"aan e"piriknya.

Persalan yang perlu diselesaikan di sini adalah "enetapkan &entukpersa"aan yang "e*akili data dengan &entuk sesederhana "ungkin na"un

"e"iliki tingkat kesalahan yang "asih dapat diteri"a.

Penyelesaian:

1. @i&uat kura hu&ungan y dengan x pada kertas gra!k skala &iasa% hasilnya

dapat dilihat pada


29/57

y = -%, axn (R$)

tetapan a dan n perlu dicari.

,. Penentuan nilai tetapan dala" persa"aan

>etelah &entuk kura yang "e*akili data dapat ditetapkan% selan+utnya

ditentukan nilai tetapan$tetapan yang ada dala" persa"aan. #da - cara untuk

"enentukan nilai tetapan% yaitu dengan:

a. cara inspeksi isual

&. "etde nilai rerata ("ethd f aerages)

c. cara kuadrat terkecil ("ethd f least sSuare)

,.a. cara inspeksi isual

erdasarkan kura pada


30/57

erdasarkan cnth di atas% persa"aan e"pirik yang diperleh dengan cara

inspeksi isual% "aka persa"aan yang "e*akili data dapat dinyatakan dala"

&entuk:

= c axn

Earena ada - tetapan yang harus ditentukan% "aka data yang ada di&agi "en+di -

kel"pk. @engan "enggunakan atau penyi"pangan persa"aan e"pirik

terhadap data perc&aan% diperleh pera"aan "asing$"asing titik data se&agai

&erikut:

1= c a(0%,)n $ -%,

, = c a(0%6)n 7 -%4

- = c a(1)n $ %1

= c a(,)n 7 3%1

6 = c a(-)n 7 1-%1

F = c a()n $ ,,%6

>elan+utnya% F persa"aan itu di&agi "en+adi tiga kel"pk dan dengan "e"&uat Σ

= 0 untuk "asing$"asing kel"pk% diperleh - persa"aan:

,c T(0%,)n (0%6)nUa $ F%5 = 0

,c T1 (,)nUa $ 1,%, = 0

,c T(-)n ()nUa $ -F%- = 0

9asil penyelesaian tiga persa"aan di atas "enun+ukkan nilai a = 1%04% c=-%-% dan n

= ,%03% sehingga persa"aan e"pirisnya dapat dinyatakan se&agai:

= -%- 1%04.x,%03

Pada u"u"nya% hasil yang dperleh dengan cara nilai rerata le&ih "endekati

data dari pada hasil persa"aan yang diperleh dengan cara inspksi isual.



31/57

Pengel"pkan &erurutan seperti di atas paling sering dilakukan. Jika +u"lah titik

data tidak dapat ter&agi &ulat leh +u"lah tetapan% "aka kel"pk tidak harus

dengan persa"aan dengan +u"lah yang sa"a.

d. Cara kuadrat terkecil

ara kuadrat terkecil &iasanya dianggap yang paling relia&le dala"

"enentukan nilai tetepan$tetapan dala" persa"aan e"pirik. ara ini didasarkan

pada knsep +u"lah kuadrat deiasi% >u" f >Suare f errers (>>G) atau

penyi"pangan hasil persa"aan terhadap data perc&aan di&uat sekecil "ungkin

atau "ini"u".

>>G = ∑=

= −ni

i dataterhitung y y"$

)(

ara kuadrat terkecil ini akan di+elaskan dengan cnth se&agai erikut

Persa"aan y = ax

;isalnya tersedia data:

x , - 6 4 10

y 0%1 0%63 0%55 1%1 ,%0,

Ingin dicari nilai a yang sesuai dengan data yang tersedia.

Lntuk pasangan data xi% yi% "aka errrnya adalah:

i = axi 7 yi (= y yang dihitung &erdasar persa"aan$y data)

@engan de"ikian nilai >>G$nya adalah:

>>G = )()("

$ a f yaxni

i

ii =−∑=

=



32/57

Ailai >>G tergantung pada nilai a yang digunakan. Ailai a ter&aik adalah yang

"e"&erikan >>G "ini"u". 9al ini &erarti di+u"pai "ini"asi >>G dengan aria&el a.

Ailai >>G akan "ini"u" &ila:

7=d

d()

;aka:

7).($"

=−∑=

=

ni

i

iii x yax

a ( ) ( ) 7.."

$ =−∑∑=

=ii

ni

i

i y x x

a=

( )

( )∑∑=

=

−ni

i

i

ii

x

y x

"

$.

.

erdasarkan data yang tersedia dapat dihitung% yang hasilnya se&agai

&erikut.

xi yi xi, xi.yi

, 0%1 0%3,

- 0%63 5 1%4

6 0%55 ,6 %56

4 1%1 5 5%34

10 ,%0, 100 ,0%,0

134 -4%63



33/57

Jadi a= -4%63/134 = 0%,01 dan persa"aan e"piris yang sesuai dengan data

terse&ut adalah y = 0%,01 x.

!entuk &ersamaan : y = a0 a12,

ara analg% diperleh:

>>G = ),()( "7"

$

"7 aa f y xaani

i

ii =−+∑=

=

Ailai >>G akan "ini"u" +ika:

7=∂

∂

0

() dan 7=∂

∂

1

()

( ) 7"..$7

"7 =−+=∂∂ ∑

=

n

i

ii y xaa0

()

n.a0 ( ) ( )∑∑ =+=

=i

ni

i

i y xa"

" . (1)

( ) 7..$7

"7 =−+=∂∂ ∑

=i

n

i

ii x y xaa1

()

( ) ( )∑∑∑ =+=

=iii

ni

i

i y x xa xa ..

$

"

7 (,)



34/57

erdasarkan persa"aan (1) dan (,) nilai a0 dan a1 dapat ditentukan.

entuk yang lain dapat di+a&arkan dengan cara analg.

+. Penyelesaian Persamaan Diferensial )rdiner enis "nitial 3alue Problem

nth Persa"aan @iferensial Crdiner +enis initial alue pr&le":

1.0*2

y

x2x.y

dx

dy+= 2 dengan keadaan &atas pada x=x0% y = y0

,. P@ Crdiner rder ,

7$ =++− x.ydx

yd2

2

dx

dy x 2 dengan keadaan &atas pada x=x02 y=y02 dy/dx=0

-. P@ Crdiner >i"ultan

0*5

x.y

1

dx

dy+= y.x

dx

d 0*4 +=

@engan keadaan &atas x=0%62 y=1 dan K = 0%3

#da &anyak cara nu"eris yang dapat digunakan% pada kese"patan ini di&ahas ,

cara yaitu ;etde >atu 8angkah yaitu Guler dan "etde unge Eutta.

Persa"aan u"u" "etde satu langkah (step) adalah:



35/57

Ailai &erikut = nilai se&elu"nya slpeukuran langkah. @engan persa"aan dapat

ditulis se&agai &erikut.

yi1 = yi φ.h (


36/57


37/57

1%6 ,%,1346

1%46

,%0 ,%00000

,%,6

,%6 ,%41346

,%46

-%0 %00000

-%,6

-%6 %41346

-%46

%0 -%0000

y(0%6) = y(0) f(0%1).0%6

y(0%6) = y(0) f(0%1).0%6

@engan y(0) = 1 dan taksiran slpe pada x = 0 adalah:

f(0%1) = $,(0)- 1, (0), 7 ,0 (0) 3%6 = 3%6

@engan de"ikian:

y(0%6) = 1%0 3%6(0%6) = 6%,6

Ja*a&an analittis pada x =0%6 adalah

y(0%6) = 0%6 (0%6) (0%6)- 7 10 (0%6), 3%6 (0%6) 1 = -%,1346



38/57

Jadi ada kesalahan:

G = nilai se&enarnya 7 nilai taksiran = -%,1346$6%,6 = $,%0-1,6% atau dala"

kesalahan relatif = F-%1 V

Ja*a&an analittis pada x =1 adalah -%00

Ja*a&an taksiran

y(1) = y(0%6) f(0%6% 6%,6).0%6

= 6%,6 0%6 (0%6) N,(0%6)- 1, (0%6), 7 ,0 (0%6) 3%6O.0%6

= 6%346

@engan cara analg dapat dihitung sa"api dengan x = dan hasilnya dapat dilihatpada a&el &erikut.

x yse&enarnya yGuler V Eesalahan

0%0 1%000 1%000 0

0.6 -%,1346 6%,6000 $F-%1

1%0 -%00000 6%34600 $56%3

1%6 ,%,1346 6%1,600 $1-1%0

,%0 ,%00000 %60000 $1,6%0

,%6 ,%41346 %46000 $46%4

-%0 %00000 6%34600 $0%5

-%6 %41346 4%1,600 $61%0

%0 -%0000 4%00000 $1--%0

&a ker+akan lagi% na"un dengan ukuran langkah 0%,6W



39/57

. $etode (unge 4utta, )rder 5

),( y x f =dx

dy dengan keadaan &atas: x=x02 y=y0

Pada "etde unge$Eutta% +uga digunakan ukuran langkah x% "akin kecil

"akin &aik. u"us unge Eutta dapat dipakai untuk "enghitung yi1 +ika nilai

yi telah tersedia. Pendekatan unge Eutta Crder untuk interal x i → xi1

adalah se&agai &erikut.

)y,(:k ii" =

)$

k

y,$

:

(:k "

ii$ +

∆

+=

)$

k y,

$

:(:k $

ii% +∆

+=

)k y;,(:k %ii +∆+=


40/57

&a ker+akan sal yang telah dselesaikan dengan "etde Guler tadi% tapi

dengan "etde unge Eutta.



41/57

-. Penyelesaian Persamaan Diferensial )rdiner enis !oundary 3alue

Problem

1. Rinite @eXerence #pprxi"atin (Pendekatan eda 9ingga) untuk P@

Crdiner

;isalnya di+u"pai P@ Crdiner yang "erupakan hu&ungan antara y dengan

x. Ingin ditentukan nilai y pada interal x0 sa"pai xA. Interal di&agi

"en+adi A &agian sa"a &esar yang "asing$"asing &esarnyax% "akin

kecil x% "akin &aik +a*a&an yang diperleh.

N

x7 N:


42/57

;enentukan +a*a&an nilai y pada &atas$&atas interal 0 sa"pai dengan A (y0%

y1% y,% ??% yA$1% dan yA% dengan pendekatan &eda hingga (!nite diXerence

apprxi"atian &iasanya dilakukan dengan cara se&agai &erikut. (ingat

diferensiasi nu"eris)

a. ara fr*ard:


43/57

P@ yang diperleh untuk keadaan steady:

(9$)

Eeadaan &atas: pada x = 02 = 00% pada x=12 = -00:

@itentukan nilai setiap interal se&agai &erikut: Interal = 0%6%

( ) x∆ = 0%6

Persa"aan diferensial rder , ini diu&ah "en+adi &entuk:

( ) 7

$

d:

&d$

""::$

$

i=

∆+−

≈ +−= x

T T T iii

(9$6)

( )

$

,7

%77$77 +− iT =0

i = -60


7$

$

=dx

T d


44/57

Jika ditentukan dengan Ju"lah interal


45/57

Jika diinginkan perhitungan untuk 10 interal% dapat dilakukan degan

cara yang sa"a% diperleh 10 persa"aan dengan 10 &ilangan tidak diketahui%

+adi dapat diselesaikan.

Easus Perpindahan Panas pada silinder Ensentris:

Lntuk kasus PP pada silinder knsentris pada keadan steady:

7"$

$

=+dr dT

r dr T d

r=r0 ir

;isalnya diketahui 0= ,%6 =1000 A=-%,6 =-00

&a hitung suhu pada interal =,%6 sa"pai =F%,6 +ika

"enggunakan r: 0%-46 dan 0%1346%

Lntukr: 0%-46

r $

&& "i"i7 ∆

−≈ −+= xi x

dr

dTdan

( ) $""

::$

$ $

dr

&di

r

T T T iii

∆

+−≈ +−= Lntuk r= 0%-46:


dt

dT

dr

dT

r dr

T d

dt

dT

k

c

dr

dT

r dr

T d

dt

dT c

dr

dT k

r dr

T d k

α

ρ

ρ

""

"

"

$

$

$

$

$

$

=+

=+

=+


46/57

( )$"" $

r

T T T iii

∆+− +−

r $

&&

.

" "i"i

7 ∆−

∆+−+

r ir =0

( )

$

%2,7

%77$"777 +− iT

7,%2.$

"777%77

%2,7,$

" −+

=0

Lntukr: 0%1346

( ) $,7

%77$"777 +− iT

7,.$

"777%77

,7

" −+

=0

i = F-

Lntukr= 0%,6: diperleh (i=0%1% ,% -% dan )



47/57

( )$"" $

r

T T T iii

∆+− +−

r $

&&

.

" "i"i

7 ∆−

∆+−+

r ir =0

I=1

( ) $$"7

$,7

$ T T T +−

,$7$.

&&

$,7

" 7$ −+

=0% 0 = 1000

I=,

( ) $%$"

$,7

$ T T T +−

$,7$.

&&

$,7.$

" "% −+

=0

I=-

( ) $%$

$,7

$ T T T +−

$,7$.

&&

$,7.%

" $ −+

=0 =-00

-

nth lain (dari uku: Pe"delan ;ate"atis dan Penyelesaian Au"eris

dala" eknik Ei"ia hala"an 5F).

x ydx

dy

xdx

yd =−+ $

$$

$

(1)

@engan keadaan &atas: pada x0=12 y0=0% dan pada xA=,% yA=0%3.

>u&stitusi Persa"aan 9$, dan 9$- ke Persa"aan (1)



48/57

( ) xi x y x

y y

xi x x

y y yi

iiiii ∆+=−∆−

∆++

∆

+− −++− .$$

$$7

""

7

$

""

@st lihat di uku



49/57

inite De6erence A&&ro2imation PD Parsial

Persa"aan yang diperleh kasus perpindahan panas pada &enda datar

(sla&) pada keadaan u"u" (unsteady state).

;isal ditin+au persa"aan diferensial parsial &er&entuk:

(9$4)

@engan keadaan &atas:

y (x%0) = yin

y (0%t) = ya

y (8%t) = y&

Ingin ditentukan y = f(x%t) pada interal 0≤x≤8 dengan cara nu"eris

!nine diXerence apprxi"atin.


t

y

x

y

∂∂

=∂∂

$

$

( )

dt

dT

k

c

dx

T d

dt dT c

dxT d k

dt

dT c

dx

k d

dt

dT c

x

dx

dT k

dx

dT k

dxdT

x x x

ρ

ρ

ρ

ρ

=

=

=

=∆

−∆+

$

$

$

$

..

c

k

dt

dT

dx

T d

ρ α

α

=

= "

$

$


50/57

Interal x=0 sa"pai dengan x=8 di&agi "en+adi A &agian sa"a &esar

yang "asing$"asing &esarnya =x ("akin kecil x% +a*a&an "akin &aik.

atas$&atas interal di&eri indeks i = 0% 1% ,% -% %??% A$1% A.

N x7 N:


51/57

a. ara Gksplisit (fr*ard)

Persa"aan diu&ah dengan cara su&stitusi% untuk kasus yang akan

diselesaikan "en+adi:

( ) ,


52/57

(9$4)

@engan keadaan &atas:

y (x%0) = yin

y (0%t) = ya

y (8%t) = y&

Jika yin = 0%6% ya = 1% y& = 0%,% 8=1% A=10 dan ; = % "aka t dapat dihitung

&erdasarkan nilai ; dan x dan hasil hitungan sa"pai dengan + = , dapatdilihat pada a&el &erikut.

x y0 y1 y, y-

0 0%6 1 1

0%1 0%6 0%6 0%F,6

0%, 0%6 0%6 0%6

0%- 0%6 0%6 0%6

0% 0%6 0%6 0%6

0%6 0%6 0%6 0%6

0%F 0%6 0%6 0%6

0%4 0%6 0%6 0%6

0%3 0%6 0%6 0%6

0%5 0%6 0%6 0%,6

1%0 0%6 0%, 0%,

&. ara I"plisit (&ack*ard)


t

y

x

y

∂∂

=∂∂

$

$


53/57

Pada cara i"plisit% perhitungan pada interal *aktu + sa"pai +1

"enggunakan nilai pada *aktu +1 (&ack*ard). @engan de"ikian persa"aan

(9$3) &eru&ah "en+adi

( ) ,


54/57

erdasarkan Persa"aan (9$16) sa"pai (9$14)% "aka apa&ila nilai y pada indeks +

diketahui% "aka nilai y pada indeks +1 dapat dihitung. @ala" hal ii yi%+1

tidak &isa

dihitung secara langsung seperti cara eksplisist% tetapi &er&entuk "atriks

tridiagnal.

&1

y1.+1

c1

y,%+1

= d1

a,

y1%+1

&,

y,%+1

c,

y-%+1

= d,

a-

y,%+1

&-

y-%+1

c-

y%+1

= d-

?????????.....

aA$1

yA$,%+1

&A

yA

$1%+1

cA$1

yA%+1

= dA$1

aA

yA$1%+1

&A

yA%+1

= dA

Earena nilai y pada +=0 diketahui (yin)%

"aka nilai y pada +=1 dapat

dihitung. >etelah itu &erdasar nilai y pada +=1% nilai y pada +=, dapat

dihitung. @e"ikian seterusnya.



55/57

>uatu alu"iniu" &er&entuk ku&us dengan ukuran inci% "e"iliki sifat$

sifat !sis:

Ee!sien perpindahan panas knduksi% k= 0%06, cal/s.c".

Panas +enis = 0%,,F cal/g.

apat ρ = ,%4 g/c"-

>uhu a*al pada se"ua per"ukaan adalah 1000 R. >e"ua per"ukaan

diislasi kecuali satu per"ukaan "e"ungkinkan ada pans yang hilang yang ditulis

dengan persa"aan: h.#(L$L) dengan h=tu/s.ft,.R% #% ft,% L R% L suhu Yuida yang

nilainya tetap 40 R.

agi"ana distri&usi suhu pada ku&us terse&ut.

@isusun persa"aan nerca panas:

Eeadaan &atas:

I (Initial nditin) : L(x%0) = 1000

(undary nditin) : )27.(...7

−=−

=

U Ahdx

dU Ak

x

7..,

=−

= xdx

dU Ak (karena sisi x= diislasi)


c

k

t

U

x

U

ρ α

α

=

∂∂

=∂∂ "

$

$


56/57

Ingat satuan harus knsisten:

Ee!sien perpindahan panas knduksi% k= 0%06, cal/s.c". = 0%00,51 tu/inci.s.R

Panas +enis = 0%,,F cal/g. = 0%,,F tu/l&/R

apat ρ = ,%4 g/c"- = 0%0546 l&/inci-

( ) $," ji, j-",-i

$

$


57/57

c. >edia*an% H.. dan Prasety% #% ZPe"delan ;ate"atis dan PenyelesaianAu"eris idang eknik Ei"ia[% #ndi Cfset% gyakarta.

Documents

Diktat Mateter 2 2013