Dimensin fractal 1

Dimensin fractal

Ejemplo de estimacin de la dimensin de Hausdorff-Besicovitch para la costa de granBretaa.

En geometra de fractales, ladimensin fractal, es un nmeroreal que generaliza el concepto dedimensin ordinaria para objetosgeomtricos que no admiten espaciotangente.

La dimensin fractal es un exponenteque da cuenta de cun completamenteparece llenar un fractal el espacioconforme se ampla el primero haciaescalas ms y ms finas. No existe unanica dimensin fractal sino una seriede dimensiones que frecuentementeresulta equivalentes pero no siempre.Entre estas definiciones est la dimensin de Hausdorff-Besicovitch, la dimensin de la dimensin deempaquetamiento, la dimensin de homotecia y las dimensiones de Rnyi. Ninguna de estas dimensiones debera sertratada como universal, ya que a veces la discrepancia entre ellas est asociada a diferencias en la estructura internadel fractal. Aunque para un buen nmero de fractales clsicos los valores de las diferentes definiciones de dimensinfractal todas estas dimensiones coinciden, en general no son equivalentes.

En la prctica algunas definciones de dimensin fractal resultan ms sencillas de calcular, y por eso son msampliamente usadas, aunque no siempre tienen las propiedades matemticas ms deseables. Por ejemplo ladimensin de conteo de cajas o de dimensin Minkowski-Bouligand y la dimensin de correlacin son ampliamenteusadas en la prctica, por su fcil implementacin algortmica.Por ejemplo, la dimensin del copo de nieve de Koch tiene una dimensin topolgica de uno, pero no puede sertratada como una curva; la longitud entre cualesquiera dos puntos en el fractal (dada por la medida de Lebesgue) esinfinita. Ningn segmento del fractal tiene parecido a una lnea, pero tampoco tiene parecido a una parte de un plano.En cierta forma se podra decir que es demasiado grande para poder ser considerada como un objeto unidimensional,pero es demasiado fina para ser considerada un objeto bidimensional. Esto lleva a la pregunta de si su dimensin sedescribe mejor con un nmero entre uno y dos. sta es una manera simple de motivar la idea de dimensin fractal.

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Dimensin fractal 2

DefinicionesHay principalmente dos formas aproximadas para generar una estructura fractal. Una es hacerla crecer a partir de unobjeto y la otra es construir las divisiones subsecuentes de una estructura original como en el tringulo de Sierpinski(Fig.(2)).[1] En este caso se sigue la segunda aproximacin para definir la dimensin de las estructuras fractales.

Dimensin de homotecia

Fig.(1) Otra forma de definir la dimensin.[2]

Si se toma un objeto con un tamao linealigual a 1 en una dimensin euclideana ,y se reduce su tamao por un factor de en cada direccin espacial, se necesitan unnmero de objetos autosimilarespara cubrir el objeto original (Fig.(1)). Sinembargo, al despejar para D, la dimensindefinida por

.

es igual todava a su dimensin topolgica oeuclideana.[2] Aplicando la ecuacinanterior a una estructura fractal, se puedeobtener la dimensin de la misma (que esms o menos la dimensin deMinkowski-Bouligand) como un nmero noentero, como se esperaba.

donde es el nmero de estructuras autosimilares de lado lineal que se necesitan para cubrir toda laestructura.Por ejemplo, la dimensin fractal para el tringulo de Sierpinski (Fig.(2)) est dado por,

Fig.(2) Tringulo de Sierpinski.

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Dimensin fractal 3

Dimensin de informacinOtras cantidades dimensionales incluyen la dimensin de informacin que considera cmo se escala lainformacin promedio que se necesita para identificar una caja ocupada, conforme las cajas se vuelven mspequeas:

Dimensin de correlacinLa dimensin de correlacin es quiz la ms fcil de calcular. Para ello se genera un gran nmero de puntos alazar sobre una regin del espacio eucldeo que contenga al objeto fractal . Siendo el conjunto de puntosgenerados al azar el conjunto finito , se llamar al nmero de puntos caen sobre el fractal, esdecir, ; la dimensin fractal de correlacin viene dada por:

donde es el nmero de puntos utilizados para generar una representacin del fractal y es el nmero de pares depuntos que se encuentran ms cercanos uno al otro que , es decir:

Donde:

, es la funcin unitaria de Heaviside

Dimensiones de RnyiLas tres anteriores pueden verse como casos especiales de las dimensiones de Rnyi de orden , definidas como

El numerador es la llamada entropa de Rnyi de orden . La dimensin de Rnyi con =0 trata a todas las partes delatractor de manera similar, pero para valores ms grandes de se da un mayor peso en el clculo a las partes delatractor que son visitadas con mayor frecuencia. Puede demostrarse la siguiente relacin entre las dimensiones deRnyi:[3]

Un atractor para el cual las dimensiones de Rnyi no son todas iguales es conocido como un multifractal, o se diceque muestra estructura multifractal. Esto es una seal de que un comportamiento a escala diferente ocurre endiferentes partes del atractor.

Dimensin de Hausdorff-BesicovitchEsta caracterizacin de la dimensin fractal mediante la dimensin de Hausdorff-Besicovitch se basa en consideraruna cubierta abierta por o bolas abiertas (n-esferas) del conjunto fractal, es decir, para un fractal cotenido en el planoeucldeo se consideran crculos abiertos, y para una un fractal contenido en el espacio eucldeo tridimensional seconsideran esferas (para un fractal que sea un subconjunto de la recta real se emplean intervalos abiertos). De todoslos recubrimientos posibles se considera el nfimo formado por bolas de dimetro mayor igual que un cierto tamao

. Una vez computado ese nfimo se considera el lmite . Para ver como se define formalmente formalmente sedefine el contenido de Hausdorff como:

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimensi%C3%B3n_de_correlaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_unitaria_de_Heavisidehttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimensiones_de_R%C3%A9nyihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Entrop%C3%ADa_de_R%C3%A9nyihttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Multifractalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimensi%C3%B3n_de_Hausdorff-Besicovitchhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Bola_abierta

Dimensin fractal 4

Con la definicin anterior se cumple que el contenido de Hausdorff define una funcin del conjunto potencia de en los reales no-negativos (ampliados con el elemento ):

Para cualquier conjunto la funcin anterior tiene la propiedad interesante de ser nula para para e infinitapara . El valor es un real positivo es precisamente la dimensin de Hausdorff-Besicovitch, hecho quepuede formularse como:

Dimensin de empaquetadoEs similar a la dimensin de Hausdorff-Besicovitch pero se define a partir de empaquetamientos, en lugar de a partirrecubrimientos. Dada la medida s-dimensional de empaquetamiento , se puede comprobar que tal comosucede para la dimensin de Hausdorff-Besicovitch, existe un valor umbral s0, llamado dimensin de empaquetado(o dimensin de empaquetamiento), tal que:[4]

y Por esa razn se puede definir la dimensin de empaquetado simplemente como:

Obviamente de las propiedades de la medida de Hausdorff-Besicovitch y de la medida de empaquetamiento se sigueque:

Relacin entre dimensiones fractalesPara algunas de las anteriores dimensiones fractales ha podido probarse la siguiente serie de desigualdades:

Donde:es la dimensin topolgica que es siempre un entero.

es la dimensin de Minkowski-Bouligand o de conteo de cajas, a veces llamada dimensin deHausdorff.

es la dimensin de entropa o dimensin de Kolmogrov.es la dimensin de correlacin.es la dimensin de Rnyi de parmetro .es la dimensin de empaquetado.

es la dimensin de Hausdorff-Besicovitch que para los fractales clsicos suele ser un nmero irracional.es la dimensin del espacio eucldeo que contiene al fractal que tambin es un nmero entero.

Algunas aclaraciones: La primera desigualdad se conoce como desigualdad de Szpilrajn y es uno de los principales

resultados de la geometra fractal.[5]

Las desigualdades [3] son desigualdades entre las dimensiones de Rnyi, que son iguales para unfractal autosimilar a todas las escalas y difieren en el caso de objetos multifractales.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjunto_potenciahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimensi%C3%B3n_de_empaquetado%23Medida_de_empaquetamientohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimensi%C3%B3n_topol%C3%B3gicahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimensi%C3%B3n_de_empaquetadohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Dimensi%C3%B3n_de_Hausdorff-Besicovitchhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Multifractal

Dimensin fractal 5

Para un conjunto cerrado las dimensiones de Minkowski-Bouligand y Hausdorf-Besicovitch coinciden. Si un conjunto es no cerrado la dimensin de Hausdorff-Besicovitch puede diferir de las

otras dos, por ejemplo el conjunto de nmeros racionales del intervalo [0,1] tiene pero encambio tiene .

Propiedades de las dimensiones fractalesMuchas de las dimensiones fractales definidas anteriormente satisfacen todas o algunas de las siguientespropiedades, consideradas deseables para cualquier definicin de dimensin: Monotona bajo inclusiones. Si entonces . Conjuntos finitos. Si E es un conjunto finito entonces . Conjuntos abiertos. Si es un conjunto abierto entonces . Variedades difernciables. Si es una m-variedad diferenciable entonces . Aplicacin de Lipschitz. Si es una aplicacin de Lipschitz m-variedad diferenciable entonces

. Invariancia bi-lipschitz. Si es una aplicacin bi-Lipschitz (aplicacin Lipschitz con una inversa

que tambin es Lipschitz) entonces , es decir, la dimensin fractal es un invariantebajo la transformacin inducida por una aplicacin bi-Lipschitz. Esta propiedad es consecuencia de la anterior.

Invariancia geomtrica. Si es una similaridad o una aplicacin afn entonces, ya que toda similaridad o afinidad es bi-Lipschitz.

Estimacin de la dimensin fractal en la prcticaLos clculos de dimensiones fractales descritos arriba se obtienen a partir de fractales definidos formalmente. Sinembargo, ciertos fenmenos y objetos de la vida real pueden mostrar propiedades fractales, por lo que puede ser tilobtener la dimensin fractal de un conjunto de datos de una muestra. El clculo de la dimensin fractal no se puedeobtener de forma exacta sino que debe estimarse. Esto se usa en una variedad de reas de investigacin tales como lafsica,[6] anlisis de imagen,[7] acstica,[8] ceros de la funcin zeta de Riemann[9] e incluso procesoselectroqumicos.[10]

Las estimaciones prcticas de las dimensiones fractales son muy sensibles al ruido numrico o experimental, yparticularmente a las limitaciones en la cantidad de datos. Cualquier afirmacin basada en estimaciones dedimensiones fractales deben tomarse con cuidado puesto que hay un lmite superior inevitable, a menos que sepresenten cantidades muy grandes de datos. Computacionalmente los ms sencillos de implementar son el contaje deceldas (box counting) y la dimensin de correlacin (basada en generar un nmero de puntos aleatorios en unentorno del fractal y medir cuantos de ellos caen sobre el conjunto fractal). Otra tcnica que se ha hecho popular es lamedicin del espectro de potencia de la transformada de Fourier de una imagen del objeto fractal.

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjunto_cerradohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjunto_abiertohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Aplicaci%C3%B3n_de_Lipschitzhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ra%C3%ADz_de_una_funci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_zeta_de_Riemannhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Espectro_de_potencia

Dimensin fractal 6

Referencias Este artculo fue creado a partir de la traduccin del artculo fractal dimension de la Wikipedia en ingls,

concretamente de dimension esta versin [11], bajo la licencia Creative Commons Atribucin Compartir Igual 3.0Unported y la licencia de documentacin libre de GNU.

Notas[1][1] Fluctuations and Scaling in Biology. Edited by T. Vicsek, 2001[2] Fractals & the Fractal Dimension (http:/ / www. vanderbilt. edu/ AnS/ psychology/ cogsci/ chaos/ workshop/ Fractals. html)[3] Hentschel & Procaccia, "The infinite number of generalized dimensions of fractals and Strange Atractors", Physica D, Vol. 8, 1983, p.

435-44.[4][4] K. Falconer, 1997, p. 23[5] W. Hurewicz & H. Wallman, Dimension Theory, 1941, Chapter VII.[6] B. Dubuc, J. F. Quiniou, C. Roques-Carmes, C. Tricot, and S. W. Zucker, , Phys. Rev. A, 39 (1989), pp. 15001512.[7] P. Soille and J.-F. Rivest, On the validity of fractal dimension measurements in image analysis (http:/ / ams. jrc. it/ soille/ soille-rivest96. pdf),

Journal of Visual Communication and Image Rep- resentation, 7 (1996), pp. 217229.[8][8] P. Maragos and A. Potamianos, , The Journal of the Acoustical Society of America, 105 (1999), p. 1925.[9] O. Shanker (2006). Random matrices, generalized zeta functions and self-similarity of zero distributions. J. Phys. A: Math. Gen. 39:

pp.1398313997. doi: 10.1088/0305-4470/39/45/008 (http:/ / dx. doi. org/ 10. 1088/ 0305-4470/ 39/ 45/ 008).[10] Ali Eftekhari, Fractal Dimension of Electrochemical Reactions (http:/ / dx. doi. org/ 10. 1149/ 1. 1773583) Journal of the Electrochemical

Society, 2004, 151 (9), E291 E296.[11] http:/ / en. wikipedia. org/ wiki/ fractal

Bibliografa Mandelbrot, Benot B., The (Mis)Behavior of Markets, A Fractal View of Risk, Ruin and Reward (Basic Books,

2004) Falconer, Kenneth (1985) (en ingls). The Geometry of Fractal Sets. Cambridge University Press. Falconer, Kenneth (1997). 2. Review of fractal geometry (en ingls). Techniques in Fractal Geometry. John

Wiley & Sons. pp.19-40. ISBN 0 471 95724 0. Falconer, Kenneth (2003) (en ingls). Fractal Geometry: mathematical foundations and applications (2 edicin).

John Wiley & Sons.

http://en.wikipedia.org/wiki/fractal_dimensionhttp://en.wikipedia.org/wiki/fractalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Creative_Commonshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Creative_Commonshttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Licencia_de_documentaci%C3%B3n_libre_de_GNUhttp://www.vanderbilt.edu/AnS/psychology/cogsci/chaos/workshop/Fractals.htmlhttp://ams.jrc.it/soille/soille-rivest96.pdfhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Digital_object_identifierhttp://dx.doi.org/10.1088%2F0305-4470%2F39%2F45%2F008http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Ali_Eftekharihttp://dx.doi.org/10.1149/1.1773583http://en.wikipedia.org/wiki/fractalhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Beno%C3%AEt_Mandelbrothttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=ISBNhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Especial:FuentesDeLibros/0_471_95724_0

Fuentes y contribuyentes del artculo 7

Fuentes y contribuyentes del artculoDimensin fractal Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=56376188 Contribuyentes: Davius, Gato ocioso, Grillitus, Gsrdzl, Rafandalucia, 4 ediciones annimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Great Britain Hausdorff.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Great_Britain_Hausdorff.svg Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0Contribuyentes: ProkofievArchivo:Fractaldimensionexample.PNG Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Fractaldimensionexample.PNG Licencia: Public Domain Contribuyentes: Brendan Ryan.Original uploader was Nazlfrag at en.wikipediaArchivo:sierpinski dimension.svg Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Sierpinski_dimension.svg Licencia: Public Domain Contribuyentes: Twisp

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