DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE VIGAS DE SEÇÃO T

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DIMENSIONAMENTO TIMO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO COM SEO T Ana Beatriz C. e Silva, Gines A. S. Falcn, Sergio L. G. GarciaUniversidade Estadual do Norte Fluminense, Laboratrio de Engenharia Civil, Avenida Alberto Lamego, 2000 Parque Califrnia, CEP: 28013-602, Fax: +55 22 27397047, Campos dos Goytacazes, RJ, Brasil abeatrizcs@gmail.com gines@uenf.br liluiser@uenf.br Palavras chave: Otimizao estrutural, Concreto armado, Vigas reforadas. Resumo.Umtemadefundamentalimportnciaparaaindstriadaconstruocivila reduodecustosnaobra.Assim,autilizaodetcnicasdeprojetotimodeestruturas estsetornandocadavezmaisfreqente,principalmentenodimensionamentotimode vigas e pilares de concreto armado utilizados em edificaes modernas. Neste contexto, este artigoapresentaumametodologiaparadimensionamentotimodevigasdeconcreto armadocomseoT,submetidasflexosimples.Nomodelodeotimizaoproposto, objetiva-sereduziraomnimopossvelocustodefabricaodaviga.Combaseno comportamentomecnicodaviga,buscam-seconfiguraesqueaproveitemcommxima eficincia as caractersticas do ao e do concreto, ou seja, o modelo gera solues prximas aolimiteentreosdomnios3e4ondeoconcretoestemiminenterupturaeoao encontra-seemescoamento.AsdimensesprincipaisdaseotransversaldavigaTeas reasdasarmadurasnaszonasdetraoedecompressosoconsideradasvariveisde projeto,comlimiteslateraisadotadossegundocritriosarquitetnicosenormasusuais.As restriesdeprojetoconsideradasverificamofuncionamentodaviganodomniomais eficientepormeiodaposiodalinhaneutra,almdeoutrasrestriesmecnicase geomtricas.Adicionalmente,foidesenvolvidaumametodologiaiterativaparaanliseda vigaque,combasenoestadolimiteltimodaseocrtica,possibilitaadeterminaoda posiodalinhaneutraedomomentoresistente,deformaautomticaparaqualquer configurao corrente da seo. O problema de otimizao foi implementado utilizando-se o mtododeProgramaoQuadrticaSeqencial.Apartirdeumdadomomentofletor solicitante, os cdigos computacionais implementados permitem o dimensionamento timo da seo. Os resultados obtidos mostram que os custos de fabricao das vigas so bastante competitivos em relao aos projetos usuais. Mecnica Computacional Vol XXIX, pgs. 9217-9230 (artculo completo)Eduardo Dvorkin, Marcela Goldschmit, Mario Storti (Eds.)Buenos Aires, Argentina, 15-18 Noviembre 2010Copyright 2010 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.ar1INTRODUO Atualmente,aindstriadaconstruocivilvemsedesenvolvendo aceleradamente.Comrelativafreqnciasodivulgadasnovidadesno desenvolvimentodenovasmetodologiasrelacionadasaodimensionamentoe projeto estrutural, bem como novas tcnicas construtivas. Areduodocustodefabricaodecadaumdoselementosestruturaisde uma construo em concreto armado traz uma economia significativa no custo final da obra. Alm disso, a produo em grande escala de elementos pr-moldados de grandeinteresseparaomercadodaconstruocivil,umavezqueestapode disponibilizar produtos de qualidade superior e de menor custo.Oselementosestruturaisemconcretoarmadoapresentamum comportamento no-linear devido associao do comportamento mecnico do ao edoconcreto.Enquantooconcretoresistebemcompressoedeficientena trao,oaocomplementaoconcretodemodoideal,porpossuirumaboa resistnciatantotraocomotambmcompresso,comoilustradonaFig.1, ondefydatensodeescoamentodoao,fcdaresistnciacompressodo concreto(valordeclculo), cc adeformaodoconcretoe sc ,adeformaodo ao. Figura 1: Diagramas tenso-deformao do ao e do concreto. No projeto de vigas em concreto armado submetidas flexo simples, diversas configuraessopossveis.Noentanto,existeumaondeosdoismateriaisso aproveitados ao mximo o ao escoa e o concreto chega a sua iminente ruptura. A estaconfiguraod-seonomedesoluotima.Portanto,aidentificaodesta configurao tima assunto de grande relevncia na Engenharia Civil.Almdisso,vigascomseoTsoelementoscadavezmaisutilizadosem estruturas como lajes macias e nervuradas, galpes industriais, vigas de pontes etc. Naconstruocivil,emgeral,avigamoldadamonoliticamentecomalajee, portanto,aseodavigaconstitui,narealidade,umaseoTaoinvsdeuma simplesseoretangular.Poroutrolado,aseoTpodeserconsideradamais A. E SILVA, G. FALCON, S. GARCIA 9218Copyright 2010 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.areficiente que a seo retangular, devido ao fato de que a seo T reduz a quantidade de concreto na zona tracionada da viga, onde este ineficiente. Nosltimosanos,diversosestudosreferentesotimizaodepeas estruturais de concreto armado foram publicados: CHAKRABARTY (1992), ZIELINSKI et al.(1995),RATHetal.(1999).Noentanto,amaioriadelesdestinadaavigascom sees retangulares e raramente se dedicam a vigas de seo T, como em FERREIRA etal.(2003),queapresentaramummodeloparamaximizaodomomentofletor, utilizando como varivel de projeto a razo entre a rea de ao comprimido e a rea de ao tracionado.OsmtodosclssicosdeotimizaobaseadosemProgramaoMatemtica partemdeumaconfiguraoiniciale,iterativamente,estasoluomelhorada. Atravs desta tcnica, calculada uma direo de busca e o quanto se deve andar nestadireoenecessriooclculodosgradientesdasfunesquecompemo modelo de otimizao.Umacaractersticaimportantedestastcnicasqueelasconvergem rapidamenteparaasoluotima,porm,comadesvantagemdenogarantirem umasoluoglobaldoproblemamultimodal,ouseja,quandoacurvapossuivrios extremos. Nestecontexto,esteartigopropeaimplementaodeumametodologia paraprojetotimodevigasdeconcretoarmadocomseoT,submetidasflexo simplesutilizando-seoalgoritmodeProgramaoQuadrticaSeqencial,coma finalidade de minimizar o custo total de fabricao. Noproblemadevigasdeconcretoarmadosubmetidasflexosimples,o dimensionamentoqueapresentaresultadosmaiseconmicosaquelecujaposio dalinhaneutraseencontraprximafronteiradosdomnios3e4dedeformao, ou seja, quando o concreto est na iminncia da ruptura e o ao est em escoamento gerando,portanto,umarupturacomavisoprvioapartirdedeslocamentose fissuraes visveis. Assim,nestetrabalho,odimensionamentotimorealizadoexigindo-se, atravsdeumarestriodeprojeto,queaposiodalinhaneutraseencontre prxima a esta fronteira, considerando que este seja o comportamento mecnico que leva configurao tima do problema.Comosesabe,paraomesmomomentofletoratuante,assoluescom armaduraduplarequeremumamaiorreatotaldeaodoqueassoluescom armaduras simples. Assim, espera-se, neste trabalho, que a soluo de custo mnimo paraoestadodeformacionalltimosejaobtidacomarmaduramnimadeao comprimido. Almdisso,acadaiteraofeitaumaanliseestruturaldavigaapartirde valoresdasvariveisdeprojetocorrentesafimdeobterrespostasmecnicas atuantesnaviga,comovaloresdastensesnasarmadurasdetraoede compresso, posio da linha neutra e momento resistente ltimo da seo.Mecnica Computacional Vol XXIX, pgs. 9217-9230 (2010) 9219Copyright 2010 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.ar2 CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DA SEO T A geometria da seo T da estrutura em concreto armado mostrada na Fig. 2: Figura 2: Geometria da seo T.Sendo hfa altura da mesa, bfa largura da mesa, bw a largura da nervura, d a alturatil,aadistnciadocentrodegravidadedaarmaduraatabordamais tracionada, As a rea da armadura de trao e As a rea da armadura de compresso. 3 MODELAGEM DO PROBLEMA DE OTIMIZAO De maneira geral, o processo de otimizao de estruturas segue iterativamente o esquema mostrado na Fig. 3. Figura 3: Esquema geral de otimizao estrutural. Nesteesquema,considera-seque,apartirdeumaconfiguraoinicial(Xk), obtm-se uma configurao melhorada (Xk+1) por meio de um processo iterativo que integra dois mdulos de clculo importantes. No mdulo de anlise estrutural, a cada A. E SILVA, G. FALCON, S. GARCIA 9220Copyright 2010 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.ariterao so calculadas as respostas mecnicas atuantes na estrutura.Enquanto que, nomdulootimizadorsodefinidasnovasconfiguraesquereduzemovalordo objetivo e que, na soluo, verificam todas as restries impostas ao modelo. Utilizandotcnicasdeprogramaomatemticaasoluodoproblema consiste,basicamente,emidentificaraconfiguraoquesejaomximooumnimo da funo objetivo e que satisfaa todas as restries do projeto, como segue minimizar( ) x f sujeito a ( ) ; 0 s x gim i ,..., 1 =(1) ( ) ; 0 = x hj p j ,..., 1 =

b bu x l s sOnde( ) x f ,( ) x g e( ) x h sofunesdiferenciveisnonecessariamente linearesemep soosnmerosderestriesdedesigualdadeedeigualdade, respectivamente. Neste algoritmo baseado no Mtodo de Programao Quadrtica Seqencial, a funo objetivo ( ) x f substituda por uma aproximao quadrtica e as restries ( ) x g e( ) x h sosubstitudasporaproximaeslineares,TELESeGOMES(2010).A atualizao da matriz Hessiana aproximada pelo mtodo BFGS e os gradientes das funes so obtidos atravs do mtodo aproximado das diferenas finitas.Emparticular,nesteartigoapresentadaaformulaoparaoproblemade minimizaodocustodefabricaodevigasdeconcretoarmadodeseo transversalTconsiderandoumavigaisostticasimplesmenteapoiadacom carregamento homogneo distribudo, ou seja, o momento fletor positivo ao longo da viga.Asvariveisdeprojetonoprocessodeotimizaosod,As,As,bfehf.A funo objetivo o custo de fabricao da viga, onde so considerados os custos das armaduras,concretoeformas.Assim,nafunoobjetivoapresentadanaEq.(2), considerado o custo por unidade de comprimento: ( ) ( ) ( ) | | { } ( ) ( ) | |f f s s s c f w f fC b a d C A A C h a d b h b x f + + + + + + + = 2 ) ('(2) Onde:Ccocustodoconcretoporunidadedevolume,Csocustodoao por unidade de volume e Cf o custo da forma por unidade de rea. 3.1 Anlise estrutural da viga Nesta etapa realizado o processo de verificao da seo transversal, ou seja, efetuadooclculodomomentoresistenteltimoapartirdosdiversoscasos ilustradosnaFig.4.Apartirdesteprocesso,possvelcalcularaposiodalinha neutra ( x ) e as tenses nas armaduras de trao e de compresso da viga. Mecnica Computacional Vol XXIX, pgs. 9217-9230 (2010) 9221Copyright 2010 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.ar Figura 4: Diversos casos considerados na anlise da seo transversal da viga. Nos casos I, III e V, a seo se comporta como seo retangular de lar