Dina Mica

Anotac~oes sobre Meca^nica-Dina^mica.

Rodrigo Carlos Silva de Lima z

[email protected]

z

Sumario

1 Dina^mica 4

1.1 Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Segunda Lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3 Equac~oes horarias do M.U.V em func~ao de F e m. . . . . . . . . . . 9

1.1.4 Regra do paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.5 Soma de tre^s forcas com a^ngulos entre si de 120. . . . . . . . . . . 13

1.1.6 Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.1.7 Massa inercial(ou de repouso) e massa relativstica . . . . . . . . . 17

1.1.8 Terceira Lei de Newton-Lei da ac~ao e reac~ao . . . . . . . . . . . . . 20

1.2 Aplicac~oes das leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.1 Pe^ndulo co^nico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.2 Plano inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2.3 Forca sobre blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3 Energia meca^nica e conservac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.1 Unidades de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.2 Energia cinetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.3 Energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.4 Energia potencial gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.5 Energia potencial elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.6 Energia meca^nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.7 Sistema meca^nico conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.8 Princpio de conservac~ao de energia meca^nica . . . . . . . . . . . . 28

1.4 Quantidade de movimento e impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2

SUMARIO 3

1.4.1 Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5 Colis~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.6 Centro de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.7 Gravitac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.8 Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.8.1 1 lei de Kepler-Lei das orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.9 Lei de Newton da atrac~ao das massas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.9.1 Massa gravitacional e massa inercial . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.9.2 Estudo de movimento de satelites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.9.3 Velocidade de escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.10 Campo gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.11 Energia potencial gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.12 Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Captulo 1

Dina^mica

Esse texto ainda n~ao se encontra na sua vers~ao nal, sendo, por enquanto, cons-

titudo apenas de anotac~oes informais, n~ao tendo sido ainda revisado, ent~ao leia com

cuidado e atenc~ao a possveis erros, Sugest~oes para melhoria do texto, correc~oes da

parte matematica ou gramatical eu agradeceria que fossem enviadas para meu Email

[email protected]:

m Denic~ao 1 (Cinematica). Estudo o movimento e propriedades, mas n~ao modelasuas possveis causas.

m Denic~ao 2 (Dina^mica). A dina^mica e o estudo da relac~ao entre os movimentos doscorpos e as causas desses movimentos .

1.1 Leis de Newton

m Denic~ao 3 (Partcula livre). Uma partcula e dita ser livre, se ela esta sujeita ainterac~ao resultante nula . Na pratica pode n~ao existir particula livre, porem podem existir

partculas que se aproximam de tal conceito, caso suas interac~oes sejam consideradas

desprezveis , como por exemplo partculas muito afastadas uma das outras, ou tambem

caso as interac~oes com outras partculas se cancelem , dando uma interac~ao resultante

nula.

4

CAPITULO 1. DINA^MICA 5

1.1.1 Primeira Lei de Newton

b Propriedade 1 (Primeira Lei de Newton - Lei da inercia). Todo corpo em re-pouso ou em MRU (movimento retilneo uniforme) continua nesses estados a menos

que seja obrigado a altera-los por forcas aplicadas sobre ele.

Toda partcula livre possui velocidade constante, isto e, sua acelerac~ao e nula.

Tal armac~ao e chamada Lei de Newton, pois teria sido primeiramente enunciada por

Isaac Newton (1642 1727) .

As forcas a princpio se classicam em duas categorias:

Forcas de contato, que precisam de proximidade do objeto para atuar, como por

exemplo forcas geradas ao se puxar ou empurrar objetos.

Forcas de ac~ao a dista^ncia, chamadas tambem de forcas de campo. Por exemplo a

forca que a Terra exerce sobre um obejto largado a certa altura.

Alem disso forca e grandeza vetorial.

$ Corolario 1. Se uma partcula livre possui velocidade constante n~ao nula, ent~aoela se move em linha reta .

Se uma partcula livre possui velocidade constante nula, ent~ao ela esta em repouso

.

Portanto uma partcula livre se move em linha reta ou esta em repouso .

Se uma partcula esta sob a ac~ao de varias forcas cuja resultante e zero, ent~ao ela esta

ou em repouso ou em movimento retilneo uniforme.

Z Exemplo 1 (Bloco sobre uma mesa). Observamos que um bloco sobre uma mesa,empurrado com velocidade constante v0, desliza com velocidade decrescente ate parar.

Pela lei da inercia se n~ao houvesse alguma forca aplicada sobre o bloco, ele se moveria

com velocidade constante. Porem, em geral temos a forca de atrito e resiste^ncia do ar,

que atuam sobre o bloco modicando sua velocidade, ate que ele pare.


Forca de atrito e causada em geral pelo fato da superfcie em que se desloca ser

aspera.

Podemos observar que quanto mais polida e uma superfcie, maior o deslocamento

do bloco, considerando todas outras variaveis constantes.

A resite^ncia do ar pode ser eliminada fazendo a experie^ncia no vacuo.

Z Exemplo 2 (Inercia e trem desacelerando ). Se um trem antes de movimentandoem velocidade constante posteriormente freia, as pessoas dentro dele por inercia tendem a

continuar com o movimento de velocidade constante e por isso s~ao projetada para frente

em relac~ao ao trem.

Z Exemplo 3 (Inercia e trem acelerando). Se um trem parado, comeca a acelerar,pessoas dentro dele, por inercia, tendem a se manter em repouso, logo v~ao se sentir,

projetadas para tras em relac~ao ao trem.

Z Exemplo 4 (Carro em curva). Um carro se movendo em movimento retilneouniforme faz uma curva em uma estrada, os objetos dentro dele, por inercia, tendem a

manter o movimento retlneo uniforme, por isso, se, por exemplo, a porta estiver aberta

algum objeto pode ser projetado para fora do carro.

m Denic~ao 4 (Referencial inercial). Movimento e um conceito relativo, portantoao enunciar a lei da inercia, devemos indicar a qual sistema de refere^ncia o movimento

da particula livre e referido. Iremos admitir que o movimento de uma partcula livre

e relativo a um observador, sistema ou partcula que sejam tambem livres, isto e, n~ao

estejam sujeitos a interac~oes com outras partculas do universo. Tal tipo de referencial e

chamado de referencial inercial .

Os referenciais em que a lei da inercia vale s~ao chamados referenciais inerciais.

$ Corolario 2. Sistemas inerciais de refere^ncia n~ao giram, pois existe^ncia de rotac~aoimplicaria em acelerac~ao, devida a variac~ao de direc~ao do vetor velocidade.


Z Exemplo 5 (Terra e referencial inercial). Devido a sua rotac~ao em torno do seueixo e interac~ao gravitacional com o Sol e outros planetas do sistema solar, a Terra n~ao

e um sistema inercial de refere^ncia. Porem em alguns casos, pode-se considerar o efeito

de rotac~ao da Terra e sua interac~ao gravitacional com outros planetas desprezveis e por

isso pontos na Terra serem considerados aproximadamente referenciais inerciais.

Z Exemplo 6 (Sol e referencial inercial). O sol tambem n~ao e um referencial inercialpor sua interac~ao gravitacional com , por exemplo, os planetas do sistema solar e seu

movimento orbital em torno do centro da nossa galaxia , Via lactea . O movimento do

Sol possui menor curvatura que o movimento da Terra ( pois o raio medio do movimento

do Sol e muito maior que o da Terra, portanto a semelhanca do Sol a um referencial

inercial e muito maior . A acelerac~ao orbital da Terra seria cerca de 150 milh~oes de vezes

maior que a do Sol .

m Denic~ao 5 (Massa de repouso- denic~ao operacional). A denic~ao operacional demassa de repouso, e de um numero que atribumos a um corpo A, sendo esse numero

obtido pela comparac~ao do corpo A com um corpo tomado como padr~ao B, usando o

prncpio de uma balanca de bracos iguais, isto para os corpos A e B supostamente em

repouso .

z Observac~ao 1. Pela denic~ao anterior, n~ao sabemos se a massa sera a mesma se apartcula estiver em movimento ( acelerado ou n~ao ), ou se depende da velocidade de um

corpo dado certo referencial . Por isso damos o nome anterior de massa de repouso , em

outras ocasi~oes seria possvel o valor da massa variar.

Em nossa analise iremos considerar que a massa seja independente do movimento,

para valores de velocidade muito pequenas comparado com a velocidade da luz , faremos

uma discuss~ao sobre isso em outra sec~ao do texto.

m Denic~ao 6 (Momento linear ou quantidade de movimento).

!p = m:!v

O momento linear de uma partcula e o produto da sua massa pela sua velocidade.


A lei da inercia pode ser descrita se usando o conceito de quantidade de movimento .

b Propriedade 2 (Lei da inercia). Uma partcula livre possui quantidade de movimentoconstante em func~ao do tempo .

1.1.2 Segunda Lei de Newton

m Denic~ao 7 (Forca). Seja p = mv a quantidade de movimento de uma partcula A,denimos que a forca resultante F na particula A como

F =dp

dt:

b Propriedade 3 (Segunda Lei de Newton). Seja !F a resultante de todas as forcasque atuam sobre um ponto material de massa m, ent~ao

!F = m:!a ;

onde !a e a acelerac~ao do ponto material. A forca e a acelerac~ao s~ao grandezas vetoriais,a unidade da forca e dada em (N) newtons e da acelerac~ao em m=s2. Temos que a forca

e a acelerac~ao tem o mesmo sentido. A massa m e tambem chamada de massa inercial ou

coeciente de inercia, considerada constante em relac~ao ao tempo neste caso.

A segunda lei de Newton, tambem e chamada de lei fundamental da Dina^mica ou

princpio fundamental da Dina^mica.

m Denic~ao 8 (Unidade de medida newton). Um newton e a intensidade de uma forcaque, aplicada a um ponto material de massa 1kg, produz acelerac~ao no ponto, cujo modulo

e 1m/s2 .

m Denic~ao 9 (Massa inercial). O valor de massa m, que aparece na express~ao daquantidade de movimento

p = mv

e chamada de massa inercial .


Demonstrac~ao. Se considerarmos que a massa n~ao varia com o tempo, temos

F =d!pdt

= m:d!vdt

= m:!a

logo

m:!a = !F :Equivalentemente, se denimos F = m:a com m constante, ent~ao F =

dp

dtpois

dp

dt=

dmv

dt= m:a .

Caso a massa n~ao seja constante em relac~ao ao tempo tal identidade pode n~ao valer

p = m(t):v(t)) dpdt

= m0(t)v(t) +m(t)v0(t) = m0(t)v(t) +m(t)a(t)

que sera igual a m(t)a(t), m0(t)v(t) = 0:

$ Corolario 3. Se a massa e constante e o movimento retilneo, temos ~F = m:~a: e da~F e ~a possuem o mesmo sentido.

1. Se ~F possui o mesmo sentido de ~v; ent~ao ~a possui o mesmo sentido de ~v: E nesse

caso dizemos que o movimento e acelerado.

2. Se ~F possui sentido contrario de ~v; ent~ao ~a possui o mesmo sentido contrario de ~v:

E nesse caso dizemos que o movimento e retardado.

1.1.3 Equac~oes horarias do M.U.V em func~ao de F e m.

Z Exemplo 7. Suponha um movimento uniformemente acelerado, retilneo, com F =m:a, temos

F

m= a; da as equac~oes horarios cam como

v = v0 +F

mt; s = s0 + v0t+

F

2mt2:

E da equac~ao de Torricelli

v2 = v20 + 2F

ms:

Dados v; v0; s e m, podemos deduzir F ,

[v2 v20]:m2s

= F:


Z Exemplo 8 (FUVEST-SP. Quest~ao Generalizada). Um corpo de massa m move-sesem atrito num plano horizontal, sob a ac~ao de uma forca horizontal de intensidade F . No

instante t0 sua velocidade v(t0) e no instante t1, sua velocidade e v(t1), valor conhecido.

Qual e o valor de t1 t0 ? .

Temos que v(t) = v(t0) +F

m(t t0); logo com t = t1 segue que

[v(t1) v(t0)]mF

= t1 t0:

Outra informac~ao que podemos tirar e, dados t1; t0, v(t1); v(t0) e m, supondo a forca

constante, o movimento em um plano horizontal em trajetoria retilnea, podemos deduzir

F , pois da equac~ao anterior

[v(t1) v(t0)] mt1 t0 = F:

Z Exemplo 9 (Corpo freando, dados v0; m; F , deduzimos s e t ate parar.).Suponha que um corpo se move em movimento retilneo uniforme com velocidade inicial

v0, possuindo massa m, a partir do instante t = 0 se aplica no corpo uma forca constante

F de sentido contrario ao movimento da partcula, em qual instante a partcula para?

Temos que F = m:a, onde a e o modulo da acelerac~ao, da a =F

m: Da equac~ao horaria

temos que v = v0 at, da v = 0 implica v0 = at)

t =v0a

=m:v0F

:

Portanto

t =m:v0F

:

Se quiseremos saber a dista^ncia percorrida ate o corpo parar, usamos a formula de

Torricelli, com os dados do problema

v2 = v20 2as) s =v202a

=v20m

2F:

Tal resultado tambem pode ser obtido usando s = s0 + v0t at2

2:


Z Exemplo 10 (Dados v0; m; s ate parar deduzimos F constante e t ate parar).Um automovel de massa m, movendo-se inicialmente com velocidade de v m/s e freado

uniformemente e para apos s m. Quanto vale o intervalor de tempo de frenagem e o

modulo da forca resultante sobre o automovel durante a frenagem?

Temos que

v2 = v20 2as) V 20 = as) a =V 202s

;

disso tiramos a forca aplicada,

F = m:a = m:V 202s

:

Agora o tempo de frenagem deduzimos por v = v0 at;

v0 = at) t = 2v0sv20

=2s

v0:

Z Exemplo 11 (VUNESP-Generalizada). Dois corpos se equilibram quando colocadosem cada um dos pratos de numa balanca de bracos iguais. Em seguida um dos corpos

e acelerado por uma unica forca constante de intensidade F . Verica-se ent~ao que sua

velocidade varia de v m/s a cada t segundos. Qual o valor da massa do corpo que

cou na balanca?

Temos que a acelerac~ao e constante, ent~ao ela e igual a acelerac~ao media

a = am =v

t:

Pela segunda lei de Newton, temos

F = m:a = m:v

t) m = v

F:t:

E a massa dos dois corpos e igual, pois se equilibram na balanca.


1.1.4 Regra do paralelogramo

b Propriedade 4 (Regra do Paralelogramo). Considere duas forcas ~F1 e ~F2, formandoum a^ngulo entre elas. Ent~ao sendo F o modulo do vetor resultante da soma das forcas,

vale que

F 2 = F 21 + 2F1F2cos() + F22 :

Demonstrac~ao. Considere duas forcas ~F1 e ~F2, formando um a^ngulo entre elas.

Podemos arranjar o sistema de coordenadas de modo que

~F2 = (F2; 0);

ent~ao o vetor ~F1 sera dado por

~F1 = (F1cos(); F1sen());

A soma dos vetores se faz componente a componente

~F = ~F1 + ~F2 = (F1cos() + F2; F1sen());

e o modulo do vetor e dado por

F =qF 21 sen

2() + F 21 cos2() + 2F1F2cos() + F 22 =

qF 21 + 2F1F2cos() + F

22 :

Que da a regra do paralelogramo. Observe que usamos cos2(x) + sen2(x) = 1 e que dado

v = (x; y), seu modulo e dado por px2 + y2 = jvj:

$ Corolario 4. Sendo um corpo de massa m, submetido a duas forcas ~F1; ~F2, coma^ngulo entre elas, ent~ao sua acelerac~ao e dada por

a =F

m=

pF 21 + 2F1F2cos() + F

22

m:

$ Corolario 5. Supondo que o a^ngulo entre as forcas e 90, ent~ao a regra do paralelo-gramo fornece

F 2 = F 21 + F22 :

Que e uma forma do Teorema de Pitagoras.


Z Exemplo 12. Suponha que duas forcas F1 = F2 sejam perpendiculares e sabemoso valor da resultante F , sendo que temos a relac~ao F1 = cF2: Calcular o valor das forcas

componentes.

Pelo Teorema de Pitagoras temos

F =qF 21 + F

22 =

q(c2 + 1)F 22 ) F2 =

Fp1 + c2

:

Z Exemplo 13 (PUCC-SP-Generalizada). Tre^s forcas s~ao aplicadas a uma partcula,de modo que a resultante e nula. Duas delas F1 e F2 s~ao perpendiculares entre si e suas

intensidades conhecidas. Calcule a intensidade da terceira forca.

A intensidade da terceira, deve ser igual a intensidade da soma das duas primeiras,

pois a resultante e nula. F =qF 21 + F

22 , se n~ao fossem perpediculares, deveria serq

F 21 + 2F1F2cos() + F22 .

1.1.5 Soma de tre^s forcas com a^ngulos entre si de 120.

Z Exemplo 14. Apenas tre^s forcas de mesma intensidade est~ao aplicadas sobre umcorpo, sendo 120 o grau entre cada uma delas. Qual o valor da forca resultante?

Colocamos a primeira forca sobre o eixo x e as outra rotacionadas, a primeira

sendo descrita por ~F1 = (F; 0), a segunda por ~F2 = (Fcos(120); Fsen(120)) =

(F2;Fp3

2), e a terceira por ~F3 = (Fcos(240

); Fsen(240)) = (F2;F

p3

2),

a soma das duas primeiras resulta em (F

2;Fp3

2), que se anula com a terceira

(F2;F

p3

2), portanto a resultante e nula.

Z Exemplo 15. Se um corpo esta submetido a forcas em sentido contrario, commesmo modulo, ent~ao o corpo esta em repouso ou movimento retilneo uniforme, pois a

resultante das forcas se anula em cada direc~ao.


Z Exemplo 16 (PUC-SP-Arremesso de peso). No arremesso de peso, um atleta giraum corpo rapidamente e depois o abandona. Se n~ao houvesse a inue^ncia da Terra, a

trajetoria do corpo apos ser abandonado pelo atleta seria de que tipo?

Seria retilnea, pois n~ao haveria mais forcas resultantes sobre o objeto, depois de

lancado, a gravidade n~ao seria considerada.

Z Exemplo 17 (VUNESP-SP-Cinto de seguranca). As estatsticas indicam que o usode cinto de seguranca deve ser obrigatorio para prevenir les~oes mais graves em motoristas

e passageiros no caso de acidentes. Fisicamente, a func~ao do cinto esta relacionada com

qual lei fsica?

Primeira lei de Newton, a lei da inercia, pois o corpo em movimento com certa velo-

cidade, tende a se manter com tal velocidade, quando o carro freia, o passageiro tende a

continuar com velocidade, por isso o efeito e ser arremessado para frente em relac~ao ao

carro.

Z Exemplo 18 (UNICAMP-SP-Generalizada). Dois objetos, A e B, equilibram-se,quando colocados em pratos opostos de uma balanca de bracos iguais. Quando colocados

num mesmo prato da balanca, eles equilibram um terceiro objeto C, colocado no outro

prato. Suponha ent~ao que sobre uma mesa horizontal sem atrito uma certa forca imprima

ao objeto A uma acelerac~ao de modulo a. Qual sera a acelerac~ao adquirida pelo objeto

C, quando submetido a essa mesma forca?.

Como A e B se equilibram, ent~ao possuem mesma massa, mA = mB, como C se

equilibra com mA +mB, ent~ao 2mA = mC . Aplicando a lei de Newton ao objeto

A, temos

F = mA:a;

aplicada ao objeto C, temos

F = 2mA:ac = mA:a) ac = a2;

ent~ao o corpo C, possui metada da acelerac~ao do corpo A, ao ser submetido a mesma

forca.


Z Exemplo 19. Uma forca de intensidade F , conhecida, e aplicada separadamentea n corpos, simbolizados por C1; ; Cn: Onde Ck possui acelerac~ao ak e massa aindadesconhecida. Se os corpos forem unidos, determine a acelerac~ao do sistema formado por

eles sob a ac~ao da mesma forca.

A forca aplicada ao corpo Ct, implica

F = mt:at ) mt = Fat;

onde at e a acelerac~ao do corpo Ct. Aplicadoao sistema temos

F =

nX

k=1

mk

!:a = F ) a = F

nPk=1

mk

;onde a e a acelerac~ao do sistema. Portanto

a =FnP

k=1

Fak

= 1nP

k=1

1ak

:Ent~ao a acelerac~ao do sistema em func~ao das acelerac~oes das componentes e dada

por

a =1

nPk=1

1ak

:E a media harmo^nica das acelerac~oes, dividido por n. Caso tenhamos dois corpos,

o resultado ca

a =a1:a2a1 + a2

:

Z Exemplo 20. Para que um carrinho de massa m adquira acelerac~ao de modulo a,e necessario que a forca resultante tenha modulo F . Qual e o modulo da forca resultante

para que um carrinho de massa c1m adquira uma acelerac~ao de modulo c2a ?

Temos que F = m:a, multiplicando por c1:c2, obtemos

c1c2F = c1m:c2a;

logo a forca deve ter modulo c1c2F:


b Propriedade 5 (Plano inclinado). Uma massa m lancada com velocidade v0 de umplano inclinado de inclinac~ao e comprimento l, sem atrito, atinge a base do plano com

velocidade v tal que

v2 = v20 + 2g(lsen()):

Demonstrac~ao. Decompomos a forca peso na sua componente normal ao plano

inclinado e F na direc~ao ao longo do plano, n~ao ha resultante na direc~ao da normal pois e

cancelada pela forca normal a resultante e apenas a forca F que tem valor F = mgsen() =

m:a logo a = gsen() aplicando na formula de Torriceli segue que v2 = v20 + 2g(lsen()):

$ Corolario 6. Como sen() = hl; lsen() = h, ent~ao a velocidade nal so depende

da altura n~ao dependendo da inclinac~ao ou comprimento. As velocidades adquiridas por

corpos descendo ao longo de planos de inclinac~oes diferentes s~ao iguais quando a altura

desses planos s~ao iguais.

1.1.6 Peso

b Propriedade 6. A Terra exerce uma forca de atrac~ao sobre qualquer corpo situadoem suas proximidades, tal forca se torna menor conforme a dista^ncia, sendo que, a grandes

dista^ncias, ela pode se tornar desprezvel. Tal acontece tambem com outros corpos no

lugar da Terra.

m Denic~ao 10 (Peso). A forca citada na propriedade anterior se chama peso do corpo,sendo representada por P . Um corpo, num dado local, com maior peso e chamado de

mais pesado e com menos pesado e chamado de mais leve.

m Denic~ao 11 (Forca gravitacional). A forca exercida pelos corpos na denic~aoanterior, e chamada tambem de forca gravitacional.

b Propriedade 7. Supondo apenas a forca gravitacional de modulo P , podemos aconsiderar constante em pequenas areas proximas ao corpo. Aplicando a Segunda Lei de

Newton, ao corpo atrado de massa m, temos que

P = m:a:


Tal valor a, depende do local.

m Denic~ao 12 (Acelerac~ao da gravidade). O valor a dado na propriedade anterior echamado de acelerac~ao da gravidade, simbolizado por g.

Z Exemplo 21. Para pontos proximos a superfcie da Terra temos g u 9; 8m/s2:

No Polo norte temos g u 9; 83 m/s2:

No equador temos g u 9; 78 m/s2:

Se levamos um corpo do polo norte para o equador, onde a acelerac~ao da gravidade

possui modulo menor, o peso desse corpo no equador tera um modulo menor, porem a

massa do corpo n~ao variou, o que variou foi seu peso, isto e, a forca de atrac~ao da Terra

sobre o corpo em func~ao da localidade.

Em exerccios, para simplicac~ao das contas, costuma-se adotar g = 10 m/s2:

b Propriedade 8. O peso (na Terra) tem a direc~ao de uma reta que passa aproxima-damente pelo centro da Terra e pelo corpo, e sentido para o centro dela. No caso mais

geral, para outros corpos, o sentido e dado em direc~ao ao centro de massa do corpo que

atra, assim como a direc~ao, dada por uma reta que passa pelo corpo atrado e pelo centro

de massa do corpo que atra.

b Propriedade 9. Tomara uma regi~ao sucientemente pequena proxima da Terra,podemos considerar, sem muito erro, que os pesos de varios corpos situados nessa regi~ao

possuem a mesma direc~ao, que e a vertical do lugar e o mesmo sentido, que e para baixo.

O mesmo funcionando para outros corpos com massa, tamanho muito superior aos objetos

atrados.

m Denic~ao 13 (Acelerac~ao normal da gravidade). O modulo de ~g num determinadoponto situado ao nvel do mar e na latitude 45 e denominado acelerac~ao normal da

gravidade, sendo denotado por gn e seu valor sendo aproximadamente

gn t 9; 80665 m/s 2


Z Exemplo 22. Considere um corpo de massa m = 100 kg, calcule seu peso na Terra,com gT = 9; 8 m/s

2 e na Lua com gL = 1; 6 m/s2 (Valores aproximados).

Na Terra PT = 9; 8:100 = 980 N .

Na Lua PL = 1; 6:100 = 160 N .

Conclus~ao: O corpo e mais leve na Terra.

Em geral, com um corpo de massa m

PT = m:9; 8; PL = m:1; 6:

Z Exemplo 23. Se um corpo possui peso P2 em um local L2 e P1 em outro L1,comP2 > P1 ent~ao a acelerac~ao da gravidade e maior em P2 que em P1, pois

P2 = mg2 > P1 = m:g1 ) g2 > g1:

Z Exemplo 24 (Elevador em movimento). Um elevador que pode se mover vertical-mente tem peso P , desprezando atrito nas guias, a forca de trac~ao exercida pelo cabo

tambem e P , ent~ao o elevador esta parada ou MRU.

1.1.7 Massa inercial(ou de repouso) e massa relativstica

m Denic~ao 14 (Massa relativstica). Denimos a massa relativstica mr de um corpocomo

mr =E

c2;

onde E e sua energia e c e o valor da velocidade da luz .

Energia e momento dependem dos sistema de refere^ncia, ent~ao isto tambem se aplica

a massa relativstica, que pela denic~ao acima e um tipo de energia, pois e energia di-

vidido pela constante c2, ela aumenta conforme a velocidade do corpo aumenta. Com

isso diferentes observadores podem discordar do valor da massa relativstica mr do corpo

.Por isso n~ao usaremos aqui massa relativstica como sino^nimo de massa, a denic~ao que

usaremos de massa garante a propriedade de que ela n~ao muda com a velocidade.


A massa relativstica e a massa possuem valores similares a baixas velocidades, ent~ao

s~ao usualmente iguais em eventos do nosso dia-a-dia .

b Propriedade 10. Vale que

E2 = (pc)2 + (mc2)2

onde E e a energia , p e o momento, m a massa inercial do objeto e c e o valor da

velocidade da luz, a massa m aqui tambem pode ser denotada por m0 . Vale tambem que

v =pc2

E:

Demonstrac~ao.

b Propriedade 11 (Propriedade da massa inercial , energia e momento). A massa iner-cial n~ao depende do observador , por isso tambem pode ser chamada de massa invariante.

Todos observadores concordam com a massa de um objeto, com essa denic~ao .

1. Se um objeto possui velocidade v = 0 em relac~ao a um observador , ent~ao vale que

E = mc2 e p = 0:

2. Se um objeto esta se movendo, relativo a um observador , ent~ao o observador pode

medir para o objeto que E > mc2 e momento p > 0: O excesso de energia e resultante

da presenca de movimento-energia.

Demonstrac~ao.

1. De p = mv temos p = 0 pois v = 0 logo E2 = (pc)2 + (mc2)2 se resume em

E2 = (mc2)2 ) E = mc2

pois ambas quantidades E e mc2 s~ao n~ao-negativas .

2. Neste caso v 6= 0 ent~ao p 6= 0 e da

E2 = (pc)2 + (mc2)2 > (mc2)2 ) E2 > (mc2)2 ) E > mc2:


$ Corolario 7. Com nossa denic~ao de massa (chamada de massa de repouso ou massainercial) E = mc2 vale apenas para um observador que n~ao esta se movendo com respeito

ao objeto . A denic~ao que adotamos de massa e independente do observador.

A adoc~ao dessa denic~ao pode garantir uma maior facilidade ao se tratar do conceito

de massa, vejamos alguns outros corolarios dessa denic~ao .

$ Corolario 8. 1. Foton n~ao possui massa e disso segue que sua velocidade e sempreigual a velocidade da luz, em geral isso valendo para qualquer partcula sem massa

.

De E2 = (pc)2+(mc2)2, para o foton, segue que E2 = (pc)2 ) E = pc usando agoraque v =

pc2

Esegue que v = c , isto e, o foton, possui mesma velocidade que a da

luz . Se fosse tomada a denic~ao de massa relativstica, ent~ao o Foton possuiria tal,

pois ele possui energia .

2.

3.

N~ao usaremos massa neste texto como massa relativstica, caso formos tratar dessa

ultima tentaremos deixar claro .

b Propriedade 12. Se uma partcula possui massa ent~ao sua velocidade e menor quea velocidade da Luz .

Demonstrac~ao. Temos que v =pc2

Ee E =

s(pc)2 + (mc2)2| {z }

>0

>p(pc)2 = pc

logo E > pc ) 1pc

>1

Emultiplicando essa ultima desigualdade por pc2 de ambos lados

(supondo aqui p 0 ), segue que

c =pc2

pc>pc2

E= v

portanto c > v e a velocidade e menor que a velocidade da luz .

Z Exemplo 25. Uma partcula chamada Neutrino possui massa, portanto sua veloci-dade e menor do que a velocidade da Luz.


b Propriedade 13. A massa de um corpo n~ao se altera se sua energia ou velocidadese alteram .

Tentaremos evitar o termo massa relativstica e usar massa sempre como signicado

de massa de repouso . Massa relativstica seria apenas um tipo de energia da partcula

renomeada.

1.1.8 Terceira Lei de Newton-Lei da ac~ao e reac~ao

b Propriedade 14 (Lei da ac~ao e reac~ao). Se um corpo A exerce uma forca em umcorpo B ent~ao o corpo B simultaneamente exerce uma forca de mesma magnitude no

corpo A, ambas as forcas possuindo mesma direc~ao porem sentidos opostos.

Em smbolos, se exerce ~F1 em B, ent~ao B exerce ~F2 em A, de maneira que

~F2 + ~F1 = 0; isto e ; ~F2 = ~F1:

As forcas aparecem aos pares, cada uma das forcas recebe o nome de ac~ao e reac~ao.

As forcas de ac~ao e reac~ao, podem ser de atrac~ao ou repuls~ao e agem sobre corpos

diferentes.

b Propriedade 15. Ac~ao e reac~ao possuem o mesmo modulo.

Demonstrac~ao. De ~F2 = ~F1; segue que

j ~F2j = j ~F1j = j ~F1j;

portanto possuem o mesmo modulo.

b Propriedade 16. Supondo dois corpos com massas m2 > m1, sendo a forcas resul-tantes em cada corpo corpo apenas o par ac~ao e reac~ao, ent~ao o corpo de menor massa

possui a maior acelerac~ao. Isso mostra que o fato de ac~ao e reac~ao terem o mesmo modulo,

n~ao implica que v~ao produzir acelerac~ao de modulos iguais.


Demonstrac~ao. Seja o par ac~ao e reac~ao, ~F1; ~F2: Considerando ac~ao e reac~ao

como forcas resultantes de modulo F e aplicando segunda lei de Newton nos dois corpos

F = m1:a1 = m2:a2 ) Fm1

= a1;F

m2= a2;

m2 > m1 ) 1m1

>1

m2) F

m1|{z}a1

>F

m2|{z}a2

;

portanto a1 > a2, o corpo com menor massa assume maior acelerac~ao.

Z Exemplo 26 (Astronauta no espaco). Considere uma astronauta no espaco, tal queno incio esteja em repouso em relac~ao a sua nave segurando sua mochila. Se ela joga

a mochila para frente, ela aplica sobre a mochila uma forca ~F , pelo princpio da Ac~ao e

Reac~ao a mochila aplica sobre ela uma forca de mesmo modulo, mesma direc~ao e sentido

oposto ao de ~F , tal forca faz com que ela se movimente para tras, podendo assim voltar

a sua nave.

Z Exemplo 27 (Terceira lei de Newton e o ato de andar). Considere uma pessoaandando, seu pe empurra o ch~ao para tras exercendo uma forca ~F , pelo princpio da Ac~ao

e Reac~ao, o ch~ao exerce no pe da pessoa uma forca de mesmo modulo, mesma direc~ao

e sentido oposto, a forca so consegue ser aplicada pois n~ao ha atrito, pois sem ele o pe

simplesmente escorregaria pelo ch~ao. O mesmo acontece, por exemplo, com automoveis

Z Exemplo 28 (Erro comum-Bloco sobre mesa e Ac~ao e Reac~ao, forca normal).Considere um bloco B em repouso sobre uma mesa. O bloco B sofre atrac~ao da Terra por

sua forca peso ~P e tambem sobre B se aplica uma forca normal ~N , com mesma direc~ao,

modulo e sentido oposto que ~P , porem tais forcas n~ao s~ao um par Ac~ao e Reac~ao, pois se

aplicam no mesmo corpo. A Reac~ao a normal ~N e uma forca ~N que se aplica sobre amesa.

Z Exemplo 29 (Forca normal). Considere um corpo com peso ~P em repouso, em quese aplica ~F na mesma direc~ao e sentido contrario ao peso, sendo que jP j > jF j; ent~ao anormal deve satisfazer

N + F = P;


por isso

N = P F:

b Propriedade 17. A forca normal e sempre perpendicular a superfcie de contato.Por esse fato ela e chamada de forca normal ou forca normal de apoio.

Z Exemplo 30. Dois blocos A e B em forma de cubo se encontram apoiados numplano horizontal sem atrito , sendo A encostado em B . Com os blocos em repouso,

aplica-se em A uma forca constante ~F paralela ao plano de apoio, sabendo que as massas

de A e B s~ao , respectivamente mA e mB. Desconsiderando a resiste^ncia do ar, calcule:

1. O modulo da acelerac~ao do sistema .

2. A intensidade da forca de contato entre os blocos .

1. Temos que F = (mA +mB)a logo a =F

mA +mB:

2. Sendo ~FAB a forca de A aplicada em B, temos que

FAB = a:mB ) FAB = FmA +mB

:mb:

FBA possui a mesma intensidade pela lei de ac~ao e reac~ao .

Z Exemplo 31. Dois blocos A e B em forma de cubo se encontram apoiados numplano horizontal sem atrito , sendo A e B interligados por um o ideal . Com os blocos

em repouso, aplica-se em A uma forca constante ~F paralela ao plano de apoio, sabendo

que as massas de A e B s~ao , respectivamente mA e mB. Desconsiderando a resiste^ncia

do ar, calcule:

1. O modulo da acelerac~ao do sistema .

2. A intensidade da forca de trac~ao no o .

1. Temos que F = (mA +mB)a logo a =F

mA +mB: Como no exemplo anterior.

2. A trac~ao no o possui intensidade igual a forca que acelera o bloco A,

T = mA:a = mA:F

mA +mB:


1.2 Aplicac~oes das leis de Newton

1.2.1 Pe^ndulo co^nico

m Denic~ao 15 (Pe^ndulo co^nico). O pe^ndulo co^nico e um sistema que consiste em umapartcula de massa m que gira em movimento circular uniforme descrevendo um crculo

de raio r suspensa por um o de comprimento l preso a um ponto xo O0 de tal maneira

que o o descreve a superfcie de um cone de a^ngulo de abertura com sen() =r

l.

Figura 1.1: Pe^ndulo co^nico

b Propriedade 18. Em um pe^ndulo co^nico temos

1. A velocidade linear e dada por

v =ptg()rg:

2. A trac~ao no o e dada por

T =mg

cos():


Demonstrac~ao.

Sejam w a velocidade angular do movimento circular uniforme, g a acelerac~ao da

gravidade no local. Temos uma forca sobre o o T ( tens~ao) e a forca gravitacional

F = mg, a forca resultante , soma das duas forcas, deve ser a forca centrpeta

F = mg + T:

1. Formando um tria^ngulo com o peso, tens~ao e centrpeta, temos tg() =F

mg=

(lembre que tangente e igual acateto oposto

cateto adjacente) mas a forca centrpeta e dada por

macp onde acp = w2r e a acelerac~ao centrpeta , substituindo na equac~ao anterior

temos

=mw2r

mg=w2r

g=

usando agora que v = wr, tem-se

=w2r

g=w2r2

rg=

v2

rg= tg()) v =

ptg()rg:

2. Ainda no tria^ngulo com o peso, tens~ao e centrpeta, temos que

cos() =mg

T

pois o cosseno e o cateto adjacente sobre hipotenusa do tria^ngulo, logo T =mg

cos():

1.2.2 Plano inclinado

b Propriedade 19. Na gura abaixo representamos um bloco em repouso sobre umplano inclinado. O coeciente de atrito estatico entre o bloco e o plano e . Supondo

que o bloco esteja na imine^ncia de movimento, vale que tg() = :

Demonstrac~ao. Tomamos o eixo x ao longo do plano inclinado. Decompomos

a forca peso em suas componentes Fx e Fy. Como n~ao temos movimento sobre o eixo y,

tem-se jN j = jFyj e a forca resultante esta ao longo do eixo x. O vetor p e parelalo aosegmento CA o vetor Fx e paralelo ao segmento CB (veja a gura). Portanto o a^ngulo

entre p e Fx e , o a^ngulo entre Fx e Fy e de 90 pois s~ao perpendiculares, sendo o a^ngulo

entre os vetores P e Fy v, temos no tria^ngulo ABC a soma dos a^ngulos ++90 = 180

e no tria^ngulo com as forcas + 90 + x = 180 portanto

+ + 90 = 180 = + 90 + x


Figura 1.2: Plano inclinado

o que implica x = como mostramos no esquema de forcas da gura.

Usando no tria^ngulo a relac~ao tg() =cateto oposto

cateto adjacente=jFxjjFyj tem-se

tg() =jFxjN

temos ainda que a forca resultante e dada por Fr = FxFat em repouso temos Fr = 0portanto jFatj = jN j = jFxj e da

tg() =jFxjN

=jN jN

= :

1.2.3 Forca sobre blocos

Z Exemplo 32. Suponha tre^s blocos com massas m1;m2;m3, colocados juntos orde-nadamente conforme seus ndices , uma forca F1 aplicada em m1 no sentido de m1 para

m3 e outra forca F2 aplicada em m3 no sentido de m3 para m1. Sendo o local onde est~ao

apoiados os blocos com coeciente de atrito , e jF1j > jF2j calcule a acelerac~ao do sistema.

A forca de atrito e dada por FAT = :N a normal no sistema considerando todos tre^s

blocos e de aproximadamente (m1+m2+m3):10 = N , onde aproximamos g = 10, ent~ao

a FAT = (m1 +m2 +m3):10:

A forca resultante e

Fr = F1 F2 FAT = F1 F2 (m1 +m2 +m3):10:;


usando a lei de Newton, temos que Fr = ms:a onde ms = m1 +m2 +m3 e a massa do

sistema

ent~ao temos

F1 F2 (m1 +m2 +m3):10: = (m1 +m2 +m3):a)

a =F1 F2

(m1 +m2 +m3) 10:

Suponha por exemplo F1 = 100 N , F2 = 50 N , m1 +m2 +m3 = 20, =1

10, logo

a =50

20 10 1

10= 2; 5 1 = 1; 5 m=s2:

1.3 Energia meca^nica e conservac~ao

b Propriedade 20. N~ao iremos denir o conceito de energia, mas iremos consideraralgumas de suas propriedades.

A energia pode se manifestar de diferentes formas como: energia termica, eletrica,

meca^nica entre outras.

A energia total do universo e constante.

A energia e de natureza escalar e pode ser representada por um numero, n~ao sendo

necessarias outras informac~oes, como direc~ao e sentido que caracterizam vetores em

Rn; n 3:

Z Exemplo 33. Alguns tipos de energia

Termica

Eletrica

Luminosa

Qumica


Meca^nica

Ato^mica

Potencial

Potencial elastica

Cinetica

1.3.1 Unidades de energia

m Denic~ao 16 (Unidade de energia). As unidades de energia s~ao as mesmas que detrabalho e pote^ncia. A unidade de energia no SI e o joule simbolizado por J: Algumas

outras unidades de energia s~ao as seguintes

Caloria simbolizada por cal, utilizada em feno^menos termicos. Vale 1 cal = 4; 19 J:

Quilowatt-hora, simbolizada por kWh, utilizada em eletrotecnica. Vale que 1 kWh =

3; 6:106 J:

Eletron-volt , simbolizada por eV , utilizada nos estudos do atomo. Vale que 1 eV =

1; 602:1019 J:

1.3.2 Energia cinetica

m Denic~ao 17 (Energia cinetica). Suponha xado um referencial. Uma partcula demassa m e velocidade v (em modulo) possui energia cinetica

Ec =mv2

2:

Lembrando que a massa deve ser dada em kg e a velocidade em m=s para que o

resultado seja em Joules.

$ Corolario 9. A energia cinetica e sempre positiva, pois m 0 e v2 0.


Z Exemplo 34. Um carro ocupado pode pesar cerca de 1500 kg se ele se move comvelocidade 100km=h = 28m=s ent~ao ele possui uma energia cinetica de aproximadamente588 000 joules. Se ele estiver a 60 km=h = 17m=s ent~ao ele possui uma energia cineticade aproximadamente 216 750 joules.

Um o^nibus grande lotado, pode pesar cerca de 18 toneladas, se ele se move a 60 km=h =17m=s ent~ao possui energia cinetica aproxima de 2 601 000 joules.

1.3.3 Energia potencial

1.3.4 Energia potencial gravitacional

m Denic~ao 18 (Energia potencial gravitacional). Na proximidade da Terra, xadoum plano horizontal de refere^ncia a partir do qual se mede a altura h de uma partcula de

massa m e considerando a acelerac~ao da gravidade como g, dene-se a energia pote^ncia

gravitacional de tal partcula como

Ep = mgh

1.3.5 Energia potencial elastica

m Denic~ao 19 (Energia potencial elastica). Considere uma mola de constante elasticaK, xa numa parede e inicialmente livre de deformac~oes, se ela sofre uma deformac~ao de

x e possui energia potencial elastica

Ee =K(x)2

2:

1.3.6 Energia meca^nica

m Denic~ao 20 (Energia meca^nica). Denimos a energia meca^nica de um sistemacomo

Em = Ec + Ep:


Para um sistema de n partculas sob a ac~ao do campo gravitacional g a grandeza que

se conserva e

Em =nX

k=1

mkv2k

2+ gmkhk

onde mk; vk e hk s~ao dados da k-esima partcula.

1.3.7 Sistema meca^nico conservativo

m Denic~ao 21 (Sistema meca^nico conservativo). Um sistema meca^nico e dito ser con-servativo se transforma exclusivamente energia potencial em cinetica ou energia cinetica

em potencial.

m Denic~ao 22 (Forcas conservativas). S~ao forcas que realizam trabalho em sistemasmeca^nico conservativos.

Z Exemplo 35 (Exemplos de forcas conservativas). Forcas como gravitacional, elasticae eletrostatica s~ao forcas conservativas.

m Denic~ao 23 (Forcas dissipativas). S~ao forcas que transformam energia meca^nicaem outras formas de energia, n~ao sendo cinetica ou potencial.

Z Exemplo 36 (Exemplos de forcas dissipativas). Forcas como de atrito, resiste^nciaviscosa em lquidos, resiste^ncia do ar s~ao forcas dissipativas.

1.3.8 Princpio de conservac~ao de energia meca^nica

b Propriedade 21 (Princpio de conservac~ao de energia meca^nica). A energia meca^nicaem sistemas conservativos e constante, valendo

Et = Em = Ec + Ep:

Z Exemplo 37. Um automovel de m kg esta no alto de uma ladeira molhada pelachuva, a ladeira possui h metros de altura e l metros de comprimento, o automovel perde

o freio e desliza pela ladeira sem atrito.


Como n~ao temos atrito consideramos apenas apenas a forca gravitacional e normal

(normal n~ao realiza trabalho) que s~ao conservativas

No topo da ladeira temos a energia meca^nica Et = mgh o automovel freiado n~ao

possui energia cinetica apenas a energia potencial gravitacional .

No pe da ladeira toda energia meca^nica se transforma em energia cinetica, pois no

pe da ladeira a altura h = 0, temos ent~ao a energia meca^nica igual a energia cinetica,

igualamos com o resultado anterior

Et =mv2

2= mgh)

cancelando a massa m, tem-sev2

2= gh ) v =

p2gh, ent~ao encontramos a veloci-

dade no pe da ladeira que e dada por

v =p2gh:

Perceba que a velocidade n~ao depende da massa, depende apenas da altura e da

acelerac~ao da gravidade local .

Z Exemplo 38. Um garotinho esquimo desastrado escorrega do alto do seu iglu, umdomo esferico de gelo de r metros de altura (vamos tomar como exemplo r = 3).

1. De que altura acima do solo ele cai?

2. A que dista^ncia da parede do iglu ele cai?

Representaremos o garotinho por um ponto material G, uma partcula .

1. Enquanto o ponto toca no iglu temos um movimento circular. A forca de reac~ao

normal e sempre perpendicular a superfcie de contato, no ponto, a gravidade aponta

para o centro da Terra. Vamos calcular a forca centripeta , que aponta para o centro

do domo, para isso devemos decompor o peso na direc~ao radial Pr , para deduzir


Figura 1.3:

a resultante centripeta . Sendo o a^ngulo que da a posic~ao da partcula, como na

gura, temos

cos() =cateto adjacente

hipotenusa

cos() =PrP) Pr = mgcos()

onde Pr e a componente radial do peso . A diferenca entre a componente radial do

peso a da normal resulta na forca centripeta, logo em modulo temos

mgcos()N() = Fcp = macp = mv()2

r) N() = mgcos() mv()

2

r:

Tomando o nvel zero no solo, por conservac~ao de energia meca^nica tem-se que a

energia potencial no topo do iglu emgr, ela se conserva ent~ao em um ponto qualquer

do iglu temos

mgr = mgrcos() +mv()2

2

a express~ao rcos() aparece acima, pois e altura depois de percorrido um a^ngulo ,

basta fazer a projec~ao sobre o eixo y. Da identidade acima simplicando os termos,

temos uma express~ao para a velocidade

v()2

2= gr(1 cos())) v() =

p2gr(1 cos())


agora usamos tal express~ao para velocidade e substitumos na express~ao encontrada

para a normal

N() = mgcos() mv()2

r= mgcos() 2mgr(1 cos())

r=

= mgcos() 2mg + 2mgcos() = 3mgcos() 2mg = N():

O partcula perde contato com o domo quando a forca normal se anula N() = 0,

usando a express~ao anterior temos

3mgcos() 2mg ) cos() = 23

com isso deduzimos tambem

sen() =p1 cos2() =

p1 cos2() =

r1 4

9=

r9 49

=

p5

3:

A altura e dada por y0 = rcos(), substitundo o valor cos() =2

3tem-se

y =2r

3

em especial se r = 3 temos y = 2, estamos medindo a altura em metros. A dista^ncia

da origem x0 em que ele abandona o iglu e dada por x0 = rsen()

x0 = r

p5

3

em especial se r = 3 temos x0 =p5. Ent~ao encontramos a altura de que ele cai o

iglu, 2 metros .

2. Ao abandonar o domo o garoto faz com velocidade

v0 =p2gr(1 cos()) =

r2gr

3

onde substitumos cos() =2

3e simplicamos, tomando agora r = 3, camos com

v0 =p2g w 4; 43m=s:


A partir do momento em que o garoto cai, ele descreve uma trajetoria parabolica.

Temos movimento com componentes no eixo x e y, em x o movimento e uniforme

x = x0 + v0cos()t

o fator v0cos() aparece pois e a velocidade v0 projetada sobre o eixo x, para a

componente do movimento sobre o eixo y

y = y0 v0sen()t gt2

2

queremos y = 0, substituindo em y os valores encontrados para y0; v0; sen() tem-se

0 =2r

3r

2gr

3

p5

3t gt

2

2) gt

2

2+

r10gr

27t 2r

3= 0

que e uma equac~ao de segundo grau em t, que possui raz positiva

t =

q46gr27q

10gr27

g

se tomamos r = 3; g = 9; 8, temos t u 0; 38 s. Agora calculamos a dista^ncia da qual

se cai do iglu

x = x0 + v0cos()t) x =p5r

3+

r2gr

3

2

3t

no caso substituindo g = 9; 8, r = 3 e t = 0; 38 temos

x u 3; 36 m

em relac~ao a parede do iglu a dista^ncia que o garoto atinge do solo e

d = x r = 3; 36 3 = 0; 36 m:

Ent~ao a dista^ncia que ele cai do iglu e de 0; 36 metros.


1.4 Quantidade de movimento e impulso

m Denic~ao 24 (Quantidade de movimento). Dado um ponto p com massa m e velo-cidade ~v, denimos a quantidade de movimento do ponto como

~P = m~v:

A quantidade de movimento tambem e chamada de momento linear , momentum ou

momento . A unidade do momento no SI e kg:m=s:

$ Corolario 10. A quantidade de movimento e a velocidade tem a mesma direc~aoe mesmo sentido, pois m 0:

b Propriedade 22. Em um sistema fechado (que n~ao troca materia com o meio externonem possui forcas agindo sobre ele) o momento total e constante.

Z Exemplo 39. Um monstro de 4 kg, nadando com velocidade de 1; 0 m/s, engole umoutro de 1 kg, que estava em repouso, e continua nadando no mesmo sentido. Determine

a velocidade, em m/s, do monstro maior, imediatamente apos a ingest~ao.

Aplicamos conservac~ao de momento, inicialmente temos em kg.m/s

p0 = 4:1 = 4;

e depois

p1 = 5:v;

nessa ultima equac~ao somamos as massas. Temos ent~ao

4 = 5v ) v = 45m/s:

1.4.1 Impulso

m Denic~ao 25 (Impulso). Denimos o impulso ~I em um intervalo de tempo [t1; t2]como o vetor

~I =

Z t2t1

~F (t)dt:


b Propriedade 23. O impulso e a igual a variac~ao de quantidade de movimento, istoe, o impulso em [t1; t2] e dado por ~I = ~P (t2) ~P (t1) = m~v2 m~v1:

Demonstrac~ao. Vale ~F =d~P

dt, substituindo na integral segue que

~I =

Z t2t1

~F (t)dt =

Z t2t1

d~P

dtdt = ~P (t2) ~P (t1) = m~v2 m~v1:

$ Corolario 11. (Sem rigor analisar) Fixados t1 e t2, podemos considerar uma forcamedia ~Fm tal que

~I =

Z t2t1

~F (t)dt = ~Fm(t2 t1) = ~Fmt:

Neste caso temos que

m~v2 m~v1 = ~Fmt:

Z Exemplo 40. Um automovel de m kg esta no alto de uma ladeira molhada pelachuva, a ladeira possui h metros de altura e l metros de comprimento, o automovel perde

o freio e desliza pela ladeira sem atrito. Ja sabemos que sua velocidade ao pe da ladeira

e dada por v =p2gh:

No pe da ladeira o automovel atinge uma parede que o faz parar em t segundos, qual

a forca media que o automovel sofrera?

Vamos usar a identidade

mv2 mv1 = Fmt

com v2 = 0 pois o automovel para por hipotese ao se chocar, v1 = v =p2gh ent~ao

temos

mv = Fmt) Fm = mvt

:

Fm =mp2gh

t

Se o tempo para o automovel parar e multiplicado por um fator l ent~ao a nova forca

media sera dada por

mvlt

=

Fmz }| {mvt

1

l=Fml


a forca media resultante e dividida por l.

Perceba que a velocidade n~ao depende da massa, depende apenas da altura e da

acelerac~ao da gravidade local .

1.5 Colis~oes

b Propriedade 24. Sejam duas partculas (1) e (2) que se movem ao longo de uma retae colidem elasticamente, como por exemplo uma colis~ao entre duas bolas de bilhar. Sejam

m1 e m2 as massas e v1i; v2i as velocidades antes da colis~ao, com a velocidade relativa

satisfazendo

v1i v2i > 0;

estamos usando o ndice i para denotar a velocidade na posic~ao inicial . Supomos que

as partculas est~ao sujeitas apenas as forcas internas de interac~ao que atuam durante a

colis~ao, de forma que o momento total do sistema se conserva e a colis~ao seja elastica

(energia cinetica se conserva).

Nessas condic~oes temos as velocidades nais v1f ; v2f das partculas (1) e (2)

v1f =2m2v2i + (m1 m2)v1i

m1 +m2

v2f =2m1v1i + (m2 m1)v2i

m1 +m2

Demonstrac~ao. Temos por conservac~ao de energia cinetica que

m1v21i2

+m2v22i2

= m1v21f2

+m2v22f2

para as energias cineticas antes e depois da colis~ao , multiplicando as express~oes acima

por 2 temos

m1v21i +m2v

22i = m1v

21f +m2v

22f

agora iremos usar o produto notavel a2 b2 = (a b)(a + b), a express~ao acima implicaapos isolar os termos com coecientes m1 e m2 no mesmo lado da equac~ao que

m1(v21i v21f ) = m2(v22f v22i) =


agora usando o produto notavel camos com

m1(v1i v1f )| {z }(v1i + v1f ) = m2(v2f v2i)| {z }(v2f + v2i):Usando a conservac~ao de quantidade de movimento

m1v1i +m2v2i = m1v1f +m2v2f

novamente isolando os termos com coecientes m1 e m2 no mesmo lado da equac~ao segue

que

m1(v1i v1f )| {z } = m2(v2f m2v2i)| {z }que s~ao exatamente os termos marcados na outra equac~ao, sendo ambos n~ao nulo podemos

os cancelar da equac~ao anterior cando com

v1i + v1f = v2f + v2i:

Com isso temos v1f = v2f + v2i v1i, substituindo em m1v1i+m2v2i = m1v1f +m2v2f ,tem-se

m1v1i +m2v2i = m1(v2f + v2i v1i) +m2v2f = m1v2f +m1v2i m1v1i +m2v2f

colocando em evide^ncia os coecientes v1i e v2i segue que

2m1v1i + (m2 m1)v2i = (m1 +m2)v2f

portanto

v2f =2m1v1i + (m2 m1)v2i

m1 +m2:

Agora nalmente, usando que v1i+ v1f = v2f + v2i tem-se v1f = v2f + v2i v1i, usandoa express~ao obtida para v2f e substituindo temos

v1f =2m1v1i + (m2 m1)v2i

m1 +m2+(v2iv1i) = 2m1v1i + (m2 m1)v2i

m1 +m2+(v2iv1i)m1 +m2

m1 +m2=

simplicando chegamos em

=2m2v2i + (m1 m2)v1i

m1 +m2:

Com isso provamos as duas identidades como queramos demonstrar.


Z Exemplo 41. Uma partcula de massa m desloca-se com velocidade v em direc~aoa duas outras ide^nticas de massa m0 , alinhadas com ela, inicialmente separadas e em

repouso. As colis~oes entre as partculas sao todas elasticas.

1. Mostre que se m m0 temos duas colis~oes e calcule a velocidade nal das tre^spartculas.

2. Mostre que, para m > m0 , havera tre^s colis~oes, e calcule as velocidades nais das

tre^s partculas

3. Verique que, no caso (1), o resultado para a primeira e a terceira partcula e o

mesmo que se a partcula intermediaria n~ao existisse.

1. Usamos os resultados que demonstramos na propriedade anterior com v2i = 0, m1 =

m e m2 = m0, com isso temos as velocidades

v1f =(mm0)v1im0 +m

v2f =2mv1im0 +m

como m m0 ) m m0 0, por isso a velocidade v1f e nula ou possui sentidocontrario ao da velocidade de v2f , logo a primeira partcula n~ao entre em choque

novamente com as outras. A segunda partcula se choca com a terceira. Usamos

novamente as equac~oes que deduzimos anteriormente. Agora com m1 = m2 = m0,

v02i = 0 e v01i =

2mv1im+m0

o valor que obtemos para a velocidade da segunda partcula.

Com isso temos

v01f =2m2

0z}|{v02i +

0z }| {(m1 m2) v01i

m1 +m2= 0

v02f =2m1v

01i +

0z }| {(m2 m1)v02i

m1 +m2=

2mv01i2m

= v01i =2mv1im+m0

e igual a velocidade da partcula 2 ao termino da colis~ao anterior, ent~ao com isso

resolvemos tambem o caso (3) .


2. Se m > m0, usando resultado do item anterior para o primeiro choque v1f =(mm0)v1im+m0

, v2f =2mv1im0 +m

, como m m0 > 0 as velocidades possuem mesmosentido e direc~ao, porem v2f > v1f pois 2m > m m0. A partcula (2) se chocacom a (3), pelo item anterior (3) ca com velocidade

2mv1im+m0

= v3 e (2) com ve-

locidade nula, portanto (2) e alcancada pela partcula (1) e calculamos novamente

as velocidades resultantes usando as express~oes conhecidas, como um novo sistema

com dados

v01i =(mm0)v1im+m0

; v02i = 0

logo pelas express~oes temos as resultantes v01f e v02f como velocidades nais de (1) e

(2) respectivamente dadas por

v01f =mm0m+m0

z}|{v01i =

mm0m+m0

mm0m+m0

v1i

v02f =2m

m+m0z}|{v01i =

2m

m+m0mm0m+m0

v1i

agora as tre^s partculas n~ao voltam a se chocar pois

v3f =2mv1im+m0

> v02f =2m

m+m0mm0m+m0

v1i

pois cancelando os termos ide^nticos (positivos) de ambos lados da desigualdade ela

equivale a 1 >mm0m+m0

, m+m0 > mm0 que realmente vale. Alem disso tambemtemos v02f > v

01f pois 2m > mm0 e da

v02fz }| {2m

m+m0mm0m+m0

v1i >

v01fz }| {mm0m+m0

mm0m+m0

v1i;

resumindo, a velocidade nal da partcula (3) e maior que a velocidade nal da

partcula (2) que por sua vez e maior que a velocidade da partcula (1), em smbolos

v3f > v02f > v

01f ;

logo as partculas n~ao voltam a se chocar e temos apenas 3 colis~oes.


As velocidades nais s~ao

v3f =2mv1im+m0

v02f =2m

m+m0mm0m+m0

v1i

v01f =mm0m+m0

mm0m+m0

v1i

onde v1i e a velocidade inicial da partcula (1).

1.6 Centro de massa

m Denic~ao 26 (Centro de massa). Sejam n corpos pontuais , cada corpo k composic~ao (xk; yk; zk) em R

3 e massa mk, ent~ao o centro de massa dessa congurac~ao de n

partculas e (x; y; z) , onde

x =nX

k=1

mkxkM

y =nX

k=1

mkykM

z =nX

k=1

mkzkM

e M =nX

k=1

mk:

Para um corpo de estrutura contnua de densidade =dm

dVque depende do ponto as

coordenadas do centro de massa s~ao dadas por

ys =

R:xsdVRdV

onde as coordenadas do corpo s~ao (xs)n1 :

$ Corolario 12. Como = dmdV

ent~ao

ZdV = M e

Z:xsdV =

Zxsdm, portanto

ys =

Rxsdm

M:


Z Exemplo 42. 1. Calcule as coordenadas do centro de massa de uma placa demetal (disco) indicada na gura, um crculo de raio r de qual foi removido um crculo

de raio s onde o centro dos crculos distam de l unidades . Considerando o disco de

densidade uniforme d.

Figura 1.4: Discos

Por simetria temos que o centro de massa do disco com a parte retirada (que cha-

maremos de X) deve estar sobre o eixo y, tendo coordenada em y denotada por

yx e massa mx . O disco completo sem parte removida possui centro no ponto

(0; 0) = (xc; yc). Consideramos o disco D na parte retirada com a densidade d e

massa mD, ele possui centro de massa no centro geometrico que denotaremos por

yD, por equac~ao do centro de massa temos que

yc|{z}=0

=mDyD +mxyxmD +mx

) 0 = mDyD +mxyx ) yx = mDyDmx

:

Temos que a densidade e dada por d =m

V, onde m e massa e V e o volume, logo


V:d = m o volume e dado por V = A:c onde c e a espessura do disco , portanto

mD = AD:c:d e mx = Ax:c:d pois possuem a mesma densidade d logo

mDmx

=AD:c:d

Ax:c:d=ADAx

calculamos agora Ax, temos que sua area e igual a area do disco completo r2

subtrado da area do disco D, que e s2 logo

Ax = r2 s2 = (r2 s2)

e AD = s2

portanto

mDmx

=s2

(r2 s2) =s2

(r2 s2)

substituindo todas express~oes temos

yx = s2

(r2 s2) =s2

(s2 r2)yD

como a separac~ao entre os centro do disco completo (0; 0) e do disco D e de l, temos

yD = l

por isso tem-se

yx =s2l

(s2 r2) :

2. Suponha que seja colocado no lugar do espaco subtrado D um disco de material

com densidade constante , qual e o centro de massa do sistema resultante?

O disco D agora pode ser considerado como se sua massa estivesse concentrada em

seu centro, sua densidade e

=m

V=

m

s2c) s2c = m:


o novo centro de massa tera coordenada em y dada por

y =myD +mxyxm+mx

onde

=m

V=

m

s2c) m = s2c;

mxd

= V ) mx = V d = ()(r2 s2)cd

logo temos os dados

m = s2c

yD = l

mx = ()(r2 s2)cd

yx =s2l

(s2 r2)substituindo os valores na express~ao y =

myD +mxyxm+mx

, temos

y =s2cl + ()(r2 s2)cd s2l

(s2r2)s2c+ ()(r2 s2)cd =

simplicando os termos em comum tem-se

y =s2l s2ld

s2 + (r2 s2)d =( d)(s2l)

s2 + (r2 s2)d:

y =( d)(s2l)

s2 + (r2 s2)d:

Lembre que as coordenadas em x (abscissa ) do centro de massa no problema 1) e 2)

s~ao ambas x = 0 por simetria.


1.7 Gravitac~ao

m Denic~ao 27 (Gravitac~ao). Gravitac~ao e o estudo das forcas de atrac~ao entre massase dos movimentos de corpos submetidos a essas forcas.

A gravitac~ao e a mais fraca de todas as interac~oes conhecidas, porem e considerada a

primeira a ser cuidadosamente estudada . Das interac~oes fraca, forte, gravitacional e ele-

tromagnetica (que n~ao ser~ao tratadas aqui). Tomada a interac~ao forte como valendo uma

unidade, a eletromagnetica e da ordem de 102, fraca da ordem de 105 e gravitacional

da ordem de 1038:

A gravidade e uma forca de longo alcance, n~ao havendo a princpio limitac~ao entre

a dista^ncia entre os corpos .

E uma forca somente atrativa. N~ao existe repuls~ao gravitacional.

E por causa dessas caractersticas que a gravidade domina varias areas de estudo na

astronomia. E a ac~ao da forca gravitacional que determina as orbitas dos planetas,

estrelas e galaxias, assim como os ciclos de vida das estrelas e a evoluc~ao do proprio

Universo,

1.8 Leis de Kepler

Nesta sec~ao apresentamos as Leis de Kepler1 para o movimento planetario, Kepler

teria descoberto tais leis a partir das medidas astrono^micas de Tycho Brahe (15461601).

1.8.1 1 lei de Kepler-Lei das orbitas

b Propriedade 25 (1 lei de Kepler-Lei das orbitas). As orbitas descritas pelos planetasem redor do Sol s~ao elipses , com o sol num dos focos.

m Denic~ao 28 (Perielio e Afelio ). O ponto em que a Terra esta mais proxima do Sole chamada de Perielio e o ponto mais distante e chamado de Afelio.

Denotaremos a dista^ncia no Afelio como dmax e no Perielio como dmin:

1Johannes Kepler (1571 1630)


m Denic~ao 29 (Raio medio da orbita). Denimos o raio medio da orbita R como

R =dmin + dmax

2:

$ Corolario 13. O raio medio da orbita e o semi-eixo maior da elipse.Z Exemplo 43. Se a e o semi-eixo maior de uma elipse e c a semi-dista^ncia focal araz~ao e =

c

ae chamada de excentricidade da elipse. Para e = 0 a elipse degenera em um

crculo, quanto maior o valor de e, mais achatada e distante de um crculo uma elipse

esta, com valores pequenos de e a elipse se aproxima mais da forma de um crculo.

Planeta e

Terra 0,017

Ve^nus 0,007

As orbitas de Ve^nus e da Terra podem ser bem aproximadas por orbitas circulares, pois

a excentricidade delas e muito pequena e da tais orbitas n~ao se afastam muito da forma

de um crculo , tal aproximac~ao n~ao se distancia muito do que posto na primeira lei de

Kepler.

2 lei de Kepler-Lei das areas

b Propriedade 26 (2 lei de Kepler). As areas varridas pelo vetor-posic~ao de um pla-neta em relac~ao ao centro do Sol s~ao diretamente proporcionais aos respectivos intervalos

de tempo gastos .

Sendo A a area e t o intervalo de tempo, podemos escrever

A = vat:

Onde va > 0 e uma constante para cada planeta.

m Denic~ao 30 (Velocidade areolar ). O fator va na lei das areas

A = vat

e chamado de velocidade areolar.


z Observac~ao 2. A velocidade areolar para um planeta e constante , porem o movi-mento de um planeta ao longo de sua orbita pode n~ao ser uniforme .

b Propriedade 27. O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve areas iguais emtempos iguais.

Demonstrac~ao. Simbolicamente, temos que o enunciado signica que se t1 =

t2 = t ent~ao A1 = A2 . Porem substituindo tais valores na express~ao A = vat:

Temos

A1 = vat

A2 = vat

logo A1 = A2 as areas percorridas s~ao iguais .

m Denic~ao 31 (Perielio e Afelio ). Seja um sistema compostos de planetas e umaestrela. O ponto em que um planeta esta mais proxima da estrela e chamada de Perielio

e o ponto mais distante e chamado de Afelio.

b Propriedade 28. No perielio, o planeta possui velocidade de translac~ao com in-tensidade maxima, enquanto no afelio ele tem velocidade de translac~ao com intensidade

mnima.

Demonstrac~ao.

3 lei de Kepler- Lei dos perodos

b Propriedade 29 (3 lei de Kepler- Lei dos perodos). Sejam T1 e T2 perodos derevoluc~ao de dois planetas cujas orbitas possuem raios medios R1 e R2 respectivamente,

ent~ao vale que

(T1T2

)2 = (R1R2

)3

Os quadrados dos perodos de revoluc~ao de dois planetas quaisquer est~ao entre si como

os cubos de suas dista^ncias ao sol .

Tal relac~ao vale na verdade para movimentos em orbitas circulares, porem se a excen-

tricidade da elipse for pequena tal relac~ao vale aproximadamente .


b Propriedade 30. Para qualquer planeta do Sistema Solar vale que

R3

T 2= Kp

onde Kp e uma constante.

Demonstrac~ao. Vale que

(T1T2

)2 = (R1R2

)3

logo

T 21R31

=T 22R32

que e constante para cada planeta .

m Denic~ao 32 (Constante de Kepler). A constante Kp da relac~ao

R3

T 2= Kp

e chamada de constante de Kepler.

Z Exemplo 44. Suponha que a Terra e Ve^nus possuem raios medios de dista^ncia aoSol de R2 = 1; 510

8km e R1 = 1; 1108km respectivamente, o perodo de revoluc~ao da Terra

e de 1 ano (aproximaremos para 365 dias.) Ent~ao aplicando a Lei de Kepler podemos

deduzir uma aproximac~ao do perodo de revoluc~ao de Ve^nus

T 21 = (1; 1

1; 5)3

que implica um valor aproximado de 219 dias (dependendo do numero de casas deci-

mais usadas pode-se chegar em outro valor, no caso usamos duas casas decimais em cada

operac~ao ), sendo que um valor mais proximo do perodo da orbita e 224; 65 dias, o que

n~ao difere muito.

z Observac~ao 3 (Universalidade das leis de Kepler). As propriedades apresentadasaqui, chamadas de Leis de Kepler s~ao tidas como universais, valendo para o Sistema Solar


, qualquer outro sistema planetario no Universo em que exista uma grande massa central

em torno da qual gravitem massas menores, por exemplo ela tambem vale para planetas

e seus satelites naturais ou articiais.

Z Exemplo 45. Dois corpos A e B em orbitas circulares ao redor de C, possuem raiode orbita Ra > Rb. Em que intervalo de valores se situa a dista^ncia entre os corpos? .

A dista^ncia e mnima quando ambos A, B e C est~ao alinhados e B esta entre C e

A, neste caso a dista^ncia entre B e A mede Ra Rb:

Suponha que n~ao seja nas condic~oes acima, formamos um tria^ngulo CAA0 ,onde

A0 e outro ponto na orbita de A. CAA0 e isosceles, a^ngulos iguais bA0 = bA = . Tracamos BA0 No tria^ngulo BA0A o a^ngulo B bA0A e menor que logo seu ladooposto BA possui comprimento menor que BA0 pois a a^ngulos maiores se opoem

lados maiores.

A dista^ncia e maxima quando, C esta entre B e A, pontos alinhados neste caso a

dista^ncia e Ra + Rb: Consideramos neste caso um tria^ngulo AA0C ele e isosceles ,

tracamos A0B e temos o tria^ngulo AA0B com a^ngulo A bA0B = maior que =A bA0B, logo AB o lado oposto a possui medida maior que A0B lado oposto a notria^ngulo AA0B .

Podemos deduzir que esses s~ao realmentes pontos de maximo e mnimo usando

coordenadas . Tomamos A = (rbcos(); rbsen()) , B = (ra; 0) .

d(A;B)2 = (rbcos()ra)2+r2bsen2() = r2bcos2()2rbracos()+r2a+r2bsen2() = r2b+r2a2rbracos() = f()

derivando temos f 0() = 2rbrasen() que se anula em = 0 ou = :


1.9 Lei de Newton da atrac~ao das massas

b Propriedade 31 (Lei de gravitac~ao de Newton). Sejam corpos A e B cujos centrosde massa est~ao separados por uma dista^ncia rAB, ent~ao :

A e B possuem quantidades positivas mA;mB associadas, chamadas massas gravi-

tacionais

Existem forcas FAB e FBA, que satisfazem

FAB = FBA;

FAB sendo a forca gravitacional aplicada pelo corpo A no corpo B .

tais forcas possuindo intensidade

F =GmAmB

r2;

onde G e denominada constante da gravitac~ao universal, sendo de valor aproximado

de

G = 6; 671011Nm2=kg2:

Isaac Newton teria deduzido a equac~ao F =GmAmB

r2, usando as leis de Kepler,

para forca que deveria existir entre dois planetas e depois generalizado para duas massas

quaisquer .

Vamos tentar mostrar uma deduc~ao informal da lei da gravitac~ao para um planeta

de massa m em um movimento circular uniforme ao redor de uma estrela de massa M

usando as Leis de Kepler .

Supondo o modulo da forca F1 resultante no planeta , temos

F1 = m:acp = mv2

r

onde r e a dista^ncia entre o centro do planeta e da estrela . A velocidade possui

modulo constante , em uma volta completa, sendo T o perodo , temos o comprimento da

circunfere^ncia dado por 2r, logo

v =2r

T;


agora usamos a lei de Kepler T 2 = kr3 onde k e constante, logo substituindo na

equac~ao da forca, tem-se

F1 = m42r2

rT 2= m

42r

T 2= m

42r

kr3= m

42

kr2= m

k1r2

logo a interac~ao gravitacional deve ser proporcional ao inverso do quadrado da dista^ncia.

Supondo simetria o modulo da forca sobre a estrela poderia ser

F2 = Mk2r2;

para constantes k1 e k2 , logo

F =M:mG

r2

para alguma constante G . Newton ent~ao teria generalizado tal resultado, o estendendo

para duas massas quaisquer .

1.9.1 Massa gravitacional e massa inercial

m Denic~ao 33 (Massa gravitacional). O valor de massa que aparece na Lei da gra-vitac~ao de Newton, que enunciamos acima e chamada de massa gravitacional , a princpio

n~ao saberamos se o valor da massa gravitacional de um corpo e igual ao valor de massa

inercial que aparece na denic~ao de quantidade de movimento p = mv.

z Observac~ao 4. Supondo um corpo possuindo massa inercialmi e massa gravitacionalmg ent~ao nas proximidades de um corpo maior de massa gravitacional M , temos g uma

acelerac~ao da gravidade aproximadamente constante

F = mig =MmgG

r2) mi

mg=GM

gr2= K uma constante

b Propriedade 32. Em sistemas ligados gravitacionalmente a forca resultante gravita-cional aponta para o centro de massa do sistema , em sistemas planetarios, tal centro de

massa pode ser muito proximo do centro da estrela ou remanescente estelar, mesmo que

a orbita seja elptica , o centro de massa poderia n~ao estar no centro da elipse e sim mais

proximo do centro da estrela . O sol, maior corpo do sistema solar, coincide praticamente,

com o centro de massa do sistema solar e move-se muito mais lentamente do que qualquer


planeta. Por isso o Sol pode ser tomado como centro de refere^ncia, pois e praticamente

um referencial inercial.

Z Exemplo 46 (Relac~ao entre acelerac~ao da gravidade e massa da Terra). Considereuma partcula de massa m sobre a superfcie da Terra , sendo portanto a dista^ncia entre

a partcula ao centro da Terra medindo r, o raio da Terra , M a massa da Terra, tem-se

que

F =GmM

r2= mg ) g = MG

r2)M = gR

2

G:

Substituindo valores g = 9; 8m=s2 , r = 6; 37:106 e G = 6; 67:1011m3=(kg:s2) podemos

deduzir que a massa da Terra e aproximadamente 5; 98:1024kg:

Z Exemplo 47 (Comparar duas massas por meio de interac~ao com uma outra). Sejamdois corpo com massasm em0 que desejamos comparar , colocados a uma mesma dista^ncia

r de um outro corpo de massa conhecidaM , como por exemplo, massa da Terra , as forcas

gravitacionais em quest~ao s~ao

F =GMm

r2; F 0 =

GMm0

r2) F

F 0=

m

m0:

Se tivermos modo de comprar forcas tal relac~ao acima possibilita um modo de com-

parar massas.

1.9.2 Estudo de movimento de satelites

b Propriedade 33 (Velocidade orbital de um satelite em movimento circular). Consi-dere um satelite de massa m gravitando em orbita circular em torno de um planeta de

massa M . Sendo r o raio da orbita e G a constante da gravidade, ent~ao

A velocidade orbital e constante o movimento e circular uniforme e vale

v =

rGM

r:

v =pgr:


Demonstrac~ao.

A forca resultante que o satelite recebe do planeta e a forca resultante centrpeta

no satelite F = Fcp

F =GMm

r2

porem Fcp = macp = mv2

r, portanto de F = Fcp, segue

GMm

r2= m

v2

r, GM

r= v2 , v =

rGM

r:

Substituindo g =GM

r2, isto e, gr =

GM

rtemos a outra express~ao .

$ Corolario 14 (Velocidade angular orbital de um satelite em movimento circular). Avelocidade angular w de um corpo em orbita circular de raio r em torno de um outro

corpo de massa M vale

w =

rGM

r3

pois v = wr ) vr= w da , usando a express~ao

v =

rGM

r) v

r=

rGM

r3= w:

Conclumos que o valor de w independe de m e satelites diferentes percorrendo uma

mesma orbita circular n~ao colidem entre si, ja que suas velocidades angulares s~ao iguais .

b Propriedade 34 (Raz~ao de velocidade angular de satelites em movimento circular).Seja um corpo de massa M possuindo dois satelites em movimento circular uniforme ao

redor dele com raios ri e re ent~ao temos a seguinte relac~ao para suas velocidades angulares

w2iw2e

=r3er3i:

Demonstrac~ao.

wi =

sGM

r3i


we =

sGM

r3e

implicam

w2i r3i = GM = w

2er

3e

de onde a igualdade segue .

b Propriedade 35 (Perodo de revoluc~ao de um satelite em movimento circular). Operodo de revoluc~ao T de um satelite ao redor de um corpo de massa M e dista^ncia do

centro de gravidade do corpo ate o centro do satelite r e dado por

T = 2

rr3

GM:

Demonstrac~ao. Como o satelite realiza movimento circular uniforme, temos que

a velocidade e igual a raz~ao do dista^ncia percorrida em uma volta, que e 2r dividido

pelo perodo T

v =2r

T

usamos agora que v =

rGM

r:

O que implica

T =2r

prp

GM= 2

rr3

GM

como queramos demonstrar.

$ Corolario 15 (Perodo independe da massa do satelite). O perodo de orbitagemindepende da massa do satelite , pois a express~ao T = 2

rr3

GM; n~ao depende dela .

$ Corolario 16 (Massa de um planeta em func~ao do perodo e dista^ncia). De T =2r

prp

GM= 2

rr3

GMelevando ao quadrado, temos

T 2 = 42r3

GM)M = 42 r

3

GT 2:

Podemos usar esse resultado para calcular novamente a massa da Terra, usando dados

relativos a Lua, r = 3; 84:108 m e P = 2; 36:106 s. Que garante a massa da Terra ser

aproximadamente 5; 98:1024 . Isso implica certa consiste^ncia na Teoria .


b Propriedade 36 (Forca em func~ao da massa, dista^ncia e perodo). Dados T , m er para um corpo de massa m com movimento circular ao redor de outro de massa M , e

possvel encontrar a forca F =GmM

r2em func~ao de T , m e r . A forca e dada por

F =r42M

T 2:

Demonstrac~ao.

Temos queT 2

r3=

42

GM) GM = r

3

T 242 ) r4

2m

T 2=GMm

r2:

Portanto

F =GMm

r2=r42m

T 2:

b Propriedade 37 (Altura do satelite em func~ao do perodo). A altura h de um sateliteem movimento circular ao redor de um corpo de massa M e dada por

h =3

rGMT 2

42:

Demonstrac~ao.

A forca de atrac~ao resultante exercida pela Terra sobre o satelite desempenha a func~ao

de resultante centrpeta no movimento circular e uniforme descrito por ele. F = Fcp

GMm

h2= mw2h

onde usamos a express~ao da acelerac~ao centrpeta =v2

re v = wr: Temos tambem

que w =2

T, substituindo tais express~oes temos

GM

h2= h

2

T

2) GM = 4

2

T 2h3

de onde segue que

h =3

rGMT 2

42

como queramos demonstrar.


Z Exemplo 48. Supondo que a atrac~ao gravitacional da nossa galaxia, de massatotal Mg e raio Rg , atua como se toda a massa estivesse concentrada no seu centro, e

comparando a orbita circular de uma estrela situada na borda da galaxia, de velocidade

vg , com a orbita da Terra em torno do Sol, de raio medio R , mostre que

MgMs

=Rgvg2

Rv2

onde Ms e a massa do Sol e v e a velocidade orbital da Terra em torno do Sol.

A velocidade orbital da Terra satisfaz pela propriedade anterior

Rv2 = GMs

onde ignoramos a massa de outros corpos, que n~ao sejam o Sol ou a Terra , a velocidade

de uma estrela na borda da Galaxia e dada por relac~ao similar

Rgv2 = GMg

dividindo ambas express~oes tem-se

MgMs

=Rgvg2

Rv2:

b Propriedade 38 (Terceira lei de Kepler). Vale a terceira lei de Kepler

r3

T 2= Kp

e a constante Kp valeGM

42:

Demonstrac~ao. Partindo da identidade T = 2

rr3

GM; segue

T 2 = 42r3

GM) r

3

T 2=GM

42:

b Propriedade 39 (Velocidade areolar). A velocidade areolar vale

va =1

2

pGMr:


Demonstrac~ao. Temos que

A = vat) va = At

em uma volta completa, que vamos aproximar par um crculo, temos que a area e de

r2 e a variac~ao de tempo e o perodo T = 2

rr3

GMportanto

va =r2

2

rGM

r3=

1

2

pGMr:

m Denic~ao 34 (Satelites estacionarios). Um satelite estacionario de um corpo A emrotac~ao em torno do seu eixo, s~ao corpos que possuem orbitas circulares em torno de

A que se apresentam parados em relac~ao a um referencial na superfcie do corpo A que

acompanha seu movimento, na mesma taxa de rotac~ao .

Z Exemplo 49 (Satelites estacionarios da Terra). Satelites estacionarios da Terrapossuem orbitas aproximadamente circulares contidas no plano equatorial, seu perodo de

revoluc~ao sendo proximo de 24 horas, igual ao perodo de rotac~ao do planeta, e de suas

orbitas s~ao de aproximadamente 6; 7 raios terrestres .

1.9.3 Velocidade de escape

m Denic~ao 35 (Velocidade de escape). Velocidade de escape e a velocidade mnimanecessaria para que um corpo se livre do campo gravitacional de um outro corpo B a

partir de uma certa dista^ncia r do centro de gravidade de B.

b Propriedade 40. A velocidade de escape vale

v =

r2GM

r

onde r e a dista^ncia ate o centro do corpo B , M a massa de B e G a constante da

gravidade .

Demonstrac~ao. Como queremos a velocidade mnima, ela sera nula no innito,

logo temos energia cinetica nula no innito, a energia potencial gravitacional tambem sera


nula no innito pois Ep = GMmr

tende a zero quando r !1, usamos ent~ao conservac~aode energia meca^nica, sendo ela nula no innito por ser soma de energia cinetica e potencial

Em = Ep + Ec, igualamos tal valor a energia a dista^ncia r do centro do planeta, de onde

conclumos que

mv2

2 GmM

r= 0) v

2

2=GM

r) v =

r2GM

r

$ Corolario 17. O valor da velocidade de escape n~ao depende da massa do corpoque esta sendo lancado mas apenas da massa do corpo central e tambem n~ao depende

do a^ngulo de lancamento.

Quanto mais afastado o corpo estiver da superfcie do corpo (maior r), menor sera

o valor da velocidade de escape.

A express~ao v =

r2GM

rsugere que se existirem corpos celestes com massas t~ao

grandes e raios t~ao pequenos de maneira que a velocidade de escape neles seja maior

que a velocidade da luz c, a luz n~ao escaparia a atrac~ao gravitacional deles. Tais

corpos s~ao chamados de Buracos negros.

Vale que a velocidade de escape e

v =p2gr

pois basta usar g =GM

r2logo gr =

GM

r, substitudo em

r2GM

rsegue o resultado .

1.10 Campo gravitacional

m Denic~ao 36 (Campo). Campo e uma propriedade fsica que se estende por umaregi~ao do espaco , sendo a propriedade descrita nessa regi~ao do espaco por uma func~ao

da posic~ao e do tempo .

Em termos matematicos, um campo escalar e uma func~ao f : Rn ! R e um campovetorial uma func~ao f : Rn ! Rm onde m > 1 .


b Propriedade 41. Para cada interac~ao uma partcula produz em torno de si um campocorrepondente . Toda interac~ao pode ser descrita por meio de campos .

Z Exemplo 50. Porem nem todo campo e gerado por uma interac~ao, por exemplo po-demos tomar um campo de velocidades da agua em um rio , ou um campo de temperatura

em uma sala.

b Propriedade 42. Toda massa cria em torno de si um campo de forcas de naturezagravitacional .

m Denic~ao 37 (Campo gravitacional). O campo de forcas de natureza gravitacionalcriado por uma certa quantidade de massa e chamado de campo gravitacional .

m Denic~ao 38 (Campo atrativo). Um campo e atrativo se as partculas submetidasexclusivamente aos seus efeitos s~ao puxadas para junto do ponto onde o campo e gerado.

b Propriedade 43. O campo gravitacional e atrativo .

m Denic~ao 39 (Linhas de forca). Linhas de forca de um campo s~ao linhas que repre-sentam, em cada ponto, a orientac~ao da forca que atua numa partcula, chamada corpo

de prova, que e submetida apenas aos efeitos desse campo .

Trataremos aqui apenas de linhas de forca geradas pelo campo gravitacional .

b Propriedade 44. Se um corpo massivo for esferico e homoge^neo, suas linhas de forcater~ao a direc~ao do raio da esfera em cada ponto , sendo orientadas para o centro do corpo

.

1.11 Energia potencial gravitacional

b Propriedade 45.

Demonstrac~ao.


1.12 Agradecimentos

Agradecemos a Gabriel Lefundes por ajuda apontando erros no texto, obrigado!

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Dina Mica