El disco pesado de la figura puede rodar sin resbalar, en contacto con el plano rugoso

X1Y1. Si se toman los ejes fijos al cuerpo, X, Y y Z con el origen en O, y con Z en la

misma direcciones del eje Oc (no se indican las direcciones de X y Y) se ha supuesto

que el plano X1 Y1 está inclinado un ángulo ε con Y1 siguiendo la dirección de la

inclinación y ψ medido desde Y1 hasta la proyección de Z en el plano X1Y1

Determinar las ecuaciones de movimiento

senθ=Wrefψ

Wref =φ∗senθ

senϕ= Wxψ senθ

w x=ψ∗sen (θ ) sen (ϕ )

w y=ψ∗sen (θ )cos (ϕ )

w z=ψ cosθ+ϕ

T=12

M Vo2+ 12

Ix Wx2+12

Iy Wy2−IxyWxWy−IxzWxWz−IyzWyWz+ M (Vox (Wyz−Wzy )+Voy (Wzx−Wx z )+Voz (Wxy−Wyx))

Vo=ψ∗brazo senθ=brazol

brazo=senθlψ

cosϕ=VoxVo

=Vox=Vo∗cosϕ=ψ lsenθcosϕVoy=−ψ lsenθsenϕ

X=Y=0 Z=l

Ix=Iy Ixy=Ixz=Iyz=0

Vo2=Vox2+Voy2=ψ2 l2 sen2θ cos2ϕ+ψ2l2 sen2θ c os2ϕ

Vo2=ψ2l2 sen2θ

T=12

M ψ2 l2 sen2θ+12

Ix ψ2 sen2θ ( sen2ϕ+cos2ϕ )+ 12

Iz (ϕ+ψ cosθ )2+M [ψ2 l2 sen2θ cos2ϕ+ψ2l2cos2θ sen2ϕ ]+M ψ2 l2 sen2θ (cos2ϕ+sen2ϕ)

T=32

M ψ2 l2 sen2θ+ 12

Ixψ2 sen2θ+ 12

Iz(ϕ+ψ cosθ )2

Aplicando la ecuación de LaGrange

ddt ( ∂ T

∂ ψ )− ∂ T∂ ψ

=Fgψ

ddt ( ∂ T

∂ ψ )=3M ψl2 sen2θ+ Ix ψ sen2θ+ Iz(ϕ+ψ cosθ)cosθ

∂ T∂ψ

=0Fg ψ=torque=momentotorsor

3M ψ l2 sen2θ+ Ixψ sen2θ+ Iz (ϕ+ψcosθ ) cosθ=−mgsenψ

sen (θ )= r 1r 3cos (θ )= r 2

r 3r 3∗ψ=−r 2ϕ

3M ψ l2 r 1r 3

2

+ Ixψ r 1r3

2

+ Iz(−ψ r3r 2

+ψ r2r 3 ) r 2

r 3=−mgsen ε senψ

k ψ−mgsen ε senψ