MAKİNE 2 2003-2004 Yaz Okulu DİNAMİK DERSİ 2.VİZE SORULARI VE CEVAPLARI Soru 1: Şekildeki vincin AB ulaşım kolunun uzunluğu 100 mm/s sabit hızı ile artıyor.Aynı anda AB ulaşım kolu 0,060 rad/s. Sabit açısal hızı ile alçalıyor. θ = 450 olduğu bilindiğine göre a) Ulaşım kolunun B uç noktasının hızını b)Ulaşım kolunun B uç noktasının ivmesini hesaplayınız. y B 6m.

θ A x Çözüm: a) . .B bağ sürV V V= + , . . (cos sin )bağ bağV V i j= θ + θ , . 50 2 50 2bağV i j= +

sürV AB= ω∧ , 0,060kω = − , 6000 (cos sin )AB i j= ∗ θ + θ ,

3000 2 3000 2AB i j= + 0,060 (3000 2 3000 2 )sürV k i j= − ∧ + , 180 2 180 2sürV i j= − ,

230 2 130 2BV i j= − , 325,27 183,85BV i j= −

373,63 /BV mm s= b) B bağ sür cora a a a= + + , . .0 ( sabit ve bağıl hareket doğrusal olduğundan )bağ bağa V=

sür Süra k AB V= α ∧ + ω∧ , 0 ( sabit olduğundan)α = ω

0,060 (180 2 180 2 )süra k i j= − ∧ − , 10,8 2 10,8 2süra i j= − −

. .2cor bağa V= ω∧ , . 0,12 (50 2 50 2 )cora k i j= − ∧ + , . 6 6cora i j= −

(6 10,8 2 ) (6 10,8 2 )Ba i j= − − + , 9,27 21,27Ba i j= − −

223,2 /Ba mm s=

x A AF m a=∑ ⇒ A x A AR m a=

3A xR N=

x G xF ma=∑ , y G yF ma=∑

G G ABM I α=∑

Soru 2: Verilen mekanizmadaki doğrusal hareket yapan 2kg kütleli A bileziğinin Şekilde gösterildiği anda hızı sağa doğru VA = 2.5 m /s , ivmesi aA = 1.5 m /s2 ve AB çubuğunun kütlesi 6 kg olduğuna göre A ve B mafsallarındaki tepkileri 030θ = için bulunuz. y

C 1,25 m 3 m B 21,5 /Aa m s=

θ A 2,5 /AV m s= x I sonsuzda Ani dönme merkezi I sonsuzda olduğundan 0ABω = ve A BV V= dir.

B BCV BCω= ⇒ BBC

VBC

ω = , 2,51,25BCω = , 2 /BC rad sω =

/1,5A B A Ba i a a= = +

B BC BC Ba k CB k Vα ω= ∧ + ∧ , / /A B AB AB A Ba k BA k Vα ω= ∧ + ∧

1, 25CB j= − , 2,5BV i= , 3 332 2

BA i j= −

( 1, 25) 2 2,5B BCa k j k iα= ∧ − + ∧ , 1, 25 5B BCa i jα= +

/3 3( 3 )2 2A B ABa k i jα= ∧ − , /

3 3 32 2A B AB ABa i jα α= +

3 31,5 (1,25 ) ( 3 5)2 2A BC AB ABa i i jα α α= = + + +

31,25 1,52

3 3 5 02

BC AB

AB

α α

α

+ =

+ = ⇒

2

2

1,92 /

3,51 /AB

BC

rad s

rad s

α

α

= −

=

AyR mg A xR A Aa N B xR B ABm g ABα B yR A A xR A yR

/G A G Aa a a= + , / /G A AB AB G Aa k AG k Vα ω= ∧ + ∧

0,75 3 0,75AG i j= − + , / ( 0,75 3 0,75 )G A ABa k i jα= ∧ − + / 1, 44 2,49G Aa i j= + , 2,94 2,49Ga i j= + x G xF m a=∑ ⇒ 2,94B x A x ABR R m− =

y G yF m a=∑ ⇒ 2, 49B y A y AB ABR R m g m+ − =

G G ABM I α=∑ ⇒ 210,75 0,75 0,75 3 0,75 3 312B x A x B y A y ABR R R R m+ + − =

20,64B xR N= 14,94 6 9,81B y A yR R+ = + ∗ 73,8B y A yR R N+ =

211,299 1,299 6 3 20,64 0,75 2 1,5 0,7512B y A yR R− = ∗ − ∗ − ∗ ∗

1, 299 1,299 13,23B y A yR R− = −

2 1,299 13,23 1,299 73,8B yR∗ = − + ∗ ⇒ 31,8B yR N=

42A yR N= 2 23 42AR = + , 42,1AR N= 2 220,64 31,8BR = + , 37,9BR N=

A ABV IAω= , B ABV IBω= , G ABV IGω= 01, 2 sin 30IA = ∗ , 01, 2 cos30IB = ∗ , 1, 2 / 2IG = 0,6IA m= , 0,6 3IB m= , 0,6IG m=

0,6A ABV ω= , 0,6 3B ABV ω= , 0,6G ABV ω=

Soru 3 6 kg kütleli homojen bir çubuğun A ucu yatay düzlemle temas halinde iken B ucu düşey düzlemde hareket edebilen 2 kg kütleli bir bileziğe mafsallıdır. Bu sistem θ = 600 iken ilk hızsız harekete bırakılıyor. Sürtünme kuvvetlerini ihmal ederek AB çubuğunun açısal hızını θ = 300 ye geldiği anda bulunuz. 1,2 m B A θ Çözüm: ABm g Bm g 2h B 1h G BN A θ AN Çözüm:

( ) ( ) 1 21 2 T T→τ + = , 1 0T = ( ilk hızı sıfır olduğundan ) ( ) ( ) 1 21 2 AB Bm g h m g h→τ = +

0 01

1, 2 1,2sin 60 sin 302 2

h = − , 0 02 1, 2 sin 60 1,2 sin 30h = − , 1 0, 2196h m= , 2 0, 4392h m=

( ) ( )1 2 6 9,81 0, 2196 2 9,81 0, 4392→τ = ∗ ∗ + ∗ ∗ , ( ) ( )1 2 21,543 .Nm→τ = ,

2 2 22

1 1 12 2 2G AB AB G B BT I m V m V= ω + + , ( )21 1,2

12G ABI m= , 20,72GI kg m=

I B

ABω

AV A G BV

( ) ( )222 2 22

1 1 10,72 6 0,6 2 0,6 32 2 2AB AB ABT = ω + ω + ∗ ω , 2

2 2,52 ABT = ω

( ) ( )2

2 1 22,52 21,543 .ABT Nm→= ω = τ = ⇒ 21,5432,52ABω = , 2,92 /AB rad sω =

B ADV IB ω= ⇒ BAD

VIB

ω =

1,5 sinIB θ= ∗ , 0,75IB m=

0,60,75ADω = , 0,8 /AD rad sω =

MAKİNE 2 G1 2003-2004 YAZ OKULU DİNAMİK DERSİNİN FİNAL SINAVI SORULARI VE CEVAPLARI Soru 1 ) Bir asma kapının kenarlarından biri için kullanılan 3m boyunda bir putrel şekildeki gibi yatay ve düşey oyuklar içinde hareket edebilen A ve B tekerlekleri ile kılavuzlanmıştır.

030θ = olduğu ve B nin hızının yukarı doğru 0,6 m/s olduğu bilindiğine göre , kapının açısal hızını ve D nin hızını bulunuz. A

1,5m θ

B 1,5m D Çözüm: AV A BV

ADω θ B I D

D ADV ID ω= , 2 2 02 cos120ID IB IB IB BD= + − ∗

2 2 00,75 1,5 2 0,75 1,5 cos120ID = + − ∗ ∗ ∗ , 1,984ID m= 1,59 /DV m s=

P bağ sürV V V= +

P OPV k OPω= ∧ , bağ bağV k CPω= ∧

25sürV j= − 0 015sin 30 15cos30OP i j= +

10sin 10cosCP i jϕ ϕ= −

0

15 10sin sin 30ϕ

= ⇒ sin 0,75ϕ =

2cos 1 sinϕ ϕ= − , cos 0,66144ϕ =

Soru 2 ) Yarık bir levhanın şekilde görülen durumda hızı yukarı doğru 25 cm/s dir. Verilen konum için OP çubuğunun açısal hızını bulunuz. O 15cm P 300 10cm Çözüm: x O 15cm P 300 ϕ

10cm y 7,5 12,99OP i j= + , 7,5 6,6144CP i j= − 12,99 7,5P OP OPV i jω ω= − + , 6,6144 7,5bağ bağ bağV i jω ω= + 12,99 7,5 6,6144 (7,5 25 )P OP OP bağ bağV i j i jω ω ω ω= − + = + −

7,5 ( 12,99 6,6144 ) 0

12,997,5 7,5 25

OP bağ

OP bağ

ω ω

ω ω

− − =

− = − ⇒

11,3189 25

2, 209 /bağ

bağ rad s

ω

ω

− = −

=

1,125 /OP rad sω = −

Soru 3 ) Ufak bir kaldırma makinesinin volanının kütlesi 400 kg , atalet yarıçapı 60 cm dir. 100 kg kütleli bir yük 2 m/s hızı ile yukarı doğru kaldırılırken makinenin gücü birden kesiliyor. Yatak sürtünmesini ihmal ederek , durmadan önce yükün alacağı yolu hesaplayınız. 25cm O

100 kg Çözüm: 1 2 1 2T Tτ → + =

1 2 100 g sτ → = − ∗ , 2 0T = , 2 21 1

1 12 2A A OT m V I ω= +

2OI m k= , 2400 0,6OI = ∗ , 2144OI kg m=

10, 25AV ω= ⇒ 1 0, 25AV

ω = , 1 8 /rad sω =

2 21

1 1100 2 144 82 2

T = ∗ + ∗ , 1 4808T kg m=

100 4808 0g s− ∗ + = ⇒ 4808100

sg

= , 4,9s m=

MAKİNE 2 2003-2004 GÜZ YARIYILI DİNAMİK DERSİ 1.VİZE SORULARI VE CEVAPLARI SORU 1) 0t = anında A(1;0;0) noktasında hareketsiz duran ve B(4;4;12) noktasına doğru

20,65 /=a m s sabit ivmesi ile hareket eden bir maddesel noktanın 3 saniye sonraki yer vektörünü bulunuz. z B(4;4;12) P r V O y

A(1;0;0) x Çözüm:

= = +r OP OA AP , = ABAP sU ivme sabit olduğundan 20 0

12

= + +s s V t a t dır.

Burada 0 0s =

0 0=V olduğuna göre 2t = için 21 0,65 22

= ∗s , 2,925=s m bulunur.

OA i= , ABABUAB

= , 2 2 2

3 4 12

3 4 12AB

i j kU + +=

+ + , 3 4 12

13 13 13ABU i j k= + +

0,675 0,9 2,7= + +AP i j k , 1,675 0,9 2,7= + +r i j k

SORU 2) Şekilde gösterilen anda, A arabası 20 km/saat süratinde olup, otobana girerken süratini 300 km/saat2 ile artırmaktadır. Aynı anda, B arabası 100 km/saat sürati ile ilerlerken süratini 250 km/saat2 ile yavaşlatmaktadır. A arabasının B arabasına göre hızını ve ivmesini bulunuz. y O A x 100m

B Çözüm: /A B A BV V V= −

20AV j= − , 100BV j= , / 120A BV j= − , / 120 /A BV km saat=

/A B A Ba a a= −

250Ba j= − , 2

3 300100 10

AA

Va i j−= − −

∗ , 4000 300Aa i j= − −

/ 4000 50A Ba i j= − − , 2/ 4000,3 /A Ba km saat= −

Soru 3) Şekilde görülen 3 çubuk mekanizmasında AB kolu saat ibrelerinin tersi yönünde 360 dev/dak sabit dönüş hızı ile dönmektedir. Sistem şekilde gösterilen konumdan geçerken BC çubuğunun orta noktası olan G nin a) hızını b) ivmesini bulunuz. 15cm A D 10cm ABω G C

B 30cm Çözüm: I BCω 10cm

A 15cm D x ABω 10cm CDω CV

B 15cm G 15cm

BV C y B ABV AB= ω , 2360 /

60AB rad sπω = , 12 /AB rad sω = π , 37,7 /AB rad sω =

37,7 10BV = ∗ , 377 /BV cm s= , B BCV IB= ω ⇒ BBC

VIB

ω =

IB IA AB= + , 10IA cm= ⇒ 20IB cm= , 37720BCω = , 18,85 /BC rad sω =

C BCV IC= ω , IC CD ID= + , 2 210 15CD = + , 18,03CD ID cm= =

36,06IC cm= , 36,06 18,85CV = ∗ , 679,65 /CV cm s=

C CDV CD= ω ⇒ CCD

VCD

ω = , 679,6518,03CDω = , 37,7 /CD rad sω =

/G B G BV V V= + , 120BV i= π , /G B BCV BGω= ∧ , 6BC kω π= − , 15BG i=

/ 90G BV jπ= − , 120 90GV i jπ π= − , 377 282,74GV i j= −

/G B G Ba a a= + , 2B ABa BAω= , 2144Ba jπ= − , / /G B BC BC G Ba k BG Vα ω= ∧ + ∧

2/G B BC BCa k BG BGα ω= ∧ − , 2

/ 540 15G B BCa i jπ α= − +

/C B C Ba a a= + , 2C CD CDa k DC CDα ω= ∧ − , 15 10DC i j= +

2 2( 10 540 ) (15 360 )C CD CDa i jα π α π= − − + − , 2/C B BC BCa k BC BCα ω= ∧ − ,

2/ 1080 30C B BCa i jπ α= − +

2 2 2 2( 10 540 ) (15 360 ) 1080 (30 144 )C CD CD BCa i j i jα π α π π α π= − − + − = − + − 2 2

2 2

10 540 1080

15 360 30 144CD

CD BC

α π π

α π α π

− − = −

− = − ⎫

⎬⎭

⇒ 2

2

54 /

19,8 /CD

BC

rad s

rad s

α π

α π

=

=

2 2/ 540 297G Ba i jπ π= − + , 2 2684 297Ga i jπ π= − + , 6750,8 2931,3Ga i j= − +

450AB mm= 600BC mm=

MAKİNE 2 2004-2005 GÜZ YARIYILI DİNAMİK DERSİ 2.VİZE SORULARI VE CEVAPLARI SORU 1 ) Şekilde gösterilen robot x ekseni etrafında 1 3 /rad sω = sabit açısal hızı ile dönüyor. Şekilde gösterildiği anda BC kolu B den geçen z ye paralel eksen etrafında

2 4 /rad sω = ve 22 5 /rad sα = ile dönüyor. Bu anda BC kolu xoy düzleminde ve θ = 300

olduğuna göre a) BC kolunun açısal hızını b) BC kolunun açısal ivmesini c) C noktasının hızını d) C noktasının ivmesini hesaplayınız.

y 2α C A 2ω θ z 1ω B x Çözüm : a) 1 2ω ω ω= +

1 3iω = , 2 4kω = , 3 4i kω = + , 5 /rad sω =

b) 1 2D DDDt Dt Dt

ω ωωα = = + , 1 0DDtω

=

2 21 2

D dDt dtω ω

ω ω= + ∧ , 22 5

dk

dtω

α= = , 1 2 3 4 12i k jω ω∧ = ∧ = −

12 5j kα = − + c) CV BCω= ∧ , 300 3 300BC i j= +

3 0 4

300 3 300 0C

i j kV = , 1200 1200 3 900CV i j k= − + +

d) C Ca BC Vα ω= ∧ + ∧

0 12 5 3 0 4

300 3 300 0 1200 1200 3 900C

i j k i j ka = − +

−

( 1500 4800 3) (1500 3 7500) (3600 3 3600 3)Ca i j k= − − + − + +

9813,8 4901,9 12470,8Ca i j k= − − +

.sür OAV OPω= , . 18,98 /sürV cm s=

.

.

tanbağ

sür

VP

V= ⇒ . . tanbağ sürV V P=

0. 18,98 tan 28,02bağV =

. 10,1 /bağV cm s=

SORU 2) Şekilde gösterilen mekanizmada OA kolu O pimi etrafında 2 /OA rad sω = sabit açısal hızı ile dönerken P bilyası R=10cm yarıçaplı ve C merkezli çemberi izlemektedir.

2ROC = olduğuna göre 070θ = için P bilyasının OA koluna göre hızını bulunuz.

y A

OAω P R

O θ C x Çözüm :

. .P bağ sürV V V= + , P CV CPω= ∧ , . .bağ bağ OAV V U= , . . (cos sin )bağ bağV V i jθ θ= +

.sür OAV k OPω= − ∧

0 2sinsin 70R R

P= ⇒

0sin 70sin2

P = ⇒ 028,02P = , 081,98C = , 1,395 9,9CP i j= − +

0 0sin 70 sin81,98R OP

= ⇒ 0,949OP R= , 3, 246 8,918OP i j= +

( 1,395 9,9 )P CV k i jω= ∧ − + , 9,9 1,395P C CV i jω ω= − −

. . .0,342 0,94bağ bağ bağV V i V j= + , . 2 (3, 246 8,918 )sürV k i j= − ∧ + ,

. 17,836 6, 492sürV i j= −

. .9,9 1,395 (0,342 0,94 ) (17,836 6,492 )P C C bağ bağV i j V i V j i jω ω= − − = + + −

.

.

0,342 9,9 17,836

0,94 1,395 6, 492bağ C

bağ C

V

V

ω

ω

+ = −

+ = ⎫

⎬⎭

⇒ ⎧⎨⎩

. 10,1 /

2,15 /bağ

C

V cm s

rad sω

=

= −

II.yol y .bağV PV P R .sürV θ O C x

2RCGπ

=

SORU 3) Aşağıdaki gibi R=20 cm yarıçaplı ve m = 4kg kütleli ¼ çember şeklindeki cisim ilk hızsız verilen konumdan harekete bırakılıyor. Cismin bu andaki açısal ivmesini ve A pimindeki mesnet tepkisini bulunuz. y R C mg R G x A Çözüm:

A AM I α=∑ , 22AM mg CG=∑ ,

2

A GI I m AG= +

2

C GI I mCG= + ⇒ 2

G CI I m CG= − , 2CI m R= , 2 2

2

4GI m R m R

π= −

22

4(1 )GI m Rπ

= − , 2

22

4 2 222

R RAG R Rππ

= + − , 2 2

2

4(1 )RAG Rππ

= + −

0,71AG R= , 22 2(2 )AI m Rπ

= −

22 2 2 2(2 )2A

RM mg m R απ π

= = −∑ ⇒ 220,1 /rad sα =

GF ma=∑ ⇒ A GR mg j ma− =

2Ga AG AGα ω= ∧ − , 2 2( )

2 2AG CG i R CG j= + − ,

2 2( )2 2

AG CG i R CG j= + − , 0,09 0,11AG i j= +

20,1 (0,09 0,11 )Ga k i j= − ∧ + , 2,21 1,81Ga i j= −

(2, 21 1,81 )AR mg j m i j− = − ⇒ 8,84 32AR i j= +

?BV =

/ ?A BrΔ =

MAKİNE 2 2004-2005 GÜZ YARIYILI DİNAMİK DERSİ VİZE MAZERET SINAVI SORULARI VE CEVAPLARI SORU 1 ) Şekilde gösterilen makaralı sistemde A bloğu aşağı doğru 80 /AV mm s= sabit hızı ile hareket ediyor. a) B bloğunun hızını b) 4saniye sonra B nin A ya göre konumundaki değişmeyi bulunuz. As Bs A

x 020 B y Çözüm: a) 2 B As s sabit+ =

2 0B AV V+ = ⇒ 2A

BV

V = − , 40 /BV mm s= −

b) A As V tΔ = , 320As mmΔ = , 320Ar iΔ = B Bs V tΔ = , 160Bs mmΔ = − , 160Br jΔ = −

/A B A Br r rΔ = Δ − Δ , / 320 160A Br i jΔ = + , / 357,8A Bs mmΔ =

?PV = ?Pa =

SORU 2) Şekilde mekanizmada OA kolu O pimi etrafında dönerken OA kolundaki A pimi etrafında bir dairesel plaka dönüyor. Şekilde verilen değerler ve konum için Plaka üzerindeki P noktasının hızını ve ivmesini sabit eksen sistemine göre bulunuz. y P

1m 1 / ( )A rad s sabitω = 5m A 2

0 1 /rad sα = 2 /O rad sω = O 045 x Çözüm:

/P A P AV V V= + , A OAV k OAω= − ∧ , 2 25 52 2

OA i j= + , 2 22 (5 5 )2 2AV k i j= − ∧ +

5 2 5 2AV i j= − , /P A AV k APω= ∧ , AP j= , /P AV k j= ∧ , /P AV i= −

(5 2 1) 5 2PV i j= − −

/P A P Aa a a= + , 2A Oa k OA OAωΟ= −α ∧ − ,

2 2 2 2(5 5 ) 4(5 5 )2 2 2 2Aa k i j i j= − ∧ + − + , 2 215 25

2 2Aa i j= − −

2/P A Oa APω= − , /P Aa j= − ,

2 215 (25 1)2 2Pa i j= − − +

II.Yol :

. .P bağ sürV V V= + , . .bağ bağV APω= ∧ , .bağ A Oω ω ω= − , . 3bağ kω = , . 3bağV i=−

.sür OAV k OPω= − ∧ , OP OA AP= + , 2 25 (5 1)2 2

OP i j= + +

.2 22 [5 (5 1) ]

2 2sürV k i j= − ∧ + + . (5 2 2) 5 2sürV i j= + − ,

(5 2 1) 5 2PV i j= − − , 6,07 7,07PV i j= −

P bağ sür cora a a a= + + , 2. . .bağ bağ bağa AP APω= −α ∧ − , .bağ O kα α= − = , . 9bağa k j j= ∧ −

. 9bağa i j= − − , 2sür Oa k OP OPωΟ= −α ∧ −

22 2 2 2[5 (5 1) ] [5 (5 1) ]2 2 2 2sür Oa k i j i jωΟ= −α ∧ + + − + +

2 2 2 2(5 1 20 ) ( 5 20 4)2 2 2 2süra i j= + − + − − −

2 2( 15 1) ( 25 4)2 2süra i j= − + + − −

. .2cor bağa VΟ= ω ∧ , . 4 ( 3 )cora k i= − ∧ − , . 12cora j=

2 215 (25 1)2 2Pa i j= − − + , 10,61 18,68Pa i j= −

?d = ?α =

SORU 3) Şekildeki gibi O da silindirik mafsallı ve 15 kg kütleli AB çubuğunun A ucuna 60 N şiddetinde yatay bir F kuvveti uygulanıyor.Bu anda O daki mafsal tepkisinin yatay bileşeninin sıfır olması için d mesafesi ne olmalıdır ve bu andaki açısal ivmeyi bulunuz. B d 60cm O c G 60cm

60F N= A Çözüm:

x G xF m a=∑ ⇒ 60 G xm a= , ⇒ 6015G xa = , 24 /G xa m s=

O OM I α=∑

2O GI I mc= + , 21

12GI m L= , 21 15(1,2)12GI = , 2 21 15(1,2) 15

12OI c= +

G xa cα= ⇒ G xac

α = , 4c

α =

(0,6 )OM F c= +∑ , 2 21 436 60 [ 15(1,2) 15 ]12OM c c

c= + = +∑

536 60 1,44 60c cc

+ = + ⇒ 7, 236

c = , 0, 2c m=

0,6d c= − , 0, 4d m= , 40d cm=

40,2

α = , 220 /rad sα =

40OA cm= 20AB cm=

?Br =

?BV = ?Ba =

MAKİNE 2 2004-2005GÜZ YARIYILI DİNAMİK DERSİNİN FİNAL SINAVI SORULARI VE CEVAPLARI Soru 1) L şeklindeki OAB cismi O pimi etrafında 2( / 6) tθ π= bağıntısına göre dönmektedir. ( burada θ : raydan , t : saniye cinsindendir)

1t = için OAB cisminin B uç noktasının, yer , hız ve ivme vektörünü bulunuz. y B A O θ x Çözüm :

Br OB OA AB= = + , 40cos 40sinOA i jθ θ= + , 20( )OAAB k U= ∧

cos sinOAU i jθ θ= + , 20sin 20cosAB i jθ θ= − + (40cos 20sin ) (40sin 20cos )Br i jθ θ θ θ= − + +

1t = de / 6 radθ π= dır. (20 3 10) (20 10 3)Br i j= − + + , 24,64 37,32Br i j= +

( 40 sin 20 cos ) (40 cos 20 sin )BB

drV i j

dtθ θ θ θ θ θ θ θ= = − − + −

( / 3) tθ π= 1t = de / 6 radθ π= , / 3 /rad sθ π= dır. 1 3 3 1( 40 20 ) (40 20 )

3 2 3 2 3 2 3 2BV i jπ π π π= − − + −

10 10(2 3) (2 3 1)3 3BV i jπ π= − + + − , 39,1 25,8BV i j= − +

2Ba k OB OBθ θ= ∧ −

/ 3θ π= , 2

(24,64 37,32 ) (24,64 37,32 )3 9Ba k i j i jπ π

= ∧ + − +

2 2

( 37,32 24,64) ( 24,64 37,32)3 9 3 9Ba i jπ π π π

= − − + −

(37,32 24,64) (24,64 37,32)3 3 3 3Ba i jπ π π π

= − + + −

66,1 15,12Ba i j= − −

Soru 2) Şekildeki gibi C pimi etrafında dönen CP koluna P de mafsallı P bileziği , O etrafında dönebilen OB kolu üzerinde hareket edebilmektedir. Sistem şekilde verilen konumdan geçerken CP kolunun açısal hızı 6 /CP rad sω = ve açısal ivmesi

24 /CP rad sα = olduğuna göre bu an için OB kolunun a) açısal hızını b) açısal ivmesini bulunuz. c) P bileziğinin OB koluna göre bağıl ivmesini hesaplayınız. O x 4 cm C 10 cm CPω

CPα 8 cm P

B y

Çözüm : O x C CPω CPα

sürV P B y PV bağV

a) . .P bağ sürV V V= +

P CPV k CPω= ∧ , 8 6CP i j= + , 6 (8 6 )PV k i j= ∧ + , 36 48PV i j= − + ,

. .bağ bağV V j= , .sür OBV OP iω= − , . 10sür OBV iω= − , .10P OB bağV i V jω= − + ,

.36 48 10P OB bağV i j i V jω= − + = − + ⇒ 3,6 /OB rad sω = , 48 /bağV cm s=

b) ve c) . . .P bağ sür cora a a a= + + , 2P CP CPa k CP CPα ω= ∧ −

4 (8 6 ) 36(8 6 )Pa k i j i j= ∧ + − + , ( 24 288) (32 216)Pa i j= − − + − 312 184Pa i j= − −

. .bağ bağa a j= , 2.sür OB OBa OP i OP jα ω= − − , . 10 129,6sür OBa i jα= − −

. .2cor OB bağa k Vω= ∧ , . 7, 2 48cora k j= ∧ , . 345,6cora i= − ,

.( 10 345,6) ( 129,6)P OB bağa i a jα= − − + −

.312 184 ( 10 345,6) ( 129,6)P OB bağa i j i a jα= − − = − − + −

.

10 345,6 312129,6 184

OB

bağaα− − = −

− = − ⇒

2

2.

3,36 /

54,4 /OB

bağ

rad s

a cm s

α = −

= −

Soru 3) 50 kg kütleli bir rijid çubuk O etrafında saat ibreleri yönünde 10 /rad sω = açısal hızı ile dönüyor.Şekilde gösterildiği anda çubuğun 220 /rad sα = ile yavaşlayabilmesi için A ya uygulanan F kuvvetinin şiddetini ve bu durumda O pimine gelen tepki kuvvetini bulunuz. y F m g

O G A B x

10 /rad sω = 220 /rad sα = 2cm 4cm 6cm Çözüm:

O OM I α=∑ ⇒ 0,02 0,04OM F m g= −∑

2(0,04)O GI I m= + , 2112GI m L= , 21 (0,12)

12GI m= ,

2 21 (0,12) (0,04)12OI m m= + , 20,0028 0,14OI m kgm= =

0,02 0,04 0,0028OM F m g mα= − =∑ ⇒ 50(0,04 0,0028 20)F m g m= + ∗ (2 2,8)F g m= + , 1121F N=

GF m a=∑ , OF R m g j F j= − −∑ 2

Ga OG i OG jω α= − ∗ + , 20,04 10 0,04 20Ga i j= − ∗ + ∗ , 4 0,8Ga i j= − +

( 4 0,8 )OF R m g j F j m i j= − − = − +∑

490,5 1121 200 40OR j j i j− − = − + , 200 1651,5OR i j= − + 1663OR N=

MAKİNE 2 2004-2005 Yaz Okulu DİNAMİK DERSİ 1.VİZE SORULARI VE CEVAPLARI Soru1: 7.5 metre yarıçaplı çembersel hareket yapan A test kabininin ivmesinin normal bileşeninin 10g olması için açısal hızı ne olmalıdır.

Çözüm:

10Aa g= , 2Aa Rω= ⇒ Aa

Rω = ,

107,5

gω =

43gω = , 3,617 /rad sω =

Soru 2: Titreşim hareketi yapan bir parçacığın hareketi a ks= − ivme-konum bağıntısı ile tanımlanmıştır. 0s = da 15 /V m s= ve 3s m= iken 0V = olduğuna göre

a) k katsayısını belirleyiniz. b) 2s = deki V hızını bulunuz.

Çözüm: a)

vdvads

= , vdv ksds

= , vdv ksds= , 15 0

V s

vdv k s ds= −∫ ∫

2 2 21 1( 15 )2 2

V k s− = − 2 2 21 1 1152 2 2

V k s= − +

0 3

V s

vdv k s ds= −∫ ∫ , 2 2 21 1 32 2 2

kV k s= − +

2 2 21 1 1152 2 2

V k s= − +

_ 2 2 21 1 32 2 2

kV k s= − +

2 210 15 32 2

k= − ⇒

2153

k ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, 25k =

b)

2 2 21 25 1152 2 2

V s= − + , 2 2 21 25 12 152 2 2

V = − +

125V =

11,18 /V m s=

Soru 3: Şekilde gösterildiği gibi R= 20 cm yarıçaplı çember üzerinde 6

tπθ = bağıntısı ile

hareket eden 2P maddesel noktasının , 20 10sins θ= + bağıntısı ile AB doğrusu üzerinde hareket eden 1P maddesel noktasına göre konumunu, hızını, ve ivmesini bulunuz.

030 θ

1P

2P

Çözüm:

2 1 2 1/P P P Pr r r= − , 2

cos sinPr R i R jθ θ= + , 1 1Pr OA AP= +

0tan 30ROA

= , 0tan 30ROA = , 3OA R i= − ,

1

3 1( 3 )2 2Pr s R i s j= − +

2 1/3 1( cos 3 ) ( sin )

2 2P Pr R s R i R s jθ θ= − + + −

2 1/3 1( sin ) ( cos )

2 2P PV R s i R s jθ θ θ θ= − − + −

2 1

2 2/

3 1( sin cos ) ( cos sin )2 2P Pa R R s i R R s jθ θ θ θ θ θ θ θ= − − − + − −

6πθ = , 0θ = , 10 coss θ θ= , 210 cos 10 sins θ θ θ θ= −

2t = için 3πθ = , 20 5 3s = + , 110

6 2s π= , 5

6s π= ,

2 3106 2

s π⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

25 336

s π= − , ( ) ( )2 1/

3 1[10 20 5 3 20 3] [10 3 20 5 3 ]2 2P Pr i j= − + + + − +

2 1/5 15( 10 3) ( 3 10)2 2P Pr i j= − + − ,

2 1/ 14,82 2,99P Pr i j= − +

2 1/3 3 5 1 1 5( 20 ) (20 )

6 2 2 6 6 2 2 6P PV i jπ π π π= − − + − ,

2 1/25 3 15

12 12P PV i jπ π= − +

2 1/ 11,33 3,93P PV i j= − + ,2 1

2 22 2

/1 3 5 3 1 5( 20 3) ( 20 3)

6 2 2 36 6 2 2 36P Pa i jπ π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 1

2 2

/5 15 372 72P Pa i jπ π

= − − , 2 1/ 0,69 3,56P Pa i j= − −

MAKİNE 2 2004-2005 Yaz Okulu DİNAMİK DERSİ 2.VİZE SORULARI VE CEVAPLARI

MAKİNE 2 2005-2006 YAZ OKULU DİNAMİK DERSİ 3.VİZE SINAVI SORULARI VE CEVAPLARI

MAKİNE 2 2005-2006 GÜZ DÖNEMİ DİNAMİK DERSİNİN FİNAL SINAVI SORULARI VE CEVAPLARI

Soru 1 Bir maddesel nokta bir eğri üzerinde hareket ederken bir t anında hız ve ivme vektörlerinin kartezyen koordinatlardaki bileşenleri

30 40= +V i j , 3 2 6= + −a i j k olduğuna göre bu an için hız ve ivme vektörlerinin doğal koordinat sistemindeki ifadelerini ve eğri üzerinde bulunduğu noktanın eğrilik yarıçapını bulunuz. (Uzunluklar metre zaman saniye cinsindendir) Çözüm: V Ta θ A a Na 2 230 40= +V , 50 /=V m s , 50=V T

V a V a Cosθ• = , 2 2 23 2 6= + −a , 27 /=a m s

V aCosV a

θ •= , 30*3 40* 2

7 *50+

=Cosθ , 0, 486=Cosθ ⇒ 60,94= oθ

23, 4 /= =Ta a Cos m sθ , 26,12 /= =Na a Sin m sθ 3,4 6,12= +a T N

2

NVaR

= ⇒ 2

N

VRa

= , 25006,12

=R , 408,5=R m

300

300 Ta

x

y

Na 300

Soru 2: A otomobili otobanda doğrusal bir yolda hareket ederken B otomobilide R = 160 m. Yarıçaplı bir çıkışta hareket ediyor. A nın hızı 2 m/s2 oranında artarken B nin hızı 1,2 m/s2 oranında azalıyor. Şekilde gösterilen konum için a ) A nın Bye göre hızını VA/B , b) A nın B ye göre ivmesini aA/B hesaplayınız.

y A VA = 100 km / h B 300 VB = 60 km / h R= 160m 0 x

Çözüm : a) /A B A BV V V= −

100AV i= , 0 060cos30 60sin 30BV i j= − , 30 3 30BV i j= −

/ (100 30 3 ) 30A BV i j= − + , / 48,04 30A BV i j= + km/h , / 13,34 8,33A BV i j= + m/s

/ 56,64 / 15,7 /A BV km h m s= = , 030arctan 3248,04

θ = =

b) /A B A Ba a a= − , 2Aa i=

( ) ( )B B T B Na a T a N= + , 2( ) 1,2 /B Ta m s= − , 2

( ) BB N

Va

R= ,

60 100060 / /60 60BV km h m s∗

= =∗

, 16,67 /BV m s= , 2(16,67)( )

160B Na =

2( ) 1,736 /B Na m s= , 1, 2 1,736Ba T N= − + 0 0 0 01, 2 ( cos30 sin 30 ) 1,736( sin 30 cos30 )Ba i j i j= − + + − −

(0,6 3 0,868) (0,6 0,868 3 )Ba i j= − + + − , 1,91 0,9Ba i j= − −

/ 3,91 0,9A Ba i j= + , 2/ 4 /A Ba m s= , 00,9arctan 13

3,9ϕ = =