Dinamika Strujnih Procesa1-Opt

I

na fluid 2 što se pro

2.3-5).

(2.3-5) uvrsdobiva se

(2.3-9)

:og toka e2(t).

le bude proslučaj koIksimatiVna lžbi (2.3-9). Iti derivamog fluida. ! u poglav

(2.3-10)

(2.3-11)

!lnta "između

!l topline Lji· dio pro) nisu veli ()blematiku toplir:i~. To, tabele i rat urom. Ali ,

2.3 107

zato je korisno razmotriti neke tipične tehničke slučajeve i vi djeti područje unutar kojeg se kreće vremenska konstanta T za te procese.

Neka kroz neizolirani vrelovod debljine stijenke 6 = 5 mm

struji voda temperature 80oC. Ako je koeficijent ppijelaza topli ,., ne na okolni zrak al = 10 W/m~ K, a na unutrašnjoj strani cije

2vi (12 = 230 Wim K, i za p = 7850 kg/m3 , e" 0.50 kJ/kg K,

vremenska konstanta T će iznositi

T .. ~ ~ 7850-0.005·500(11+a 230+10 • 81.77 s •

2

Cijev pregrijača pare termoelektranskog kotla debljine 5 .. 0.005. P ~ 7850, c = 500 i s koeficijentima Cll = 60, (12 = 2400 ima vremensku konstantu

T .. 7850·0.005·50060+2400 .. 7.98 8 •

Iz ova dva jednostavna numerička pr1mJera očito je da će T biti to manji što su koeficijenti prijelaza topline veći, odnosno otpori prijelaza topline manji. Vrijedno je uočiti i to da je vremenska konstanta u slučaju da·~u velike razlike u koeficijentima Cl, određena uglavnom većom konstantom prijelaza topline. Zanemari li se, naime, cxr'u drugom slučaju,za T se'dobiva T = 8.177, što je tek za 2.5 %veĆe od prvotne vremenske konstante.

Do sada je, a naosnovt prve pretpostavke kako je }. beskonačno velik," cijelosti zanemarivan toplinski otpor vođenju to

• . J

pline krozistijenku i na T su utjecali samo otpor;~.prij,elaza topli ne uslijed konvekcije. U slučaju da su na oba ruba st j enke ~

uvjeti dani narinuti toplinski tokovi, i računali se s konačnim

koeficijentom vođenja topline }. , u praksi se primjenjuje prijenosna funkcija koja prikazuje ovisnost veličine toplinskog toka e 2(t) od toka el(t) na "toplijoj" strani stijenke

108

Predočena prijenosna funkcija i vremenska konstanta c1Jevi Ts bit će izvedeni u poglavlju 3.2. U dinamičkom smislu.,stijenka se ponaša kao proporcionalni član l. reda i za pregrijačku cijev kotla kod koje je A = 46.5 WIm K

Konačno, u mnoštvu mogućih različitih slučajeva jedna od češćih pojava kod cijevnih izmjenjivača topli~e jest da maseni protoci fluida ml i m2 nisu konstantni,već u nestacionarnim režimima mogu bitno mijenjati svoje iznose. U takvim slučajevima više nije ispunjena četvrta pretpostavka i ne može se raditi s konstantnim vrijednostima za koeficijente konvektivnog prijelaza topline al i a 2 ,budući da su oni vrlo zavisni od brzina strujanja fluida (dakle, protoka). U praksi se stoga vrlo često za jednofazne fluide prilikom strujanja kroz cijevi koristi ovakav izraz za određivanje a

(2.3-15)

n - 0.8 tekućine

n 0.6 plinoviOI

Dokle, neispunjavanjem četvrte pretpostavke jednadžba (2.3-5)

prestaje biti linearna i ako se u nju umjesto a uvrsti izraz (2.3-15), nakon linearizacije se;dobiva slijedeći matematički zaprs.za dinamiku promjene temperaturestijenke,u slučaju promjene četiri moguće poremećajne veličine

\)·p.~o dć~ ___,.... s +

(<<1+a2) dt

(2.3-16)

i = 1,2 • (2.3-17)

l

(2.3-14)

,anta cijevi

:lu"stijenka .jačku cijev

jedna od da. maseni

marnim reži~ajevima više Lti s konstan~laza topline janja fluida , ~dnofazne flu-az za odre

(2.3-15)

ldžba (2.3-5) ~i iZraz ~elilatički zaljU!jJi"omjene

+

(2.3-16)

(2.3-17)

2.3 109

Ukidanjem 4. pretpostavke ne mijenja se izraz za T, ali ta vremenska konstanta postaje ovisna od početnog stacionarnog stanja i pojavljuju se dVije nove poremećajne veličine - maseni pro

toc~ ml i m2•

Analiza različitih slučajeva može se proširivati i dalje od čega se odustaje. Smatra se, naime, da se time ne bi dobile bitno nove spoznaje. Za čitaoca je puno korisnije da se zbog razumijevanja oVdje predočenih modela pozabavi analizom rezultata iz poglavlja 3.2, gdje je detaljnije ispitivana raznolikost pojava zbog različitih rubnih uvjeta na granicamajstijenke.Ovdje ce se, u nastavku analize procesa prijelaza topline ukazati na tipično nelinearan slučaj prijelaza topline putemizračenjemi usporediti odzivi izvornog nelinearnog s odzivima linearnog modela.

Primjer 2. Prijelaz topline zračenjem

Dvije međusobno bliske paralelne stijenke sa slike 2.3-3. izmjenjuju toplinu zračenjem nakon što je u t = O temperaturastjenke l skokovito porasla s OOC na 85 °C. U t = O i temperatura st j enke 2 je bila O °C. 1>lasalstijenke2 je 0.1 kg/a njena specifična toplina c = 1000 J/kg K. Emisioni koeficijenti:stijenki su jednaki i iznose~ El = E2 = 0.065. Prema okolini obje:stijenkesu izolirane i izmjenjuju toplinu ~amo između sebe. Al a A2 = l m2•

a) Potrebno je odrediti kolika je vremenska konstanta koja određuje

brzinu porasta temperature stijenke.

b) Treba usporediti stvarni nellnearnl'odziv s odzivom linearnog modela za slučajeve da se temperatura stjenke 1 skokovito poveća 'za: 8.5,oC i

85 °C.

- "

110

'.

Slika 2.3-3. Izmjena topline zračenjem

izmedu paralelnih stjenki

a) Jednadžba održavanja energije za stijenku 2 je

(2.3-18)

l (2.3-19) 1004 '

(2.3-20)

Tri gornje jednadžbe daju traženi model

(2.3-21)

Dobivena je izrazito nelinearna ODJ,koja opisuje dinamiku promjene temperatureistijenke 2, ~2. Linearizacija gornje jednadŽ

be daje.

-3 ~2

~~2

- 3~l

• ~ ~~l ~2

• (2.3-22)

4c121004 '--Y----J

T

(2.3-18)

(2.3-19)

(2.3-20)

(2.3-21)

je din8lftiku Drnje jednadž

(2.3-22)

2.3 111

Vremenska konstanta T,ukoliko se i brojnik i nazivnik pro

šire s ~2' ima jasan fizički smisao.

l M2c -52 2 akumulirana toplina •T .. -T (2'.3-23)4 o - 4 toplinski tOk

~2 C121004

Izraz u nazivniku, za slučaj da je s~enka l crno tijelo, tj. C12 = C2 , uistinu predstavlja toplinski tok između ploha l i 2. Za zadane veličine nije teško odrediti da će C12 biti

Cl? = 0.1904 i

T = 0.1·1000·273 4 '"' 645 s • 4·0.1904·2.73

b) Analitičko nelinearno rJesenje jednadžbe (2.3-21) ima slijedeći eksplicitni oblik za vrijeme t

• (2.3-24)

Linearno rješenje je u poznatoj formi za član l. reda.

l t a~2 r= a~l(l - e~ ) • (2.3-25)

Ukoliko se za priraste a~= 8.5 °c i 850 C pomoću jednadžbi (2.3-24).i (2.3-25) izračunaju odzivi i prikažu grafički,dobiva

se dijagram na slici 2.3-4. .;Iz prikaza na idućoj strani, koji za zadane po~

reme~aje predstavlja graričkipTedo~ena rjeienja jednadžbi, (2.3~24) i (2.3-25), vrijedi uočiti da se raz~ike između .~eline

arnog i linearnog odziva povećavaju s porastom veli~ine poremećaja.

• m.. m. 1

505

------------------~------------. '17.5 75 /'." ~ ;,' I --:-~~ . ~-t.::-:: .

;' - ..····I··""~a. ;';' ...--:......... I

, ...~.... I ;'~~... I

",r.;'" I2,5 25 ~ •••' I

. ~ l ~ IT

200 G) SJ) Ims t Slika 2.3-4.0dziv nelinearnog i linearnog modela kod izmjene topline zračenjem

NL 6~1 • 850 -----

• • • • • • L ••••••

- 818seni protoci na ulazu i izlaz'u su konstantni, tj. mu - posuđa je toplinski izolirana, - idealno miješanje u posudi ~. ~. ,

1

112

Primjer 3. Direktni izmjenjivači topline

Na ordinati su naneSene vrijednosti za oba poremećaja ibu.dući da je mjerilo isto ~samo 10 puta veće~u oba slučaja za od

ziv linearnog modela zadovoljava jedna krivulja. Za nelinearni model, međutim,dobivaju se dvije različite krivulje i upravo prema očekivanju, razlike prema linearnom odzivu veće su kod ve'ćeg odstupanja ć~l= 850 C od stacionarnog stanja.

U direktnim izmjenjivačima toplina se prenosi izravnim miješanjem više masenih tokova različitog toplinskog stanja. Uz to, u samoj posudi vrši se dogrijavanje električnim, parnim ili drugim zagrijačima. Na slici 2.3-5. prikazan je takav jedan izmjenjivač, a znak mješaliee označava dobru promiješnnost tekućine u posudi i homogeno't6plinsko polje,.~j. smatra se aa je poćijelom volumenu izmjeri31vača temperatura jednaka'! da iz posude izlazi tekućina

s t'O'ljjt~mpet"8turđm. Potrebno je postaviti model dinamičkih promje~ na temperature na izlazu iz posude uz slijedeće pretpostavke:

--

- t

; modela

Imećaja i bulja za odZa nelinear

Lje i upravo

! su kod ve

lm miješanjem to,u samoj

lrugim zagriljivač, a u posudi i

!lom vOlumenu·

ti tekućina

&ičkih prolDjepostavke:

2.3 113

- konstantna specifična toplina tekućine e = konst.,. p - ·za tekućine se zanemaruje član p·v u izrazu za unutrašnju spe

cifičnu toplinu u = i - Pv, tj. u = i = cp ~.

Slika 2.3-5.Izolirani direktni izmjenjivač topline

Jednadžba održavanja topline ima uobičajen izgled

(2.3-26)

eu .. mc . ~ , (2.3-21)p u

(2.3-28)

E (2.3-29)

Sređivanjem zadnjih izraza dobiva se

l + -- • (2.3-30)

mc Qel

p

~remenska konstanta T = ~Vm, ft ako se i brojnik i nazivnik pro

šire,dobiva se

pohranjena (akumulirana)toplina -------------. (2.3-31)

toplinski tok

114

Uz Kornje pretpostavke dobivena je standardna linearna ODJ za proporcionalne članove l. reda. U slučaju da nije ispunje

no m = konst. jednadžba prestaje biti linearna zbog toga jer produkti m· ~.·c i m·~ . c· više nisu linearni izrazi.

1. p U P Zbog usporedbe s aproksimiranim prijenosnim funkcijama iz

poglavlja 3.2.ovdje će se jednadžba (2.3-30) predočiti u transformiranom obliku

l l iiiC"

= Hs+l Su(s) + .tl S:l Qel(S) • (2.3-32) m m

U .narednim redovima predočit će se kako "neznatne" izmjene u pretpostavkama bitno mijenjaju matematički model, ukazujući

time na svu važnost pažljivog odabira pojednostavljivanja prilikom postavljanja modela.

Potrebno je postaviti model dinamike uz sve početne pretpostavke osim što se mijenja druga i dodaju se dvije nove - posuda nije izolirana, - zanemaruje se akumulativnost stijenke posude (tankostjena posuda), - koeficijent .provođenja topline kroz stijenku je beskonačno velik.

Q

~.

Slika 2.3-6.Neizolirani direktni

izmjenjivač topline

Jednadžba održavan'ja top.l...1ne sada ima ovaj oblik

(2.3-33)

2.3 115

linearna Nakon uređivanja dobiva se

OlJe ispWlje(2.3-34)toga jer pro

d~. mc li. pT __1 + ~i ...,..._.....t::__ .~ + • Q + nkcijama iz dt mcp+avA u mc +a A el v p v v·ti u transfor-

Mc T • mc +ii

p A • (2.3-35)

I p -y v

Ponovo je to dinamika uobičajenog proporcionalnog člana l. (2.3-32) reda,samo što se promijenila konstanta T.

Ukoliko se ispusti pretpostavka o zanemarivo maloj akumulativnatne" izmje nosti stijenke izmjenjivača (a uz zadržavanje svih ostalih pretpos, ukazujući tavki), potrebno je postaviti dvije bilancne jednadžbe budući da se savanja prilikom da pojavljuju dva mo~uća spremnika topline - tekućina u posudi i

stijenka posude izmjenjivača:

četne pret - tekućina nove d~.

mc ~ - auA (~'-~s) - mc ~. oo Mc __1 , (2.3-36)P u

+ Qel u l , P l P dt st jena posuda),

-stijenkaskonačno velik. d~

auA ( ~1' - ~ ) - a A (~ -~ ) .. M c _s • (2.3-37)u s v v s o s s dt

Sve dok konvektivni koeficijenti prijelaza topline a i a u

nisu ovisni o temperaturam?F;ornji sistem jednadžbi je linea;an i

može se izravno napisati u obliku matričnih jednadžbi prostora sta

nja: mc +a A auAup u u

~iMc McP p

• +

auAu auAu+avAv~s ~s ,ik Msca Maca

al l ~uM Mcp

O

(2.3-38)+ Qel

O O avAv

~o foiS Cs

116

Zaključujući analizu dinamike direktnih izmjenjivača topline predočit će se i model kada se za pretpostavku uzme da je miješanje tekućine vrlo intenzivno, čime je osiguran velik koeficijent prijelaza topline au na unutrašnjoj stranistijenke. Tada će vrijediti ~ =~. i-UZ ~=oo postavlja se jedna jedinas ~ . jednadžba održavanja topline

mc ~ Q ~ e (Mc + Mc) d~i (2.3-39)P u + el - mop i ps s dt

Nakon Laplaceove transformacije dobija se slijedeći prikaz

(2.3-40)

GW'(s)

Kor~~po je uočiti da je dobivena prijenosna funkcija G(s) jednaka aproksimiranojprijenosnoj funkciji danoj jednadžbom (3.2-27) u poglavljuu kojem je direktni izmjenjivač debelih stijenki promatran kao sistem s raspodijeljenim parametrima.

Nil kraju analize dinamike osnovnih toplinskih procesa treba istaknuti da su promjene tempeFature II pravi~u opisane poznatim jedn~džbama za ,proporcionalne članove~ Vremenska konstanta T i oVdje je jednaka umnošku koeficijenata toplinskog kapaciteta C i otpora R: T = CR. ,Po to~e su toplinski procesi, koji se II fi-o zičkom smislu svode ,na procese pohranjivanja topiine, u dinamičkom smislu slični procesima pohranjivanja mase u spremnicima, a ključna razlika prema:procesima strujanja jest što toplinski procesi nemaju svojstvo ine~cije~' Odatle kod njih neće biti moguća

pojava periodičnih, titrajnih promjena stanja.,

----------=......:....:...:.:..::....::...::.:.:::..:.:=-==-===---=--==- --

----- --------

MATEMATiČKO MODELIRANJE INŽENJERSKIH PROCESA I SISTEMA

I ,I I I I

EKVIVALENTNO NAPREZANJE (MPa)

PLASTIČNA ZONA

II

II

1-180 2 - 192 3 - 204 4 - 216 5- 228 6 - 240 7 - 252 8 - 264 9- 277 10- 289 II - 301 12 - 313 13 - 325 14 - 337 I I IS - 349

Slika 6.25. Ekvivalentna naprezanja kod procesa sabijanja

6.4. METODA KONAČNIH VOLUMENA

Metoda konačnih elemenata bila je donedavno osnovna za numeričko rješavanje naprezanja u čvrstim tijelima. Znatno manju primjenu ima metoda rubnih elemenata i metoda konačnih razlika, te metoda konačnih volumena (MKV), koja ima veću

primjenu u numeričkoj mehanici fluida. Iterativnost MKV čini je pogodnom za analizu nelineranih problema [5,10,11,55].

6.4.1. Diskretizacija metodom konačnih volumena

Diskretizacija se sastoji u definiranju numeričke mreže koja se sastoji od konačnog

broja računskih točaka koje zamjenjuju kontinualnu funkciju, npr. u =u(r,t),

T =T(r, t) odgovarajućim vrijednostima u datim točkama [10]. Numerička

aproksimacija je bolja, što je veći broj računskih točaka. Prema tome, čvrsto tijelo se dijeli na konačan broj kontinualnih kontrolnih volumena (KV) ili ćelija volumena V ograničenih površinom S, koja se sastoji od određenog broja ćelijskih površina (Sk). Računski čvorovi su postavljeni u centar svakog prostora (KV), a granični čvorovi

227

~-

6. NUMERiČKO MODELIRANJE

Slika 6.26. Oiskretizacija prostora MKV [1 O]

r/1-/-/-/ o izračunati čvo o o o -l/ - granični čvor

o o o -~ o o o -V- / /-/

lO o o o o o -i V 1/ ~ lo o o o o o -i V / l/lo o o o o o -)- '---- -- -- ---

II/

Xj

i-l i+ l

8x;

Slika 6.27. Šipka i N kontrolnih volumena (Se=Sw=S, V=S8x p • nx,e=l, nx,w=-l)

Diskretizacija prostora, zbog jednostavnosti, dijeli se na N jednakih kontrolnih volumena (slika 6.27.), tako da je:

L 8x;=N=8x, (i=1,2, ... ,N) (6.118)

228

postavljeni su u centar granične površine ćelije služe za specificiranje graničnih

uvjeta (slika 6.26.).


6.4.2. Volumenske i površinske sile

Volumenske sile djeluju na cijelu masu elementa čvrstog tijela i prikazuju se kao sile po jedinici mase čvrstog elementa (sile gravitacije, sile inercije, magnetne sile, itd.).

Površinske sile nastaju djelovanjem direktnim kontaktom na element čvrstog tijela i prikazuju se kao sile po jedinici površine čvrstog elementa (kontaktne sile, sile inercionog trenja, itd.).

Volumenska sila fb u točki elementa čvrstog tijela je granična vrijednost rezultantne sile ,1Fb koja djeluje na sve točke elementa čvrstog tijela i mase tog elementa ,1m = p,1V ,tj.

(6.119)

Ukupna volumenska sila iznosi:

Fb =f fb dm =fP f bdV . (6.120) m V

Isto tako površinska sila u točki čvrstog tijela iznosi:

(6.121)

Ukupna sila koja djeluje na konačnu površinu:

(6.122)

gdje je: ,1Fs - rezultanta svih sila koje djeluju na površinu ,15.

229

6. NUMERIČKO MODELIRANJE

6.4.3. Jednadžba o održanju momenta količine kretanja

Prvi Cauchyjev1 zakon kretanja [10], izveden prema drugom Newtonovu zakonu primijenjenom na čvrsto tijelo, ima oblik:

~ Jp dU dV =J(J ndS + JP fbdV , (6.123) ut v dt s v

gdje su: (J - tenzor naprezanja, odnosno (J/j = CJj" i;;t: j, tenzor naprezanja, p - gustoća,

V - volumen, S - površina, u - vektor pomaka, fb - rezultanta volumenskih sila koja djeluje na tijelo, n - jedinični vektor normale, t- vrijeme.

U izrazu (6.123) prvi član su inercione sile, drugi član se odnosi na površinske sile, a treći član na volumenske sile.

Izraz (6.123) važi za cijelo tijelo ili za dio volumena V ograničenog površinom S, s vanjskim jediničnim vektorom normale n na površini S (slika 6.28.).

s

o

Slika 6.28. Djelovanje volumenskih i površinskih sila na čvrsto tijelo

l A. L. Cauchy (1789 - 1857), radio na istraživanju problema teorije elastičnosti, teorije funkcija kompleksne varijable, itd.

230


Tenzor naprezanja a, komponente pomaka u, vektor normale n i masene sile fb mogu se pisati u obliku:

u nau T .t)' T xz f/JXx

(6.124)a= , u= v n= n , =T yX aj')' T yZ fb fbyy

w nzTu T zy cr zz. fbz

odnosno konstitutivne relacije [55]:

au [au av aw) ( )a xx = 2J.1-+A -+-+- - 2J.1 +3A dTax ax ay az av [au av aw) ( )al" = 2J.1-+A -+-+- - 2J.1 + 3A dT (6.125)

.J ay ax ay az aw [au av aw) ( )a =2J.1-+A -+-+- - 2J.1+3A dTzz az ax ay az

(av aw)<" ~I'[~> ~:): <" ~ I'[~> ~); T rz =J.1l az + ay ; T xy = T yx = 2J.1E xy; T xz = T u = 2J.1E xz ; T yz =T zy = 2J.1E yz ;

E 1 Ev L . k fi" .gdje su: J.1 = G = ( )' A = ( X )' ameovI oe lCIJentI,21+v l+v 1-2v

v - Poissonov koeficijent, E - Youngov modul elastičnosti,

G - modul smicanja, a - koeficijent linearnog širenja.

6.4.4. Početni i granični uvjeti

Matematički model se smatra kompletnim kada ima određene početne i granične

uvjete, zašto se mora izabrati određeni broj i tip ovih uvjeta. Problem je dobro postavljen kada ima rješenja koja su jedinstvena i kontinuirano ovisna od početnih i graničnih uvjeta. Početni uvjet može biti raspored pomaka, npr.u(x,y,Z,O)=uo, v(x,y,Z,O)=vo'

231


Kod definiranja graničnih uvjeta moguće je primijeniti više vrsta graničnih uvjeta, međutim svi se mogu klasificirati u dvije grupe:

• Dirichletovi granični uvjeti, gdje je na granicama zadana vrijednost zavisno promjenjive (npr. zadani pomak ili temperatura).

• Neumannovi granični uvjeti kada su zadane vrijednosti gradijenta zavisno promjenjive (npr. zadano naprezanje).

Primjer 6.4.

Tanka ploča je izložena utjecaju topline. Širina ploče 2hje puno manja od dužine. Promjena temperature po širini ploče izaziva normalna naprezanja (Jiy).

Komponentna naprezanja (Jy =0 i 'l"xy = O,[5,1l,32).

y T(y)

x

21

2h

Slika 6.29. Tanka ploča izložena utjecaju topline [32J

Promjena temperature je određena izrazom:

T(y) =301 yZ - ~J Materijal ploče ima E= 2,1 x10JJ Pa, V =0,33, a =9,5 x 10--6 aC-l.

Pri numeričkom proračunu dimenzije su ploče h = 1m i l = lm podijeljene na deset podjela po dužini i po širini.

232


Granični su uvjeti za numeričkiproračun:

au - (J - du - oa U pomake• z dx - Y - ay - , av

• za v pomake - = -r ~\' = V = O. ax -,

Raspored normalnog naprezanja prikazanje na slici 6.30. Na vanjskim rubovima i u sredini ploče su ekstremne vrijednosti. Za dati materijal naprezanje tečenja iznosi (Jo = 4,1 X 108 Pa; dok je maksimalna vrijednost ekvivalentnog naprezanja za Von Misesov uvjet tečenja, izračunata prema:

(J = (J; + (J ~ +(J; + 3-r~.)2 I

= 3,99 X 108 Pa < (JO'

To pokazuje da se materijal nalazi u elastičnom području, odnosno nije došlo do pojave plastičnih deformacija.

2,5

1,5

0,5

o

" '::. -0,5 ~ x b -1,5

-2,5

-3,5

-4,5

____ naprezanje

-339

-3,99

Y (mj

Slika 6.30. Raspored normalnih naprezanja ploće [32J

233

234


6.5. VARlJACIJSKA METODA

Varijacijska metoda ima široku primjenu u fizici. mehanici. in?enjersko tehničkim proračunima. te u rješavanju problema optimizacije l [2I..n.3.:'i"+8.58.o()!.

Danas se varijacijski principi uspješno koriste u rješavanju mnogih matematički

problema za iznalaženje točnih. približnih ili optimalnih rješenja. Primjena je u termodinamici (linearni i nelinerani prijenos topline). mchaniC! iluid

(tok tekućine. oblikovanje optimalnih profil,,). aeromehallici (nestacionarni proces otpori u struji plina. zraka, optimalni aerodinamlčf-:i prot,;; i.;ri!a sliČIle)). ·':I<1St()

plastomehaniei (energetske metode i principi minimuma uKupne ::'!lergi.Jc. promje!' geometrijskog oblika i slično). procesima plastične obrade pri lJcŠa\an;u prC'tlie:r primijenjene teorije plastičnosti, minimuma deformacijskog rada. rada sila kpl1taktno trenja. rada unutarnjih sila i slično. u procesnom i kemijskom inženjerstv (modeliranje i optimizacija procesa i kemijskih reakcija), II teoriji i praksi optimalne upravljanja, itd.

Prema tome, varij aeij ska metoda ima širok II inženj ersku pri mj en u s pbzi rom r mogućnost dobivanja točnih i približnih rješenja gotovo kod svih proble:r inženjerske prakse. Značaj navedenog je znatno ve(~i kada se ima 'J vidu čin.iellica e zbog složenosti matematičkog aparata veoma uski opseg problema može biti riješe točnim metodama matematičke analize.

6.5.1. Elementi varijacijske metode

Sve promjenljive veličine mogu biti nezavisno promjenljive i zavisno promjenljiv Zavisno promjenljive veličine mogu biti funkcije i funkcionali. Funkcija je zavisI' promjenljiv<l veličina čija je promjena uvjetovana promjenom jedne ili više nezavisr promjenljivih veličina, tj.

Y=f(x) ili y=y(x) ili .\'=f(X1,X2 '\3""'X,,) ili ."=.\'(x[.\:: ', .... ,\,,).

[ Prvi primjer varijacijske metode (čuveni problem brahisfohrollc ~ krivulja najkraćeg pad formulirao je Johan Bernoulli 1696 godine u sljedećem obliku: "Materijalna točka kreće se pl djelovanjem sile teže duž glatke vertikalne krivulje. Naći oblik one krivulje koja prolazi kn dvije unaprijed zadane točke po kojoj će materijalna točka preći zz! najkraće vrijeme iz jedn( položaja II dr:

MATEMATIČKO MODELlRAN.IE INŽENJERSKIH PROCESA I SISTEMA

Funkcional je zavisno promjenljiva veličina čija je promjena uvjetovana promjenom jedne ili više funkcija, kao i njihovih izvoda s jednom ili više nezavisno promjenlj ivih veličina, tj.

ep = cfJ[f(x)J. (6.126)

U općem slučaju funkcional ep od n funkcija ima oblik:

Npr. dužina l krivulje koja spaja dvije zadane točke Xo i XI ili površina A, ograničena krivuljom, ordinatama Yo i YI i osom X ili površina tijela nastala rotacijom (slika 6.31.) predstavljene su funkcionalima:

1= 1~1+ y'2 dx, A =1ydx, AT =2nl y~l+ y'2dx, (6.127) Xo Xo

koje mogu biti zadane jednadžbom krivulje y = f(x).

y y y

~ I I I I I

lI

I

C.a. b.

Slika 6.31. Primjena funkcionala

Prema tome, udaljenost između dviju točaka u ravnini (slika 6.31.a) predstavlja x,

funkcional putanje ep(y) = f ~1 + y'2 dx, jer je udaljenost između dvije točke Xo

različita za razne putanje koje prolaze kroz ove točke.

Iz ovog se vidi da između funkcije i funkcionala, kao promjenjivih veličina, postoji analogija, ali se oni ipak u osnovi razlikuju. Dakle, funkcional je funkcija funkcije.

235

236


Funkcional ep [y(x)} je određen u području P koje leži u ravnini Oxy (slika 6.32 ako je u svim točkama područja P funkcija F(x, y, y'y neprekidna i ima neprekid parcijalne izvode prvog i drugog reda.

oL.-------'---------...L----+ x

Slika 6.32. Skup dopustivih krivulja S funkcionala 4J [y(x)}

Varijacioni problem može biti formuliran u traženju funkcionala ep[y(x)} koji će

imati najveću ili najmanju vrijednost rastojanja između točaka A(xa, YO) i B(x" YI)

Tada je dužina bilo koje putanje određena izrazom ds == ~dx2 + dy 2, te je dužina

putanje između točaka A i B određena funkcionalom: ep(y) == fb

~l + y'2 dx, čiji a

ekstrem treba odrediti. Funkcional s jednom funkcijom y = y(x) nezavisno promjenljive x i njenim prvim

izvodom u slučaju varijacione metode ima oblik:

ep[Y(x)]==ep(x)==] F(x,y,y}b:.. (6.128)

Funkcija y == fix) za koju funkcional (6.128) ima ekstremnu vrijednost mora zadovoljiti granične uvjete: y(xo) =Yo, y(x,) =Yl.

Dakle, ako je potrebno funkciji y =f(x) saopćiti ekstremnu vrijednost, tada po W. Ritzovoj metodi linearizacije funkcija y = f(x) može biti zadana u približnom obliku:

), e


YIl == al QJ l (x) + a zQJ2 Ct) + ... + aiQJi (x) + ... + allQJn(x) =L.n

aiQJi (x). (6.129) i=l

Kod pnmJene varijacijske metode na procese plastične obrade ova funkcija se definira kao prikladna funkcija. Koeficijenti ai su varijacijski parametri.

Uvrštavanjem funkcije YIl (6.129) i njenih izvoda u funkcional (6.128) dobiva se integral ep (YIl) u obliku proste funkcije sastavljene od određenog broja varijacijskih parametara ai. Da bi bio ispunjen uvjet ekstrema, treba zadovoljiti kriterij:

JF(YIl ) dF(yJ-....:::....:.;'-'-=0, ... , ---'----'- = 0, .... (6.130)

daz Ja i

Na temelju sistema od n algebarskih jednadžbi (6.130) određuje se n varijaciskih parametara: al. az.. . ., ai, . . , an' Unošenjem vrijednosti parametara ai u jednadžbu (6.129) dobiva se polazna funkcija Yn koja zadanom funkcionalu saopćava

ekstremnu vrijednost. Ovakvo dobiveno rješenje je približno, pa se ocjena greške izvodi usporedbom s eksperimentalnim ili analitičkim rezultatima.

Dakle, W. Ritzovom metodom funkcional ep (y) se pretvara u običnu funkciju varijacijskih parametara a"~

Izvedena istraživanja procesa plastične obrade [27,35,41,47,48] pokazuju da je za praktičnu primjenu dovoljno na desnoj strani izraza (6.129) imati od jednog do najviše tri varijacijska parametra ai, tako da se problem svodi na rješavanje jedne do triju algebarskihjednadžbi u obliku (6.130).

6.5.2. Varijacija funkcije i njene osobine

Varijacija funkcije je osnovna operacija varijacijskog računa. Pretpostavimo da je jedna funkcija y(x), a druga funkcija y(x) koja se beskonačno malo razlikuje od y(x) u

svakoj točki intervala x =Xl i x =X2'

Varijacija funkcije ima oblik (slika 6.33.a.):

8y =)i( x)- y( x)

237


y y

I I

y(xJ)l I

O O • XI X X X XI X X X2 2

a. b.

. Slika 6.33. Varijacija funkcije

Pod varijacijom neke funkcije y = y(x), koja se označava operatorom ( podrazumijeva se mala promjena funkcije:

O}' =E rl( x ) ,

gdje je: 1](x) proizvoljna funkcija koja zadovoljava neke granične uvjete, E - mali parametar koj i teži nuli, a čija je apsolutna vrijednost take izabrana da je u intervalu (XI, X2) promjena funkcije y =y( x) uvijek

!E1J(X)!<E, e - mala pozitivna veličina.

Dakle, varijaciju funkcije treba shvatitit kao infinitezimalnu promjenu funkcije i njenih izvoda, bez proI11iene nezavisno promjenljive x. To znači da je X fiksirano, a da se mijenja sama funkcija, npr. od krivulje l do 2, kako je prikazano na slici 6.33.a. Operator varijacije O ne mijenja nezavisno promjenljivu x.

Proces variranja razlikuje se od procesa običnog diferenciranja, jer diferenciranjem se izvodi promjena funkcije prilikom promjene nezavisno promjenljive x, dok se prilikom variranja izvodi promjena funkcije, bez promjene veličine x, tako da je Ox =O, jer nezavisno promjenljiva ne sudjeluje u varijaciskom procesu.

Varijacijski operator je komutativan s operatorom diferenciranja i integriranja, što se može pokazati na prvom izvodu varijacije:

~(OY)=~[E 1](X)]=E d1] (6.131) dx dx dx

ili na varijaciji izvoda (slika 6.33.b)

238


8( dy ) = dY _ dy = ~ [y(x) _ y(x)] =E dfJ . (6.132)dx dx dx dx dx

Kako su desne strane ovih izraza jednake dobiva se:

!!-(8Y)=8(dY ). (6.133)dx dx

Dakako važi:

(6.134)

čime je dokazano da su operacije diferenciranja i variranja komutativne.

Operatori integriranja i variranja su također komutativni, pošto je:

X2 X2 Xl x., x2

8 Jy( x )dx =Jwx )dx - Jy( x )dx =f[w x ) - y( x )}ix =J8ydx. x,

te je x., x.,

8 f y( x)dx=f8y( x)dx, (6.135)

ili x., x.,

8 k fydx =f(8 k Y )dx. (6.136)

6.5.3. Principi minimuma potpune energije

Varijacijska metoda kao i metoda deformacionog rada temelji se na energetskom principu, pri čemu je zbroj radova unutrašnjih sila Wd i vanjskih Wv na mogućim

pravcima pomaka oko stanja ravnoteže jednak nuli, tj.

8Wd - 8Wv =ks JJJ8yedV - JJ (p xn 8ux + p yn 8u y + pzn8uz }JA =0, (6.137) v A

239


odnosno dobiveni oblik tijela je takav kakav odgovara uvjetu da potpuna energija deformacije poprimi minimalnu vrijednost:

(6.138)

gdje je: 8Wa - varijacija rada aktivnih sila, 8Wr - varijacija rada sila vanjskog trenja.

Rad vanjskih sila:

Wv = JJ(V..nux + Pyn u ), + Pznu,) dA, (6.139) A

ili potpuna varijacija rada vanjskih sila:

(6.140)

Rad unutrašnjih sila:

8Wd ~ 8[k, fffY,dV ] ~ k, fffDr,dV (6.141)

odnosno

i rad sila trenja: l

Wr = JJTkukdA = JJTk(U; +u~ +u;)2dA, A, A,

(6.142)

(6.143)

Varijacija rada aktivnih sila jednaka je nuli, tj.

8Wa = O, (6.144)

jer je varijacija vertikalnog pomaka (8u z = O), tako da je veličina Uz u bilo kom

momentu procesa sabijanja određena položajem alata, te varijacija ne zadovoljava granične uvjete, paje kinematski nemoguća (slika 6.34.).

240

MATEMATiČKO MODELlRAN.IE INŽENJERSKIH PROCESA I SISTEMA

Prema tome, varijacija rada vanjskih sila sastoji se samo iz varijacije rada sila kontaktnog trenja:

(6.145)

Na temelju jednadžbi (6.145) i (6.137), te rada trenja (6.142) uzimajući srednje naprezanje kontaktnog trenja [48]:

Tk =Tsr =~ks' (6.146) dobije se osnovna varijacijska jednadžba za slučaj sabijanja [48]:

8[ksJJfr e dV + ~ks JJ~u; + u~ dA] = O, (6.147) V Ak

tj.

ili (6.148)

gdje je: ks = ~ - specifični deformacioni otpor, ,,3

~ - funkcija ovisna o uvjetima kontakta (trenja) i odnosa dimenzija zone deformiranja (O ~ ~ ~ 1).

za proces ravninskog sabijanja:

~ =JJ. + ~(1- JJ.).fii, (6.149)8h

gdje su: JJ. - koeficijent kontaktnog trenja, b - širina pripremka, h - visina pripremka.

Koristeći princip minimuma energije u procesu plastične obrade moguće je realizirati takvu kinematiku u volumenu i na kontaktnoj površini obratka da bude ispunjen uvjet:

(6.150)

U primjeni energetskih metoda uvijek postoji mogućnost da rad unutrašnjih sila bude izražen pomoću ekvivalentnih naprezanja ili deformacija. Zbog toga se može uspješno primijeniti u uvjetima kruto plastičnog tečenja, kao i u procesima gdje dolazi do plastičnog očvršćivanja metala.

241

242


H=h/2

(6.151)

x

./././ I

./ I ././ I

././ I -------------~------./ ./

./ ./--hl------"""'";:>r ././

././

././ ./

././

z

B=b/2

Slika 6.34. Naprezanja i pomaci (36]

Primjer 6.5.

tada se može primijeniti i na viskozno-plastično tečenje.

I Matematičke osnove varijacione metode je postavio L.Euler (1707 - 1783) i J.L.Lagrange (1736 - 1813). Znatan doprinos primjeni ove metode u mehanici kontinuuma, kao i u primijenjenim tehničkim naukama dali su: S.G.Mihlin [33], A.A.Iljušin [16], L.M.Kačanov

[21], R.HiJl [14], w.Prager [42], I.J.Tarnovskij [48], V.L.Kolmogorov [27] i drugi.

Ako se u osnovnoj varijacijskoj jednadžbi J.L.Lagrangea1 (6.137) umjesto pomak uvede vektor brzina u obliku:

8 [rw,)' ,dV ijP,,,';,dA ] = 0, ; = x, y, z,

Proces sabijanja pripremka oblika paralelopipeda između paralelnih kontaktnil površina alata, prikazan na slici 6.34. treba analizirati uz primjenu varijacijsk. metode. Cilj analize je određivanje funkcije qJ,(x) izraza (6.129), koja mort aproksimirati funkciju YII. te je približiti stvarnoj funkciji y. Funkcija qJ;(X) trebl sadržavati što manji broj varijacijskih parametara ai. te zadovoljiti granične uvjete.


Pri analizi, zbog simetričnosti pripremka. promatra se jedan oktant širine O.5b. visine 0,5h i dužine 0.51. Koordinatni sistem Oxyz postavlja se u centar pripremka, tako da su projekcije ukupnog naprezanja u točki M:

P.\11 = T x: ' PHl =T,,:, p~" =cr ~ . Na kontaktnoj površini mogu se varirati samo komponente pomaka U x i u)'. tako je

ukupni pomak u k = F; + u.;. Varijacija vertikalnog pomaka 8uz = O, jer je

veličina u~ određena položajem alata. pa varijacija ne zadovoljava granične uvjete.

Naprezanje kontaktnog trenja T k = ~T;~ +T ~~ poklapa se po pravcu sa ukupnim

pomakom Uk na kontaktnoj površini. U procesu deformiranja dužina obratkaje približno konstantna (l = 2L == const.),

pa je pomak u pravcu y osi (u) = O). Radi toga, sabijanje se izvodi u uvjetima ravninske defomwcije, pa se izraz (6.147) znatno pojednostavljuje i glasi:

L; BH B

k, 8ffredxdz +4;k,8fUx / z=H dx = O. (6.152) o o o

Za rJesenje varijacijske jednadžbe (6.152) potrebno je definirati funkciju horizontalnog pomaka [SO}:

u, =a\x+a,X{1-3 z2,11- X221 (6.153) . - H~ 38)

i srednju vrijednost ekvivalentne tangencijalne defomzacije [SO}:

l BH

(Yet = - ffY;dxdz (6.154) BH O O

BH

zamijenio je izraz ffYedxdz, te shodno sistemu jednadžbi (6.130) i primjenom o o

metode linearizacije dobiva se sistem algebarskih jednadžbi s nepoznatim varijacijskim parametrima ai:

(6.155)

243

244


Uz pretpostavku da će točnost biti zadovoljena s dva parametra ai, za koje izraz (6.155) poprima ekstremne vrijednosti, može se aj odrediti iz postojanosti volumena [50J, gdje je volumen 1234 istisnut u prostor 4567 (slika 6.35). Uvjet jednakosti volumena L1V1234 =L1V4567 može se prikazati izrazom:

H

MlB=Jux/x=Bdz, (6.156) o

gdje se za Ux uzima vrijednost po izrazu (6.153) za x = B, pa se dobije:

(6.157)

z

H=h/2

o B E D 6 7 x B=b/2

Slika 6.35. Shema za izbor funkcije Ux

Nakon zamjene (6.157) u (6.156), integracije i uvrštavanja granica integrala i sređivanja dobiva se:

Ml L1h al =E=--=-. (6.158)

H h

raz ~na

Jsti

l i


Varijacijski parametar az [49J ima oblik:

B 0,416E~

H az = z z . (6.159)

0,213 + 0,64{ ~) + 0,02t{ ~)

Poznavanjem aj, az odredi se funkcija pomaka Ux prema izrazu (6.153).

Komponenta deformacije Ex odredi se iz izraza (6.153):

(6.160)

te iz uvjeta Ex = -Ez dobiva se vertikalni pomak:

Proizvoljnafunkcijaf(x) odredi se iz graničnih uvjeta za z = O i Uz = O. Kada se granični uvjeti uvrste u izraz (6.161), dobiva se f(x) = O, te je vertikalni pomak:

(6.162)

Tangencijalna deformacija Yxz (slika 6.36.a) [.'lOJ odredi se prema izrazu:

(6.163)

dux du_gdje je tana=- i tan =-'.f3

dz dx

245


zlH z1,0

0,8 '-

= N

~"

----c-o20 I I I

0.6 N -.o !\

10 -0,4 II I \I- IBn = 100,2 I

:I T ~ E,

A l

1\ \K LJ ~

G

a

B e E tF O xlB O 10 20 JO x

a. b.

Slika 6.36. Deformacije u poprečnom presjeku pri sabijanju s trenjem a - tangencija/ne (kutne) deformacije, b - bočna kontura nakon deformacije,

E - eksperimenta/ni, T - teoretski proračun po izrazu (6.153) za x =b i izračunate

parametre al i a2

Za lIvjet ravninske deformacije: ll.\. = 0, E y = Y.\T = Yr: =0, odnosno stalnosti

volumena:

E,. = Ex + E" + E: = Ex + E: =° se dobije:

(6.164)

Na temelju izvedenih eksperimenata [49,50J pokazalo se vrlo malo odstupanje teoretskih (T) od eksperimentalnih (E) vrijednosti bočne konture (slika 6. 36. b). Koristeći prikazane izraze sada je moguće potpuno riješiti varijacijskuu jednadžbu (6.152).

246

Documents

Dinamika Strujnih Procesa1-Opt