DINAMIKA FLUIDA

Dio mehanika fluida koja se bavi izuavanjem ponaanja fluida (kapljevina i plinova) u gibanju naziva se dinamika fluida.

U mehanici fluida uzima se da je fluid neprekinuta sredina (kontinuum), dakle prostor potpuno ispunjen tvari. Na taj nain se smatra da su fizikalne veliine jednoliko rasporeene po njegovom elementarnom volumenu dV, koju jo nazivamo i esticom fluida.

Drugim rijeima, svakoj estici fluida kontinuuma pridruuju se makroskopska fizikalna svojstva realne tvari (gustoa, temperatura, tlak, brzina itd.).

Ova svojstva su uglavnom vremenski promjenjiva, te se za jednu esticu izraavaju funkcijom vremena. Taj pristup omoguuje primjenu diferencijalnog i integralnog rauna u mehanici fluida.

KINEMATIKA FLUIDA

Kinematika fluida je grana dinamike fluida koja prouava gibanje estice fluida bez obzira na sile koje uzrokuju to gibanje.

Gibanje fluida naziva se strujanje. Ono nastaje zbog vlastite teine fluida ili zbog razlike u tlakovima.

Strujanje fluida prikazuje se strujnicama. To su linije ije su tangente u svakoj toki pravci vektora brzina estica fluida. Strujnice se ne mogu sjei, a njihova je gustoa proporcionalna veliini brzine. To znai da su strujnice gue tamo gdje je brzina vea i obratno.

Dio fluida omeen graninim strujnicama naziva se strujna cijev.

Za opisivanje gibanja fluida koriste se dvije metode:

- Lagrangeov opis (talijanski matematiar Joseph Louis Lagrange,1736

1813)

- Eulerov opis (vicarski matematiar Leonhard Euler, 17071783).

Lagrangeov opis strujanja fluida

Kod ovog opisa gibanja strujanja) prati se vektora poloaja xA, xB, xC,, i vektora brzina vA, vB, vC., svake estice pojedinano, a zatim se odreuje kako se fizikalna svojstva fluida mijenjaju u skladu s vremenom, tj. funkcijom

vremena.

Drugim rijeima, ovom metodom prate se estice fluida na svom putu kroz prostor, a to znai analogiju opisu gibanja materijalne estice u mehanici.

Ova metoda iziskuje veliki matematiki napor i koristi se za opisivanje gibanja fluida u posebnim sluajevima kao npr. kod eksperimenata, gibanja estica fluida kod turbostrojeva, morskih struja ili ljudskih ila, odnosno tamo gdje estice dobivaju ili gube energiju.

BC

A

A

v

B

v C

vA

x

B

x C

x

Eulerov opis gibanja estice fluida

Kod ovog opisa gibanja fluida definiran je konani volumen nazvan polje gibanja ili kontrolni volumen (strujna cijev) kroz koji fluid ulazi i izlazi. Gibanje

estica fluida u kontrolnom volumenu opisano je potrebnim veliinama fizikalnih svojstava (tlak, brzina, gustoa, temperatura itd.) kao funkcija vremena i prostora. U nekoj fiksnoj toki prostora, s obzirom na odabrani koordinatni sustav (npr. Kartezijev koordinatni sustav) promatramo tlakove,

brzine i druge veliine koji se pojavljuju tokom vremena t.

gdje su x, y i z prostorne koordinate (Eulerove koordinate) estice fluida, a t vrijeme.

: ( , , , )

: ( , , , )

: ( , , , )

tlak p p x y z t

brzina x y z t

ubrzanje x y z t

v v

a a

Jedna od najvanijih varijabli kod strujanja fluida je polje brzine.

Ovo polje prikazano je vektorskom funkcijom koja je u, npr. u Kartezijevom koordinatnom sustavu dana jednadbom:

( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )x y zx y z t v x y z t v x y z t v x y z t v i j k

x

z

y

vz

vx vy

v

r

Tako npr., neka se razmatra estica fluida u polju brzine (prostorna koordinata) u nekoj toki (x, y i x) i koja ima brzinu koja odgovara brzini te toke u prostoru u vremenu t.

U vremenu t+dt estica se pomie u novi poloaj sa koordinatama x+dy, y+dy, z+dz u kojem ima brzinu: Brzina promjene poloaja kada ona prolazi kroz tu toku je:

( , , , )x y z tv v

r dr r

Strujnica estice fluida

estica u trenutku t

estica u trenutku t+dt

y

x

z

( , , , )x dt y dt z dt dt v v

Stoga, promjena u brzini dv kada se estica giba iz poloaja r u novi poloaj r+dr u vremenu dt je dat izrazom ( prema pravilu deriviranja sloene funkcije):

gdje oznaava operator parcijalne derivacije.

Ukoliko promjenu u brzini deriviramo po vremenu, dobiva se ukupno ubrzanje estice:

Poto lanovi su u gornjem izrazu

predstavljaju komponente brzine estice po osima x, y i z, slijedi kako je

ukupno ubrzanje estice jednako parcijalnoj derivaciji:

d dx dy dz dtx y z t

v v v vv

r dr r

Strujnica estice fluida

estica u trenutku t

estica u trenutku t+dt

y

x

z

d dx dy dza

dt x dt y dt z dt t

v v v v v

; ;x y zdx dy dz

v v vdt dt dt

x y z

da v v v

dt x y z t

v v v v v

Zadnji desni lan oznaava lokalnu promjenu ubrzanja (ili neke druge fizikalne veliine) i kada bi estica fluida stalno stajala na istom mjestu (vx=vy=vz=0) to bi bila i ukupna jedina promjena ubrzanja te mirujue estice.

Ovaj lan moe biti razliit od nule ak i kod nestacionarnog strujanja.

Preostala tri desna lana oznaavaju konvektivnu promjenu ubrzanja koja je posljedica promjene poloaja estice. Ovi lanovi mogu biti razliiti od nule ak i kod stacionarnog strujanja. Naime, kada bi polje ubrzanja bilo stacionarno, tada bi svaka estica koja doe u poloaj zadan koordinatama x, y i z imala istu vrijednost ubrzanja. Meutim, u sljedeem trenutku estica fluida e zbog strujanja promijeniti svoj poloaj i doi u neku drugu toku prostora gdje e imati neku drugu vrijednost ubrzanja.

Takav primjer je mlaznica u kojoj je brzina ulaza manja od brzine izlaza (zbog suenja presjeka), ali pored stacionarnog strujanja, estice fluida se ubrzavaju. Dakle, ovi lanovi uzimaju u obzir utjecaje suenja ili proirenja na strujanje estice fluida u novom poloaju gdje je polje brzine razliito.

x y z

da v v v

dt x y z t

v v v v v

Pojedine komponente ukupnog ubrzanja su:

Matematiki prikaz fizikalnih veliina (svojstava) fluida koja opisuju strujanje fluida na ovaj nain, identian je operacijama s vektorima. Stoga, rjeenje problema strujanja sastoji se od poznavanja odgovarajuih skalara i vektorskih funkcija koje opisuju svojstva kao funkciju prostora u vremena.

Eulerova metoda esto je puno prikladnija od Lagrangeove metode za primjenu u mehanici fluida.

x x x x xx x y z

y y y y y

y y x z

z z z z zz z x y

dv v v v va v v v

dt x y z t

dv v v v va v v v

dt x y z t

dv v v v va v v v

dt x y y t

PRIMJER

Strujanje kroz mlaznicu moe se aproksimirati jednodimenzionalnom distribucijom brzine v=v(x). Za mlaznicu na slici, pretpostavljena je brzina

koja se linearno mijenja od v1=v0 do v2=3v0. Pri tome je distribucije brzine

dana funkcijom v(x)=v0(1+2x/L). Potrebno je:

a) izraunati ubrzanje dv/dt kao openitu funkciju od x,

b) Izraunati ubrzanje dv/dt na ulazu i izlazu ukoliko je v0=3 m/s.

Rjeenje:

a) Ukupno ubrzanje fluida u mlaznici jednako je:

v=v0 v=3v0

z

y

x

Lx1=0

x2=L

y yxx y z

v vvdv va v v v

dt x y z t

Pri tome nema lokalne promjene ubrzanja, dok su komponente ubrzanja po osima y i z jednake nuli (jednodimenzionalno strujanje), tako da je:

lan koji oznaava konvektivnu promjenu ubrzanja jednak je parcijalnoj derivaciji funkcije distribucije:

Stoga, ubrzanje fluida kroz mlaznicu moe se prikazati openitom funkcijom od koja je dana jednadbom:

v=v0 v=3v0

z

y

x

Lx1=0

x2=L

0y z

y z

v v vv v

y z t

0

0

( ) (1 2 / )

2x

v x v x L

v v

x L

2

0 00

2 20 0 0 (1 2 / ) (1 2 / )xx

v v vdva v v x L x L

dt x L L

b) Na ulazu, gdje je x1=0 ubrzanje iznosi:

Na izlazu, gdje je x2=L=0,3 m, ubrzanje je:

v=v0 v=3v0

z

y

x

Lx1=0

x2=L

2 2201 1

1

2 2 2 3 2 01 1 60 m/s

0,3 1

vdv xa

dt L L

2 2202 2

2

2 2 2 3 2 0,31 1 180 m/s

0,3 0,3

vdv xa

dt L L

Vrste strujanja

Stacionarno i nestacionarno strujanje

Ako se strujanja ne mijenja s vremenom, strujanje je stacionarno (ustaljeno), tj:

U tom sluaju strujnice i putanje estica fluida se poklapaju, a brzina strujanja i tlak ovise samo od poloaja. Drugim rijeima, kod stacionarnog strujanja svako fizikalno svojstvo moe se mijenjati od toke do toke, ali sva fizikalna svojstva ostaju konstantna s vremenom u svakoj toki.

Promjenljiva slika strujanja u vremenu, karakteristika je nestacionarnog strujanja. Pri takvom strujanju, brzina i tlak fluida funkcije su poloaja i vremena. Strujnice i putanje openito imaju razliite oblike.

U stvarnosti sva strujanja su nestacionarna na neki nain.

Raunanje s stacionarnim pojavama mnogo je jednostavnije i pristupanije pa se esto nestacionarno strujanje pretvara u stacionarno.

0 ( , , )ili x y zt

vv v

Primjer rezultata mjerenja brzine (v)u ovisnosti o vremenu (t) kod razliitih vrsta strujanja dobivenim od senzora brzine

v

t

v

t

v

t

Stacionarno laminarno strujanje Nestacionarno laminarno strujanje

Turbulentno strujanje

Srednja

vrijednost brzine (vsr)

t0 t0+T

T

Jednodimenzionalno i viedimenzionalno strujanje

Gotovo svako stvarno strujanje je trodimenzionalno, tj. polje brzine u sadri sve tri komponente brzine:

U mnogo sluajeva jedna od komponenti brzine moe biti na relativno mala u odnosu na druge dvije komponente. U takvim sluajevima razlono je zanemariti najmanju komponentu i pretpostaviti dvodimenzionalno strujanje,

npr. za ravninsko strujanje:

Jednodimenzionalno strujanje je strujanje kod kojeg polje brzine ovisi samo o jednoj varijable prostora . Ova vrsta strujanja javlja se kod strujanja fluida

cijevima i otvorenim kanalima. Kod strujanja u cijevima, brzina ovisi samo o

radijusu cijevi, a u kanalima o paralelnim plohama.

Strujanje kod kojeg su polja fizikalnih veliina (npr. brzine i tlaka) jednolika, naziva se jednoliko (uniformno) strujanje.

( , , ), ( , , ); ( , , )x x y y z zv v x y z v v x y z v v x y z

d dx dy dtx y t

v v vv

Viskozno i neviskozno strujanje

Realni fluidi imaju viskoznost zbog ega se pri njihovom strujanju uzimaju u obzir tangencijalna naprezanja izmeu graninih povrina kontrolnog volumena i slojeva fluida (samih estica fluida). Stoga, kod strujanja realnog fluida razmatraju se gubici energije uslijed viskoznog trenja, a koji se pretvaraju

u toplinu.

Idealni fluid je neviskozan i nestlaiv i stoga se tangencijalna naprezanja izmeu graninih povrina kontrolnog volumena i slojeva fluida zamemaruje, pa stoga na fluid djeluje samo sila tlaka i njegova teina.

Kompresibilno i nekompresibilno strujanje

Strujanja kod kojih se gustoa fluida zanemaruje naziva se nekompresibilno (nestlaivo) strujanje. Dakle, kod ovih strujanja polje gustoe estice fluida koja struji pretpostavlja konstantnim, tj.:

Kod mnogih kapljevina, gustoa se neznatno mijenja kod djelovanja umjerenih tlakova, pa se stoga mogu smatrati nekompresibilna. Meutim, na visokim tlakovima utjecaj kompresibilnosti postaje vano i stoga se mora uzesti u obzir kod razmatranja problema.

Strujanje fluida kod kojih se gustoa ne zanemaruje naziva se kompresibilno (stlaivo) strujanja. Najvaniji primjeri ovog strujanja odnose se na strujanje plinova.

Za odreivanje da li je strujanje kompresibilno koristi se Machov broj (austrijski fiziar Ernst Mach,18381916):

gdje je c brzina zvuka u fluidu, a v brzina estice fluida.

0; 0; ;x y z t

vMa

c

Brzina zvuka idealnog plina odreuje se pomou izraza:

eksponent politrope,

R- Plinska konstanta, J/kg K

T-temperatura, T.

Ukoliko je Ma < 0.3, pretpostavlja se kako je protok nekompresibilan.

Za zrak u blizini mora ta vrijednost je oko 100 m/s.

Primjeri takvog strujanja zraka su strujanja u ventilacijskim kanalima, oko automobila ili komercijalnih zrakoplova pri sputanju i polijetanju.

c RT

Laminarno i turbulentno strujanje

Kod laminarnog strujanja estice fluida se gibaju u slojevima koji se meusobno ne mijeaju. Strujnice su paralelne, a brzine slojeva mijenjaju se po parabolinom zakonu.

Laminarno strujanje rijetko se susree u prirodi. Primjeri takvog strujanja su protjecanje fluida s velikom viskoznou (npr. ulje, ljudska krv itd.) kroz male presjeke, a to susreemo kod podmazivanja leajeva, protjecanja kroz konstruktivne zranosti hidraulikih pumpi i strujanja krvi u ljudskim ilama.

R

r0

v(r)=vmax(1-r2/R2)

vmax

L

2

max 2( ) 1

rv r v

R

Pri veim brzinama pojavljuje se turbulentno strujanje, pri kojem dolazi do mijeanja slojeva fluida odnosno strujnica, estice prelaze iz jednog sloja u drugi i nastaju vrtlozi.

Raspored brzina po presjeku cijevi je jednolikiji, jer razlike u brzinama slojeva zbog mijeanja nisu toliko velike. Veina strujanja u praksi ima turbulentan karakter.

Eksperimentalno je utvreno da prijelaz iz jednog u drugi reim strujanja fluida, nastupa pri nekoj kritinoj brzini strujanja. Ona ovisi o gustoi i viskoznosti fluida, te o obliku cijevi kroz koju fluid protjee.

Vrsta strujanja odreuje se prema bezdimenzionalnoj veliini koja se naziva Reynoldsov broj:

gdje je:

d promjer strujne cijevi (kontrolni volumen), m,

v- brzina strujanja, m/s,

kinematika viskoznost fluida, m2/s.

Pri kritinoj brzini strujanja fluida, Reynoldsov broj poprima kritinu vrijednost Rekr (= 2320).

Utvreno je da pri Re < Rekr fluid struji laminarno, a za Re > Rekr strujanje fluida postaje turbulentno. Pri tome nema otrog prijelaza izmeu ova dva reima strujanja.

Rev d

Jednadba kontinuiteta

Zakon o odranju mase ili jednadba kontinuiteta kada se primjeni na strujnu cijev (kontrolni volumen) kae kako e ukupna masa fluida koja protjee kroz volumen biti jednaka masi fluida pohranjenoj ili odstranjenoj iz volumena.

Pod uvjetima stacionarnog strujanja to znai kako e masa fluida koja izlazi biti jednaka masi koja ulazi u volumen.

Odreivanje brzine strujanja odreenog protoka mase fluida i povrina protonog presjek zasniva se na ovom zakonu.

Razmotrimo stacionarno strujanje idealnog i nestlaivog fluida kroz strujnu cijev promjenljivog presjeka. Sve estice koje prolaze istim poprenim presjekom povrine A, imaju jednaku brzinu v. Za vrijeme t, promatrani presjek pomakne se za s.

Kako je fluid nestlaiv, protok kroz bilo koji presjek mora biti isti, tj:

V A s A v t

Volumen proteklog fluida je:

Omjer proteklog volumena i intervala

vremena naziva se protok:

Protok ima jedinicu [m3/s].

VQ A v

t

.Q A v konst

To je jednadba kontinuiteta. Za bilo koja dva presjeka strujni cijevi 1 i 2, ona glasi:

Dakle, brzine strujanja obrnuto su proporcionalne povrinama presjeka. Drugim rijeima, brzina strujanja je vea to je cijev ua i obratno.

1 2

1 1 2 2

1 2

2 1

Q Q

ili

A v A v

v Aili

v A

.Q A v konst

Ovdje je potrebno naglasiti kako je u svim jednadbama brzina v prosjena brzina u promatranom presjeku volumena, a to je ona brzina koju dobijemo

ba i jednadbe kontinuiteta kao omjer volumenskog protoka i povrine.

Maseni protok definiran je kao masa fluida koja protjee kroz zadanu povrinu u jedininom vremenu. Kod masenog protoka moraju se koristiti prosjene vrijednosti gustoe fluida:

Maseni protok ima jedinicu [kg/s].

Prema tome, kod masenog protoka jednadba kontinuiteta glasi:

Ako je gustoa konstantna, tada vrijedi:

A

sr

vdAQ

v vA A

.A

m vdA v A konst

1 1 1 2 2 2.m A v A v konst

m Q

PRIMJER:

Kod laminarnog strujanja kroz cijev krunog presjeka (slika) polumjera R, profil brzine je oblika rotacionog paraboloida zadanog jednadbom

v=vmax(1-r2/R2)

gdje je vmax maksimalna brzina. Treba odrediti odnos srednje i maksimalne

brzine.

Rjeenje:

Srednja brzina definirana je izrazom:

R

r0

v(r)=vmax(1-r2/R2)

vmax

vsr

y

x

r

r

1sr

A

Qv vdA

A A

Povrina protonog presjeka A u ovom sluaju je jednaka povrini kruga. Diferencijalni element ima povrinu dA krunog vijenca polumjera r debljine dr , tj. dA=2rdr.

Stoga, izraz za srednju brzinu prelazi u

ijim se integriranjem dobije

R

r0

v(r)=vmax(1-r2/R2)

vmax

vsr

y

x

r

r

2

max2 2

0

11 2

R

sr

rv v r dr

R R

2

max2 2

0 0

2 4

max2 20 0

2 4

max2 2

12 2

1 22

2 4

1 22

2 4

R R

sr

R R

sr

sr

rv v r dr r dr

R R

r rv v

R R

R Rv v

R R

Sreivanjem (skraivanjem) dobiva se srednja brzina od

22

max2

2 2

max max2 2

max

1

2

11

2 2

1

2

sr

sr

sr

Rv v R

R

R Rv v v

R R

v v

PRIMJER:

Kroz sekciju cijevi unutranjeg dijametra d1=150 mm protjee voda protokom od Q1=0,02 m

3s-1. Cijev se grana na cijevi manjeg promjera od

kojih jedna ima unutranji dijametar od d2= 50 mm, a druga s unutranjim dijametrom od d3=100 mm (slika). Ukoliko srednja brzina u cijevi dijametra

d2 iznosi v2=3ms-1, odredi brzine i protoke u sve tri cijevi.

Rjeenje:

Prema zadanim podacima poznat je protok Q1 i brzina v2, pa je stoga potrebno izraunati protoke Q2 i Q3, te brzine v1 i v3.

Poto su poznati protok Q1 i dijametar d1, brzina v1 iznosi:

d2

d3

d1Q1

Q3

Q2

1 11 2 3 2

11

4 0,021,13 m/s

(150 10 )

4

Q Qv

dA

Protok Q2, uz poznatu brzinu v2 i dijametar d2, iznosi:

Brzina v3 izraunati e se preko jednadbe kontinuiteta za ovaj sustav. Kod ovog sustava cijevi u kojem nema gubitaka, protok kroz cijev dijametra d1 je

jednak sumi protoka u cijevima s dijametrima d2 i d3. Stoga, vrijedi:

U gornjem izrazu nepoznanica je samo brzina v3. Sreivanjem gornjeg izraza dobiva se:

pa brzina v3 iznosi

Stoga, protok kroz cijev dijametra d3 iznosi

1 2 3

1 1 2 2 3 3

22 2

31 21 2 3

4 4 4

Q Q Q

A v A v A v

dd dv v v

d2

d3

d1Q1

Q3

Q2

2 3 232

2 2 2 2

(50 10 )3 0,0059 m /s

4 4

dQ v A v

2 2 2

3 1 23 1 2

2 2 2

3 3 1 1 2 2

4

:4 4 4

d d dv v v

d v d v d v

2 2 3 2 3 2

1 1 2 23 2 3 2

3

(150 10 ) 1,13 (50 10 ) 31,8 m/s

(100 10 )

d v d vv

d

2 3 233

3 3 3 3

(100 10 )1,8 0,014 m /s

4 4

dQ v A v

PRIMJER

Otvoreni okrugli spremnik vode (slika 2-4) puni se preko cijevnog prikljuka 1, unutranjeg dijametra d1=40 mm, brzinom od v1=5 m/s i protokom od Q3=0,0012 ms

-1 preko cijevnog prikljuka 3, Unutranji dijametar spremnika je ds=1 m. Potrebno je odrediti:

a) izlaznu brzinu v3 na cijevnom prikljuku ako se razina vode h u spremniku ne mijenja,

b) ukoliko se razina vode mijenja, promjenu razinu vode u spremniku dh/dt

ako je izlazna brzina v3=8 m/s.

2

3

1

Q3

Q2

Q1

d1

d2

ds

h

a) Kod ovog sustava u kojem nema gubitaka, izlazni protok kroz cijevni

prikljuak 2 jednak je sumi ulaznih protoka u cijevnim prikljucima 1 i 3, tj.:

U gornjem izrazu nepoznanice su Q1 i Q2. Protok kroz cijevni prikljuak 1 moe se na osnovu poznate brzine protoka i dijametra d1 izraunati pomou izraza:

Na osnovu izraunatog protoka Q1, protok Q2 iznosi:

Uz poznati protok Q2 i unutranji dijametar d2 cijevnog prikljuka 2, brzina v2 iznosi:

1 3 2Q Q Q

2 3 231

1 1 1 1

(40 10 )5 0,00628 m /s

4 4

dQ v A v

3

2 1 3 0,00628 0,0012 0,01828 m /sQ Q Q

2 22 2 3 2

2 2

4 4 0,018286,47 m/s

(60 10 )

Q Qv

A d

2

3

1

Q3

Q2

Q1

d1

d2

ds

h

b) Promjenu razinu vode u spremniku dh/dt ukoliko je izlazna brzina v3=8 m/s,

moe se izraunati pomou izraza:

odakle se sreivanjem dobiva promjena razine spremnika u vremenu

to oznaava pad razine od dh/dt=5,5 mm/s.

2

3

1

Q1

Q2

Q1

d1

d2

ds

2

1 3 24

sd hdQ Q Qdt

2 22

21 3 2 2

3 2

2

4 4 4

4 (60 10 )8 0,00628 0,0012 0,0055 m/s

1 4

s sd h d hdd dQ Q Q vdt dt

dh

dt

Kinetika fluida

estica fluida moe posjedovati energiju u nekoliko oblika.

Kinetika energija je energija zbog gibanja estice fluida. Ukoliko je brzina v, kinetika energija za m kg fluida dana je izrazom:

Potencijalna energija je energija poloaja estice fluida u polju gravitacije i njena veliina je relativna u odnosu na odabranu liniju. Izraz za potencijalnu energiju je:

Kada estica fluida ue u strujnu cijev (kontrolni volumen) ona struji (giba se) pod djelovanjem tlaka u tom poloaju, pa je stoga rad sile tlaka jednaka:

2

J=Nm2

K

m vE

J=NmpE m g h

J=Nmm

W F s p A s p V p

Bernoulijeva jednadba

Promotrimo presjeke 1 i 2 strujne cijevi, koji se nalaze na razliitim visinama h1 i h2 kao na slici. Presjeci imaju povrine A1 i A2 , tlakovi fluida su p1 i p2 , a brzine strujanja imaju veliine v1 i v2.

Da bi se fluid pomaknuo u cijevi, na njega moraju djelovati vanjske sile tlaka F1=p1 A1 i F2=p2 A2. Ako su u intervalu vremenu t pomaci presjeka s1 i s2, ukupni rad koji je izvren iznosi:

Predznak minus oznaava da su u presjeku 2 smjerovi sile tlaka i pomaka suprotni.

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2W W W F s F s p V p V

Razmatra se neviskozno i nestlaivo strujanje fluida u strujnoj cijevi.

Zbog nestlaivosti volumen ( ili masa) fluida koji prolazi kroz oba presjeka je jednak, tj.:

pa je rad sile tlaka:

Pri tome je promjena kinetike energije:

a promjena potencijalne energije iznosi:

1 2

dmV V V

1 2( )W p p V

2 2

2 22 2 1 1

2 1 2 1( )

2 2 2K K K

m v mv VE E E v v

2 1 2 2 1 1 2 1( )

P P PE E E m g h m g h g V h h

Kako je promatrani fluid idealan (trenja nema), onda ukupna promjena energije mora biti jednaka radu sila tlaka. To znai:

Ako se u taj izraz uvrste izrazi za EK , EP i W), te grupiraju lanovi s jednakim indeksima, te dijeljenjem s zajednikim lanom V slijedi:

ili openito:

To je Bernoullijeva jednadba stacionarnog strujanja nestalivog idealnog fluida.

Naziv je dobila prema vicarskom matematiaru Danilel Bernoulli (1700-1782) koji ju je prvi izrekao u svojoj knjizi Hidrodynamica" izdana 1738 godine, kada je radio u St.Petesburgu u Rusiji.

K PE E W

2 2

1 2

1 1 2 22 2

v vp g h p g h

2

.2

vp g h konst

Pojedini lanovi te jednadbe su tlakovi (jedinica [Pa]) i to:

p-statiki tlak uslijed vanjskih sila,

gh-hidrostatski tlak uslijed teine fluida,

v2/2 dinamiki tlak uslijed gibanja fluida.

Prema tome, Bernoullijeva jednadba kae kako je suma kinetike, potencijalne i energije strujanja estice fluida konstantna uzdu strujnice kod stacionarnog strujanja kada se stlaivost i viskozno trenje zanemaruje. Drugim rijeima, ukupni tlak fluida du neke strujnice uvijek je konstantan.

U posebnom sluaju, ako je cijev horizontalna (h = 0), openiti oblik Bernoullijeve jednadbe glasi:

Vidljivo je da se na mjestima, gdje se povea brzina fluida, poveava dinamiki tlak, a smanjuje statiki tlak. Prema tome, tamo gdje je presjek cijevi manji, statiki tlak fluida je manji, a brzina strujanja je vea.

2

.2

vp konst

2

.2

vp g h konst

U praksi, Bernoullijeva jednadba se koristi i u drugom obliku. Pri tome se energije pojedinih lanova daju u obliku visina stupca fluida. To se posebno koristi kod kapljevina, zbog prikladnog naina mjerenja pomou vertikalnih cjevica (piezometrike cijevi) ili manometara.

Dijeljenjem izraza za opi oblik Bernoullijeva jednadbe s g i , on poprima oblik:

Pojedini lanovi te jednadbe su visine (jedinica [m]) i to:

p/gh- visina tlaka,

v2/2g- visina brzine,

h-geodetska visina.

Dakle, visina ukupne energije ostaje konstantna du strujnice.

2

.2

p vh konst

g g

Prije navedena definicija Bernoullijeve jednadbe ima fizikalno znaenje.

Prema Eulerovom opisu strujanja fluida, ova jednadba se izvodi postavljenjem jednadbe gibanja prema II Newtonovom zakonu za esticu fluida koja se stacionarno struji (giba se) u polju protoka uzdu s-smjera strujnice s.

Na taj nain se dobiva Eulerova jednadba strujanja (gibanja) estice fluida

ijim se integriranjem dobiva

Bernoullijeva jednadba

2

.2

dp dvgdz konst

pdA

(p+dp)dA

G=mg

ds

ds

dx

dz

z

x

Strujnica

2

2

.2

.2

dp vgz konst

p vg z konst

sF m a

Bernoulijeva jednadba za nestlaive fluide predstavlja snaan alat za pronalaenje vrijednosti tlakova i brzina estice fluida izmeu dviju toaka uzdu strujnice kojom se estica stacionarno giba.

Primjena ove jednadbe zasiva se na pretpostavci kako nema trenja, to znai kako se utjecaj viskoznosti fluida zamenaruje.

Poto realna strujanja u potpunosti ne zadovoljavaju ove pretpostavke, uvijek se mora voditi rauna kako e rezultati dobiveni s Bernoulijevom jednadbom biti inenjerska procjena.

Nadalje, njenom primjenom pretpostavlja se i nestlaivo strujanje, a to pretpostavlja konstantnu gustou fluida. Kako je gustoa fluida obrnuto proporcionalna temperaturi, ona se ne moe primjenjivati za dijelove strujanja koji ukljuuju znaajne promjene temperature fluida kao to je grijanje i hlaenje fluida.

Poto se Bernoulijeva jednadba izvodi iz jednabe gibanja estice fluida uzdu strujnice, ona nije primjenjiva u dijelovim strujanja koja ukljuuju pumpe, turbine i druge strojeve jer isti unitavaju strujnice i daju energiju esticama fluida. U takvim sluajevima Bernoulijeva jednadba moe se primjenjivati za dijelove protoka prije i iza tih strojeva.

U svim tim sluajevima koriste se razliiti proireni oblici Bernoulijeve jednadbe.

Bernoulijeva jednadba za stlaive fluide: Ukoliko se pretpostavi izotermo stacionarno strujanje idealnog plina (T=konst.), te uz p=RT, Eulerova jednadba strujanja (gibanja) estice fluida glasi:

Integriranjem lana tlaka, dok su ostali lanovi konstante, i uz poznavanje poloaja 1 i 2 na strujnici te dijeljenjem s g, dobiva se Bernoulijeva jednadba za izotermo stacionarno strujanje idealnog plina u obliku:

Veina strujanja plinova je izentropsko, pa u tom sluaju Bernoulijeva jednadba za stacionarno strujanje idealnog plina izmeu dvije toke glasi:

2

. ;2

dp v pRT g z konst

p RT

2 2

1 1 2

1 2

2

ln2 2

RT p v vh h

g p g g

2 2

1 1 2 2

1

1 22 2

p v p vg h

Bernoulijeva jednadba za realni fluid: Pri strujanju realnog fluida kroz kontrolni volumen (npr. cijev) dolazi do gubitka energije zbog svladavanja

otpora, koji potjeu od sila trenja izmeu estica fluida i stijenki, kao i izmeu samih estica fluida.

Taj gubitak energije oituje se kao visina gubitaka hg, odnosno kao pad tlaka p.

Imajui u vidu da je Bernoullijeva jednadba zapravo jedan zapis zakona ouvanja energije, za realan odnosno viskozan fluid konstantne gustoe (nestlaiv), njen oblik izmeu dva presjeka glasi:

2 2

1 1 2 2

1 22 2

g

p v p vh h h

g g g g

Ukoliko se u bilo kojoj toki strujanja realnog fluida dodaje energija zbog ugraene pumpe, kompresora, ventilatora itd., Bernoullijeva jednadba poprima oblik:

gdje je hd visina dodana fluidu od stroja (npr.dobavna visina-napor pumpe)

[m], Wd [J=Nm] dodana mehanika energija, a Wg [J=Nm] gubitak mehanike energije u stroju, cijevima i elementima cjevovoda.

Gubitak visine hg ili mehanike energije u sustavu Wg odreuje se pojedinanim zbrajanjem gubitaka u stroju i u sustavu cjevovoda.

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

2 2

d g

d g

p v p vh h h h

g g g g

ili

p v p vh W h W

g g g g

NAPOMENA: Kada se govori o transportu fluida kroz cijev, kanal i

sl., tada se govori o protjecanju fluida kroz iste, odnosno o protoku.

2 2

1 1 2 2

1 22 2

d g

p v p vm h P m h P

g g g g

Na taj nain Bernoulijeva jednadba poprima oblik:

Dodana visina hd izraunava se pomou izraza:

Oduzeta visina se pak odreuje:

gdje je stupanj korisnog djelovanja koji uzima u obzir mehanike gubitke

uslijed viskoznog trenja.

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

1 1 2 2

1 2

2 2

2 2

2 2

d od g

d g od

d g od

p v p vh h h h h

g g g g

p v p vh W h W W

g g g g

p v p vm h P m h P P

g g g g

d d u

d

W P Ph

g m g m g

od od u

od

W P Ph

g m g m g

Oduzeta visina je vea jer uzima u obzir gubitke u dodanoj visini.

Proirena Bernoulijeva jednadba vrijedi kod strujanja realnog fluida kada zbog trenja nastaju gubici mehanike energije koja se pretvara u toplinu.

Budui da kinetika energija kod strujanja fluida v2/2 nije jednaka stvarnoj iz razloga to je srednja vrijednost kvadrata brzine vea od kvadrata srednje brzine, tj:

Stoga, za realnu tekuinu Bernoulijevu jednadbu treba korigirati sa koeficijentom ispravka kinetike energije , tj.

pa je:

Za turbulento strujanje koeficijent je neznatno iznad jedinice, tj. =1,05, pa se esto zanemaruje. S druge strane, za laminarno iznosi =2, pa se mora uzeti u obzir.

2 2( ) ( )sr sr

v v Gaspard Coriolis (17921843)

2 2

; 1 2 2

sr

sr sr

v v

2 2

1 1 2 2

1 1 2 22 2

g

p v p vh h h

g g g g