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DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA MECCANICA E STRUTTURALE
FACOLTA’ DI INGEGNERIA, UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRENTO
Corso di Aggiornamento su Problematiche Strutturali Verona, Aprile - Maggio 2005
INTRODUZIONE ALLA DINAMICA DELLE STRUTTURE
Massimiliano Gei
2
SOMMARIO
• Oscillatore semplice: vibrazioni libere e forzate
• Oscillatore semplice soggetto ad azione sismica • Spettro di risposta elastico
• Calcolo dello stato di sollecitazioni di strutture a 1 e a 2 gradi di libertà
• Confronto tra analisi statica e dinamica
• Simmetria strutturale, baricentro elastico, effetti torcenti
OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI LIBERE
• Esempi di oscillatore semplice
m k u(t) u(t)
h k=3 EI/h3
m
k/2 k/2
m
h u(t)
m k
k=2 · 12 EI/h3
(2 pilastri) • Equazione del moto
Forza elastica
m u(t)+k u(t)=0 (vibrazioni libere)
.. Forza d’inerzia
3
OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI LIBERE
u(t)
m u(t)+k u(t)=0 (vibrazioni libere) (1) ..
4
u(t)+ω2 u(t)=0
m
h ..
k= 12 ⋅ 2 EI/h3 ω= k/m pulsazione (freq. circolare)
(2 pilastri)
T=2 π/ω =2 π m/k periodo proprio
Nelle strutture civili il periodo proprio T è dell’ordine di 0.5÷2 secondi
OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI LIBERE
• Equazione del moto:
u(t)
m u(t)+k u(t)=0 (vibrazioni libere) (1) ..
5
u(t)+ω2 u(t)=0 , ω= k/m h
k=3 EI/h3
m
..
• Legge oraria del moto (soluzione dell’equazione 1): spostamento: u(t)=U sin(ωt+φ) max spostamento: umax=U velocità: u(t)=U ω cos(ωt+φ) max velocità: umax=U ω
. .
accelerazione u(t)=−U ω2 sin(ωt+φ) max accelerazione: umax=U ω2
.. ..
OSCILLATORE SEMPLICE: RIGIDEZZA E PERIODO T
Periodo proprio della struttura: T =2 πkm
F
6
Struttura molto rigida, k → alto, T → basso (pochi decimi di secondo)
k/2 k/2
m
h
F
Struttura poco rigida, k → basso, T → alto (nell’ordine del secondo)
k/2 k/2
m
h
OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI FORZATE
Si applica all’oscillatore una forza di pulsazione costante ω0 e di intensità massima F0
7
• Equazione del moto (con smorzamento) u(t)+2 ξ ω u(t)+ ω2 u(t)=F(t)/m k/2 k/2
m
F(t)=F0 sin ω0 t
h .. .
ξ: coefficiente di smorzamento (2÷5 %) D: fattore di amplificazione dinamica: rapporto tra lo spostamento causato dall’azione dinamica e quello provocato dalla forza agente staticamente.
OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI FORZATE
8
• La risonanza si ha per ω0= ω
• Per ω0 » ω, D → 0, la struttura non
risente della forzante
Riduzione Amplificazione (bassi ξ)
Risonanza
STRUTTURE A PIU’ G.D.L.: MODI DI VIBRARE
In una struttura a più Gradi Di Libertà (G.D.L.) l’analisi dinamica mostra l’esistenza di configurazioni privilegiate di vibrazioni, chiamati MODI DI VIBRARE della struttura. I modi di vibrare sono in numero pari ai G.D.L. della struttura. Esempio: struttura a 2 G.D.L. 1° modo, U(1) 2° modo, U(2)
9
MODI DI VIBRARE DI STRUTTURE A PIU’ G.D.L.
• Sono in n° pari ai gradi di libertà della struttura • Ogni modo di vibrare è associato ad una pulsazione (o periodo)
ω1 → {U(1)}, ω2 → {U(2)}, ω3 → {U(3)}, ecc.
ω1 ≤ ω2 ≤ ω3 ≤ ecc.
10
T1 ≥ T2 ≥ T3 ≥ ecc.
Periodo proprio o fondamentale
Pulsazione naturale o fondamentale
T=ωπ2
T1 ≥ T2 ≥ T3
3 piani, 3 modi di vibrare
1° modo 2° modo 3° modo
MODI DI VIBRARE: PROPRIETA’ (II)
• Una vibrazione generica di una struttura è una combinazione dei modi di
vibrare della struttura (dipende dalle condizioni iniziali). • Se le condizioni iniziali corrispondono ad un modo di vibrare allora la
struttura vibrerà liberamente secondo il modo stesso.
1° modo 2° modo
11
OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZ. FORZATE SMORZ.
u(t) F(t) F(t)
12
t
u(t) t
Impulso elementare m
h
u(t)+2 ξ ω u(t)+ ω2 u(t)=F(t)/m (vibrazioni smorzate forzate) .. .
u(t) ≅ ∫τ
ωt0
1m
)F( exp[−ξ ω (t−τ)] sin [ω (t−τ)] dτ ≅ )V(t,ξ
ω1
V(t): è una velocità = PSEUDO VELOCITA’ (PSV)
vale per bassi valori di ξ (1-5%)
OSC. SEMPLICE: SPOSTAMENTO IMPRESSO ALLA BASE
u(t)
m (u+y)+c u+ k u = 0 .. .. .
u(t)+2 ξ ω u(t)+ ω2 u(t)=−y(t)
13
u(t) ≅ V(t)ω1
legge del motoy(t) y(t)
m
h .. .. .
V(t) = ∫ exp[−ξω(t−τ)] sin [ω(t−τ)] dτ τ− t
0 )(y&&
y(t): ACCELEROGRAMMA ..
t
Accelerogramma tipico di un sisma
y(t) ..
ACCELEROGRAMMA
14
y(t)
..
g
Componente Nord-Sud dell’accelerazione al suolo per il terremoto di El Centro del 1940
ACCELERAZIONE EFFICACE
u(t)
15
Quale forza d’inerzia (m aeff), agendo staticamente, provoca in ogni istante lo spostamento u(t)?
m aeff(t) = k u(t) (2)
y(t) y(t)
m
h
u
m
h
Finerzia = Felastica maeff Le sollecitazioni della struttura sono legate al valore della forza elastica Felastica. Attraverso la relazione (2) si trasforma il problema dinamico in un problema statico. Se conosco aeff max posso calcolare le massime sollecitazioni della struttura indotte dal sisma.
aeff(t)=mk
u(t)=ω2 u(t)= ω V(t)
SPETTRI DI RISPOSTA ELASTICI
Ai fini progettuali è necessario disporre di
aeff max: accelerazione efficace massima,
Vmax=Sve(ω,ξ) Sve(T,ξ)
Spettro di risposta elastico in termini di velocità (Velocità spettrale)
umax: massimo spostamento, Vmax: pseudo-velocità massima
Vmax è la quantità fondamentale.
16
t
y(t) ..
Accelerogr. y(t) applicato ad un oscillatore di pulsazione ω e smorz. ξ
.. V(t;ω,ξ)
ξ crescente Sve
T=2π/ω
SPETTRI DI RISPOSTA ELASTICI
Ottenuto Sve(ω,ξ):
umax= Sde(ω,ξ)=ω1
Sve(ω,ξ) Spostamento spettrale
aeff-max= Sae(ω,ξ)=ω Sve(ω,ξ) Accelerazione spettrale Lo spettro dà il massimo valore della grandezza per un determinato oscillatore e per un determinato accelerogramma. Per uno stesso sito si calcolano gli spettri per diversi sismi
SPETTRI MEDI
T=2π/ω
ξ crescente
T=2π/ω
ξ crescente
17
Sde
T=2π/ω
ξ crescente Sae
Sve
CALCOLO AZIONI SISMICHE TRAMITE SPETTRO ELAST.
(1 grado di libertà)
T=2π/ω
a
Sae ma
18
m
h m
h
T
Struttura (1 gdl): Calcolo dell’accel. a Calcolo delle sollecit. noti ω (o T) e ξ mediante lo spettro indotte dal sisma medio DIMENSIONAMENTO PROGETTO DI MASSIMA DI DETTAGLIO
SPETTRO DI RISPOSTA ELASTICO (NORMATIVA)
Periodo proprio
DTipologie dterreno di fondazione
Dipende daterreno di fondazione
zona ag
1 0.35 g
Accelerazione max del terreno
g = 9.81 m/s2
Dipende dallo smorzamento
A
el
l
2 0.25 g
3 0.15 g
4 0.05 g
19
OSSERVAZIONI SULLO SPETTRO ELASTICO
• i valori dello spettro sono più elevati quanto è minore lo smorzamento
• se la struttura è molto rigida (T → 0), il suo moto coincide con il moto del terreno, e la massima accelerazione subita dalla massa m coincide con la max accelerazione del terreno, per cui
Sae(0,ξ) ≈ ymax
..
• se la struttura è molto deformabile (T > 2 s) la max accelerazione subita dalla massa m è inferiore al valore della massima accelerazione del terreno, per cui
Sae(T,ξ) < ymax
..
• se la struttura ha valori del periodo fondamentale T intermedi (0.1 s < T < 1 s ) la max accelerazione subita dalla massa m supera notevolmente la max accelerazione del terreno
Sae(T,ξ) > ymax
..
20
ESEMPIO: TELAIO SEMPLICE
E (c.a.)=2000 kN/cm2
21
Ipil =304/12=67500 cm4
5 m
q=40 kN/m
3 m Pilastri 30x30 in c.a.
Rigidezza: k = 2 · 12 EIpil/h3 = 24 · 2000 · 67500 / 3003 = 120 kN/cm = 12000000 N/m Massa: m= W / g = 200 / 9.81 ≅ 20 kN s2/m = 20000 kg = 20 t
Periodo: T = 2 π / ω = 2 π km
= 2 π 12000000
20000 =0.26 s
Spettro elastico (da normativa)
Sae(T=0.26 s)=ag S η 2.5 = 0.35 g · 1 · 1 · 2.5 = 0.875 g Fmax = W Sae/g = 200 · 0.875 = 175 kN
ESEMPIO: TELAIO SEMPLICE, SOLLECITAZIONI
22
+ =
Fmax=175 kN
131
131
64
32
60
q=40 kN/m
100
195
M M
163
kNm kNmkNmM
Carichi Sisma con periodo di Totale Verticali ritorno di circa 500 anni
Esempi di calcolo delle azioni sismiche sulla base dello spettro elastico proposto
nell’Ordinanza 3274/03
5 m
3 m
3 m
q=30 kN/m q=30 kN/m
23
ESEMPIO: ANALISI STATICA (I)
Periodo fondamentale: T = 0.36 s
24
Peso sismico di ogni piano: W1=W2=150 kN Peso sismico tot: W= W1+ W2 = 300 kN Sae(T=0.36 s)=ag S η 2.5 = 0.875 g Quote dei due piani: z1 = 3 m; z2 = 6 m Azione tagliante totale alla base del fabbricato Fbase = Sae λ W/g = 0.875·1·300 = 263 kN
Pilastri 30x30 in c.a.
0.35 g (zona 1)
massa
5 m
3 m
q=30 kN/m
3 m
q=30 kN/m
λ: coefficiente che dipende dall’altezza della struttura
ESEMPIO: ANALISI STATICA (II)
Quote dei due piani: z1 = 3 m; z2 = 6 m
Forze di piano: Fi = Fbase zi ∑j jj
iWz
W
Σj zj Wj = 3·150+6·150 = 1350 kN m
F2=175 kN
F1=88 kN
F1 = 263·3·1350150
= 88 kN
F2 = 263·6·1350150
= 175 kN
25
ESEMPIO: ANALISI STATICA (III)
Sollecitazioni indotte dall’azione sismica 131
175 kN
88 kN
Momento Taglio al p Sforzo nor
26
(sui pilastri) Np
Mp
Tp
Np
Tp
175 kN
88 kN
kNm M
197
Mp
al piede (Mp) = 197 kNm iede (Tp) = 132 kN male al piede (Np) = 184 kN
ESEMPIO: ANALISI DINAMICA (I)
5 m
3 m
q=30 kN/m
3 m
q=30 kN/m u(2)2=−0.618
u(1)1=0.618
u(1)2=1
u(2)
1=1
Pilastri 30x30 in c.a.
I modo II modo T1=0.36 s T2=0.14 s
Coefficienti di partecipazione g1, g2 : (gr=∑
∑
j
j(r)j
(r)jj
(r)jj
uuW
uW)
g1 = 22 0.6181501150
0.6181501150
⋅+⋅
⋅+⋅=1.171, g2 = 22 0.618)1501150
0.618)1501150
−⋅+⋅
−⋅+⋅
((
=0.276
27
ESEMPIO: ANALISI DINAMICA (II)
Ogni modo di vibrare (j) conduce un insieme di forze di piano (indice i) Fji
Fji =
g1Sae(Tj) Wi γ(j)
i γ(j)i = u(j)
i gi: coeff. di distribuzione
Nell’esempio: γ(1)
1 = u(1)1 g1=0.618 ⋅ 1.171 =0.724, γ(1)
2 = u(1)2 g1=1 ⋅ 1.171=1.171
γ(2)
1 = u(2)1 g2=1 ⋅ 0.276 =0.276, γ(2)
2 = u(2)2 g2=−0.618 ⋅ 0.276=−0.171
28
ESEMPIO: ANALISI DINAMICA (III)
SaeS η Spettri elastici Sae(T1)= Sae(0.36 s)= 0.35 g ·1 ·1 ·2.5 =0.875 g Sae(T2)= Sae(0.14 s)= 0.35 g ·1 · (1 + 0.14 ⋅1.5/0.15) =0.84 g Forze di piano T2 T1F1
1 = Sae(T1) W1 γ11/g=0.875 ⋅ 150 ⋅ 0.724 = 95 kN
F1
2 = Sae(T1) W2 γ12/g=0.875 ⋅ 150 ⋅ 1.171 = 154 kN
F2
1 = Sae(T2) W1 γ21/g=0.84 ⋅ 150 ⋅ 0.276 = 34 kN
F2
2 = Sae(T2) W2 γ22/g=0.84 ⋅ 150 ⋅ (−0.171) = −22 kN
29
ESEMPIO: ANALISI DINAMICA (IV)
30
154 kN 22 kN 156 kN
34 kN 95 kN 101 kN
1° modo 2° modo Azioni totali quadratura Le azioni totali si determinano per quadratura:
Ftot = 2modo2
2modo1 )(F)F °° +(
ESEMPIO: CONFRONTO ANALISI STATICA E DINAMICA
175 kN
88 kN
184
132 197
101 kN
156 kN
171
128 193
Analisi statica Analisi dinamica In questo caso l’Analisi statica si dimostra più cautelativa di quella dinamica
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SIMMETRIA STRUTTURALE
Struttura Struttura
doppiamente simmetrica simmetrica
pilastri
solaio di piano
Spostamenti indotti dal SISMA
Spostamenti indotti dal SISMA
Rotazione!
Direzione del SISMA Direzione del SISMA
35
BARICENTRO DELLE RIGIDEZZE DI PIANO
Cey
x
y CG
ex
eccentricità θ G: baricentro della massa Sotto un’azione torcente
del solaio di piano il solaio ruota attorno a C C: baricentro delle rigidezze
∑∑=
i xi
i xiic I
Ixx ,
∑∑
=i yi
i yiic I
Iyy
C corrisponde al baricentro dei
momenti statici dei mom. d’inerzia dei pilastri
36
ROTAZIONI TORSIONALI INDOTTA DAL SISMA
Traslazione pura
M=Fin⋅e
≡
e C G
e
Forza d’inerzia Fin=my&&
C G G ≡ C
Forza d’inerzia Fin=my&&
Rotazione indotta da M Traslazione indotta da Fin
37
42
ANALISI DINAMICA: TELAIO PIANO, MODI DI VIBRARE
(ultimo piano con massa notevolmente inferiore a quelli sottostanti)