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Moto armonico
§ Moti periodici
§ Moto armonico semplice: descrizione
cinematica e dinamica
§ Energia nel moto armonico semplice
§ Il pendolo
§ Oscillazioni smorzate
§ Oscillazioni forzate e risonanza
A.S
ola
no -
Fis
ica
- C
TF
Moto periodico Si definisce periodico un moto che si ripete ad intervalli di tempo regolari.
A
B
C
L’intervallo di tempo necessario per compiere l’intero ciclo di oscillazione (AàCàA) è detto periodo.
In numero di oscillazioni complete nell’unità di tempo è detto frequenza
€
f =1
T
>> Unità di misura nel SI à hertz (Hz) = 1/s
>> Unità di misura nel SI à secondo (s)
h h
A.S
ola
no -
Fis
ica
- C
TF
Moto armonico semplice: il sistema massa-molla
Una massa m, collegata ad una molla, è libera di oscillare su una superficie orizzontale priva di attrito.
x
Quando la molla è a riposo ha una sua lunghezza caratteristica e non esercita forze sulla massa.
Sia x=0 la posizione della massa quando la molla è a riposo à posizione di equilibrio
A.S
ola
no -
Fis
ica
- C
TF
Moto armonico semplice: la forza elastica di richiamo
x
Se si sposta la massa m dalla posizione di equilibrio ad una generica posizine x, la molla, compressa o allungata, esercita una forza per riportare m nella posizione iniziale à forza elastica di richiamo
!F = −k!x k à costante elastica della molla
x à spostamento dalla posizione di equilibrio
0 x1
Oscillatore armonico semplice: sistema oscillante caratterizzato da una forza di richiamo direttamente proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio e di verso opposto a questo.
A.S
ola
no -
Fis
ica
- C
TF
Moto armonico semplice
x
POSIZIONE DI EQUILIBRIO (x=0)
0 A x
0 -A
x
Forza di richiamo nulla
MOLLA ALLUNGATA (x>0)
Forza di richiamo negativa
MOLLA COMPRESSA (x<0)
Forza di richiamo positiva
La massa m portata nella posizione A e lasciata libera oscillerà tra le posizioni A e -A
A.S
ola
no -
Fis
ica
- C
TF
Accelerazione di un corpo in moto armonico semplice
x
POSIZIONE DI EQUILIBRIO (x=0)
0 A
x
0 -A
x
Accelerazione nulla
MOLLA ALLUNGATA, MASSIMO SPOSTAMENTO (x=A)
Accelerazione massima
MOLLA COMPRESSA, MASSIMO SPOSTAMENTO (x=-A)
Accelerazione massima
!F = −k!x!F =m!a
−k!x =m!a!a = − k
m!x
a = − kmA
a = kmA
!a
!a
A.S
ola
no -
Fis
ica
- C
TF
Velocità di un corpo in moto armonico semplice
MOLLA ALLUNGATA, MASSIMO SPOSTAMENTO (x=A)
Velocità nulla
Velocità nulla
Accelerazione non nulla à velocità variabile nel tempo
x
POSIZIONE DI EQUILIBRIO (x=0)
Velocità massima
0 A
x
0 -A
x
MOLLA COMPRESSA, MASSIMO SPOSTAMENTO (x=-A)
Punto di inversione del moto
Punto di inversione del moto
A.S
ola
no -
Fis
ica
- C
TF
Lo spostamento di una massa attaccata ad una molla ha un andamento temporale sinusoidale o cosinusoidale.
Spostamento di una massa attaccata ad una molla
A
A à ampiezza
A.S
ola
no -
Fis
ica
- C
TF
Rappresentazione matematica del moto armonico semplice
a = − kmx
a = dvdt=ddt(dxdt) = d
2xdt2
d 2xdt2
= −kmx d 2x
dt2= −ω 2x
km=ω 2
d 2xdt2
= −ω 2xEquazione differenziale del secondo ordine
Soluzione: famiglia di funzioni x(t) la cui derivata seconda è uguale alla funzione stessa cambiata di segno e moltiplicata per ω2
Le funzioni seno e coseno si comportano così
x(t) = Acos(ωt +φ)Soluzione:
A.S
ola
no -
Fis
ica
- C
TF
Verifica della soluzione trovata… x(t) = Acos(ωt +φ)
dxdt=ddt[Acos(ωt +φ)]= −ωAsen(ωt +φ)
d 2xdt2
=ddt[−ωAsen(ωt +φ)]= −ω 2Acos(ωt +φ)
x(t)
1. Abbiamo verificato che l’equazione è soddisfatta d 2xdt2
= −ω 2x
2. Abbiamo derivato l’andamento della velocità in funzione del tempo
3. Abbiamo derivato l’andamento dell’accelerazione in funzione del
tempo
= v(t)
= a(t)
A.S
ola
no -
Fis
ica
- C
TF
Parametri del moto armonico x(t) = Acos(ωt +φ) Equazione del moto (legge oraria)
A A à ampiezza: massimo valore della posizione del corpo nella direzione x sia positiva che negativa
km=ω 2 ω =
km
ω à pulsazione
>> Unità di misura nel SI à metro(m)
>> Unità di misura nel SI à rad/s
T = 2πω
= 2π mk
T à periodo: tempo impiegato dal corpo a compiere una oscillazione completa >> Unità di misura nel SI à secondo (s)
T
f = 1T=ω2π
=12π
km
f à frequenza: numero di oscillazioni complete nell’unità di tempo
>> Unità di misura nel SI à hertz (Hz)
φ à fase iniziale (in radianti)
A.S
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- C
TF
Significato della fase iniziale
!1.5%
!1%
!0.5%
0%
0.5%
1%
1.5%
0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%!1.5%
!1%
!0.5%
0%
0.5%
1%
1.5%
0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%
!1.5%
!1%
!0.5%
0%
0.5%
1%
1.5%
0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14%
y=cos(t)
y=cos(t-π/4)
φ = -π/4
φ = 0
φ = -π/2
y=cos(t-π/2)
La fase iniziale determina l’istante in cui il movimento raggiunge l’ampiezza massima.
La fase iniziale φ non modifica la forma della funzione ma la trasla lungo l’asse delle ascisse.
Come l’ampiezza è determinato dalle condizioni inizlali del moto
Se a t=0 il corpo parte dalla posizione di massimo spostamento x=A la fase iniziale è nulla.
A.S
ola
no -
Fis
ica
- C
TF
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Riassumendo …
x(t) = Acos(ωt) v(t) = −Aωsen(ωt) a(t) = −Aω 2 cos(ωt)
Massimo positivo
x=A v=0
Massima a = -Aω2
Massimo negativo
x= -A v=0
Massima a = Aω2
Posizione di equilibrio
x=0 a = 0 Massima
v = -Aω
Posizione di equilibrio
x=0 a = 0
Velocità massima v = Aω
Massimo positivo
x=A v=0
Massima a = -Aω2
ω =km=2πT t
0
T/4
T/2
3T/4
T
ωt
0
π/2
π
3π/2
2π
posizione velocità accelerazione A
.So
lano
- F
isic
a -
CTF
L’energia nel moto armonico semplice(1)
U =12kx2
!F = −k!x
0 A
x
Forza di richiamo esercitata da una molla:
varia durante lo spostamento
L = − kxi
x f
∫ x dx = −k xxi
x f
∫ dx = − 12kx f
2 − (− 12kxi
2 ) = 12kxi
2 −12kx f
2
Il lavoro dipende solo dalla posizione iniziale e finale della massa m à La forza di richiamo della molla è una forza conservativa
Possiamo definire un’energia potenziale elastica
L =Ui −Uf =12kxi
2 −12kx f
2
Se il corpo di massa m si sposta da xi a xf, la forza di richiamo compie un lavoro L
>> Unità di misura nel SI à joule (J)
A.S
ola
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Fis
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TF
Se l’unica forza che agiste sul corpo di massa m è la forza di richiamo della molla, l’energia meccanica totale si conserva.
L’energia cinetica e potenziale variano ma la loro somma rimane costante
U =12kx2 = 1
2k A2 cos2(ωt)
K =12mv2 = 1
2m A2ω 2sen2 (ωt)
L’energia nel moto armonico semplice(2) A
.So
lano
- F
isic
a -
CTF
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
0
0
0
K=1/2mv2 U=1/2kx2 E=U+K
12m(Aω)2
K massima
12m(Aω)2
K massima
12kA2
U massima
0
12kA2
U massima
0
12kA2
U massima
12kA2
12kA2
12kA2
12kA2
12kA2
t
0
T/4
T/2
3T/4
T
ωt
0
π/2
π
3π/2
2π
L’energia nel moto armonico semplice(3) ω =
km=2πT
A.S
ola
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Fis
ica
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TF
Molla verticale Una massa m appesa ad una molla verticale ne causa l’allungamento
Posizione di equilibrio senza la massa appesa
Posizione di equilibrio con la massa appesa
La molla è in equilibrio quando esercita una forza verso l’alto uguale al peso della massa.
kx0 =mg x0 =mgk
La massa oscilla intorno alla nuova posizione di equilibrio (x0); per gli altri aspetti le oscillazioni sono uguali a quelli di una molla orizzontale
A.S
ola
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Fis
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TF
Il moto circolare uniforme è una composizione di moti armonici semplici
Mentre il punto materiale P si muove di moto uniforme con velocità v sulla circonferenza di raggio r, le sue proiezione sugli assi x e y, si muovono di moto armonico
θ =ωtxP = rcos(θ ) = rcos(ωt)
Il moto circolare corrisponde alla composizione di due moti armonici che si effettuano in due direzioni ortogonali e sono sfasati di π/2
La pulsazione ω dei due moti armonici corrisponde alla velocità angolare del moto circolare uniforme
yP = rsen(θ ) = rsen(ωt) = rcos(ωt −π2)
y
x
r !r
!v
θ
P
!ω xP
yP
t = 0→θ = 0
A.S
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TF
Il pendolo semplice Il pendolo semplice è un sistema meccanico costituito da una massa m appesa ad un filo inestensibile di massa trascurabile di lunghezza L
Il pendolo è in equilibrio quando la massa è sulla verticale del punto di sospenzione.
Se spostato dalla posizione di equilibrio il pendolo oscilla intorno a tale posizione.
Il periodo di oscillazione T si determina come: T = 2π L
g
Nel regime di piccole oscillazioni, il pendolo si muove di moto armonico semplice
Forza di richiamo F = mg sen(θ) ~ mg θ(componente della forza peso tangente alla traiettoria)
θ
mg
F
A.S
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TF
Oscillazioni smorzate In molti sistemi fisici si verificano perdite di energia meccanica per effetto di forze dissipative quali l’attrito o la resistenza dell’aria
Se E diminuisce, l’ampiezza A delle oscillazioni diminuisce
E = 12kA2 Oscillazioni
smorzate
Le forze dissipative non sono semplici da descrivere analiticamente. Spesso si fa lʼ’ipotesi che siano proporzionali alla velocità v con cui oscilla il corpo (es. resistenza dell’aria).
Coefficiente di smorzamento (>0) >> Unità di misura nel SI: kg/s
La forza di smorzamento si oppone al moto
!Fs = −γ
!v Velocità del corpo
A.S
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Coefficiente di smorzamento piccolo
il corpo oscilla con una frequenza circa uguale alla frequenza che avrebbe in assenza di forze di smorzamento ma l’ampiezza dell’oscillazione decresce esponenzialmente.
A0e-γt/2m
γ 2 << 4mk f ' ≈ 12π
km
Se ossia § ampiezza decresce esponenzialmente nel tempo: A=A0e-γt/2m
§ la frequenza di oscillazione diventa f ' = 12π
km−γ 2
4m2
γ 2
4m2 <km
γ 2 < 4mk
Se
A.S
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Coefficente di smorzamento grande
Condizione di smorzamento critico: il sistema torna nella posizione di equilibrio nel tempo minimo
Se
il sistema torna nella posizione di equilibrio senza oltrepassarla à non oscilla
γ 2 ≥ 4mk
Alcuni sistemi meccanici (ammortizzatori auto) sono progettati in modo da avvicinarsi alla condizione di smorzamento critico
γ 2 > 4mk
γ 2 = 4mk
A.S
ola
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Oscillazioni forzate È possibile aumetare l’energia di un sistema oscillante o integrare l’energia persa a causa di forze dissipative applicando una forza
esterna periodica che compie un lavoro positivo.
In presenza di forze non conservative, se il punto di sospensione del pendolo viene tenuto fermo, le oscillazioni si smorzano rapidamente.
La risposta del sistema dipende dalla frequenza f del movimento della mano. Se f ≅ f0, l’ampiezza dell’oscillazione può diventare piuttosto grande.
Se si fa oscillare avanti e indietro il punto di sospensione il pendolo continua ad oscillare. Poiché si “forza” il pendolo, le oscillazioni sono dette forzate.
f0 à frequenza naturale del pendolo
f0 =1T=12π
gL
A.S
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Risonanza Se la frequenza f della forza sollecitante è circa pari alla
frequenza naturale f0 dell’oscillatore à risonanza
Frequenza propria dell’oscillatore non smorzato
CURVE DI RISONANZA à Ampiezza del moto oscillatorio al variare della frequenza della forza esterna sollecitante
Curve diverse si riferiscono a diverse condizioni di smorzamento (à diversi valori di coefficiente di smorzamento)
Smorzamento grande à l’ampiezza varia poco al variare di f
Per piccoli smorzamenti le curve di risonanza hanno un picco alto e stretto § quando f ≅f0 l’ampiezza delle
oscillazioni può diventare particolarmente grande
§ sistemi selettivi f
Frequenza della forza esterna sollecitante
A.S
ola
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Vibrazioni molecolari e moto armonico
È possibile schematizzare una molecola come un insieme di masse puntiformi (atomi) collegate da molle (legame chimico).
Gli atomi legati in una molecola compiono continuamente moti vibrazionali attorno alle loro posizioni di equilibrio (XEQ).
Caso più semplice: molecola biatomica lineare
XEQ
XMAX
XEQ
XMIN
Le masse si allontanano fino a quando arrivano al massimo dellʼ’elongazione (XMAX)… …ripassano per la posizione di equilibrio (XEQ) …avvicinarsi ad una distanza XMIN …
… ripassano per la posizione di equilibrio. E così via…
MOTO DI STIRAMENTO (STRECHING)
Molti sistemi e problemi complicati si possono ricondurre allo studio dell’oscillatore armonico lineare
A.S
ola
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TF
Dati due punti materiali di massa M1 ed M2 che si muovono solo in virtù di forze di mutua interazione, il moto di uno (M2) rispetto allʼ’altro (M1) può essere trattato come se questʼ’ultimo fosse fermo, con lʼ’unico accorgimento di sostituire alla massa M2 la massa ridotta μ.
La massa ridotta
M1 M2
xEQ xEQ
La frequenza di vibrazione della molecola biatomica lineare
f0 =12π
kµ
Tale frequenza può essere determinata sperimentalmente con la spettroscopia infrarossa e dà informazioni sulla forza del legame (k) http://www.federica.unina.it/farmacia/metodi-spettroscopici-in-chimica-organica/spettroscopia-ir-1/
Se una molecola assorbe radiazione di una determinata frequenza, vuol dire che può vibrare a quella frequenza
A.S
ola
no -
Fis
ica
- C
TF
Oscillatore armonico classico e quantistico
Le molecole si comportano in realtà come oscillatori quantistici
ω =kµ
h = costante di Plank = 6.63 × 10-34 J s
In meccanica quantistica § l’energia di un oscillatore armonico può assumere solo valori discreti § l’energia dello stato fondamentale non è nulla.
(stessa ω ricavata nel caso classico)
Costante di Planck
La costante di Planck, indicata con h, è una costante fisica ed ha le dimensioni di un'energia per un tempo. Nel sistema di unità di misura denominato "Unità atomiche", la Costante di Planck, è l'unità di misura del momento angolare.In meccanica quantistica, la sua esistenza nella materia, determina la prima quantizzazione (o assegnazione di valori) a grandezze come l'energia, la quantità di moto e il momento angolare di una particella. La costante di Planck è detta anche “quanto d'azione”, e la sua scoperta ha avuto un ruolo determinante per la nascita e la successiva evoluzione della meccanica quantistica. La costante come detto precedentemente, prende il nome da Max Planck, che attraverso gli studi fondamentali sullo spettro della radiazione di corpo nero, ha fato nascere la teoria quantistica. Max Planck è per questo a pieno titolo il padre della moderna teoria quantistica.
Il valore sperimentale della costante è
.
Un modo differente di esprimere la stessa quantità è:
,
dove π è la costante pigreco. In questa forma la costante è comunemente detta h tagliato e a volte è chiamata costante di Dirac
.
La costante di Planck insieme alla carica dell'elettrone e alla velocità della luce è una delle costanti fondamentali con le quali si definisce la struttura di una particella.
La costante di Planck è responsabile della quantizzazione delle grandezze dinamiche che caratterizzano a livello microscopico, le particelle elementari che compongono materia e luce: elettroni, protoni, neutroni e fotoni. “La quantizzazione consiste nel fatto che, a livello microscopico, energia, impulso e momento angolare, invece di assumere una serie continua di valori, si manifestano in quantità multiple di quantità fisse”.
Ad esempio, l'energia E trasportata da un onda elettromagnetica con frequenza costante ν può assumere solo valori pari a
A volte è più conveniente usare la frequenza angolare ω=2πν, che da
Nel caso di un atomo, la quantizzazione del momento angolare determina nello spettro di emissione atomico delle righe di emissione corrispondenti a una serie di numeri quantici.
A.S
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