DIPLOMSKO DELO · Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in mate-matiko, Oddelek za matematiko in ra cunaln sitvo, 2012. IZVLECEK V diplomskem delu bomo v

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO

Oddelek za matematiko in racunalnistvo

DIPLOMSKO DELO

Sabina Skornsek

Maribor, 2012

UNIVERZA V MARIBORU


Oddelek za matematiko in racunalnistvo

Diplomsko delo

ODPRTE PRESLIKAVE

UVERIZLJIVIH

KONTINUUMOV

Mentor: Kandidatka:

doc. dr. Iztok Banic Sabina Skornsek

Maribor, 2012

ZAHVALA

Nicesar ne pricakujem, zato sem vedno neskoncno

hvalezen za preproste stvari.

(Ralph W. Emerson)

Zahvaljujem se mentorju, doc. dr. Iztoku Banicu za pomoc, strokovno vodenje in

spodbudo pri izdelavi moje diplomske naloge.

Iskrena hvala tudi starsem in bratu, ki so mi v tem lepem in pomembnem obdobju

zivljenja stali ob strani, me vzpodbujali in mi kakorkoli pomagali.

Hvala vsem.

UNIVERZA V MARIBORU


IZJAVA

Podpisana Sabina Skornsek, rojena 02. decembra 1987, studentka Fakultete za nar-

avoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, studijskega programa matematika,

izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom

ODPRTE PRESLIKAVE UVERIZLJIVIH KONTINUUMOV

pri mentorju doc. dr. Iztoku Banicu avtorsko delo. V diplomskem delu so uporabljeni

viri in literatura korektno navedeni; teksti niso uporabljeni brez navedbe avtorjev.

Maribor, 25. september 2012

Sabina Skornsek

Odprte preslikave uverizljivih kontinuumovprogram diplomskega dela

Uverizljivi kontinuumi predstavljajo pomemben razred kontinuumov, saj predstavl-

jajo natanko kontinuume, ki jih lahko predstavimo kot inverzne limite inverznih za-

poredij zaprtih enotskih intervalov in zveznih veznih preslikav. V diplomskem delu

naj bodo predstavljene osnovne lastnosti uverizljivih kontinuumov. Natancneje naj

bodo opisane odprte preslikave na njih [1].

Opisani rezultati naj bodo ilustrirani tudi s primeri.

Osnovni viri:

[1] I. Rosenholtz, Open maps of chainable continua, Proceedings of the American

Mathematical Society 42 (1974), 258 - 264.

doc. dr. Iztok Banic

SKORNSEK, S.: Odprte preslikave uverizljivih kontinuumov.

Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in mate-

matiko, Oddelek za matematiko in racunalnsitvo, 2012.

IZVLECEK

V diplomskem delu bomo v uvodnem poglavju skupaj s primeri predstavili osnovne pojme

v topologiji, povezane in kompaktne prostore.

V drugem poglavju bomo definirali kontinuume in si pogledali nekaj osnovnih primerov.

Del poglavja je namenjen uverizljivim kontinuumom, kjer bomo definirali nekaj lastnosti

le-teh.

V tretjem poglavju se bomo seznanili z odprtimi preslikavami v povezavi z uverizljivimi

kontinuumi. Dokazali bomo pomemben izrek, ki pravi, da je slika vsakega uverizljivega

kontinuuma z odprto preslikavo spet uverizljiv kontinuum.

Zanimiva teorija se razvije v cetrtem poglavju v povezavi z lokalnimi homeomorfizmi.

Dokazali bomo, da ce je preslikava iz uverizljivega kontinuuma na nek prostor lokalni home-

omorfizem, potem je homeomorfizem.

Omenjena dokaza iz tretjega in cetrtega poglavja pa sta tudi najpomembnejsa rezultata

diplomskega dela.

Kljucne besede:

Kontinuum, Uverizljiv kontinuum, Odprta preslikava, Lokalni homeomorfizem

Math. Subj. Class. (2010): 54C10; 54D05; 54E45; 54F15

SKORNSEK, S.: Open maps of chainable continua.

Graduation Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Scicences and

Mathematics, Department of Mathematics and Computer Science, 2012.

ABSTRACT

In introductory chapter of graduation thesis we introduce basic concepts of topology, con-

nected spaces and compact spaces with basic examples.

In second part of graduation thesis we define the concept of continuum with examples. The

second part of the section is dedicated to chainable continua, where some characteristics of

them are presented.

In the third section we introduce open maps and their relations to chainable continua. We

prove important theorem which says that image of a chainable continuum with open map

is a chainable continuum.

An interesting theory is developed in fourth section describing results of local homeomor-

phism. We prove that a local homeomorphism of chainable continua onto another space is

actually a homeomorphism.

Mentioned results from the third and the fourth section are the most important results of

graduation thesis.

Key words:

Continuum, Chainable continuum, Open map, Local homeomorphism

Math. Subj. Class. (2010): 54C10; 54D05; 54E45; 54F15

Kazalo

Uvod 1

1 Osnovni pojmi 2

1.1 Povezanost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Kompaktni prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Kontinuumi 19

2.1 Kontinuumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Uverizljivi kontinuumi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Psevdolok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Odprte preslikave 28

4 Homeomorfizmi in lokalni homeomorfizmi 33

4.1 Homeomorfizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2 Lokalni homeomorfizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Literatura 37

ix

Uvod

V diplomskem delu bomo govorili o uverizljivih kontinuumih in odprtih preslikavah na njih.

Glavni rezultat diplomskega dela je, da ce je X uverizljiv kontinuum in f odprta preslikava

iz X na Y , potem je Y tudi uverizljiv kontinuum.

Kontinuum je povezan metricni prostor. Da pa je uverizljiv pa pomeni, da je mogoce X

pokriti z verigo s poljubno majhnimi cleni.

Kontinuume uporabljamo tudi v povezavi z lokalnimi homeomorfizmi. Zato je eden izmed

pomembnih rezultatov tudi ta, da ce je X uverizljiv kontinuum in preslikava f iz X na Y

lokalni homeomorfizem, potem je f homeomorfizem.

V uvodnem poglavju bomo definirali osnovne pojme, ki jih bomo v nadaljevanju potrebovali.

Ogledali si bomo tudi nekaj osnovnih primerov. V nadaljevanju bomo definirali pojem

kontinuuma in uverizljivega kontinuuma, ter ta dva pojma povezali z odprtimi preslikavami

in homeomorfizmi.

1

Poglavje 1

Osnovni pojmi

V tem poglavju bomo definirali nekaj osnovnih pojmov, ki se bodo v nadaljevanju pojavljali.

Prav tako bomo navedli nekatere pomembne izreke, ter nekaj primerov za lazje razumevanje

posameznih pojmov.

Definicija 1.1 Metricni prostor (X, d) je mnozica X s funkcijo d : X × X → R, za

katero za vsak x, y in z velja:

1. d(x, y) ≥ 0;

2. d(x, y) = 0 natanko tedaj, ko je x = y;

3. d(x, y) = d(y, x);

4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Primer 1.2 Naj bo prostor X = R2 in funkcija d : R × R → R. Potem je s predpisom

d(x, y) = ‖x− y‖ definirana metrika na X.

Primer 1.3 Preverimo, ce je s predpisom d1(T1, T2) =| x1 − x2 | + | y1 − y2 | definirana

metrika na R2.

Dokazati moramo stiri tocke definicije:

1. d1(T1, T2) ≥ 0

To velja, ker je vsaka izmed absolutnih vrednosti vedno vecja ali enaka nic.

2

3

2. d1(T1, T2) = 0⇔ T1 = T2

Najprej predpostavimo, da je d1(T1, T2) = 0. Iz tega sledi, da je x1−x2 = 0⇒ x1 = x2

in y1 − y2 = 0⇒ y1 = y2. Torej je res T1 = T2.

Sedaj pa predpostavimo obratno. Da je d1(T1, T2) = 0, je ocitno.

3. d1(T1, T2) = d1(T2, T1)

| x1 − x2 | + | y1 − y2 |=| −(x1 − x2) | + | −(y1 − y2) |=| −1 | ·(| x1 − x2 | + | y1 − y2 |) = d1(T2, T1). V predpisu smo izpostavili minuse in

dobili zeljeno.

4. d1(T1, T3) ≤ d1(T1, T2) + d1(T2, T3)

Kar zelimo dokazati je trikotniska neenakost.

| x1 − x3 | + | y1 + y3 |=| x1 − x2 + x2 − x3 | + | y1 − y2 + y2 − y3 |≤| x1 − x2 | + | x2 − x3 | + | y1 − y2 | + | y2 − y3 |=| x1 − x2 | + | y1 − y2 | + | x2 − x3 |+ | y2 − y3 |= d1(T1, T2) + d1(T2, T3).

Definicija 1.4 Podmnozica U ⊆ X je odprta v metricnem prostoru (X, d), ce za vsak

x ∈ U obstaja taksen r > 0, da je

K(x, r) ⊆ U .

Pri tem K(x, r) oznacuje odprto kroglo s srediscem v x in radijem r.

Prazna mnozica ∅ in celotna mnozica X sta hkrati odprti in zaprti v X.

Definicija 1.5 Topologija na mnozici X je druzina T podmnozic mnozice X, za katero

velja:

1. ∅, X ∈ T ;

2. za vsak λ ∈ Λ velja, da je Uλ ∈ T . Potem je⋃λ∈Λ Uλ ∈ T ;

3. ce U, V ∈ T , potem U ∩ V ∈ T .

Topoloski prostor je par (X, T ), v katerem je X mnozica in T topologija na njej.

Primer 1.6 Ce je mnozica X = {a} mnozica z eno tocko, je T = {∅, {a}} topologija na

X.

Primer 1.7 Naj bo X = N in za vsak n ∈ N velja: Un = {1, 2, 3, . . . , n}. Zanima nas, ce

je s predpisom T = {∅, X} ∪ {Un;n ∈ N} definirana topologija na X.

Preverimo lastnosti definicije 1.5 :

4

1. Ocitno je ∅, X ∈ T .

2. Brez izgube za splosnost predpostavimo, da so mnozice oblike

Un1 , Un2 , . . . , Unk, . . . ∈ T .

Dokazati moramo da velja⋃∞k=1 Unk

∈ T .

Ce je n1 = 1, n2 = 2, . . . dobimo {1} , {1, 2} , . . .Torej ce maksimum mnozice {nk; k ∈ N} ne obstaja, potem je

⋃∞k=1 Unk

= N, kar je

vredu.

Ce pa maksimum mnozice {nk; k ∈ N} obstaja, potem je⋃∞k=1 Unk

= Umax{nk;k∈N},

kar je tudi vredu.

3. Da je Un ∩ Um = Umin{n,m} ∈ T je ocitno.

Torej je T res topologija na X.

Vsak metricni prostor (X, d) lahko opremimo s topologijo Td vseh odprtih podmnozic od

X. Zato lahko na vsak metricni prostor (X, d) gledamo kot na topoloski prostor (X, Td).

Definicija 1.8 Naj bo (X, T ) topoloski prostor. Pravimo, da je (X, T ) metrizabilen, ce

lahko na X definiramo taksno metriko d : X ×X → R, da je T = Td.

Primer 1.9 Naj bo X = {a, b} in topologija T = {∅, X, {a}} na X. Zanima nas, ce obstaja

metrika d na X, tako da bo T = Td.

Denimo, da je d metrika na X, d(a, b) = r0, d(a, a) = 0 in d(b, b) = 0. Topologija Tdje definirana s predpisom Td = {U ⊆ X; ∀x ∈ U∃r > 0 3: K(x, r) ⊆ U}.Vzemimo U = {a}. Seveda U ∈ T .

Ali obstaja taksen r > 0, da bo U ∈ Td?Naj bo r ≤ r0 poljubno izbran. Potem je K(a, r) = {a}.Po drugi strani pa je {b} = K(b, r) ∈ Tdr . Ampak K(b, r) ne pripada T . Torej na X ni

mozno definirati take metrike d, da bi veljalo T = Td. Ta prostor torej ni metrizabilen.

Definicija 1.10 Naj bo (X, T ) topoloski prostor in B ⊆ P(X). Pravimo, da je B baza

topologije T, ce velja:

1. B ⊆ T (v bazi so same odprte mnozice)

2. vsak U ∈ T lahko zapisemo kot unijo mnozic iz druzine B.

5

Primer 1.11 Naj bo B = {(a,∞); a ∈ R}. Zanima nas, ce obstaja topologija na R, za

katero je B baza.

Preverimo lastnosti:

1.⋃a∈R(a,∞) = R velja.

2. Dokazati moramo, da za vsak B1, B2 ∈ B, ter za vsak x ∈ B1 ∩ B2 obstaja B ∈ B,

tako da: x ∈ B ⊆ B1 ∩B2.

Vemo, da je B1 = (a,∞) in B2 = (b,∞). Presek mnozic B1 in B2 pa je:

B1 ∩B2 = (max {a, b} ,∞).

Za B torej vzamemo B = B1 ∩B2.

V nadaljevanju bomo definirali nekaj primerov topologij. Definirali bomo produktno topologijo,

kvocientno topologijo in koinducirano topologijo.

Definicija 1.12 Ce sta (X, T ) in (Y,S) topoloska prostora, tedaj topologijo U , ki ima za

bazo mnozico

B = {V ×W ;V ∈ T ,W ∈ S},

imenujemo produktna topologija na X × Y dobljena iz (X, T ) in (Y,S).

Izrek 1.13 Obstaja topologija na X × Y , za katero je B baza.

Dokaz. Dokazimo, da za vsaki mnozici B1, B2 ∈ B in za vsako tocko (x, y) ∈ B1 ∩ B2

obstaja mnozica B ∈ B, tako da je (x, y) ∈ B ⊆ B1 ∩B2.

Naj bosta B1 in B2 poljubni mnozici iz B.

B1 = V1 ×W1 in B2 = V2 ×W2, kjer sta mnozici V1 in V2 iz T in mnozici W1 in W2 iz S.

B1 ∩B2 = (V1 ×W1) ∩ (V2 ×W2) = (V1 ∩ V2)× (W1 ∩W2).

(V1 ∩ V2) ∈ T in (W1 ∩W2) ∈ S, zato je B1 ∩B2 ∈ B.

Torej za B izberemo B1 ∩B2 in zato taka topologija T res obstaja.

Definicija 1.14 Naj bo f : X → Y poljubna surjektivna funkcija in T topologija na X.

Tedaj topologiji

S ={V ⊂ Y ; f−1(V ) ∈ T

}

6

pravimo kvocientna topologija na X, dobljena iz X, T in f .

Definicija 1.15 Ce sta (X, T ) in (Y,S) topoloska prostora, tedaj je surjektivna

f : (X, T ) → (Y,S) kvocientna preslikava, ce za vsako podmnozico V prostora Y velja,

da je V ∈ S natanko tedaj, ko je

f−1(V ) ∈ T .

Definicija 1.16 Naj bodo (Xλ, Tλ) topoloski prostori, Y mnozica in fλ : (Xλ, Tλ) → Y

funkcije. Najvecjo topologijo S na Y , kjer so vse funkcije fλ : (Xλ, Tλ) → (Y,S) zvezne,

imenujemo koinducirana topologija.

Definicija 1.17 Lastnost L je topoloska lastnost, ce velja: ce ima (X, T ) lastnost L in

ce obstaja homeomorfizem f : (X, T )→ (Y,S), tedaj ima tudi (Y,S) lastnost L.

V nadaljevanju sledijo topoloske lastnosti, ki jih imenujemo separacijske lastnosti topoloskih

prostorov.

Definicija 1.18 Naj bo (X, T ) topoloski prostor in x ∈ X. Mnozica N ⊆ X je okolica

tocke x, ce velja da:

1. je x ∈ N ;

2. obstaja taksna mnozica U ∈ T , da je x ∈ U in U ⊆ N .

Okolica N je odprta okolica tocke x, ce je N odprta v X in hkrati okolica tocke x.

Definicija 1.19 Naj bo (X, T ) topoloski prostor in A zaprta podmnozica X. Pravimo, da

je N ⊆ X okolica mnozice A, ce velja:

1. A ⊆ N

2. obstaja taksna mnozica U ∈ T , da je A ⊆ U ⊆ N .

Definicija 1.20 Naj bo (X, T ) topoloski prostor. (X, T ) ima lastnost T1, ce za poljubni

razlicni tocki x, y ∈ X obstaja mnozica U ∈ T , da je x ∈ U in y /∈ U .

Definicija 1.21 Naj bo (X, T ) topoloski prostor. (X, T ) ima lastnost T2, oziroma je

Hausdorffov prostor, ce za poljubni razlicni tocki x, y ∈ X obstajata odprti okolici U in

V teh tock, da velja

7

x ∈ U , y ∈ V , U ∩ V = ∅.

Definicija 1.22 Naj bo (X, T ) topoloski prostor. (X, T ) ima lastnost T3, ce za poljubno

neprazno zaprto mnozico A v X in poljubno tocko x ∈ X \A obstaja taksna odprta okolica U

mnozice A in taksna odprta okolica V tocke x, da je A podmnozica U , x ∈ V in U ∩V = ∅.

Definicija 1.23 Naj bo (X, T ) topoloski prostor. (X, T ) ima lastnost T4, ce za poljubni

disjunktni zaprti mnozici A in B v X obstajata taksni odprti mnozici U ∈ T in V ∈ T , da

velja:

A ⊆ U , B ⊆ V U ∩ V = ∅.

Velja:

1. Topoloskemu prostoru, ki ima lastnost T1, pravimo T1-prostor.




Definicija 1.24 Topoloski prostor je regularen, ce je T1-prostor in T3-prostor.

Definicija 1.25 Topoloski prostor je normalen, ce je T1-prostor in T4-prostor.

Naslednji trditvi se navezujeta na separacijske lastnosti.

Trditev 1.26 Naj bo (X, T ) topoloski prostor. Tedaj sta naslednji trditvi ekvivalentni:

1. X je T1-prostor

2. za vsak x ∈ X velja, da je {x} zaprta mnozica v X.

Dokaz. Najprej dokazemo implikacijo (1)⇒ (2).

Naj bo x ∈ X poljuben. Dokazati je potrebno, da je {x} zaprta v X.

Naj bo y ∈ X\ {x}. Iscemo tako mnozico U ∈ T , da je y ∈ U ⊆ X\ {x}. Seveda je x 6= y,

saj je y ∈ U ⊆ X\ {x}. Ker je prostor X T1-prostor, za poljubni razlicni tocki x, y ∈ Xobstaja mnozica U ∈ T , tako da je y ∈ U in x /∈ U . Iz tega sledi, da je y ∈ U ⊆ X\ {x}.Dokazati je potrebno se implikacijo (2)⇒ (1).

Vemo, da za vsak x ∈ X velja, da je {x} zaprta v X. Dokazati moramo, da iz tega sledi,

1.1 Povezanost 8

da je X T1-prostor.

Izberimo poljubni tocki x, y ∈ X in x 6= y, ce ima X vsaj dve tocki, iscemo taksno mnozico

U ∈ T , da bo x ∈ U in y /∈ U . Taksna mnozica je mnozica U = X \ {y}, ki je odprta, saj

je {y} zaprta.

Trditev 1.27 Topoloski prostor X je T3-prostor natanko tedaj, ko za vsako tocko x ∈ Xin za vsako okolico U tocke x obstaja taksna zaprta okolica Z tocke x v X, da je Z ⊂ U .

To pomeni, da ima vsaka tocka poljubno majhne zaprte okolice.

Dokaz. Naj bo X T3-prostor, x ∈ X in U okolica tocke x v X. Predpostavimo lahko, da

je U odprta. Ker je X \U zaprta in x /∈ X \U , obstaja taksna odprta okolica V tocke x in

taksna odprta okolica W mnozice X \ U , da je V ∩W = ∅. Tedaj je X \W zaprta okolica

tocke x in X \W ⊂ U .

Sedaj pa predpostavimo, da je x ∈ X, B zaprta podmnozica X in x /∈ B. Ker je X\B odprta

okolica tocke x, po predpostavki obstaja taksna zaprta okolica Z tocke x, da je Z ⊂ X \B.

Zdaj je V = X \ Z odprta okolica mnozice B. Ker je Z okolica tocke x, obstaja taksna

odprta okolica U tocke x, da je U ⊂ Z. Zdaj je U ∩ V ⊂ Z ∩ V = ∅.

1.1 Povezanost

Definicija 1.28 Naj bo (X, T ) topoloski prostor. Paru mnozic U, V ∈ T pravimo sepa-

racija prostora X, ce velja:

1. U 6= ∅ in V 6= ∅

2. X = U ∪ V

3. U ∩ V = ∅

Definicija 1.29 Naj bo (X, T ) topoloski prostor. Tedaj je (X, T ) nepovezan, ce ima

separacijo. Sicer je povezan.

Izrek 1.30 Prostor X je povezan natanko tedaj, ko sta edini podmnozici, ki sta hkrati

odprti in zaprti v X, X in ∅.

Dokaz. Najprej bomo dokazali, da ce je prostor X povezan, potem sta edini podmnozici ki

sta hkrati odprti in zaprti v X, X in ∅.Vemo, da je X povezan. To pomeni, da ne obstaja separacija za X.

Naj bo A prava neprazna podmnozica X, ki je hkrati odprta in zaprta. Definirajmo mnozici

U in V na naslednji nacin :

1.1 Povezanost 9

U = A in V = X \A.

Ker je U = A 6= X, je V = X \A neprazna. Velja se: U ∪ V = A ∪ (X \A) = X.

Iz tega sledi, da sta U in V separacija za X. To pa je protislovje s predpostavko, da je X

povezan prostor.

Dokazati je potrebno se, da ce sta X in ∅ edini neprazni podmnozici, ki sta hkrati odprti in

zaprti v X, potem je X povezan prostor.

Recimo, da X ni povezan. Potem obstajata mnozici U in V , ki sta neprazni, odprti, dis-

junktni in U ∪ V = X.

Naj bo A = U odprta in U = X \ V .

Ker je U odprta, prava in neprazna podmnozica X sledi, da je A zaprta in odprta.

Torej sta edini moznosti naslednji: A = X ali A = ∅.To pa je protislovje s predpostavko ki pravi, da X ni povezan prostor.

Lema 1.31 Ce mnozici C in D tvorita separacijo prostora X in ce je Y povezan podprostor

prostora X, potem Y v celoti lezi v eni izmed mnozic C in D.

Dokaz. Ker sta obe mnozici C in D odprti v X, sta mnozici C ∩ Y in D ∩ Y odprti v Y .

Ti dve mnozici sta disjunktni in njuna unija je cel prostor Y . Ce bi bili neprazni, potem bi

tvorili separacijo prostora Y , zato je ena izmed teh dveh mnozic prazna in mora Y v celoti

lezati v C ali D.

Izrek 1.32 Naj bo A povezan podprostor prostora X. Ce je A ⊆ B ⊆ A, potem je B prav

tako povezan.

Dokaz. Naj bo A povezan in naj bo A ⊆ B ⊆ A. Predpostavimo, da je B = C ∪ Dseparacija B. Iz leme 1.31 sledi, da mora A v celoti lezati v C ali v D. Predpostavimo, da

je A ⊆ C. Potem je A ⊆ C, ker sta C in D disjunktni mnozici, B ne seka D. To pa je v

protislovju z dejstvom, da je D neprazna podmnozica od B.

Opomba 1.33 Iz izreka 1.32 sledi, da je A povezan prostor, ce je A povezan prostor.

Izrek 1.34 Zvezna slika povezanega prostora je povezan prostor.

Dokaz. Naj bo f : X → Y zvezna preslikava in naj bo X povezan prostor. Pokazati

zelimo, da je mnozica Z = f(X) povezana. Ker je preslikava, ki jo dobimo iz f z zozitvijo

na prostor Z, tudi zvezna, je dovolj, da gledamo primer zvezne surjektivne preslikave

1.1 Povezanost 10

g : X → Y .

Predpostavimo, da je Z = A ∪ B separacija za Z. Potem sta g−1(A) in g−1(B) disjunktni

mnozici, katerih unija je cel prostor X. Mnozici g−1(A) in g−1(B) sta odprti v X, saj je g

zvezna funkcija, in neprazni, saj je g surjektivna funkcija. Nasli smo separacijo prostora X,

kar pa je v protislovju s predpostavko, da je X povezan prostor. Torej ne obstaja separacija

prostora Z in zato je zvezna slika povezanega prostora povezan prostor.

Izrek 1.35 Naj bo f : X → Y zvezna, surjektivna funkcija in X povezan prostor. Potem

je tudi Y povezan prostor.

Dokaz. Izrek je posledica izreka 1.34.

Definicija 1.36 Naj bosta x in y tocki iz prostora X. Pot v X od tocke x do tocke y je

zvezna funkcija

f : [a, b]→ X, [a, b] ⊆ R, tako da f(a) = x in f(b) = y.

Prostor X je povezan s potmi, ce za vsak par tock iz prostora X obstaja pot od prve do

druge tocke v X.

Izrek 1.37 Vsak s potmi povezan prostor X je povezan.

Dokaz. Pa recimo, da s potmi povezan prostor X ni povezan. Potem obstaja separacija

X = A ∪B prostora X.

Pa naj bo f : [a, b] → X, [a, b] ⊆ R poljubna pot v prostoru X. Vemo, da je zvezna slika

f([a, b]) povezane mnozice povezana mnozica. Zato v celoti lezi v A ali v B. Torej ni poti

v X, ki bi povezovala neko tocko iz A z neko tocko iz B. To pa je protislovje s tem, da je

prostor X s potmi povezan prostor.

Opomba 1.38 Obrat izreka ne drzi. Povezan prostor ni nujno s potmi povezan. Na primer

mnozica S ={

(x, sin 1x); 0 < x ≤ 1

}je povezana mnozica v R2, vendar pa ni povezana s

potmi.

Izrek 1.39 Zvezna slika s potmi povezanega prostora je povezana s potmi.

1.1 Povezanost 11

Dokaz. Naj bo X povezan s potmi in g : X → Y zvezna, surjektivna funkcija. Dokazati

zelimo, da je prostor Y povezan s potmi. Ker je g surjektivna, zato je Y = g(X).

Naj bosta a, b ∈ Y poljubni tocki. Iscemo pot v Y od a do b. Vemo, da je funkcija g

surjektivna, zato obstajata taksna x, y ∈ X, tako da velja g(x) = a in g(y) = b. Ker je

X s potmi povezan prostor, potem obstaja funkcija f : [0, 1] → X tako da je f(0) = x in

f(1) = y. Iz tega pa sledi, da je f ◦ g pot v Y od tocke a do tocke b.

Definicija 1.40 Prostor X je lokalno povezan v tocki x, ce za vsako odprto okolico U

od x obstaja odprta povezana okolica V od x, tako da x ∈ V ⊆ U .

Ce je X lokalno povezan v vsaki tocki pravimo, da je lokalno povezan.

Definicija 1.41 Prostor X je lokalno povezan s potmi v x, ce za vsako odprto okolico

U od x, obstaja odprta s potmi povezana okolica V od x, tako da x ∈ V ⊆ U . Ce je X

lokalno s potmi povezan v vsaki tocki, potem pravimo, da je lokalno s potmi povezan.

Primer 1.42 Naj bo dan prostor X = {(x, y); y = 0} ∪{

(x, y);x > 0, y = 1x

}⊆ R2.

Zanima nas, ali je prostor X povezan.

Oznacimo mnozici A = {(x, y); y = 0} in B ={

(x, y);x > 0, y = 1x

}.

Vemo da je X = A ∪ B. Podmnozici A in B mnozice X sta neprazni, odprti v X in dis-

junktni.

Torej sta separacija za prostor X. Iz tega pa sledi, da prostor X ni povezan.

Primer 1.43 Ali je unija druzine povezanih podmnozic topoloskega prostora, ki imajo

skupno tocko, povezana?

Naj bo {Aλ} druzina povezanih podmnozic in naj bo p ∈⋂λ∈ΛAλ. Ali je torej

⋃λ∈ΛAλ = Y

povezana?

Pa recimo, da ni povezana. Potem obstaja separacija prostora Y = C ∪D. Zato velja, da je

C ∩D = ∅ in C,D 6= ∅. Vemo, da je p ∈ Aλ za vsak λ ∈ Λ. Zato je tudi p ∈⋃λ∈ΛAλ = Y .

Iz tega pa sledi, da je p ∈ C ali p ∈ D.

Brez izgube za splosnost lahko predpostavimo, da je p ∈ C. Ker je Aλ ⊆ Y povezana

podmnozica sledi, da je Aλ ⊆ C ali Aλ ⊆ D. Za vsak λ ∈ Λ velja, da je p ∈ Aλ. Iz tega

sledi, da je Aλ ⊆ C za vsak λ ∈ Λ. Zato velja, da je⋃λ∈ΛAλ ⊆ C. Iz tega pa sledi, da

je D = ∅. To pa je protislovje s predpostavko, da D 6= ∅. Torej je⋃λ∈ΛAλ = Y povezana

mnozica.

1.1 Povezanost 12

Slika 1.1: Kartezicni produkt povezanih prostorov.

Primer 1.44 Kartezicni produkt povezanih prostorov je povezan.

Naj bosta X in Y povezana prostora. Zanima nas, ce je X × Y tudi povezan prostor.

Vzemimo tocko (a, b) ∈ X × Y .

X × {b} je povezan prostor, ki je homeomorfen prostoru X (slika 1.1).

Naj bo funkcija f : X × {b} → X in f(x, b) = x. Tocka x ∈ X in {x} × Y povezan in

homeomorfen z Y .

Zato je prostor

Tx = (X × {b}) ∪ ({x} × Y )

povezan, saj je (x, b) skupna tocka. Tvorimo unijo⋃x∈X Tx. Vemo, da je

⋃x∈X Tx ⊆ X×Y .

Vzemimo tocko (a, c) ∈ X × Y . Iz tega sledi, da je (a, c) ∈ Ta = (X × {b}) ∪ ({a} × Y . To

pa je podmnozica⋃x∈X Tx. Zato je unija

⋃x∈X Tx = X × Y . Torej je kartezicni produkt

povezanih prostorov res povezan prostor.

Podobno lahko dokazemo, da je produkt poljubno mnogo povezanih prostorov spet povezan

prostor.

Primer 1.45 Naj bo dan prostor S ={

(x, sin 1x); 0 < x ≤ 1

}(slika 1.2). Zanima nas, ali

je prostor S povezan.

1.2 Kompaktni prostori 13

Slika 1.2: sin− 1x

kontinuum.

Mnozica S je slika povezane mnozice (0, 1], glede na zvezno funkcijo. Zato je S povezana.

S je unija krivulje S in daljice {0} × [−1, 1]. S je povezana v R2. Sinusna krivulja S je

povezana, vendar pa ni povezana s potmi.

1.2 Kompaktni prostori

Definicija 1.46 Pokritje prostora X je taksna druzina A podmnozic prostora X, da je

unija teh podmnozic cel prostor X.

Definicija 1.47 Odprto pokritje je pokritje topoloskega prostora z odprtimi mnozicami.

Definicija 1.48 Podpokritje je poddruzina druzine, ki je sama pokritje.

Definicija 1.49 Prostor X je kompakten, ce za vsako odprto pokritje za X obstaja

koncno podpokritje.

Opomba 1.50 Vcasih bomo tudi rekli, da je mnozica X kompaktna, kar bo pomenilo, da

je kompakten prostor X.

Izrek 1.51 Vsaka zaprta podmnozica kompaktnega prostora je kompaktna.


Dokaz. Naj bo A zaprta podmnozica kompaktnega prostora X in naj bo U poljubno odprto

pokritje mnozice A v X. Ker je tedaj U∪{X \ Y } odprto pokritje prostora X, lahko izberemo

taksne mnozice U1, U2 . . . , Un ∈ U , da je U1 ∪U2 ∪ . . .∪Un ∪{X \ Y } = X. Od tod pa sledi,

da je A ⊂ U1 ∪ U2 . . . ∪ Un.

Izrek 1.52 Slika kompaktnega prostora z zvezno preslikavo je kompaktna.

Dokaz. Naj bo funkcija f : X → Y zvezna in naj bo X kompakten prostor.

Naj bo Q odprto pokritje za f(X) z odprtimi mnozicami iz Y .

P ={f−1(A)|A ∈ Q

}je pokritje mnozice X. Te mnozice so odprte, ker je f zvezna funkcija.

Od tod sledi, da lahko izberemo koncno mnogo mnozic iz P, ki bodo pokritje prostora X, ker

je X kompakten.

Recimo, da je f−1(A1), f−1(A2), ..., f−1(An) pokritje za X. Potem so mnozice A1, A2, ..., An

pokritje za f(X). Torej je slika kompaktnega prostora z zvezno preslikavo res kompaktna.

Izrek 1.53 Produkt koncno mnogo kompaktnih prostorov je kompakten.

Dokaz. Dokazimo, da je produkt dveh kompaktnih prostorov kompakten prostor. Izrek za

poljuben koncni produkt sledi z indukcijo.

KORAK 1: Predpostavimo, da imamo podana prostora X in Y , kjer je Y kompakten

prostor. Predpostavimo tudi, da je x0 tocka iz X, in da je N odprta mnozica v X × Y , ki

vsebuje del {x0}× Y iz X × Y . Dokazali bomo, da obstaja taksna okolica W tocke x0 iz X,

da N vsebuje celotno mnozico W × Y .

Mnozico W × Y pogosto imenujemo cev prostora {x0} × Y .

Najprej pokrijmo {x0} × Y z baznimi elementi U × V (za topologijo na X × Y ), ki lezijo

v okolici N . Prostor {x0} × Y je kompakten, saj je homeomorfen prostoru Y , zato lahko

{x0} × Y pokrijemo s koncno mnogo baznimi elementi

U1 × V1, U2 × V2, . . . , Un × Vn.

Pri tem predpostavimo, da vsak izmed baznih elementov Ui × Vi seka {x0} × Y , saj bi bil

sicer ta bazni element odvec. Pridobili bi ga lahko iz koncne druzine mnozic in bi vseeno

imeli pokritje {x0} × Y .

Definirajmo W z naslednjim predpisom

W = U1 ∩ U2 ∩ . . . ∩ Un.


Slika 1.3: Cev W × Y .

Mnozica W je odprta in vsebuje x0, saj vsaka mnozica Ui × Vi seka prostor {x0} × Y .

Upostevamo tudi, da mnozice Ui × Vi, ki smo jih izbrali za pokritje dela {x0} × Y , pokriva

tudi cev W × Y (slika 1.3).

Naj bo (x, y) tocka iz W × Y . Tocka (x0, y) iz dela {x0} × Y ima s to tocko enako y-

koordinato. Tocka (x0, y) pripada Ui × Vi za nek i, tako da je y ∈ Vi. Vendar je x ∈ Uj za

vsak j, saj je x ∈W . Tako smo dobili, da je (x, y) ∈ Ui × Vi, kot smo zeleli.

Ker vse mnozice Ui × Vi lezijo v N in pokrivajo W × Y , tudi cev W × Y lezi v N .

KORAK 2: Sedaj dokazimo izrek.

Naj bosta X in Y kompaktna prostora. Naj bo Q odprto pokritje X × Y . S podano tocko

x0 ∈ X je del {x0} × Y kompakten in ga zato lahko pokrijemo s koncno mnogo elementi

A1, A2, . . . Am iz Q. Njihova unija N = A1 ∪ A2 ∪ . . . Am je odprta mnozica, ki vsebuje

{x0} × Y . Iz prvega koraka sledi, da odprta mnozica N vsebuje cev W × Y , ki pripada

{x0} × Y , kjer je W odprta v X. Potem je W × Y pokrit s koncno mnogo elementi iz

Q. Mnozica vseh okolic Wx je odprto pokritje prostora X, zato iz kompaktnosti prostora X

sledi, da obstaja koncna podmnozica

{W1,W2, . . . ,Wk},

ki je pokritje prostora X. Unija cevi

W1 × Y,W2 × Y, . . . ,Wk × Y


je celoten prostor X × Y . Ker lahko vsako cev pokrijemo s koncno mnogo elementi iz Q,

lahko pokrijemo tudi celoten prostor X × Y .

Definicija 1.54 Prostor X je lokalno kompakten v tocki x, ce obstaja kompaktna okolica

tocke x.

Prostor je lokalno kompakten, ce je lokalno kompakten v vsaki tocki.

Opomba 1.55 Vsak kompakten prostor je tudi lokalno kompakten.

Primer 1.56 Ali je prostor R kompakten oziroma lokalno kompakten?

Naj bo A = {(n, n+ 2), n ∈ Z} odprto pokritje za R. Prostor R pa nima koncnega pokritja,

zato ni kompakten. Vendar pa je lokalno kompakten, saj za vsako tocko x ∈ R obstaja E > 0,

tako da velja: x ∈ [x− E , x+ E ].

Primer 1.57 Ali je prostor X = {0} ∪{

1n ;n ∈ Z

}⊆ R kompakten? Lokalno kompakten?

A naj bo odprto pokritje za X. Naj bo A ∈ A, tako da 0 ∈ A. A pokrije vse tocke iz

X, razen morda koncno mnogo: x1, x2, . . . xn.

A1 ∈ A 3: x1 ∈ A1

A2 ∈ A 3: x2 ∈ A2...

An ∈ A 3: xn ∈ An

Podpokritje A ∪ A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An pa je koncno in odprto, zato je X kompakten. Prostor

X je tudi lokalno kompakten, saj je vsak kompakten prostor tudi lokalno kompakten.

Primer 1.58 Prostor X ima koncno mnogo tock. Ali je prostor X kompakten?

Naj bo X = {x1, x2, . . . xn}. Izberemo si:

A1 3: x1 ∈ A1

A2 3: x2 ∈ A2...

An 3: xn ∈ An


Slika 1.4: Mnozica A.

Zato je A1 ∪A2 ∪ . . .∪An = X, mnozice A1, A2, . . . An pa tvorijo koncno podpokritje. Torej

je prostor X kompakten.

Izrek 1.59 Podmnozica A na Rn je kompaktna natanko tedaj, ko je zaprta in omejena.

Dokaz. Najprej dokazimo implikacijo iz leve v desno. Predpostavimo, da je A kompaktna,

in dokazimo, da je A zaprta in omejena. Vemo, da je Rn Hausdorffov prostor. Ker je vsaka

kompaktna podmnozica Hausdorffovega prostora zaprta v njem sledi, da je A zaprta.

Ker je A kompaktna, jo lahko pokrijemo s koncno mnogo odprtimi kroglami, kjer sredisca

krogel gredo po A. A = {K(x, 1);x ∈ A} je odprto pokritje. Ker je A kompaktna, jo lahko

pokrijemo s koncno mnogo kroglami iz A: A ⊆ K(x1, 1) ∪K(x2, 1) ∪ . . . ∪K(xn, 1).

Vsaka taksna krogla je omejena, saj je diameter koncen. Torej je unija teh odprtoh krogel

omejena. Iz tega sledi, da je A omejena.

Dokazati moramo se implikacijo iz desne proti levi. Sedaj predpostavimo, da je A zaprta in

omejena. Dokazujemo pa, da je A kompaktna.

Ker je A omejena, obstaja r > 0, tako da je K(0, r) ⊇ A. Oglejmo si naprimer krogle v

metriki d∞. To bo lazje, saj so intervali kompaktni. Od prej vemo, da je vsak zaprti interval

kompakten. Torej bo njihov produkt tudi kompakten. Vemo, da je A zaprta podmnozica kom-

paktnega prostora in da je vsaka zaprta podmnozica kompaktnega prostora tudi kompaktna.

Iz tega torej sledi, da je A kompaktna.

Primer 1.60 Ali je mnozica A ={

(x, 1x); 0 ≤ x ≤ 1

}(slika 1.4) kompaktna?

Mnozica A je zaprta v R2, vendar pa ni omejena. Zato po izreku 1.59 A ni kompaktna.


Primer 1.61 Ali je mnozica S ={

(x, sin 1x); 0 < x ≤ 1

}kompaktna?

Glej sliko 1.2. Mnozica S je omejena nad R2, ker obstaja neka krogla, ki zajame vse.

Ker pa −1 ≤ y ≤ 1 ni zraven, mnozica S ni zaprta. Zato po izreku 1.59 tudi ni kompaktna.

Poglavje 2

Kontinuumi

2.1 Kontinuumi

Kontinuume lahko definiramo na poljubnih topoloskih prostorih, vendar se bomo v nadalje-

vanju omejili le na metricne prostore.

Definicija 2.1 Kontinuum je neprazen, kompakten in povezan metricni prostor.

Definicija 2.2 Podprostor kakega kontinuuma, ki je tudi sam kontinuum, imenujemo

podkontinuum.

Definicija 2.3 Nedegeneriran prostor vsebuje vec kot eno tocko.

Izrek 2.4 Metricni prostor, ki je homeomorfen kaksnemu kontinuumu, je tudi sam kontin-

uum.

Dokaz. Ker je kontinuum kompakten in povezan vidimo, da je tak po izreku 1.34 in izreku

1.52 tudi metricni prostor, ki je homeomorfen kontinuumu.

Sledi nekaj osnovnih primerov kontinuumov.

Primer 2.5 Lok je vsak prostor, ki je homeomorfen zaprtemu intervalu [0, 1]. Ker je [0, 1]

kontinuum, je po izreku 2.4 tudi lok kontinuum.

19

2.1 Kontinuumi 20

Primer 2.6 n-celica je prostor, ki je homeomorfen n-dimenzionalni zaprti krogli Bn v

Rn, kjer je

Bn = {x ∈ Rn; ‖x‖ ≤ 1} za vsak n = 1, 2, . . .

Ker je Bn kontinuum, je po izreku 2.4 tudi n-celica kontinuum.

Primer 2.7 n-sfera je prostor, ki je homeomorfen n-dimenzionalni sferi Sn v Rn+1, kjer

je

Sn ={x ∈ Rn+1; ‖x‖ ≤ 1

}za vsak n = 1, 2, . . .

Ker je Sn kontinuum, je po izreku 2.4 tudi n-sfera kontinuum.

Primer 2.8 Hilbertova kocka je prostor, ki je homeomorfen stevnemu kartezicnemu pro-

duktu

∏∞i=1 Ii, kjer je vsak Ii = [0, 1]

opremljen s produktno topologijo.

Ker vemo, da je kartezicni produkt povezanih prostorov povezan prostor, in da je produkt

kompaktnih prostorov kompakten prostor, je∏∞i=1 Ii kontinuum, saj je stevni produkt metriz-

abilnih prostorov spet metrizabilen. Zato je po izreku 2.4 tudi Hilbertova kocka kontinuum.

Primer 2.9 sin 1x-kontinuum (slika 1.2) je zaprtje mnozice W , ki je definirana s predpi-

som

W ={

(x, sin 1x) ∈ R2; 0 < x ≤ 1

}.

Zvezna slika povezanega prostora (0, 1], je W povezan in zato je tudi njegovo zaprtje povezan

prostor. Prostor W je po izreku 1.51 kompakten. Torej, ker je kompakten in povezan, je

sin 1x -kontinuum, res kontinuum.

Definicija 2.10 Kontinuum je dedno nerazcepen, ce se noben podkontinuum ne da za-

pisati kot unija dveh pravih podkontinuumov.

2.2 Uverizljivi kontinuumi 21

2.2 Uverizljivi kontinuumi

Definicija 2.11 Neprazna urejena druzina D = {D1, D2, ..., Dn} odprtih mnozic je veriga,

ce velja, da Di∩Dj 6= ∅ natanko tedaj, ko |i−j| ≤ 1. Element Di imenujemo i-ti clen verige

D. Elementa D1 in Dn imenujemo robna clena verige. Cleni, ki niso robni, so notranji

cleni verige D. Dva razlicna clena verige D sta sosedna clena natanko tedaj, ko je njun

presek neprazen. Ce p ∈ D1, q ∈ Dn in p, q /∈ D2 ∪D3 ∪ ...Dn−1, pravimo verigi D veriga

od p do q.

Naj bo χ neka druzina podmnozic prostora X. Z X∗ bomo oznacevali unijo⋃H∈χH.

Definicija 2.12 Veriga E je finejsa od verige D, ce je vsak clen verige E podmnozica

kaksnega clena verige D.

Definicija 2.13 Veriga E je strogo finejsa od verige D, ce je zaprtje vsakega clena verige

E vsebovano v kaksnem clenu verige D.

V nadaljevanju oznacimo del E(i, j) = {Ei, Ei+1, . . . , Ej} verige E.

Definicija 2.14 Veriga E = {E1, E2, ..., En} je zvita v verigi D = {D1, D2, ..., Dm} (slika

2.1), ce:

1. je veriga E finejsa od verige D in

2. za vsako podverigo E(i, j), i < j verige E, ter za vse h, k ∈ {1, 2, 3, ...,m} velja, da ce

Ei∩Dh 6= ∅, Ej∩Dk 6= ∅ in je |h−k| > 2, potem obstajata r, s ∈ {i+ 1, i+ 2, ..., j − 2, j − 1},tako da je E(i, j) = E(i, r) ∪ E(r, s) ∪ E(s, j), (s − r)(j − i) > 0 in sta Er ⊆ Dk+1 in

Es ⊆ Dh−1, ce k < h.

Definicija 2.15 Kontinuum X je uverizljiv kontinuum, ce je za vsako pozitivno realno

stevilo E, obstaja veriga C v X, ki pokrije X, tako da za vsak C ∈ C velja, da diameter od

C manjsi od E.

Mi bomo v vecini primerov uporabljali verige, katerih cleni so odprte krogle. Pri tem velja

se to, da Ci seka Cj natanko tedaj, ko je j = i− 1, j = i ali j = i+ 1.

V grobem to pomeni, da je kontinuum X uverizljiv, ce vsebuje odprto pokritje sestavljeno iz

majhnih krogel, ki skupaj tvorijo verigo. Taksno odprto pokritje bomo imenovali E-veriga,

odprte krogle Cj pa so cleni te verige.


Slika 2.1: Zvita veriga.

Slika 2.2: Varsavski lok.

Primer 2.16 Psevdolok, ki ga bomo v nadaljevanju spoznali, je po definiciji nedegeneriran,

dedno razcepen kontinuum, ki se ga da uveriziti. Torej je psevdolok uverizljiv kontinuum.

Primer 2.17 Varsavski lok X (slika 2.2) je kompakten metricni prostor. Torej ima

vsako njegovo odprto pokritje neko koncno podpokritje. Ker za vsak E > 0 obstaja E-veriga

v X, ki pokrije X, je X uverizljiv kontinuum.

Primer 2.18 Enostavna sklenjena krivulja (slika 2.3) pa ni uverizljiv kontinuum. Ce

bi bila enostavna sklenjena krivulja primer uverizljivega kontinuuma, potem bi vsebovala

odprto pokritje, sestavljeno iz odprtih krogel C1, C2, . . . , Cn, ki skupaj tvorijo verigo. Pri

tem mora veljati se to, da Ci seka Cj natanko tedaj, ko je j = i− 1, j = i ali j = i+ 1. To

pa v tem primeru ne velja, saj Cn zmeraj seka C1, to pa ni lastnost uverizljivih kontinuumov.


Slika 2.3: Enostavna sklenjena krivulja.

Slika 2.4: Enotski interval.

Primer 2.19 Enotski interval (slika 2.4) [0, 1] je ocitno uverizljiv.

Primer 2.20 Naj bo X sin 1x -kontinuum in naj bo X ′ zrcalna slika od X glede na premico

x = 2π . Naj bo Z = X ∪X ′. Potem je Z uverizljiv kontinuum od (0,−1) do ( 4

π ,−1) (slika

2.5).

Cantorjeva mnozica C je primer nestevne mnozice, ki je definirana na intervalu [0, 1] na

realni osi. Mnozico C konstruiramo na naslednji nacin:

Zacnemo z intervalom C0 = [0, 1], in odstranimo srednje tretjinski odprti interval. Kar

dobimo je C1.

Nato v vsaki povezani komponenti od C1 spet odstranimo srednje tretjinski odprti interval.

Kar dobimo oznacimo s C2.

Recimo, da smo ze skonstruirali Ci za nek i ∈ N. Tedaj dobimo Ci+1 iz Ci tako, da v


Slika 2.5: Kontinuum Z = X ∪X ′.

vsaki povezani komponenti od Ci odstranimo srednje tretjinski odprti interval. Cantorjeva

mnozica je definirana kot C =⋂n∈NCn.

Primer 2.21 Knasterjev kontinuum K (slika 2.6) definiramo na naslednji nacin:

Kontinuum sestavljajo

1. polkroznice na R2 s pozitivno ordinato s srediscem v tocki (12 , 0), ki potekajo skozi vsako

tocko Cantorjeve mnozice C, glej sliko (slika 2.6);

2. polkroznice na R2 z negativno ordinato s srediscem v tocki ( 52·3n , 0) za vsak n ∈ N, ki

potekajo skozi vsako tocko Cantorjeve mnozice C, ki lezi na intervalu [ 23n ,

13n−1 ], glej

sliko (slika 2.6).

Izkaze se, da je Knasterjev kontinuum K uverizljiv.


Slika 2.6: Cantorjev kontinuum K.

Slika 2.7: Lok.

Definicija 2.22 Tocko p uverizljivega kontinuuma X imenujemo krajisce kontinuuma

X, ce za vsak E > 0 obstaja E-veriga na X taksna, da samo prvi clen te verige vsebuje

tocko p.

Primer 2.23 Lok (slika 2.7) je kontinuum, homeomorfen zaprtemu intervalu [0, 1]. Torej

sta tocki 1 in 0 njegovi edini krajisci, saj tocko 1 vsebuje samo zadnji clen verige, tocko 0

pa samo prvi clen verige, ki predstavlja odprto pokritje za lok.

Primer 2.24 Psevdolok je uverizljiv kontinuum, za katerega velja, da je vsaka njegova

tocka krajisce. Torej vsako tocko psevdoloka vsebuje samo en clen verige, ki je odprto

pokritje psevdoloka. Zato je psevdolok tudi homeomorfizem. Dokaz najdemo v [1] .

Definicija 2.25 Kontinuum X je ireducibilen med tockama p in q, ce ne obstaja

pravi podkontinuum Y od X, tako da p, q ∈ Y . Ce je kontinuum ireducibilen med nekim

parom svojih tock, potem je ireducibilen.


Primer 2.26 Lok je ireducibilen med svojima krajiscema, saj ne obstaja pravi podkontin-

uum loka, ki bi vseboval njegovi krajisci.

Primer 2.27 Enostavna sklenjena krivulja ni ireducibilna, saj na njej obstaja pravi pod-

kontinuum, ki vsebuje poljubni njeni tocki.

Primer 2.28 Zaprti interval [0, 1] ni ireducibilen med 13 in 2

3 , saj je [13 ,

23 ] pravi podkon-

tinuum, ki pa vsebuje 13 in 2

3 .

Opomba 2.29 Dokazati se da, da je verizljiv kontinuum vedno ireducibilen.

Trditev 2.30 Naj bo X uverizljiv kontinuum in K njegov podkontinuum. Potem je K tudi

uverizljiv.

Dokaz. Naj bo E > 0. Ce je X uverizljiv kontinuum, potem obstaja E-veriga D =

{D1, D2, . . . , Dn}, ki pokriva X. Naj bo i = min {k ∈ {1, 2, . . . , n} ;K ∩Dk 6= ∅} in naj bo

j = max {k ∈ {1, 2, . . . , n} ;K ∩Dk 6= ∅}.Pokazimo, da je D′ = {Di ∩K, . . . ,Dj ∩K} E-veriga, ki pokriva K. Ocitno je D′ finejsa

od E.

Predpostavimo, da D′ ni veriga. Potem obstaja l ∈ {i, . . . , j − 1} tako da (Dl∩K)∩ (Dl+1∩K) = ∅.Zato

K ⊂ (⋃lm=i(Dm ∩K)) ∪ (

⋃jm=l+1(Dm ∩K))

in

(⋃lm=i(Dm ∩K)) ∪ (

⋃jm=l+1(Dm ∩K)) = ∅.

To pa je protislovje s predpostavko, da je K povezan ker K ∩Di 6= ∅ in K ∩Dj 6= ∅. Torej

D′ je veriga. Iz tega pa sledi, da je K uverizljiv.

2.3 Psevdolok 27

2.3 Psevdolok

Definicija 2.31 Psevdolok je nedegeneriran dedno nerazcepen kontinuum, ki se ga da

uveriziti.

V nadaljevanju bo opisana konstrukcija psevdoloka v metricnih prostorih.

Izrek 2.32 Naj bo X kompakten metricni prostor in p, q razlicni tocki v X. Naj bo {Dn}∞n=1

zaporedje verig v X, tako da za vsak n ∈ N velja

1. veriga Dn poteka od tocke p do tocke q,

2. veriga Dn+1 je strogo finejsa od verige Dn,

3. veriga Dn je 1n - veriga,

4. veriga Dn+1 je zvita v verigi Dn.

Potem je M =⋂∞n=1D∗n psevdolok.

Dokaz. [1]

V [2] najdemo dokaz, da je psevdolok edini uverizljiv kontinuum, katerega neka tocka je

krajisce.

Poglavje 3

Odprte preslikave

Zvezna preslikava je zvezna funkcija. Funkcija f : X → Y je odprta, ce je slika vsake odprte

podmnozice iz X, tudi sama odprta podmnozica v Y .

Definicija 3.1 Naj bosta (X, T ) in (Y,S) topoloska prostora in f : (X, T ) → (Y,S)

funkcija. Funkcija f je zvezna, ce za vsak U ∈ S velja, da je f−1(U) ∈ T .

Opomba 3.2 V nadaljevanju bodo vsi prostori metricni.

Primer 3.3 Naj bo funkcija f : [0, 1]→ [0, 1] definirana s predpisom f(x) = x. Tedaj je f

odprta, saj za vsako odprto mnozico U v [0, 1] velja, da je f(U) = U .

Primer 3.4 Naj bo funkcija f : [0, 1] → [0, 1] definirana s predpisom f(x) = x2. Tedaj je

f ocitno odprta, saj je strogo monotona.

Primer 3.5 Naj bo funkcija f : [0, 1]→ [0, 1] definirana s predpisom

f(x) =

2x za x ≤ 1

4 ,

−2x+ 1 za x ∈ [14 ,

12 ],

2x− 1 za x ≥ 12 .

Tedaj f ni odprta, saj za odprto mnozico U = (0.25, 0.5) velja, da f(U) = [0, 0.5] ni odprta

v [0, 1] (slika 3.1).

28

29

Slika 3.1: Odprta funkcija f(x).

Primer 3.6 Naj bo funkcija f : [0, 1]→ [0, 1] definirana s predpisom

f(x) =

2x za x ≤ 15 ,

3x− 1 za x ∈ [25 ,

35 ],

−x+ 75 za x ∈ [3

5 ,45 ],

−x+ 35 za x ∈ [1

5 ,25 ],

2x− 1 za x ≥ 45 .

Tedaj f ni odprta, saj za odprto mnozico U = (0.2, 0.6) velja, da f(U) = [0.4, 0.8] ni odprta

v [0, 1] (slika 3.2).

Vidimo lahko, da ce v funkciji obstajajo maksimumi in minimumi, ki so manjsi od 1, potem

funkcija ni odprta.

Primer 3.7 Naj bo funkcija f : [0, 1]→ [0, 1] definirana s predpisom h(x) = 12 . Tedaj f ni

odprta, saj za odprto mnozico U = (13 ,

23) velja, da h(U) = 1

2 ni odprta v [0, 1] (slika 3.3).

Izrek 3.8 Predpostavimo, da je X uverizljiv kontinuum in f : X → Y odprta, zvezna in

surjektivna preslikava. Potem je tudi Y uverizljiv kontinuum.

30



31

Dokaz. Ker je f zvezna, surjektivna preslikava, je Y kompakten in povezan prostor. Iz

tega sledi, da je Y kontinuum.

Naj bo E > 0.

Dokazimo, da obstaja E-veriga, ki pokrije Y . Ker je f zvezna, zato obstaja δ > 0, tako da

velja, ce je d(x, y) < δ, tedaj je d (f(x), f(y)) < E.

Naj bo C1, C2, ..., Cn δ-veriga v X.

Definirajmo:

D1 = f(C1),

D2 = f(C2),

D3 = f(C3)− f(C1),

D4 = f(C4)− f(C1 ∪ C2),

D5 = f(C5)− f(C1 ∪ C2 ∪ C3),...

Dj+2 = f(Cj+2)− f(⋃jk=1Ck),

...

Dn = f(Cn)− f(⋃n−2k=1 Ck).

Brez izgube za splosnost lahko predpostavimo, da so vse Di neprazne.

Pokazali bomo, da je D E-veriga, ki pokrije Y .

Vemo, da je vsak Dk odprt, ker je f odprta preslikava. Po definiciji δ ima vsak Dk premer

manjsi od E. Ker je C1, C2, ..., Cn δ-veriga na X opazimo, da je Ck vsebovan v

Ck−1 ∪ Ck ∪ Ck+1 za vsak k.

Zato je⋃kj=1Cj vsebovano v

⋃k+1j=1 Cj. Potem Di vsebuje

f(Ci)−⋃i−1j=1 f(Cj) za vsak i.

Zato velja enakost

f(C1) ∪ f(C2) ∪ ... ∪ f(Cm) = f(C1) ∪ (f(C2)− f(C1)) ∪ ... ∪ f((Cm)−⋃m−1j=1 f(Cj))

in je f(C1) ∪ f(C2) ∪ ... ∪ f(Cm) vsebovana v D1 ∪ D2 ∪ ... ∪ Dm. Iz tega sledi, da je Dpokritje za Y . Ocitno je, da Dj ne seka Dk, ce se j in k razlikujeta za vec kot 1. Ker vemo,

da je Y povezan in D pokritje za Y , iz tega sledi, da Dk seka Dk+1 za vsak k.

Posledica 3.9 Nedegenerirna slika z odprto zvezno preslikavo loka je lok.

32

Dokaz. Po izreku 3.8 je nedegenerirana slika z odprto zvezno preslikavo loka uverizljiva.

Edini uverizljivi s pozti povezan kontinuum pa je lok, [6] .

Posledica 3.10 Naj bo X uverizljiv kontinuum in f : X → Y zvezna, odprta in surjektivna

preslikava. Potem je slika vsakega krajisca v X, krajisce v Y .

Dokaz. Sledi iz dokaza izreka 3.8.

Izrek 3.11 Nedegenerirana slika z odprto zvezno preslikavo psevdoloka je spet psevdolok.

Dokaz. Naj bo f : P1 → P2 zvezna, odprta in surjektivna, kjer je P1 psevdolok. Po izreku

3.8 je P2 uverizljiv kontinuum, saj je P1 uverizljiv. Po posledici 3.10 je vsaka tocka od P2

krajisce od P2. Iz dejstva, da je psevdolok edini uverizljiv kontinuum, katerega vse tocke so

krajisca sledi, da je tudi P2 psevdolok.

Poglavje 4

Homeomorfizmi in lokalni

homeomorfizmi

4.1 Homeomorfizmi

Definicija 4.1 Naj bosta (X, T ) in (Y,S) topoloska prostora in f : (X, T ) → (Y,S)

funkcija. Funkcija f je homeomorfizem, ce velja:

1. f zvezna,

2. f bijektivna,

3. f−1 zvezna.

Definicija 4.2 Topoloska prostora sta homeomorfna, ce obstaja homeomorfizem med

njima.

Izrek 4.3 Naj bo f : X → Y zvezna, bijektivna funkcija. Ce je X kompakten prostor in Y

Haussdorfov prostor, potem je f homeomorfizem.

Dokaz. Dokazati je potrebno, da so slike zaprtih mnozic v X, zaprte v Y . S tem dokazemo,

da je f−1 zvezna. Ce je neka mnozica A zaprta v X, sledi da je A kompaktna. Ker je Y

Haussdorfov, je f(A) zaprta v Y , ker je f(A) kompaktna. Torej je f res homeomorfizem.

Primer 4.4 Naj bo (X, T ) topoloski prostor. Tedaj je id : (X, T ) → (X, T ) homeomor-

fizem, saj je identiteta zvezna in bijektivna, njen inverz pa je zvezen.

33

4.1 Homeomorfizmi 34

Slika 4.1: Homeomorfizem f : [a, b]→ [c, d].

Slika 4.2: Homeomorfizem f : X → Y .

Primer 4.5 Naj bo f : (−π2 ,

π2 ) → R podana s predpisom f(x) = tanx. Potem je f(x)

homeomorfizem.

Primer 4.6 Naj bodo a < b in c < d, kjer so a, b, c, d ∈ R. Konstruirajmo homeomorfizem

f : [a, b]→ [c, d] (slika 4.1).

y − c = d−cb−a(x− a)⇒ y = d−c

b−a(x− a) + c

Torej ce definiramo funkcijo f takole:

f(x) = d−cb−a(x− a) + c, tedaj je f homeomorfizem.

Primer 4.7 Poiscimo homeomorfizem f : X → Y (slika 4.2), kjer je

X ={

(x, y) ∈ R2;x2 + y2 < 1, y ≥ 0}

in Y ={

(x, y) ∈ R2;x2 + y2 < 1, x ≥ 0, y ≥ 0}

.

Uporabimo polarne koordinate:

4.2 Lokalni homeomorfizmi 35

Slika 4.3: Homeomorfizem g : X → Y .

f(r, ϕ) = (r, ϕ2 )

Funkcija f je zvezna, saj sta obe koordinati funkcije zvezni. Njen inverz pa je tudi zvezen.

Primer 4.8 Naj bo X ={x ∈ R2; ‖x‖ = 1

}× [0, 1] ⊆ R3. Poiscimo taksen Y ⊆ R2, da bo

X ∼= Y .

X je v R3 plasc valja, v R2 pa je kolobar. Torej prostor Y je predstavlja kolobar (slika

4.3).

Naj bo g(r, ϕ, z) = (r + z, ϕ). Preverimo, ce je to homeomorfizem.

Funkcija g je zvezna in bijektivna, prav tako pa je zvezen tudi njen inverz.

4.2 Lokalni homeomorfizmi

Definicija 4.9 Zvezna preslikava f : X → Y je lokalni homeomorfizem, ce za vsako

tocko x ∈ X obstaja odprta mnozica U , ki vsebuje x, tako da

1. f(U) je odprta v Y

2. f |U : U → f(U) je homeomorfizem.

V splosnem je lokalni homeomorfizem zmeraj odprta preslikava.

4.2 Lokalni homeomorfizmi 36

Izrek 4.10 Naj bo X uverizljiv kontinuum in preslikava f : X → Y lokalni homeomorfizem.

Potem je f homeomorfizem.

Dokaz. Vemo, da ce je X uverizljiv kontinuum, je kompakten. Ker je f lokalni homeo-

morfizem in X kompakten, zaradi zveznosti f obstaja taksen δ > 0, da ce je C krogla, katere

premer je manjsi od δ, potem je f , ki je zozena na C, homeomorfizem.

Naj bo C1, C2, ..., Cnδ3 − veriga v X. Naj bo D1, D2, ..., Dn ustrezna veriga v Y , ki je

definirana kot:

D1 = f(C1),

D2 = f(C2),

D3 = f(C3)− f(C1),

D4 = f(C4)− f(C1 ∪ C2),

D5 = f(C5)− f(C1 ∪ C2 ∪ C3),...

Dj+2 = f(Cj+2)− f(⋃jk=1Ck),

...

Dn = f(Cn)− f(⋃n−2k=1 Ck).

Brez izgube za splosnost lahko predpostavimo, da so vse Di neprazne.

Za vsak j se velja, da je Dj vsebovana v f(Cj).Zozitev f |Cj je homeomorfizem, zato je

funkcija (f |Cj )−1 : Dj → Cj dobro definirana. Ce je y ∈ Dj ∩ Dj+1, potem je y ∈

f(Cj)∩ f(Cj+1). Ker je f |(Cj∪Cj+1) homeomorfizem, je (f |Cj )−1(y) = (f |Cj+1)−1(y). Torej

je funkcija g : Y → X, ki je definirana z g|Dj = (f |Cj )−1, dobro definirana in zvezna. Ker je

funkcija f(g(y)) = y za vsak y ∈ Y , je g injektivna. Zaradi zveznosti f pa je g odprta pres-

likava, ki je homeomorfizem na X. Funkcija f pa je njen inverz, zato je f homeomorfizem.

Literatura

[1] I. Banic, Psevdolok: magistrsko delo, Pedagoska fakulteta, Maribor (2004)

[2] R. H. Bing, Snake-like Continua, Duke Math. J., 18 (1951), 653-663.

[3] S. Macias, Topics of Continua, Taylor Francis Group, Boca Raton, 2005.

[4] J. R. Munkres, Topology: a first course, Prentice-Hall, England Cliffs, New Jersey,

1975.

[5] S. B. Nadler, Continuum Theory: an introduction, Marcel Dekker, New York, 1992.

[6] I. Rosenholtz, Open maps of chainable continua, Proceedings of the American Mathe-

matical Society 42 (1974) str. 258–264.

[7] B. Veit, Dekompozicije kontinuumov: diplomsko delo, Fakulteta za naravoslovje in

matematiko, Maribor (2011)

37

Slike

1.1 Kartezicni produkt povezanih prostorov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 sin− 1x kontinuum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Cev W × Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Mnozica A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1 Zvita veriga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Varsavski lok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Enostavna sklenjena krivulja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 Enotski interval. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 Kontinuum Z = X ∪X ′. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6 Cantorjev kontinuum K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.7 Lok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Odprta funkcija f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29



4.1 Homeomorfizem f : [a, b]→ [c, d]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Homeomorfizem f : X → Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.3 Homeomorfizem g : X → Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

38

Documents

DIPLOMSKO DELO · Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in mate-matiko, Oddelek za matematiko in ra cunaln sitvo, 2012. IZVLECEK V diplomskem delu bomo v