UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

TAMARA OŠTIR

2

3

UNIVERZA V LJUBLJANI

PEDAGOŠKA FAKULTETA

Študijski program: Matematika in ra unalništvo

Pickov izrek

DIPLOMSKO DELO

MENTOR: KANDIDATKA:

DR. MARKO RAZPET TAMARA OŠTIR

LJUBLJANA, JUNIJ 2011

4

Povzetek

Osrednji del diplomskega dela je predstavitev Pickovega izreka za

vsak poljuben enostaven mrežni večkotnik. Pickov izrek je dokazan

tudi za enostavne mrežne večkotnike, ki imajo poljubno število ne

dotikajočih se lukenj znotraj večkotnika. Diplomskemu delu je dodan

tako opisan empirični del, ki pove, kako lahko Pickov izrek uvedemo

v osnovno šolo. Predstavljena je možna izvedba učne ure in

ugotovitve, ki so ob tem nastale.

Ključne besede: Pickov izrek, mrežne točke, mrežni večkotnik,

geoplošča, ploščina večkotnika, luknjasti večkotnik, ploščina

luknjastega večkotnika, Pickov izrek v osnovni šoli.

Pick's Theorem

Abstract

The main focus of the graduation thesis is the application of Pick's

Theorem to any simple lattice polygon. Pick's Theorem has also been

proven for simple lattice polygons with any number of non-

contacting holes inside the polygon. Added to the graduation thesis

is an empirical section where the introduction of Pick's Theorem into

primary school is discussed. A possible lesson plan is presented,

together with the findings, which were made in the process.

Keywords: Pick's Theorem, lattice points, lattice polygon, geobord,

area of polygon, polygon with holes, area of polygon with holes,

Pick's theorem in primary school

MSC(2010): 00A35, 97G30

5

Kazalo

1 Uvod ................................................................................................ 7

2 Življenjepis Georga Alexandra Picka ............................................ 9

3 Pickov izrek .................................................................................. 12

3.1 Ploščina mrežnih večkotnikov ............................................... 12

3.2 Pickov izrek za pravokotnik .................................................. 14

3.2.1 Dokaz Pickovega izreka za poljuben mrežni

pravokotnik .................................................................................. 16

3.3 Pickov izrek za pravokotni trikotnik .................................... 16

3.4 Pickov izrek za poljuben trikotnik ........................................ 19

3.4.1 Dokaz 1: ............................................................................. 19

3.4.2 Dokaz 2: ............................................................................. 23

3.5 Pickov izrek za poljuben mrežni večkotnik .......................... 25

3.5.1 Opis poteka dokaza ......................................................... 25

3.5.2 Dokaz za poljuben večkotnik ......................................... 28

3.6 Pickov izrek za večkotnike z luknjami ................................. 30

3.6.1 Posplošen dokaz za večkotnik z luknjami .................... 33

4 Pickov izrek v osnovni šoli ........................................................... 36

4.1 Podrobna učna priprava ........................................................ 36

4.1.1 Pregledna zgradba učne ure .......................................... 37

4.1.2 Razdelava učne ure ......................................................... 40

4.2 Učni list ................................................................................. 55

6

4.3 Analiza učne ure .................................................................... 60

5 Zaključek ...................................................................................... 63

Literatura: .......................................................................................... 65

Slike:

Slika 1: Mrežni večkotniki ................................................................. 12

Slika 2: Mrežni pravokotnik v običajni legi ....................................... 15

Slika 3: Mrežni pravokotni trikotniki v običajni legi ........................ 17

Slika 4: Mrežni trikotnik .................................................................... 19

Slika 5: Mrežni trikotnik z eno vodoravno stranico .......................... 23

Slika 6: Triangulacija večkotnika ...................................................... 26

Slika 7: Mrežni večkotnik................................................................... 27

Slika 8: Večkotniki z luknjami ........................................................... 30

7

1 Uvod

Obstaja metoda za izračun ploščine poljubnega večkotnika na

kvadratni mreži točk, ki se imenuje Pickov izrek. Pickov izrek si

zasluži veliko pozornosti in občudovanja zaradi svoje preprostosti in

elegance. Skoraj prelepo, da bi bilo res, toda izrek določa metodo za

izračun ploščine enostavnih večkotnikov, ki ležijo na mreži točk, s

preprostim štetjem točk. Z malo prakse bi lahko le s pogledom na

večkotnik izračunali ploščino večkotnika v svoji glavi.

Diplomsko delo je razdeljeno na teoretični in empirični del. Pred

glavno razdelitvijo na dva dela, predstavimo življenje matematika

Georga A. Picka in njegovo delo. Življenjepisu, v teoretičnem delu,

sledi dokaz enega njegovih najbolj poznanih del, ki ga imenujemo

Pickov izrek.

Predno začnemo dokazovati splošen primer, postavimo nekaj

domnev v zvezi z Pickovim izrekom, ki ga dokazujemo po korakih.

Pričnemo z dokazom, da Pickov izrek velja za vsak pravokotnik, nato

s pomočjo pravokotnika dokažemo, da izrek velja tudi za vsak

pravokotni trikotnik.

V naslednjem podpoglavju bo sledil dokaz za poljubne trikotnike,

takoj za tem pa za poljubne enostavne večkotnike.

Ker smo se odločili za razširitev Pickovega izreka, bomo v zadnjem

podpoglavju tretjega poglavja preučevali »luknjaste« večkotnike in

dokazali, da tudi v takih večkotnikih lahko določimo ploščino s

preprostim štetjem točk in lukenj.

8

V teoretičnem delu nas bo pri dokazovanju Pickovega izreka

zanimalo tudi:

Kako prešteti mrežne točke na stranicah poljubnega

mrežnega pitagorejskega trikotnika?

Ali lahko vsak enostaven večkotnik razrežem na trikotnike?

Ali v vsakem enostavnem večkotniku, ki ima vsaj štiri oglišča,

obstaja notranja diagonala?

Ko bo dokazovanje Pickovega izreka končano, bo sledila v četrtem

poglavju raziskava, kako je potekala učna ura na temo Pickovega

izreka v osnovni šoli. V osnovni šoli si za predstavitev Pickovega

izreka lahko pomagamo z geoploščo. Geoplošča je lesena ali plastična

tablica s čepki, na katere napnemo gumico. Čepki na geoplošči so

postavljeni tako, da tvorijo celoštevilsko mrežo. Z gumico, ki je napeta na

čepke geoplošče, lahko hitro spreminjamo oblike večkotnikov. Manjša

pomanjkljivost pa je v tem, da mora biti zapis na ločenem listu. Zato,

v višjih razredih, uporabljamo celoštevilske mreže na listih in

geoploščo za enaktivno prezentacijo.

9

2 Življenjepis Georga Alexandra Picka

Georg Pick se je rodil na Dunaju, 10. avgusta 1859, v judovski

družini. Njegova mati je bila Josefa Schleisinger in njegov oče Adolf

Josef Pick. Georg se je izobraževal doma. Do enajstega leta starosti

ga je poučeval njegov oče, nato pa je vstopil v četrti razred

leopoldštadske gimnazije. Po končani gimnaziji je leta 1875 opravil

vse potrebne izpite, ki so mu omogočili vstop na univerzo.

Pick je začel študij na Univerzi na Dunaju leta 1875. Študiral je

matematiko in fiziko, diplomiral pa je leta 1879 in si pridobil

kvalifikacijo za poučevanje obeh predmetov. Leta 1877 je Leo

Königsberger (1837-1921) prevzel katedro za matematiko na

dunajski univerzi. Postal je Pickov mentor. Pick je 16. aprila leta

1880 doktoriral z disertacijo Über eine Klasse abelscher Integrale (O

nekem razredu Abelovi integralov). Emil Weyr (1848-1894) je bil

imenovan za drugega izpraševalca pri obrambi doktorske teze. Weyr

je bil skupaj z Gustavom von Escherichom, doktorskim mentorjem

prof. Josipa Plemlja, soustanovitelj matematične revije Monatshefte f'ür

Mathematik und Physik.

Po oddaji svojega doktorata je bil imenovan za asistenta Ernesta

Macha na Karlovi univerzi v Pragi. Mach se je tja preselil iz Gradca,

kjer je bil profesor matematike, da je leta 1876 v Pragi prevzel

katedro za fiziko. On je, tako kot Pick, študiral na dunajski univerzi.

S časom je Pick postal njegov asistent in obravnavali so ga kot enega

od vodilnih matematikov v Evropi. Tako je Pick, katerega cilj je bil

postati predavatelj v Pragi, za pridobitev te pravice moral napisati

10

habilitacijsko delo. To se mu je posrečilo že leta 1881 s

habilitacijskim delom o integraciji hipereliptičnih diferencialov z

logaritmi.

Razen za študijsko leto 1884-85, ko je delal pri Felixu Kleinu (1849-

1925) na univerzi v Leipzigu, je Pick ostal v Pragi do konca svoje

kariere. Leta 1888 je napredoval v izrednega profesorja matematike,

nato pa je bil leta 1892 imenovan za rednega profesorja na nemški

univerzi v Pragi. Njegovo delo je matematično izredno široko,

obravnaval je številne teme področij, kot so linearna algebra, teorija

invariant, potencialna teorija, funkcionalna analiza in geometrija.

Vendar pa je več kot polovica njegovih del s področja funkcij

kompleksnih spremenljivk, diferencialnih enačb in diferencialne

geometrije. Termini, kot so "Pickove matrike", "Pick-Nevanlinnova

interpolacija" in "Schwarz-Pickova lema" se včasih uporabljajo še

danes. Najbolj pa je poznan Pickov izrek, ki je bil objavljen v Pragi

leta 1899 na osmih straneh v članku Geometrisches zur Zahlenlehre

Sitzungsberichte Lotos. Pick je zapisal izrek o ploščini preprostih

mnogokotnikov. Ko je Pick objavil izrek, mu ni bilo posvečeno veliko

pozornosti, vendar ga je leta 1969 Hugo Dionizy Steinhaus (1807-

1972) vključil v svojo slavno knjigo Mathematical Snapshots. Od

takrat naprej je Pickov izrek pritegnil veliko pozornosti.

V letu 1900/01 je na nemški univerzi v Pragi Pick postal dekan

Filozofske fakultete. Bil je mentor približno 20 študentom pri

njihovih doktoratih, med njimi je najbolj znan Charles Loewner

(1893-1968), ki je doktoriral leta 1917 s svojo tezo na področju

geometrijske funkcijske teorije.

11

Obstaja še ena zanimivost Pickovega življenja, ki si zasluži posebno

pozornost. Leta 1910 je bil postavljen v komisijo nemške univerze v

Pragi, da razmisli o vstopu Einsteina na univerzo. Pick se je zelo

zavzel za Einsteina, ki je bil leta 1911 imenovan za predstojnika

oddelka za matematiko in fiziko na nemški univerzi v Pragi. Na tem

položaju je bil do leta 1913 in v teh letih sta bila dobra prijatelja.

Poleg znanosti ju je združevala tudi glasba.

Ko se je Pick leta 1927 upokojil, je postal zasluženi profesor in se

vrnil na Dunaj, v svoj rojstni kraj. Vendar se je 12. marca leta 1938

vrnil v Prago, ko je bila Avstrija priključena Tretjemu rajhu. Konec

septembra 1938 je vlada v Pragi morala popustiti Nemčiji vse tiste

kraje na Češkem in Moravskem, kjer je 50 odstotkov ali več nemškega

prebivalstva. Češkoslovaški voditelji se niso strinjali, zato so raje

odstopili. Toda tisti, ki so prevzeli vodstvene položaje, so priključili

regije k Nemčiji. Hitlerjeva vojska je Češkoslovaško napadla 14.

marca 1939 in v Pragi postavila svojega človeka za vodenje države.

Pick je bil član češke akademije znanosti in umetnosti, vendar je bil

po zasedbi Prage izključen iz akademije. Nacisti so 24. novembra

1941 ustanovili taborišče Terezin na severnem Češkem. Namenjeno

je bilo starejšim ljudem, privilegiranim in slavnim Židom.

Pick je bil odveden v Terezin 13. julija 1942, tam je tudi umrl dva

tedna pozneje, star 82 let.

12

3 Pickov izrek

3.1 Ploš ina mrežnih ve kotnikov

Pickov izrek se nanaša na geometrijo v ravnini. Na ravnino

postavimo mrežo, sestavljeno iz dveh med seboj pravokotnih

enakomerno razporejenih vzporednih premic, nosilk mreže.

Presečišča se imenujejo mrežne točke, večkotniki, katerih oglišča

ležijo na mrežnih točkah, pa so mrežni večkotniki. Razdaljo med

sosednjima vzporednima nosilkama vzamemo za enoto 1.

S Pickovim izrekom bomo določali ploščine enostavnim večkotnikom.

Večkotnik je enostaven, če nobena njegova stranica ne seka kake

druge izmed stranic danega večkotnika in večkotnik nima lukenj.

Večkotniki na Sliki 1 so vsi enostavni, vendar ne pozabimo, da se

izraz enostaven večkotnik uporablja le v tehničnem pomenu,

enostaven večkotnik ima namreč lahko poljubno mnogo robov.

Slika 1: Mrežni večkotniki

13

Približno ploščino mrežnih večkotnikov dobimo s skupnim številom

njihovih notranjih mrežnih točk na celoštevilski mreži. Tako dobimo

kar precej grob približek. Morda bi dobili nekoliko boljšega, če bi

notranjim mrežnim točkam dodali še polovico vseh mrežnih točk, ki

so na meji večkotnika, saj so na pol zunaj in hkrati znotraj

večkotnika. Predno nadaljujemo, si oglejmo nekaj primerov na Sliki

1.

Za vse primere naj bo število mrežnih točk v notranjosti

večkotnika in število mrežnih točk na robu večkotnika, dejansko

ploščino večkotnika pa označimo s

Nekoliko težavnejša naloga je določiti dejansko ploščino pri

večkotnikih in , in sicer zaradi njune oblike. Večkotnik lahko

razdelimo na pravokotnik dimenzije in na dva skladna

pravokotna trikotnika z enim krakom dolgim enoti in drugim

krakom dolgim enote. Tako dobimo:

14

Večkotnik je celo grši za izračun ploščine, ampak z nekaj dodajanj

in odvzemanj delov lika dobimo:

Neverjetna je, če pogledamo vseh šest zgornjih primerov, ocena, ki

smo jo dobili s razmislekom , vedno za ena večja od dejanske

ploščine teh večkotnikov.

Potemtakem se zdi, da dobimo natančno ploščino vsakega

enostavnega mrežnega večkotnika na celoštevilski mreži z

naslednjim izrekom:

Pickov izrek

Naj bo število mrežnih točk v notranjosti enostavnega

mrežnega večkotnika in število mrežnih točk na robu

večkotnika Potem je njegova ploščina enaka:

3.2 Pickov izrek za pravokotnik

Namesto da na začetku poskušamo narediti splošni dokaz, da

vidimo, če Pickova formula res velja, najprej poglejmo izrek za

nekatere enostavnejše primere. Najlažje je na celoštevilski mreži

(Pickova formula)

15

pogledati mrežne pravokotnike, ki imajo stranice vzporedne z

nosilkami mreže. Rekli bomo, da so taki mrežni pravokotniki v

običajni legi za razliko od zasukane.

Slika 2: Mrežni pravokotnik v običajni legi

Pravokotnik na Sliki 2, s stranico dolgo enote in stranico

dolgo enot, ima ploščino veliko kvadratnih enot.

Ker želimo dokazati, da Pickova formula velja, moramo prešteti

točke znotraj pravokotnika in točke na robu pravokotnika

. Po prejšnjem obrazcu izračunamo:

Torej vidimo, da za ta pravokotnik Pickova formula velja.

16

3.2.1 Dokaz Pickovega izreka za poljuben mrežni

pravokotnik

Ploščina pravokotnika s stranicami in , je:

Dokazati želimo, da Pickov izrek velja za vsak mrežni pravokotnik v

običajni legi, zato se lotimo štetja in hitro opazimo, da je število točk

znotraj takega pravokotnika enako in število

točk na robu enako Tako za pravokotnik dimenzije

velja:

Dobimo točno to, kar smo želeli pokazati.

3.3 Pickov izrek za pravokotni trikotnik

Pokazali bomo, da Pickova formula velja za mrežne pravokotne

trikotnike v običajni legi, kjer kateti ležita horizontalno in vodoravno

na celoštevilski mreži. Nekaj primerov je prikazanih na Sliki 3.

17

Najlažji način dokaza je, da si pravokotni trikotnik vzamemo kot

polovico pravokotnika, dodati moramo le diagonalo.

Slika 3: Mrežni pravokotni trikotniki v običajni legi

Poglejmo si Pickov izrek za poljuben pravokotni trikotnik v običajni

legi.

Naj bo pravokotni trikotnik s katetama, dolgima in . Ploščina

pravokotnega trikotnika je:

Če želimo preveriti pravilnost Pickove formule, moramo vedeti,

koliko je na celoštevilski mreži notranjih točk in koliko jih leži na

robu pravokotnega trikotnika .

Tako zopet preštejemo in ugotovimo, da dobimo točke, ki so na meji

pravokotnega trikotnika, če dolžini katete , prištejmo dolžino

18

druge katete in število točk na diagonali, kjer so izvzete tiste na

ogliščih trikotnika .

Torej število točk na robu pravokotnega trikotnika je enako:

Več o štetju robnih točk mrežnega pravokotnega trikotnika si lahko

preberemo v [2].

Kot smo že ugotovili, je število notranjih točk na celoštevilski mreži

v pravokotniku enako , temu odštejemo število

točk na diagonali in vse skupaj razpolovimo, saj potrebujemo

število notranjih točk pravokotnega trikotnika, teh je:

Sedaj preverimo ali Pickov izrek velja za vsak pravokotni trikotnik:

Pokazali smo, da Pickov izrek v tem primeru velja.

19

3.4 Pickov izrek za poljuben trikotnik

Ob predpostavki, da Pickov izrek velja v pravokotnikih in

pravokotnih trikotnikih v običajni legi, lahko pokažemo, da velja za

poljubni trikotnik.

V resnici obstaja veliko primerov, ob katerih bi lahko razmislili o

pravilnosti izreka, vendar so vsi bolj ali manj takšni, kot sta

trikotnika na Sliki 4 in na Sliki 5.

3.4.1 Dokaz 1:

Najprej dokažimo Pickov izrek v primeru na Sliki 4.

Slika 4: Mrežni trikotnik

20

Na Sliki 4 je načrtan trikotnik , ki mu očrtamo pravokotnik . Kot

vidimo, dobimo še tri trikotna območja, in sicer pravokotne

trikotnike, ki jih označimo , in .

Denimo, da ima trikotnik natanko notranjih točk in robnih,

trikotnik ima notranjih in robnih točk, trikotnik pa ima

notranjih in število točk, ki ležijo na robu trikotnika .

Pravokotnik , naj ima notranjih in robnih točk. Trikotnik

pa naj ima notranjih in robnih točk.

Vemo, da Pickov izrek velja za pravokotnike in pravokotne

trikotnike, zato lahko zapišemo:

Dokazati želimo sledeče:

Ploščino trikotnika bomo izračunali tako, da od ploščine

pravokotnika odštejemo vsoto ploščin preostalih treh trikotnih

območij:

21

Denimo, da ima pravokotnik stranice dolge in , torej je ploščina

enaka .

Ko preštejemo notranje točke pravokotnika , ugotovimo, da jih je:

Če pa računamo število točk, ki ležijo na meji, dobimo naslednjo

enakost:

oziroma

Sedaj previdno preštejmo še točke, ki ležijo znotraj pravokotnika :

Na koncu potrebujemo v zgoraj navedeni enačbi, saj imamo

dvojno štetje točk v ogliščih trikotnikov in

Vstavimo vrednost , ki smo jo dobili z enačbo , v enačbo

22

Nadomestimo vrednosti za in iz enačbe in v enačbo .

S tem dobimo:

Dobili smo točno to, kar smo želeli dokazati.

23

3.4.2 Dokaz 2:

Podobno dokazujemo v primeru, ki ga prikazuje Slika 5.

Slika 5: Poljubni mrežni trikotnik z eno vodoravno stranico

Najprej zapišemo obrazce za tiste mrežne večkotnike pri katerih vemo,

da Pickov izrek velja:

Zopet želimo, dokazati:

24

Ploščino poljubnega mrežnega trikotnika izračunamo, tako da od

ploščine pravokotnika odštejemo ploščini trikotnikov in .

Sedaj bomo izrazili število notranjih in robnih točk pravokotnika .

Na celoštevilski mreži, kot zgoraj, najprej preštejemo notranje točke:

Odšteti moramo dolžino stranice , ker smo jo dodali, ko smo prišteli

robne točke trikotnika . Prav tako odštejemo še točko, ki smo jo

šteli dvakrat, in sicer na mestu, kjer se z oglišči stikajo vsa tri

trikotna območja.

Preštejemo še robne točke pravokotnika . Teh je natančno

Ko odštejemo robne točke poljubnega trikotnika , potrebujemo

dvakratno dolžino stranice . Odšteti moramo še dve točki, zaradi

dvojnega štetja točk, na ogliščih trikotnika.

Pickova formula nam da ploščino:

25

S tem smo dokazali, da izrek velja tudi za poljuben mrežni trikotnik.

3.5 Pickov izrek za poljuben mrežni ve kotnik

Zdaj vemo, da Pickov izrek velja za vse mrežne trikotnike. Pokazati

pa moramo, da Pickov izrek velja tudi za poljuben enostaven

večkotnik .

3.5.1 Opis poteka dokaza

Kaj bomo storili, je razvidno iz Slike 6. Vsak enostaven mrežni

večkotnik lahko izdelamo s sestavljanjem mrežnih trikotnikov, za

katere pa vemo, da Pickov izrek drži. Več o tem si lahko preberemo v

[4].

26

Slika 6: Triangulacija večkotnika

Pokazali smo že, da za vsak trikotnik na celoštevilski mreži, velja

Pickov izrek. Nato smo pokazali: če Pickov izrek velja za vsak

trikotnik, potem velja za vsak štirikotnik. Iz tega sledi, da Pickov

izrek velja tudi za vsak petkotnik. Skratka naredimo splošni

matematični dokaz z indukcijo.

Dokaz opravimo v dveh korakih:

1. Pokažemo, da Pickov izrek velja na celoštevilski mreži za vsak

trikotnik.

2. Pokažemo: če Pickov izrek na celoštevilski mreži velja za vsak

–kotnik , kjer je , Pickov izrek potem na

celoštevilski mreži velja za vsak n–kotnik.

27

Slika 7: Mrežni večkotnik

Primer z glavno idejo je prikazan na Sliki 7. Imamo 21–kotnik ABC

... V. Vemo da ima vsak enostaven večkotnik, ki ima vsaj tri

stranice, notranjo diagonalo. Dokaz o tem si lahko preberemo v [8].

Kot vidimo na Sliki 7, imamo izbrano diagonalo DS, tako da

večkotnik diagonalno razdelimo na dva manjša večkotnika. V tem

primeru, 8–kotnik ABCDSTUV in 16–kotnik DEFG ... S. Ker smo v

tej fazi dokaza, lahko trdimo, da Pickov izrek velja za vse

večkotnike, ki imajo med 3 in 20 stranic, potem bo to veljalo tudi za

28

8-kotnik in 16–kotnik, ki sta omenjena zgoraj. Pokazali bomo: če

Pickov izrek velja pri večkotnikih in , ki imata skupno stranico,

potem velja tudi za večkotnik , ki je unija teh dveh.

3.5.2 Dokaz za poljuben večkotnik

Večkotnik sestavljata dva večkotnika s skupno stranico.

Predpostavimo, da ima prvi večkotnik na celoštevilski mreži

notranjih in robnih točk. Drugi večkotnik ima notranjih in

robnih točk, večkotnik pa ima na celoštevilski mreži

notranjih in robnih točk. Diagonala prvotnega večkotnika , ki leži

med večkotnikom in večkotnikom , naj šteje točk, zraven sta

všteti tudi obe končni točki.

Ploščino večkotnika dobimo z vsoto ploščin večkotnikov in :

Sledi:

29

Če za večkotnik , ki je unija večkotnika in , vzamemo vse točke

v notranjosti in , dobimo:

,

ker so točke skupnega roba, razen skrajnih dveh, notranje točke

večkotnika .

Podobna obrazložitev velja tudi za robne točke. Večkotnik ima vse

robne točke večkotnika in . Temu moramo odšteti točk, ki so

na diagonali, saj niso robne točke večkotnika . Ker so točke na

diagonali podvojene, odštejemo , prištejemo pa 2 točki, na

krajiščih diagonale, saj sta ti dve točki robni točki večkotnika . Tako

dobimo:

Zato:

30

3.6 Pickov izrek v ve kotnikih z luknjami

Do sedaj smo upoštevali le enostavne večkotnike, kjer se stranice ne

sekajo in večkotniki nimajo lukenj.

Slika 8: Večkotniki z luknjami

Na Sliki 8 pa si oglejmo pet večkotnikov z luknjami. Večkotnik

in imajo eno luknjo, medtem ko imata večkotnika in dve

luknji. Ti primeri so enostavni, da lahko izračunamo ploščine lukenj,

ležečih znotraj večkotnika in ploščine večkotnikov brez lukenj.

31

Zgornja tabela v stolpcu prikazuje izračun dejanskih ploščin v

naslednjem stolpcu pa izračun ploščine večkotnika, ki ga dobimo s

poznanim Pickovim izrekom za večkotnike brez lukenj. Očitno je, da

v primerih, ko je luknja ena, je razlika med dejansko ploščino in

ploščino izračunano s Pickovim izrekom , v primerih, kjer obstajata

dve luknji, se ploščini razlikujta za . Če poskusimo nekaj več

primerov z eno, dvema ali več luknjami, hitro ugotovimo, da dobimo

izračun ploščine »luknjastega« večkotnika po tej formuli, kjer je n

število lukenj:

Ker že poznamo obrazec za izračun ploščine večkotnika, brez lukenj,

ga lahko uporabimo za izpeljavo obrazca za izračun ploščine

večkotnika z luknjami.

Izpeljavo obrazca se bomo lotili tako, da bomo najprej računali

ploščino za večkotnike z eno samo luknjo in izračune razširili na

splošni primer z n luknjami.

Za primer večkotnika z eno samo luknjo moramo dokazati, da je

njegova ploščina:

32

Denimo, da ima zunanji večkotnik ploščino , število notranjih točk

je in je število robnih točk. Ploščina luknje je , število točk, ki

ležijo znotraj luknje, je in število robnih točk je .

Po Pickovem izreku lahko zapišemo:

Ker vemo, da je ploščina večkotnika z eno luknjo enaka razliki

ploščine večkotnika in ploščine luknje, lahko zapišemo:

Če je število notranjih točk in število robnih točk celotnega

večkotnika, ki ga tvorijo luknje, sledi da je

in

Uporabimo ti dve enakosti, da preverimo formulo:

33

Če vstavimo prejšnja izraza, dobimo:

Točno to pa smo želeli dokazati.

3.6.1 Posplošen dokaz za ve kotnik z luknjami

Podoben izračun je mogoče izpeljati za večkotnike s poljubnim

številom lukenj. Kot prej, naj bo ploščina zunanjega večkotnika brez

lukenj , število notranjih točk tega večkotnika je in število

robnih točk je . Označimo še z število nedotikajočih se lukenj v

34

notranjosti večkotnika, ploščino lukenj , število notranjih točk in

skupno število mejnih točk .

Ploščina »luknjastega« večkotnika z notranjimi in robnimi

točkami, je:

Ker veljata enačbi:

sledi,

Pri tem je število notranjih točk »luknjastega« večkotnika enako

saj notranje točke vsake luknje in njen rob nista v notranjosti

»luknjastega« večkotnika.

Sedaj zapišimo tudi število vseh točk, ki ležijo na robu »luknjastega«

večkotnika:

35

Torej je število notranjih in robnih točk »luknjastega« večkotnika

enako:

Izraza vstavimo v formulo za izračun ploščine »luknjastega«

večkotnika:

in dobimo točno to, kar smo želeli dokazati.

36

4 Pickov izrek v osnovni šoli

4.1 Podrobna u na priprava

Izvajalec Tamara Oštir

Mentor Prof. Majda Srna

Datum 7.12.2009

Ura 6. šolska ura

Razred 9. razred – dodatni pouk

Šola OŠ F. S. Finžgarja Lesce

Učni sklop Geometrija

Učni Ploščina večkotnikov

Učna enota Pickov izrek

Specifični učni cilji 1. Cilj: Učenci razumejo izpeljavo Pickovega

izreka

2. Cilj: Učenci znajo izračunati ploščino s

Pickovim izrekom

3. Cilj: Učenci znajo na mreži točk oblikovati

različne geometrijske oblike z danimi

podatki

4. Cilj: Učenci utrjujejo znanje o določanju

ploščine večkotnikov.

Učni pristop Kognitivni

Učne oblike Frontalna, individualna

Učne metode Metoda razgovora, metoda razlage, metoda

praktičnih del, metoda demonstracije,

Učna sredstva in

pripomočki

Geoplošča, mreža točk-prosojnica, grafoskop

37

4.1.1 Pregledna zgradba u ne ure

VŽIG

Način doseganja Pozdravim učence.

Način

preverjanja

Metode/oblike Frontalno

Čas 1min

Pripomočki

UVOD

Način doseganja Učencem prestavim učno snov in kako bo

potekala učna ura.

Razdelim učne liste.

Način

preverjanja

Ko predstavljam Pickov izrek, učencem hkrati

zastavljam vprašanja, ki se navezujejo na

večkotnike. Predznanje preverim spogovorom.

Metode/oblike Frontalno

Čas 3 min

Pripomočki Geoplošča

RAZLAGA 1. Cilj: Učenci razumejo izpeljavo Pickovega

izreka

4. Cilj: Učenci utrjujejo znanje o določanju

ploščine večkotnikov.

2. Cilj: Učenci znajo izračunati ploščino s

Pickovim izrekom

Način doseganja Skupaj z učenci preberemo navodila za reševanje

prve naloge.

Najprej rešimo prvi del naloge, kjer razmislimo o

ploščini večkotnika za pravokotnike od A do E.

Ko izpolnimo ta del tabele, razmislimo o

posplošenem obrazcu za pravokotnike od A do E,

kjer ni nobene notranje točke.

Z učenci nadaljujemo z reševanjem drugega dela.

Da ugotovimo splošni obrazec, ki velja za

pravokotnike, z eno, dvema ali več notranjimi

točkami, pomagamo si z obrazcem iz prvega dela

naloge.

38

Preden pričnemo z reševanjem druge naloge z

učenci, razmislimo, zakaj si bomo ogledali

pravokotne trikotnike. Učenci izpolnijo tabelo na

podoben način kot pri prvi nalogi, postopoma

odkrivajo pravilo, ko imajo nič, eno dve tri ali več

notranjih točk, pomagajo si z ugotovitvami iz

prejšnje naloge.

Ko imamo obrazec za izračun ploščine

štirikotnikov in pravokotnih trikotnikov, si lahko

pomagamo pri tretji in četrti nalogi raziskati, da

Pickov izrek velja tudi za poljubne trikotnike in

poljubne večkotnike na mreži točk.

Način

preverjanja

Na tablo zapišem vsako dopolnitev v

razpredelnice.

Učenci lahko tako preverijo, ali so na učnih listih

pravilno izpolnili tabele.

Hodim po razredu in preverjam učenčevo

aktivnost.

Dopolnjujem tabelsko sliko. Učencem ves čas

zastavljam vprašanja in oni izmenično

odgovarjajo.

Metode/oblike Frontalno, individualno

Čas 20 min

Pripomočki Tabla, grafoskop, učni list, prosojnice

PREDAH

Način doseganja Učencem povem, da je odkrivanje Pickovega

izreka končan, lotimo se zadnjih nalog, kjer bomo

uporabili izrek.

Način

preverjanja

Metode/oblike Frontalno

Čas 1 min

Pripomočki UTRJEVANJE 2. Cilj: Učenci znajo izračunati ploščino s

Pickovim izrekom

3. Cilj: Učenci znajo na mreži točk oblikovati

različne geometrijske oblike z danimi podatki

Način doseganja Ko postopoma odkrijemo Pickov izrek, lahko

rešimo peto nalogo. Učenci individualno

39

premislijo in uporabijo Pickov izrek ter rešijo

nalogo.

Učenci rešijo šesto in sedmo nalogo, ko razumejo

Pickov izrek in ga znajo uporabiti.

Način

preverjanja

Rezultat pete naloge zapišem na tablo.

Na prosojnicah imamo pripravljeno rešitev šeste

in sedme naloge, ki jo reprezentiram preko

grafoskopa. Učenci preverijo svoje rezultate.

Metode/oblike Individualno, frontalno

Čas 9 min

Pripomočki Tabla, grafoskop, prosojnice, učni list

ODKLOP

Način doseganja Od učencev se poslovim in jim zaželim lepo

popoldne.

Način

preverjanja

Metode/oblike Frontalno

Čas 1 min

Pripomočki

40

4.1.2 Razdelava u ne ure

NAMEN/CILJ DEJAVNOST UČITELJA DEJAVNOST

UČENCEV

VŽIG Pozdravim učence.

»Dober dan učenci.«

»Moje ime je Tamara in danes

bomo skupaj predelali nekaj

čisto novega.«

Učenci

pozdravijo nazaj.

»Dober dan.«

UVOD Učencem razložim, katero novo

učno snov bomo predelali.

Najprej se bomo uzrli na končni

cilj, potem pa na vmesne

korake in kako jih bomo

oblikovali.

»Učenci danes si bomo ogledali

Pickov izrek.«

»Je mogoče že kdo slišal zanj?«

»Pickov izrek ni tako poznan,

toda je zelo uporaben, kadar

moramo izračunati ploščino

enostavnega večkotnika, ki leži

na mreži točk.«

Učence na začetku spomnim,

da že znajo računati ploščino

enostavnih večkotnikov.

Učence za osvežitev spomina

vprašam:

»Kakšni so enostavni

večkotniki?«

Učenci pozorno

poslušajo.

»Ne.«

Učenci odgovorijo

na vprašanje.

»Enostavni

večkotniki so

tisti, kjer se

stranice ne

sekajo.«

41

»Tako je.«

»Z uporabo Pickovega izreka

bomo na mreži točk računali

izključno enostavnim

večkotnikom.«

Razložim jim, da bomo v

nadaljevanju ure raziskali

Pickov izrek, ki določa metodo

za izračun ploščine enostavnih

večkotnikov z enostavnim

štetjem točk znotraj večkotnika

in na njegovem robu.

Še enkrat ponovim, kakšni so

enostavni večkotniki in jih

demonstriram na geoplošči. Pokažem, katere so notranje in

katere robne točke mrežnega

večkotnika.

»Da si bomo lažje predstavljali,

si poglejmo primer na geoplošči, ki sem jo prinesla s seboj.«

»Ko to končamo se bomo lotimo

zadnjih nalog na učnem listu,

kjer bomo uporabili Pickov

izrek.«

Razdelim učne liste.

RAZLAGA

Pričnem z vodenjem razlage.

1. naloga

Učencem jasno preberem prvo

nalogo.

»Najprej izpolnimo tabelo za

42

1. Cilj: Učenci

razumejo

izpeljavo

Pickovega

izreka

pravokotnike od A do E. Potem

pa bomo razmislili o splošnosti

formule in nadaljevali z

ostalimi pravokotniki.«

Najprej pogledamo pravokotnik

A.

»Njegova ploščina je očitno 1

kvadratna enota.«

Na tabli imam pripravljeno

tabelo, ki jo izpolnjujem, tako

da se učenci lahko ves čas

preverjajo.

»Koliko notranjih točk ima

pravokotnik A?«

»Pravokotnik A nima nobene

notranje točke, zato v stolpec N

zapišemo 0.«

»Koliko pa ima robnih točk?«

Tako izpolnimo stolpce za

notranje in robne točke in

seveda tudi ploščino, ki je pri

vseh primerih očitna.

Ko to izpolnimo se uzremo na

stolpec za splošni obrazec.

»Torej učenci, pri pravokotnikih

je ploščina očitna, toda ali

opazite oziroma prepoznate,

kakšno povezavo z dejansko

ploščino in robnimi točkami?«

»Nobene.«

»Štiri.«

Učenci ugotovijo.

»Dejanska

ploščine je vedno

43

»Super. Kar zapišimo v stolpec,

za splošni obrazec . «

Izpolnimo prvi del tabele, kjer

je število notranjih točk v

pravokotnikih enako 0.

»Sedaj pa si poglejmo še drugi

del prve naloge.«

Postopek je podoben izpolnimo

stolpce, kjer moramo prešteti

notranje in robne točke ter

določiti dejansko ploščino.

»Učenci, ali si pri

pravokotnikih od F do J lahko

pomagamo s prvi delom naloge,

kjer smo že ugotovili posplošen

obrazec? «

»Kaj ste ugotovili? Kakšno

povezavo imajo tokrat preštete

točke in dejanska ploščina?«

za eno manjša od

razpolovljenega

števila robnih

točk.«

»Da.«

»Če prejšnjemu

obrazcu

prištejemo

število notranjih

točk, dobimo

ravno dejansko

ploščino

pravokotnika.«

44

Pogledamo pravokotnik F.

»Pravokotnik F ima eno

notranjo točko in 8 robnih.«

»Torej uporabimo razpolovljeno

število robnih točk, odštejemo

ena in prištejemo notranje

točke, dobimo ploščino 4

kvadratne enote.«

Vse zapišem na tablo.

Za pravokotnike G in J učenci

zapišejo sami.

Sprehodim se po razredu in

preverim kako jim gre.

Na koncu zabeležim rezultate v

tabelo.

Tako sedaj smo končali prvo

nalogo in ugotovili, da za

izračun pravokotnikov na mreži

točk velja naslednji obrazec:

Razložim nadaljnji potek

raziskovanja Pickovega izreka.

2. naloga

»Recimo, da je to Pickov izrek.

Sedaj pa poglejmo, če velja tudi

pri pravokotnih trikotnikih?«

»Zakaj bomo pogledali

pravokotne trikotnike?«

»Pravokotni

trikotnik je

ravno polovica

45

»Tako je, ploščina je zopet

očitna.«

»Natančno preštejte notranje in

robne točke, prav tako pa lahko

zapišete dejanske ploščine

pravokotnih trikotnikov.«

Z učenci najprej izpolnimo tisti

del tabele, kje je število

notranjih točk enako 0.

»Zapišite splošno formulo, ki

velja za pravokotne trikotnike

A1, B1, ..., D1«

Po razredu krožim in

preverjam učenčevo aktivnost

in v primeru kakšnega

vprašanja pomagam.

Izpolnimo še preostali del

tabele, kjer je število notranjih

točk različno od 0 in zapišemo

ploščino.

»Tako dejanske ploščine

imamo, sedaj pa poiščimo

splošno formulo za izračun

ploščine mrežnih pravokotnih

trikotnikov.«

Ko izpolnijo tabelo, se izkaže da

je splošni obrazec za izračun

ploščine enak kot velja za

pravokotnike.

Učenca povabim k tabli, da pod

pravokotnika.«

46

2. Cilj: Učenci

znajo

izračunati

ploščino s

Pickovim

izrekom

4. Cilj:

Učenci

utrjujejo

znanje o

določanju

ploščine

tabelo zapiše splošni obrazec, ki

velja za pravokotne trikotnike

na mreži točk.

3. naloga

Nadaljujemo s tretjo nalogo.

»Dobili smo obrazec, s katerim

lahko izračunamo ploščino na

mreži točk za pravokotne

trikotnike in pravokotnike.«

»Sedaj pa poglejmo, če zapisani

obrazec drži tudi za poljubne

trikotnike.«

Trikotniku T težko določimo

ploščino. Morali si bomo

pomagati. Učence vprašam,

kako.

»Kako bi lahko to pokazali z

ugotovitvami, ki jih že imamo?«

»Torej, kje bi pri poljubnem

trikotniku našli pravokotnike

in pravokotne trikotnike, za

katere vemo da Pickov izek

velja?«

Učenec, ki ga

pokličem, pride

pred tablo in

zapiše obrazec.

»Lahko bi očrtali

trikotnik.«

»Tri trikotna

območja in en

pravokotnik,

dobimo, ko

očrtamo

trikotnik T.«

47

večkotni -

kov.

»Tako je.«

»Kakšna je prva možnost,da

izračunamo ploščino trikotnika

T z uporabo pravokotnika in

pravokotnega trikotnika?«

»Ja. Sedaj označite trikotnik T,

pravokotnik R in trikotna

območja T1, T2 in T3, ki jih

dobite, ko očrtate trikotnik T.«

Preko grafoskopa projiciram

sliko očrtanega trikotnika T.

Zapišem na tablo učenčeve

ugotovitve.

»Kako boste izračunali

posamezne dele?«

»Seštejemo

ploščine

pravokotnih

trikotnikov in

odštejemo od

ploščine

pravokotnika.«

Učenci očrtajo

poljubni

trikotnik in

izračunajo

dejansko

ploščino.

»S Pickovim

izrekom.«

48

2. Cilj: Učenci

znajo

izračunati

ploščino s

Pickovim

izrekom

Učenci izračunajo ploščino

tako, da preštejejo notranje in

robne točke pravokotniku in

trem pravokotnim trikotnikom,

za katere vedo, da Pickov izrek

velja.

Izračun zapišem na tablo.

»Kaj pa drugi način?«

»Kakšna morata biti končna

rezultata?«

Gibljem se med učenci in

opazujem, kako jim gre,

pozorna sem na to, če ima kdo

težave ali kakšno vprašanje.

Učenca pokličem pred tablo, da

zapiše izračun:

Učenec odgovori.

»Preštejemo

notranje in robne

točke trikotnika

T in uporabimo

obrazec:

«

»Enaka.«

49

Torej:

4. naloga

Lotimo se reševanja 4. naloge.

Preberemo navodilo naloge in

učenci razmislijo, kako bi

preverili veljavnost Pickovega

izreka za enostavne večkotnike.

»Kako bi še drugače izračunali

dejansko ploščino poljubnega

večkotnika, če ne bi poznali

Pickovega izreka?«

»Ali kdo vidi, kakšna bi bila

možna razdelitev večkotnika

pri četrti nalogi?«

Učenci razmislijo

in mi odgovorijo.

»Vsak večkotnik

lahko izdelamo s

sestavljanjem

večkotnikov, kjer

vemo, da Pickov

izrek velja.«

»Večkotnik

razdelimo na dva

kvadrata ,

dva pravokotna

trikotnika ki

tvorita kvadrat

, poljubni

trikotnik z

osnovnico in

50

»Pravilno, to je ena možnost,

kako hitro lahko dobimo

velikost notranjega območja

večkotnika.«

»Izračun zapišimo pri prvem

načinu. Razdelitev večkotnik

na dele, za katere Pickov izrek

velja.«

Dopolnim tabelsko sliko.

pravokotni trikotnik s

katetama in :

dva kvadrata :

dva pravokotna trikotnika,

ki tvorita kvadrat

poljubni trikotnik z

osnovnico in višino :

»Kako dobimo ploščino na drugi

način?«

»Tako je. Koliko je notranjih

točk?«

višino ter en

pravokotni

trikotnik, kjer

sta kateti dolgi

in .«

»S štetjem točk

oziroma

Pickovim

izrekom.«

51

»Koliko je robnih točk?«

»Pravilno ste prešteli.«

Zapišem račun in z učenci

izračunamo.

»Ploščina večkotnika je 13

kvadratnih enot.«

»Ste vsi dobili 13 kvadratnih

enot?«

»Notranjih je 7.«

»Robnih je 14.«

»Da.«

PREDAH Učencem namenim minuto

predaha.

Povem jim, da je odkrivanje

Pickovega izreka končano,

lotimo se zadnjih nalog, kjer

bomo uporabili izrek.

UTRJEVANJE

2. Cilj: Učenci

znajo

izračunati

ploščino s

Pickovim

izrekom

Ostale so nam le še tri naloge.

»Gremo kar po vrsti.«

5. naloga

Preberem nalogo.

»Peto nalogo rešimo s Pickovim

izrekom.«

»Prešteli zunanje

52

3. Učenci

znajo na

mreži točk

oblikovati

različne

geometrijsk

e oblike z

danimi

podatki

»Kaj bomo naredili?«

»Tako je. Natančno jih

preštejte, zabeležite in

izračunajte ploščino danega

večkotnika.«

Peto nalogo zapišem na tablo.

»Kolikšna je ploščina?«

»Tako je.«

6. naloga

Rešimo še šesto nalogo.

»Kako bi se jo lotili. Mogoče

predlagate, kaj bi bilo

najbolje?«

in robne točke.«

» kvadratnih

enot.«

»Najbolje bi bilo,

da izračunamo,

kolikšna je

ploščina

večkotnika in

nato oblikujemo

53

»Dobra ideja, poskusite najprej

sami.«

Gibam se med učenci, gledam

kako jim gre oblikovanje

večkotnika z danimi podatki.

Ko učenci večinoma končajo,

jim pokažem tri možne

primere, pripravljene na

prosojnici.

»Pred nami je še zadnja

naloga.«

Gibam se med učenci, gledam,

kako jim gre oblikovanje

večkotnik.«

Učenci

individualno

rešujejo nalogo.

Učenci preberejo

nalogo in

razmislijo.

Rešujejo

individualno.

54

večkotnika s danimi podatki.

»Ali ste rešili nalogo?«

»Torej poglejmo rešitev.«

Rešitev imam pripravljeno na

prosojnici. Uporabim grafoskop.

»Tako učenci, danes ste

spoznali Pickov izrek. Z malo

prakse boste lahko le s

pogledom na večkotnik hitro

izračunali ploščino mrežnih

večkotnikov v svoji glavi.«

»Da.«

ODKLOP Poslovim se od učencev.

»Nasvidenje in lep dan še

naprej.«

»Nasvidenje.«

55

4.2 U ni list

1. Na celoštevilski mreži so podani pravokotniki z dolo enim

številom N notranjih in R robnih to k. Izra unaj njihovo ploš ino,

dopolni tabelo in razmisli o splošnem obrazcu, ki velja za te

primere. Kvadrat A ima za ploš ino 1 kvadratno enoto.

56

2. Na spodnji mreži to k so na rtani pravokotni trikotniki. Enako

kot prej dopolni tabelo, kjer je N število notranjih in R robnih

to k. Izra unaj ploš ino in poskusi zapisati splošni obrazec

tudi za te pravokotne trikotnike.

57

3. Dan je poljuben trikotnik. Raziš i, kako bi izra unal njegovo

ploš ino. Svoje ugotovitve zapiši.

1. NA IN . 2. NA IN

4. Zdaj vemo, da Pickov izrek velja za poljubne trikotnike in

štirikotnike.

a) Kako bi preverili, da Pickov izrek velja tudi za poljubne

enostavne ve kotnike?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

58

b) Izra unaj ploš ino danega ve kotnika na dva na ina.

1. NA IN

2. NA IN

5. Z uporabo Pickovega izreka izra unaj ploš ino spodaj na rtanega

ve kotnika.

59

6. Poiš i ve kotnik, ki ima 2 notranji in 15 robnih to k. Ve kotnik

na rtaj na spodnjo mrežo to k in rezultat preveri.

7. Na mreži to k oblikuj im ve ve kotnikov, ki imajo 2 notranji

to ki in 4 robne to ke. Like poimenuj.

60

4.3 Analiza u ne ure

Učno uro sem izvedla z devetimi razredi. Odločila sem se, da jo

izvedem kot dopolnilni pouk, saj ti učenci lažje izvajajo miselne

procese tudi nad abstraktnimi pojmi.

Učencem sem na začetku ure predstavila končni cilj, nato sem jim na

kratko obrazložila, kako bomo preko reševanja nalog z učnih listov

oblikovali vmesne korake, ki bodo vodili k cilju. Tako so si učenci

lažje prestavljali, kaj bodo raziskovali, glede na to, da so za Pickov

izrek prvič slišali.

Predno pa sem učencem razdelila učne liste, sem ponovila nekaj

pomembnih pojmov, ki jih sicer že poznajo, toda so jih morali

uporabiti pri raziskavi nove učne snovi. Kot motivacijsko sredstvo

sem pri ponavljanju uporabila geoploščo, da smo si na njej ogledali

nekaj mrežnih večkotnikov in spoznali dejstvo, da s štetjem točk

lahko hitro izračunam ploščino, kar pa je učence zelo navdušilo.

Začeli smo z reševanje učnega lista. Pri prvih štirih nalogah smo

raziskovali Pickov izrek.

Učencem pri teh nalogah pot ni bila poznana, kar jim je

predstavljalo problem, saj so kmalu ugotovili, da nalog ne morejo

reševati s priklicem iz spomina, ampak z miselnimi postopki. Pri teh

nalogah, predvsem pri prvi, smo porabili veliko časa, saj so morali

razmisliti, kako bi se lotili in obravnavali problem.

61

S tem so učenci samostojno razmišljali v novih situacijah. Sproti sem

jim morala postavljati jasna vprašanja, na katera so se oprli in si

nato našli neka izhodišča in cilje. Tako so z uporabo podanih

preprostih orodij razvili sposobnost najti pravilnost, ki jo je naloga

zahtevala.

Učenci so morali sami poiskali strategijo reševanja. Nekateri učenci

niso imeli nobenega sistema in so le slučajno iskali zakonitosti, ki bi

veljale za vse podane like. Nekateri pa so razvili strategijo. Težila

sem k temu, da je vsak učenec razvil svoj način iskanja. Zato sem jih

skozi prve štiri naloge vodila in delila nasvete ter namige, da se

sistem reševanja in iskanja zakonitosti, katerega so našli, v primeru

neuspeha ali trenutne nezbranosti, ne bi podrl.

Ko smo Pickov izrek raziskali, so ga učenci v naslednjih nalogah

samostojno uporabili in rešili zadnje tri naloge.

Peta naloga je imela zaprto pot, saj so učenci morali izračunati

ploščino večkotnika z uporabo Pickovega izreka, katerega so dobro

spoznali. Način reševanja jim je bil poznan, zato učencem ni

predstavljal nobenega problema.

Zadnji dve nalogi pa sta bili zasnovani tako, da so učenci sami

poiskali strategijo reševanja, ki jih je pripeljala do cilja. Nekateri so

se lotili intuitivno in kar začeli načrtovati, drugi pa so najprej

izračunali ploščino in nato načrtovali, ko so imeli boljšo predstavo,

kako velik približno mora biti lik.

Ugotovila sem, da samo poznavanje Pickovega izreka učencem ne bo

koristil in ga bodo gotovo tudi pozabili, saj ga ne bodo uporabljali.

62

Zagotovo pa jim bo koristil način razmišljanja v različnih aspektih,

razvijali bodo sposobnost načrtovanja, intuicije in kreativnost.

Pickov izrek jim bo prišel prav tudi pri matematičnem tekmovanju

in nadaljnjem šolanju.

63

5 Zaklju ek

V diplomskem delu sem prišla do nekaterih spoznanj in ugotovitev.

Prva, ki bi jo omenila in brez katere ne bi mogla nadaljevati, je ta,

da sem se pri preučevanju Pickovega izreka seznanila z lastnostmi

kvadratne mreže, na kateri so me zanimale predvsem mrežne točke.

Ko sem predstavljala Pickov izrek v osnovni šoli, sem posebej z

učenci ponovila kvadratno mrežo in jim predstavila mrežne točke,

saj so bile učencem nepoznane.

Iz diplomskega dela je jasno razvidno, tudi da se Pickov izrek

uporablja zgolj za enostavne večkotnike, ki ležijo na kvadratni

mreži, njihova oglišča pa le na mrežnih točkah.

Pri preučevanju sem se odločila za razširitev, in sicer sem

obravnavala »luknjaste« večkotnike. Te so sem mi zdeli še posebej

zanimivi. Na prvi pogled gre za enostavno razširitev Pickovega

izreka, zavzema pa vse večkotnike, ki vsebujejo v notranjosti

poljubno število lukenj. Pozornost bi usmerila le na to, da enako kot

pri enostavnih večkotnikih tudi za »luknjaste« velja, da se stranice

večkotnika ne smejo sekati in luknje med seboj nimajo nobene

skupne mrežne točke.

Še vedno bi se dalo poiskati več vprašanj in na njih odgovoriti.

Lahko bi posplošila postopek na like, katerih rob je sklenjena

krivulja ali pa bi raziskala Pickov izrek na trikotni ali šestkotni

mreži. Zanimiva bi bila posplošitev obrazca v tridimenzionalnem

prostoru, torej za računanje prostornine geometrijskih teles.

64

Toda, kot bodoča učiteljica, sem želela, da bi bila vsebina moje

diplomskega dela razumljiva tudi osnovnošolcem in srednješolcem.

S tem namenom sem vsebino predstavila v osnovni šoli, da bi

ugotovila, ali bodo učenci našli zakonitost, ki sem jo v diplomskem

delu raziskovala. Izkazalo se je, da so za Pickov izrek našli

zakonitost. Toda po učni uri, ki sem jo izvedla, sem prišla do sklepa,

da bi jih kakršna koli dodatna razširitev, ki sem jih omenila malo

prej, preveč obremenila. Tudi za »luknjaste« večkotnike se nisem

odločila, da jih obravnavam, saj je bilo premalo časa, da bi vse

temeljito predelali.

Moj cilj je bil, da učenci razumejo Pickov izrek in ga znajo uporabiti

tudi v drugih problemskih situacijah. Zato sem z učenci podrobno

preučila le najenostavnejšo obliko Pickovega izreka.

65

Literatura:

M. Cotič: Matematični problemi in uporaba geoplošče,

Matematika v šoli, let. 10, 2003, str. 152 – 160.

V. Drole: Mrežni Pitagorejski trikotniki, diplomsko delo,

Ljubljana, 2009, str. 50 – 52.

H. Hadwlger, J. M. Wills: Konveksna telesa in mrežne točke v

evklidskem prostoru, Geometriae Dedicata, let. 2, (1973) 2, str.

255 - 260.

[4] B. Lavrič: Triangulacije večkotnikov, Presek, let. 18, 1990/1991,

št. 3, str. 12 – 16.

B. Lavrič: Večkotniki na kvadratni mreži, Presek, let. 32, 2004/05,

št. 2-3, str. 17 – 21.

I. Pucelj: Ploščina mrežnih večkotnikov, Presek, let. 5, 1977/1978,

št. 1, str. 3 – 8

R. Šuman: Prispevki k poučevanju matematike, Založba Rotis,

Maribor, 1996.

M. Goldwasser: Triangulating Simple Polygons,

URL= http://graphics.stanford.edu/courses/cs268-09

winter/notes/handout5.pdf (12.10.2009)

Pick's Theorem,

URL = http://www.cut-the-knot.org/ctk/Pick.shtml (13.10.2009)

66

Pick's Theorem, Proof,

URL = http://www.cut-the-knot.org/ctk/Pick_proof.shtml

(11.10.2009)

Toying With The Geoboard,

URL= http://www.cut-the-knot.org/ctk/geoboard.shtml

(22.10.2009)

Stomachion: Pick's Theorem,

URL=http://www.cs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/Stomachion

/Pick.html (11.10.2009)

WolframMathWorld: Pick's Theorem,

URL= http://mathworld.wolfram.com/PicksTheorem.html

(11.11.2009)

Wolfram Demonstration Project: Pick's Theorem,

URL=http://demonstrations.wolfram.com/PicksTheorem/

(11.10.2009)

J. J. O'Connor in E. F. Robertson: Biografija Georga A. Picka,

URL=http://www-groups.dcs.st and.ac.uk/~history/Biographies/

Pick.html (23.11.2009)

67

Biografija Georga Alexandra Picka,

URL=http://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Alexander_Pick

(23.11.2009)