Director de Planeamiento y Gestión Académica

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El cálculo diferencial / Adriana Engler ... [et al.]. - 2a ed . - Santa Fe : Ediciones UNL, 2019.Libro digital, PDF - (Cátedra)

Archivo Digital: descarga y onlineISBN 978-987-749-136-4

1. Cálculo Diferencial. 2. Matemática. I. Engler, Adriana.CDD 515.3

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© Adriana Engler, Daniela Müller,Silvia Vrancken, Marcela Hecklein, 2020.

© , 2020

Coordinación editorialMaría Alejandra Sedrán Coordinación diseñoAlina HillProducción generalEdiciones UNL

—[email protected]/editorial

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hdl.handle.net/11185/2300

Rector Enrique Mammarella Director de Planeamiento y Gestión Académica Daniel CombaDirectora Ediciones UNL Ivana Tosti

El Cálculo Diferencial

Adriana Engler

Daniela Müller

Silvia Vrancken

Marcela Hecklein

A mi mamá, siempre conmigo A mi papá, Telmo y

mis hermanos, Víctor y Nadia por su amor Adriana

A la memoria de Chuchi, mi madre

A mis hijos, María, Magdalena y Martín Daniela

A Fernando, Melina y Roberto

Silvia

A Carlos y Martín Marcela

Prólogo

No existe fenómeno en la naturaleza o en la sociedad que escape al fenómeno del cambio. Podemos encontrar numerosos ejemplos a nuestro alrededor: la población de un país cambia a través del tiempo, la temperatura ambiental cambia durante el año, el área de un cuadrado varía con la longitud del lado, entre otros. Dado que vivimos en un mundo físico, social, político, económico, biológico, resulta importante poder describir y medir estos cambios a través de modelos matemáticos. Por ejemplo, una planta crece a medida que transcurre el tiempo, puede detener su crecimiento en algún instante, para luego volver a crecer, o permanecer estacionaria. También, la población de un país varía con el correr del tiempo y esta variación depende básicamente de la cantidad de nacimientos y de muertes. La velocidad de una partícula que se mueve es la razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo. Los físicos también se interesan, por ejemplo, en la razón de cambio del trabajo con respecto al tiempo (lo que se conoce como potencia). Los químicos, que estudian una reacción química, se interesan en la razón de cambio en la concentración de un reactivo con respecto al tiempo (llamada velocidad de reacción). Un fabricante que produce x toneladas de acero por día se interesa en la razón de cambio del costo de esa producción con respecto a x (lo que se conoce como costo marginal). Un biólogo se interesa en la razón de cambio de la población de una colonia de bacterias con respecto al tiempo. El cálculo de razones de cambio es importante en todas las ciencias naturales, en la ingeniería e incluso en las ciencias sociales.

La matemática de la antigüedad fue preponderantemente estática. La exploración de distintos movimientos y el surgimiento de la noción de cambio fueron aspectos para los que la matemática no estuvo preparada sino después de mucho tiempo.

El cálculo es la matemática del cambio, de la variación, de la transformación. Está formado por dos partes muy vinculadas entre sí: el cálculo diferencial y el cálculo integral.

El cálculo diferencial estudia principalmente la forma y rapidez con que se producen los cambios y tiene distintas aplicaciones que incluyen el trazado de curvas y la optimización de funciones.

El estudio de la variación lleva a construir uno de los conceptos más importantes del cálculo: la derivada. Su desarrollo como tasa de variación o como razón de cambio tiene numerosas aplicaciones. Una de las más trabajadas y simples es la velocidad, razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo. Resultan también importantes, la tasa de crecimiento de una población de bacterias, la tasa de variación de una reacción química (velocidad de reacción), la razón con la que aumenta la velocidad con la que fluye la sangre según la distancia a la pared de un vaso sanguíneo y la razón con la que se propaga un rumor.

Una de las expectativas de logro de esta propuesta es utilizar el concepto de derivada de funciones en el análisis de la resolución de problemas.

Es importante que los lectores logren interpretar el concepto de derivada en diferentes ámbitos, como la geometría y la física y utilicen la información que ésta provee sobre la función para resolver problemas. También deberían poder advertir que el cálculo infinitesimal es una herramienta poderosa para el análisis del comportamiento de las variables involucradas y, por lo tanto, de gran potencial descriptivo de problemas concretos. La conexión entre la expresión

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analítica de una función y su representación gráfica se utiliza para manipular los procesos de cambio.

Buscamos destacar las ideas más importantes del cálculo diferencial, su potencia, sus conexiones y sus aplicaciones.

Si se enseña el cálculo con la rigurosidad y el formalismo como lo enfrentaron y desarrollaron originalmente Newton y Leibniz en el siglo XVII, o Cauchy, en el siglo XIX, seguramente no se alcanzarían a comprender las ideas fundamentales. Aceptamos como suficientemente clara la idea intuitiva de muchos conceptos considerando que constituyen la base de un desarrollo más riguroso de las leyes y procedimientos. Este nos parece un camino adecuado para iniciarlos en el Cálculo Diferencial. Consideramos que es adecuado y una buena motivación para quienes deciden avanzar en los fundamentos teóricos. Aunque no realicemos la demostración de algunos teoremas y propiedades mostramos su utilidad en la demostración de otras, o sus aplicaciones o su interpretación.

Relacionamos la teoría y la práctica (y las aplicaciones) organizando la enseñanza a partir de algunos problemas importantes, tratando de promover un enfoque constructivista del aprendizaje. CARACTERÍSTICAS DE LA OBRA

A lo largo de la misma se tuvieron en cuenta los siguientes aspectos:

• Los nuevos conceptos se presentan por medio de ejemplos que generan la necesidad de desarrollar nuevas técnicas.

• Un enfoque donde se desarrolla el concepto matemático para después reforzarlo con las aplicaciones.

• Un especial énfasis en la comunicación verbal de los conceptos matemáticos mediante la traducción del lenguaje coloquial al lenguaje matemático y viceversa.

• Un cuidado especial en las explicaciones de los conceptos más difíciles teniendo en cuenta la necesidad de aplicar distintos caminos según el grado de dificultad. Se trata de guiar el proceso de pensamiento del alumno hacia la meta propuesta, trabajar en forma intuitiva una idea para formalizarla luego tratando de salvar todos los obstáculos.

• Presentación de la teoría con rigurosidad y precisión. En muchos casos, a fin de ganar en claridad, se presentan discusiones intuitivas informales.

• Motivación del alumno a través de valorar la necesidad de saber matemática para, mediante la resolución de problemas, enfrentarse a la futura vida profesional.

• Una gran cantidad y amplia variedad de aplicaciones y problemas para que los estudiantes asuman la utilización de todos los contenidos matemáticos que están aprendiendo.

• Utilización de representaciones gráficas convencidas de que quienes se enfrentan por primera vez a grandes desafíos matemáticos tienen dificultades y, sin embargo, el uso de los gráficos logra un efecto muy importante en la construcción del conocimiento.

• Uso del lenguaje gráfico, numérico y algebraico de manera indistinta.

• Diversas actividades de reflexión mediante el planteo de desafíos que actúan como disparadores para el análisis de una situación determinada que luego se formaliza.

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• El planteo de “aprendizaje por descubrimiento” para propiciar el surgimiento de los nuevos contenidos y la construcción de los conocimientos necesarios para los nuevos tópicos. En esta sección se anticipan resultados que se van a desarrollar y se busca el reconocimiento de patrones.

ORGANIZACIÓN DE LA OBRA

En el desarrollo de los capítulos se incluyen las explicaciones teóricas con abundantes ejemplos y desarrollo de aplicaciones en el campo de la física, ingeniería, biología, economía, ciencias sociales, ecología, química, administración y ciencias naturales. Se presenta una gran cantidad de ejemplos y problemas resueltos a fin de que el alumno observe distintos detalles que aparecen en los mismos y que constituyen su quehacer matemático. Están considerados de manera gradual, según las dificultades. En primer lugar aparecen ejemplos rutinarios para adquirir destrezas, principalmente desde el punto de vista de la operatoria y, en un paso posterior, los de mayor dificultad.

En los mismos se presentan además:

• Ejercicios de aplicación del nuevo concepto desarrollado. Aparecen todas las respuestas de manera inmediata a fin de fijar los contenidos y poder avanzar con el desarrollo del tema.

• Ejercicios integradores de un tema. Están organizados según los diferentes temas que se presentan en cada capítulo. Se incluyen las respuestas de todos al final del libro.

• Ejercicios de repaso de cada uno de los capítulos. Se incluyen guías que reúnen numerosos ejercicios cuyas respuestas figuran al final del libro.

• Problemas de aplicación. Se incluyen problemas de aplicación de los diferentes contenidos. Los mismos están organizados por temas y por capítulo. Las respuestas se enuncian al final del libro.

• Autoevaluaciones y pruebas de opción múltiple para que, según los diferentes temas y capítulos el lector compruebe cómo avanza en la adquisición de los conocimientos y logre la seguridad de que ha alcanzado un buen grado de dominio de los diferentes temas desarrollados. Están integradas por novedosos enunciados y las respuestas se encuentran al final del libro.

• Guías de estudio referidas a límite, continuidad y estudio de funciones. En el desarrollo de las mismas se hace hincapié en las representaciones gráficas mediante el uso del programa Funciones para Windows versión 2.7.61 como herramienta fundamental para la elaboración de conclusiones.

Como reflexión final compartimos un párrafo que el Dr. Santaló escribió en 1993 en su libro Matemática I. Iniciación a la creatividad que dice "Como los alumnos de hoy no son los mismos que los de ayer y las necesidades para poder actuar eficazmente en el mundo actual tampoco son las mismas, es natural que la educación matemática deba estar en continua evolución y que los educadores deban ir ajustando sin pausa la forma y el fondo de sus enseñanzas, para mantener a la escuela acorde a la calle de manera que el alumno no encuentre demasiada discontinuidad entre lo que oye en el aula y lo que encuentre y ve en su casa y en la calle.”

LAS AUTORAS

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Agradecimientos

Desde el año 2005, cuando presentamos con muchas expectativas

nuestro primer trabajo con relación al cálculo recibimos numerosas muestras de

aliento, sugerencias, comentarios y opiniones que nos motivaron a seguir

trabajando, estudiando, discutiendo, debatiendo, descubriendo nuevas formas

de enseñar, escribiendo... Hoy, "El Cálculo Diferencial – Segunda Edición" es

una realidad que nos implica un nuevo desafío.

Este libro, preparado especialmente para nuestros alumnos, surge de las

experiencias obtenidas del trabajo continuo durante más de veinte años en el

aula universitaria y de compartir el camino de enseñar y aprender matemática.

Por esto, expresamos un especial agradecimiento a ellos, que con todos sus

comentarios, inquietudes, aportes, sugerencias y, por qué no, quejas,

contribuyeron a mejorar nuestros primeros apuntes de cátedra y nuestro primer

trabajo.

También, queremos formular nuestro profundo agradecimiento a las

autoridades de la Universidad Nacional del Litoral por permitir que sus docentes

publiquen sus obras y, en especial, a las autoridades de la Facultad de Ciencias

Agrarias por su aliento y apoyo permanentes.

Nuestro especial reconocimiento a la profesora Nelly Vázquez de Tapia

por sus comentarios y por acompañarnos en nuestros emprendimientos.

No podemos dejar de agradecer a nuestros colegas, amigos, graduados y

a todas aquellas personas que de una u otra manera nos ayudaron y alentaron a

continuar con esta tarea docente.

Las críticas, observaciones, comentarios y sugerencias minuciosas y

apasionadas de María Inés nos permitieron mejorar la presentación de los

contenidos tanto en lo académico como en su diseño.

Gracias Daniel y Natalia por acompañarnos.

Manifestamos especialmente un sincero y enorme "muchas gracias" a

nuestras familias por su paciencia, la espera y la comprensión por tantas horas

de ausencia.

Por último, nuestro profundo agradecimiento a las autoridades y personal

del Centro de Publicaciones de la Universidad Nacional del Litoral por la

confianza, el interés y la colaboración que recibimos para poder cumplir con

nuestro objetivo: la producción de un texto de cátedra.

Adriana, Daniela, Silvia y Marcela

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Contenido

1. NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL 1.1 Un poco de historia y el nacimiento del cálculo ......... 16

1.2 Números reales y la recta real .......................................... 18

Ejercicios Integradores ............................................................. 33

Prueba de Opción Múltiple ....................................................... 34

Autoevaluación ......................................................................... 35

Ejercicios de Repaso .................................................................. 35

2. LÍMITE DE FUNCIONES 2.1 Noción intuitiva de límite ................................................... 38

2.2 Definición de límite de una función y propiedades ........................................................................... 44


2.3 Límites infinitos y límites en el infinito .......................... 56

2.4 Límites indeterminados ...................................................... 69


Problemas de Aplicación .......................................................... 79

Prueba de Opción Múltiple ....................................................... 81

Autoevaluación ......................................................................... 85

Ejercicios de Repaso .................................................................. 86

3. FUNCIÓN CONTINUA 3.1 Continuidad de una función en un punto ...................... 92

3.2 Función continua en un intervalo .................................. 102

Ejercicios Integradores ........................................................... 108

3.3 Teoremas de las funciones continuas ........................ 109


Problemas de Aplicación ........................................................ 115

Prueba de Opción Múltiple ..................................................... 116

Autoevaluación ....................................................................... 117

Guía de Estudio .......................................................................... 118

Ejercicios de Repaso ................................................................ 121

4. EL CONCEPTO DE DERIVADA 4.1 Razones de cambio ........................................................... 126

4.2 El problema de la recta tangente a una curva ............ 143

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4.3 Relación entre razón de cambio promedio, razón de cambio instantánea, recta secante y recta tangente ..................................................................... 147


4.4 Concepto de derivada ....................................................... 153

4.5 Función derivada ............................................................... 154

4.6 Derivadas laterales ............................................................ 164

4.7 Derivabilidad y continuidad ............................................ 164

4.8 Derivabilidad de una función en un intervalo ............ 168




Autoevaluación ....................................................................... 176


5. CÁLCULO DE DERIVADAS 5.1 Reglas de derivación ........................................................ 180

5.2 Derivación implícita ........................................................... 196

5.3 Razones de cambio relacionadas .................................. 200


5.4 Derivadas de orden superior .......................................... 207

Problemas de Aplicación ....................................................... 211


Autoevaluación ....................................................................... 214


6. ESTUDIO DE FUNCIONES 6.1 Valores extremos de una función .................................. 220

6.2 Función creciente y decreciente .................................... 234

6.3 Determinación de extremos relativos ........................... 241

6.4 Concavidad .......................................................................... 250

6.5 Criterio de la segunda derivada para la determinación de extremos relativos ........................... 263

6.6 Asíntotas .............................................................................. 266

6.7 Estudio de funciones ........................................................ 274




Autoevaluación ....................................................................... 290

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Guía de Estudio ......................................................................... 290


7. APLICACIONES DE LA DERIVADA 7.1 Teoremas del valor intermedio ...................................... 300

7.2 Límites indeterminados y la regla de L’Hopital ......... 309


7.3 Antiderivada ........................................................................ 318

7.4 Aproximaciones ................................................................. 321

Diferenciales ....................................................................... 322

Aproximaciones lineales .................................................. 326

Aproximaciones polinomiales......................................... 327



Autoevaluación ....................................................................... 338


RESPUESTAS ............................................................................................. 341

BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................... 361

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Ugokegttcfq"c"k|swkgtfc"

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Egttcfq" }"z"1"c"≤"z"≤"dÄ" ]c."d_""

Kphkpkvq"cdkgtvq"c"k|swkgtfc"

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Kphkpkvq"egttcfq"c"k|swkgtfc"

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47"

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" c+" ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛5"".

6

7" " " d+"*−∞."−3_" " " e+"*−9."−4_" "

" f+" ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∞".5

6" " " g+" ⎟

⎠

⎞⎢⎣

⎡−4

3".

4

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5+c+ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ << 5z

6

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f+"⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ >

5

6z"1"z " """"""" " g+"

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ <≤−

4

3z

4

7"1"z h+"}"z"1"6""≤""z""≤"";Ä"

"

"Xcnqt"cduqnwvq"Gp"nc"ukiwkgpvg"itâhkec."nqu"pûogtqu"−5"{"5"tgrtgugpvcp"ncu"eqqtfgpcfcu"fg"fqu"rwpvqu"fkuvkpvqu"gp"nc"tgevc"pwoêtkec0"Ukp"godctiq."codqu"guvâp"ukvwcfqu"c"nc"okuoc"fkuvcpekc"fgn"20""

"Gn" rwpvq" eqttgurqpfkgpvg" c" −5" guvâ" ukvwcfq" c" nc" k|swkgtfc" fgn" 2" c" nc" okuoc"fkuvcpekc" swg" gn" rwpvq" eqttgurqpfkgpvg" c" 5" swg" ug" gpewgpvtc" ukvwcfq" c" nc"fgtgejc0""Guvq"ug"kpfkec"eqp"nc"pqvcekôp"xcnqt"cduqnwvq<""

⏐−5⏐="5<"xcnqt"cduqnwvq"fg"−5"gu"50""

" " ⏐5⏐="5<"xcnqt"cduqnwvq"fg"5"gu"50"


48"

Uk" c" gu" wp" pûogtq" tgcn" gpvqpegu" c" gu" nc" eqqtfgpcfc" q" cduekuc" fgn" rwpvq" C"uqdtg" nc" tgevc" tgcn" q" pwoêtkec0"Gn" uîodqnq"⏐c⏐" kpfkec" gn" pûogtq" fg" wpkfcfgu"gpvtg"gn"rwpvq"C"{"gn"qtkigp0"Gn"pûogtq"⏐c⏐."pq"pgicvkxq."ug"nncoc"xcnqt"cduqnwvq"fg"c0"""

"Rctc"wp"pûogtq"rqukvkxq"c"tguwnvc"swg"uw"xcnqt"cduqnwvq"eqkpekfg"eqp"ên"okgpvtcu"swg" uk" gn" pûogtq" gu" pgicvkxq" uw" xcnqt" cduqnwvq" gu" gn" qrwguvq" fg" c0" Cfgoâu"eqoq"2"gu"gn"qtkigp"gu"gxkfgpvg"swg"⏐2⏐"="20""Fgufg" gn" rwpvq" fg" xkuvc" igqoêvtkeq" gn" xcnqt" cduqnwvq" fg" wp" pûogtq" gu" nc"fkuvcpekc"gpvtg"gn"rwpvq"{"gn"qtkigp0""Fgufg"gn"rwpvq"fg"xkuvc"cnigdtckeq."ug"fghkpg"gn"xcnqt"cduqnwvq"fg"wp"pûogtq"fg"

nc"ukiwkgpvg"ocpgtc<""⏐c⏐= ⎩⎨⎧−

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"Gn"xcnqt"cduqnwvq"fg"vqfq"pûogtq"tgcn"gu"wp"pûogtq"pq"pgicvkxq0"

Gp"uîodqnqu<"" 2"c"<T""c ≥∈∀ """

"

Rtqrkgfcfgu"fgn"xcnqt"cduqnwvq"•" ⏐c0d⏐"="⏐c⏐0⏐d⏐."∀"c"∈"T."∀"d"∈"T"

•" ""d"

"c""d

c" = ."∀"c"∈"T."∀"d"∈"T"∧"d"≠"2"

•" ⏐c"-"d⏐"≤"⏐c⏐-⏐d⏐."∀"c"∈"T."∀"d"∈"T"*fgukiwcnfcf"vtkcpiwnct+"•" ∀c"<"⏐c⏐"="⏐−c⏐"

"


Distancia entre dos puntos El concepto de valor absoluto permite definir la distancia entre dos puntos

cualesquiera de la recta real. Por ejemplo, la distancia entre los puntos de

abscisas 3 y 8, es 5.

Esta distancia se obtiene al restar las coordenadas de los puntos: 8 − 3 = 5.

Utilizando valor absoluto ⏐8 − 3⏐ = 5. Como ⏐3 − 8⏐ también es 5, se concluye

que no importa el orden en el que se realice la resta.

De la misma manera si se desea determinar la distancia entre los puntos de

abscisas −2 y 5:

⏐5 − (−2)⏐ = ⏐5 + 2⏐ = ⏐7⏐ = 7

⏐ −2 − 5)⏐ = ⏐−7⏐ = 7

Para calcular la distancia entre dos puntos ubicados a la izquierda del origen, se

obtiene:

⏐−3−(−2)⏐ = ⏐−3+2⏐ = ⏐−1⏐ = 1

⏐−2−(−3)⏐ = ⏐−2+3⏐ = ⏐1⏐ = 1

Definición. Sean a y b las coordenadas o abscisas de los puntos A y B sobre la

recta real. La distancia entre ellos está dada por d(A, B) = ⏐a − b⏐ = ⏐b − a⏐

Se puede observar que la distancia entre el origen O y el punto A está dada por:

d(A, 0) = ⏐a − 0⏐ = ⏐0 − a⏐ = ⏐a⏐

El concepto de valor absoluto de un número se emplea en algunas definiciones

importantes en el estudio del Cálculo. Se resolverán ecuaciones e inecuaciones

en las que interviene dicho concepto.

Ejemplos. Determine él o los valores de x que verifican cada igualdad o

desigualdad:

27


• ⏐x⏐ = 3

Desde el punto de vista geométrico ⏐x⏐ = 3 significa que la distancia del o los

valores de x al cero debe ser tres. De aquí resulta que las soluciones de esta

ecuación son x = 3 y x = −3.

S = {3 ; –3}

•⏐x⏐ < 3

En este ejemplo se deben considerar todos los números que distan del origen

menos de tres unidades.

La solución de la inecuación son todos los números reales entre −3 y 3, es decir,

−3 < x < 3.

Resulta el intervalo abierto (−3, 3).

S = {x / −3 < x < 3} = (−3, 3)

• ⏐x⏐ ≤ 3

Los valores de x que satisfacen la desigualdad son todos los que se encuentran

a una distancia del cero menor o igual a tres. Por lo tanto el conjunto solución

está formado por –3, 3 y todos los números reales comprendidos entre ellos.

Resulta el intervalo cerrado [−3, 3].

S = { x / −3 ≤ x ≤ 3} = [−3, 3]

•⏐x⏐ > 3

Realizando el mismo análisis que en los ejemplos anteriores, resulta que los

valores de x que verifican la desigualdad son aquellos que están a más de 3

unidades del origen. La solución es el conjunto de los números reales mayores

que 3 o menores que −3. La solución se puede escribir como unión de dos

intervalos abiertos: (−∞, −3) ∪ (3, ∞).

S = { x / x < −3 ó x > 3} = (−∞, −3) ∪ (3, ∞).

• ⏐x⏐ ≥ 3

La solución es el conjunto de números reales mayores o iguales que 3 ó

menores o iguales que −3.

Así, ⏐x⏐ ≥ 3 ⇔ x ≤ −3 ó x ≥ 3.

Utilizando la notación de intervalos podemos escribir (−∞, −3] ∪ [3, ∞).

S = { x / x ≤ −3 ó x ≥ 3} = (−∞, −3] ∪ [3, ∞)

28


Resumiendo todas las situaciones en un mismo gráfico resulta:

De estos ejemplos se deducen las siguientes propiedades:

Propiedad 1. Sea k ∈ R tal que k > 0, ⏐a⏐= k ⇔ a = k ó a = −k.

Propiedad 2. ⏐a⏐ < k ⇔ −k < a < k

Esta propiedad también es válida al considerar la desigualdad “≤ “

⏐a⏐≤ k ⇔ −k ≤ a ≤ k

Propiedad 3. ⏐a⏐ > k ⇔ a < −k ó a > k

También vale para “≥“

⏐a⏐≥ k ⇔ a ≤ −k ó a ≥ k.

Ejemplos. Resuelva las siguientes igualdades y desigualdades.

• ⏐x − 2⏐ = 8

Por propiedad 1 puede ocurrir que x − 2 = 8 ó x − 2 = −8 y resulta que x = 10

ó x = −6.

Desde el punto de vista geométrico los

puntos de abscisas 10 y −6 están

ubicados a 8 unidades de 2.

• ⏐x − 3⏐≤ 7

Teniendo en cuenta la propiedad 2:

−7 ≤ x − 3 ≤ 7 ⇒ −7 + 3 ≤ x ≤ 7 + 3 ⇒ −4 ≤ x ≤ 10

La solución es el intervalo cerrado [−4, 10]. Geométricamente representa el

conjunto de puntos de la recta cuya distancia a 3 es menor o igual que 7.

• ⏐x + 4⏐ > 5

29


Según la propiedad 3 resulta: x + 4 > 5 ó x + 4 < −5

x > 1 ó x < −9

Geométricamente representa el conjunto de puntos de la recta cuya distancia a

−4 es mayor que 5. La solución está representada por la unión de los intervalos

abiertos: (−∞, −9) ∪ (1,∞).

• 0 <⏐x − 5⏐< 3

Debemos encontrar los valores de x que verifican al mismo tiempo⏐x − 5⏐< 3 y

⏐x − 5⏐> 0.

La primera desigualdad implica:

− 3 < x − 5 < 3 ⇒ − 3 + 5 < x < 3 + 5 ⇒ 2 < x < 8

Además se debe verificar que 0 < ⏐x − 5⏐. Como el valor absoluto es siempre

positivo o nulo, los únicos valores de x que no verifican la desigualdad anterior

son los que anulan ⏐x − 5⏐.

Resolver⏐x − 5⏐> 0 es equivalente a resolver ⏐x − 5⏐ ≠ 0, de donde, x ≠ 5.

La solución es la unión de dos intervalos (2, 5) ∪ (5, 8). Geométricamente

representa el conjunto de puntos de la recta cuya distancia al 5 es menor que 3

pero distinta a 0.

Ejemplo. Sea el conjunto C = {x / x ∈ R ∧ ⏐3x − (x − 6)⏐≤ 5}. Grafíquelo e

indique el intervalo que determina.

Aplicando la propiedad ⏐a⏐ < k ⇔ −k < a < k y resolviendo se obtiene:

−5 ≤ 3x − (x − 6) ≤ 5 ⇒ −5 ≤ 3x − x + 6 ≤ 5 ⇒ −5 ≤ 2x + 6 ≤ 5 ⇒

−5 − 6 ≤ 2x ≤ 5 − 6 ⇒ −11 ≤ 2x ≤ −1 ⇒ 2

1 x

2

11−≤≤−

La solución es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre

2

11− y

2

1− , incluidos los extremos que representa el intervalo cerrado

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−2

1 ,

2

11.

Su gráfica es:

Ejemplo. Sea el conjunto F = {x / x ∈ R ∧ ⏐3x − (m − x)⏐< 3}. Determine el valor

de m para que resulte el conjunto de todos los números reales que están a

menos de 4

3 unidades de distancia de −

2

1.

30


Representando gráficamente todos los valores de x que están a menos de 4

3

unidades de distancia de −2

1 resulta el intervalo ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−4

1 ,

4

5, o sea

4

1x

4

5<<− .

Para encontrar el valor de m, se resuelve la desigualdad:

⏐3x − m + x⏐< 3 ⇒ ⏐4x − m⏐< 3

Sacando factor común 4 y aplicando las propiedades del valor absoluto:

34

mx4 <− ⇒

4

3

4

mx <−

Por lo tanto 2

1

4

m−= ⇒ m = −2.

O también: ⏐3x − m + x⏐< 3 ⇒ ⏐4x − m⏐< 3 ⇒ −3 < 4x − m < 3 ⇒

⇒ 4

m3x

4

m3 +<<

+−

Por lo tanto debe verificarse 4

m3 +− =

4

5− y

4

m3 + =

4

1.

Resolviendo la primera se obtiene:

4

m3 +− =

4

5− ⇒ −3 + m = − 5 ⇒ m = −5 + 3 ⇒ m = −2.

Este valor de m verifica la otra igualdad, por lo tanto para que el conjunto F

represente el conjunto pedido, m = −2.

Ejemplo. Sea el conjunto D = {x / x ∈ R ∧ 0 <⏐(x − 1).2 − x⏐< 4}. Grafíquelo e

indique el o los intervalos que determina.

Si 0 <⏐(x − 1).2 − x⏐< 4 ⇒ 0 <⏐2x – 2 – x⏐< 4 ⇒ 0 <⏐x – 2⏐< 4.

Para resolver esta desigualdad se debe tener en cuenta que ⏐x − 2⏐< 4 y a la

vez ⏐x − 2⏐> 0. De acuerdo a la propiedad 2 de valor absoluto resulta:

⏐x − 2⏐< 4 ⇒ −4 < x −2 < 4 ⇒ −4 + 2 < x < 4 + 2 ⇒ −2 < x < 6

La desigualdad ⏐x − 2⏐> 0 se verifica para todo valor real de x excepto para el

que la diferencia x − 2 es nula.

La inecuación ⏐x − 2⏐> 0 es equivalente a x − 2 ≠ 0.

La solución es el conjunto de los números reales excepto el valor 2 (x ≠ 2).

Teniendo en cuenta las soluciones obtenidas de ambas desigualdades, se

puede decir que el conjunto solución está formado por todos los números reales

comprendidos entre –2 y 6 excepto 2 que se puede expresar como la unión de

dos intervalos, (−2, 2) ∪ (2, 6).

31


Ejemplo. Encuentre el valor de m de manera tal que la desigualdad

0 < ⏐x + 2m⏐ < −8m tenga como solución a (–3, 1) ∪ (1, 5).

Los números reales pertenecientes a (–3, 1) ∪ (1, 5) son los que verifican

−3 < x < 5 y x ≠ 1.

La expresión ⏐x + 2m⏐ < −8m se verifica para todos los valores de x que están a

una distancia menor que −8m de −2m. Por lo tanto −2m = 1 y −8m = 4, de

donde resulta m = 2

1− .

También se puede encontrar el valor de m resolviendo la desigualdad dada.

A partir de⏐x + 2m⏐ < −8m se obtiene:

8m < x + 2m < −8m ⇒ 8m − 2m < x < −8m − 2m ⇒ 6m < x < −10m

Además, de la expresión ⏐x + 2m⏐ > 0, se deduce: x + 2m ≠ 0 ⇒ x ≠ −2m

Comparando las desigualdades, se debe cumplir que: 6m = −3 y −10m = 5, de

donde m = 2

1− .

Se verifica además que para m = 2

1− el valor de x resulta distinto de 1.

EJERCICIOS 1) Usando el concepto de valor absoluto defina cada intervalo (o par de

intervalos) sobre la recta real:

a) b)

c) d)

2) Escriba como intervalo o unión de intervalos las siguientes expresiones.

Interprete gráficamente.

a) ⏐x + 1⏐ ≤ 3 b) ⏐x − 1⏐ ≥ 2

c) 0 < ⏐x − 2⏐ < 5 d) ⏐x⏐ < 4

3) Escriba los siguientes intervalos o unión de intervalos como desigualdades

utilizando notación de valor absoluto. Represente sobre la recta real.

a) (4, 10) b) (−7, −5) ∪ (−5, −3)

c) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∪⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2

9,44,

2

7 d) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

4

5,

4

11

RESPUESTAS 1)a) ⏐x − 1⏐ < 3 b) ⏐x⏐ ≥ 1 c) 0 < ⏐x − 5⏐ < 2 d) ⏐x + 1⏐ > 2

2)a) [−4, 2] b) (−∞,−1] ∪ [3, ∞)

32


c) (−3, 2) ∪ (2, 7) d) (−4, 4)

3)a) | x – 7 | < 3 b) 0 < | x + 5 | < 2

c) 2

14x0 <−< d)

4

32x <+

EJERCICIOS INTEGRADORES 1.2 NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL

1) Use el concepto de valor absoluto para definir cada intervalo (o par de

intervalos) sobre la recta real.

a) b)

c) d)

e) Todos los números que distan por lo menos 8 unidades del 5.

f) Todos los números que distan a lo sumo 5 unidades del 11.

2) Complete el siguiente cuadro:

Notación Conjuntista

Intervalo

Gráfica

a ⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤

2

5x/x

b (−2, 1]

c ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ <−

2

12x/x

d

3) Escriba como intervalo los conjuntos:

a) { }53x2 / xS <−= b) { }31x / xE >−=

4) Encuentre el valor de m para que los valores de x que verifican |2(x + m)| < 5

pertenezcan al intervalo (−4, 1).

5) Halle el valor positivo de a de manera tal que los valores de x que verifican

|ax − 8| < 2 representen todos los números que se encuentran a menos de una

unidad de distancia de 4.

33


PRUEBA DE OPCIÓN MÚLTIPLE 1) La notación conjuntista del intervalo (–2, 1] es:

a) {x/ x > –2 ∨ x ≤ 1} b) {x/ x ≥ –2 ∧ x < 1}

c) {x/ x > –2 ∧ x ≤ 1} d) {x/ –2 < x < 1}

2) El intervalo real (–2, ∞) puede escribirse:

a) {x/ x < –2} b) {x/ x > –2} c) {x/ x ≤ –2} d) {x/⏐x⏐> –2}

3) El conjunto {x/⏐x⏐< 5} corresponde al intervalo:

a) [–5, 5] b) (–5, 5)

c) (–∞, –5) ∪ (5, ∞) d) (–5, 5]

4) Un intervalo semiabierto a izquierda es:

a) (–2, 3] b) (–2, 3) c) [–2, 3) d) [–2, 3]

5) La interpretación gráfica del intervalo real {x/ −1 ≤ x < 3} es: a) b)

c) d)

6) La solución de la inecuación ⏐x – 2⏐ ≤ 3 es el conjunto de los números reales

x tales que:

a) –5 ≤ x ≤ 1 b) x ≤ –1 ∨ x ≥ 5

c) –1 ≤ x ≤ 5 d) x < –1 ∨ x > 5

7) La expresión ⏐x − 2⏐ < 3 indica todos lo números reales que se encuentran a:

a) más de 3 unidades del 2 en la recta numérica

b) menos de 2 unidades del 3 en la recta numérica

c) menos de 3 unidades del 2 en la recta numérica

d) más de 2 unidades del 3 en la recta numérica

8) La expresión ⏐x + 5⏐ > 2 indica todos lo números reales que se encuentran a:

a) menos de 2 unidades del −5 en la recta numérica

b) más de 2 unidades del −5 en la recta numérica

c) más de 5 unidades del 2 en la recta numérica

d) menos de 5 unidades del 2 en la recta numérica

9) El conjunto A = {x/ 2 < x < 6 ∧ x ≠ 4} se puede escribir como:

a) ⏐x − 4⏐ < 2 b) 0 < ⏐x − 4⏐ < 2

c) 0 < ⏐x − 2⏐ < 4 d) 0 < ⏐x + 4⏐ < 2

10) El conjunto B = {x/ 1 < x ≤ 5} se puede expresar:

a) [1, 5] b) (1, 5) c) [1, 5) d) (1, 5]

11) La gráfica dada representa:

a) (−2,4) b) [−2, 4] c) (−2, 1) ∪ (1, 4) d) (−2, 4]

12) Para que la expresión ⏐x + a⏐ < m represente el intervalo (−2, 8) debe ser:

a) a = 3; m = 5 b) a = −3; m = 5

c) a = 5; m = 3 d) a = −5; m = 3

34


13) La gráfica representa:

a) (−2, 1) ∪ (1, 4] b) (−2, 1] ∪ (1, 4) c) (−2, 1) ∪ (1, 4) d) (−2, 4)

14) La gráfica del conjunto solución de la desigualdad ⏐4x + 2⏐ ≥ 10 es:

a) b)

c) d)

15) La notación conjuntista de ⏐x − b⏐ < k es:

a) {x/ b − k ≤ x ≤ b + k} b) {x/ b − k < x < b + k}

c) {x/ x/ b − k < x ≤ b + k } d) {x/ k − b ≤ x ≤ k + b} 16) La gráfica representa:

a) todos los números reales que se encuentran a menos de 3 unidades

del 1

b) todos los números reales que se encuentran a más de 3 unidades del 1

c) todos los números reales que se encuentran a 3 o menos de 3

unidades del 1

d) todos los números reales que se encuentran a 3 o más de 3 unidades

del 1

AUTOEVALUACIÓN 1) Escriba como intervalo los siguientes conjuntos de números reales:

a) A = {x / −1 < x < 5} b) B = {x / ⏐x + 1⏐ ≤ 4}

c) C = {x / −1 < x < 5 ∧ x ≠ 2} d) D = {x / ⏐x − 1⏐ > 4}

e) E = {x / x2 + 2x > 3} f) F = {x / x

2 + 2x ≤ 3}

2) Encuentre el valor de k (k > 1) de modo que la expresión ⏐kx − (x + 1)⏐ < 3

represente el intervalo (−2, 4).

3) Sea el conjunto A = {x / x ∈ R ∧ ⏐2.(1+ x) + m⏐ ≤ 3} . Determine el valor de m

para que represente el intervalo [−2 , 1]. 4)a) Utilice el concepto de valor absoluto para expresar simbólicamente “todos

los números reales que distan como mínimo 3 unidades del −2.”

b) Halle todos los valores de x reales que verifican esta afirmación.

c) Escriba la solución en notación conjuntista y como intervalo. 5)a) Exprese en lenguaje coloquial la expresión ⏐x − 4⏐ < 5.

b) Escriba la solución en notación conjuntista y como intervalo. EJERCICIOS DE REPASO

1) Exprese en notación conjuntista e interprete gráficamente sobre la recta real

los siguientes intervalos:

35


a) [ ]4 ,3 b) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−2

7 1, c) ( −4, −1) d) [2, ∞) e) (−∞, −4)

2) Escriba como intervalo o unión de intervalos los siguientes conjuntos de

números reales:

a) A = {x / 2 ≤ x ≤ 4} b) B = {x / x > −1 ∧ x ≤ 3}

c) C = {x / −7 ≤ x < −2} d) D = {x/ −1 < x < 3}

e) F = {x / −3 < x < 1 ∧ x ≠ −1} f) G = {x / −3 < x < −1}

g) H = {x / ⏐x − 2⏐ < 5} h) M = {x / ⏐x + 2⏐≤ 3}

i) N = { x / 0 < ⏐x − 3⏐ < 1} j) P = {x / 0 < ⏐x + 4⏐ < 2}

k) O = {x / x2 − 4x + 2 < 2} l) Q = {x / x

2 − 4x + 2 > 2}

3) Halle los valores de x que verifican 0 < ⏐2(x − 3⏐ < 6. Escriba el resultado

como intervalo.

4) Determine los valores de x que satisfacen 0 < ⏐2x + 1⏐ < 1. 5) Calcule el valor de k > 0, de manera tal que la solución de

⏐3 + (2kx + 1) − kx⏐< 3 resulte el conjunto de todos los números reales que

están a menos de 2

3 unidades de –2.

6) Complete:

Notación Conjuntista Intervalo Gráfica

a) {x/ −1 ≤ x < 4}

b) (5, 9)

c) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<− 22

1x /x

d) (−2, 1) ∪ (1, 4)

e)

36


2. LÍMITE DE FUNCIONES

2.1 Noción intuitiva de límite.

2.2 Definición de límite de una función y propiedades.

2.3 Límites infinitos y límites en el infinito.

2.4 Límites indeterminados.

“Tal es la ventaja de un lenguaje bien construido que simplifique la notación que a menudo se convierte en una fuente de profundas teorías.”

P. S. Laplace


El límite de una función es uno de los conceptos más importantes del cálculo y

es imprescindible para dar solución a problemas tales como:

• calcular la razón de cambio instantánea entre dos magnitudes.

• hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en

un punto determinado de la misma.

• determinar el área limitada por una curva.

Con el desarrollo de los diferentes contenidos nos proponemos como objetivos:

• Comprender la noción intuitiva de límite.

• Visualizar, a partir de la representación gráfica de una función, la existencia o

no del límite.

• Definir límite. • Calcular límites aplicando métodos algebraicos. • Aplicar las propiedades de los límites en el cálculo de los mismos. • Hallar límites infinitos. El concepto de límite se presenta primero de manera intuitiva y luego

formalmente.

2.1 Noción intuitiva de límite Actividad de reflexión.

Dada la función f : R → R / f(x) = x2 − 3x. Complete la siguiente tabla calculando

las imágenes de los valores de x considerados menores y mayores que −1.

x −1,01 −1,001 −1,0001 ... −1 … −0,9999 −0,999 −0,99

f(x) ... ...

¿Qué puede observar? Represente gráficamente la función dada. A partir de los

resultados de la tabla y del análisis de la gráfica, analice el comportamiento de

la función cuando x se aproxima a −1.

¿Es posible calcular el valor de la función directamente en x = −1 y evitar la

construcción de la tabla?

Se observa que cuando x se aproxima a −1 por valores menores que él, los

valores de la función se aproximan a 4. De la misma manera, cuando se eligen

valores de x que se aproximan a −1 por valores mayores que él, la función se

aproxima a 4.

Los valores de la función están próximos a 4 para valores de x suficientemente

cercanos a −1. No interesa el valor de la función cuando x es igual a –1.

38


Este comportamiento de la función

puede observarse gráficamente:

Todo lo anterior puede expresarse de la siguiente manera: “el límite de la

función (x2 − 3x) es 4 cuando x tiende a −1.”

Simbólicamente: ( ) 4x3xlím 2

1x=−

−→.

En este ejemplo se puede calcular la imagen de la función en x = −1.

f(−1) = (−1)2

− 3.(−1) = 4, valor que coincide con el límite, pero esto no sucede

para todas las funciones.

Actividad de reflexión.

Sea la función f(x) = 1x

3x3 2

−−

cuyo dominio es D = {x / x ∈ R ∧ x ≠ 1}. ¿A qué

valor se acerca f(x) cuando x se aproxima a 1?

Complete las siguientes tablas y corrobore lo hallado observando la

representación gráfica de la función.

x < 1 x > 1

x f(x) x f(x)

0,9 1,1

0,95 1,05

0,99 1,01

0,995 1,005

0,999 1,001

Si completó las tablas seguramente pudo observar que cuando x se acerca a 1

por derecha o izquierda, los valores de la función se aproximan a seis

(tienden a 6).

Esto se expresa de la siguiente manera: = 6 y se lee: "límite de la

función f(x) cuando x tiende a 1 es igual a 6”.

)x(flím1x→

39


La función no está definida en x = 1, pero sin embargo, cuando x toma valores

cada vez más próximos a uno, tanto por izquierda como por derecha, el valor al

que tiende la función es seis.

¿Coinciden estas observaciones con sus respuestas? ¿Lo puede corroborar

gráficamente?

Definición. El límite de la función f(x) cuando x tiende al número real “a” es igual

al número real L si al aproximarse x a "a" por la izquierda y por la derecha,

siendo x ≠ a, resulta que f(x) se aproxima o incluso es igual a L. Se

escribe: Lf(x)límax

=→

.

La frase “por la izquierda y por la derecha” de la definición anterior es muy

importante. La notación se utiliza para indicar el límite lateral por

derecha y expresa el valor al que se aproxima f(x) cuando x tiende a a tomando

valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha. La

notación se utiliza para indicar el límite lateral por izquierda y expresa

el valor al que se aproxima f(x) cuando x tiende a a tomando valores menores

que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.

)f(xlím

a x+→

)f(xlím

a x −→

Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y ser

iguales.

En la función analizada:

• El número al cual tiende f(x) cuando x se aproxima a 1 por la izquierda se

llama límite lateral por izquierda. Simbólicamente se escribe: = 6. )x(flím1 x−→

• El número al cual tiende f(x) cuando x se aproxima a 1 por la derecha se llama

límite lateral por derecha. Simbólicamente se escribe: = 6. )x(flím

1 x +→

• Como ambos límites laterales son iguales se expresa: = 6. )x(flím1x→

Recuerde. Una función puede tener límite en un punto y no estar definida en ese

punto. Nota. La definición de límite es intuitiva y no es precisa. La frase “se aproxima”

no tiene un significado concreto, sino que depende del contexto. Para un

mecánico que fabrica un pistón, cerca puede significar milésimas de centímetro.

Para un astrónomo que estudia galaxias, cerca puede significar años luz. Sin

embargo la definición estudiada resulta suficiente para evaluar límites de

funciones específicas.

40


Ejemplo. Sea la función f : R → R definida por f(x) = . Grafíquela y

determine los límites cuando x → 0

⎪⎩

⎪⎨⎧

>=

−

0 x si 1

0 xsi 0

0 < xsi 1

+ y x → 0

− . Extraiga conclusiones.

Observando la gráfica se concluye que:

• cuando x se acerca a 0 por derecha, es decir, por valores mayores que él, las

imágenes tienden a 1.

Entonces: 1)x(flím0x

=+→

.

• si x se acerca a 0 por números

menores que él, es decir, por izquierda,

las imágenes tienden a −1.

Entonces = −1. f(x) lím0x −→

Como los límites laterales son distintos, no existe el límite de f(x) para x → 0.

Ejemplo. Sea la función g : R − {2} → R / x → . Grafique la

función, halle los límites cuando x → 2

⎩⎨⎧

>−<−

2 xsix 3

2 xsi 1x

+ , x → 2

− y extraiga conclusiones.

La gráfica de la función es:

Cuando x se aproxima a 2 por valores

menores, es decir por la izquierda, lo

que corresponde al primer tramo de la

función, las imágenes tienden a 1.

Entonces: ( ) 11xlím2x

=−−→

Cuando x se aproxima a 2 por valores mayores, es decir por la derecha, lo que

corresponde al segundo tramo de la función, las imágenes también tienden a 1.

Entonces: ( ) 1x3lím2x

=−+→

Como los límites laterales existen y son iguales .1)x(glím2x

=→

Ejemplo. Sea la función h : R → R / h(x) = . Grafique la

función y determine la imagen del 1 y los límites cuando x → 1

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−=<−

1 xsi 22x

1 xsi 3

1 xsi x1 2

+ y x → 1

−.

En la gráfica se observa que la imagen del 1 es 3, es decir, h(1) = 3.

Observando la gráfica, a medida que x se aproxima a 1 por la izquierda, la

función se acerca a 0. Lo mismo ocurre cuando x se acerca a 1 por derecha.

41


Luego, ( ) 0x1lím 2

1x

=−−→

y ( ) 02x2lím1x

=−+→

.

Como los límites laterales existen y son

iguales, se concluye que: . 0)x(hlím1x

=→

Ejemplo. Sea la función m : R → R / m(x) = . Grafique la

función y halle la imagen del 3 y los límites cuando x → 3

⎩⎨⎧

>≤+

3 xsi 5

3 xsix 2

+ y x → 3

−.

La imagen de 3 es: m(3) = 2 + 3 = 5.

Observando la gráfica, cuando x se

aproxima a 3 por izquierda, las

imágenes tienden a 5. Lo mismo

ocurre cuando x se acerca a 3 por

derecha.

Entonces, 5)x(mlím3x

=−→

y 5)x(mlím3x

=+→

Como los límites laterales existen y son iguales, se concluye que . 5)x(mlím3x

=→

Resumen. El límite de una función en un punto puede o no existir. Si existe, su

valor es independiente de lo que ocurre con la función en el punto. En las

siguientes tablas se analizan distintas situaciones:

• L)x(flímax

=→

• la función no está definida en a,

a ∉ Df

• L)x(flím

ax=

→

• la función está definida en a, existe

f(a).

• )a(f)x(flímax

≠→

42


• L)x(flímax

=→


f(a).

• )a(f)x(flímax

=→

En estos ejemplos se observa que el

límite de la función f(x) cuando x tiende

a “a” es el número L indepen-

dientemente del comportamiento de la

función en el punto.

• no existe )x(flím

ax→

• la función está definida en a,

existe f(a) = −

L

• no existe )x(flím

ax→

• la función no está definida en a,

a ∉ Df.

• no existe )x(flímax→


f(a).

En estos ejemplos se observa que a

medida que x se aproxima a “a” por

izquierda y por derecha los valores de

f(x) no se aproximan a un mismo valor

determinado. Independientemente del

comportamiento de la función en el

punto, no existe el límite de f(x) cuando

x tiende a “a”.

43


Actividades de reflexión.

1) Con respecto a la afirmación: “Se puede pensar en el límite de f(x) cuando x

se acerca hacia a, como si fuera f(a)”. Critíquela. ¿Qué significa? ¿Hay algo

confuso en ella? Rescríbala de manera de describir de mejor manera lo que es

el límite.

2) Compare la afirmación del ejercicio anterior con la siguiente: “El límite es una

predicción de lo que será f(a)”.

3) Analice a través de sus gráficas funciones donde se resuman las siguientes

situaciones: el límite de una función en un punto puede o no existir; si existe, su

valor es independiente de lo que ocurre con la función en el punto.

EJERCICIO

Observe las funciones definidas gráficamente y calcule, si existen, los límites

pedidos para cada una:

a) b) c)

)x(flím2x +→

)x(glím1x +→

)x(hlím3x +−→

)x(flím2x −→

)x(glím1x −→

)x(hlím3x −−→

)x(flím2x→

)x(glím1x→

)x(hlím3x −→

RESPUESTAS a) 3 =

+→)x(flím

2x

=−→

)x(flím2x

1 no existe )x(flím2x→

b) 3 =+→

)x(glím1x

=−→

)x(glím1x

3 =→

)x(glím1x

3

c) =+−→

)x(hlím3x

4 =−−→

)x(hlím3x

2 no existe )x(hlím3x −→

2.2 Definición de límite de una función y propiedades Para llegar a una definición formal del concepto de límite se retoma el ejemplo

en el que, dada la función f(x) = 1x

3x3 2

−−

con dominio D = {x / x ∈ R ∧ x ≠ 1}, se

obtuvo que = 6. )x(flím1x→

44


Para profundizar el significado de la expresión f(x) tiende a 6 cuando x tiende a

1, se estudiará el comportamiento de las distancias entre x y 1 y entre f(x) y 6.

Se agregan a las tablas confeccionadas anteriormente dos columnas

encabezadas por: 6f(x) y 1x −− .

x < 1 x > 1

x f(x) 1x − 6)x(f − x f(x) 1x − 6)x(f −

0,9 5,7 0,1 0,3 1,1 6,3 0,1 0,3

0,95 5,85 0,05 0,15 1,05 6,15 0,05 0,15

0,99 5,97 0,01 0,03 1,01 6,03 0,01 0,03

0,995 5,985 0,005 0,015 1,005 6,015 0,005 0,015

0,999 5,997 0,001 0,003 1,001 6,003 0,001 0,003

Observando las tablas surge que cuando la función f(x) difiere de 6 en ±0,3, x

difiere de 1 en ±0,1, y cuando la función difiere de 6 en ±0,003, x difiere de 1 en

±0,001. Esto puede expresarse de otro modo diciendo que los valores de f

pueden hacerse tan próximos a 6 como se quiera, tomando x suficientemente

próximo a 1.

Más precisamente, puede hacerse el valor absoluto de la diferencia 6)x(f −

tan pequeño como se quiera, tomando suficientemente pequeño el valor

absoluto de la diferencia, 1x − .

Por ejemplo, si se desea que 6)x(f − < 0,45 se debe tener en cuenta:

6)x(f − = 61x

)1x()1x(36

1x

)1x(36

1x

3x3 22

−−

+−=−

−−

=−−

−

6)x(f − = 1x 3 )1x(3 3x3 63x3 −=−=−=−+

6)x(f − = 3 1x 45,0 1x −⇒<− < 0,15

De esta manera, para que 6)x(f − < 0,45 bastará con tomar:

15,0 1x <− siendo x ≠ 1.

Así se ha probado que 45,0 6)x(f <− siempre que 15,0 1x 1x <−∧≠ ; o

bien, expresado de otra manera:

)45,06 ; 45,06()x(f +−∈ siempre que 0,15)+1 ; 0,151(x 1 x −∈∧≠ .

Resulta útil visualizar gráficamente esta situación. Para ello, se debe tener en

cuenta que, si x ≠ 1, x − 1 ≠ 0 ⇒ f(x) = 3x31x

)1x)(1x(3

1x

3x3 2

+=−

+−=

−−

.

De esta manera, la gráfica de la función f(x) = 1x

3x3 2

−−

es la recta y = 3x + 3

excluido el punto (1, 4) pues la función no está definida para x = 1.

Observamos que 6 – 0,45 < f(x) < 6 + 0,45 cuando 1 – 0,15 < x < 1 + 0,15

siendo x ≠ 1.

45


La parte de gráfica encerrada entre las rectas verticales x = 0,85 y x = 1,15

también queda encerrada entre las rectas horizontales y = 5,55 e y = 6,45.

El procedimiento realizado podría repetirse fijando otros valores para ⏐f(x) − 6⏐.

A esos valores (positivos) se los llama, en forma genérica, ε (épsilon) y para

cada uno de ellos se obtiene un valor δ (delta) también positivo, tal que

6 − ε < f(x) < 6+ ε siempre que 1 − δ < x < 1+ δ, x ≠ 1.

Utilizando notación de distancia: ⏐f(x) − 6⏐ < ε siempre que⏐x−1⏐ < δ y x ≠ 1

o en forma equivalente: f(x) ∈ (6 − ε, 6 + ε) siempre que x ∈ (1 − δ, 1 + δ), x ≠ 1

El significado geométrico de la

expresión = 6 analizada

puede interpretarse de la siguiente

manera: dado el par de rectas

horizontales y = 6 − ε e y = 6 + ε,

ε > 0, existe un par de rectas

verticales x = 1 − δ y x = 1 + δ, δ > 0,

tal que la parte de la gráfica de f que

está encerrada entre las rectas

verticales también queda encerrada

entre las rectas horizontales.

)x(flím1x→

Definición de límite En estos momentos estamos en condiciones de pensar en una definición formal

de límite. Revisemos lo desarrollado hasta ahora.

Sea f una función y a un número real. No se exige que f esté definida en a pero

sí en valores cercanos a “a” tanto por izquierda como por derecha (esto nos

46


garantiza que podamos hablar de f(x) para todos los valores de x ≠ a que están

suficientemente próximos a ”a”.

Sabemos que decir que L)x(flímax

=→

significa que podemos hacer que f(x) esté

tan próximo a L como queramos eligiendo x lo suficientemente cerca de a, pero

x ≠ a. Esto es, según vimos:

Enunciado informal

⏐f(x) − L⏐ puede hacerse

arbitrariamente pequeño

Enunciado considerando ε, δ

Para cada ε > 0 que se pueda elegir,

⏐f(x) − L ⏐ puede hacerse menor que ε

siempre que siempre que

⏐x − a⏐ sea suficientemente pequeño

pero distinto de cero.

⏐x − a⏐ verifique la desigualdad

0 < ⏐x − a⏐ < δ para un δ

suficientemente pequeño.

Teniendo en cuenta lo enunciado podemos ahora formular la definición de límite:

Sea f una función definida en un intervalo que contiene a “a”, excepto

posiblemente, en el propio a. Decimos que L)x(flímax

=→

si dado ε > 0 (por

pequeño que sea), existe δ > 0 tal que ⏐f(x) − L⏐ < ε para 0 < ⏐x − a⏐ < δ.

o bien:

Sea f una función definida en un intervalo que contiene a “a”, excepto

posiblemente, en el propio a. Decimos que L)x(flímax

=→

si dado ε > 0 (por

pequeño que sea), existe δ > 0 tal que ⏐f(x) − L⏐ < ε siempre que x ≠ a y

⏐x − a⏐ < δ.

En general, el valor de δ que verifica la condición de la definición depende del

valor de ε elegido previamente. Esto significa que, para cada ε que se elige,

existe un δ que le corresponde.

⇑ ⇑ ⇑ ⇑

para cada ε > 0existe un δ > 0

tal que ⏐f(x) − L ⏐< ε

siempre que

0 < ⏐x − a⏐ < δ

47


La definición establece que los valores de la función y = f(x) se aproximan al

límite L conforme x lo hace al número a si el valor absoluto de la diferencia entre

f(x) y L puede hacerse tan pequeña como se desee tomando x suficientemente

cerca de a pero no igual a “a”.

Límites laterales Como se ha visto, para que exista el límite de una función, deben existir los

límites laterales y coincidir. Definimos ahora límites laterales considerando ε y δ.

Límite lateral por izquierda Sea f una función definida al menos para valores de x menores que a.

Decimos que si dado −

−→= L)x(flím

ax

ε > 0, existe δ > 0 tal que ε<− − L f(x)

siempre que a − δ < x < a .

Límite lateral por derecha Sea f una función definida al menos para valores de x mayores que a. Decimos

que si dado ε > 0, existe δ > 0 tal que+

+→= L)x(flím

ax

ε<− +L f(x) siempre que

a < x < a + δ .

48


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6;"

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⏐*h*z+"−"N,"+"−"*h*z+"−"N+⏐"≤"⏐"h*z+"−"N⏐"-"⏐h*z+"−"N

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Ejemplo. Determine los siguientes límites:

a) 9x

5xlím2

3x −−

+→ b)

9x

5xlím2

3x −−

−→ c)

9x

5xlím23x −−

→

a) Cuando x se aproxima a 3 por derecha (es decir que x está cerca de 3 pero

es mayor que 3), el numerador es un número negativo, el denominador es un

número positivo pequeño y de este modo la expresión 9x

5x

2 −

− es un número

negativo grande. Así, de manera intuitiva se ve que el límite es −∞.

9x

5xlím2

3x −−

+→ = −∞

b) Cuando x se aproxima a 3 por izquierda (es decir, x es cercano a 3 pero

menor que 3), el numerador es un número negativo, el denominador es un

número negativo pequeño y, por lo tanto, la expresión 9x

5x

2 −

− es un número

positivo grande. Luego, el límite es +∞.

9x

5xlím2

3x −−

−→= +∞

c) Como los límites laterales no son iguales, el límite para x →3 no existe.

Límites en el infinito Discuta el comportamiento de las funciones definidas gráficamente cuando x

crece indefinidamente y cuando x decrece indefinidamente.

• Si x crece indefinidamente la

función f(x) se acerca a 0.

• Si x decrece indefinidamente,

los valores de la función se

acercan a 0.

La recta y = 0 es asíntota horizontal de la función.

60


"

83"

"

•" Uk" z" etgeg" kpfghkpkfcogpvg" nc"hwpekôp"h*z+"ug"cegtec"c"40"

•" Uk" z" fgetgeg" kpfghkpkfcogpvg."nqu" xcnqtgu" fg" nc" hwpekôp" ug"cegtecp"c"40"

"Nc" tgevc" {" =" 4" gu" cuîpvqvc"jqtk|qpvcn"fg"nc"hwpekôp0"

"

•" Uk" z" etgeg" kpfghkpkfcogpvg" nc"hwpekôp"h*z+"ug"cegtec"c"40"

•" Uk" z" fgetgeg" kpfghkpkfcogpvg."nqu" xcnqtgu" fg" nc" hwpekôp" ug"cegtecp"c""−40"

"Ncu" tgevcu" {" =" 4" g" {" =" −4" uqp"cuîpvqvcu" jqtk|qpvcngu" fg" nc"hwpekôp0"

"

•" Uk" z" etgeg" kpfghkpkfcogpvg" nc"hwpekôp"h*z+"ug"crtqzkoc"c"40"

•" Uk" z" fgetgeg" kpfghkpkfcogpvg."nqu" xcnqtgu" fg" nc" hwpekôp" ug"crtqzkocp"c""−30"

"Ncu" tgevcu" {" =" 4" g" {" =" −3" uqp"cuîpvqvcu" jqtk|qpvcngu" fg" nc"hwpekôp0"

"

Gp"gn"rtkogt"glgornq"guetkdkoqu" 2z3nîo

z3nîo

zz=−=−

−∞→+∞→0"

Tgeqtfgoqu" swg"∞" pq" tgrtgugpvc" wp" pûogtq0" Nc" gzrtgukôp" cpvgtkqt" gzrtguc"swg"gn"nîokvg"fg"h*z+"ewcpfq"z"etgeg"q"fgetgeg"kpfghkpkfcogpvg"gu"egtq0"""


"

84"

Gn" eqorqtvcokgpvq" fg" hwpekqpgu" swg" ug" crtqzkocp" c" wp" pûogtq" ewcpfq" nc"xctkcdng"etgeg"q"fgetgeg"kpfghkpkfcogpvg"*gu"fgekt."z"→"-∞"q"z"→"−∞+"ug"kpfkec"fg"nc"ukiwkgpvg"ocpgtc<""Ukodônkecogpvg"ug"guetkdg" Itâhkecogpvg<""

N+z*hnîoz

=+∞→

"rctc"kpfkect"swg"nc"

hwpekôp" vkgpfg" c" N" ewcpfq" nqu"xcnqtgu" fg" z" etgegp"kpfghkpkfcogpvg0""

""

N+z*hnîoz

=−∞→

"rctc"kpfkect"swg"nc"

hwpekôp" vkgpfg" c" N" ewcpfq" nqu"xcnqtgu" fg" z" fgetgegp"kpfghkpkfcogpvg0""

""Glgornq0"Cpcnk|cpfq"nc"itâhkec"swg"hkiwtc"c"eqpvkpwcekôp."ug"rwgfg"qdugtxct"swg"

N+z*hnîoz

=+∞→

"

""

"

Ug" vtc|c" nc" tgevc" xgtvkecn" fg"cduekuc"O." vcp"itcpfg"eqoq"ug"fgugg0""Ug"qdugtxc"swg"rctc"wp"pûogtq"

rqukvkxq" ε." gzkuvg" wp" pûogtq"rqukvkxq" O." vcn" swg" rctc"ewcnswkgt"z"@"O." nqu"tgurgevkxqu"xcnqtgu" fg" h" guvctâp" gpvtg" ncu"

tgevcu"jqtk|qpvcngu""{"="N"-"ε""g"{"="N"−"ε0"

"Hqtocnk|cpfq"nc"fghkpkekôp"fg"nîokvg"fg"wpc"hwpekôp"swg"vkgpfg"c"wp"pûogtq"hkpkvq"ewcpfq"nc"xctkcdng"kpfgrgpfkgpvg"vkgpfg"c"-∞"ô"c"−∞."tguwnvc<""Fghkpkekôp0" Ugc" N" wp" pûogtq" tgcn0" Nc" gzrtgukôp "N+z*hnîo

z=

+∞→ukipkhkec" swg"

rctc"ecfc"ε"@"2."gzkuvg"wp"O"@"2"vcn"swg"⎜h*z+"−"N⎜">"ε""ukgortg"swg"z"@"O0"""


"

85"

Fgn" okuoq"oqfq." nc" gzrtgukôp" N+z*hnîoz

=−∞→

" ukipkhkec" " swg" rctc" ecfc" ε" @" 2."

gzkuvg"wp""O">"2""vcn"swg"⎜h*z+"−"N⎜">"ε""ukgortg"swg"z">"O0""Pqvc0" Ncu" rtqrkgfcfgu" tghgtkfcu" cn" ânigdtc" fg" nîokvgu" xânkfcu" uk" ›z"→" cfi" ug"eworngp"vcodkêp"uk"›z"→"-∞fi"{"›z"→"⁄∞fi0""

Glgornq0"Ecnewng" ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

∞→ z35nîo

z0"

"

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itcpfg."z3 " rwgfg" jcegtug" vcp" rgswgòq" eqoq" swgtcoqu0" Rqt" nq" vcpvq"

2z3nîo

z=

∞→0"Rqt"qvtc"rctvg" 55nîo

z=

∞→"{"rqt"nq"vcpvq"gn"nîokvg"fg"nc"fkhgtgpekc"gu"nc"

fkhgtgpekc"fg"nqu"nîokvgu" ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

∞→ z35nîo

z"="5"⁄"2"="50"

"Rtqdngoc"

Ug" rtq{gevc" swg" fgpvtq" fg" v" còqu." nc" rqdncekôp" fg" ekgtvq" rwgdnq" ugtâ""""""

r*v+"="3v842+

− "okngu"fg"rgtuqpcu0"ÀSwê"ug"gurgtc"swg"uwegfc"eqp" nc"

rqdncekôp"c"ogfkfc"swg"gn"vkgorq"vtcpuewttg"kpfghkpkfcogpvgA"""Rctc" fgvgtokpct" gn" eqorqtvcokgpvq" fg" nc" hwpekôp" ewcpfq" gn" vkgorq" vtcpuewttg"

kpfghkpkfcogpvg."ecnewncoqu"gn"nîokvg ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

+−

+∞→ 3v842nîo

v0"

Ewcpfq"v"→-∞."vcodkêp"v"-3→"-∞"{."rqt"nq"vcpvq."3v8+

→"20"

Gp" eqpugewgpekc" ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

+−

+∞→ 3v842nîo

v" =" 420" Guvq" gzrtguc" swg" c" ogfkfc" swg" gn"

vkgorq"vtcpuewttg."nc"rqdncekôp"vkgpfg"c"guvcdknk|ctug"gp"42"222"rgtuqpcu0""Nîokvgu"kphkpkvqu"gp"gn"kphkpkvq"Owejcu" hwpekqpgu" pq" vkgpfgp" c" wp" nîokvg" hkpkvq" ewcpfq" z" etgeg" q" fgetgeg"kpfghkpkfcogpvg0" Rqt" glgornq." pkpiwpc" hwpekôp" rqnkpqokcn" vkgpg" nîokvg" hkpkvq"ewcpfq"z"vkgpfg"c"kphkpkvq0"Gp" nc" ukiwkgpvg" vcdnc" ug"rtgugpvc" gn" cpânkuku" fgn" eqorqtvcokgpvq" fg" hwpekqpgu"swg" etgegp" q" fgetgegp" kpfghkpkfcogpvg" ewcpfq" nc" xctkcdng" vcodkêp" etgeg" q"fgetgeg"ukp"vqrg0"


86"

"

"•" h*z+" etgeg" kpfghkpkfcogpvg" c"ogfkfc" swg" z" etgeg"kpfghkpkfcogpvg0"

•" h*z+" etgeg" kpfghkpkfcogpvg" c"ogfkfc" swg" z" fgetgeg"kpfghkpkfcogpvg0"

"•" h*z+" fgetgeg" kpfghkpkfcogpvg" c"ogfkfc" swg" z" etgeg"kpfghkpkfcogpvg0"

•" h*z+" fgetgeg" kpfghkpkfcogpvg" c"ogfkfc" swg" z" fgetgeg"kpfghkpkfcogpvg0"

"•" h*z+" etgeg" kpfghkpkfcogpvg" c"ogfkfc" swg" z" etgeg"kpfghkpkfcogpvg0"

•" h*z+" fgetgeg" kpfghkpkfcogpvg" c"ogfkfc" swg" z" fgetgeg"kpfghkpkfcogpvg0"

"•" h*z+" fgetgeg" kpfghkpkfcogpvg" c"ogfkfc" swg" z" etgeg"kpfghkpkfcogpvg0"

•" h*z+" etgeg" kpfghkpkfcogpvg" c"ogfkfc" swg" z" fgetgeg"kpfghkpkfcogpvg0"

"Guvcu" hwpekqpgu"rtgugpvcp"eqorqtvcokgpvqu"swg"pq"rwgfgp"fguetkdktug"eqp" nc"kfgc" {" gn" eqpegrvq" fg" nîokvg" guvwfkcfq0" Rqt" nq" vcpvq." fgdg" gzvgpfgtug" fkejq"eqpegrvq"rctc"kpvgtrtgvct"{"ukodqnk|ct"guvcu"ukvwcekqpgu0""""Ukodônkecogpvg"ug"guetkdg<" Itâhkecogpvg<"

−∞=+∞→

+z*hnîoz

" rctc" kpfkect" swg" nc" hwpekôp"

fgetgeg" kpfghkpkfcogpvg"ewcpfq"nc"xctkcdng"etgeg"kpfghkpkfcogpvg"

"


87"

+∞=−∞→

+z*hnîoz


etgeg" kpfghkpkfcogpvg" ewcpfq" nc" xctkcdng"fgetgeg"kpfghkpkfcogpvg0"

"

−∞=−∞→

+z*hnîoz


fgetgeg" kpfghkpkfcogpvg"ewcpfq"nc"xctkcdng"fgetgeg0"

"

+∞=+∞→

+z*hnîoz


etgeg" kpfghkpkfcogpvg" ewcpfq" nc" xctkcdng"etgeg0"

"Tgeqtfgoqu" swg" gp" ewcnswkgtc" fg" nqu" nîokvgu +∞=

+∞→+z*hnîo

z." −∞=

+∞→+z*hnîo

z."

+∞=−∞→

+z*hnîoz

."" −∞=−∞→

+z*hnîoz

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uqp"pûogtqu0"Gp"guvqu"ecuqu"ug"fkeg"swg"gn"nîokvg"pq"gzkuvg0"Rqt" glgornq." nc" gzrtgukôp +∞=

+∞→+z*hnîo

z" ukipkhkec" swg" uk" z"→" -∞" ." h*z+" etgeg"

kpfghkpkfcogpvg0""Ncu" fghkpkekqpgu" ukiwkgpvgu" fguetkdgp" gn" eqorqtvcokgpvq" fg" hwpekqpgu" gp" gn"kphkpkvq0"""Fghkpkekôp0" Ugc" h" wpc" hwpekôp" fghkpkfc" cn" ogpqu" gp" gn" kpvgtxcnq" *c." ∞+0" Nc"gzrtgukôp" " +∞=

+∞→+z*hnîo

z" ukipkhkec" swg" rctc" ecfc" pûogtq" P" @" 2." gzkuvg" wp"

eqttgurqpfkgpvg"O"@"2"vcn"swg"h*z+"@"P"ukgortg"swg"z"@"O0""Guvq" ukipkhkec" swg" uk" z" gu" rqukvkxq" {" itcpfg." uw" eqttgurqpfkgpvg" kocigp" h*z+"vcodkêp"gu"rqukvkxc"{"itcpfg0""Fghkpkekôp0" Ugc" h" wpc" hwpekôp" fghkpkfc" cn" ogpqu" gp" gn" kpvgtxcnq" *c." ∞+0" Nc"gzrtgukôp" " −∞=

+∞→+z*hnîo

z" ukipkhkec" swg" rctc" ecfc" pûogtq" P" >" 2." gzkuvg" wp"

eqttgurqpfkgpvg"O"@"2"vcn"swg"h*z+">"P"ukgortg"swg"z"@"O0"""Fg" nc" okuoc" ocpgtc" ug" fghkpgp" nqu" gpwpekcfqu" rctc" ncu" gzrtgukqpgu"

+∞=−∞→

+z*hnîoz

"{" −∞=−∞→

+z*hnîoz

0"


88"

Glgornq0"Fkuewvc""gn""eqorqtvcokgpvq"fg"nc""hwpekôp"{"=" 4z63 5 + "rctc"z"→"-∞"{"

rctc"z"→"−∞0"Itchkswg0"""

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3 5 + "→"-∞""0""

Ug"rwgfg"guetkdkt<"

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⎝⎛ +

+∞→4z

63nîo 5

z"

Ewcpfq""z"→"⁄"∞."z5"→"⁄"∞""{."rqt"nq"

vcpvq." 4z63 5 + "→"⁄∞"0"

Nwgiq −∞=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

−∞→4z

63nîo 5

z"

""Nîokvg"fg"wpc"hwpekôp"rqnkpqokcn"gp"gn"kphkpkvq"Gn"nîokvg"fg"wpc"hwpekôp"rqnkpqokcn"gp"gn"kphkpkvq."gu"kiwcn"cn"nîokvg"fgn"vêtokpq"fg"oc{qt"itcfq0"Fcfc"wpc"hwpekôp"rqnkpqokcn"fg"itcfq"p"@"2.""

r*z+"="c2zp"-"c3"z

p−3"-"c4zp−4"-"000-"cp."ug"eworng +z*rnîo

z ∞→"=" ( )p2

zzcnîo

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r*z+"="c2zp"-"c3"z

p−3"-"c4zp−4"-"000-"cp"=" ⎟

⎟⎠

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⎛++++

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443

2z

c000

z

c

z

cc 0"z

p""

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pp

443

2z

z"0"z

c000

z

c

z

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⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

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p

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443

2z

z"0"z

c000

z

c

z

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⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

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zpp

443

2z

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⎞⎜⎜⎝

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⎞⎜⎜⎝

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443

2z z

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z

c

z

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"

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"


89"

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zzz45nîo +−−

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="−∞0"

"

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z−

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"

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z−

∞→"=" 5

zznîo

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⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

+∞→z4znîo 5

z=" 5

zznîo

+∞→="-∞"

"

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

−∞→z4znîo 5

z=" 5

zznîo

−∞→="−∞"

"Pqvc0" Gp" gn" ewcftq" ukiwkgpvg" ug" owguvtcp" ncu" fkuvkpvcu" rqukdknkfcfgu" eqp"tgurgevq"cn"nîokvg"gp"gn"kphkpkvq"fg"wpc"hwpekôp"rqnkpqokcn0""•" Uk"gn"eqghkekgpvg"rtkpekrcn"fg"r*z+"gu"rqukvkxq<"

" "

+∞=+∞→

+z*rnîoz

" {" −∞=−∞→

+z*rnîoz

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+∞=+∞→

+z*rnîoz

" {" +∞=−∞→

+z*rnîoz

." uk"

r*z+"gu"fg"itcfq"rct0""•" Uk"gn"eqghkekgpvg"rtkpekrcn"gu"pgicvkxq<"

" "" −∞=

+∞→+z*rnîo

z" {" +∞=

−∞→+z*rnîo

z." uk"

r*z+"gu"fg"itcfq"korct0"

−∞=+∞→

+z*rnîoz

" {" −∞=−∞→

+z*rnîoz

." uk"

r*z+"gu"fg"itcfq"rct0"


8:"

Pqvc0" Fgvgtokpct" uk" wpc" hwpekôp" vkgpg" q" pq" nîokvg" gp" gn" kphkpkvq" gu" ûvkn" rctc"cpcnk|ct"gn"eqorqtvcokgpvq"cukpvôvkeq"fg"uw"itâhkec0""""GLGTEKEKQU""3+"Qdugtxg"ncu"hwpekqpgu"fghkpkfcu"itâhkecogpvg"{"ecnewng"nqu"nîokvgu"kpfkecfqu<" c+

"

+z*onîo5z +→

"

+z*onîo5z −→

"

+z*onîo5z→

"

"

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+z*rnîo3z −−→

"

+z*rnîo3z −→

"

"

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"

+z*snîoz +∞→

" " " " " "

+z*snîoz −∞→

"

"

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" c+"3z

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3z −+→" " d+"

3z

znîo4

3z −−→""""""""""""""""e+" ( )57

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f+"z3nîo

2z +→" " " g+"

z3nîo

2z −→"""""""""""""""""""""""h+" ⎟

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⎝⎛ ++−

+∞→

56

zzzznîo ""

"


8;"

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z5nîo4

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−−→

"" " j+"38z

z5nîo4

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−+→

" """"""""""k+ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

+∞→

54

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"TGURWGUVCU"3+c+ =

+→+z*onîo

5z-∞.""" =

−→+z*onîo

5z"-∞.""" =

→+z*onîo

5z-∞"

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+z*rnko3z

−∞." =−−→

+z*rnîo3z

-∞." +z*rnîo3z −→

"pq"gzkuvg" " "

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+z*snîoz

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+z*snîoz

"−4"

4+c+"-∞" d+"−∞"" e+"−∞" " f+"-∞"" g+"−∞" " "h+"-∞" " i+"-∞""" j+−∞" " k+"−∞" ""

"406"Nîokvgu"kpfgvgtokpcfqu"

Gp"owejcu"qecukqpgu"ug"rtgugpvc"gn"eânewnq"fg"nîokvgu"fg"eqekgpvgu."fkhgtgpekcu"{"rtqfwevqu"fg"hwpekqpgu"gp"nqu"swg"cn"tggornc|ct"nc"xctkcdng"rqt"gn"xcnqt"cn"ewcn"

vkgpfg" ug" igpgtcp" kpfgvgtokpcekqpgu" fgn" vkrq" ∞−∞∞∞∞ ""."0"2""."".

22 0" Gn" tguwnvcfq"

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Nc"kpfgvgtokpcekôp"2

2"

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Glgornq0"Jcnng5z

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4

5z −−

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"

Cn" uwuvkvwkt." tguwnvc" ( ) 2";z"nîo 4

5z=−

→" " {" 2"+5z*"nîo

5z=−

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20"

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+5z+*5z*

5z

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;z4

−−

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"


92"

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eqorqtvcokgpvq"fg"5z

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"cpcnk|cpfq"gn"fg"nc"hwpekôp"*z"-"5+0"

Rqt"nq"vcpvq"rwgfg"fgektug"swg" 8+5z*nîo5z

;znîo

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4

5z=+=

−−

→→0"

"

Pqvc0"Cn"ukornkhkect"nc"gzrtgukôp"5z

;z4

−−

"tguwnvc"swg"nc"hwpekôp"eqkpekfg"eqp"z"-"5"

gzegrvq" gp" z" =" 50" Rqfgoqu" fgekt" swg" ncu" fqu" gzrtgukqpgu" uqp" kiwcngu" rctc"vqfqu" nqu"xcnqtgu"fqpfg"guvâp"fghkpkfcu0"Nc"fkhgtgpekc"gpvtg"gnncu"gu"swg"z"="5"

pq" rgtvgpgeg" cn" fqokpkq" fg"5z

;z4

−−

" rgtq" uî" cn" fqokpkq" fg" z" -" 50" Rwguvq" swg""

+z*hnîo5z→

"kipqtc""gn"xcnqt"swg"h"vqoc"gp"z"="5."guq"pq"kpvgtguc0"Fgufg"gn"rwpvq"fg"

xkuvc"fgn"nîokvg"gp"5"gucu"hwpekqpgu"uî"uqp"kiwcngu0""

Glgornq0"Fgvgtokpg"gn"4z4

3:z34z8nîo

4

3z −−+

→0"

"Cn"uwuvkvwkt"nc"xctkcdng"rqt"3."vcpvq"gn"pwogtcfqt"eqoq"gn"fgpqokpcfqt"ug"cpwncp"

{"ug"igpgtc"nc"kpfgvgtokpcekôp"2

20""Ug"hcevqtk|cp"gn"pwogtcfqt"{"gn"fgpqokpcfqt"

{."rctc"z"≠"3."ug"ukornkhkecp"nqu"hcevqtgu"eqowpgu<"

34+5"30*5+5z*"5nîo+3z0*4

+3z+0*5z0*8nîo

4z4

3:z34z8nîo

3z3z

4

3z=+=+=

−−+

=−

−+→→→

" "

"

Glgornq0"Fgvgtokpg"gn"43v

5vnîo5v −+

−→

0"

"

Tggornc|cpfq"nc"xctkcdng"rqt"5"ug"qdvkgpg"nc"kpfgvgtokpcekôp"2

20"Rctc"tguqnxgt"

guvg" nîokvg." ug" tcekqpcnk|c" gn" fgpqokpcfqt" ownvkrnkecpfq" gn" pwogtcfqt" {" gn"fgpqokpcfqt"rqt"nc"gzrtgukôp"eqplwicfc"fg"nc"fgn"fgpqokpcfqt"{"tguwnvc<"

( )=

−++−

=−+

++−=

++

++

−+

−→→→ 5v

+43v+0*5v*nîo

43v

+43v+0*5v*nîo

43v

43v043v

5vnîo

5v445v5v"

( ) =+=++=++=→

4443543vnîo5v

6"""

"

Glgornq0"Ecnewng"gn"nîokvg"( )55z 5z

z5nîo

−

−→

0"


Al sustituir, resulta ( ) 0 x3 lím3x

=−→

y lo que genera una

indeterminación del tipo

0 )3x( lím 3

3x=−

→

0

0.

( )33x 3x

x3lím

−

−→

= ( )

−∞=−

−=

−

−−→→ 23x33x )3x(

1lím

3x

)3x(lím

Si x → 3, el denominador tiende a cero. Si x se aproxima a 3 por derecha o por

izquierda, en cualquiera de los casos el denominador es positivo por estar

elevado al cuadrado. Como el numerador negativo (−1), el límite es −∞.

EJERCICIOS 1) Calcule los siguientes límites:

a) 3x

3x2xlím

2

3x +−+

−→ b)

2x

2xlím

2x −

−+→

c)1x

1xlím

4

1x −−

→

d) 15x3

25xlím

2

5x +−

−→ e)

4x

35xlím

4x −−+

→

2) Sea f(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+

−≠+−

4 xsi 3k

4 xsi 4x

16x2

a) Halle . )x(flím4x −→

b) Encuentre k de modo que f(−4) = . )x(flím4x −→

RESPUESTAS

1)a) −4 b) 0 c) 4 d) 3

10− e)

6

1

2)a) −8 b) −11

La indeterminación ∞∞

Se analizará el límite en el infinito de funciones racionales, es decir, del cociente

de dos funciones polinomiales en el que la variable crece o decrece

indefinidamente. Se debe tener en cuenta que el límite de una función

polinomial de grado n ≥ 1 cuando x tiende a +∞ ó a −∞ es + ∞ ó −∞, por lo que el

límite del cociente es una forma indeterminada del tipo ∞∞ .

Para resolver límites de este tipo, se divide el numerador y el denominador de la

función dada por xn, siendo n el mayor de los grados de las funciones

71


polinomiales (podemos suponer x ≠ 0, ya que estamos interesados en valores

grandes de x). Luego se aplican las propiedades de los límites.

Ejemplo. Halle 3xx

1xx3xlím

3

423

x −+

++++∞→

.

Por ser el límite de una función racional, es una indeterminación del tipo ∞∞ .

Como la función dada es el cociente de una función polinomial de grado 4 y otra

de grado 3, se divide el numerador y el denominador por x4.

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

=−+

++++∞→+∞→

44

3

4

44

4

4

2

4

3

x3

423

x

x

3

x

x

x

x

x

1

x

x

x

x3

x

x

lím3xx

1xx3xlím

=

} } }

{ { {

+∞=−+

+++

→

→→→

+→

→→→

+∞→

44 344 21

444 8444 76

0

0

4

00

3

1

0

4

0

2

0

x

x

3

x

1

x

1x

11

x

3

x

1

lím

En el ejemplo dado, el grado de la función polinomial del numerador es mayor

que el grado de la función del denominador y se obtiene en este caso ∞.

Ejemplo. Calcule2x2x5

1x3xlím

3

23

x −+

−++∞→

.

Este límite es indeterminado y surge del cociente de dos funciones polinomiales

de grado tres. Se dividen el numerador y denominador por x3:

} }

{ {

5

1

x

2

x

25

x

1

x

31

lím

x

2

x

x2

x

x5

x

1

x

x3

x

x

lím2x2x5

1x3xlím

0

3

0

2

0

3

0

x

333

3

33

2

3

3

x3

23

x=

−+

−+=

−+

−+=

−+

−+

→→

→→

+∞→+∞→+∞→.

Puede observarse que el ejemplo se refiere al cálculo del límite del cociente de

dos funciones polinomiales del mismo grado y se obtiene como resultado el

cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado de cada una.

72


Ejemplo. Determine x4x5x

3x2x3lím

34

2

x ++

−++∞→

.

Para salvar la indeterminación que surge, se divide el numerador y denominador

por x4:

01

0

x

4

x

51

x

3

x

2

x

3

lím

x

x4

x

x5

x

x

x

3

x

x2

x

x3

límx4x5x

3x2x3lím

3

432

x

44

3

4

4

444

2

x34

2

x==

++

−+=

++

−+=

++

−++∞→+∞→+∞→

.

En este ejemplo, el grado de la función polinomial del numerador es menor que

el de la del denominador y se obtiene como resultado cero.

Al calcular)x(q

)x(plím

x ∞→ , donde p(x) y q(x) son dos funciones polinomiales, se

obtiene:

a) el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado de la función

polinomial del numerador y la del denominador, si ambas tiene el mismo grado.

b) +∞ ó –∞ si el grado de la función polinomial del numerador es mayor que el

de la del denominador.

c) 0 si el grado de la función polinomial del numerador es menor que el de la del

denominador.

Problema

Un tanque contiene 5000 litros de agua pura. Se bombea al tanque

salmuera que contiene 30 gramos de sal por litro de agua, a razón de

25min

l. La concentración de sal después de t minutos es: C(t) =

t200

t30

+

(en l

grs).

a) ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir para que la concentración sea de

10 l

grs?

b) ¿Qué sucede con la concentración cuando el tiempo transcurre

indefinidamente?

a) Para determinar el tiempo que debe transcurrir para que la concentración sea

de 10 l

grs, se debe igualar la concentración a 10.

10 = t200

t30

+ ⇒ 2000 + 10t = 30t ⇒ 20t = 2000 ⇒ t = 100

Es decir, a los 100 minutos la concentración será de 10l

grs.

73


b) Para analizar el comportamiento de la concentración cuando el tiempo

transcurre indefinidamente, se debe encontrar el límite cuando t → +∞, es decir

t200

t30lím

t ++∞→. Como es un cociente de dos funciones polinomiales, se dividen el

numerador y el denominador por t y se obtiene:

30

1t

200

30lím

t

t

t

200t

t30

límt200

t30lím

ttt=

+=

+=

+ +∞→+∞→+∞→

Cuando t →+∞ la concentración tiende a 30 l

.grs.

EJERCICIO

Calcule los siguientes límites:

a) 5x2

1x3lím

x −+

+∞→ b)

3x

x67lím

5

x +−

+∞→ c)

1x3

x4lím

4

4

x +

−+∞→

d) 1x

x23lím

2

x +−

+∞→ e)

8xx

x4lím

23x ++

++∞→

f) 9x

xlím

2x −−∞→

RESPUESTAS

a) 2

3 b) −∞ c)

3

1− d) −∞ e) 0 f) 0

La indeterminación 0.∞ Para salvar una indeterminación de este tipo, se pueden realizar distintos

procedimientos algebraicos. Algunos de ellos se desarrollan en los siguientes

ejemplos.

Ejemplo. Halle 3x

1).9x6x(lím 2

3x +++

−→

Cuando x → –3, x2 + 6x + 9 → 0 y ∞→

+ 3x

1, por lo tanto el límite es una

indeterminación del tipo 0.∞.

Sin embargo, 3x3x

1.)3x(

3x

1).9x6x( 22 +=

++=

+++ si x ≠ −3.

Por lo tanto: ( ) 03xlím3x

1).9x6x(lím

3x

2

3x=+=

+++

−→−→

Ejemplo. Calcule ( ) ( )x3eccos. x3senlím0x→

74


Como ( ) 0 x3senlím0x

=→

y ( ) ∞=→

x3eccoslím0x

, resulta que

( ) ( )x3eccos. x3senlím0x→

es una indeterminación 0.∞.

En este caso ( ) ( )x3eccos. x3senlím0x→

= ( ) ( ) 11límx3sen

1. x3senlím

0x0x==

→→, si x ≠ 0.

Ejemplo. Halle 4x

1).2x(lím

22x −

−−→

Como 0)2x(lím2x

=−−→

y −∞=−−→ 4x

1lím

22x

, el límite pedido es una forma

indeterminada 0.∞.

Sin embargo, 2x

1

)2x).(2x(

1).2x(

4x

1).2x(

2 +=

+−−=

−− si x ≠ 2.

Por lo tanto: 4

1

2x

1lím

4x

1).2x(lím

2x2

2x

=+

=−

−−→−→

.

EJERCICIO

Calcule los siguientes límites:

a) 23

0x xx

1. xlím

++→ b) xcos. tgxlím

2x

π→

c) 5x

1. 5xlím

5x −−

+→

RESPUESTAS a) +∞ b) 1 c) +∞

La indeterminación ∞ − ∞ Los procedimientos algebraicos para salvar una indeterminación de este tipo, se

desarrollan en los siguientes ejemplos.

Ejemplo. Determine el ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−+→ 2x

1

4x

1 lím

22x

.

Al reemplazar la variable por 2 resulta ∞ − ∞, que es una indeterminación.

Resolviendo la diferencia se obtiene:

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−+→ 2x

1

4x

1 lím

22x )2x).(2x(

x1lím

)2x).(2x(

)2x(1lím

2x2x −+−−

=−+

+−+→+→

= −∞

75


Cuando x se aproxima a 2 por derecha, el numerador tiende a –3 y el

denominador a 0 por valores mayores que él. Por lo tanto, la expresión resulta

negativa y el límite es −∞.

Ejemplo. Calcule ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π→

tgxxcos

1lím

2x

Como ∞=π→ xcos

1lím

2x

y ∞=π→

tgxlím

2x

, el límite pedido es una indeterminación

de la forma ∞ − ∞.

La expresión xcos

senx1

xcos

senx

xcos

1tgx

xcos

1 −=−=−

Por lo tanto:

=++−

=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π→

π→

π→ senx1

senx1.

xcos

senx1lím

xcos

senx1límtgx

xcos

1lím

2x

2x

2x

02

0

senx1

xcoslím

)senx1.(xcos

xcoslím

)senx1.(xcos

xsen1lím

2x

2

2x

2

2x

==+

=+

=+

−=

π→

π→

π→

EJERCICIO

Halle los siguientes límites:

a) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−−→ 9x

2

3x

1 lím

23x

b) ( )gxcotecxcoslím0x

−→

c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+→ x

1

x

1 lím

30x

d) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−+→ 1x

5

1x

1 lím

21 x

RESPUESTA a) −∞ b) 0 c) +∞ d) −∞

Un límite importante

Se puede demostrar que 1x

senxlím

0x=

→

Al evaluar el numerador y el denominador en x = 0, se obtiene la

indeterminación 00 . Para resolverlo, no pueden utilizarse las técnicas vistas

anteriormente, pero sin embargo, el x

senxlím

0x→ existe y vale 1.

76


99

Ugc"wp"âpiwnq"ew{c"ogfkfc"gp"tcfkcpgu"ugc"z."2">"z">"4

π0"

Qdugtxcpfq"nc"itâhkec"tguwnvc<""ugp"z">"z">"vi"z"

Eqoq"ugp"z"≠" 2." fkxkfkgpfq"rqt" ugp"z"ug"qdvkgpg<"

"ugpz

viz

ugpz

z

ugpz

ugpz<< ""

"

Fcfq"swg"zequ

3ugpz

zequ

ugpz

ugpz

viz== <

tguwnvc<"""3">"zequ

3

ugpz

z< "

"

Rqt"nq"vcpvq<" zequz

ugpz3 >> """"⇒" 3

z

ugpzzequ << """"""""""""

Uk"ug"jceg"vgpfgt"z"c"egtq." 32equzequnîo2z

==→

"{"cn"guvct"z

ugpz"eqortgpfkfq"

gpvtg"fqu"gzrtgukqpgu"swg"vkgpfgp"c"3"ewcpfq"z"→"2."vcodkêp"fgdgtâ"vgpfgt"c"30"

Rqt"nq"vcpvq<" 3z

ugpznîo2z

=→

0"

Rctc" swg" guvc" fgoquvtcekôp" rwgfc" igpgtcnk|ctug" hcnvc" cpcnk|ct" swê" gu" nq" swg"qewttg"rctc"xcnqtgu"pgicvkxqu"fg"z0""Ug"fgukipc"eqp"*−z+"c"nqu"xcnqtgu"pgicvkxqu"fg"z0"Eqoq"ugpz"gu"wpc"hwpekôp"korct."ugp*−z+"="−ugpz0"Rqt"nq"vcpvq<""

z

ugpznîo

z

ugpznîo

z

+z*ugpnîo

2z2z2z →→→=

−−

=−

−"" ⇒"" 3

z

ugpznîo

z

+z*ugpnîo

2z2z==

−−

→→"

"

Pqvc0"Gn"eqekgpvg"z

ugpz"gu" vcpvq"oâu"egtecpq"c"3"ewcpvq"oâu"rtôzkoq"c"2"ug"

eqpukfgtg"gn"xcnqt"fg"z0"""

Guvq" rgtokvg" igqoêvtkecogpvg" kpvgtrtgvct" swg" rctc" ogfkfcu" fg" cteq" ow{"rgswgòcu."uwu"eqttgurqpfkgpvgu"xcnqtgu"fg"ugp"z"uqp"crtqzkocfcogpvg"kiwcngu"c"z0"

"

Glgornq0""Jcnng"z8

+z4*ugpnîo2z→

0" "

Cn" gxcnwct" pwogtcfqt" {" fgpqokpcfqt" gp" egtq." tguwnvc" nc" kpfgvgtokpcekôp"2

20"

Rctc"tguqnxgt"guvg"nîokvg."ug"vtcvc"fg"guetkdkt"gn"eqekgpvg"fg"ocpgtc"vcn"fg"rqfgt"

crnkect"gn"vgqtgoc"cpvgtkqt<"z4

+z4*ugp05

3

z8

+z4*ugp= "


Por propiedad de límite, x2

)x2(senlím.

3

1

x2

)x2(sen.

3

1lím

0x0x →→=

Además, si x → 0, 2x también tiende a cero y por lo tanto:

1x2

)x2(senlím

x2

)x2(senlím

0x20x==

→→

En consecuencia, 3

11.

3

1

x2

)x2(senlím.

3

1

x6

)x2(senlím

0x0x===

→→

Ejemplo. Calcule ( )t

t2tg5lím

0t→.

Sustituyendo la variable por 0 resulta una indeterminación del tipo 0

0 .

Utilizando la identidad t cos

t sent tg = es posible transformar el cociente de manera

tal de poder aplicar el teorema anterior.

Por lo tanto:

( )( )( ) ( )

( ) ( )( )

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

→→→→ t

2t sen.

2t cos

5lím

t . 2t cos

2t sen.5lím

t

2t cos

t2sen.5

límt

2t tg 5lím

0t0t0t0t

= ( )( )

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→→ t

2t senlím.

2t cos

5lím

0t0t

Hallando el primer límite ( ) ( ) 51

5

0 cos

5

2.0 cos

5

2t cos

5lím

0t====⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→

En el segundo límite multiplicamos y dividimos por 2 y teniendo en cuenta que si

t → 0 también 2t → 0 resulta que: ( ) ( )

21.22t

2t senlím.2

2t

2t sen2lím

0t20t===⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛→→

Entonces: ( )

t

2t tg 5lím

0t→ ( )( )

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

→→ t

2t senlím.

2t cos

5lím

0t0t = 5.2 = 10

Ejemplo. Halle9x

)3x(senlím

23x −

−→

.

Reemplazando la variable por el valor al cual tiende resulta la indeterminación

0

0. Aplicando diferencia de cuadrados en el denominador y teniendo en cuenta

que si x tiende a 3 entonces x − 3 tiende a 0 resulta:

6

1

33

1.1

3x

1.

3x

)3x(senlím

)3x).(3x(

)3x(senlím

9x

)3x(senlím

3x3x23x=

+=

+−−

=+−

−=

−

−→→→

78


EJERCICIO Resuelva los siguientes límites:

a) ( )t

t4senlím

0t→ b)

x

tgx5lím

0x→ c) ( )t3sen

t2lím

0t→

d) ( )( )x5sen

x2senlím

0x→ e)

8x2

)2x(senlím

22x −

−→

f) x2

xcos1lím

2

0x

−→

RESPUESTA

a) 4 b) 5 c) 3

2 d)

5

2 e)

8

1 f) 0

EJERCICIOS INTEGRADORES 2.3 LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES EN EL INFINITO. 2.4 LÍMITES INDETERMINADOS 1) Defina gráficamente una función g : R → R tal que: ,

y g(0) = 2.

−∞=+→

)x(glím0x

)x(glím0x

+∞=−→

2) Calcule los siguientes límites:

a) 3x

3xlím

3x −

−+→

b) ( )( )x2sen

x3senlím

0x→ c)

1x5

x3xlím

4

23

x −

−+∞→

d) ecxcos1

gxcot lím

0x −→ e)

3x

6xxlím

2

3x −−−

→ f)

16x

)4x(senlím

24x −

−→

g) 1n

3n2nlím

2

n +++

+∞→ h)

1x

1

1x

1lím

21x −

+−+→

i) 6nn

n4n4nlím

2

23

2n −−

++−→

3) Halle los valores de a y b de modo que:

5xa2

3x5xblím

41x

axalím

3

23

x

2

1x

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−

−−

=+−

+∞→

−→.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1) La cantidad de una droga en la corriente sanguínea t horas después de

inyectada intramuscularmente está dada por la función f(t) = 1t

t 10

2 +. Al pasar el

tiempo, ¿cuál es la cantidad límite de droga en sangre? 2) En un experimento biológico, la población de una colonia de bacterias (en

79


:2"

"

oknnqpgu+"fgurwêu"fg"z"fîcu"guvâ"fcfc"rqt<"z4g:4

6{

−+= ""0"

" c+"ÀEwân"gu"nc"rqdncekôp"kpkekcn"fg"nc"eqnqpkcA"" d+"Tguqnxkgpfq "{nîo

z +∞→."ug"qdvkgpg"kphqtocekôp"cegtec"fg"uk"nc"rqdncekôp"

etgeg"kpfghkpkfcogpvg"q"vkgpfg"c"guvcdknk|ctug"gp"cniûp"xcnqt"hklq0"ÀEwân"fg"guvcu"ukvwcekqpgu"qewttgA"5+" Nc" Hgfgtcekôp" fg" ec|c" fg" ekgtvq" guvcfq" kpvtqfweg" 72" ekgtxqu" gp" wpc"fgvgtokpcfc" tgikôp0" Ug" etgg" swg" gn" pûogtq" fg" ekgtxqu" etgegtâ" ukiwkgpfq" gn"

oqfgnq<"" "v26.23

+v57*32+v*P

++

= ."fqpfg"v"gu"gn"vkgorq"gp"còqu0""

c+"Ecnewng"gn"pûogtq"fg"cpkocngu"swg"jcdtâ"nwgiq"fg"7"{"32"còqu0"d+"ÀC"swê"xcnqt"vgpfgtâ"nc"rqdncekôp"ewcpfq"v"vkgpfg"c"kphkpkvqA"

6+" Wp" ewnvkxq" fg" dcevgtkcu" etgeg" ukiwkgpfq" nc" ng{"v6.2g47.23

47.3{

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9)i) Grafique la función f: R → R :

2x si x 0

f(x) x si 0<x<1

2 si x 1

⎧ ≤⎪= ⎨⎪ ≥⎩

ii) Calcule:

a) b) c) d) f(0) )x(f lím-

0x→)x(f lím

0x+→

)x(f lím0x→

e) f) g) h) f(1) )x(f lím1x −→

)x(f lím1x+→

)x(f lím1x→

10) Determine el valor de k, sabiendo que existe el límite para x → x0.

a) b) 4 xen

4 xsi k5x

4< xsi 23x

f(x) 0 =⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+

+= 1 xen

1> xsi kx

1 xsi 3xk

f(x) 02

−=⎪⎩

⎪⎨⎧

−+

−≤−=

11) Grafique:

a) Una función f(x) que no esté definida en x = x0 y exista el . )x(fxx

lím

0→

b) Una función f(x) que esté definida en x = x0, exista el , exista

el y ambos límites sean diferentes.

)x(fxx

lím

0−→

)x(fxx

lím

0+→

c) Una función f(x) que esté definida x = x0 pero que el límite sea infinito.

89


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⎪⎨

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⎪⎭

⎪⎬⎫

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=+→

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Simbólicamente: +∞=−→

)x(flím5x

y −∞=+→

)x(flím5x

.

No existe el límite de y = f(x) cuando x → 5. Además se observa que no está

definida la función en x = 5, es decir, 5 no pertenece al dominio de la función.

Ejemplo. Analice la continuidad de f(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−

−−

3 xsi 1

3 xsi 3x

3x2x2

en x = 3.

Según la ley de la función f(3) = 1.

Además, ( )( ) ( ) 41xlím

3x

3x1xlím

3x

3x2xlím)x(flím

3x3x

2

3x3x=+=

−−+

=−

−−=

→→→→.

Pero ( )3f)x(flím3x

≠→

, por lo que la función no es continua en x = 3.

Ejemplo. Sea la función f : R → R / x → . Determine los

valores de a y b para que resulte continua en x = 2 y en x = 5. Para dichos

valores grafique la función.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>+≤<+

≤+

5x si bx16

5x2 si 1x

2x si ax2

Para que la función sea continua en x = 2 debe verificarse que . )2(f)x(flím2x

=→

Para que el límite exista, deben existir los límites laterales y ser

iguales: ⇒ 22 + a = 3 ⇒ a = −1. ( 1xlímaxlím

2x

2

2x

+=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

+→−→)

Luego, para a = −1 se cumple que )2(f)x(flím2x

=→

= 3, por lo que la función es

continua en x = 2.

Analizando de manera similar la continuidad en x = 5, se determina que b = −2.

Para dichos valores, la función

resulta

f : R → R /

x → ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−≤<+

≤−

5x si x216

5x2 si 1x

2x si 1x2

Su gráfica es:

Teorema. Si f y g son funciones continuas en x = a entonces las siguientes

funciones también resultan continuas en a: • la suma f + g,

• la diferencia f − g,

• el producto c.f, donde c es una constante,

95


• el producto f.g,

• el cociente g

f siempre que g(a) ≠ 0.

Teorema.

Toda función polinomial pn(x) na es

una función continua en todo su dominio, es decir en todo número re

=

al.

∑=

−−− ++++=

n

1i1n

1n1

n0

ini xa...xaxaxa

Teorema. Toda función racional fraccionaria o cociente de funciones

polinomiales es continua, excepto en los puntos que anulan el denominador, es

decir, si f(x) = )x(q

)x(p

m

n entonces f es continua para todo valor de x, excepto

en los que qm(x) = 0. Toda función racional es continua en todo su dominio.

Ejemplo. La función p(x) = x

2x3 3 − es continua para todos los números reales

excepto el cero, es decir, en el conjunto R − {0}.

Ejemplo. Determine la continuidad de las siguientes funciones:

a) b) 32 xx2x7)x(m +−=3x

5x)x(t

2

++

= c) senx.x)x(g =

a) La función m(x) es continua para todo número real pues es una función

polinomial.

b) La función t(x) es una función racional, por lo tanto, es continua en todo

número real excepto en aquellos donde se anule el denominador. En este caso

(x+3) se anula en x = −3. Por lo tanto, t(x) es continua en R −{−3}.

c) La función g(x) es el producto de dos funciones continuas para todo número

real, y = x e y = senx. Luego, la función g(x) es continua para todo número real.

Nota. La mayoría de las funciones conocidas (polinomiales, racionales,

potencias, raíces, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas) son continuas

en todo número en su dominio.

Teorema. Si la función f es continua en x = a y la función g es continua en f(a),

entonces la función compuesta g o f es continua en a.

Ejemplo. Analice la continuidad de la función y = . 1 2x35 −

La expresión y = resulta de la composición de las funciones f(x) = 5x y

g(x) = 3x2 −1.

1 2x35 −

96


(fog)(x) = f[g(x)] = f(3x2 −1) = 1 2x35 −

Las funciones f(x) y g(x) son funciones continuas en todos los números reales,

por lo tanto, y = es continua para todo número real. 1 2x35 −

Ejemplo. Analice la continuidad de la función y = ln(2x − 3).

La función y = ln(2x − 3) resulta de la composición de las funciones f(x) = lnx que

es continua en todos los números reales positivos y g(x) = 2x − 3 que es

continua en todos los números reales.

La composición (fog)(x) = f[g(x)] = f(2x − 3) = ln (2x − 3) resulta continua para

todos los valores reales tales que 2x − 3 > 0.

Luego, la función es continua en A =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ >

2

3x/x .

Sintetizando.

• Se dice que una función f es continua en x = a si y solo si )a(f)x(flímax

=→

• ¿En qué puntos no es continua una función?

a) en los puntos cuyas abscisas no pertenecen al dominio.

b) en todos los puntos de abscisa x = a en los que ocurre alguna de

estas situaciones:

• no existe )x(flímax→

• existe el límite de la función en x = a pero no coincide con el valor

de la función en x = a.

Tipos de discontinuidades

Las discontinuidades se clasifican en:

a) Evitables: en este caso no se cumple la condición (a) de la definición de

continuidad, es decir existe el límite finito L de f(x) en x = a pero f(x) no está

definida en a. La función puede modificarse adoptando como f(a) el valor L

correspondiente, convirtiéndose así en una función continua en x = a.

También se clasifica como evitable la discontinuidad en la que no se cumple la

condición (c) de la definición de continuidad, es decir, existen f(a) y ,

pero no coinciden. En este caso, puede salvarse la discontinuidad tomando

como valor de la función el resultado del límite.

)x(flímax→

b) Discontinuidad de salto: existen los límites laterales pero son distintos.

c) Discontinuidad infinita: al menos uno de los límites laterales no existe.

97


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−→+z*hnîo

7z""""{" −∞=

+→+z*hnîo

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⎪⎨

⎧

≥+<≤−−

−<−

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4z"""uk""""""z5 4

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⎪⎨

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d+" Hwpekôp" eqpvkpwc" gp" vqfq" rwpvq" gzegrvq" gp" z" =" z2" fqpfg" rtgugpvc" wpc"fkueqpvkpwkfcf"fg"ucnvq."{c"swg"nqu"nîokvgu"ncvgtcngu"uqp"fkuvkpvqu0"

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g+ Hwpekôp" eqpvkpwc" gp" vqfq" rwpvq" gzegrvq" gp" z" =" z2" fqpfg" rtgugpvc" wpc"fkueqpvkpwkfcf" kphkpkvc." {c" swg" ewcpfq" z" vkgpfg" c" gug" xcnqt" rqt" fgtgejc." nc"hwpekôp"etgeg"kpfghkpkfcogpvg0"Gu"fgekt."cn"ogpqu"wpq"fg"nqu"nîokvgu"ncvgtcngu"pq"gzkuvg0"

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⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

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Ejemplo. Analice la continuidad de la función h(x) =1x

1x

2 −

− en el intervalo (–2, 2).

Los posibles puntos de discontinuidad son los que anulan el denominador, x = 1

y x = −1.

• En x = 1

La función no está definida en este punto.

2

1

1x

1lím

)1x).(1x(

1xlím

1x

1xlím

1x1x2

1x

=+

=−+

−=

−

−−→−→−→

De igual forma 2

1

1x

1xlím

21x

=−

−+→

de lo que se deduce que existe el límite de la

función cuando x tiende a 1 y es igual a 2

1.

Como f(x) no está definida en x = 1 pero existe el límite para x → 1, la función

presenta una discontinuidad evitable en x = 1.

• En x = −1

La función no está definida en este punto.

−∞=−

−−−→ 1x

1xlím

21x

y +∞=−

−+−→ 1x

1xlím

21x

Como no existe el límite para x → −1, la

función presenta una discontinuidad infinita

en x = −1.

La función es continua en (−2, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, 2).

Ejemplo. Determine el intervalo más grande (o unión de intervalos) en el que

cada función es continua:

a) h(x) = x3 − 3x b) f(x) =

2x

1

−

c) g(x) = log2 x d) m(x) =

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−−

2 x si 5

2 xsi 2x

4x2

103


a) La función h(x) = x3 − 3x es una función continua en cada número real por

tratarse de una función polinomial, por lo tanto es continua en (−∞, ∞).

b) La función f : R – {2} → R / f(x) = 2x

1

− es continua en todo su dominio de

definición, es decir en (−∞, 2) ∪ (2, ∞).

Su gráfica es:

c) La función g : R+ → R / g(x) = log

2x es continua en todo su dominio, es decir

en (0, ∞). Su gráfica es:

d) La función m: R → R / m(x) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−−

2 x si 5

2 xsi 2x

4x2

es continua en los intervalos

(−∞, 2) ∪ (2, ∞). Su gráfica es:

Continuidad de una función en un intervalo cerrado

La continuidad de una función en un intervalo cerrado [a, b] no es sencilla de

analizar como en el caso de intervalos abiertos. Dado que al considerar el

intervalo cerrado [a, b] la función no está definida a la izquierda de a como

104


tampoco a la derecha de b, no tiene sentido considerar los límites en a y en b.

Esto hace que no se pueda definir la continuidad en esos dos puntos. Se debe

definir primero la continuidad por derecha y la continuidad por izquierda en un

punto.

Definición. Una función es continua a la derecha de un número a si

y es continua a la izquierda de a si )a(f)x(flímax

=+→

)a(f)x(flímax

=−→

.

Definición. Se dice que f(x) es continua en [a, b] sí y sólo sí

a) f(x) es continua en (a, b)

b) = f(a) (continua a la derecha de a) )x(flímax +→

c) f(x) = f(b) (continua a la izquierda de b) −→bx

lím

Ejemplo. Demuestre que la función f(x) = 2x9 − es continua en [–3, 3].

La función f(x) = 2x9 − resulta de la composición de las funciones y = 9 – x2

con xy = . La primera es una función polinomial, definida para todo número

real y la segunda es una función cuyo dominio es el conjunto de todos los

números reales no negativos. Por lo tanto, el dominio de f(x) es el conjunto de

todos los números reales tales que 9 – x2 ≥ 0, o sea, todos los números reales

pertenecientes al intervalo cerrado [–3, 3].

En la gráfica puede observarse que la

función f(x) es continua en cada

número real perteneciente al intervalo

abierto (−3, 3).

Además: )3(f0x9lím)x(flím2

3x3x

−==−=+−→+−→

)3(f0x9lím)x(flím 2

3x3x

==−=−→−→

Esto implica que la función es continua a la derecha de –3 y es continua a la

izquierda de 3. En consecuencia, f(x) = 2x9 − es continua en [–3, 3].

105


Ejemplo. Analice la continuidad de la función g(x) = . ⎩⎨⎧

≤≤−<≤−−+2x1 si x27

1x1 si 1x2x2

En primer lugar se analizará si la función es continua en el intervalo abierto

(–1, 2) y luego qué sucede en los extremos. Como cada tramo que define g(x)

es una función polinomial, el único valor posible de discontinuidad es x = 1.

g(1) = 7 − 2.1 = 5

2)x(glím1x

=−→

y 5)x(glím1x

=+→

Los límites laterales existen pero son distintos. Por

lo tanto, no existe el límite en x = 1.

La función no es continua en x = 1.

2)1(g)x(glím1x

−=−=+−→

. La función resulta continua

a la derecha de x = −1.

3)2(g)x(glím2x

==−→

. La función resulta continua a

la izquierda de x = 2.

La función es continua en [–1, 1) y en [1, 2].

Gráficamente se puede resumir lo planteado de la siguiente manera:

La función es continua en [a, b].

La función es continua en (a, b] .

La función es continua en [a, b).

La función es continua en [a, c] y en (c, b].

106


La función es continua en (a, b).

roblemaP erza gravitacional ejercida por la Tierra sobre una masa unitaria a La fu

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧ < Rr si GMr

≥ Rr si r

GMR

2

3, donde M una distancia r del centro del planeta es: F(r) =

es la masa de la Tierra, R su radio y G es la constante gravitacional, ¿es

F una función continua?

l primer tramo corresponde a una función de primer grado, por lo tanto, es

tramo también es continuo ya que r ≠ 0.

E

continua.

El segundo

Analizamos la continuidad de F(r) en r = R:

• F(R) = 2R

GM

23Rr R

GM

R

GMrlím =

−→ y

22Rr R

GM

r

GMlím =

+→. Como los límites laterales existen y

son iguales se puede asegurar que el límite existe, es decir,2

Rr R

GM)r(Flím =

→.

•

• Como 2Rr R

unción es continua.

GM)r(Flím =

→ = F(r) la función es continua en r = R.

En consecuencia la f

oblema

Pr nción que describe el radio (en metros) del flujo circular de petróleo La fu

que se derrama por una fisura de un tanque luego de t minutos está dada

por: r(t) = . Analice su continuidad y grafique r(t). ⎩⎨

>−

2t si 2t16

⎧ ≤≤+ 2t0 si 9t4 2

ada tramo de la función es continuo ya que está definido por una expresión C

polinomial. Analizaremos la continuidad en el punto donde cambia la definición,

t = 2, y luego si la función es continua a la derecha de t = 0.

107


En t = 2 se cumple:

• r(2) = 4.22 + 9 = 25

• ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ + = 25 ;

−→9t4lím

2

2t

( )2t16lím2t

−+→

= 30.

Como los límites laterales existen pero son

distintos, la función presenta una

discontinuidad de salto en t = 2.

Para t = 0 se observa:

• r(0) = 4.02 + 9 = 9

• ( )9t4lím 2

0t

++→

= 9

La función es continua a la derecha de t = 0.

Luego, la función es continua en [0, 2] y en (2, ∞).

EJERCICIO

Indique los intervalos donde las siguientes funciones son continuas.

a) f(x) = x3 + 2x − 7 b) g(x) =

x

x9 2−

c) h(x) = ln (x2 − 1) d) 3x)x(i −=

RESPUESTAS a) Es continua en todos los números reales, o sea, en (−∞, ∞).

b) Es continua en R − {0}, o sea en (−∞, 0) ∪ (0, ∞).

c) Es continua en (−∞, −1) ∪ (1, ∞).

d) Es continua en [3, ∞).

EJERCICIOS INTEGRADORES 3.1 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO – 3.2 FUNCIÓN CONTINUA EN UN INTERVALO 1) Observe la siguiente gráfica, responda y analice su continuidad:

108


a) f(−4) b) c) d) )x(flím4x −−→

)x(flím4x +−→

)x(flím4x −→

e) f(2) f) g) h) )x(flím2x −→

)x(flím2x +→

)x(flím2x→

2) Estudie la continuidad de la función. Si presenta discontinuidades indique de

qué tipo y en qué puntos.

3) Halle el valor de k de modo que la función dada resulte continua.

a) g : R → R / t → b) h : R → R / x →

2t si 1tk

2t si 2

2t si tk 2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−=−<

1> xsik3+5x

1 xsi x 1)k(

⎩⎨⎧ ≤−

4) Dada la función f : R → R / x → grafíquela y analice

su continuidad.

2x si 5x

2x1 si 3

1 xsi 2x2

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−≤<−−−≤

5) Sea la función m(x) = 2x

1

+. Analice su continuidad en [−3, 1] y en [ 0, 3].

3.3 Teoremas de las funciones continuas Las funciones que son continuas en un intervalo cerrado tienen ciertas

propiedades especiales que se enuncian a continuación:

Teorema de la conservación del signo Si f(x) es continua en x = a y f(a) > 0, existe un intervalo abierto tal que f(x) > 0,

∀x ∈ (a − δ, a + δ).

Actividad de reflexión.

A)i) Realice los pasos que se detallan a continuación para definir gráficamente

una función y = f(x). a) Grafique un sistema de ejes coordenados cartesianos.

b) Sobre el eje x elija dos valores a y b, con a < b.

c) Sobre el eje y determine los valores f(a) y f(b).

d) Marque los puntos ( )( )af,a y ( )( )bf,b .

109


e) Sobre el eje y determine un valor k que se encuentre entre f(a) y f(b).

f) Grafique la recta y = k, paralela al eje x.

g) Grafique una función continua y = f(x) uniendo los puntos y

.

( )( )af,a

( )( )bf,b

h) La gráfica de la función y = f(x) , ¿interseca a la recta y = k?, ¿en

cuántos puntos?

ii) Repita la actividad (i) graficando otras funciones.

Según lo observado extraiga conclusiones.

B) Para el mismo caso que la situación (A), grafique una función desde

hasta pero que no interseque a la recta y = k.

( )( )af,a

( )( bf,b )¿Qué análisis puede hacer sobre la función?

De la actividad anterior se enuncia el siguiente teorema:

Teorema del valor intermedio Si y = f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] donde f(a) ≠ f(b)

y k es un número real cualquiera comprendido entre f(a) y f(b), existe al menos

un número real c perteneciente al intervalo (a, b) tal que f(c) = k.

Desde el punto de vista geométrico, este teorema establece que la gráfica de

una función continua en un intervalo cerrado, debe intersecar al menos una vez

a cada recta de ecuación y = k, siendo f(a) < k < f(b).

110


333

Gp" gn" ukiwkgpvg" glgornq" ug" rtgugpvc" nc" korqtvcpekc" fg" nc" xgtkhkecekôp" fg" nc"eqpfkekôp"fg"eqpvkpwkfcf"fg" nc"hwpekôp"{"=" h*z+"gp"gn" kpvgtxcnq"]c."d_"rctc"rqfgt"ictcpvk|ct"nc"gzkuvgpekc"fgn"pûogtq"tgcn"e0"""

Glgornq0" "Ugc" nc" hwpekôp"h*z+"="⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤+

<≤−+

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34z3""""uk""""""""4z"ÀGu"rqukdng"crnkect"gn"

vgqtgoc"fgn"xcnqt"kpvgtogfkq"gp"uw"fqokpkq"fg"fghkpkekôpA"Lwuvkhkswg0""Gn"fqokpkq"gu"gn"kpvgtxcnq"egttcfq"]−3."6_0"Cfgoâu."h*−3+"="3"{"h*6+"="90"Ecfc"vtcoq"gu"wpc"hwpekôp"rqnkpqokcn"{"rqt"nq"vcpvq"ecfc"vtcoq"gu"eqpvkpwq"gp"gn"kpvgtxcnq"fcfq0"Fgdg"cpcnk|ctug"nc"eqpvkpwkfcf"fg"nc"hwpekôp"gp"z"="40"

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=+−→

"""{"" 87z4

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=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+→0"

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334

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"

Glgornq0"Ugc"nc"hwpekôp"i*z+"="( )

5z

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0"Fgvgtokpg"uk"vkgpg"wpc"tcî|"tgcn"gp"gn"

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335

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343

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344

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345

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"348

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tiempo podremos saber cuándo se está propagando con mayor rapidez y así

reforzar las medidas sanitarias necesarias.

Analizaremos a través de ejemplos, cómo medir los cambios.

Aprendizaje por descubrimiento Actividad 1. Los datos de la siguiente tabla muestran los valores de la

temperatura T de cierto volumen de agua tomadas en los minutos t indicados:

Tiempo t en minutos 0 5 10 15 20 25

Temperatura T en oC 15 25,5 55,7 95 85 62

Complete las siguientes tablas:

t 0 5 10 15 20 25

cambio

5 − 0 = 5

cambio

cambio

cambio

cambio

T 15 25,5 55,7 95 85 62

cambio

25,5 −15 == 10,5

cambio

cambio

cambio

cambio

Intervalo de tiempo

[ti, tf]

Cambio de la temperatura

ΔT =Tf − Ti

Cambio de la temperatura con respecto al cambio del tiempo

tT

ΔΔ =

if

if

tt

TT

−−

De t = 0 a t = 5 10,5 5

5,10

05

155,25

05

T(0) T(5)=

−−

=−−

= min

Cº1,2

De t = 5 a t = 10

De t = 10 a t = 15

De t = 15 a t = 20

De t = 20 a t = 25

¿Qué significado tienen las mediciones hechas en cada columna de la tabla?

¿Qué expresa la razón del cambio de la temperatura con respecto al tiempo?

¿Es posible que algunos valores de la tercera columna sean positivos y otros

negativos? ¿Qué interpretación le da a esta situación?

El cambio se da cuando se pasa de un estado a otro, de un estado inicial a un

estado final. Por lo tanto, para medir el cambio de una variable basta restar su

valor en el estado final menos su valor en el estado inicial. Para la variable t el

cambio se mide por la diferencia tf − ti = Δt (Δ: delta), donde Δt representa el

cambio en el tiempo. Para la variable T el cambio se mide con Tf − Ti = ΔT,

donde ΔT es el cambio, aumento o disminución, de la temperatura.

Generalmente, cuando se habla de cambios, necesariamente se los relaciona

con otros cambios. En nuestro ejemplo interesa el cambio de la temperatura en

127


"34:

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Ecodkq"fg"nc"vgorgtcvwtc""

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Ecodkq"fg"nc"vgorgtcvwtc"eqp"tgurgevq"cn"ecodkq"fgn"vkgorq"

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swg" nc" vgorgtcvwtc" ecodkô" eqp" wpc" xgnqekfcf" rtqogfkq" fg"okpE√3.4 " gp" gn"

kpvgtxcnq"fg"vkgorq"fg"v"="2"c"v"="7."ukipkhkec"swg"rqt"ecfc"okpwvq"vtcpuewttkfq"gp"fkejq"kpvgtxcnq."nc"vgorgtcvwtc"ecodkô"4.3√0"""

"Guvcu" tc|qpgu" ug" fgpqokpcp"tc|qpgu"fg"ecodkq"rtqogfkq0""Gp"nc"hkiwtc"ug"rwgfg"qdugtxct"nc"kpvgtrtgvcekôp"igqoêvtkec"fg"nqu" eânewnqu" tgcnk|cfqu" rctc"wpq"fg"nqu"kpvgtxcnqu0"

""Gp"gn"ewcftq"ug"owguvtc"gn"ukipkhkecfq"fg"ecfc"wpq"fg"nqu"eânewnqu"tgcnk|cfqu0""


"34;

Ecpvkfcf" v4"−"v3" V*v4+"−"V*v3+"34

34

vv

+v*V+v*V

−−

"

Ukipkhkecfq"Ecodkq"gp"gn"vkgorq"

Ecodkq"eqttgurqpfkgpvg""fg"nc"vgorgtcvwtc"

ewcpfq"gn"vkgorq"ecodkc"

fg"v"="v3"c"v"="v40"

Tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq"fg"nc"vgorgtcvwtc"V"eqp"

tgurgevq"c"v"ewcpfq""ecodkc"

fg"v3"c"v40"

"Fghkpkekôp0" Fcfc" wpc" hwpekôp" {"=" h*z+." ug" nncoc" tc|ôp" fg" ecodkq" rtqogfkq" *q"ogfkc+"fg"{"eqp"tgurgevq"c"z"gp"gn"kpvgtxcnq"]z3."z4_"cn"eqekgpvg"gpvtg"gn"ecodkq"

gp"gn"xcnqt"fg"{."Δ{"="h*z4+"−"h*z3+."{"nc"cornkvwf"fgn"kpvgtxcnq"Δz"="z4"−"z3."gp"gn"ewcn"qewttkô"gn"ecodkq0""Nc"tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq"fg"{""="h*z+"eqp"tgurgevq"c"z"gp"gn"kpvgtxcnq"fcfq"

]z3."z4_""gu<"34

34

zz

+z*h+z*h

z{

−−

=ΔΔ

0"

"

Ecpvkfcf" z4"−"z3"="Δz" h*z4+"−"h*z3+"="Δh" zh

zz

+z*h+z*h

34

34

ΔΔ=

−−

"

Ukipkhkecfq"Ecodkq"gp"nc"xctkcdng"fg"

z"="z3"c"z"="z40

Ecodkq"eqttgurqpfkgpvg""fg"nc"hwpekôp"

ewcpfq"nc"xctkcdng"ecodkc"

fg"z"="z3"c"z"="z40"

Tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq"fg"h*z+"eqp"tgurgevq"c"z"ewcpfq"z"

ecodkc"fg"z3"c"z40""Gp"nc"hkiwtc"ug"qdugtxcp"eôoq"ecodkcp"ncu"xctkcdngu"tgncekqpcfcu"rqt"ogfkq"fg"nc"ng{"h*z+<"

""

Fcfq"swg"Δz"="z4"−"z3."rqfgoqu"fgurglct"z4"="z3"-"Δz."{."Δ{"="h*z3"-"Δz+"−"h*z3+0""

Nc"fghkpkekôp"fg"tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"tguwnvc<""z

+z*h+zz*h

z{ 33

Δ−Δ+

=ΔΔ

"

Igqoêvtkecogpvg<"


"352

Gp" nc" vcdnc" rwgfg" qdugtxctug" swg" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" rtqogfkq" fg" nc"vgorgtcvwtc"eqp"tgurgevq"cn"vkgorq"gu"rqukvkxc"gp"nqu"vtgu"rtkogtqu"kpvgtxcnqu"{"pgicvkxc" gp" nqu" ûnvkoqu" fqu0" Uk" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" rtqogfkq" gu" rqukvkxc." rqt"

glgornq"okpE√26.8 " gp" gn" kpvgtxcnq" fg" v" =" 7" c" v" =" 32." guvq" ukipkhkec" swg" nc"

vgorgtcvwtc"etgekô"fwtcpvg"gug"kpvgtxcnq"fg"vkgorq"c"tc|ôp"fg"8.26q"rqt"okpwvq0"

Uk" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" rtqogfkq" gu" pgicvkxc." rqt" glgornq" −okpE√8.6 " gp" gn"

kpvgtxcnq"fg"v"="42"c"v"="47."guvq"ukipkhkec"swg"nc"vgorgtcvwtc"gp"fkejq"kpvgtxcnq"fgetgekô"c"tc|ôp"fg"6.8q"rqt"okpwvq0""Gn"xcnqt"cduqnwvq"fg"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq"kpfkec"nc"tcrkfg|"fgn"ecodkq0"Gn"ukipq"kpfkec"uk"ug"rtqfwlq"wp"cwogpvq"q"wpc"fkuokpwekôp0""Fghkpkekôp0"Ug" nncoc" tcrkfg|"fg"ecodkq"ogfkc"cn"xcnqt"cduqnwvq"fg" nc"tc|ôp"fg"

ecodkq"rtqogfkq."q"ugc<""34

34

zz

+z*h+z*h

z{

−−

=ΔΔ

"q"dkgp"z

+z*h+zz*h

z{ 33

Δ−Δ+

=ΔΔ

0"

"Cevkxkfcf"40"Nc"ecpvkfcf"fg"ecnqt"j"*gp"lqwngu+"swg"ug"pgegukvc"rctc"eqpxgtvkt"wp"itcoq"fg"ciwc"gp"xcrqt"gu"hwpekôp"fg"nc"vgorgtcvwtc"v"*gp"qE+"fg"nc"cvoôuhgtc"

ugiûp" nc" ng{"59742v:+v*j +−= 0" Eqorngvg" nc" ukiwkgpvg" vcdnc." ecnewncpfq" nqu"

ecodkqu" fg" nc" ecpvkfcf" fg" ecnqt" {" ncu" tc|qpgu" fg" ecodkq" rtqogfkq" fg" nc"ecpvkfcf"fg"ecnqt"j"eqp"tgurgevq"c"nc"vgorgtcvwtc"v"fg"nc"cvoôuhgtc."rctc"2"≤"v"≤"82."gp"kpvgtxcnqu"fg"37"itcfqu"fg"cornkvwf0""

Kpvgtxcnqu"fg"vgorgtcvwtc*gp""qE+"

Δj"Ecodkq"fg"nc"ecpvkfcf"fg"ecnqt*gp"lqwngu+"

vj

ΔΔ Ecodkq"fg"nc"ecpvkfcf"fg"

ecnqt"eqp"tgurgevq"c"nqu"ecodkqu"fg"nc"vgorgtcvwtc0"

2"≤"v"≤"37" " "37"≤"v"≤"52" " "52"≤"v"≤"67" " "67"≤"v"≤"82" "" "

"


¿Cómo se interpretan estos resultados?

Actividad 3. Un globo esférico se infla con un gas.

a) Encuentre la razón de cambio media del volumen con respecto al radio

cuando éste cambia de 2 m a 2,5 m y cuando cambia de 2,5 m a 3 m.

b) ¿Es posible calcular la variación del volumen cuándo el radio es exactamente

2,5m?

Se sugiere la confección de las siguientes tablas para responder al ítem b).

Intervalos

r

V

ΔΔ

Cambio del volumen con respecto al cambio del radio

2,5 ≤ t ≤ 2,6 ( ) ( )m

m7232969,811,0

17232969,8

5,26,2

2,5V2,6V 3==

−−

2,5 ≤ t ≤ 2,51

2,5 ≤ t ≤ 2,501

2,5 ≤ t ≤ 2,5001

2,5 ≤ t ≤ 2,50001

Intervalos

r

V

ΔΔ

Cambio del volumen con respecto al cambio del radio

2,4 ≤ t ≤ 2,5

2,49 ≤ t ≤ 2,5

2,499 ≤ t ≤ 2,5

2,4999 ≤ t ≤ 2,5

2,49999 ≤ t ≤ 2,5

¿Qué diferencia fundamental puede observar en las dos últimas actividades?

¿Por qué en el último problema se hace necesario calcular la razón de cambio

en un instante particular?

Si completamos la tabla de la actividad 2, podemos observar que la variación de

la cantidad de calor es igual a −40 joules en todos los intervalos, por eso la

razón de cambio promedio se mantiene constante para intervalos de 15o de

amplitud e igual a Cº

joules67,2

3

8

15

40−=−=− .

131


"354

""Ecnewncpfq" nc" tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"gp" hqtoc"cpcnîvkec"c"rctvkt"fg" nc" ng{"swg"fghkpg"nc"hwpekôp."ug"qdvkgpg"nc"okuoc"eqpenwukôp0"Gp"ghgevq<"

Δj"="j*v4+"−"j*v3+"=" 5

9742v:

5

9742v: 34 +−−

+−=

59742v:9742v: 34 −++−

"

Δj"= ( )3434 vv

5:

5v:v:

−−=+−

"

Eqoq"Δv"="v4"−"v3."nc"tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"gu" =ΔΔvj

( )( )34

34

vv

vv5:

−

−−=

5:− 0""

Guvg"tguwnvcfq"kpfkec"swg"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq"ug"ocpvkgpg"eqpuvcpvg."kpfgrgpfkgpvgogpvg"fg"swê" kpvgtxcnq"fg" vgorgtcvwtc"ug" vtcvg0"Pq" korqtvc"swg"vcp"itcpfg"q"rgswgòq"ugc"Δv."nc"tc|ôp"gpvtg"gn"ecodkq"fg"ecpvkfcf"fg"ecnqt"{"gn"

ecodkq"fg"vgorgtcvwtc"ukgortg"gu"E√

lqwngu5:− 0"

"Nqu" ecodkqu" swg" qewttgp" gp" nc" pcvwtcng|c" q" gp" nc" uqekgfcf" vkgpgp" fkuvkpvqu"eqorqtvcokgpvqu0" Jc{" ecodkqu" swg" qewttgp" wpkhqtogogpvg." eqoq" gp" gn"glgornq"cpvgtkqt."okgpvtcu"swg"gzkuvgp"hgpôogpqu"swg"ecodkcp"c"ecfc"kpuvcpvg"{" qvtqu" gp" nqu" swg" nqu" ecodkqu" uqp" ow{" eqornglqu." eqoq" gu" gn" ecuq" fgn"oqxkokgpvq" fg" nqu" gngevtqpgu" q" gn" oqxkokgpvq" fg" ncu" oqnêewncu0" Wpc" fg" ncu"hwpekqpgu" fgn" eânewnq" eqpukuvg" gp" gpeqpvtct" ncu" ng{gu" swg" fguetkdgp" guqu"ecodkqu"rctc"rqfgtnqu"cuî"ogfkt"{"rtgfgekt0""

Gp"nc"cevkxkfcf"5."vgpkgpfq"gp"ewgpvc"swg"gn"xqnwogp"fg"nc"guhgtc"gu"X"="5t

56 π ."

nc"tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"fgn"xqnwogp"eqp"tgurgevq"cn"tcfkq"gu34

34

tt

XX

t

X

−−

=ΔΔ

0"

Uk"gn"tcfkq"ecodkc"fg"4"o"c"4.7"o."qdvgpgoqu<""

=−−

=ΔΔ

34

34

tt

XX

tX

47.4

4567.4

56 55

−

π−π≈"85.::

oo5

0""

Nc" tc|ôp" rtqogfkq" fg" ecodkq" gp" guvg" kpvgtxcnq" gu" fg" 85.::oo5

." gu" fgekt" gn"

xqnwogp"ecodkc"85.::"o5"rqt"ecfc"ogvtq"swg"xctîc"gn"tcfkq0"

Uk"gn"tcfkq"ecodkc"fg"4.7o"c"5o."qdvgpgoqu<""

=−−

=ΔΔ

34

34

tt

XX

tX

7.45

7.4565

56 55

−

π−π≈";7.4;

oo5

0""

Nc" tc|ôp" rtqogfkq" fg" ecodkq" gp" guvg" kpvgtxcnq" gu" fg" ;7.4;oo5

." gu" fgekt" gn"

xqnwogp"ecodkc";7.4;"o5"rqt"ecfc"ogvtq"swg"xctîc"gn"tcfkq0"

Eqp" nc" tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq"jgoqu"cpcnk|cfq" nc"xctkcekôp"rqt" kpvgtxcnqu"tgncvkxcogpvg"itcpfgu."rgtq"gp"nc"tgcnkfcf"nqu"ecodkqu"pq"uwegfgp"c"ucnvqu0"Gp"


"355

gn" glgornq." gn" xqnwogp" fgn" inqdq" xctîc" c" ecfc" kpuvcpvg." gp" hqtoc" eqpvkpwc" c"ogfkfc"swg"ug"xc" kphncpfq0"Gp" nc"itcp"oc{qtîc"fg" nqu" hgpôogpqu" hîukequ"{"fg"qvtqu" hgpôogpqu" guvwfkcfqu" rqt" qvtcu" fkuekrnkpcu." nqu" ecodkqu" uqp" eqpvkpwqu0"Guvq" swkgtg" fgekt" swg" ecodkcp" c" ecfc" kpuvcpvg0" Rctc" guvwfkct" hgpôogpqu" fg"guvg"vkrq"pq"cnecp|c"eqp"ecnewnct"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq0""Uk" nc" xgnqekfcf" fg" nqu" ecodkqu" q" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" rtqogfkq" gu" eqpuvcpvg."ecnewnctnc" rctc" ewcnswkgt" kpvgtxcnq" pqu" rgtokvg" ucdgt" nq" swg" uwegfg" gp" wp"kpuvcpvg"ewcnswkgtc0"""Gp"gn"glgornq"fcfq"fg" nc"ecpvkfcf"fg"ecnqt"j"*gp" lqwngu+"swg"ug"pgegukvc"rctc"eqpxgtvkt"wp"itcoq"fg"ciwc"gp"xcrqt."gp"hwpekôp"fg"nc"vgorgtcvwtc"v"*gp"qE+"fg"nc" cvoôuhgtc." qdvwxkoqu" swg" ncu" tc|qpgu" fg" ecodkq" rtqogfkq" ug" ocpvkgpgp"

eqpuvcpvgu"g"kiwcngu"c"E√

lqwngu5:− 0""

Eqoq"pq"fgrgpfg"fg"Δv"."rqfgoqu"rtgfgekt"ewân"ugtâ"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"fg"nc"ecpvkfcf"fg"ecnqt"gp" kpvgtxcnqu"fg"vgorgtcvwtc"fg"ewcnswkgt"cornkvwf"q" kpenwuq"rqfgoqu" ucdgt" ewân" gu" nc" xctkcekôp" fg" nc" ecpvkfcf" fg" ecnqt" rctc" wpc"vgorgtcvwtc" gp" rctvkewnct0" Rqt" glgornq." rqfgoqu" cugiwtct" swg" nc" tc|ôp" fg"ecodkq" fg" nc" ecpvkfcf" fg" ecnqt" ewcpfq" nc" vgorgtcvwtc" gu" fg" 6:√" ugtâ" fg"

E√lqwngu

5:− 0"

"Gp"nqu"ecuqu"gp"swg"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"rtqogfkq"pq"gu"eqpuvcpvg."gn"eânewnq"gp"wp"kpuvcpvg"rctvkewnct"pq"gu"vcp"ugpeknnq0"Gp" gn" glgornq" fg" xctkcekôp" fgn" xqnwogp" fgn" inqdq." Àgu" rqukdng" ecnewnct" nc"xctkcekôp"fgn"xqnwogp"ewcpfq"gn"tcfkq"gu"gzcevcogpvg"4.7"oA""Uk"kpvgpvcoqu"ecnewnctnq"eqp"nc"hôtownc"fg"tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"qdvgpgoqu<"

=−−

=ΔΔ

34

34

tt

XX

tX

7.47.4

7.4567.4

56 55

−

π−π"qdvgpgoqu"

22 0"Ug"nngic"c"guvq"fgdkfq"c"swg"

gn"kpuvcpvg"kpkekcn"eqkpekfg"eqp"gn"hkpcn0"Cpcnk|ctgoqu"swê"uwegfg"egtec"fg"t"="4.70"Nc" kfgc" kpvwkvkxc" gu" swg" uk" ug" vqocp" kpvgtxcnqu" ecfc" xg|" oâu" rgswgòqu." ncu"tc|qpgu"fg"ecodkq"rtqogfkq"ug"cegtecp"ecfc"xg|"oâu"c" nc" tc|ôp"fg"ecodkq"rctc"wp"xcnqt"fg"t"rctvkewnct."gp"guvg"ecuq."t"="4.70"Gp"nc"rtkogtc"vcdnc."ocpvgpkgpfq"t3"hklq."gp"4.7."fctgoqu"xcnqtgu"c"t4"fg"ocpgtc"

vcn"swg"Δt"ugc"ecfc"xg|"oâu"rgswgòq0""Gp"nc"ugiwpfc"vcdnc."pqu"cegtectgoqu"c"t"="4.7"rqt"xcnqtgu"ogpqtgu"swg"ên0"C"ogfkfc"swg"Δt"ug"jceg"ecfc"xg|"oâu"rgswgòq."ncu"tc|qpgu"fg"ecodkq"ogfkc"

ug"cegtecp."q"vkgpfgp"c"9:.75;:38oo5 ."swg"gu"gn"xcnqt"gzcevq"rctc"t"="4.7o0"

Nc"tc|ôp"fg"ecodkq"fgn"xqnwogp"ewcpfq"gn"tcfkq"gu"fg"4.7o."gu"gn"nîokvg"fg"ncu"tc|qpgu"fg"ecodkq"rtqogfkq"ewcpfq"Δt"gu"kphkpkvcogpvg"rgswgòq."q"ugc"ewcpfq"

2t →Δ 0"Guvg"vkrq"fg"tc|ôp"ug"nncoc"tc|ôp"fg"ecodkq"kpuvcpvâpgc0"


Definición. Se llama razón de cambio instantánea de una función cuando x = x1

a: ( ) ( )

x

xfxxflím 11

0x Δ−Δ+

→Δ. También se puede escribir

x

ylím

0x ΔΔ

→Δ.

De aquí en adelante, para referirnos a la razón de cambio instantánea, lo

haremos diciendo simplemente razón de cambio.

Nota. Para simplificar la notación, se utiliza la letra h para designar al

incremento de la variable x. Es decir, h = Δx = x2 − x1. De esta manera la razón

de cambio promedio de una función f en el intervalo [x1, x2] está dado por

( ) ( )

h

x fhx f 11 −+y la razón de cambio instantánea de f en x = x1 está dado por

( ) ( )

h

x fhx f

0hlím 11 −+→

.

Problema

Un cuerpo se mueve sobre una línea recta de modo que la ley s(t) = 2t +

2 metros describe su posición después de t segundos. Determine la razón

media de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo transcurrido

durante los primeros 5 segundos, en intervalos de un segundo de

amplitud. ¿Cuál es la razón de cambio del desplazamiento a los dos

segundos de iniciado el movimiento?

La razón de cambio media está dada por ( ) ( )

12

12

tt

tsts

ts

−−

=ΔΔ .

Intervalo Razón de cambio

media

0 ≤ t ≤ 1 ( ) ( )

01

0s1s

−− = 2

segm

1 ≤ t ≤ 2 ( ) ( )

12

1s2s −−

= 2 segm

2 ≤ t ≤ 3 ( ) ( )

23

2s3s

−− = 2

segm

3 ≤ t ≤ 4 ( ) ( )

34

3s4s

−− = 2

segm

4 ≤ t ≤ 5 ( ) ( )

45

4s5s

−− = 2

segm

¿Cómo se interpretan estos

resultados?

Esto significa que la razón de cambio

media del desplazamiento con

respecto al tiempo es 2segm , es decir

que el móvil recorre 2 metros por cada

segundo transcurrido. Esta razón de

cambio media nos da la velocidad

promedio del móvil en cada intervalo.

En este ejemplo particular la velocidad

es constante, por lo tanto se trata de

un movimiento rectilíneo uniforme.

Otra forma de calcular la razón de cambio media, es trabajando con la ley que

define el movimiento.

134


"357

Vgpkgpfq"gp"ewgpvc"swg"( ) ( )

34

34

vvvuvu

vu

−−

=ΔΔ ( ) ( )

j

vujvu 33 −+= "."ug"qdvkgpg<"

( ) ( )=

+−++=

ΔΔ

j

4v44jv4

v

u 33 =−−++

j

4v44j4v4 33 4j

j4= 0"

Guvg" tguwnvcfq" swg" ug" qdvkgpg" cn" vtcdclct" eqp" nc" gzrtgukôp" ocvgoâvkec" swg"fghkpg" gn" oqxkokgpvq." rgtokvg" cugiwtct" swg" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" rtqogfkq" ug"ocpvkgpg" eqpuvcpvg" {" gu" kpfgrgpfkgpvg" fg" nc" cornkvwf"fgn" kpvgtxcnq"fg" vkgorq"swg"ug"eqpukfgtg0"Vcodkêp"rqfgoqu"qdvgpgt"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"qdugtxcpfq"nc"itâhkec"fgn"fgurnc|cokgpvq"gp"hwpekôp"fgn"vkgorq<

Eqoq" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" ug"ocpvkgpg" eqpuvcpvg." rctc"ewcnswkgt" xcnqt" fg" v." nc" tc|ôp"fg" ecodkq" c" nqu" 4" ugiwpfqu"

vcodkêp"gu"fg"4ugio 0""

Guvc" tc|ôp" fg" ecodkq" gu" nc"xgnqekfcf" kpuvcpvâpgc" fgn"oôxkn"c"nqu"fqu"ugiwpfqu0"

"Rtqdngoc"

Wp" ewgtrq" swg" gu" ncp|cfq" jcekc" cttkdc" ug" owgxg" fg" oqfq" swg" uw"

rqukekôp"fgurwêu"fg"v"ugiwpfqu"guvâ"fcfc"rqt"nc"ng{"u*v+"="−4v4"-"34v"-";"ogvtqu0" Fgvgtokpg" nc" tc|ôp" ogfkc" fg" ecodkq" fgn" fgurnc|cokgpvq" eqp"tgurgevq" cn" vkgorq" vtcpuewttkfq." fwtcpvg" nqu" rtkogtqu" 7" ugiwpfqu." gp"kpvgtxcnqu" fg" 3" ugiwpfq" fg" cornkvwf0" ÀEwân" gu" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" fgn"fgurnc|cokgpvq"c"nqu"4"ugiwpfqu"fg"kpkekcfq"gn"oqxkokgpvqA"

"

Nc"tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"gu"( ) ( )

34

34

vvvuvu

vu

−−

=ΔΔ ."rqt"nq"vcpvq<"

Kpvgtxcnq" Tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"

2"≤"v"≤"3"( ) ( )

232u3u

−− ="32"

ugio "

3"≤"v"≤"4"( ) ( )

343u4u

−−

="8"ugio "

4"≤"v"≤"5"( ) ( )

454u5u

−− ="4"

ugio "

5"≤"v"≤"6"( ) ( )

565u6u

−− ="−4"

ugio "

6"≤"v"≤"7"( ) ( )

676u7u

−− ="−8"

ugio "

"


"358

Uk"vtcdclcoqu"gp"hqtoc"cpcnîvkec."nc"tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"gu<""

( ) ( ) ( ) ( ) ( )j

;v34v4;jv34jv4

j

vujvu

v

u 3433

4333 ++−−++++−

=−+

=ΔΔ

"

vu

ΔΔ

j

;v34v4;j34v34j4jv6v4 3433

43

43 −−++++−−−

= "

vu

ΔΔ ( )

34j4v6j

34j4v6j

j

j34j4jv63

34

3 +−−=+−−

=+−−

= "

Tggornc|cpfq" nqu"xcnqtgu"fg" v3"{"j"rqt" nqu"xcnqtgu"eqttgurqpfkgpvgu"gp"ecfc"kpvgtxcnq."qdvgpgoqu<"

Kpvgtxcnq"Tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"

−6v3"−"4j"-"34"

2"≤"v"≤"3" −602"−"403"-"34"="32"ugio "

3"≤"v"≤"4" −603"−"403"-"34"="8"ugio "

4"≤"v"≤"5" −604"−403"-"34"="4"ugio "

5"≤"v"≤"6" −605"−"403"-"34"="−4"ugio "

6"≤"v"≤"7" −606"−403"-"34"="−8"ugio "

"Gp" guvg" glgornq" qdugtxcoqu" swg" nc"tc|ôp" fg" ecodkq" ogfkc." gu" fgekt." nc"xgnqekfcf" rtqogfkq." ecodkc" gp" ecfc"kpvgtxcnq0" Nqu" fcvqu" owguvtcp" swg" cn"rtkpekrkq"gn"ewgtrq" nngxô"wpc"xgnqekfcf"oc{qt"{"c"ogfkfc"swg"ug"cegtec"c"uw"cnvwtc"oâzkoc."nc"xgnqekfcf"fkuokpw{g0"ÀGu" rqukdng" swg" uw" xgnqekfcf" ug"cpwngA""Fgurwêu" fg" cnecp|ct" uw" cnvwtc"oâzkoc." gn" ewgtrq" dclc" *xgnqekfcf"rtqogfkq" pgicvkxc+." rtkogtq" eqp"ogpqt"{"nwgiq"eqp"oc{qt"tcrkfg|0" ""Rctc" ecnewnct" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" kpuvcpvâpgc" c" nqu" fqu" ugiwpfqu." fgdgoqu"ecnewnct"gn"nîokvg"fg"nc"tc|ôp"fg"ecodkq"ogfkc"ewcpfq"Δv"vkgpfg"c"egtq0"

( ) 34v634j4v6nîo 332v

+−=+−−→Δ

0" Tggornc|cpfq" v3" rqt" 4." qdvgpgoqu" swg" nc"

tc|ôp" fg" ecodkq" gu" 60" Gu" fgekt" swg" c" nqu" fqu" ugiwpfqu." nc" xgnqekfcf"

kpuvcpvâpgc"fgn"ewgtrq"gu"6ugio 0""


Si la función s(t) describe la posición de un objeto con respecto al tiempo

transcurrido t, dicha función recibe el nombre de función posición del objeto.

Como la velocidad promedio es el cociente entre el desplazamiento y el tiempo

empleado, la razón de cambio promedio en el intervalo desde t1 hasta t1 + Δt

indica la velocidad promedio en ese intervalo.

Es decir, velocidad promedio: vp = ( ) ( )

t

tftts

tiempo

entodesplazami 11

Δ−Δ+

=

La velocidad promedio no siempre es útil para resolver ciertos problemas

físicos. Si observamos el velocímetro de un auto, la aguja no permanece inmóvil

mucho tiempo, es decir, la velocidad del auto va cambiando. El vehículo tiene

una velocidad definida en cada momento. Esta velocidad se llama velocidad

instantánea y es el límite de la velocidad promedio cuando Δt → 0.

Por lo tanto, velocidad instantánea: ( )( ) ( )

t

tfttflímv 11

0t1ti Δ−Δ+

=→Δ

.

Ejemplo. Sea f(t) el número de individuos de una población de animales o

plantas en el tiempo t. El cambio del tamaño de la población entre los tiempos t1

y t2 es f = f(t1) − f(t2) de modo que la razón de cambio promedio, denominada

tasa promedio de crecimiento, durante el período t1 ≤ t ≤ t2 es,

Δ

tasa promedio de crecimiento: ( ) ( )

12

12

tt

tftf

t

f

−

−=

ΔΔ

La razón de cambio instantánea, tasa instantánea de crecimiento, se obtiene

haciendo que Δ t → 0 a partir de la tasa promedio,

tasa instantánea de crecimiento: t

flím

0t ΔΔ

→Δ

No existe seguridad de que el límite

exista ya que la función f(t) es una

función escalonada y, por lo tanto

discontinua, siempre que ocurre un

nacimiento o una muerte. Sin embargo,

podemos reemplazar la gráfica por una

curva suave de aproximación.

EJERCICIOS

1) Las gráficas muestran la posición de dos partículas que se mueven sobre una

línea recta de manera diferente, sabiendo que el espacio recorrido se mide en

metros y el tiempo en segundos.

137


"35:

c+"ÀEwân"gu"nc"xgnqekfcf"ogfkc"fg"nc"rctvîewnc"fg"nc"itâhkec"k+"ewâpfq"ug"owgxg"fg"nc"rqukekôp"R"c"nc"rqukekôp"SA"

d+"Gpewgpvtg"nc"gzrtgukôp"swg"rgtokvg"ecnewnct"nc"tc|ôp"ogfkc"fg"ecodkq"fgn"gurcekq"tgeqttkfq"eqp"tgurgevq"cn"vkgorq"rctc"nc"itâhkec"k+0"

e+"ÀEwân"gu"nc"xgnqekfcf"fg"nc"rctvîewnc"fg"nc"itâhkec"k+"gp"ewcnswkgt"rwpvqA"f+"Qdvgpic"nc"xgnqekfcf"ogfkc"fg"nc"rctvîewnc"fg"nc"itâhkec"kk+"ewcpfq"ug"

owgxg"fg"nc"rqukekôp"R"c"nc"rqukekôp"S."fg"S"c"T"{"fg"T"c"U0""4+"Fcfc"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"{"="h*z+."gpewgpvtg<"""""""""""c+"h*2+""d+"h*3+""e+"h*5+""f+"h*5+"−"h*3+"""""""""""g+" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" ogfkq" fg" h*z+"ewcpfq"z"ecodkc"fg"2"c"30""""""""""""h+" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" ogfkq" fg" h*z+"ewcpfq"z"ecodkc"fg"3"c"50""""""""""i+" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" ogfkq" fg" h*z+"ewcpfq"z"ecodkc"fg"5"c"60""""""""""j+" nc" tc|ôp" fg" ecodkq" ogfkq" fg" h*z+"ewcpfq"z"ecodkc"fg"2"c"60"

"5+" Wpc" gphgtogtc" eqpvtqnc" nc" vgorgtcvwtc" fg" wp" rcekgpvg" {" tgikuvtc" nqu"tguwnvcfqu<"

Jqtcu" 37" 38" 39" 3:" 3;" 42" 43" 44" 45"Vgorgtcvwtc" 59" 59" 59.7" 5:" 5:.6" 5;" 5;.7" 5;" 5:"

c+"ÀEwân"gu"gn"ecodkq"fg"vgorgtcvwtc"gpvtg"ncu"38"{"ncu"39"jqtcu."ncu"3;"{"ncu"43."ncu"43"{"ncu"45"jqtcuA

d+"Vtceg"nc"ewtxc"fg"hkgdtg"fgn"rcekgpvg0"e+"Ecnewng"ncu"tc|qpgu"fg"ecodkq"gpvtg"ncu"37"{"ncu"45"jqtcu"gp"kpvgtxcnqu"

fg"wpc"jqtc0"f+"Eqorngvg"nc"vcdnc<"

Vgorgtcvwtc" Itâhkec" Tc|ôp"fg"ecodkq"Uwdg" Etgekgpvg" Rqukvkxc"Swgfc"kiwcn" " "Dclc" " "


4) La velocidad en t = 1 segundos de una partícula que se mueve sobre una

línea recta de acuerdo con la ley s(t) = 1,2t2, s en metros y t en segundos, se

expresa como segm4,2

tslím

0t=

ΔΔ

→Δ. Esta expresión significa:

a) En la cercanía de t = 1 la velocidad de la partícula es de segm4,2 .

b) La velocidad de la partícula en t = 1 es exactamente segm4,2 .

c) La sucesión de velocidades medias muy cerca de t = 1, tanto por

derecha como por izquierda, se aproximan mucho a 2,4, y no lo exceden.

5) La posición de una partícula (en metros) sobre una recta horizontal está

determinada por la función f(t) = −3t2 + 2t, t en segundos. Determine:

a) la velocidad promedio de la partícula durante el tercer segundo (es

decir, entre t = 2 y t = 3). Durante ese intervalo de tiempo, ¿la partícula avanza o

retrocede?

b) una fórmula que permita obtener la velocidad promedio de la partícula

entre t y t + Δt.

c) la velocidad instantánea de la partícula en t = 3. 6) Se estima que dentro de t años la población de cierta comunidad suburbana

será P(t) = 1t

620+

− miles de personas.

a) ¿Cuánto cambiará la población durante el segundo año? (de t = 1 a

t = 2). ¿La población sufrirá un aumento o una disminución?

b) ¿A qué razón cambiará la población durante el segundo año?

c) Obtenga una fórmula que permita obtener la razón de cambio

promedio de la población con respecto al tiempo.

d) Obtenga una fórmula que permita obtener la razón a la cual cambiará

la población, con respecto al tiempo, dentro de t años.

e) ¿A qué razón crecerá la población dentro de un año?

f) ¿A qué razón crecerá la población dentro de nueve años?

g) ¿Qué sucederá con la razón de crecimiento de la población a largo

plazo?

7) Caída libre: Si dejamos caer una piedra hacia la tierra desde una altura de 35

metros, los experimentos de la física han llevado a obtener como modelo del

espacio recorrido por la piedra en t segundos la fórmula: y(t) = 35 − 21 gt

2,

donde g = 9,8 2

seg

m es la aceleración de la gravedad.

a) Encuentre la posición de la piedra luego de 1 segundo de ser lanzada,

luego de 2 segundos y 2,5 segundos.

b) Calcule la velocidad media de la piedra para los intervalos de tiempo

[0, 1] y [1, 2].

c) Grafique y(t). Marque Δy y Δt para los intervalos de tiempo [0, 1] y

[1, 2]. ¿La piedra tiene siempre la misma velocidad? Explique.

139


"362

f+"ÀGp"swê"kpuvcpvg"nngic"nc"rkgftc"cn"uwgnqA"g+"Ecnewng"nc"xgnqekfcf"kpuvcpvâpgc"fg"nc"rkgftc"gp"v"="3"{"gp"v"="4.70"ÀSwê"

rqfgoqu"fgekt"fg"nc"xgnqekfcf"kpuvcpvâpgc"fg"nc"rkgftc"c"ogfkfc"swg"ug"cegtec"cn"uwgnqA"ÀEqkpekfg"guvc"eqpenwukôp"eqp"nc"kpvwkekôpA":+"Nc"itâhkec"owguvtc" nc"xctkcekôp"fg" nc"fkuvcpekc"u"*gp"ogvtqu+"swg"tgeqttg"wp"rtq{gevkn"tgurgevq"fgn"vkgorq"v"*gp"ugiwpfqu+0""

Cpcnk|cpfq"nc"itâhkec."guvkog<"c+"nc"xgnqekfcf"ogfkc"fgn"rtq{gevkn"gpvtg"gn"rtkogt"{"ewctvq"ugiwpfq0"d+"nc"xgnqekfcf"ogfkc"fgn"rtq{gevkn"gpvtg"gn"rtkogt"{"vgtegt"ugiwpfq0"e+"nc"xgnqekfcf"ogfkc"fgn"rtq{gevkn"gpvtg"v"="3"{"v"="40"f+"nc"xgnqekfcf"fgn"rtq{gevkn"gzcevcogpvg"gp"v"="30"

;+"Gp"gzrgtkogpvqu"fg"ncdqtcvqtkq."ug"octeô"nc"tcî|"fg"wpc"rnâpvwnc"fg"ocî|"{"ug"vqoô"wpc"hqvqitchîc"eqpvkpwc"*eqp""gn""qdvwtcfqt"fg"nc"eâoctc"ukgortg"cdkgtvq."nc"rgnîewnc"cxcp|cpfq"{" nc" nw|"fêdkn"{"eqpuvcpvg+"swg"tgikuvtô"gn"etgekokgpvq"fg"nc"tcî|."qdvgpkgpfq" nc" kphqtocekôp"swg"ug" tgikuvtc"gp" nc"ukiwkgpvg" vcdnc" *nqu"fcvqu"uqp"crtqzkocfqu+<"

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d+"Kpxguvkiwg"uk"jc{"cniûp"kpvgtxcnq"fg"vkgorq"gp"gn"ewcn"gn"etgekokgpvq"ug"fê"oâu"târkfcogpvg0"

e+"Ecnewng" nc"xgnqekfcf"ogfkc"fg"etgekokgpvq"gp" nqu" kpvgtxcnqu" ]3="3.7_"{"]3.7="4_0"

f+" Fgvgtokpg" nc" xgnqekfcf" kpuvcpvâpgc" fg" etgekokgpvq" fg" nc" tcî|" gp"ewcnswkgt"kpuvcpvg0"

g+"ÀSwê"tgncekôp"gzkuvg"gpvtg" nc"xctkcekôp" kpuvcpvâpgc"fg"etgekokgpvq"gp"ewcnswkgt"kpuvcpvg"v"{"nc"xgnqekfcf"ogfkc"gp"ewcnswkgt"kpvgtxcnqA"

TGURWGUVCU"

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"( ) ( ) ( )

45

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"363

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Δ= " 2" 2.7" 2.7" 2.6" 2.8" 2.7" ⁄2.7" ⁄3"

"

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8+" c+" Fwtcpvg" gn" ugiwpfq" còq" nc" rqdncekôp" etgegtâ" 3222" kpfkxkfwqu0 d+" Nc"rqdncekôp" etgegtâ"c" tc|ôp"fg"3222" kpfkxkfwqu"rqt"còq0"e+" Nc" tc|ôp"fg"ecodkq"


promedio de la población con respecto al tiempo, cuando el tiempo cambia de t

a t + Δt, está dada por la expresión ( )( )1t.1tt6

++Δ+ miles de personas por año.

d) La razón a la cual cambiará la población, con respecto al tiempo, dentro de t

años es ( )21t

6

+ miles de personas por año. e) Dentro de un año la población

estará creciendo a razón de 1500 personas por año. f) Dentro de nueve años la

población estará creciendo a razón de 60 personas por año. g) La razón de

crecimiento a largo plazo tiende a cero. Es decir que con el tiempo, la población

tiende a estabilizarse.

7) a) y(1) = 30,1m; y(2) = 15,4m; y(2,5) = 4,375m

b) La velocidad media de la piedra para el intervalo [0, 1] es v = –4,9segm y la

velocidad media para el intervalo [1, 2] es v = –14,7segm .

c) La velocidad de la piedra cambia a

medida que transcurre el tiempo. Lo

podemos ver ya que recorre distancias

distintas en intervalos de igual amplitud.

d) La piedra llega al suelo

aproximadamente a los 2,67 segundos.

e) La velocidad instantánea de la piedra en

t = 1 es vi(1) = –9,8segm y en t = 2,5 es vi

(2,5) = –24,5segm .

A medida que la piedra se acerca al suelo su velocidad aumenta, se observa en

los valores calculados y coincide con lo que pensamos en forma intuitiva.

8)a) segm

31 ; b)

segm375,0 ; c)

segm4,0 ; d)

segm5,0

9)a) T(t) = 3 + t, es una función de primer grado.

b) En todos los intervalos de tiempo la raíz tiene

el mismo crecimiento. O sea que es constante.

c) La velocidad media en ambos intervalos es

1h

cm .

d) La velocidad de crecimiento es la misma en

cualquier instante, 1h

cm .

e) La velocidad de crecimiento en cualquier

instante y la velocidad media en cualquier

intervalo son iguales.

142


"365

604"Gn"rtqdngoc"fg"nc"tgevc"vcpigpvg"c"wpc"ewtxc"Gp" nc"igqogvtîc"rncpc"wpc" tgevc"gu" vcpigpvg"c"wpc"ektewphgtgpekc"uk" nc" vqec"q"eqtvc"gp"wp"uqnq"rwpvq0"Guvc"fghkpkekôp."ukp"godctiq."pq"gu"dwgpc"rctc"qvtq"vkrq"fg"ewtxcu0""*c+" " " " *d+" " " " *e+"

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"366

Uk" eqpukfgtcoqu" wpc" ewtxc" gp" gn"rncpq"z{"{"wp"rwpvq"R"fg"nc"okuoc"uônq"pqu" tguvc"eqpqegt"gn"xcnqt"fg"nc" rgpfkgpvg" o" fg" nc" tgevc"vcpigpvg" gp" R" {c" swg" eqp" nc"rgpfkgpvg" {" wp" rwpvq" guvcoqu" gp"eqpfkekqpgu"fg"fct" nc"gewcekôp"fg"wpc"tgevc0"Uk"S"gu"ewcnswkgt"rwpvq"uqdtg" nc" ewtxc" fkuvkpvq" fg" R." nc"tgevc" swg" nqu" wpg" gu" wpc" tgevc"ugecpvg0"" "

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" 367"

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b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica en x0 = 1. c) Grafique la función, la recta secante y la recta tangente.

2) Sea la función g(x) = x3

a) Encuentre la razón de cambio promedio de la función cuando x cambia

desde x0 = −3 a x1 = −2. Determine que dicha razón de cambio coincide con la

pendiente de la recta secante que une los puntos de abscisa x0 = −3 y x1 = −2. Halle la ecuación de la recta secante.

b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en

el punto de abscisa x0 = −2. c) Grafique la función, la recta secante y la recta tangente.

3) Halle la razón de cambio media de la función dada en el intervalo indicado.

Calcule la razón instantánea de cambio en los extremos del intervalo [x0, x1].

Función Intervalo [x0, x1]

a) f(x) = −2x +3 [−2, −1]

b) f(x) = x2 − 1 [0, 1]

4) Determine la ecuación de la recta secante a cada una de las funciones del ejercicio anterior que une los extremos del intervalo considerado y la recta tangente en cada uno de los extremos del intervalo.

4.4 Concepto de derivada En las secciones anteriores se definió la razón de cambio instantánea como un

límite de la forma ( ) ( )

h

x fhx f lím 11

0h

−+

→. La razón de cambio instantánea tiene

numerosas aplicaciones en las ciencias naturales, sociales y en las ingenierías.

En economía, el costo marginal, ingreso marginal o beneficio marginal, en física,

velocidad (si la función original representa el espacio recorrido). En química, la

razón de cambio en la concentración de un reactivo con respecto al tiempo,

llamada velocidad de reacción. En biología, la razón de cambio de una colonia

de bacterias con respecto al tiempo.

También se analizó que ese límite da la pendiente de la recta tangente a una

curva de ecuación y = f(x) en un punto de abscisa x = x1.

Dada la frecuencia con que aparecen estos límites, se les asigna un nombre y

una notación especiales, surgiendo el concepto de derivada.

El concepto de derivada se origina a mediados del siglo XVII cuando el

matemático francés Pierre de Fermat (1601–1665) intentó obtener máximos y

mínimos de ciertas funciones.

Definición. Se llama derivada de la función y = f(x) en el punto de abscisa x = x1

y se indica con f '(x1) a f '(x1) = ( ) ( )

h

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, siempre que este límite

exista.

153


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" d+"h*z+"="4z4"-"z" gp"z2"="−4"

" e+"h*z+"=" 5z − " gp"z2"="34"

5+"Cpcnkeg"rctc"swê"hwpekqpgu"ug"xgtkhkec"swg"uw"fgtkxcfc"gp"z"="z2"gu"pwnc0""""


a) b)

c) d)

4) ¿En qué gráficas se cumple que f '(x) < 0?

a) b) c) d)

5) Dada la gráfica de la función y = f(x), ordene

los siguientes números en forma creciente.

g'(–2), g'(–1,5), g'(–0,5), g'(1), g'(3)

Explique su razonamiento.

RESPUESTAS

1)a) f '(x) = 0 b) f '(x) = 4 c) f '(x) = −2x d) f '(x) = ( )21x

1

−−

2)a) 2 b) −7 c) 61

3) La derivada de la función en x = x0 es nula en a) y b).

4) f '(x) < 0 en b).

5) g'(–0,5); g'(–1,5); g'(1); g'(–2); g'(3). Trazando aproximadamente la recta

157


37:"

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rqukvkxc+0"•" Uk" nc" rgpfkgpvg" gu" pgicvkxc." gn" oôxkn" tgvtqegfg" *xgnqekfcf" pgicvkxc+." eqp"

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retrocediendo antes de t2, allí se detuvo para comenzar a avanzar hasta t4,

instante en el que se detuvo otra vez para comenzar a retroceder.

Cuando se estudia el movimiento rectilíneo puede considerarse que el objeto se

desplaza a lo largo de un eje de coordenadas. La posición del objeto desde el

origen en los ejes es una función del tiempo t y generalmente se representa

como s(t). La razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo es la

velocidad v(t) del objeto.

Expresada como derivada, la velocidad es v(t) = dtds , cuando esta derivada

existe.

• Si v(t) > 0, se dice que el objeto está avanzando y si v(t) < 0, está

retrocediendo.

• Si v(t) = 0 el objeto no avanza ni retrocede.

Podemos representar mediante un diagrama el movimiento rectilíneo.

En el caso en que v(t) ≥ 0 en un intervalo [t1, t2], el objeto se mueve en

dirección positiva, de modo que el desplazamiento s(t2) − s(t1) coincide con la

distancia recorrida por el objeto.

Si v(t) ≤ 0 en un intervalo [t1, t2], el objeto se mueve en dirección negativa y el

desplazamiento s(t2) − s(t1) es el negativo de la distancia recorrida por el objeto.

Si v(t) asume valores tanto positivos como negativos durante el intervalo de

tiempo [t1, t2], el móvil se mueve hacia adelante y hacia atrás y para determinar

la distancia total recorrida deben sumarse las distancias recorridas en cada

sentido.

Problema La siguiente gráfica muestra la posición de un móvil durante un recorrido

de 15 minutos.

159


Esboce la gráfica de su correspondiente función velocidad (en min

km).

Desde cero hasta los tres minutos, la gráfica corresponde a un segmento de

recta y = mx + h. El movimiento es rectilíneo uniforme, significa que el móvil

tiene velocidad constante y como la pendiente es positiva, el móvil avanza, por

lo que la velocidad es positiva. Como recorrió 3 km en 3 minutos podemos decir

que la velocidad es 1minkm .

Desde los tres hasta los nueve minutos el móvil está quieto, ya que el espacio

recorrido no varía. La velocidad es nula.

Desde el minuto nueve hasta el quince, el móvil avanza nuevamente con un

movimiento rectilíneo y uniforme. El móvil recorre 3 km en 6 minutos y la

velocidad es 0,5 minkm .

Si representamos gráficamente las conclusiones anteriores:

No hay información sobre lo que ocurre en los extremos de los intervalos. La

gráfica es solo una de las posibles respuestas, la que corresponde a considerar

que el móvil se mueve hasta los 3 minutos, incluido el mismo, y desde los 9

minutos, también incluido ese instante.

Problema

La función representada gráficamente describe la velocidad en minkm de

un móvil durante un trayecto de 15 minutos. Esboce la gráfica de la

función que describe la posición en función del tiempo.

160


Desde cero hasta el minuto tres, el móvil se mueve con velocidad constante de

3minkm , por lo tanto avanza con un movimiento rectilíneo y uniforme. A los tres

minutos habrá recorrido 9 km. Desde los tres hasta los doce minutos, la

velocidad es nula, eso significa que el móvil está quieto. En los últimos tres

minutos la velocidad es negativa, por lo tanto el móvil retrocede, también con

movimiento rectilíneo y uniforme. Como el valor absoluto de la velocidad es 1

minkm , en los tres minutos el móvil retrocede 3 km.

Teniendo en cuenta esta información es posible bosquejar una gráfica que

describe la posición del móvil en función del tiempo. No hay información sobre la

posición inicial, así que la respuesta no es única. Considerando, por ejemplo,

que la posición inicial del móvil es s = 0, resulta:

Problema La posición de un objeto en movimiento rectilíneo variado está dada por la

función s(t) = t3 − 12t + 2, donde t se mide en segundos y s(t) en metros.

a) Determine la velocidad del objeto en cada instante t.

b) Halle en qué instantes se detiene el móvil.

c) Analice su movimiento entre los instantes t = 0 y t = 3.

d) Encuentre la posición de la partícula en t = 0, t = 2 y t = 3 y dibuje un

diagrama que represente el movimiento de la partícula para 0 ≤ t ≤ 3.

e) Calcule la distancia total recorrida por la partícula en ese intervalo.

a) La velocidad con que se mueve el objeto en cada instante t está dada por la

derivada de la función que describe la posición del objeto:

v(t) = s'(t) =( ) ( )

h

2t12t2ht12h+t lím

h

s(t)h)+s(t lím

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−+−++−=

−→→

v(t) = s'(t) h

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v(t) = s'(t) 12t312hth33t límh

h12hth3h3t lím222

0h

322

0h−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++=−++=

→→

La velocidad del móvil en cada instante t del movimiento es v(t) = 3t2 − 12.

b) Si el móvil se detiene, su velocidad v(t) = 0.

Entonces: 3t2 − 12 = 0 ⇒ 3t

2 = 12 ⇒ t

2 = 4 ⇒ t = ±2

161

A los dos segundos de iniciado el movimiento, el objeto se detiene.


384"

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385"

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gurgekhkect"uk"z"ug"crtqzkoc"c"z3" vqocpfq"xcnqtgu"ogpqtgu"q"oc{qtgu"swg"z30"Gu"rqukdng"fghkpkt"fqu"vkrqu"fg"fgtkxcfcu"ncvgtcngu."wpc"rqt"k|swkgtfc"{"qvtc"rqt"fgtgejc0"""

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+→+→

+) "" ⇒" h")*3-+"="3"

Guvg"xcnqt"gu"nc"fgtkxcfc"ncvgtcn"rqt"fgtgejc"g"kpfkec"swg"nc"tgevc"vcpigpvg"c"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"gp"z"="3"rqt"fgtgejc"vkgpg"rgpfkgpvg"30"Cn"pq"eqkpekfkt"ncu"fgtkxcfcu"ncvgtcngu"eqpenwkoqu"swg"nc"hwpekôp"pq"gu"fgtkxcdng"gp"z"="30"Nc"hwpekôp"fcfc"gu"eqpvkpwc"gp"z"="3"rgtq"pq"gu"fgtkxcdng"gp"fkejq"rwpvq0""

Glgornq0"Eqpukfgtg"nc"hwpekôp"h*z+"=" 5 z "{"cpcnkeg"nc"gzkuvgpekc"fg"nc"fgtkxcfc"gp"z"="20""

Nc"hwpekôp"h*z+"=" 5 z "gu"eqpvkpwc"rctc"vqfq"z"swg"rgtvgpgeg"c"T0"Uw"itâhkec"gu<"""

"Cn"kpvgpvct"vtc|ct"nc"tgevc"vcpigpvg"gp"z"="2."xgoqu"swg"uî"gzkuvg0""


Al ir trazando rectas secantes por

derecha y por izquierda de x = 0, estas

rectas se aproximan a una recta vertical

de ecuación x = 0, que coincide, en

este caso, con el eje de ordenadas.

Por lo tanto la función 3 xy = no es

derivable en x = 0.

En los ejemplos anteriores se puede observar que la continuidad no implica la

eorema. Si una función es derivable en x0 entonces es continua en x0.

ipótesis: f(x) es derivable en x0.

derivable en x0, existe f(x0) ya que esta hipótesis

garantiza la existencia de

derivabilidad en el punto. Sin embargo, la derivabilidad implica continuidad como

se demuestra en el siguiente teorema.

T

Simbólicamente: f(x) derivable ⇒ f(x) continua

H

Tesis: f(x) es continua en x0.

Demostración: Si y = f(x) es

( ) ( ) ( )h

xfhxf 00límx f0h

0−+

=' . →

Escribimos f(x0 + h) = f(x0 + h) − f(x0) + f(x0)

Si h ≠ 0 ⇒ f(x0 + h) =( ) ( )

166

( )00 fxfhxf −+

0xh.h

+

Si aplicamos límite a ambos miembros resulta:

( ) ( ) ( ) ( )00h0h

00 xfhxf+

−+=+

0h0

0hxflímhlím.

hlímhxflím

→→→→

Como

( ) ( ) ( )00h

000h

xflím0.x fhxflím→→

+=+ '

( ) ( )000h

xfxflím =→

, entonces: ( ) ( )000h

xfhxflím =+→

. Luego, y = f(x) es

continua en x = x0.

bservación. No vale el recíproco, es decir que una función sea continua en un

rrecíproco: si una función no es continua en un punto

O

punto no implica necesariamente que sea derivable (como se analizó en los

ejemplos anteriores).

Sí es válido el contra

entonces no es derivable en dicho punto.


389"

Glgornq0" Cpcnkeg" nc" fgtkxcdknkfcf" fg" nc"hwpekôp"fghkpkfc"itâhkecogpvg0"""Nc" hwpekôp" fghkpkfc" itâhkecogpvg" pq" gu"eqpvkpwc" gp" z" =" 4." rqt" nq" vcpvq" pq" gu"fgtkxcdng"gp"gug"rwpvq0""

"ÀGp"swê"rwpvqu"wpc"hwpekôp"pq"gu"fgtkxcdngA"•" Uk" wpc" hwpekôp" pq" gu" eqpvkpwc" gp" wp" rwpvq" gpvqpegu" pq" gu" fgtkxcdng" gp"fkejq"rwpvq0"Wpc"hwpekôp"swg"rtgugpvc"wpc"fkueqpvkpwkfcf"*fg"ewcnswkgt"vkrq+"gp"wp"rwpvq."pq"gu"fgtkxcdng"gp"gug"rwpvq0"

•" Uk"nc"itâhkec"fg"wpc"hwpekôp"vkgpg"guswkpcu"q"rwpvqu"rkeq."nc"itâhkec"fg"h"pq"vkgpg"vcpigpvg"gp"guqu"rwpvqu"{c"swg"ncu"fgtkxcfcu"ncvgtcngu"uqp"fkuvkpvcu0"

•" Wpc" vgtegtc"rqukdknkfcf"gu"swg" nc" ewtxc" vgpic" tgevc" vcpigpvg"gp"wp"rwpvq"rgtq"swg"ugc"xgtvkecn0"Gp"gug"ecuq"pq"gzkuvg"nc"fgtkxcfc"gp"gug"rwpvq0"

"Eqoq"tguwogp"ug"owguvtcp"cniwpqu"glgornqu"itâhkequ"fqpfg"nc"hwpekôp"pq"gu"

fgtkxcdng"gp"gn"rwpvq"z20"

"Nc" hwpekôp" pq" gu" eqpvkpwc" gp" z20" C"

rguct"fg"swg"z2"rgtvgpgeg"cn"fqokpkq"pq" gzkuvg" nc" vcpigpvg" gp" gug" rwpvq0"

Pq"gzkuvg"h")*z2+0"

"Uk"dkgp"gn"rwpvq"z2"∈"Fh

""nc"hwpekôp"pq"gu"eqpvkpwc"gp"ên0"Nc"itâhkec"pq"vkgpg"

tgevc"vcpigpvg"gp"*z2."h*z2++0""

Pq"gzkuvg"h")*z2+0"Uk"nc"hwpekôp"pq"gu"eqpvkpwc"gp"wp"rwpvq"z2""nc"hwpekôp"pq"gu"fgtkxcdng"gp"gug"

rwpvq0"Pq"gzkuvg"h")*z2+0"


38:"

Nc"hwpekôp"gu"eqpvkpwc"gp"z2"rgtq"pq"rtgugpvc" vcpigpvg" gp" gn" rwpvq" fg"

cduekuc" z20"Pq"gzkuvg" h" )*z2+" *gzkuvgp"ncu" fgtkxcfcu" ncvgtcngu" rqt" k|swkgtfc"

{" rqt" fgtgejc" gp" z2" rgtq" uqp"

fkuvkpvcu+0"Gp"z2"gzkuvg"wp"rwpvq"rkeq0"

Ug"rwgfg"qdugtxct"gp" nc"itâhkec"swg"nc" hwpekôp" vkgpg" vcpigpvg" xgtvkecn" gp"

gn" rwpvq" *z2." h*z2++0" Uw" rgpfkgpvg" pq"guvâ"fghkpkfc"{."rqt"nq"vcpvq."pq"gzkuvg"

h")*z2+0"Nc"hwpekôp"gu"eqpvkpwc"gp"z20"Uk"wpc"hwpekôp"gu"eqpvkpwc"gp"wp"rwpvq"z2"guvq"pq"cugiwtc"swg"ugc"

fgtkxcdng0""Wpc"hwpekôp"{"="h*z+"gu"fgtkxcdng"gp"ekgtvq"xcnqt"fg"z"uk"uw"itâhkec"gu"›uwcxgfi"gp"gn"rwpvq"eqttgurqpfkgpvg" *z."{+0"Gu"fgtkxcdng"uk"gp"fkejq"rwpvq" nc"itâhkec" vkgpg"wpc" vcpigpvg" dkgp" fghkpkfc" eqp" wpc" rgpfkgpvg" dkgp" fghkpkfc0" Rctc" swg" guvq"qewttc"nc"hwpekôp"fgdg"ugt"eqpvkpwc"gp"gn"rwpvq"{"fgdgp"gzkuvkt"{"ugt"kiwcngu"ncu"fgtkxcfcu"ncvgtcngu"gp"fkejq"rwpvq0"Nc"ukiwkgpvg"itâhkec"eqttgurqpfg"c""wpc"hwpekôp""fgtkxcdng""gp"vqfq"uw"fqokpkq"gzegrvq"gp"z"="c."z"="d"{"z"="e0"

"

60:"Fgtkxcdknkfcf"fg"wpc"hwpekôp"gp"wp"kpvgtxcnq"

Ucdgoqu"swg"wpc"hwpekôp"gu"fgtkxcdng"gp"z"="z3"uk"h")*z3+"gzkuvg0"Wpc" hwpekôp" gu" fgtkxcdng" gp" wp" kpvgtxcnq" cdkgtvq" *hkpkvq" q" kphkpkvq+" uk" vkgpg"fgtkxcfc"gp"ecfc"rwpvq"fgn"kpvgtxcnq0"Wpc" hwpekôp" "gu"fgtkxcdng" "gp"wp" kpvgtxcnq"egttcfq" ]c."d_" uk" gu"fgtkxcdng"gp"gn"


intervalo abierto (a, b) y si los límitesh

)a(f)ha(flím

0h

−++

→ (derivada en a por

derecha) y h

)b(f)hb(flím

0h

−+−

→ (derivada en b por izquierda) existen.

Ejemplo: Dada la función

definida gráficamente, analice

la derivabilidad.

En x = 0 la función tiene un punto pico ya que las derivadas laterales son

distintas. La función no es derivable en x = 0.

En x = 3 la función es discontinua, por lo tanto no es derivable en ese punto.

En los demás valores del dominio la función es derivable, ya que es posible

trazar la tangente en cualquier punto y definir su pendiente.

Ejemplo. Analice la derivabilidad de f : R → R / x →

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>≤<−

≤−

6 xsi 14

6x4 si 165x

4 xsi3x x2

Cada tramo de la función está definida por una expresión polinomial. Esto

permite asegurar que la función es continua y derivable en todo su dominio,

excepto quizás en x = 4 y en x = 6.

También se puede probar que la función es continua en los puntos en los que

cambia la ley que define la función, es decir, en x = 4 y en x = 6.

Analicemos la derivabilidad en esos valores. Para ello es necesario analizar si

las derivadas laterales existen y son iguales. Recordemos que:

f ' = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

1x( ) ( )

h

xfhxflím 11

0h

−+−→

y f ' = ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

1x( ) ( )

h

xfhxflím 11

0h

−++

→

Para x = 4 resulta: f ' =)4(− ( ) ( )

h

4fh4flím

0h

−+−

→

Teniendo en cuenta que f(4) = 42 – 3.4 = 4, obtenemos:

f ' = )4(− ( ) ( )

h

4h43h4lím

2

0h

−+−+−

→

169


392"

h") +6*−"=

j6j534jj06046nîo

44

2j

−−−++−

→ =

jjj7nîo4

2j

+−

→ "

h") +6*−"=

( )jj7j

nîo2j

+−

→ = 7j7nîo

2j

=+−

→ ⇒ h") +6*

−"= 70"

"

h") +6*+"=

( ) ( )j

6hj6hnîo2j

−++

→

h") +6*+"=

( )j

638j67nîo2j

−−++

→=

j638j742nîo

2j

−−++

→=

jj7nîo

2j+

→

h") +6*+"= 77nîo

2j

=+

→ ⇒ "h") +6*

+"="70"

Eqoq"ncu"fgtkxcfcu"ncvgtcngu"uqp"kiwcngu."nc"hwpekôp"gu"fgtkxcdng"gp"z"="60""Rctc" z" =" 8." gn" xcnqt" fg" nc" hwpekôp" gu" h*8+" =" 708" ⁄" 38" =" 36" " {" ncu" fgtkxcfcu"ncvgtcngu<"

h") +8*−

= ( ) ( )j

8hj8hnîo2j

−+−

→ =

( )j

3638j87nîo2j

−−+−

→

h") +8*−

= 77nîojj7nîo

j3638j752nîo

2j2j2j

===−−+−

→−

→−

→.

"

h") +8*+

= ( ) ( ) ( )22nîo

j3880736

nîoj

8hj8hnîo

2j2j2j

==−−

=−+

+→

+→

+→

."

Fgdkfq" c"swg" ncu" fgtkxcfcu" ncvgtcngu" h" ) +8*−

=" 7" {" h" ) +8*+

=" 2" uqp"fkuvkpvcu." nc"

hwpekôp"pq"gu"fgtkxcdng"gp"z"="80"Gn"fqokpkq"fg"nc"hwpekôp"fgtkxcfc"h")*z+"gu"T"−"}8Ä0""

Glgornq0"Ugc"h"<"T"→"T"1"z"→⎪⎩

⎪⎨⎧

>+

≤

5z"""uk"""dcz

5z"""ukz """""""40"Fgvgtokpg"nqu"xcnqtgu"fg"c"{"d"

rctc" swg" ugc" fgtkxcdng" gp" vqfqu" uwu" rwpvqu0" Rctc" fkejqu" xcnqtgu" itchkswg" nc"hwpekôp0""Rctc"xcnqtgu"ogpqtgu"swg"5"nc"tgrtgugpvcekôp"itâhkec"gu"›uwcxgfi"{c"swg"gu"wpc"gzrtgukôp"rqnkpqokcn"fg"ugiwpfq"itcfq."rqt" nq"vcpvq" nc"hwpekôp"gu"fgtkxcdng"gp"guqu" rwpvqu0" Rctc" xcnqtgu" oc{qtgu" swg" 5" qewttg" nq" okuoq" rwgu" gu" wpc"gzrtgukôp" rqnkpqokcn" fg" rtkogt" itcfq0" Rctc" swg" tguwnvg" fgtkxcdng" gp" z" =" 5"fgdgtâ"xgtkhkect<"•"ugt"eqpvkpwc"gp"z"="5."gu"fgekt<"""

dcznîoznîo5z

4

5z+=

+→−→""⇒"""54""="5c"-"d""⇒""5c"-"d"=";"""*,+""


393"

•"uwu"fgtkxcfcu"ncvgtcngu"gp"z"="5"fgdgp"ugt"kiwcngu."q"ugc"h") +5*−

= h") +5*+0"

Rctc"gnnq<( ) ( )

j5hj5h

nîo2j

−+−→

= ( ) ( )

j5hj5h

nîo2j

−++

→"

h +5*−

= ( ) ( )

j5hj5h

nîo2j

−+−→

= ( )j

5j5nîo

44

2j

−+−

→=

j5jj05045nîo444

2j

−++−

→ =

=jjj8nîo4

2j

+−

→ =

( )8j8nîo

jj8j

nîo2j2j

=+=+

−→

−→

⇒ h") +5*−

= 80"

+5*)h+

=( ) ( )

j5hj5h

nîo2j

−++→

= ( )

j;dcjc5nîo

j;dj5c

nîo2j2j

−++=−++

+→+→ =

= cjcjnîo

j;cj;nîo

j;cj+dc5*

nîo2j2j"*,+"rqt2j

==−+=−++

+→

+→

+→

⇒ h") +5*+

= c0

Eqoq"fgdg"ugt h") +5*−

= h") +5*+."gpvqpegu"c"= 8.

Tggornc|cpfq"guvg"xcnqt"fg"c"gp"*,+"tguwnvc<"508"-"d"= ;"⇒ d"="−;0"

Rqt"nq"vcpvq"nc"hwpekôp"h*z+"ug"fghkpg"

rqt" h*z+" ="⎪⎩

⎪⎨⎧

>−≤5z"""uk""";z8

5z"""uk""""""""z4

" " {" uw"

itâhkec"gu<""""

""

"GLGTEKEKQU""3+"Jcnng"vqfqu"nqu"rwpvqu"gp"nqu"swg"nc"hwpekôp"h*z+"gu"fgtkxcdng<"" c+" " " " " """d+"

"


394"

e+" " " " " " """"f+""

"

4+" Fcfc" nc" hwpekôp" h*z+" ="⎩⎨⎧ ≤−

3@"zuk"""""4""3"zuk""""5" fghkpkfc" gp" gn" kpvgtxcnq" ]2." 4_0" ÀGu"

fgtkxcdng"gp"z"="3A"ÀRqt"swêA"

5+"Ugc" nc" hwpekôp"i<"T"→"T" 1"i*z+"="⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+

4"zuk"""""""""z6

4>""zku"""6z4

"ÀGu"fgtkxcdng"gp"z"="4A"

ÀRqt"swêA""TGURWGUVCU"3+c+"*−∞."4+"∪"*4."∞+" " " d+"*−∞."5+"∪"*5."∞+""""e+"*−∞."−4+"∪"*−4."∞+"""" " " f+"*−∞."−4+"∪"*−4."4+"∪"*4."∞+"4+"Nc"hwpekôp"pq"gu"eqpvkpwc"gp"z"="3."rqt"nq"vcpvq"pq"gu"fgtkxcdng"gp"gug"rwpvq0"5+"Nc"hwpekôp"gu"eqpvkpwc"{"cfokvg"fgtkxcfcu"ncvgtcngu."swg"cfgoâu"uqp"kiwcngu."rqt"nq"vcpvq"i*z+"gu"fgtkxcdng"gp"z"="40""

"GLGTEKEKQU" KPVGITCFQTGU" 606" EQPEGRVQ" FG" FGTKXCFC0" 607"HWPEKłP"FGTKXCFC0"608"FGTKXCFCU"NCVGTCNGU0"609"FGTKXCDKNKFCF"["EQPVKPWKFCF0"60:"FGTKXCDKNKFCF"FG"WPC"HWPEKłP"GP"WP"KPVGTXCNQ0"""3+"Jcnng."crnkecpfq"nc"fghkpkekôp."nc"rtkogtc"fgtkxcfc"fg"ecfc"hwpekôp<"

" c+""{"="z4"−"4z" " " " " d+""{"="7z"−"4"4+" Ugc" nc" hwpekôp" {" =" h*z+" fghkpkfc" itâhkecogpvg0" ÀRctc" swê" xcnqtgu" fg" z."""""""""""""""

h")"*z+"@"2."h")"*z+">"2"{"h")"*z+"="2A"

"


395"

5+" ÀRctc" swê" xcnqtgu" fg" z" ncu" hwpekqpgu" fghkpkfcu" itâhkecogpvg" pq" uqp"fgtkxcdnguA"Lwuvkhkswg0"

c+" " " " " " d+"

6+"Ugc"o<"]−3."5]"→"T"1"o*z+"="4z

3−

0"ÀGu"fgtkxcdng"gp"z"="2A"À["gp"z"="4A"

7+"Fgvgtokpg"uk"gzkuvg"nc"fgtkxcfc"fg"h"<"T"→"T1"h*z+"="⎪⎩

⎪⎨⎧

≥++<−4""""zuk"""95zz4""""zuk""""""""""z;

4

4"gp"

z"="40""8+"Nc"rqukekôp"fg"wp"qdlgvq"gp"wp"oqxkokgpvq"tgevknîpgq"guvâ"fcfc"rqt"nc"hwpekôp"

u*v+"="v4"−"6v"-"6."fqpfg"v"ug"okfg"gp"ugiwpfqu"{"u*v+"gp"ogvtqu0""

c+"Gpewgpvtg"nc"xgnqekfcf"fg"nc"rctvîewnc"gp"ecfc"kpuvcpvg"v0"

d+"Cpcnkeg"gn"oqxkokgpvq"fgn"qdlgvq"gp"gn" kpvgtxcnq" [2."6]" {"fkdwlg"gn"fkcitcoc"swg"tgrtgugpvg"gn"oqxkokgpvq"fg"nc"rctvîewnc"gpvtg"v"="2"{"v"="60"e+"Gpewgpvtg"nc"rqukekôp"fg"nc"rctvîewnc"gp"v"="2."v"="3"{"v"="4""f+"Jcnng" nc"fkuvcpekc" vqvcn" tgeqttkfc"rqt" nc"rctvîewnc"fwtcpvg" nqu"rtkogtqu"ewcvtq"ugiwpfqu0"""RTQDNGOCU"FG"CRNKECEKłP""

3+"Wp"ewgtrq"swg"ecg"tgeqttg"wpc"fkuvcpekc"f"="h*v+"="38v4""rkgu"gp"v"ugiwpfqu0"" c+"Ecnewng"nqu"rkgu"swg"ecg"fwtcpvg"gn"ugiwpfq"ugiwpfq"*gu"fgekt."gp""gn"kpvgtxcnq"v"="3"c"v"="4+0"Qdvgpic"nc"xgnqekfcf"rtqogfkq"gp"fkejq"kpvgtxcnq0"" d+"Tgcnkeg"nqu"okuoqu"eânewnqu"rctc"gn"kpvgtxcnq"v"="3"c"v"="3.70"" e+" Fg" " ocpgtc" " cpânqic." qdvgpic" " nc" " xgnqekfcf" " rtqogfkq" " rctc" " gn"kpvgtxcnq""fg""vkgorq"fg"v"="3"c"v"="3.3"="fg"v"="3"c"v"="3.23"{"nwgiq"rctc"gn"fg"v"="3"c"v"="3.2230"" f+" Ewcpvq"oâu" rgswgòq" gu" gn" kpvgtxcnq." oglqt" gu" nc" crtqzkocekôp" c" nc"xgtfcfgtc"xgnqekfcf"gp"gn"kpuvcpvg"v"="30"Vgpkgpfq"gp"ewgpvc"nq"qdvgpkfq"gp"nqu"îvgou" cpvgtkqtgu." Àewân" gu" fkejc" xgnqekfcfA" Xgtkhkswg" gug" xcnqt" ecnewncpfq" nc"xgnqekfcf"kpuvcpvâpgc"gp"v"="30"4+"Wp"qdlgvq"ug"fgurnc|c"fg"ocpgtc"vcn"swg"uw"rqukekôp"gu"u*v+"="4v4"-"4"ogvtqu"""""


396"

"fgurwêu"fg"v"ugiwpfqu0"" c+"ÀEwân"gu"nc"xgnqekfcf"ogfkc"gp"gn"kpvgtxcnq"4"≤"v"≤"5A"" d+"ÀEwân"gu"nc"xgnqekfcf"ogfkc"gp"gn"kpvgtxcnq"4"≤"v"≤"4.223A"" e+"ÀEwân"gu"nc"xgnqekfcf"ogfkc"gp"gn"kpvgtxcnq"4"≤"v"≤"4"-"jA"" f+"Fgvgtokpg"nc"xgnqekfcf"kpuvcpvâpgc"rctc"v"="40"5+"Gp"gn" còq"3;;6." wp"rwgdnq" vgpîc"37222"rgtuqpcu"{" etgekô"fg"cewgtfq"c" nc"

gzrtgukôp" P*v+" =" 37222" -" 47v4" fqpfg" gn" vkgorq" v" guvâ" ogfkfq" gp" còqu"rquvgtkqtgu"c"3;;60""" c+""Jcnng"nc"xgnqekfcf"ogfkc"fg"etgekokgpvq"jcuvc"3;;;"0"" d+""Fgvgtokpg"nc"xgnqekfcf"kpuvcpvâpgc"fg"etgekokgpvq"gp"3;;90"6+"Wp"pgiqekq"guvâ"rtqurgtcpfq"fg"ocpgtc" vcn"swg"uw"dgpghkekq" vqvcn"fgurwêu"

fg"v"còqu"guvâ"fcfq"rqt"d*v+"="3222"v4"fônctgu0"" c+"ÀEwâpvq"rtqfwektâ"gn"pgiqekq"fwtcpvg"gn"vgtegt"còq"*gpvtg"v"="4"{"v"="5+A"" d+"ÀEwân""gu""uw""icpcpekc""rtqogfkq""fwtcpvg""gn""rtkogt""ugoguvtg""fgn""vgtegt""còq"*gpvtg""v"="4"{"v"="4.7+A"" e+"ÀEwân"gu"nc"icpcpekc"kpuvcpvâpgc"rctc"v"="4A""7+"Nc"rqdncekôp"fg"wpc"ekwfcf"etgeg"fg"ocpgtc"vcn"swg"nc"ecpvkfcf"fg"rgtuqpcu"

guvâ"fcfc"rqt"r"="h*v+"= 3v7422 + "wpc"xg|"vtcpuewttkfqu"fg"v"còqu0"

" c+"ÀEwâpvq"etgekô"fwtcpvg"gn"kpvgtxcnq"5"≤"v"≤"5.3A"" d+"ÀEwân"hwg"gn"etgekokgpvq"ogfkq"fwtcpvg"gn"kpvgtxcnq"5"≤"v"≤"5.3A"" e+"ÀEwân"hwg"uw"tc|ôp"fg"etgekokgpvq"kpuvcpvâpgq"ewcpfq"v"="5A""8+"Nc"ecpvkfcf"fg"ciwc"fg"wp"vcpswg."v"okpwvqu"fgurwêu"fg"swg"jc"gorg|cfq"c"

xcekctug."guvâ"fcfc"rqt""Y"="322*37"-"v+4"nkvtqu0"c+"ÀEqp"swê"tcrkfg|"ucng"gn"ciwc"c"nqu"fg"7"okpwvquA"d+" ÀEwân" gu" nc" tcrkfg|" rtqogfkq" eqp" nc" swg" hnw{g" gn" ciwc" fwtcpvg" nqu"rtkogtqu"7"okpwvquA"

9+" Ug" ncp|c" wpc" rgnqvc" cn" cktg" {" uw" cnvwtc" rwgfg" gzrtguctug" gp" hwpekôp" fgn"

vkgorq"ogfkcpvg" nc"hwpekôp""j*v+"="−38v4"-"34:v."fqpfg"j*v+"gu"nc"cnvwtc"ogfkfc"gp"rkgu"{"v"gu"gn"vkgorq"ogfkfq"gp"ugiwpfqu0""

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397"

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" " " " Icnkngq"Icnkngk"""""""


5.1 Reglas de derivación Hemos visto la importancia de calcular la derivada de una función. Para cada

nuevo fenómeno que aparece y que queremos estudiar, tenemos una función

distinta que lo representa. Hasta ahora, cada vez que tuvimos que calcular una

derivada, aplicamos la definición. Esta tarea supone un trabajo enorme y no

muy interesante que se puede simplificar si encontramos reglas que nos

permitan deducir las funciones derivadas de las funciones dadas. Estas reglas

nos posibilitarán aplicar directamente la fórmula para el cálculo de la función

derivada sin necesidad de acudir a la definición.

Luego de la lectura y resolución de ejercicios, se espera que calcule la derivada

de funciones utilizando las reglas de derivación, que aplique la derivación

logarítmica en las funciones que corresponda y la regla de la cadena para

derivar funciones compuestas.

Derivada de la función constante Sea f(x) = k ; k ∈ R

f '(x) = 0 lím h

kk lím h

f(x)h)+f(x lím

0h0h0h →→→=−=

−= 0

La derivada de la función constante es la función nula.

Geométricamente se observa que cualquiera sea

x1 ∈ R, la gráfica de la recta tangente en el punto

de abscisa x1 coincide con el gráfico de f.

Como la tangente es paralela al eje x, la pendiente

es nula y se cumple que f '(x1) = 0.

Esto vale para todos los números reales y, por lo tanto, f '(x) = 0.

Si f(x) = k ⇒ f '(x) = 0, ∀x.

Derivada de la función identidad Sea la función identidad, f(x) = x.

f '(x) = 1 lím h

x h+ xlím h

f(x)h)+f(x lím

0h0h0h →→→=−=

− = 1 ⇒ f '(x) = 1.

Geométricamente se observa que cualquiera sea el

valor de x1 ∈ R, la recta tangente al gráfico de f en el

punto de abscisa x1 coincide con el gráfico de f.

Teniendo en cuenta la interpretación geométrica de

la derivada, f '(x1) es la pendiente de la recta

tangente a la gráfica de la función en el punto.

En este caso f '(x1) = 1 cualquiera sea x1 ∈ R.

Por lo tanto, si f(x) = x ⇒ f '(x) = 1, ∀x.

180


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g

g3+ "


g) y = (tgx)x h) y = ( ) 2

x5xcos

i) y = x2x

.cosx j) y = ln(5ex + 1)

2) Si a(2) = 1, b(2) = 10, c(2) = −2, a'(2) =2

1, b'(2) = 3 y c'(2) = 4, halle:

a) ( )2

'

cb.a

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ b) ( )( )( ) ( )2

'cb.ba ++

3) Dadas gráficamente las funciones f(x) y g(x) y sabiendo que u(x) = f(x).g(x) y

v(x) = )x(g

)x(f, encuentre, si existen:

a) u'(1) b) v'(5) c) u'(2)

4) Calcule los valores de n y m para que la función f(x) =

sea derivable en todos los números reales.

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−≤+−

1> xsi nxx

1 xsi mx5x2

2

5) En la gráfica, la recta es tangente a la

parábola. Encuentre el valor de b.

6) Halle los puntos de la gráfica de y = 1xxx31 23

−−+ donde la pendiente de

la recta tangente es −1.

206


" 429"

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""


Ejemplo. Calcule las siguientes derivadas:

a) f ''(x) sabiendo que f '(x) = 3 x 2

b) f ''(x) sabiendo que f (x) = ln (3x − 1)

c) f '''(x) sabiendo que f '(x) = x8x31 2

+

a) Derivando f '(x) obtenemos f ''(x): f ''(x) =

'31

x 2⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= 3

21

3

1

x3

2x

3

1.2

−−=

b) f (x) = ln (3x − 1)

Derivando f(x) obtenemos: f '(x) = 1x3

33.1x3

1−

=−

Derivando nuevamente: f ''(x) = ( )21x3

9

−−

c) Derivando f '(x) obtenemos: f ''(x) = 8x32 +

Derivando nuevamente: f '''(x) = 32

EJERCICIO

Calcule:

a) f ''(x) sabiendo que f(x) = 3x2 − 5.

b) f ''(x) sabiendo que f '(x) = x4.

c) f iv

(x) sabiendo que f '''(x) = 2x + .

d) f iv

(x) sabiendo que f ''(x) = x2

3

+−−

.

RESPUESTAS

a) f ''(x) = 6 b) f ''(x) = 4x3 c) f

iv(x) =

2x2

1

+ d) f

iv(x) =

( )3x2

6

+−−

Aplicación Según vimos, la velocidad es la primera derivada de la función posición con

respecto al tiempo.

Si la función s(t) indica la posición del objeto en el instante t, la velocidad está

dada por v(t) = s'(t) = dtds .

La rapidez es el valor absoluto de la velocidad.

Rapidez = ⎜v(t) ⎜ = ⎜s'(t) ⎜ = dtds .

208


La aceleración se define como tiempo de intervalovelocidad la de variacióna = , es decir como la

razón de cambio de la velocidad. Si tenemos en cuenta esta definición y el

concepto de derivada, concluimos que la aceleración es la derivada de la

función velocidad y, por lo tanto, la segunda derivada de la función posición.

dt

sd(t)s

dt

dv(t)v)t(a

2

2

''' == == .

La aceleración mide que tan rápido gana o pierde rapidez un objeto.

Dado que la rapidez es el valor absoluto de la velocidad, se pueden presentar

distintas situaciones, como se muestra en el ejemplo siguiente.

Ejemplo. La figura muestra la velocidad v(t) = s'(t) de una partícula que se

mueve sobre una recta coordenada.

Nota. Si durante cierto tiempo la aceleración se mantiene igual a cero es porque

la velocidad es constante (movimiento uniforme).

Si la aceleración es cero en un instante es porque la velocidad

momentáneamente no cambia (ese momento indica la transición entre ganar y

perder rapidez o viceversa).

Ejemplo. Un objeto se mueve horizontalmente de modo que su posición está

determinada por la expresión s(t) = t3 − 3t

2 − 9t + 5 , donde s se mide en metros,

t en segundos y t ≥ 0.

a) Encuentre la función aceleración.

b) Represente en un mismo sistema de coordenadas las funciones posición,

velocidad y aceleración.

c) ¿Cuándo aumenta la rapidez del objeto? ¿Cuándo disminuye?

209


a) La velocidad con que se mueve el objeto es la derivada de la función

posición: v(t) = s'(t) = 3t2 − 6t − 9

La aceleración del objeto es la derivada de la función velocidad:

a(t) = v'(t) = s''(t) = 6t − 6

b) En la figura se representan gráficamente las funciones posición, velocidad y

aceleración con respecto al tiempo.

c) Para t < 1 el objeto está aumentando su rapidez, para 1 < t < 3 disminuye su

rapidez y para t > 3 nuevamente aumenta su rapidez. Problema

La posición de una partícula que se mueve a lo largo del eje x está dada

por s(t) =2

t1

t

+, t ≥ 0, donde t se mide en segundos y s en metros.

a) Determine la función que describe la velocidad de la partícula.

b) Halle la distancia total recorrida por la partícula para 0 ≤ t ≤ 3.

c) Encuentre el momento en el cual la aceleración es nula.

a) La velocidad es la primera derivada de la función que describe la posición:

v(t) = s'(t) = 2

2

2

22

2

t1

t1

t1

t2.tt1

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

b) Para calcular la distancia total recorrida por la partícula debemos analizar el

sentido del movimiento en el intervalo pedido.

v(t) = 0 ⇔ 1 − t2 = 0 ⇔ t = 1, t = −1

Luego, en t = 1 la velocidad se anula. En ese instante la partícula cambia el

sentido del desplazamiento.

210


Para 0 ≤ t < 1 es v(t) > 0 y el móvil avanza. Para 1 < t ≤ 3, v(t) < 0 y el móvil

retrocede.

El espacio recorrido en el intervalo (0, 1) es s(1) − s(0) = 0,5 metros.

El espacio recorrido en el intervalo (1, 3) es s(3) − s(1) = −0,2 metros.

El móvil avanzó 0,5 metros en el primer segundo y retrocedió 0,2 metros en los

dos últimos segundos. La distancia total recorrida durante los tres primeros

segundos es: 0,5 + 0,2 = 0,7 metros.

c) La función que describe la aceleración es la derivada de la función velocidad,

es decir la segunda derivada de la función que describe la posición.

a(t) = v'(t) = s''(t) = 4

2

222

2

t1

t2.t1.2.t1t1.t2

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

= 3

2

3

t1

t6t2

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

−

La aceleración es nula si a(t) = 0.

32

3

t1

t6t2

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

− = 0 ⇒ 2t3 − 6t = 0

⇒ t = 0, t = 3 , t = 3− .

Teniendo en cuenta el intervalo dado, la aceleración es nula al comienzo del

movimiento y luego de 3 segundos.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1) Una epidemia de gripe se está propagando y en el Ministerio de Salud han

estimado que el número de personas que se contagiarán es función del tiempo

transcurrido desde que se detectó la misma. La función es n = f(t) = 30t3 – 2t

2,

donde n es el número de personas y t el tiempo en días, siendo 0 ≤ t ≤ 60.

a) ¿Cuántas personas se espera que contraigan la enfermedad luego de

20 días? ¿Y al cabo de 40 días?

b) Obtenga la velocidad promedio que se espera que la epidemia se

propague entre los días 10 y 15 posteriores a la detección de la misma.

c) Calcule la velocidad con que se espera que la enfermedad se

propague a los 25 días.

2) En una fábrica de juguetes de madera se estimó que el número de piezas

que un empleado puede pintar x horas después de haber comenzado su labor a

las 8 de la mañana, está dado por la función y = 3x + 8x2 − x

3 si 0 ≤ x ≤ 4.

a) Determine el número de juguetes que un empleado pintará entre las 10

y las 12 de la mañana.

b) Calcule la cantidad promedio que puede pintar en esas dos horas.

c) ¿Con qué rapidez estará pintando a las 11 y a las 12 de la mañana?

3) Una inyección de x gramos de cierta droga resulta en una variación de la

presión arterial de d(x) = 0,5x3 − 4x milímetros de mercurio. Halle la sensibilidad

a 4 gramos de esta droga. (Nota: sensibilidad es la razón de cambio de la

presión arterial con respecto a la dosis suministrada).

211


" 434"

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445

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446

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Teorema del valor extremo Si y = f(x) es continua en el intervalo [a, b] se verifica que f(x) tiene un máximo M

y también un mínimo m en dicho intervalo.

Este teorema asegura que, en las condiciones establecidas, los valores máximo

y mínimo existen, pero no dice nada de cuáles serían los medios para

encontrarlos.

Analizamos algunos ejemplos gráficos.

f : [−2, 1] → R

x → x2

+ 2x + 2

La función es continua.

El intervalo [−2, 1] es cerrado.

f : (−2, 1) → R

x → x2 + 2x + 2

La función es continua.

El intervalo (−2, 1) es abierto.

f : [−2, 1] → R

x → ⎩⎨⎧

−=−≠++

1 x si 2 1 xsi 2x2x2

La función es discontinua.

El intervalo [−2, 1] es cerrado.

f : (−2, 1) → R

x → ⎩⎨⎧

−=−≠++

1 x si 2 1 xsi 2x2x2

La función es discontinua.

El intervalo (−2, 1) es abierto.

227


44:

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La concavidad de la función y = f(x)

cambia en un punto de inflexión.

Nota. Si la curva tiene una tangente

en el punto de inflexión, la gráfica

cruza la recta tangente en ese punto.

Determinación de los puntos de inflexión

Sea f(x) una función continua en un intervalo abierto y sea c un punto de ese

intervalo. Se dice que el punto (c, f(c)) es un punto de inflexión si en él la gráfica

de f pasa de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa.

En el intervalo (a, c) la gráfica de la función

es cóncava hacia abajo y en (c, b) es

cóncava hacia arriba. En x = c cambia la

concavidad, entonces en dicho valor existe

un punto de inflexión.

En x = c1 y x = c2 la gráfica de la

función tiene punto de inflexión.

253


Los posibles puntos de inflexión se encuentran en los valores del dominio para

los que la derivada segunda es cero o donde no existe.

Para determinar los puntos de inflexión debemos analizar el signo de la

derivada segunda de la función a ambos lados de los puntos donde esta

derivada es cero o no existe. Si el signo de la derivada segunda cambia de

positiva a negativa, o viceversa, eso implica que existe un punto de inflexión.

Resumiendo, para analizar la concavidad y encontrar los puntos de inflexión de

la gráfica de una función debemos:

a) calcular la primera y la segunda derivada,

b) encontrar los puntos donde f ''(x) = 0 o donde no existe,

c) analizar el signo de f ''(x) a ambos lados de los puntos hallados en b).

Ejemplo. Analice la concavidad y los

puntos de inflexión de la gráfica de la

función definida gráficamente.

La gráfica es cóncava hacia arriba para los valores de x menores a 0 y es

cóncava hacia abajo para los valores de x mayores a 0. Como x = 0 pertenece

al dominio de la función y en ese punto cambia la concavidad, x = 0 es un punto

de inflexión.

Ejemplo. Analice la concavidad y los puntos de inflexión de la siguiente gráfica.

La gráfica es cóncava

hacia abajo en el

intervalo (–∞, 3) y

cóncava hacia arriba en

el intervalo (3, ∞) pero

no tiene puntos de

inflexión ya que x = 3

no pertenece al dominio

de la función.

254


477

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483

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Para todo valor del dominio de v(t), la

pendiente de la recta tangente a la

gráfica de v(t) es positiva, es decir,

v' (t) = d'' (t) > 0.

La gráfica de d(t) es cóncava hacia arriba

para todo valor de t.

EJERCICIO

Dadas las gráficas de f '(x).

a) Determine los intervalos donde la función es creciente y decreciente.

Indique, si existen, los extremos relativos.

b) Encuentre los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y

cóncava hacia abajo y los puntos de inflexión. c) Bosqueje una posible gráfica de f(x).

i) ii)

RESPUESTAS

a)i) Es creciente en (0, ∞) y decreciente en (−∞, 0), tiene un mínimo relativo en

x = 0.

ii) Es creciente en (0, 4) y decreciente en (−∞, 0) ∪ (4, ∞); la función tiene un

mínimo relativo en x = 0 y un máximo relativo en x = 4.

b)i) Como la pendiente de la recta tangente en cada punto es constante ( igual a

la pendiente positiva de la recta), f ''(x) es positiva, por lo tanto, f(x) es cóncava

hacia arriba en todo su dominio: (−∞, ∞). Como no hay cambios en la

concavidad la función no tiene puntos de inflexión.

ii) En cada punto del intervalo (−∞, 2) la pendiente de la recta tangente a la

gráfica de f '(x) es positiva, es decir, f ''(x) > 0, entonces en (−∞, 2) la función es

262


485

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49;

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Uwrqpicoqu"swg"nc"hwpekôp"t*z+"=" 45 z5

4z

8

3+− "tgrtgugpvc"gn"kpitguq"rqt"

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3z

49

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4z

8

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rwpvqu"etîvkequ"ecnewncpfq"nc"rtkogtc"fgtkxcfc.""t")*z+"=" z5

6z

4

3 4 +− 0"

"


Si r '(x) = 0 entonces x = 0 y x = 3

8. Formamos los intervalos considerando x > 0

pues representa cantidad de unidades.

Intervalo Signo r '(x) Crecimiento de r(x)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3

8 ,0 positivo crece

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∞ ,3

8 negativo decrece

Analizamos la concavidad estudiando el signo de la derivada segunda.

r ''(x) =3

4x +− . Entonces r ''(x) = 0 si x =

3

4.

Intervalo Signo r ''(x) Concavidad

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛3

4 ,0 positivo

cóncava hacia arriba

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∞ ,3

4 negativo cóncava hacia abajo

Concluimos que x = 3

4 es la abscisa de un punto de inflexión de la gráfica de

r(x). Consideremos ahora la función costo c(x) = xx3

1x

27

1 23 +− .

c '(x) = 1x3

2x

9

1 2 +− .

Si c '(x) = 0 entonces x = 3 (raíz doble). Formamos los intervalos considerando

este punto crítico y teniendo en cuenta que x > 0 pues representa cantidad de

unidades.

Intervalo Signo c '(x) Crecimiento de c(x)

(0, 3) positivo crece

(3, ∞) positivo crece

La función no tiene extremos relativos.

Analizamos la concavidad estudiando el signo de la derivada segunda.

c ''(x) = 3

2x

9

2− . Si c '' (x) = 0 entonces x = 3.

Intervalo Signo c ''(x) Concavidad

(0, 3) negativo cóncava hacia abajo

(3, ∞) positivo cóncava hacia arriba

Luego, x = 3 es un punto de inflexión.

b) El teorema enunciado anteriormente asegura que el beneficio máximo (si lo

hay) se obtiene en un nivel de producción tal que el ingreso marginal es igual al

costo marginal. Es decir r '(x) = c '(x).

280


4:3

Rctc" fgvgtokpct" uk" gzkuvg" wp" pkxgn" fg" rtqfweekôp" swg" oczkokeg" gn" dgpghkekq"qdvgpkfq"rqt"nc"gortguc."ug"fgdgp"gpeqpvtct"nqu"xcnqtgu""fg""z""rctc"nqu""ewcngu"

t)*z+"="e")*z+0"

t")"*z+"=" z5

6z

4

3 4 +− "" {"" e")*z+"=" 3z5

4z

;

3 4 +− "

Uk"t")*z+"="e")*z+"gpvqpegu" z5

6z

4

3 4 +− "=" 3z5

4z

;

3 4 +− 0"

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33 4 =+− "{"uwu"tcîegu"uqp<"

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"Rqfgoqu" qdugtxct" swg" ncu" ewtxcu" ug" kpvgtugecp" gp" gn" rwpvq"R"fqpfg"pq"jc{"dgpghkekqu" pk" rêtfkfcu0" C" nc" k|swkgtfc" fg" R." nc" eqorcòîc" qrgtc" eqp" rêtfkfcu."okgpvtcu" swg" c" nc" fgtgejc" fgn"okuoq" eqp" dgpghkekqu0" Gn"oâzkoq" dgpghkekq" ug"

qdvkgpg" fqpfg" e" )*z+" =" t" )*z+0" Wp" rqeq" oâu" c" nc" fgtgejc." gn" equvq" gzegfg" cn"dgpghkekq."igpgtcnogpvg"fgdkfq"c"wpc"eqodkpcekôp"fg"nc"ucvwtcekôp"fgn"ogtecfq"{"nc"gngxcekôp"fgn"equvq"fg"nc"ocpq"fg"qdtc"{"nc"ocvgtkc"rtkoc."{"nqu"pkxgngu"fg"rtqfweekôp"igpgtcp"rêtfkfcu"qvtc"xg|0""

"GLGTEKEKQU"KPVGITCFQTGU"809"GUVWFKQ"FG"HWPEKQPGU""

3+"Fcfc"nc"ng{"h*z+"="3z

3z

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2) Dada la ley f(x) = 2x(x2 − 12):

a) Indique el dominio para que sea función.

b) Halle las intersecciones con el ejes coordenados.

c) Halle las ecuaciones de las asíntotas.

d) Analice el crecimiento y los extremos relativos.

e) Analice concavidad y puntos de inflexión.

f) Grafique.

3) Encuentre los extremos absolutos de la función f(x) = −x2 + 3x en [0, 3].

4) Defina gráficamente una función que cumpla las siguientes condiciones:

Df = [−3, 4], posea un mínimo absoluto en x = −3 y un máximo absoluto en x = 1;

f '(x) > 0, ∀ x ∈ (−3, 1) ∪ (3,4); f '(x) < 0, ∀ x ∈ (1, 3); f ''(x) < 0, ∀ x ∈ (−3, 2) y f

''(x) > 0, ∀ x ∈ (2, 4).

5) Encuentre las asíntotas a la función: f : R − {−1} → R / f(x) = 1x

5x52

+++x2

.

6) Dada la gráfica de la

función y = f(x), determine los

valores de x para los cuales:

a) f(x) crece;

b) f(x) decrece;

c) f(x) alcanza un máximo

relativo;

d) f(x) alcanza un mínimo

relativo;

e) la derivada es nula;

f) la derivada no existe.

7) Sea la función g(x) = ax3 + 2bx2 + 6x − 4. Sabiendo que en x = 1 y x = 3 tiene

extremos relativos, determine los valores de a y b. ¿Qué tipos de extremos son?

de f '(x). A partir de las mismas esboce la

a) b) c)

Justifique.

8) Las siguientes corresponden a gráficas

gráfica de f(x) (la respuesta no es única).

9) Analice las siguientes gráficas y determine:

a) dominio y conjunto de imágenes de cada función;

) las intersecciones con los ejes, si existen;

b

282


4:5

e+"ncu"cuîpvqvcu."uk"gzkuvgp="f+"kpvgtxcnqu"fg"etgekokgpvq"{"fgetgekokgpvq"{"gzvtgoqu"tgncvkxqu."uk"gzkuvgp="g+" kpvgtxcnqu"fqpfg" nc"itâhkec"fg" nc" hwpekôp"gu"eôpecxc"jcekc"cttkdc"{"eôpecxc"jcekc"cdclq"{"rwpvqu"fg"kphngzkôp."uk"nqu"jc{0"k+" " " " " " " """kk+"

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gp"ugiwpfqu"fgurwêu"fgn"ncp|cokgpvq0""" c+"Jcnng"nc"xgnqekfcf"fg"nc"rgnqvc"c"nqu"5"{"c"nqu":"ugiwpfqu0""" d+"Gp"ecfc"wpq"fg"guqu"kpuvcpvgu."Ànc"rgnqvc"guvâ"uwdkgpfq"q"dclcpfqA""" e+"ÀEwâpvqu"ugiwpfqu"jcp"vtcpuewttkfq"gp"gn"kpuvcpvg"gp"swg"eqokgp|c"c"fguegpfgtA0"Gp"fkejq"kpuvcpvg."Àc"swê"cnvwtc"ug"gpewgpvtcA"4+" Wpc" rctvîewnc" R" gu" korwnucfc" c" nq" nctiq" fg" wp" glg" fg" ocpgtc" vcn" swg" uw"

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322

32v

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4) La población de una cierta especie está dada por: N(t) = (2t + 40).(200 – t),

con 0 ≤ t ≤ 200, donde N(t) es el número de organismos después de t días.

a) Encuentre la velocidad instantánea de cambio de la población, a los 20

días.

b) ¿Cuándo la velocidad instantánea de cambio de la población será de

200 organismos por día?

c) ¿Cuándo la población dejará de crecer?

5) Un proyectil lanzado hacia arriba se mueve según la ley: y = 100 t – 5 t2

donde y es la altura en metros sobre el punto de partida y t es el tiempo

transcurrido en segundos después del lanzamiento. Halle la velocidad del

proyectil a los 2 segundos. En ese instante, ¿está todavía subiendo o bajando?

¿Durante cuántos segundos continuará subiendo? ¿A qué altura llegará?

6) La inyección de x gramos de cierta droga produce cambios en la presión

sanguínea dada por p(x) = 1,5 x2 – 0,2 x

3 donde p se mide en mm de mercurio.

¿Qué dosis producirá la máxima sensibilidad? (Nota: sensibilidad es la razón de

cambio de la presión arterial con respecto a la dosis suministrada)

7) Un rumor se propaga en una población de 1000 personas a una razón que es

proporcional al producto del número de los que lo conocen por el número de los

que no lo conocen. Si x es el número de enterados y R es la razón a la que se

propaga el rumor entonces: R = k.x.(1000 – x), siendo k > 0. Verifique que el

rumor se propaga más rápido en el instante en que 500 personas lo conocen.

8) La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es 4

q80p

−=

donde q es el número de unidades y p es el precio por unidad. ¿Para qué valor

de q habrá un ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso mínimo? Indique para qué

valores de q se obtiene ese ingreso mínimo.

9) Después de una campaña publicitaria, las ventas de un producto

generalmente aumentan y luego comienzan a disminuir. A los t días de

finalizada la publicidad, las ventas diarias están dadas por la función f(t) = –3t2 +

36t + 102 unidades.

a) ¿A razón de cuántas unidades por día cambian las ventas a los 2 días

de haber finalizado la campaña?

b) ¿Cuándo están variando las ventas a razón de 12 unidades por día?

c) ¿Cuántos días después de haber finalizado la campaña se vende la

máxima cantidad de unidades?, ¿cuál es esa cantidad máxima?

d) ¿Cuántas unidades se venden en el momento en que finaliza la

campaña publicitaria?

10) Un grupo de biólogos estudió los ingresos nutritivos que se observaron en

ratas a las que se alimentó de acuerdo a una dieta que contenía un 10 % de

proteína. La proteína estaba formada por yema de huevo y harina de semillas

de algodón. Variando el porcentaje p de yema en la mezcla de proteínas el

grupo descubrió que el aumento de peso promedio (en gramos) de una rata en

un período era: 10p

900p160)p(f

+−−= 0 ≤ p ≤ 100. Calcule:

284


4:7

" "c+"gn"cwogpvq"oâzkoq"fg"rguq"{"gn"rqtegpvclg"fg"{goc"pgeguctkq"rctc"cnecp|ctnq0"" "d+"gn"cwogpvq"oîpkoq"fg"rguq"{"gn"xcnqt"fg"r"rctc"gn"ewcn"ug"rtqfweg0"33+" Gp" wp" ncdqtcvqtkq" ug" crnkec" wp" cigpvg" cpvkdcevgtkcpq" gzrgtkogpvcn" c" wpc"rqdncekôp"fg"322"dcevgtkcu0"Nqu"fcvqu"ugòcncp"swg"gn"pûogtq"P"fg"dcevgtkcu"v"jqtcu" fgurwêu" fg" kpvtqfwekfq" gn" cigpvg" guvâ" fcfq" rqt" nc" gzrtgukôp""

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4v322v34236622+v*P

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⎞⎜⎝

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fg"qzîigpq"gp"gn"ciwc"guvâ"fcfq"rqt"{"="v5"⁄"52v4"-"8222"eqp""2"≤"v"≤"540"Ecnewng"nqu" xcnqtgu" oâzkoqu" {" oîpkoqu" fg" qzîigpq" fwtcpvg" nqu" rtkogtqu" 54" fîcu"ukiwkgpvgu"cn"xcekcfq"fgn"fgurgtfkekq0"

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18) Si una planta recibe una luz de intensidad x, la razón de fotosíntesis y(x)

medida en unidades adecuadas, está dada por y(x) = 150x − 25x2 para 1 ≤ x ≤

5. Encuentre los valores máximos y mínimos de la razón de fotosíntesis.

19) Para grupos de 80 o más personas una compañía de remises calcula el

precio por persona mediante la ley p(n) = 8 − 0,05.(n − 80) donde n es el

número de pasajeros. ¿Qué cantidad de personas dará a la compañía ingresos

máximos?

20) Un granjero desea cercar un terreno rectangular de 900 m2 de superficie. La

cerca tiene un costo de $15 el metro. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del

terreno de manera tal que se minimice el costo del cerco?. Calcule dicho costo

mínimo.

21) La función f(t) = at2 + bt + 4 describe la altura (en metros) de una pelota en

el tiempo t (en seg.). Halle los valores de a y b sabiendo que la pelota alcanza

una altura máxima de 40m a los 2

3 segundos de haber sido lanzada.

22) La reacción de dos drogas como función del tiempo (en horas) está dada

por: r1(t) = t.e− t

y r2(t) = t. . ¿Qué droga tiene reacción máxima mayor? 2t2e−

23) En cierto instante dos móviles cuyas trayectorias siguen, respectivamente,

las ecuaciones s(t) = t3 – 45t + 100 y e(t) = 3t

2 + 60t – 439 tienen la misma

velocidad. Halle cuál es ese instante y los valores de la velocidad y de la

aceleración en ese instante para cada uno de ellos.

24) La función g(x) = −x2 + 100x − 1600 describe la ganancia (en pesos) que se

obtiene al fabricar x artículos.

a) ¿Cuántos artículos hay que fabricar para que la ganancia sea una

función creciente?

b) ¿Cuántos artículos se tendrían que fabricar para que la ganancia sea

máxima y calcule a cuánto ascendería la misma? 25) Una compañía forestal planea desmontar cierta área de pinos después de

cierta cantidad de años. El número promedio de pies que se obtienen por árbol

en un cierto período de tiempo es igual a p(x) = 50 − 0,5x, donde x es el número

de árboles por hectárea, con 35 ≤ x ≤ 80 ¿Qué densidad de árboles debe

concentrarse con el objeto de maximizar la cantidad de madera por hectárea?

26) La función que describe, en cientos de dólares, el ingreso total por la venta

de un producto es i(x) = –3x2 + 200x, donde x es el número de unidades

vendidas (en cientos). Se sabe además que el costo total de producir x

unidades es c(x) = 2x2 – 150x + 5000, en cientos de dólares.

a) Determine la expresión que describe la función ganancia g(x).

b) ¿Cuántas unidades deberán producirse y venderse con el objeto de

maximizar la ganancia total?

c) ¿Cuál es la ganancia máxima?

27) Una sustancia se distribuye en forma continua en el intervalo [0, 5] del eje x,

medido en cm. La concentración está dada por la función c(x) = 3x − x3 , medida

286


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Al realizar el estudio de una función, buscamos representarla o tener una idea

bastante aproximada de su aspecto a partir de la correspondiente expresión

algebraica y de cierta información adicional sobre las características de la

gráfica.

En estas actividades proponemos otro procedimiento. A partir de la gráfica de la

función, se analizarán cada una de las características de la función dada.

Podrá controlar las respuestas utilizando comandos propios del programa que

se encuentran en la ventana del gráfico, en el menú que se despliega al

presionar en la barra superior 1fu. Los mismos se indican en letra cursiva para

aquellos ítems en los que es posible. Algunos de ellos ya fueron analizados y

descriptos en la guía de estudio del capítulo 3.

Actividad 1. Represente gráficamente f(x) = ( )23 x3x21 + considerando en la

pantalla que corresponde a la entrada de datos, para ambos ejes: Origen –5 y

Final 5.

Observando la gráfica de la función, determine:

a) Dominio: .................................. Conjunto imagen: ........................................

b) Intersecciones con el eje x (ceros): ..............................................................

c) Intersección con el eje y (ordenada al origen): .............................................

d) Analice el comportamiento de la función:

cuando x → +∞ ..........................................

cuando x → −∞ ..........................................

e) Indique, si presenta, los puntos de discontinuidad ..................................

Si existen puntos de discontinuidad, analice el comportamiento de la

función cuando x se aproxima a esos puntos:

por izquierda ……… ……….………

por derecha ………. .…..……..……

f) Determine (en caso de existir):

Asíntotas verticales: …………… Asíntotas horizontales: ……………..

g) Calcule f '(x) = ……………………..

h) Analice el signo de la derivada primera en todo el dominio de la función

Seleccione Derivada en un punto… y en el cuadro de diálogo correspondiente

a x introduzca el valor de la abscisa del punto de la gráfica en el que desea

calcular la derivada. Utilizando los botones <−i o d−> puede obtener la derivada

en puntos próximos al anterior. Para cada punto considerado se visualiza en

color rojo la recta tangente a la gráfica en dicho punto.

i) Indique los valores de x que anulan la derivada primera o donde no

existe.………………………………………………………………………..…………

Los valores del dominio de una función donde la primera derivada se hace cero

o no existe, son los puntos críticos de la función dada.

j) Grafique la función derivada.

Seleccione Función derivada y obtendrá una gráfica en color verde

superpuesta a la anterior.

291


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"

"


4;6

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"""""""Eqorngvg<"Fqokpkq"fg"h")*z+"=""””””””””00"Nc"hwpekôp"fgtkxcfc"ug"jceg"egtq"gp"z"="””””””””””"{"pq"gzkuvg"gp"z"="””””””””""

"""m+"Eqorctg"ncu"fqu"itâhkecu0"Eqpukfgtcpfq"nqu"kpvgtxcnqu"swg"fgvgtokpcp"nqu"rwpvqu" etîvkequ." eqorngvg" gn" ukiwkgpvg" ewcftq" kpfkecpfq" gn" etgekokgpvq" q"fgetgekokgpvq"fg"nc"hwpekôp<""

Kpvgtxcnq"Ukipq"fg"h")*z+""*itâhkec"xgtfg+"


*"””."”000+" " "*"””."”000+" " "*"””."”000+" " "

"n+"Fgvgtokpg"nqu"oâzkoqu"{1q"oîpkoqu"tgncvkxqu0""

Oîpkoq<""{"="”””000""gp"z"="””””"Oâzkoq<"{"="”””000""gp"z"?"””””"

o+"Ecnewng"h"))*z+"="””””””””00"p+"Itchkswg"nc"ugiwpfc"fgtkxcfc"fg"nc"hwpekôp0""

"""""""""Eqorngvg<""Fqokpkq"fg"h"))*z+"="””””””””00"Nc" ugiwpfc" fgtkxcfc" ug" jceg" egtq" gp" z" =" ””””””””0”””" {" pq"gzkuvg"gp"z"="””””"q+"Eqorctg"ncu"fqu"itâhkecu0"Eqpukfgtcpfq"nqu"kpvgtxcnqu"swg"fgvgtokpcp"nqu"rqukdngu" rwpvqu" fg" kphngzkôp." eqorngvg" gn" ukiwkgpvg" ewcftq" kpfkecpfq" nc"eqpecxkfcf"fg"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp<""



*"””."”000+" " "*"””."”000+" " "*"””."”000+" " "

"

""""r+"Kpfkswg"nqu"rwpvqu"fg"kphngzkôp0""""""""""Gp"z"="””””””"nc"itâhkec"rtgugpvc""rwpvqu"fg"kphngzkôp0"""""""""""Nqu"rwpvqu"fg"kphngzkôp"uqp"*””."””+""{"""*””."””+""

Cevkxkfcf"50"Tgrtgugpvg"itâhkecogpvg"nc"hwpekôp"h*z+"="3z

z44

4

−"eqpukfgtcpfq"gp"nc"

rcpvcnnc"swg"eqttgurqpfg"c"nc"gpvtcfc"fg"fcvqu."rctc"gn"glg"z<"Qtkigp"⁄6"{"Hkpcn"6="rctc"gn"glg"{<"Qtkigp"⁄8"{"Hkpcn"80"""Qdugtxcpfq"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp."fgvgtokpg<"c+"Fqokpkq<"0000000000000000000000000000000000"Eqplwpvq"kocigp<"0000000000000000000000000000000000000000"d+"Kpvgtugeekqpgu"eqp"gn"glg"z"*egtqu+<"00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000""""


c) Intersección con el eje y (ordenada al origen): .............................................

d) Analice el comportamiento de la función:

cuando x → +∞ ..........................................

cuando x → −∞ ..........................................

e) Indique, si presenta, los puntos de discontinuidad ..................................

Si existen puntos de discontinuidad, analice el comportamiento de la

función cuando x se aproxima a esos puntos:

por izquierda ……….……….………

por derecha ………...…..……..……

Seleccione la opción Discontinuidades aisladas. ¿Qué obtiene?

¿Cómo interpreta el mensaje que aparece?

¿A qué corresponden las rectas de color rojo que quedan dibujadas?

f) Determine (en caso de existir):

Asíntotas verticales: …………….... Asíntotas horizontales: ….………..

g) Calcule f '(x) = ……………………..

h) Analice el signo de la derivada primera en todo el dominio de la función.

i) Indique los valores de x que anulan la derivada primera o donde no existe.

……………………………………………………………………………….

j) Grafique la función derivada.

Complete: Dominio de f '(x) = ……………………..

La función derivada se hace cero en x = ………………………… y no existe en

x = ……………………

k) Compare las dos gráficas. Considerando los intervalos que determinan los

puntos críticos y los valores de x que no pertenecen al dominio, complete el

siguiente cuadro:

Intervalo Signo de f '(x) (gráfica verde)

Comportamiento de f(x) (gráfica azul)

( ……, …...)

( ……, …...)

( ……, …...)

( ……, …...)

l) Determine los máximos y/o mínimos relativos.

Mínimo: y = ………... en x = …………

Máximo: y = ……….. en x = …………

m) Calcule f ''(x) = ……………………..

n) Grafique la segunda derivada de la función.

Complete: Dominio de f ''(x) = ……………………..

La segunda derivada se hace cero en x = …………………….……… y no

existe en x = …………

o) Compare las dos gráficas. Considerando los intervalos que determinan los

posibles puntos de inflexión, complete el siguiente cuadro indicando el signo

de la derivada segunda y si en cada intervalo la gráfica de la función es

cóncava hacia arriba o hacia abajo:

295


4;8



*"””."”000+" " "*"””."”000+" " "*"””."”000+" " "

""""r+"Kpfkswg"nqu"rwpvqu"fg"kphngzkôp0""""""""""Gp"z"="””””””"nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"rtgugpvc""rwpvqu"fg"kphngzkôp0"""""""""""Nqu"rwpvqu"fg"kphngzkôp"uqp"*””."””+""{"""*””."””+""Cevkxkfcf"60"Wp" hcdtkecpvg"xgpfg" ›zfi"ctvîewnqu"rqt"ugocpc"c"wp"rtgekq"wpkvctkq"r*z+"="52"⁄"2.3z" *gp"rguqu+0"Uk" nc" hwpekôp"e*z+"="8z"-"422" tgrtgugpvc"gn"equvq"vqvcn"fg"rtqfweekôp."fgvgtokpg<"c+"Gn"pûogtq"fg"ctvîewnqu"swg"fgdg"rtqfwekt"rctc"swg"gn"kpitguq"ugc"oâzkoq0"

ÀEwân"gu"fkejq"kpitguqA"d+"Fgvgtokpg" nc" icpcpekc"oâzkoc0" ÀSwê" ecpvkfcf"fg"ctvîewnqu" rqt" ugocpc"

fgdg"xgpfgt"rctc"qdvgpgt"fkejc"icpcpekcA""Cevkxkfcf"70"Ncu" hwpekqpgu"swg"tgrtgugpvcp"gn"equvq"g" kpitguq" vqvcn" *gp"rguqu+"rctc"wp"fgvgtokpcfq"ctvîewnq"s."guvâp"fcfcu"rqt<""

e*s+"="422"-"42s"-"2.23s4" " k*s+"="82s"⁄"2.25s4""c+"Jcnng"fg"ocpgtc"cpcnîvkec"swê"ecpvkfcf"fg"ctvîewnqu"oczkok|c"nc"icpcpekc0"

ÀEwân"gu"nc"icpcpekc"oâzkocA"d+" Tgrtgugpvg" nc" hwpekôp" icpcpekc" {" eqttqdqtg" uw" tgrwguvc" cpvgtkqt" fg"

ocpgtc"itâhkec0""e+"Tgrtgugpvg"ncu"vtgu"hwpekqpgu"*icpcpekc."equvq"g"kpitguq+"{"fgvgtokpg"fg"

swê"ocpgtc"rwgfg"ecnewnct"nc"ecpvkfcf"fg"ctvîewnqu"swg"oczkok|c"nc"icpcpekc0"""Cevkxkfcf" 80" Wpc" gortguc" swg" eqphgeekqpc" gpxcugu." fgdg" eqpuvtwkt" wpc" eclc"rctc"gn"ncp|cokgpvq"fg"wp"pwgxq"lwiq"fg"pctcplcu0""Gn" fkugòq" gu" gn" swg" ug" owguvtc" c"eqpvkpwcekôp"gp"gn"swg"ncu"ogfkfcu"ug"gzrtgucp"gp"eo0"ÀEwân"fgdg"ugt"gn"cnvq"fg" nc" eclc" rctc" swg." eqpugtxcpfq"fkejcu" rtqrqtekqpgu" gpvtg" uwu"ogfkfcu."eqpvgpic"nc"oâzkoc"ecpvkfcf"fg"lwiqA"

"""GLGTEKEKQU"FG"TGRCUQ"""3+"Fgvgtokpg"gn"fqokpkq"fg"fghkpkekôp"fg"ncu"ukiwkgpvgu"hwpekqpgu<"

" c+"h*z+"= 6z + " d+"h*z+"="4z

3"" " e+"h*z+"="

4z6

3

−""

"


d) f(x) = x

1x + e) f(x) = 4x

3 − 3x

4 f) f(x) =

6xx

4x4xx2

23

−+

+−−

2) Halle las ecuaciones de las asíntotas de las funciones:

a) f(x) = 6xx

4x4xx2

23

−+

+−− b) f(x) =

1x

x22 −

c) f(x) = 3x

8x2

−−

d) f(x) = x

1x +

e) f(x) = 2x

2x

−+

3) Para cada una de las siguientes funciones, determine puntos críticos,

intervalos de crecimiento y extremos relativos.

a) f(x) = 3x2 − 2x

3 b) f(x) = x

3 − 6x

2 + 9 c) f(x) = x

3 − 3x

d) f(x) = 4x3 − 3x

4 e) f(x) = x

x+ 1

f) f(x) = 2x

2x

−+

4) Analice la concavidad de las gráficas de las siguientes funciones y calcule los

puntos de inflexión:

a) f(x) = x3 − 6x

2 + 12x + 4 b) f(x) = 4x

3 − 3x

4

c) f(x) = x

1x + d) f(x) =

2x

2x

−+

5) Realice el estudio completo de las siguientes funciones y obtenga su gráfica:

a) f(x) = x

1x + b) f(x) = 4x

3 − 3x

4

6) En los siguientes gráficos correspondientes a y = f(x), indique: a) intervalos en los cuales la función es creciente,

b) intervalos en los cuales la función es decreciente,

c) valores del dominio donde la primera derivada es nula,

d) valores del dominio donde la primera derivada no existe,

e) valores del dominio que corresponden a extremos de la función.

i)

297


ii) iii)

7) Trace la gráfica de una función f(x) para la cual f(x), f ' (x) y f

'' (x) existan y

sean positivas para todo x.

8) Trace la gráfica de una función f : R → R que cumpla con las condiciones

dadas en cada caso:

a) f '(x) > 0 si x > x0; f '(x) < 0 si x < x0; f

''(x) < 0 ∀ x ∈ R;

b) f '(x) < 0 ∧ f

''(x) > 0 si x < x0; f '(x) > 0 y f

''(x) < 0 si x > x0;

c) f ''(x0) = 0; f

''(x) < 0 si x < x0; f ''(x) > 0 si x > x0;

d) f '(x0) no existe; f ''(x) > 0 si x < x0 ; f

'' (x) > 0 si x > x0;

9) Observando la gráfica de f '(x),

a) Determine los intervalos donde la función

es creciente y decreciente. Encuentre, si

existen, los extremos relativos.

b) Encuentre los intervalos donde la gráfica

de la función es cóncava hacia arriba,

cóncava hacia abajo y los puntos de inflexión. c) Dibuje una posible gráfica de f(x).

10) Aplicando el criterio de la derivada segunda, calcule los extremos relativos

de las funciones:

a) f(x) = x4 − 4x

3 + 100 b) f(x) = 2x

2

1x

24 −−

c) f(x) = 4x3 − x

2 − 2x + 1 d) f(x) = x

3 + 6x

2 + 12x − 5

11) Halle los extremos relativos y absolutos de las siguientes funciones en los

intervalos indicados:

a) f(x) = 2x3 − 3x

2 − 12x + 1 en ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

2

5 ,2

b) f(x) = x4 − 2x

2 + 1 en [0, 2]

c) f(x) = x2 + 2x − 4 en [−4, 3]

298


"""""""

90"CRNKECEKQPGU"FG"NC"FGTKXCFC"""903"Vgqtgocu"fgn"xcnqt"kpvgtogfkq0""904"Nîokvgu"kpfgvgtokpcfqu"{"nc"tginc"fg"N‚Jqrkvcn0"" "905"Cpvkfgtkxcfc0"" "906"Crtqzkocekqpgu0" """""""""""""""""""""""

›Pq"uê" nq"swg"{q" ng"rctg|ec"cn"owpfq."rgtq"cpvg"oî"okuoq"rctg|eq"jcdgt"ukfq"uônq"wp"owejcejq"swg"lwgic"gp"nc"rnc{c."fkxktvkêpfqug."gpvqpegu"eqoq"cjqtc."gp"gpeqpvtct"wp"iwklcttq"oâu" rwnkfq" q" wpc" eqpejc"oâu" rtgekquc" swg" nqu" qtfkpctkqu."okgpvtcu" swg" gn" itcp" qeêcpq" fg" nc" xgtfcf" rgtocpgeg"kpguetwvcdng"rctc"oî0fi"""""

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""Kucce"Pgyvqp"""""


En capítulos anteriores nos ocupamos de desarrollar el concepto de derivada, su interpretación como razón de cambio instantánea y habilidades operativas para poder calcular de manera eficiente derivadas de funciones . Analizamos el contenido geométrico de la derivada de una función como herramienta para realizar el estudio completo de diferentes funciones. Estudiamos además uno de los aspectos más importantes de nuestra vida cotidiana: la optimización. En este capítulo vamos a profundizar en el uso de la información geométrica que proporciona la derivada con el objeto de resolver algunos problemas interesantes. Analizaremos además algunos resultados generales sobre funciones derivables y sus implicaciones. Con el desarrollo de los diferentes contenidos nos proponemos cumplir con los

siguientes objetivos:

• Conocer los teoremas de las funciones derivables.

• Analizar la interpretación geométrica de los teoremas.

• Aplicar los teoremas en la resolución de ejercicios y problemas.

• Calcular límites aplicando la regla de L’Hopital.

• Definir diferencial de una función.

• Analizar la interpretación geométrica del diferencial de una función.

• Aplicar la aproximación lineal en la resolución de ejercicios.

• Comprender las aproximaciones polinomiales.

• Realizar aproximaciones de funciones aplicando la fórmula de Mac

Laurin o de Taylor.

7.1 Teoremas del valor intermedio Los teoremas del valor intermedio son importantes para demostrar otros

teoremas del Cálculo. Se refieren a determinadas propiedades de las funciones

continuas en un intervalo cerrado. Son teoremas existenciales dado que afirman

la existencia de un punto intermedio, aunque no expresen donde está dicho

punto. Veremos solamente los enunciados sin demostración.

Teorema de Rolle Sea f(x) continua en [a, b] y derivable en (a, b) tal que f(a) = f(b). Entonces

existe por lo menos un valor x0 tal que a < x0 < b y f '(x0) = 0.

Si bien no estudiaremos la demostración de este teorema, podemos realizar su

interpretación geométrica. Este teorema establece que si la gráfica de la función

es de un solo trazo continuo en [a, b], si existe la recta tangente en todo punto

de (a, b) y si f(a) = f(b), entonces en algún x0 ∈ (a, b) la recta tangente a la

gráfica de la función es horizontal.

La existencia de ese punto x0 no implica la unicidad, pueden existir otros puntos

donde la derivada sea nula.

Los siguientes gráficos ayudan a interpretar el teorema.

300


523

"

Ncu"jkrôvguku"fgn"vgqtgoc"uqp"gugpekcngu0"Uk"fglctcp"fg"ewornktug."kpenwuq"gp"wp"uqnq"rwpvq."nc"itâhkec"fg"nc"hwpekôp"rqftîc"pq"vgpgt"vcpigpvg"jqtk|qpvcn0"""Cevkxkfcf" fg" tghngzkôp0" Rtqrqpic" itâhkecu" fg" hwpekqpgu" swg" pq" eworncp" ncu"jkrôvguku"fgn" vgqtgoc"fg"Tqnng"{"swg"pq" vgpicp" vcpigpvg"jqtk|qpvcn"gp"pkpiûp"

rwpvq"fg"cduekuc"z2"fg"*c."d+0""

Glgornq0" ÀEwângu" fg" ncu" ukiwkgpvgu" hwpekqpgu" ucvkuhcegp" ncu" jkrôvguku" fgn"vgqtgoc"fg"TqnngA"Lwuvkhkswg"uwu"tgurwguvcu0"Gp"nqu"ecuqu"gp"swg"ug"eworncp."xgtkhkswg"gn"vgqtgoc0"Itchkswg0"

c+"h*z+"=" z4z4

3 5 − "gp"gn"kpvgtxcnq"]−4."2_0"

d+"i*z+"= 5

4

z ""gp"gn"kpvgtxcnq"]−3."3_0"

e+"j*z+"="⎩⎨⎧

≤−+=3>z4"""uk"""6z

3z"""""""""""uk"""""""""40"

f+"o*z+"="ugpz"gp"]2."4π_0"

c+" Nc" hwpekôp" h*z+" =" z4z4

3 5 − " gu" eqpvkpwc" gp" vqfqu" nqu" rwpvqu" fgn" kpvgtxcnq"

egttcfq"]−4."2_"{"fgtkxcdng"gp"gn"kpvgtxcnq"cdkgtvq"*−4."2+0"


524

Cfgoâu"h*−4+"="2"{"h*2+"="2."rqt"nq"vcpvq"nc"hwpekôp"ucvkuhceg"vqfcu"ncu"jkrôvguku0"Gn"vgqtgoc"fg"Tqnng"guvcdngeg"swg"h")*z+"fgdg"ugt"egtq"cn"ogpqu"gp"wp"rwpvq"fgn"kpvgtxcnq"*−4."2+0"

Gp"ghgevq<"h")"*z+"=" 4z4

5 4 − 0"

Uk" h" )*z+"="2"⇒" " 4z4

5 4 − "="2"" "⇒" " "5

6z"""""

5

6z4 ±=⇒= 0"Ug"fguectvc"gn"xcnqt"

5

6z = "fcfq"swg"pq"rgtvgpgeg"cn"kpvgtxcnq"*−4."2+0""""

Rqt"nq"vcpvq."h")*z+"ug"cpwnc"gp"5

6z −= "

swg"rgtvgpgeg"cn"kpvgtxcnq"*−4."2+0""

""

d+"i*z+"=" 5

4

z "gu"wpc"hwpekôp"eqpvkpwc"gp"gn"kpvgtxcnq"]−3."3_"0""Ug"xgtkhkec"cfgoâu"swg"h*−3+"="h*3+"="30"Pq"gu"fkhgtgpekcdng"gp"*−3."3+"fcfq"swg"""

h")*z+"="5

5

3

z

305

4z

5

4=

−"""pq"gzkuvg"gp"z"="20"

Rqt"nq"vcpvq"pq"eworng"eqp"ncu"jkrôvguku"fgn"vgqtgoc"fg"Tqnng."pq"rwgfg"cugiwtctug" nc"

gzkuvgpekc" fg" wp" rwpvq" z2" gp" gn" kpvgtxcnq"

*−3."3+"rctc"gn"swg"h")*z2+"?"20""

"

e+"j*z+"="⎩⎨⎧

<≤−+=3z4""uk"""""6z

3""""""""""zuk"""""""""""4"

Nc"hwpekôp"gu"fgtkxcdng"gp"*−4."3+0"Cfgoâu"j*−4+" =" j*3+" =" 4" rgtq" nc" hwpekôp" pq" gu"eqpvkpwc" gp" gn" kpvgtxcnq" ]−4." 3_." {c" swg"rtgugpvc"wpc"fkueqpvkpwkfcf"gp""z"="30"Pq"ug"xgtkhkec"wpc"fg"ncu"jkrôvguku"{"rqt"nq"vcpvq" vcorqeq" gn" vgqtgoc0" Gu" fgekt" pq"gzkuvg"pgeguctkcogpvg"wp"rwpvq"gp"gn"ewcn"nc"fgtkxcfc"ugc"egtq0""Gp" nc" itâhkec" ug" qdugtxc" swg" pq" gzkuvg"pkpiûp"xcnqt"gp"gn" kpvgtxcnq" *⁄4."3+"rctc"gn"

ewcn"j")*z+"ugc"egtq0" "

"


d) m(x) = senx en [0, 2π]

La función es continua en el intervalo [0, 2π] y derivable en (0, 2π).

Además m(0) = m(2π), por lo tanto se verifican las hipótesis. Es decir que existe

por lo menos un punto del intervalo (0, 2π) en el cual m '(x) = 0.

En efecto m '(x) = cosx que, en el

intervalo dado, se anula en x = π2

y en

x = π2

3.

Teorema del valor intermedio de Lagrange

Si f(x) continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe al menos un valor

intermedio x0 en (a, b) tal que f '(x0) = ab

)a(f)b(f

−−

.

Puede observarse que las hipótesis son idénticas a las del teorema de Rolle,

excepto la que se refiere al valor de la función en los extremos del intervalo. En

el caso especial en que f(a) = f(b), se obtiene la conclusión de dicho teorema

según el cual f '(x0) = 0.

En términos geométricos, este teorema establece que existe al menos un punto

de la gráfica de abscisa x0 ∈ (a, b) para el que la recta tangente a la misma es

paralela a la recta que une los puntos de la gráfica de abscisas x = a y x = b.

303


526

Uk" qdugtxcoqu" gn" itâhkeq" cpvgtkqt" ug" qdugtxc" swg" nc" tgevc" swg" rcuc" rqt" nqu"

rwpvqu"*c." h*c++" "{" " *d." h*d++" vkgpg"rgpfkgpvg" "cd

+c*h+d*h

−−

"{" nc"tgevc"vcpigpvg"c" nc"

ewtxc"gp"z2" vkgpg"rgpfkgpvg" h" )*z2+0"Uk" ncu" tgevcu"uqp"rctcngncu." ncu"rgpfkgpvgu"

uqp"kiwcngu."gu"fgekt"" "cd

+c*h+d*h

−−

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4

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5+"Nc"cduekuc"fgn"rwpvq"fg"nc"itâhkec"fg""{"?"npz""gp"gn"swg"nc"tgevc"vcpigpvg"gu"rctcngnc"c"nc"ewgtfc"swg"wpg"nqu"rwpvqu"C*3."2+"{"D*g."3+"gu<""

c+"3g

3

−" " d+"g" " " e+"g"-"3" " f+"g"−"3"


4) El valor de x0 que verifica el teorema del valor medio de Cauchy para la

función f(x) = 9x2 + y g(x) = x

2 + 1 en el intervalo [0, 4] es:

a) 7 b) 2 c) 3 d) 2,5

5) Resolviendo el 3

x

xsenx

0xlím

−→

, se obtiene:

a) 0 b) 6

1− c)

6

1 d) −6

6) El resultado de 2x

e

xlímx ∞→

es:

a) 0 b) 2

1 c) −

2

1 d) ∞

7) Calculando el xsenx

cosx1

0xlím

−−

+→, resulta:

a) 1 b) 0 c) −∞ d) +∞

8) Resolviendo el ( ) x2

1xxlím +

∞→, se obtiene:

a) 2 b) 0 c) ∞ d) 1

9) En el desarrollo de Mac Laurin de la función f(x) = , el término de grado

cuatro es:

2xe

a) 12x4 b) 2x

4 c)

2

x4

d) 24

x4

10) El término de grado tres en el desarrollo de Taylor alrededor de x = 3 para la

función f(x) = 1x + , es:

a) 33)(x

256

3− b) 3

3)(x512

1− c) 3

3)(x16

3− d) − 3

3)(x256

3−

AUTOEVALUACIÓN

1) Determine si la función f(x) = 1x

12 −

en [0, 2] satisface las hipótesis del valor

intermedio de Lagrange en el intervalo indicado. En caso afirmativo halle él o los

valores de c que tal teorema asegura que existen.

2) Indique si la función f(x) = x2 + 2x en [−3, 1] satisface las hipótesis del

teorema de Rolle en el intervalo indicado. En caso afirmativo halle él o los

valores de x0 que tal teorema asegura que existe.

3) Calcule los siguientes límites:

338


55;"

" c+z

4g4nîo

z7

2z

−→

"" " d+ +z4np*0znîo2z +→

" " e+" z

2z

+ugpz*nîo→

" "

6+"Jcnng"nqu"ekpeq"rtkogtqu"vêtokpqu"fgn"fgucttqnnq"fg"Oce"Ncwtkp"fg"i*z+"="g5z0"

7+"Gpewgpvtg"gn"xcnqt"crtqzkocfq"fg"h*z+"="z4"−"7"gp"gn"rwpvq"5.2230""

8+"Fgvgtokpg"wpc"hwpekôp"h*z+"vcn"swg"h")"*z+"=" zg5zz

4+− 0"

""GLGTEKEKQU"FG"TGRCUQ"""

3+" Ugc" nc" hwpekôp" h*z+" =" z4" -" 4z0" Eqortwgdg" swg" ucvkuhceg" ncu" jkrôvguku" fgn"vgqtgoc"fgn" xcnqt" kpvgtogfkq"fg"Ncitcpig"gp"gn" kpvgtxcnq" ]3."4_" {"fgvgtokpg"gn"

xcnqt"fg"z2"gp"fkejq"kpvgtxcnq0"

4+"ÀRctc"swê"xcnqtgu"fg"c."d"{"e"nc"hwpekôp"h*z+"="⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤≤+−+

=

6"z5""uk"""""""""""":ze

5>z>3""uk""""3dz4cz

3""""""zuk""""""""""""""""""4

"

ucvkuhceg"ncu"jkrôvguku"fgn"vgqtgoc"fgn"xcnqt"kpvgtogfkq"gp"gn"kpvgtxcnq"]3."6_A"

5+"Tguwgnxc"nqu"ukiwkgpvgu"nîokvgu"crnkecpfq"nc"tginc"fg"N‚Jqrkvcn<"

" c+""z

ugpznîo2z→

" " d+ ππ −→ z

ugpznîoz

" " e+ znp5z

znp4z7nîoz +

++∞→

""""""

" f+ znp0znîo 4

2z +→" " g+"

z4

zequnîo

4z −ππ

→" " h+"

4z

5z

z z4g6

z5gnîo

+

++∞→

""

" i+"+z4*ugpz

+z4*ugpznîo2z −

+→

" j+"+3g*z

gz3nîo

z

z

2z −

−+→

"" " k+( )z

3ccnîo

zz

2z

+−→

""

" l+" ( )z4

z

zzgnîo +

+∞→ m+"

8zz

7

5z

3nîo

45z −−−

−→""n+"

z

znpnîoz +∞→

"

" o+" z

3

zznîo

+∞→" " p+"

znp

7nîo

z

z +∞→" " q+"

4

z

2z z

3gnîo

−→

" "

" r+"z4

5

z g

znîo

+∞→" " s+

3g

zznîo

z

46

z +

++∞→

t+"6z z

znpnîo

+∞→"" "

" u+" znp0znîo2z +→

"" " v+ z

3

z z

3nîo ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+∞→" " w+

znp

3

4z4

3nîo3z

−−→

"

" x+""3g

3

z

3nîo

z2z −−

→"" y+ znp

c

2zznîo

+→" " z+" ( )z

3

2zz3nîo −

→"

6+"c+"Qdvgpic"gn"fgucttqnnq"fg"Vc{nqt"fg"h*z+"="equz"ugiûp"rqvgpekcu"fg"*z"−"4

π+0"


562"

" d+"Jcnng"gn"fgucttqnnq"fg"h*z+"="ugpz"gp"rqvgpekcu"fg"*z"−"6

π+0"

7+"Gpewgpvtg"gn"fgucttqnnq"fg"Oce"Ncwtkp"fg<"

" c+"h*z+"="gz""""""""" d+"h*z+"="ugp"z" " """"""" e+"h*z+"="np*3"-"z+"""""""""""""""""


341

Respuestas a: Ejercicios Integradores

Problemas de Aplicación Pruebas de Opción Múltiple

Autoevaluaciones Ejercicios de Repaso

CAPÍTULO 1: NÚMEROS REALES Y LA RECTA REAL EJERCICIOS INTEGRADORES 1.2 Números reales y la recta real (página 33) 1)a) x 3 b) x 2

c) x 4 2

d)x + 43 e)x 5 8

f)x 11 5

2)a) Intervalo:

2

5 ,

2

5,

b) Notación conjuntista:

1x2/x

c) Notación conjuntista:

Intervalo:

2

5 ,

2

3,

d) Notación conjuntista:

2x3/x ,

Intervalo: [3, 2),

3)a)(1,4)

b) 4,2 ,

4) 2

3m 5) a 2

PRUEBA DE OPCIÓN MÚLTIPLE (página 34) 1) c; 2) b; 3) b; 4) a; 5) b; 6) c; 7) c; 8) b; 9) b; 10) d; 11) a; 12) b; 13) c; 14) c;

15) b; 16) a

AUTOEVALUACIÓN (página 35) 1)a) (1, 5) b) 5, 3 c) (1, 2)(2, 5) d) (, 3)(5, )

e) (, 3)(1, ) f) 3, 1 2) k 2

3) m 1

4)a) x + 2 3

c) A x / x 5 x 1

A (, 51, )

5)a) Todos los números reales que

distan menos de 5 unidades del 4

en la recta numérica.

b) A x / 1 < x < 9 (1, 9)

EJERCICIOS DE REPASO (página 35)

1)a) {x/ 3 x 4}

b) {x/ 1 x 27 }

c) {x/ 4 x 1}

d) {x/ x 2}


342

e) {x/ x 4}

2)a) [2, 4]; b) (1,3]; c) [7, 2)

d) (1,3); e) (3, 1) (1,1)

f) (3, 1); g) (3, 7); h) [5,1]

i) (2, 3)(3,4); j) (6, 4)(4,2)

k) (0, 4); l) (, 0) (4, )

3) S (0, 3) (3, 6)

4)

0,

21

21,1S

5) k 2

6)a) Intervalo: [1, 4)

Gráfica:

b) Notación conjuntista:

{x/ 5 < x 9}

Gráfica:

c) Intervalo:

25,

23

Gráfica:

d) Notación conjuntista:

{x/ 0 x 1 3}

Gráfica:

e) Notación conjuntista:

{x/ 0 x + 2 3}

Intervalo: (5,2) (2,1)

CAPÍTULO 2: LÍMITE DE FUNCIONES EJERCICIOS INTEGRADORES 2.1 Noción intuitiva de límite – 2.2 Definición de límite de una función y propiedades (página 55)

1)a) 7; b) 3

1

2)a) No existe porque los límites

laterales son distintos (por izquierda

es 1 y por derecha, 3).; b) 1 ya

que los dos límites laterales son

iguales a ese valor.; c) No existe

porque los límites laterales son

distintos (por izquierda es 2 y por

derecha, 1).; d) 1 ya que los dos

límites laterales son iguales a ese

valor.

a) 1; b) 1; c) 1; d) 2; e) 7

f) No existe.

EJERCICIOS INTEGRADORES 2.3 Límites infinitos y límites en el infinito – 2.4 Límites indeterminados (página 79)

2)a) 32 ; b) 23

; c) 0; d) 1; e) 5;

f) 81

; g) +; h) + ; i) 0;

3) a 2, b 10

PROBLEMAS DE APLICACIÓN (página 79) 1) 0


343

2)a) 0,4 millones 400 000

bacterias;

b) se estabiliza en 2 millones de

bacterias.

3)a) N(5) 166 ciervos; N(10) 250

ciervos; b) 750 ciervos.

4) a) 1,07g; b) 1,25 g

5)a) Aproximadamente 60 palabras/

minuto; b) 157 palabras/ minuto

6)a) 40 unidades, 60 unidades;

b) 120 unidades.

7)a) 27,54 %; 44,25 %; b) 70 %.

8)a) 14,51 %; 32 %; b) 90 %.

9)a) +; b) b

PRUEBA DE OPCIÓN MÚLTIPLE (página 81) 1) c; 2) a; 3) b; 4) a; 5) b; 6) d; 7) c; 8) b; 9) b; 10) d; 11) a; 12) b; 13) a; 14) d; 15) b; 16) c; 17) d; 18) d; 19) b; 20) a; 21) c; 22) a; 23) b; 24) a

AUTOEVALUACIÓN (página 85) 1)

a) 4 b) 4 c) 4 d) 2

2)a) , b) , c) no existe, d) 3, e) 1, f) no existe, g) 3, h) 3, i) 3,

j) 0, k) no existe, l) 3, m) 4

3)a) 26

1, b)

4

3 , c) 0, d) 0

4) a 21 , a

2

1

5)a) 30 mm, b) 300 mm

EJERCICIOS DE REPASO (página 86) 1)a) Falso. La existencia de límite

cuando x tiende a x0 no asegura la

existencia de la imagen en ese

punto.; b) Verdadero.

c) Falso. Si los límites laterales en

un punto son distintos el límite en

ese punto no existe.

d) Falso. La no existencia de la

imagen en x x0 no asegura la no

existencia de límite en dicho valor.

e) Verdadero.

2)a) 2; b) 5

2; c) 4; d) 22 ; e)

7

10

f) 0; g) 4a3; h)

22

1; i)

2

1; j)

a2

1

k) 9; l) +; m) 0; n) 2; ñ) 1; o) 8

p) 2; q) 7

2; r)

2

2 ; s) 4; t) 1

u) 4

1; v) 1; w) 1; x) 2; y) 0

3)a) 2x; b) 4x + 5

4)a) 1; b) 2; c) 2x; d) 2x + 1 5)a) +; b) 6; c) 0; d) +; e) 0; f) 0

6)a) 3; b) 2; c) No existe; d)

e) +; f) +; g) +; h) 0; i) 1; j) 1

k)1 7)a) 2; b) 3; c) 0; d) 0; e) 2; f) 2


344

g) +; h) ; i) No existe; j) 2

1

k) 2

1 ; l)

2

1

9)i)

ii)a) 0; b) 0; c) 0; d) 0; e) 1; f) 2

g) No existe; h) 2

10)a) k 6; b) k 2

CAPÍTULO 3: FUNCIÓN CONTINUA EJERCICIOS INTEGRADORES 3.1 Continuidad de una función en un punto – 3.2 Función continua en un intervalo (página 108) 1)a) 2; b) 2; c) 3; d) no existe; e) 2; f) 1; g)1; h) 1

La función es continua en todo

punto excepto en x 4 donde

presenta una discontinuidad de

salto y en x 2 donde presenta una

discontinuidad evitable. 2) Función continua en todo punto

excepto en x 1 donde presenta

una discontinuidad evitable.

En x 0 donde presenta una

discontinuidad infinita y en x 3 una

discontinuidad de salto.

3)a) 21k b) k 3

4)

Continua en todo punto excepto en

x 1 donde presenta una

discontinuidad de salto.

5) En [3, 1 es continua excepto en

x 2, donde presenta una

discontinuidad infinita y en [ 0, 3 es

continua.

EJERCICIOS INTEGRADORES 3.3 Teoremas de las funciones continuas (página 114) 2) Ninguna raíz.

3) No se puede asegurar que

presente una raíz real en el

intervalo [0, 4 pues no es continua

en dicho intervalo (teorema de

Bolzano).

4) Dos raíces como mínimo.


345

PROBLEMAS DE APLICACIÓN (página 115)

1)a) c : R+ R /

x

400 xsi1,25x

400x150 si1,5x

150x0 si2x

b)

c) El costo de transportar una casa

móvil 130 km es de $ 260. El costo

de transportar una casa móvil 400

km es de $ 600.

d) Presenta discontinuidades de

salto en x 150 y en x 400.

2)a) A los tres minutos de ser

introducida la bacteria habrá 16 000

bacterias.

b) A los ocho minutos habrá 8 000

bacterias.

c) La colonia morirá a los nueve

minutos.

d)

e) Es continua en todo su dominio.

3)a) Al comienzo de la experiencia

la temperatura es de 25ºC. Indica la

ordenada al origen, es decir, la

intersección con el eje de

ordenadas pues es la imagen del

cero.

b) Después de 5 minutos, la

temperatura será de 100 ºC.

c)

Es continua en todo su dominio.

4)a)

Presenta discontinuidades de salto

en x 5 y en x 10.

b) f(2) 40.

En el instante 2 el inventario de la

compañía es de 40 000 unidades.

f(10) 60.

En el instante 10 el inventario de la

compañía es de 60 000 unidades.


346

PRUEBA DE OPCIÓN MÚLTIPLE (página 116) 1) c; 2) a; 3) c; 4) b; 5) a ; 6) b; 7) c; 8) c; 9) b; 10) c; 11) a; 12) a

AUTOEVALUACIÓN (página 117) 1)

a) 2, b) 1, c) 1, d) 1 Tiene una

discontinuidad evitable en x 0. Es

continua en R 0. 2) b 3

3) Existe )x(flím

ax ya que los límites

laterales son iguales.

La función será continua en x a

sólo si L1 L2 b

4) Dos raíces.

5) Ninguna raíz.

EJERCICIOS DE REPASO (página 121) 1)a) Falso. Si los límites laterales en

x x0 son iguales entre sí pueden o

no coincidir con la imagen en dicho

punto. b) Falso. Una función puede

ser continua en (a, b) pero

)a(f)x(flímax

o )b(f)x(flímbx

,

es decir, no sería continua en [a, b].

c) Verdadero. ;d) Falso. Si g es

continua en [a, b], g

1 es continua

sólo si g(x) 0, x[a, b]. 2)a) Discontinuidad evitable en

x 3.

m(x)

3 xsi 5

3 xsi f(x)

b) Discontinuidad de salto en x 0.

c) Discontinuidad infinita en x 0.

d) Discontinuidad de salto en x 1.

e) Continua en todo punto.

f) Discontinuidad infinita en x 0.

g) Discontinuidad de salto en u 1.

h) Continua en todo punto.

i) Discontinuidad de salto en x 2.

j) Discontinuidad evitable en x 3.

m(x)

3 xsi 6

13 xsi f(x)

Discontinuidad infinita en x 3.

3) a) Discontinuidad de salto en

x 0.

b) Continua en todo punto.


347

c) Continua en todo punto.

d) Discontinuidad de salto en x 2.

4)a) k 5; b) k 5; c) k 3;

d) k 5

1

5)a) a 1, b 1; b) a 3, b 4

c) a 3

1, b

3

2

6)a) Discontinuidad de salto en

x 3. Discontinuidad evitable en

x 0.

b) Discontinuidad infinita en x 2.

Discontinuidad de salto en x 1.

Discontinuidad evitable en x 3.

11) El mínimo número de raíces es

2.

12) El mínimo número de raíces es

4.

CAPÍTULO 4: EL CONCEPTO DE DERIVADA

EJERCICIOS INTEGRADORES 4.1 Razones de cambio 4.2 El problema de la recta tangente a una curva 4.3 Relación entre razón de cambio promedio, razón de cambio instantánea, recta secante y recta tangente (página 152) 1)a) La razón de cambio promedio de la función cuando x cambia de

x0 1 a x1 2 es 3. La ecuación

de la recta secante es y 3x + 5. La razón de cambio promedio coincide con la pendiente de la recta secante que une los puntos

abscisa x0 1 y x1 2. b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto

de abscisa x0 1 es y 2x + 4.


348

2)a) La razón de cambio promedio de la función cuando x cambia de

x0 3 a x1 2 es 19, que coincide con la pendiente de la recta secante que une los puntos

abscisa x0 3 y x1 2. La ecuación de la recta secante es y 19x + 30. b) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto

x0 2 es y 12x + 16. c)

3) a) La razón de cambio media es

2, la razón de cambio instantánea

en x x0 es 2 y la razón de

cambio instantánea en x x1 es 2. b) La razón de cambio media es 1, la razón de cambio instantánea en

x x0 es y la razón de cambio

instantánea en x x1 es 2. 4)a) Las ecuaciones de la recta secante y de las rectas tangentes coinciden con la de la función debido a que se trata de una función de primer grado y por lo tanto su gráfica es una recta.

b) rs : y t 1 ; en x 0,

r t : y 1; en x 1, r t : y 2x 2

EJERCICIOS INTEGRADORES 4.4 Concepto de derivada 4.5 Función derivada 4.6 Derivadas laterales 4.7 Derivabilidad y continuidad 4.8 Derivabilidad de una función en un intervalo (página 172)

1)a) y' 2x 2 ; b) y' 5

2) f ' (x) > 0 si x (, b) (c, );

f ' (x) < 0 si x (b, c); f ' (x) 0 en

x b y en x c. 3)a) Existen las derivadas primeras

a la derecha y a la izquierda de x 1, pero son distintas. Por lo tanto no

existe la derivada en x 1. Lo mismo ocurre en x 6. b) En x 1 la función no es continua y por lo tanto no es

derivable en x 1.

4) La función es derivable en x 0.

En x 2 no es continua y por lo tanto no es derivable en x 2. 5) En x 2 la función no es continua y por lo tanto no es derivable. 6)a) la velocidad en cada instante

del movimiento es v(t) 2t 4; b) El móvil retrocede si 0 < t < 2 y avanza cuando 2 < t < 4.


349

c) s(0) 4m, s(1) 1m, s(2) 0m; d) 8m.


1)a) d 48 pies; vp 48 pies/s;

b) d 20 pies; vp 40 pies/s;

c) d 3,36 pies; vp 33,6 pies/s;

d 0,3216 pies; vp 32,16 pies/s;

d 0,032 pies; vp 32,01 pies/s;

d) vi 32 pies/s

2)a) vm 10 m/s;

b) vm 8,002 m/s;

c) vm (8 + 2h) m/s;

d) vi 8 m/s 3) a) 125 habitantes por año; b) 150 habitantes por año.

4)a) 5000 dólares; b) 4500 dólares/año; c) 4000 dólares/año. 5)a) 12 personas; b) 124 personas por año; c) 125 personas por año 6)a) 4000 l/m; b) 3500 l/m

7)a) 64 pies; vm 32 pies/s;

b) vm 48 pies/s;

c) 8 s; v 128 pies/s 8) 4,5 millones/año; 4,4 millones/año; 5,2 millones/año 9)a) 310 000 pies;

vm 77 500 pies/s;

b) v 187 500 pies/s. PRUEBA DE OPCIÓN MÚLTIPLE (página 175) 1) b; 2) a; 3) b; 4) a; 5) b; 6) b AUTOEVALUACIÓN (página 176)

1)

t

C1,2. La concentración del

fármaco en el torrente sanguíneo

disminuye a razón de 1,23

cm

mg por

minuto. 2)a) 2 392 000 personas

b) 142 000 personas por día

c) 561 500 personas por día.

3)a) Es continua en x 1 pues

2)1(f)x(flím1x

b) No es derivable en x 1 pues

las derivadas laterales existen pero

son distintas.

4) a 2, b 1.

5) y 2x 1

6) y 2

7x

2

1

7)a) 38 h

km, b) 118

h

km,

c) 138h

km.

8) 1,78 minutos

9)a) A las 5 horas de iniciado el

experimento hay 960 bacterias.

b) En t 5 horas la cantidad de

bacterias está aumentando a razón

de 665 bacterias por hora.


350

EJERCICIOS DE REPASO (página 177) 1)a) La razón de cambio media es

1; b) rs: y x + 2; c) En x 1, la razón de cambio instantánea es 0;

d) rt: y 1.

2) rt: y 2x + 11; rs: y 1x21

3) En x 0 la función no es continua y por lo tanto no es derivable. En cualquier otro punto del intervalo la función dada es derivable. 4)a) Falso, pues dos funciones que tienen la misma derivada pueden ser iguales o diferir en una constante.; b) Verdadero, pues derivabilidad implica continuidad.

5)a) h' (x) 2x + 4 ;

b) f '(x) 3x2

4x

c) r'(x) 23x

2

; d) g'(x)

24x2

16

6)a) f '(0) 3; b) f '(2) 12 ;

c) f '(1) 2 7)i) Existen las derivadas primeras de f(x) a la derecha y a izquierda de

x0 pero son distintas, por lo tanto no

existe la derivada en x0.

Df (a, b), Df ' (a, x0) (x0, b).

f '(x) 0 en (a, x0),

f '(x) 0 en (x0, b) ii) Existen las derivadas primeras de f(x) a la derecha y a la izquierda de x0 y son iguales, por lo tanto

existe la derivada en x0.

Df (a, b) Df '. La función f ' (x) 0 en (a, b)

iii) No es continua en x0, por lo tanto no es derivable en x0.

Df (a, b), Df ' (a, x0) (x0, b).

f '(x) 0 en (a, x0), f '(x) 0 en

(x0, b)

iv) Es derivable en x0.

Df [a, b) Df' ; f '(x) 0 en [a, b)

CAPÍTULO 5: CÁLCULO DE DERIVADAS

EJERCICIOS INTEGRADORES 5.1 Reglas de derivación - 5.2 Derivación implícita - 5.3 Razones de cambio relacionadas (página 205)

1)a) y' 2x 15x2

b) y' x2

1x2x2

3

c) y' xsec2x2

3e2x

d) y' x

x1 2

e) y' xcossenx2 e34x4

f) y' x

x2

e

1e

g) y' (tgx)x

xcos.senxxtgxln

h)

y' xtgxxcosln2xcosx52

x5

i) y' x2x

[2(1+lnx)cosx senx]

j) y' 1e5

e5x

x

2)a) 14; b) 105

3)a) u' (1) 0; b) v' (5) 32 ;

c) no existe u'(2)

4) m 2, n 1 5) b 8;

6) los puntos (0, 1) y

37 ,2


351

7) los puntos son: (2, 4) y

27122,

34

8) el punto es

29,

21

; la recta

tangente es y 29 .

9) los puntos son (1, 2) y (1, 2).

Las rectas: y 2, y 2.

10)a) yx

xy1

dx

dy2

2

; b) yx

dx

dy

11)a) 4dt

dy ; b)

2

53

dtdx

PROBLEMAS DE APLICACIÓN (página 211) 1)a) 239 200 personas; 1 916 800 personas; b) 14 200 personas por día; c) 56 150 personas por día. 2)a) 46 piezas; b) 23 piezas por hora; c) 24 piezas por hora a las 11 de la mañana y 19 piezas por hora a las 12. 3) 20 mm mercurio/g

4)a) N0; b) 62 bacterias/hora

5) T ' (t) 16k ekt

6) 0,9 parasitados/habitantes 7) 31,5 grados/minuto. 8)

T'(t)

71t

13t2

t 1212t6t 5

2

9) 160 s

cm

10)a) 1 segundo;

b) v(1) 2s

cm; s(1) 2,5 cm

11) v(1) 11s

cm , v(4) 16

s

cm

12)a)

t

6ens

34)t(v ;

b) t 6 , t 12 décimas de segundos.

13)a) v0 160 pies/s;

b) v(2) 96 pies/s;

c) a(3) 32 pies/s2;

d) t 10 s; e) v 160 pies/s

14)a) 43t ; b) v

21

15) El precio de la canasta de naranjas disminuye a una tasa de $ 0,05 por día cuando la oferta diaria es de 5 000 canastas. 16) El costo aumenta a una tasa de $ 1020 por semana cuando la oferta es de 50 unidades. 17) La oferta crece a razón de 875 unidades por mes. 18) El área de la quemadura

decrece a razón de 0,1 cm2 por

día. 19) La sombra aumenta a razón de

0,47 .seg

m. Su sombra mide 3,79

metros. 20) El volumen aumenta a razón de

240 s

3cm

.

PRUEBA DE OPCIÓN MÚLTIPLE (página 214) 1) a; 2) a; 3) c; 4) c; 5) a; 6) b; 7) c; 8) c; 9) a


352

AUTOEVALUACIÓN (página 214)

1)a) f ' (x) x22

e4x2

9

b) f ' (x) 1x2x3.

x

1x2)x3ln(2

c) f ' (x) 24e3x

3

x

2x

2) m ' (2) 2

11

3) y x + 4

11

4) a 3, b 7

5)a) 5

12, b) 1

6)a) f '' (x) 4e2x

b) g ''' (x) 6 8cos(2x)

c) f(v)

(x) 0

7) 6,25 .seg

m

EJERCICIOS DE REPASO (página 215)

1)a) y' 4x3

+ 6x ;

b) y' 15x2

+ 2 2 x 25

c) y' 12x3

+ 18x2 + 10x + 4

d) y' (15x2 20x).(x

3 2x2)4

e) y'

25x4

x4

2

;

f) y'

233

x

2

x

1

g) y' x2

21 ; h) y'

3x

x2

;

i) y'

2x1x

2

j) y'

2xxln

x2.e

k) y' (6x 4).cos(3x2 4x + 5)

l) y' x2cos1

2

; m) y' 6cotg3x

n) y' 3.ln2.2tg3x

.sec2(3x);

o) y' 3ln.3.x22

x

p) y' x.sen3x ; q) y' 2xlnx 1

.lnx

r) y' 3x3x

.(1+ lnx) ;

s) y' (4 + 3lnx).ex.x

3x

t) y' x 2x+1

.

x1x2xln2 ;

2)a) 31 ; b) 86

3)a) 2 ; b) 4

4) f1 y g5; f2 y g3; f3 y g1; f4 y g4;

f5 y g2; f6 y g6

5)a) Falso ; b) Verdadero ; c) Verdadero 6)a) t : y 12x + 16,

n : y 649 x

121

b) t: y 13x 2, n: y 13

144 x131

c) t : y 94 x

91 , n : y

356 x9

d) t : y 4x + 2, n : y 2x41

t : y 4x 14, n : y 3x41

7)a)

47,

21V ; b) V(1, 1)

8)a) m y'

21 3 ;

b) m y' (2) 2

c) P(1, 0) ; d) Q

41,

2

3

9) f(2) 3, f ' (2) 1;

10) a 1, b 0, c 4

11)a)

313,2

b)

32,1 ;(3, 8)


353

12)a) 4

3x2dx

dy ; b) y3x

dx

dy 13)a)

31

dt

dy ; b) 3

dtdx

CAPÍTULO 6: ESTUDIO DE FUNCIONES

EJERCICIOS INTEGRADORES 6.7 Estudio de funciones (página 281) 1) a) D R {1} ; b) la función es

creciente en todo su dominio, no

posee extremos relativos;

c) no existen puntos de inflexión, es

cóncava hacia arriba en (, 1) y

cóncava hacia abajo en (1, );

d) x 1 asíntota vertical; y 1

asíntota horizontal; no existe

asíntota oblicua. 2) a) D R ; b) Intersecciones con

los ejes: P1(0, 0), P2 0 ,12 y

P3 0 ,12 ; c) No tiene asíntotas

pues es una función polinomial.

d) En (, 2) y (2, ) la función

crece; en (2, 2) la función decrece;

(2, 32) máximo relativo; (2, 32)

mínimo relativo; e) En (, 0) es

cóncava hacia abajo; en (0, ) es

cóncava hacia arriba; (0, 0) punto

de inflexión.

f)

3) mínimos absolutos (0, 0) y

(3, 0); máximo relativo y absoluto

4

9,

2

3.

4)

(la respuesta no es única) 5) x 1 asíntota vertical, y 2x + 3

asíntota oblicua.

6)a) crece (, 2) (1, 5) (8, )

b) decrece (2, 1) (5, 8)

d) máximo relativo en x 2 y x 5

d) mínimo relativo en x 1

e) f '(x) 0 en x 2, x 1 y x 5

f) f '(x) no existe en x 8

7) a 3

2, b 2;

3

4,1 máximo

relativo; (3, 4) mínimo relativo.

8)a)

b)


354

c)

9)i)a) D R{1},

CI (, 4][0, )

b) (0, 0); c) Asíntota vertical x 1,

asíntota oblicua y x1;

d) La función es creciente en

(, 2) (0, ) y decreciente en

(2, 1) (1, 0); el punto (2, 4)

es máximo relativo y el punto (0, 0)

es mínimo relativo;

e) La función es cóncava hacia

abajo en el intervalo (, 1) y

cóncava hacia arriba en el intervalo

(1, ). La función no tiene puntos

de inflexión.

ii)a) D R {1, 1}, CI R; b) (0, 0);

c) Asíntotas verticales x 1 y

x 1, asíntota horizontal y 0; d) La función es decreciente en todo

su dominio, no tiene por lo tanto

extremos relativos;

e) La función es cóncava hacia

abajo en (, 1)(0, 1) y cóncava

hacia arriba en el intervalo

(1, 0) (1, ). El punto (0, 0) es

punto de inflexión.


1)a) v(3) ;s

m4 v(8)

s

m6 ;

b) a los 3 segundos está subiendo y

a los 8 segundos está bajando;

c) comienza a descender a los 5

segundos. Se encuentra a 25 m

2)a) velocidad: f '(t) 3t2 – 12t + 9;

Aceleración: f '' (t) 6t – 12;

b) cuando t 0 la partícula está a

5m; c) La dirección de la partícula

cambia al segundo y a los tres

segundos;

d) La velocidad crece a partir de los

dos segundos y entre 0 y 2

segundos decrece

3) a) f ' (5) –0,0148 unidades por

día; f ' (15) 0,0032 unidades por

día b) está creciendo

4)a) v(20) 280 organismos/día;

b) t 40 días; c) t 90 días

5) v(2) 80 m/s; Está subiendo y

continuará subiendo 8 segundos

más. Llegará a 500 metros

6) 2,5 gramos

8) Ingreso máximo para q 40;

Ingreso mínimo para q 0 o q 80

9)a) 24 unidades/día; b) 4 días;

c) a los 6 días, 210 unidades;

d) 102 unidades

10)a) 110 g para 20 % de yema;

b) 51,81 g para p 100 % de yema

11) Para t 12 el valor máximo es

N 105

12) Dimensiones: 2 m x 4 m (uno de

los lados mayores contra la pared)

13)a) g(x) – 0,75 x2 + 15x – 25;

b) x 10 unidades; c) g(10) $ 50

14) El valor máximo de oxígeno se

alcanza a los 32 días y es 8048. El

valor mínimo es 2000 y se alcanza

a los 20 días. 15) 16 artículos; ganancia máxima

$ 2048

16)a) 4 millones de dólares;

b) Utilidad máxima $ 108,3 millones

17) cuadrado de lado l 15m

18) valor máximo 225 (se alcanza

para x 3); valor mínimo 125 (se

alcanza para x 1 y x 5)


355

19) 120 personas

20) cuadrado de lado l 30 m;

costo mínimo: $ 1 800.

21) a 16; b 48

22) la máxima reacción es de la

droga r1.

23) a los 7 segundos tienen la

misma velocidad (102s

m). En la

primera trayectoria la aceleración es

42 2

s

m y en la segunda, 6

2s

m.

24)a) se deben fabricar menos de

50 artículos;

b) la ganancia máxima es de $ 900

fabricando 50 artículos.

25) deberán concentrarse 50

árboles por hectárea.

26)a) g(x) –5x2 + 350x – 5000;

b) deberán producirse y venderse

35 cientos de unidades es decir

3500 unidades; c) la ganancia

máxima será 1125 cientos de

dólares, es decir, 112 500 dólares.

27) en x 1cm donde la

concentración es de 2 cm

mg.

28) base cuadrada de lado 4 m y

altura 2m.

29) ambos números son 32.

30) los números son 10 y 10.

31)a) 4,4 s

cm b) la altura máxima

es 0,987 cm en 0,45 segundos.

32) 122

s

m

33)a) 4s

m; –10

2s

m

b) 2,4 s; c) 34,8m

34)a) 35 s b) 2275 pies

35) 2

s

m

3

2

36) a) 100 peces

b)

PRUEBA DE OPCIÓN MÚLTIPLE (página 288) 1) b; 2) d; 3) a; 4) b; 5) d; 6) b; 7) b; 8) d; 9) b; 10) c.

AUTOEVALUACIÓN (página 290)

1) f'(x) > 0 en (,4) U (2, 1) U

(1, +); f'(x) < 0 en (4,2)

f '' (x) > 0 en (1, +),

f '' (x) < 0 en (,2) U (2, 1)

Creciente en (,4) U (2, +)

Decreciente en (4,2)

Cóncava hacia arriba en (1, +)

Cóncava hacia abajo en

(,2) U (2, 1)

Asíntota vertical en x 2

Extremo Mr (4, 2) Punto de

inflexión ( 1, 3)

2)a) a 3. Mínimo relativo en (0, 0);

máximo relativo en (2, 4); punto de

inflexión en (1, 2).


356

3) x 0 asíntota vertical; y x2

1

asíntota oblicua. No posee asíntota

horizontal.

4) A los dos días se produjo el

mayor número de contagios y fue

de 52 personas.

5) Al cabo de dos horas la moto es

más veloz.

EJERCICIOS DE REPASO (página 296) 1)a) D [4, ) ; b) D R {0};

c) D (2, 2); d) D R {0};

e) D R ; f) D R {3, 2} 2)a) Asíntota vertical: x 3.

Asíntota horizontal: no tiene.

Asíntota oblicua: y x 2

b) Asíntotas verticales: x 1, x 1.

Asíntota horizontal: y 0. No posee

asíntotas oblicuas.

c) Asíntota vertical: x 3. Asíntota

oblicua: y x + 3. No posee

asíntotas horizontales.

d) Asíntota vertical: x 0. Asíntota

oblicua: y x.

No posee asíntotas horizontales.

e) Asíntota vertical: x 2.

Asíntota horizontal: y 1.

No posee asíntotas oblicuas.

3)a) Puntos críticos: 0 y 1.

En (, 0) (1, ) decrece y crece

en (0, 1). Mínimo relativo (0, 0).

Máximo relativo (1, 1).

b) Puntos críticos: 0 y 4.

En (, 0) (4, ) crece y en (0, 4)

decrece. Máximo relativo (0, 9) y

mínimo relativo (4, 23).

c) Puntos críticos: 1 y 1.

En (, 1) (1, ) crece y

decrece en (1, 1). Máximo relativo

(1, 2) y mínimo relativo (1, 2).

d) Puntos críticos: 0 y 1. En (, 1) crece y en (1, ) decrece. Máximo

relativo (1, 1).

e) Puntos críticos: 1, 0 y 1.

En (, 1) (1, ) crece y decrece

en (1, 0) (0, 1). Máximo relativo

(1, 2) y mínimo relativo (1, 2).

f) Punto crítico: 2. No posee

extremos relativos. Es decreciente

en todo su dominio. 4)a) En (, 2) es cóncava hacia

abajo y en (2, ) es cóncava hacia

arriba. (2, 12) es el punto de

inflexión. b) En (, 0)

,3

2es

cóncava hacia abajo y en

3

2 ,0 es

cóncava hacia arriba; (0, 0) y

27

16 ,

3

2son los puntos de

inflexión.

c) En (, 0) es cóncava hacia

abajo y en (0, ) es cóncava hacia

arriba. No posee puntos de

inflexión. d) No posee puntos de inflexión. En

(, 2) es cóncava hacia abajo y en

(2, ) es cóncava hacia arriba.


357

5)a)

b)

6) i) a) (2,5; 0) (2, 4);

b) (; 2,5) (0, 2) (4, );

c) x 0 y x 2; d) x 2,5; x 1 y

x 4; e) Máximo relativo en x 0 y

mínimo relativo en x 2,5 y en

x 2.

ii)a) [1; 1) (2; 3);

b) (1; 2) (3; 3,5];

c) x 2 y x 3; d) x 1; e) máximo

relativo en x 1; mínimo relativo en

x 2; máximo relativo y absoluto en

x 3, mínimo absoluto en x 1.

iii)a) (0, 2); b) (2, 0) (2, 5);

c) x 1; d) x 0 y x 2;

e) mínimo relativo en x 0; mínimo

absoluto en x 5; máximo relativo y

absoluto en x 2. 9) La función es creciente en todo

su dominio, (, ); por lo tanto no

tiene extremos. En cada punto del

intervalo (, 0) la pendiente de la

recta tangente es negativa, es decir,

f '' (x) < 0, entonces en (, 0) la

función es cóncava hacia abajo. En

cada punto del intervalo (0, ) la

pendiente de la recta tangente es

positiva, es decir, f '' (x) > 0,

entonces en (0, ) la función es

cóncava hacia arriba. Como existe

un cambio de concavidad en x 0,

es un punto de inflexión.

10)a) (3, 73) mínimo relativo

b) (0, 2) máximo relativo;

16

33 ,

2

1

y

16

33 ,

2

1mínimos relativos.

c)

4

1 ,

2

1mínimo relativo y

27

38 ,

3

1máximo relativo.

d) No posee extremos relativos.

11)a) (2, 19) mínimo relativo y

absoluto; (1, 8) máximo relativo y

absoluto.

b) (2, 9) máximo absoluto;

(1, 0) mínimo relativo y absoluto.

c) (1, 5) mínimo relativo y

absoluto; (3, 11) máximo absoluto.


358

CAPÍTULO 7: APLICACIONES DE LA DERIVADA

EJERCICIOS INTEGRADORES 7.1 Teoremas del valor intermedio

7.2 Límites indeterminados y la regla de L’Hopital (página 318) 1)a)

seg

m3

03

09

03

)0(s)3(svm

b) s(t) es una función continua en

[0, 3] y derivable en (0, 3), por lo

tanto existe, por el teorema del

valor intermedio, un punto en el

intervalo (0, 3) en el que la

velocidad instantánea es igual a la

velocidad media. La velocidad

instantánea en un instante es la

derivada de la función s(t) evaluada

en dicho instante.

s '(x0) 0x6t2 2x0 + 6

Como s '(x0) 3 2x0 + 6 3

x0 2

3. La velocidad instantánea

es igual a la velocidad media a los

1,5 segundos.

2) No existe un número en el

intervalo (1, 4) perteneciente a los

números reales que verifique la

ecuación f '(c)

14

1f4f

. No

contradice el teorema del valor

intermedio ya que la función no es

continua ni derivable en x 3

perteneciente al intervalo [1, 4], por

lo tanto no se cumplen las hipótesis

del teorema.

3) c 2

4)a) ln3

5; b) 3; c) 0; d)

2

1; e) e; f) 0

EJERCICIOS INTEGRADORES 7.4 Aproximaciones (página 337)

1)a) 4 15 1,96875;

b) 3 28 3,03704

2) 0,97

3)a) dy (3x2 8e

2x) dx

b) dy dxe

x152x5

;

c) dy dx1x2

2

4) dy 1, y 1,25

5) ln(x1)

42x4

132x

3

122x

2

12x

6) 2x

1

1 (x3) + (x3)

2 (x3)3

7) e2x

1 + 2x +2x2 +

3

4x

3 +

3

2x

4

PRUEBAS DE OPCIÓN MÚLTIPLE (página 337) 1) c; 2) b; 3) d; 4) a; 5) b; 6) a; 7) c ; 8) d; 9) c; 10) b.

AUTOEVALUACIÓN (página 338) 1) f(x) no satisface las hipótesis del

teorema del valor intermedio de

Lagrange pues no es continua en

el intervalo.

2) Satisface las condiciones del

teorema de Rolle y x0 1.

3)a) 10 b) 0 c) 1


359

4) g(x)

1 + 3x + 432

x8

27x

2

9x

2

9

5) 4,006

6) f(x) 2lnx 2

x2

+ 3ex + c

EJERCICIOS DE REPASO (página 339) 1) La función es continua en [1, 2] y

derivable en (1, 2). 2

3x0

2) a –1, b 4 y c –2

3)a)1;b) 0; c) 5; d) 0; e) 2

1; f)

4

1;

g) 3; h) 2

1; i) ln

aa 1

; j) e2;

k) 5

1; l) 0; m) 1; n) ; o) ; p) 0;

q) 0; r) 0; s) 0; t) 1; u) ; v) 12

;

w) ea; x) e

1

4)a) 5

2x

120

13

2x

6

1

2x

b) 32

4x

12

2

4x

4

2

4x

2

2

2

2

5)a) ex 1 + x +

2

1x

2 +

6

1x

3

b) sen x x 6

1x

3 +

120

1 x

5

c) ln(1+x) x 2

1 x

2 +

3

1x

3

4

1x

4


Bibliografía

Altman, S.; Comparatore, C. y Kurzrok, L. (2001): Matemática 5:

Análisis 1, Buenos Aires,

Longseller.

Altman, S.; Comparatore, C. y Kurzrok, L. (2001): Matemática 6:

Análisis 2, Buenos Aires,

Longseller.

Anton, H. (1991): Cálculo y

Geometría Analítica, México,

Limusa.

Ayra, J. y Larner,R. (1992):

Matemáticas aplicadas a la

Administración, Economía, Ciencias

Biológicas y Sociales. Tercera

Edición, Méjico, Prentice Hall

Hispanoamericana.

Azcárate, C.; Bosch, D.; Casadevall, M. y Casellas, E. (1996): Cálculo Diferencial e

integral, España, Editorial Síntesis.

Baum, A.; Milles, S. y Schultz, H. (1992): Cálculo Aplicado, Limusa.

Berté, A. (2000): Matemática

dinámica, Buenos Aires, A-Z

Editora.

Bittinger, M. (2002): Cálculo. Para

Ciencias Económicas-

Administrativas. Séptima Edición,

Colombia, Addison Wesley.

Budnick, F. (1997): Matemáticas

Aplicadas para Administración,

Economía y Ciencias Sociales,

Tercera Edición, Méjico, Mc. Graw

Hill.

Cantoral Uriza, R. y Farfán Márquez, R. M. (2004): Desarrollo

conceptual del Cálculo, México,

Thomson.

Cantoral, R. (2000): El futuro del

Cálculo Infinitesimal – ICME – 8

Sevilla, España. Méjico, Grupo

Editorial Iberoamérica.

Castro Pérez, J. y González Nucamendi, A. (2002): Problemario

de matemáticas para administración

y economía, México, Thomson.

Cordero, F. y Solís, M. (1995): Las

gráficas de las funciones como una

argumentación al cálculo, Méjico,

Grupo Editorial Iberoamérica.

Douglas Faires, J. y De Franza, J. (2001): Precálculo, Segunda

Edición, Méjico, International

Thomson Editores.

Edwards, C. y Penney, D. (1994):

Cálculo con Geometría Analítica,

Cuarta Edición, México, Pearson -

Prentice Hall.

Engler, A.; Müller, D.; Vrancken, S. y Hecklein, M. (2005):

Funciones, Santa Fe, Ediciones

UNL.

Faires, D.; DeFranza, J. (2000):

Precálculo, Segunda Edición,

México, Thomson, Learning.

Farfán Márquez, R. (1997):

Ingeniería Didáctica: Un estudio de

la variación y el cambio, Méjico,

Grupo Editorial Iberoamérica.

Goldstein,L.; Lay, D. y Schneider,D. (1990): Cálculo y sus

Aplicaciones, Cuarta Edición,

México, Prentice Hall

Hispanoamericana.

Gómez, P. y Mesa, V. (editores)

(1995): Situaciones problemáticas

de precálculo. El estudio de

funciones a través de la exploración

con calculadoras gráficas, Bogotá,

Una Empresa Docente. Grupo

Editorial Iberoamérica.

Harshbarger, R.; Reynolds, J. (2005): Matemáticas Aplicadas a la

administración, economía y ciencias

sociales, Séptima Edición, México,

Mc Graw Hill.

Hoffman,L.; Bradley, G. (2001):

Cálculo para administración,

economía, ciencias biológicas y

361


sociales, Séptima Edición,

Colombia, Mc. Graw Hill.

Hughes–Hallet, D.; Gleason, A.; et

al. (2001): Cálculo, Segunda

Edición, Méjico, CECSA.

Kilpatrick, J.; Gómez, P. y Rico, L (1995): Educación Matemática,

Méjico, Grupo Editorial

Iberoamérica.

Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards, B. (1995): Cálculo y

Geometría Analítica, Volumen 1,

Quinta Edición, España, Mc. Graw

Hill.

Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards, B. (2006): Cálculo I,

Octava Edición, México, Mc. Graw

Hill.

Lial, M. y Hungerford, T. (2000):

Matemáticas para administración y

economía. En las ciencias sociales,

naturales y de administración,

México, Pearson Educación.

Nagle, R; Saff, E. y Snider, A. (2005): Ecuaciones Diferenciales y

problemas con valores en la

frontera, Cuarta Edición, México,

Pearson Educación.

Pita Ruiz, C. (1998): Cálculo de

una variable, Méjico, Prentice Hall

Hisponoamericana.

Purcell, E. y Varberg, D. (1993):

Cálculo con Geometría Analítica,

Sexta Edición, México, Prentice

Hall Hispanoamericana.

Purcell, E. y Varberg, D. (1993):

Cálculo Diferencial e Integral, Sexta

Edición, Méjico, Prentice Hall

Hispanoamericana.

Sadosky, M.; Guber, R. (2004):

Elementos de cálculo diferencial e

integral, Vigésimosegunda Edición,

Argentina, Librería y Editorial

Alsina.

Salas, Hille y Etgen. (2002):

Calculus. Una y varias variables.

Volumen I, 4ª Edición, Barcelona,

Editorial Reverté.

Simmons, G. (2002): Cálculo y

Geometría Analítica, Segunda

Edición, México, Mc Graw Hill.

Smith, R. y Minton, R. (2000):

Cálculo. Tomo 1, Colombia, Mc.

Graw Hill.

Stewart, J. (1999): Cálculo.

Conceptos y contextos, México,

International Thomson Publishing.

Stewart, J.; Redlin,L. y Watson,S. (2001): Precálculo, Tercera Edición,

México, Thomson Learning.

Sullivan, M. (1997): Precálculo,

Cuarta Edición, México, Pearson

Educación, Prentice Hall, Addison

Wesley.

Tan, S.T. (2002): Matemáticas para

administración y economía,

Segunda Edición, Méjico, Thomson

Learning.

Thomas, G. y Finney, R (1998):

Cálculo. Una variable, 9ª Edición,

Méjico, Pearson Educación,

Addison Wesley Longman.

Waner, S. y Costenoble, S. (2002):

Cálculo Aplicado, Segunda Edición,

México, Thomson Learning.

Wisniewski, P.M.; Gumeta Chávez, H. y López Saura, I. (2001): Problemario de cálculo

diferencial de una variable, México,

Thomson Learning.

Wrede, R.; Spiegel, M. (2004):

Cálculo Avanzado, Segunda

Edición, España, Mc Graw Hill.

362


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Director de Planeamiento y Gestión Académica