Disen o de Levas - Teoria

8/19/2019 Disen o de Levas - Teoria

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1 5

seguidor

leva Figura 5.1-1

CAPÍTULO 5

LEVAS

5 1 INTRODUCCIÓN

En muchas situaciones del diseño de máquinas y mecanismos se requiere de un movi-miento programado, como por ejemplo en la apertura y cierre de las válvulas de unmotor de combustión interna; el tipo de mecanismo más adecuado a este propósito loconstituye el llamado mecanismo leva-seguidor, formado por un elemento, en rotacióno traslación, denominado leva que transmite por contacto un movimiento intermitentede rotación o traslación a otro dispositivo conocido como seguidor, tal como lo muestrala figura 5.1-1. El presente capítulo se dedica a detallar el diseño de un mecanismo le-va-seguidor.5 2 TIPOS DE LEVAS Y SEGUIDORES

5 2 1 TIPOS DE LEVAS

Existe una amplia gama de tipos de levas, pero aquí se van a describir las más usuales:Las levas de placa o de disco, como su nombre lo indica, son una placa o disco con laforma adecuada para transmitir al seguidor el movimiento deseado.La leva cilíndrica o de tambor está formada por un cilindro en el cual existe una ranuracuya forma generará un determinado movimiento en el seguidor.La leva lineal o traslacional, la constituye una placa sobre la cual se ha trazado una

ranura que guiará el movimiento del seguidor conectado a la misma; en este caso la le-va posee un movimiento traslacional intermitente a diferencia de la leva de disco en laque usualmente la misma tiene un movimiento rotatorio.Este capítulo se va a concentrar únicamente en el diseño de las levas de placa o discopor ser las de mayor difusión.5 2 2 TIPOS DE SEGUIDORES

Los seguidores se pueden clasificar de acuerdo a algunas características, estas son:

Movimiento del seguidor

Forma del seguidor Posición del seguidor

5 2 2 1 TIPOS DE SEGUIDORES DE ACUERDO A SU MOVIMIENTO

En base a su tipo de movimiento los seguidores se clasifican en:

Seguidores de traslación. Son aquellos que poseen un movimiento lineal e intermiten-te.Seguidores de rotación. Aquellos que poseen un movimiento rotatorio intermitente uoscilatorio.5 2 2 2 TIPOS DE SEGUIDORES DE ACUERDO A SU FORMA

De acuerdo a su forma los seguidores se clasifican en:Seguidor de cuña. Consiste de un elemento que se conecta a la leva a través de un con-tacto puntual por lo que tiene la forma de un vástago terminado en punta o cuña. Estetipo de seguidor tiene el inconveniente de que dado su conexión puntual presenta altosesfuerzos de contacto por lo que su desgaste es rápido, lo cual hace que su uso sea es-porádico.Seguidor de cara plana. Consiste en un elemento que forma una superficie plana lacual entra en contacto con la leva; este tipo de seguidor es útil cuando se requieren mo-vimientos rápidos.Seguidor de rodillo. Consiste de un vástago que tiene conectado un rodillo a su extre-mo el cual hace conexión con la leva. Conforme la leva gira ésta mantiene contacto conel rodillo el cual rueda sobre el perfil de la leva. Éste tipo de seguidor es el más usual-mente empleado en los mecanismos leva-seguidor.Seguidor de cara esférica. Consiste de una espiga en uno de cuyos extremos existe unasuperficie esférica que entra en contacto con la leva; al igual que el seguidor de caraplana éste se utiliza cuando son requeridos movimientos rápidos sin que el seguidor seatasque.5 2 2 3 TIPOS DE SEGUIDORES DE ACUERDO A SU POSICIÓN

Dependiendo de la posición que posea el seguidor respecto al centro de rotación de laleva, su clasificación es la siguiente:

Seguidor en línea. Cuando la línea de movimiento traslacional del seguidor se extiendea través del centro de rotación de la leva.Seguidor excéntrico o descentrado. Si la línea de movimiento traslacional del seguidorno pasa por el centro de rotación de la leva.

o de discoleva de placa

leva cilíndrica o de tambor

leva lineal o traslacional

seguidor de cuña

seguidor de cara plana

seguidor de rodillo

seguidor de cara esférica


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o descentrado

seguidor excéntrico

seguidor en línea

1 6

fase de descenso o bajada

fase de subida o ascenso

fases de detención o detenimiento

θ

5 3 DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTO DEL SEGUIDOR

Es la gráfica que describe el desplazamiento (lineal o angular) del seguidor respecto deldesplazamiento correspondiente de la leva. Está gráfica juega un papel importante de-ntro del diseño de una leva pues relaciona las posiciones del seguidor con las del perfilde la leva, por lo que conocido el movimiento del seguidor mediante el diagrama dedesplazamiento se puede obtener el perfil de la leva, objetivo final del diseño de levas.Básicamente un seguidor en su movimiento tiene tres fases: (a) la fase de subida o as-censo, (b) la fase de detención o detenimiento, y (c) la fase de descenso o bajada; todasellas se observarán reflejadas en un diagrama de desplazamiento del seguidor.En la grafica siguiente se muestra un mecanismo leva-seguidor y su correspondientediagrama de desplazamiento para el seguidor:

Considérese la relación funcional entre el desplazamiento del seguidor y la leva encualquier instante como y = y(θ), la misma que generaría el diagrama de desplaza-miento del seguidor y se denomina ecuación de posición del seguidor.Derivando, con respecto al tiempo, la función y(θ), se tiene:

d d ddt d dt

(5.3-1)

y y

y = y

donde,d

velocidad del seguidor en función del tiempodtd

velocidad del seguidor en función del desplazamiento de la levad

dvelocidad de la leva

dt

y

y =

yy =

Dado que usualmente la leva tiene un movimiento rotatorio, entonces ω representará

la velocidad angular de la leva y en ese sentido será entendida durante el análisis delpresente capítulo.Si se deriva, respecto del tiempo, nuevamente la expresión (5.3-1), se tiene:

2 2 2

2 2 2

2

d d d d d ddt d dt dt d dt

(5.3-2)

y y y

y = y y

donde,2

2

2

2

2

2

daceleración del seguidor en función del tiempo

dtd

aceleración del seguidor en funcion del desplazamiento de la leva

dd

aceleración de la levadt

y

y =

yy =

nuevamente α será la aceleración angular de la leva, dado su movimiento rotatorio.

θ

y

y


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1 7

Derivando nuevamente, respecto al tiempo, la expresión (5.3-2) se obtiene:23 3 2 2

3 3 2 2

3

3

d d d d d d d d d d d d2

dt d dt dt d dt dt d dt dt d dt 2

3 (5.3-3)

y y y y y

y = y y + y y

y = y y y

donde,3

3

3

3

3

3

dsobreaceleración(jerk) del seguidor en función del tiempo

dtd

sobreaceleración(jerk) del seguidor en función del desplazamiento de la levad

dsobreaceleración de la leva

dt

yy =

yy =

siendo la sobreaceleración angular de la leva.Como es norma general, la leva gira a una velocidad angular constante, por lo que suaceleración y sobreaceleración son nulas y las expresiones (5.3-1), (5.3-2) y (5.3-3) seconvierten en:

2

3

y = y

y = y

y = y

(5.3-4)

Estas ecuaciones permiten hallar la cinemática del seguidor a partir del conocimientoanalítico de los tipos de movimiento del seguidor y la cinemática de la leva.5 4 LEY FUNDAMENTAL DEL DISEÑO DE LEVAS

El movimiento del seguidor debe cumplir los siguientes requisitos, con el objetivo deevitar choques o agitaciones innecesarias del seguidor y la leva a altas velocidades, locual sería perjudicial para la estructura y el mecanismo en general:

La ecuación de posición del seguidor debe ser continua durante todo el ciclo de

movimiento de la leva. La primera y segunda derivadas de la ecuación de posición del seguidor (velo-

cidad y aceleración del mismo) deben ser continuas en todo el ciclo de movi-

miento de la leva. La tercera derivada de la ecuación de posición del seguidor (sobreaceleración

o jerk) no necesariamente debe ser continua, pero sus discontinuidades debenser finitas, obviamente en todo el ciclo de movimiento de la leva.

Las enunciados anteriores conforman la denominada ley fundamental del diseño delevas.5 5 TIPOS DE MOVIMIENTO DEL SEGUIDOR

El diseño del perfil de una leva parte del conocimiento de la cinemática del seguidor,por lo que es indispensable que se le provea de un movimiento predeterminado al se-guidor. En este apartado se van a revisar los principales tipos de movimiento que se lepueden proporcionar al seguidor de un mecanismo leva-seguidor y éstos serán el punto

de partida en el diseño de la forma geométrica que tenga el contorno de la leva. En to-dos los movimientos se va a considerar que la leva gira a velocidad angular constante.5 5 1 MOVIMIENTO CON VELOCIDAD CONSTANTE O LINEAL

La ecuación de posición de este movimiento esta dado por la ecuación:( ) A B y (5.5.1-1)

donde las constantes A y B quedarán determinadas de acuerdo a las condiciones defrontera del movimiento. Supóngase el movimiento de ascenso dado por la gráfica si-guiente:

0

y θ( )

θβ

L


4/10

1 8

las condiciones de frontera son (0) 0 ; ( ) L y y , que sustituyéndolas en la expresión

(5.5.1-1) generanL

A 0 ; B

, por lo que la ecuación de posición es:

L( )

y (5.5.1-2)

ejecutando las tres primeras derivadas en el tiempo de la ecuación (5.5.1-2) se obtiene:L

( )

( ) ( ) 0

y

y y

(5.5.1-3)

por lo que la cinemática del seguidor está dada por:L

t t

Lt

t t 0

y( )

y( )

y( ) y( )

(5.5.1-4)

Si se grafican las expresiones (5.5.1-2) y (5.5.1-3) se obtiene:

Si se aplica al ciclo de movimiento en descenso mostrado en la figura siguiente:

se obtienen las siguientes ecuaciones:

( ) L 1

L( )

( ) ( ) 0

y

y

y y

(5.5.1-5)

y θ( )

L

β0

y θ( )

y θ( )

y θ( )

y θ( )

L

β

θ

0

y θ( )

θβ

L

de las gráficas se observa discontinuidades de la velocidad en las fronteras, ello acarreala existencia de aceleraciones infinitas y con ello la presencia de fuerzas inerciales muygrandes en el seguidor lo que provoca sacudidas en el mismo. Ésta situación conlleva aque este movimiento sea utilizado únicamente a bajas velocidades de rotación de la le-va.

y θ( )y θ( )y θ( )

(0) L ; ( ) 0 y y


5/10

tt L 1

Lt

t t 0

y( )

y( )

y( ) y( )

(5.5.1-6)

5 5 2 MOVIMIENTO CON ACELERACIÓN CONSTANTE O PARABÓLICO

Para este movimiento ecuación de posición es:2( ) A B C y (5.5.2-1)

donde las constantes A, B y C son determinadas de acuerdo a las condiciones de fron-tera del movimiento. Es común construir un ciclo de movimiento parabólico en el queambos extremos de la curva de posición del seguidor presente una pendiente horizontalpara que se conecte de forma continua a los detenimientos, por lo que en el ascenso esteciclo de movimiento estará formado de dos curvas adjuntas como lo muestra la gráficasiguiente:

para la primera fase del ascenso (curva 1),

21( ) A B C 0

2

y (5.5.2-2)

con las condiciones de frontera 1 1 1L

(0) 0 ; ; (0) 02 2

y y y , la ecuación de posición

es:

2

1( ) 2L 02

y (5.5.2-3)

de donde,

1 2

1 2

1

4L( ) 0

2

4L( ) 0

2

( ) 0 02

y

y

y

(5.5.2-4)

mientras que la cinemática del seguidor en esta primera fase del ascenso es:2

1

2

1 2

21 2

1

t(t) 2L

4L(t) t

4L(t)

(t) 0

y

y

y

y

(5.5.2-5)

para la segunda fase del ascenso (curva 2),

22( ) A B C

2

y (5.5.2-6)

con las condiciones de frontera 2 2 2L

; ( ) L ; ( ) 02 2

y y y , la ecuación de posición

resulta:2

2( ) L 1 4 22

y (5.5.2-7)

L

β0

L

2

y θ( )

β

2

θ

1

2

1 9


6/10

(0) L ; ; (0) 0

de donde,

2

2 2

2

4L( ) 1

2

4L( )

2

( ) 02

y

y

y

(5.5.2-8)

mientras que la cinemática del seguidor en esta segunda fase del ascenso es:2

2

2

22 2

2

t t(t) L 1 4 2

4L t(t) 1

4L(t)

(t) 0

y

y

y

y

(5.5.2-9)

Graficándose las expresiones (5.5.2-3), (5.5.2-4), (5.5.2-7) y (5.5.2-8) se tiene:

Las gráficas anteriores muestran discontinuidades de la aceleración en las fronteras, lo

que significaría valores altos de sobreaceleraciones en las mismas y por ende la presen-cia de grandes cambios en las fuerzas de inercia y con ello la existencia de vibracionesindeseables. Por ende al igual que el movimiento a velocidad constante, el de acelera-ción constante está restringido a bajas velocidades de rotación de la leva.Para un ciclo de bajada o descenso como el mostrado en la figura:

las ecuaciones para el movimiento parabólico o de aceleración constantes son:para la primera fase,

2

1

1 2

1 2

1

( ) L 1 2 02

4L( ) 0

2

4L( ) 02

( ) ' 0 02

y

y

y

y

(5.5.2-10)

11

y

0

1 θ( )

θ000

y1

θ( )y1

θ( )y1

θ( )

L

2L

β

4L

β2

L

β2

4

ββ

2

y1

θ( )

y1

θ( )

y1

θ( )

y1

θ( )

L

β0

L

2

y θ( )

β

2

θ

1

2

1 1 1

L

2 2

y y y

2 2 2L ; ( ) 0 ; ( ) 02 2

y y y


7/10

2

1

2

1 2

2

1 2

1

t(t) L 1 2

4L(t) t

4L(t)

(t) 0

y

y

y

y

(5.5.2-11)

y para la segunda fase,2

2

2

2 2

2

( ) L 2 4 22

4L( ) 1

2

4L( )

2

( ) 02

y

y

y

y

(5.5.2-12)

2

2

2

2

2 2

2

t t

(t) L 2 4 2

4L t(t) 1

4L(t)

(t) 0

y

y

y

y

(5.5.2-13)

5 5 3 MOVIMIENTO ARMÓNICO

Los movimientos más usualmente programados para un seguidor son aquellos que po-seen funciones trigonométricas seno o coseno, dado que éstas producen derivadas con-tinuas y por lo tanto cumplen con el objetivo de la ley fundamental del diseño de levas.Una de dichas funciones de movimiento es la denominada función armónica y dadapor:

( ) A Bcos C y (5.5.3-1)

donde las constantes A, B y C son determinadas de acuerdo a las condiciones de fron-tera del movimiento. Es usual construir un ciclo de movimiento armónico, al igual quese lo hizo con el parabólico, de forma tal que ambos extremos de la curva de posicióndel seguidor presente una pendiente horizontal para que se conecte de forma continuaa los detenimientos, por lo que en el ascenso este ciclo de movimiento toma la forma si-guiente:

con las condiciones de frontera 0; ( ) L ; (0) 0 ; ( ) 0 y(0) y y y , la ecuación de po-

sición resulta:L

( ) 1 cos2

y (5.5.3-2)

por lo que,

0

y θ( )

θ

L

β


8/10

2

2

2

3

3

L( ) sen

2

L( ) cos

2

L( ) sen

2

y

y

y

(5.5.3-3)

en tanto que la cinemática del seguidor es:

2 2

2

3 3

3

L t(t) 1 cos

2L t

(t) sen2

L t(t) cos

2

L t(t) sen

2

y

y

y

y

(5.5.3-4)

Graficándose las expresiones (5.5.3-2) y (5.5.3-3) se tiene:

Se puede observar de las anteriores gráficas que la aceleración presenta discontinuida-des en sus fronteras ocurriendo lo descrito en el movimiento parabólico, por lo que nose podría utilizar este tipo de leva para altas velocidades de giro de la leva.Si se emplea una función armónica para el descenso como se muestra en la figura si-guiente:

a la ecuación (5.5.3.1) se le aplica las condiciones de frontera L; ( ) 0 ; y(0) y

(0) 0 ; ( ) 0 y y , la ecuación de posición resulta:L

( ) 1 cos2

y (5.5.3-5)

por lo que,

0

y θ( )

θ

L

β

L; ( ) 0 ; (0) 0 ; ( ) 0 y(0) y y y

Las gráficas se hallan a escalas distintas

y θ( )

y θ( )

y θ( )

y θ( )

L

β

2

2

2

2

3

3

L

2

L

2

L

2

L

2

y θ( )y θ( )y θ( )

y θ( )

θ0000


9/10

3

2

2

3

3

L( ) sen

2

L( ) cos

2

L( ) sen

2

y

y

y

(5.5.3-6)

en tanto que la cinemática del seguidor es:

2 2

2

3 3

3

L t(t) 1 cos

2L t

(t) sen2

L t(t) cos

2

L t(t) sen

2

y

y

y

y

(5.5.3-7)

5 5 4 MOVIMIENTO CICLOIDAL

Otra función que cumple el propósito de generar funciones continuas en sus derivadases la función cicloidal, dada por:

( ) A B Csen D y (5.5.4-1)

donde las constantes A, B, C y D son determinadas de acuerdo a las condiciones defrontera del movimiento. Como antes se construye un ciclo de movimiento de forma talque ambos extremos de la curva de posición del seguidor presente una pendiente hori-zontal para que se conecte de forma continua a los detenimientos, por lo que en el as-censo este ciclo de movimiento toma la forma siguiente:

a la ecuación (5.5.4.1) se le aplica las condiciones de frontera 0; ( ) L ; y(0) y

(0) 0 ; ( ) 0 y y , la ecuación de posición resulta:

1 2( ) L sen

2

y (5.5.4-2)

entonces,

2

2

3

L 2

( ) 1 cos

2 L 2( ) sen

4 L 2( ) cos

y

y

y

(5.5.4-3)

mientras que la cinemática del seguidor es:

2

2

2 3

3

t 1 2 t(t) L sen

2

L 2 t(t) 1 cos

2 L 2 t(t) sen

4 L 2 t(t) cos

y

y

y

y

(5.5.4-4)

β0

y θ( )

θ

L


10/10

4

Si se grafican las expresiones (5.5.4-2) y (5.5.4-3) se obtiene:

De los gráficos anteriores se observa que no existen discontinuidades en velocidad,aceleración y sobreaceleración, por lo que este es un perfil ideal para altas velocidadesde rotación de la leva.Si se emplea una función cicloidal para la bajada como se muestra en la figura siguien-te:

a la ecuación (5.5.4.1) se le aplica las condiciones de frontera L; ( ) 0 ; y(0) y

(0) 0 ; ( ) 0 y y , la ecuación de posición resulta:

1 2( ) L 1 sen

2

y (5.5.4-5)

por lo que,

2

2

3

L 2( ) cos 1

2 L 2( ) sen

4 L 2( ) cos

y

y

y

(5.5.4-6)

y la cinemática del seguidor resulta:

2

2

2 3

3

t 1 2 t(t) L 1 sen

2

L 2 t(t) cos 1

2 L 2 t(t) sen

4 L 2 t(t) cos

y

y

y

y

(5.5.4-4)

L; ( ) 0 ; y(0) y (0) 0 ; ( ) 0 y y

Las gráficas se hallan a escalas distintas

0θ

000

y θ( )

y θ( )

y θ( )

y θ( )

y θ( )y θ( )y θ( )y θ( )

2

2

2

3

2

3

2L

2 L

2 L

4 L

4 L

L

β

0

y θ( )

θ

L

β

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