Diseño Controladores Analogicos

Diseno de Controladores Analogicos.

Dpt. Ingeniera de Sistemas y AutomaticaETSII. Universidad de Valladolid

Paseo del Cauce, s/nValladolid, SPAIN 47011

Contenido.

Introduccion.

Controlador proporcional, integral y derivativo (PID).

Tecnicas clasicas de diseno.

Sintonizacion directa de PIDs.

Estructuras de control complejas.

Metodos avanzados de control.

DISAUniversidad de Valladolid (Spain) Diseno de Controladores Analogicos 1

Introduccion: Sistemas en lazo abierto.

Relacion Dinamica Entrada-Salida Ecuacion Diferencial.

Propiedades de un sistema lineal:

Si

.

Si

Las relaciones fsicas son normalmente no lineales.Ejemplo: Relacion voltaje/rmp de un motor.

Los sistemas no lineales son linealizados en un punto de equilibriopara su estudio y diseno de controladores.

Sea , P.Equ.

Ecuacion linealizada en P.E.

Funcion de transferencia: Transformada de Laplace del sistemalineal

:

Salida a una entrada impulso , (funcion ponderatriz) .Ejemplo:

. Impulso entrada Escalon salida.

Salida a entrada , integral de convolucion,

.


Introduccion: Analisis del sistema .

. El sistema se encuentra en el P.E.

Estabilidad Posicion de polos de en plano :

Polos con parte real positiva Inestables.

Polos con parte real negativa Estables.

Polos en el eje imaginario Crticamente estables. Polos en origen Integradores.

Relacion lmite con : Th. del valor final e inicial:

Valor final:

Si dicho lmite existe en el tiempo !!!!

Valor inicial:

Derivada en Origen:

Respuesta temporal a entrada escalon unitaria :

Estacionario: Ganancia de ,

.

Transitorio: Polos y ceros de .

Polos dominantes: Dinamicas de primer o segundo orden.Velocidad de respuesta y sobrepico.

Ceros de un sistema: Dinamicas contrapuestas en signo.

Respuesta en frecuencia: Salida senoidal a entrada senoidal.Bode, relacion de amplitudes y desfases. Relacion:

Ancho de banda Velocidad de respuesta.

Pico de resonancia Sobrepico.


Introduccion: Polos-ceros, temporal y frecuencial.

. Polo:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1Respuesta Temporal

T

Diagrama de Bode

15

10

5

0

101 100 101

50

0wb

Tiempo Frecuencia Relacion

T. subida Ancho de Banda

. Polos

.

Frec. Nat. no Amort.

Frec. Nat.

Rel. Amort.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Respuesta Temporal (2 Orden)

Mp

tr

tp ts

Diagrama de Bode

20

10

0

10

100 101200

100

0

wr

Mr

wb


Relaciones:Tiempo Frecuencia Relacion

Sobrepico

Pico Resonancia

Si

T. estab.

Si

T. crecim.

, T. pico

Si

Frec. Resonan.

,

Si

.

Sistemas con un Cero. Polos: Ceros: .

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

Respuesta Temporal Diagrama de Bode

302010

010

101 100 101 102100

50

0

50

.

Sistema de Respuesta Inversa. Polos: Ceros:.

Respuesta Temporal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.5

0

0.5

1

Diagrama de Bode

302010

010

101 100 101 102300

200

100

0


. Pade` de 1o orden

.

Sistema con Retardo. Polos: . Ceros:.

Respuesta Temporal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

0.5

1

Diagrama de Bode

604020

020

100 101 102400

200

0

. Polos: . Ceros: .

Relacion Directa Entrada-Salida Mismo orden.Respuesta Temporal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 31

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

Digrama de Bode

20

10

0

101 100 101 102

150

100


.

Sistema con Varias Dinamicas. Polos: .

Respuesta Temporal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1Diagrama de Bode

100

50

0

101 100 101 102300

200

100

0

.

Sistema Inestable. Polos: .

Respuesta Temporal

0 0.2 0.4 0.6 0.80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6Diagrama de Bode

100

50

0

101 100 101 102179

180

181


Introduccion: Control manual y en lazo abierto.

Objetivos de control: Estacionario: La senal de salida debe seguir a una referencia.

Transitorio: Rapidez con la menor oscilacion posible.

Control manual: Incrementar para incrementar .

1

Y(s)P

Planta, P(s)

1

U(s)

Solo se puede llevar al sistema a una posicion final .Dinamica lenta. Operario como controlador.

Control en lazo abierto: Conocido , introducir un condinamica inversa (estacionario y transitorio).

1

Y(s)P

Planta, P(s)

K

Control, K(s)

3D(s)2L(s)

1

R(s)

Sistema muy sensible:

Cambios en planta. Ejemplo: Cambio en P.E. Perturbaciones en la carga . Baja frecuencia. Ejemplo:

Actuador con no linealidad estatica.

Perturbaciones en la salida . Alta frecuencia. Ejemplo:Dinamicas no lineales de la planta.


Introduccion: Control de lazo cerrado.

Control de lazo cerrado. Poco sensible a cambios en planta y aperturbaciones.

1

Y(s)P

Planta, P(s)

K

Control, K(s)

3D(s)2L(s)

1

R(s)

Funciones de transferencia en lazo cerrado:

Entrada/salida:

.

Entrada/error:

.

Sensibilidad:

.

Diagrama general de lazo cerrado:

Filtro en la senal medida:

.

Filtra ruidos a partir de la frecuencia

.

Controlador de dos grados de libertad:


Introduccion: Objetivos y metodologa de control.

Objetivos de control: Estacionarios: Reducen el error () ante una determinada

entrada. Indices de medida:

Th. valor final del error ante cierta entrada:

Integral temporal del error ante entrada escalon:CIEC

, CIEA

Indices ponderados en tiempo: Mezclan estacionario ytransitorio: CIECT

, CIEAT

.

Objetivos transitorios: Rapidez de respuesta sin oscilacion.Indices de medida:

Polos y ceros del sistema en lazo cerrado (L.R). Margen de fase y ganancia del sistema en lazo

abierto (Bode).

Indices ponderados en tiempo: CIECT, CIEAT.

El diseno de controladores es un problema de optimizacion: Buscarel controlador que optimice los ndices.

Metodologa de control:

Linealizar el sistema en un P.E.

Aplicar tecnicas de control para sistemas lineales.

Comprobar con simulacion la eficiencia del controlador en elsistema no lineal.


Introduccion: Tecnologa de control.

Sensores: General.

Funcionamiento estatico o dinamico.

Caractersticas: Campo de operacion, precision, zona muerta,histeresis.

Sensores de variables mecanicas:

Sensores de posicion y desplazamiento lineal: Potenciometros,sincros, encoder.

Sensores de proximidad: Fotoeletricos.

Sensores de velocidad: Tacometros y opticos.

Sensores de aceleracion: Acelerometros.

Sensores de variables de procesos:

Sensores de temperatura: Bimetalicos, de resistenciatermopares.

Sensores de presion: Galgas estensiometricas, tubos Bourdon,fuelles y diafragmas.

Sensores de nivel: Flotadores, de presion estatica y diferencial yde capacidad.


Introduccion: Tecnologa de control.

Actuadores:

Interruptores mecanicos.

Reles (interruptores electricos). Valvulas y actuadores hidraulicos y neumaticos.

Elementos electricos de calentamiento.

Motores:

Motores de induccion y sincronos. Motor de corriente continua. Motores paso a paso.

Normas ISA de smbolos en diagrama de procesos.

Smbolos de lneas: Mecanicas, electricas, neumaticas eindefinidas.

Letras de identificacion:Smbolo Primera letra Sucesivas letras

A Analisis Alarma

C Conductividad Control

D Densidad

E VoltajeF FlujoI Corriente Indicador

L Nivel

M Humedad

P Presion

T Temperatura Transmisor

V Viscosidad Valvula


Controladores PIDs: Acciones de control.

Acciones:

.

Accion proporcional:

.

: Ganancia del controlador.

Trabaja en funcion del error presente. Problemas con cambios bruscos en referencia, .

Ponderacion de referencia. Dos grados de libertad:

.

Accion integral:

.

: Const. integracion.

: Tiempo de integracion.

Trabaja en funcion del error pasado. Reduce error estacionario. En el espacio :

.

Accion derivativa:

: Const. de derivacion.

: Tiempo de derivacion.

Trabaja en funcion de la tendencia de error. Problemas con saltos bruscos en referencia y con ruido en la

senal medida.

Ponderacion de referencia y filtro de senal.

!

! "

A veces no es util por el excesivo ruido de la planta.


Controladores PIDs: Formulaciones.

Formulacion general paralela:

!

! " .

Forma reducida, ! " ,

.

Polos del PID: Integrador

. Filtro derivada

"

.

Ceros del PID: Reales si

#

.

Utiles para plantas con y sin oscilacion.

Formulacion serie: Union en serie de un PI(s) y PD(s), PIPD

.

Polos de PID: Integrador

. Filtro PD

"

.

Ceros reales e inversos a

y

. Facil interpretacion.

Equivalencia con la forma paralela si

#

.

Utiles en plantas sin oscilacion.


Controladores PIDs: Discretizaciones.

Forma discreta (paralela reducida):

.

Facil de implementar en ordenador.

Los mismos parametros que la forma continua. PID como funcion de MATLAB:

function u= PID(e, Kc, Ti, Td, delta_t)global e_old=0, u_I=0;u_P= Kc*e;

u_I= u_I+ e*delta_t/Ti;u_D= (e-e_old)*Td/delta_t;u= u_P+u_I+u_D;

e_old= e;return;

Algoritmo de velocidad (forma incremental):

Facil de implementar en una maquina.

No depende del valor absoluto de la accion de control.

No depende tanto del historico del error.

Evita los problemas de saturacion.


PIDs: Acciones no lineales. Conclusion.

Saturacion y accion integral.

Origen: Efecto Windup y cambio de modo manual a automatico.

Error grande Gran accion de control con satucion de planta.

Saturacion planta Incremento accion integral sin resultado.

Cuando el error desaparece la accion integral acumulada haceoscilar al sistema.

Acciones de control no lineales:

Poner a cero la accion integral ante saturaciones.

Realimentar la diferencia entre la accion deseada y la saturada alintegrador.

Objetivos de control: Sintonizar los parametros

!".

Sintonizacion manual. Util en plantas sencillas.

Uso de tecnicas clasicas. Facil de ver acciones.

Uso de tablas de optimizacion con respecto a ndices. Metodossistematicos empleados en los PIDs comerciales.

Otros metodos: Aplicacion de tecnicas de optimizacion directa.

Conclusiones:

Los PIDs constituyen el de los controladores industriales.

Todo ingeniero dedicado a la produccion industrial seencontraran con ellos en su vida profesional.


Metodos clasicos: Lugar de las races (L.R.).

Funcion de lazo abierto: . Lazo cerrado

.

Definicion L.R.: Polos del sistema

ante la variacion de uno delos parametros de , normalmente la ganancia, en funcion de lospolos y ceros de .

Pasos para su realizacion:

Plantear el sistema en la forma:

Eje real ocupado de

en funcion de polos y ceros de reales:

Si # No-Si-No-Si-. . . . Si $ Si-No-Si-No-. . . .

Asntotas:

Nasintotas= Npolos- Nceros.

Angulos:

Nasntotas 1 2 3 4

#

$

Interseccion en el eje real:

.

Posiciones lmites:

Si POLOScerrado POLOabierto. Si POLOcerrado CEROSabierto y ASINTOTAS.

Ceros de

, diferentes segun la entradas y salidas elegidas.


Metodos clasicos: Calculos graficos y analticos en L.R.

Calculo grafico de

y

,

6 5 4 3 2 1 0 13

2

1

0

1

2

3 Mapa de polos y ceros

Eje Real

Eje Im

ag.

+ q

p1

p2

p3

z1

(qp1)

(qp2)

(qz1)

(qp3)

|qp1| |qp2|

|qz1|

|qp3|

% &

%

%

%

.

Puntos de L.R: %

.

Problemas sobre puntos del L.R. y su correspondiente:

Hallar para . Incognitas ,

Hallar crtica (

): . Incognitas

,

Hallar para una dada. Incognitas: ,

Metodos de solucion:

Grafico, usando angulos y modulos.

Analticos, resolviendo la ecuaciones de angulo y modulo.

Iterativos, dar valores sucesivo a y obtener los puntos del L.R.

Herramienta de software (MATLAB).


Metodos clasicos: Ejemplos de L.R.

.

: Nasin ,

4 3 2 1 0 12

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2Lugar de las races (L.R.), K+

Eje Im

ag.

Eje Real

L(s)

T(s)

M

4 3 2 1 0 12

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

Eje Real

Eje Im

ag.

Lugar de las races (L.R.) K

L(s)

T(s)

Hallar para . Incognitas ,

, o iteracion de .

Si ,

inestable.

, aproximacion de Pade`.

4 2 0 2 4 64

3

2

1

0

1

2

3

4Lugar de las races (L.R.), K+

Eje Im

ag.

Eje Real

L(s)

T(s)

6 4 2 0 21

0.5

0

0.5

1

Eje Real

Eje Im

ag.

Lugar de las races (L.R.), K

L(s)

T(s)

Si ,

inestable.

Sistema con retraso Sistema

con retraso.


Metodos clasicos: Ejemplos de L.R.

.

5 4 3 2 1 0 1 22

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2Lugar de las races (L.R.) K+

Eje Im

ag.

Eje real

L(s)

T(s)

4 3 2 1 0 1 2 3 40.5

0

0.5

Eje RealEje

Imag

.

Lugar de las races (L.R.), K

L(s)

T(s)

Si

estable. Si

inestable.

Normas generales de L.R:

Numero de polos de

igual al de .

Ganancias negativas nunca son buenas para la estabilidadde

.

Sistemas con mas de tres asntotas se hacen inestables en .

Sistemas con retraso o ceros de fase no mnima se haceninestables a .

Retraso en Retraso en

.

Los ceros de fase mnima de estabilizan

.

Los sistemas inestables en necesitan ceros de fase mnimay para hacer estable a

.


Metodos clasicos: Objetivos de control del L.R.

Funcion de lazo abierto: . Lazo cerrado

:

Planta en P.E., : Estructura y parametros fijos. Controlador, : Estructura y parametros variable.

Objetivo general: Obtener un controlador que haga que la salidasiga a la referencia sin error de forma rapida y sin oscilaciones.

Objetivos estacionario: Eliminar el error estacionario del sistema auna entrada

.

Sistema tipo :

.

Error estacionario:

.

Si es de tipo

a una entrada tipo .

Indices de error:

Constantes

Posicion

Velocidad

!

Aceleracion

"

Integradores en el controlador, PI: Positivo: Aumentan el tipo al sistema Eliminan

.

Negativo: Generan inestabilidad en

.


Metodos clasicos: Objetivos de control del L.R.

Objetivos transitorios: Estabilizar y reducir sobreoscilaciones en las

.

Polos dominantes: Los mas cercanos al eje imaginario. Reflejanla dinamica principal del sistema,

#

#

#

.

Indices de medida del transitorio: Especificaciones en o lospolos dominantes asociados en :

!"

,

$

, criterio .

Lmite en

:

. Lmite en

:

.

Ambos lmites:

$

$ $ ' # (

1 0.5 0 0.5 11

0.5

0

0.5

1

Eje real

Eje Im

ag.

Lugar de las races (s)

wd

wn

Objetivo: Llevar a los polos dominantes de

a la regionmarcada.

Los PD dan estabilidad y mueven los polos de

a laizquierda.


Metodos clasicos: Controladores atraso y adelanto.

Formulacion:

%

Atraso: Modifica el estacionario, # ,

.

Caso particular PI

.

2 1.5 1 0.5 0 0.5 11

0.5

0

0.5

1 Mapa de polos y ceros PI(s)

Eje real

Eje Im

ag.

PI

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5Respuesta temporal PI

Tiempo (sg)u(t)

La diferencia entre polo y cero marca la velocidad de subida.

Partes: Ganancia (

) y factor estacionario (

), %

.

Adelanto: Modifica el transitorio, $ ,

.

Es un PD con filtro, PD

.

12 10 8 6 4 2 0 21

0.5

0

0.5

1Mapa de polos y ceros PD(s)

Eje real

Eje Im

ag.

PD

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.61

3

5

7

9

Respuesta temporal PD

Tiempo (sg)

u(t)

Atraso-adelanto: Un controlador en atraso en serie con uno deadelanto. Caso particular, PID en serie,

PID


Metodos clasicos: Herramientas matematicas en L.R.

Problema: Encontrar un , para que % L.R.

Puntos de L.R: %

.

Por tanto: %

% %.

Posible solucion grafica o analtica. Dos ecuaciones Se fijaran todos los parametros del

controlador menos dos.

Puntos del L.R: Polos del denominador de

, (

),Si &

'

y (

, siendo

,

Ecuacion diofantica: () '

.

El coeficiente de debe ser 1 en ambos lados. * orden orden orden

.

Se dispone de * ecuaciones al igualar coeficientes. Se fijaran todas las incognitas,

y parametros del controlador,menos *.

Uno (o mas) de los polos de

seran los deseados:

%.

Herramienta de software (MATLAB).

Accion estacionaria de un controlador ():

%

.


Metodos clasicos: Estrategias de control.

Fase previa:

Pasar objetivos transitorios a polos dominantes de

.

Fijar objetivos estacionarios.

Primera estrategia (plantas sin mucha oscilacion): Plantear el L.R. para controlador estatico

.

Ver si para alguna

se consigue los polos de

:

S se puede: Disenar un atraso sin para estacionario. No se puede: Disenar adelanto para transitorio y luego unoatraso sin para estacionario.

Segunda estrategia (plantas sin mucha oscilacion): Agregar integradores (PIs) al controlador hasta cumplir con

estacionarios.

Mover los ceros del los PIs para intentar obtener el transitorio. S se puede: Obtener el valor de

.

No se puede: Anadir los PDs necesarios y obtener

.

Tercera estrategia (plantas con mucha oscilacion): Agregar integradores (PIs) al controlador hasta cumplir con

estacionarios.

Agregar ceros complejos conjugados para eliminar oscilacion. Obtener los parametros del PID paralelo con dichos ceros y

polos.


Metodos clasicos: Ejemplos de diseno en L.R.

. Objetivos:

para

.

$ sg.

Paso transitorio a : # .

Paso estacionario a : tipo .

Primera estrategia: L.R. de

,

3 2.5 2 1.5 1 0.5 02

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2Lugar de las races

Eje Im

ag.

Eje Real

L(s)

T(s) Hallar

:

Cumple transitorio. Anadir PI lento para estacionario.PI

3 2.5 2 1.5 1 0.5 02

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2Lugar de las races

Eje Im

ag.

Eje Real

L(s)

T(s)

0 50 100 150 200 250 3000

0.2

0.4

0.6

0.8

1Respuesta temporal

Salida

Tiem

po

El PI hace muy lenta la dinamica del sistema.


. Continuacion.

Segunda estrategia: El estacionario requiere un PI. Se mueve elcero para obtener transitorios.

3 2 1 0 10.5

0.25

0

0.25

0.5Lugar de las races (s)

Eje Im

ag.

Eje Real

PI (s)

P (s)

T(s)

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1Respuesta temporal y(t).

Tiempo (sg)

y(t)

Hallar parametros de PI

:

,

.

Ecuacion diofantica:

.

Cociente de polinomios: &'

y (

.

Denominar de

:

' ()

.

mismo orden en ambos lados. En el problema,

.

Igualando coeficientes: Tres ecuaciones con y cincoincognitas. Se fijan

,

La solucion es

.



. Objetivos:

$

$

Paso de transitorios a :

#

$

(tablas).

Paso de estacionarios a : tipo .

Primera estrategia con atraso: L.R. para

,

5 4 3 2 1 0 13

2

1

0

1

2

3Lugar de la Races

Kc=10

L(s)

T(s)

M

R. Temporal Tyr(s), U(s)=1/s

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Tiempo

y(t)

Hallar

para (muy complejo):

%

.

Otros metodos: Iteracion con

o MATLAB. Disenar atraso sin para cumplir estacionario,

%

Se elige , controlador lento que no incide en dinamicade planta.


(continuacion). Primera estrategia con atraso. Solucion:

5 4 3 2 1 0 13

2

1

0

1

2

3Lugar de la Races

L(s)

T(s)

R. Temporal Tyr(s)

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

Primera estrategia con PI

,

,

5 4 3 2 1 0 13

2

1

0

1

2

3Lugar de las Races

L(s)

T(s)

R. Temporal Tyr(s)

0 20 40 60 80 100 1200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Segunda estrategia con PI

,

# ++

#

5 4 3 2 1 0 13

2

1

0

1

2

3Lugar de las Races

L(s)

T(s)

R. Temporal Tyr(s)

0 1.6 3.2 4.8 6.4 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Nota: Posible uso de la cancelacion de polos y ceros estables.



. Objetivos:

!

sg (Error Rampa)

$ sg


Paso de transitorio a :

# $

(tablas).

Lugar de races para

,

3 2 1 0 12

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2Lugar de las Races

Kc=1

L(s)

T(s)

Respuesta Temporal Tyr(s)

0 3 6 9 12 15 180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Hallar

: Modulo/argumento, iteracion

o MATLAB.

Controlador atraso (estacionario):

!

%

sg

Se elige controlador lento , influye en sobrepico.

2 1 0 11

0.5

0

0.5

1Lugar de las Raices T=10

Kc=1

R. Temporal T=10

0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


(continuacion): Controlador atraso: Controlador mas lento, ,

2 1 0 11

0.5

0

0.5

1Lugar de la Races

Kc=1

R. Temporal T=100

0 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

No influye en sobrepico. El error posicion es cero por ser detipo 1.

Controlador PI

,

2 1 0 11

0.5

0

0.5

1Lugar de las Races

Kc=1

R. Temporal (PI)

0 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Error posicion y velocidad es cero por ser de tipo dos.

Nota: Las dos estrategias llevan a controladores similares por sernecesario un cero proximo al origen para estabilizar la planta.



. Objetivos:

$ sg

Paso de transitorios a :

# # (tablas)


Primera estrategia:

Ver L.R. para

No se cumple transitorio.

Controlador en adelanto: Fijar punto que cumpla transitorio,

$

.

Formular condiciones para que L.R.,

adel. $ adel.

adel. $ adel.

El valor de es libre. Angulo entre polo y cero fijo ().Ajustar

para cumplir con modulo,

.

8 6 4 2 04

3

2

1

0

1

2

3

4Lugar de las Races

62 pd

P(s) Kadel

T(s)

R. Temporal

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

No se cumple con estacionarios.


. Continuacion:

Primera estrategia, fase atraso: Controlador atraso para estacionario (lento): PI

.

8 6 4 2 0 24

3

2

1

0

1

2

3

4

Eje Real

Eje Im

ag.

Lugar de las races

PD P PI

T(s)

0 10 20 30 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Respuesta temporal

TiempoSa

lida

y(t)

Segunda estrategia: Anadir un integrador para estacionario, PI. Mover el cero del PI para conseguir transitorio, PI (rapido).

Mejor caso, cancelacion de dinamica lenta del sistema.

8 6 4 2 0 24

3

2

1

0

1

2

3

4

Eje real

Eje Im

ag.

Lugar de las races

P(s) PI(s)

T(s)

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Respuesta Temporal

Salid

a y(t

)

Tiempo

No se consigue transitorio.


. Continuacion:

Segunda estrategia (continuacion): Anadir PI (rapido) y PD y ajustar parametros.

PID

Ajuste de parametros:

", estan hallados. Ajustar la

de por iteracion ocon MATLAB.

Plantear ecuacion diofantica fijando 4 elementos de,

"

, (mas complejo),

""

"

Nota: Coeficiente superior igual a 1 en ambos lados.

8 6 4 2 0 24

3

2

1

0

1

2

3

4

Eje Real

Eje Im

ag

Lugar de las races

P(s) PD(s) PI(s)

T(s)

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2Respursta temporal

Tiempo

Salid

a y(t

)



. Objetivos:

,

Estabilidad

Pasar estacionario a : tipo

Pasar transitorios a : Polos de

en parte izquierda de .

Segunda estrategia:

Es preciso un PI para estacionario, pero no se puede estabilizarla planta.

Es preciso un PID serie para cumplir con transitorio,PID

La planta pese a todo tiene mucha oscilacion.El control en cascada puede ser una buena estrategia.

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 15

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

Eje Real

Eje im

ag.

Lugar de las races (s)

P

PID

LC

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8Respuesta temporal y(t)

Tiempo (sg)

y(t)



. Objetivos:

Poco sobrepico,

Paso de estacionario a : tipo

.

Paso de transitorios a : .

Tercera estrategia (sistema muy oscilatorio): PID paralelo Ceros complejos conjugados.

8 7 6 5 4 3 2 1 0 12

1

0

1

2Lugar de las races (s)

Eje Im

ag.

Eje Real

P PID

T(s)

0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Respuesta temporal y(t)

Tiempo (sg)

y(t)

Ajuste de parametros: Ecuacion diofantica: Formular PID

,

!

.

Fijar ! y los dos polos dominantes de

.

La solucion da los otros dos polos de

, cercanos a losceros, y .

Obtener los parametros del PID paralelo equivalente,PID #

Dos ceros complejos conjugados, ya que

$

,

#

. Imposible el uso de PID en serie.


Metodos clasicos: Sintonizacion en frecuencia.

Criterio de estabilidad de Nyquist:

, "

, : Polos inestables lazo cerrado.

" : Vueltas alrededor de -1, sentido horario.

: Polos inestables en lazo abierto.

Dos nuevos ndices de estabilidad:

Margen de fase (M.F.): La fase que le falta a un sistema , enla frecuencia de cruce de ganancias

)

-

)

, paraser inestable en lazo cerrado

.

Margen de ganancia (M.G.): La ganancia que le falta a unsistema , en la frecuencia de cruce de fase,

-

, para ser inestable en lazo cerrado

.

Son dos buenos ndices para ver la estabilidad y oscilacion delsistema en lazo cerrado

a partir del Bode del sistema enlazo abierto .

Ejemplo:

Diagrama de Bode

60

40

20

0

20

101 100 101300

200

100

0

M.G.

M.F.

2 1 0 12

1.5

1

0.5

0

0.5

1Diagrama de Nyquist

M.F

1/M.G.


Metodos clasicos: Relacion L.R., M.F. y M.G.

La relacion es inmediata:

2 1 0 12

1

0

1

2Lugar de las Races

K=1 K=5.5

K=8.4

0.5 1 1.2

Diagrama de Bode P(s)K(s)

604020

02040

101 100 101300

200

100

0

K=1 K=5.5

K=8.4

2 1 0 12

1.5

1

0.5

0

0.5

1Diagrama de Nyquist

K=1

K=5.5

K=8.4

Equivalencias:

M.F. y M.G. de

,

de

, (Ver tablas).

)

de Ancho de banda (

) de

(velocidad): Si - ##

- .

Si - $$

- $$ .

, punto crtico en diseno.


Metodos clasicos: Objetivos en frecuencia.

Objetivos estacionarios: Eliminar error estacionario a una entrada tipo .

Incrementar tipo, o la ganancia de en .

Anadir PIs (atraso) o aumentar la

de controlador.

Problema: Reduce el M.F. y M.G. de Inestabiliza

.

Objetivos transitorios: Dar estabilidad a

y velocidad.

Incrementar el M.F., M.G. y )

de .

Anadir PDs (adelanto): Aumentan la )

sin decrementar el M.F.y M.G.

Diagrama de Bode de un PI, filtro pasa bajos (lento), y un PD, filtropasa altos (rapido).

Diagrama de Bode PI

01020304050

102 101 100 101100

50

0

Diagrama de Bode PD

0

5

10

15

20

101 100 101 1020

20

40

60


Metodos clasicos: Estrategias de diseno en frecuencia.

Pasos previos:

Pasar transitorios a M.F. y )

.

Pasar estacionario al tipo requerido.

Primera estrategia (grafica e intuitiva). Para PID serie:PID

.

Anadir, si se necesita, PI para obtener estacionario.

Ajustar

(en la dinamica lenta ) y

)

y M.F.

No se puede: Introducir PD (cero proximo a )

) y repetir.

Segunda estrategia. Para atraso/adelanto:

atr*atr

ade%ade

Ajustar ganancia

para conseguir estacionario. Atraso: Bajar con atr la ) para conseguir el M.F. Adelanto: Incrementar el M.F. con un ade a la misma ) o

superior. Atraso-Adelanto: Mantener la misma

)

y aumentar M.F., . Similar a la estrategia de adelanto pero con apoyodel compensador de atraso para evitar que

)

aumente.


Metodos clasicos: Ejemplos de control en frecuencia.

. Objetivos:

para

.

$ sg.

Paso de estacionarios a .: tipo . Introducir PI.

Paso de transitorio a .:

M.G. # #,

$ sg )

# .

Primera estrategia: Ajustando el cero del PI a la dinamica lenta del sistema se

puede conseguir los objetivos:Bode PI(verde), P(azul), PI*P(roja)

40

20

0

20

101 100 101200

150

100

50

0

M.F.

PI

P PI*P

Bode sistema Tyr(s)

40

30

20

10

0

101 100 101200

150

100

50

0

wb

Si se quiere mas velocidad

:

de

)

de

M.F. de .Compromiso velocidad-estabilidad.



. Objetivos:

para

.

rapido.

Paso de estacionarios a .: tipo . Ya se cumplen.

Paso de transitorio a .:

M.G. # #,

rapido

de

)

.

Para incrementar la velocidad y pese a todo dar estabilidad a

es interesante un P.D., ya que aumenta el M.G., M.F. y )

de.

Primer estrategia: Su cero se colocara hacia la

)

deseada, para aumentar elM.F.

Con

se lleva a hacia )

deseado.

PD obtenido: PD

.

Bode P, PD, P*PD

40

20

0

20

40

101 100 101200

100

0

100

M.F.

P

PD

P*PD

PD

P*PD

P

Bode sistema en lazo cerrado

20

10

0

101 100 101200

150

100

50

0

wb



. Objetivos:

Veloc.

Veloc. ,

.

Pasos previos: Estacionario: tipo Anadir PI. Transitorio: Mantener velocidad Mantener

)

.

de

M.F. de .Es interesante anadir un controlador PD con cero cercano a

)

.

Primera estrategia: Un PID puro donde la subida del cerocoincida con

)

, PID

.

Nota: Ver lo facil que resulta mover la curva del PID y con ello lade .

Diagrama de Bode

20

0

20

40

102 100 102300

200

100

0

100

|P(s)| |L(s)|

|PID(s)| R. Temporal

0 5 10 15 20 25 300

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2



(forma ganancia).Objetivos:

!

$

Paso previos:

Estacionario: tipo . Se puede cumplir con ganancia.

Transitorio:

$

$ M.F. # (tablas). Segunda estrategia (atraso),

%

:

Incremento de

para estacionario,

.

Eleccion de para mover )

de haciadonde se cumpla M.F.

Eleccion de lento, , para que su fase no influya.

Velocidad de

Velocidad .

Diagrama de Bode

50

0

50

100

103 102 101 100 101300

200

100

0

|K(s)|

|P(s)| |KtP(s)|

|L(s)|




!

$

Pasos previos: Los mismos que en el problema anterior.

Segunda estrategia (adelanto),

%

:

Hallar

para estacionario,

.

Usar la fase de para subir el M.F.,Parametros de K(s): +

+

,

%

.

Diagrama de Bode PD

0

5

10

15

20

101 100 101 1020

20

40

60

m

m

Se toma: /

#,

No se llega a cumplir el objetivo. Vel.

# Vel. .

Diagrama de Bode

80604020

02040

101 100 101300

200

100

0

100

|P(s)|

|L(s)|

|KtP(s)| |K(s)|

R. Temporal

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5




!

$

Pasos previos: Los mismos que en el problema anterior.

Segunda estrategia (atraso-adelanto):

%

*

Hallar

para estacionario,

.

Se actua como en adelanto. Se toma: /

,

.

Se toma para que )

no se mueva (ver curva delcompensador).

Se toma controlador atraso lento atr para que su fase noinfluya.

Se llega a cumplir el objetivo. Vel.

# Vel. .

Diagrama de Bode

40

20

0

20

102 101 100 101300

200

100

0

100

|KtP(s)| |K(s)P(s)|

|K(s)| R. Temporal

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Sintonizacion directa de PIDs.

Son tecnicas que a partir de la identificacion de pocos parametrosde la planta y con el criterio de optimizar ndices cuadraticostemporales, proponen los valores optimos para los parametros delPID

.

El parametro " sera ajustado en funcion del ruido en lasenal medida y por reglas heursticas en funciondel tipo de planta y los cambios mas frecuente en la entrada.

Indice a optimizar: Integral del error ante una entrada escalon con osin ponderacion en el tiempo.CIEC

, CIEA

CIECT

, CIEAT

.

A. ODwyer ha reunido 200 tablas de sintonizacion diferentes enfuncion del tipo de planta y del ndice que se desee optimizar.

Las tablas de Ziegler-Nichols son las primeras y mas famosastablas, aunque no las mejores.

Las plantas puede ser identificadas en el tiempo o en frecuencia,dando lugar a dos tipos de reglas.

Estas reglas son muy usadas en los controladores industriales porsu facil realizacion, y son la base de los PIDs autoajustables paraplantas no lineales.


Reglas de Ziegler-Nichols en el tiempo.

Basados en la aproximacion de la planta a un sistema de primerorden con retraso, tpico en la industria qumica,

.

Formas de hallar los parametros :

Hallar parametros sobre la curva de salida ante una entradaescalon, como se muestra en la grafica,

0 5 10

Tiempo (sg)

y(t)

Respuesta a entrada escalnK

L T

Obtencion de forma analtica a partir de la solucion de unaecuacion de primer orden:

Se hallan los puntos para todos los datos y seaproximan a una recta. La pendiente es y con el valor dealgun punto de la recta se puede hallar .

Parametros optimos para un PID:

P

PI

PID


Reglas de Ziegler-Nichols en frecuencia (I).

Ganancia crtica,

: Ganancia de un controlador estatico a la cualel sistema en lazo cerrado se hace crticamente estable.

Frecuencia crtica,

: Frecuencia a la que oscila el sistema en lazocerrado cuando se le aplica la

.

Todo sistema con retraso tiene una ganancia crtica, y todo sistemafsico tiene algo de retraso.

El modelo frecuencial esta basado en la

y

del sistema.

Metodos de obtencion de la

y

con modelo de la planta:

Usando el L.R. y viendo el punto de cruce con el eje imaginario. Usando el Bode y viendo la ganancia y frecuencia a la que el

sistema tiene un M.F. y M.G. nulo.

2 1 0 12

1

0

1

2Lugar de las Races

K=1 K=5.5

K=8.4

0.5 1 1.2

Diagrama de Bode P(s)K(s)

604020

02040

101 100 101300

200

100

0

K=1 K=5.5

K=8.4


Reglas de Ziegler-Nichols en frecuencia (II).

Metodos de obtencion de la

y

sin modelo de la planta:

Cerrando el lazo de control e incrementando la ganancia delcontrolador estatico. Se pude danar al sistema.

Introduciendo un controlador Todo-Nada que cree un ciclo lmitedebido a la no linealidad.

Se analiza la relacion entre la senal periodica de entrada y desalida del controlador Todo-Nada.

La frecuencia de oscilacion de la entrada es similar a

.

La relacion de amplitudes da una idea de la

,

-'

, donde' es la amplitud de entrada y 0 la de salida de la no linealidad.

La ecuacion caracterstica del sistema no lineal es " , donde " es el todo-nada.

La funcion descriptiva es la primera aproximacion enfrecuencia de un sistema no lineal y sirve para aproximar

y

.

1

Y(s)TodoNada

Scope1 Scope

P

Planta

1

R(s)

Tablas con los parametros de un PID optimos.

P

PI

PID

Esta es la tecnica mas empleada en PIDs comerciales.


Estructuras de control complejas.

Control por prealimentacion.

Dos objetivos basicos: Control perturbacion: Cuando una perturbacion sea medible se

puede eliminar el efecto de la misma.

Prefiltro de la senal de referencia para evitar saturacion en laplanta.

1

Salida

PperSalida/Pert.

P

Planta

K

Controlador

Kper

Control pert. 2Pert.

1

Ref.

1

Salida

Fpre

Prefiltro

P

Planta

K

Controlador

1

Ref.

Control de perturbacion. Eliminar el efecto de la perturbacion a lasalida. Por tanto,

. Problemas:

Nunca cancelar polos y ceros inestables.

El retraso de un sistema siempre debe ser positivo. Considerarretraso cero.

: Numero de polos mayor que numero de ceros. Anadirpolos rapidos con ganancia unidad.

Conclusion: Sistemas inestables, con retraso o de respuestainversa no pueden ser cancelado totalmente.

Prefiltro de entrada: Filtro, normalmente de primer orden, queacomode un escalon en la referencia a la senal con menospendiente para introducir en el sistema. Evita saturaciones.


Control en cascada.

Plantas acopladas en serie con posibilidad de medicion entre ellas.

Estructura de control: Se disenan varios lazos de control. Objetivos: Lazos internos: Estabilizar y dar rapidez a las plantas.

Controlador esclavo, se pueden usar PD.

Lazos externos: Conseguir objetivos estacionarios. Controladormaestro, se pueden usar PI.

1

Y(s)PID

PIDm

PID

PIDe

P2

P2

P1

P1

1

R(s)

Estrategia de control:

Sintonizar el PID esclavo con el lazo exterior abierto.

Sintonizar el PID maestro con el lazo interior cerrado.

Ajustar ambos con los lazos cerrados para depurar errores.

Es una estructura clasica en la industria. Cuando hay muchos lazoses difcil la sintonizacion.

Las formas mas sencillas son las formadas por PIs y PDs. Espreferible poner el PD en realimentacion si hay grandes saltos en lasenal. La diferencia esta en los ceros del sistema.

1

Salida

P

Planta

PI

PI

PD

PD

1

Ref.

1

Salida

P

Planta

PI

PI

PD

PD

1

Ref.


Control en cascada. Ejemplos.

. Objetivos:

,

Estabilidad y

Pasar estacionario a : tipo

Pasar transitorios a : Polos de

en parte izquierda de y .

Lazo interno: Conseguir estabilidad PID

.

10 8 6 4 2 0 22

1

0

1

2Lugar de las races (lazo interno)

Eje re

al

Eje Imag.

LCi

P PD

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.5

1

1.5Respuesta temporal (Lazo interno).

Salida (lazo interno)

Tiem

po (s

g)

Lazo externo: Conseguir el estacionario. PID

6 4 2 02

1

0

1

2Lugar de las races (lazo externo)

Eje Im

ag.

Eje real

LCi

PI

LCe

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1Respuesta temporal (lazo externo)

Tiempo (sg)

Salid

a (la

zo m

aestr

o)

Se consigue un resultado imposible de alcanzar con el lazo enrealimentacion simple.


Sistemas MIMO. Acoplamientos.

Sistema MIMO es aquel con varias entradas y salidas.

Un sistema MIMO acoplado es aquel donde la variacion de unaentrada repercute fuertemente en todas las salidas. Mezclador.Entradas: flujo de productos. Salidas: flujo de mezcla y composicion.

2

Y2

1

Y1

P22

Planta P22

P21

Planta P21

P12

Planta P12

P11

Planta P11

2

U2

1

U1

Al intentar controlar estos sistemas surgen dos dudas clave:

Que entradas y salidas estan mas fuertemente ligadas?.

Se puede considerar que el acoplamiento es tan pequeno comopara realimentar solo entre dichas entradas y salidas?.

Matriz de ganancias relativas, 1

: Es la relacion entre lasganancias entrada -, salida con los lazos abiertos y todos cerradosmenos el -. En dos entradas, dos salidas, siendo

laganancia entre -:1

1

1

1

1

1.

En el caso de dos entradas y salidas se aplica la siguiente norma:

# $ 1: Lazo principal directo. No hay acoplamiento.

$ 1 $ #: Acoplamiento. No hay lazo principal.

1 $ : Lazo principal cruzado. No hay acoplamiento.


Control sistemas MIMO. Acoplamientos.

Realimentacion en sistemas sin acoplamiento. Se supone que loslazos principales son

y

,

2

Y2

1

Y1

U1

U2

Y1

Y2

Planta

PID

PID2

PID

PID1

2

R2

1

R1

Realimentacion de sistemas con acoplamiento. Aplicar tecnicas decontrol mas sofisticadas o desacoplar la planta.

2

Y2

1

Y1

U1

U2

Y1

Y2

PlantaPID

PID2

PID

PID1 D1

Descoplar1D2

Desacoplar22

R2

1

R1

Disenar controladores con el sistema desacoplado.

Disenar el desacoplo del sistema 2

cumpliendo: Numero de polos mayor que de ceros. Anadir polos rapidos de

ganancia unidad. Nunca cancelar polos y ceros inestables. Retraso mayor que cero. Eliminar retraso negativo. Conclusion: Sistemas inestables, con retraso o de respuesta

inverso no se pueden desacoplar totalmente.


Metodos de control avanzado.

Control basado en modelos.

Sistemas con dinamicas difciles: Aquellos cuyas dinamicas no sepueden cancelar directamente, sistemas inestables, con retraso y derespuesta inversa. Tambien llamados sistemas de fase no mnima.

Control por sntesis directa. A partir de la trayectoria en lazo cerradodeseada, %

, se obtiene el controlador que se precisa,

.

El controlador cancela las dinamicas de la planta y las reemplazapor las deseadas. No se pueden usar con sistemas difciles porno ser cancelables sus dinamicas.

La mayora de los controladores basados en modelos tienen laestructura de la figura,

1

Out1

Pref

Pref

P

Planta

K

Controlador

1

In1

donde

es un bloque asociado a la funcion de transferenciade la planta.

Aprovechan el conocimiento de la planta para realimentarsenales estimadas.

El comportamiento de estos controladores es muy sensible alerror entre las senales estimadas que se realimentan y las reales.


Control basado en modelos.

Modelo de control interno: Elimina el efecto de la planta en larealimentacion,

,

es la planta estimada.

Si

.

La realimentacion solo se usa si hay perturbaciones ovariaciones en la planta.

Diseno de un en lazo abierto.

Predictor de Smith: Sea , entonces

,

Se realimenta la senal estimada sin retraso de la planta.

Si

,

donde

es el sistema que se hubieraobtenido si la planta no tuviera retraso.

El retraso no incluye en el L.R. Mayor estabilidad.

Sensible al error en la senal estimada. Uso industrial.

Diseno de un para planta sin retraso.

Controlador de respuesta inversa: Sea 3,entonces

1, con 1 3.

Se realimenta la senal sin respuesta inversa.

Si

.

.

.

La respuesta inversa no influye en el L.R. (lazo cerrado). Diseno de un para planta sin respuesta inversa.


PID auto-tuning y self-tuning.

La planta cambia en el tiempo:

Modificacion de sus parametros en el tiempo.

Cambio de punto de equilibrio.

Los PIDs pueden ajustarse a los cambios producidos en la planta.

Ajuste fuera de lnea auto-tuning: Se cambia el PID por un controlador Todo-Nada.

Se estima los parametros

,

de la planta.

Se modifican los parametros del PID segun la reglas deZiegler-Nichols u otras similares.

Se vuelve a controlar el sistema con el PID.

1

Y(s)

TodoNada

Switch

P

Planta

PID

PID 1

R(s)

Los controladores comerciales lo usan cuando no se conoce laestructura de la planta. Principalmente en el arranque del sistema.


PID auto-tuning y self-tuning.

Ajuste en lnea self-tuning: Se identifica los parametros de la planta. Posible uso de entrada

escalon.

Se modifica los parametros del PID de acuerdo a alguna tabla deoptimizacion.

1

Y(s)

u yK Predictor

P

Planta

K

eu

PID

1

R(s)

Los controladores comerciales lo usan para el ajuste del PID enplantas no lineales ya arrancadas.

Normalmente disponen de un controlador auto-tuning para arrancar.

Son los controladores mas usados en el mercado, por su capacidadde adaptacion a cambios en la planta.


Documents

Diseño Controladores Analogicos