DISEÑO DE LEVA

FREDY LEONARDO VERDUGO GONZALEZ

201010462

ING. MELCHOR GRANADOS

UNIVERSIDAD PEDAGOGICA Y TECNOLOGICA DE COLOMBIA

INGENIERIA ELECTROMECANICA

SECCIONAL DUITAMA

MECANISMOS I

2013

Con el fin de diseñar una leva el docente sugiere unas medidas que están distribuidas así; el ultimo digito del código de estudiante (entre 0 y5), se le adiciona 10 cm; número que corresponde al X máximo del seguidor, el penúltimo digito se multiplica por 100 siendo el resultado la velocidad angular de la leva, para el caso se describe así:

201010462 +10

X 100

Es decir:

Xmax= 12cm

ω= 600rpm

Rbase= 5cm (especificación del docente)

La finalidad es responder a las siguientes preguntas

1. ¿Cuáles son las curvas de factor de choque, aceleración, velocidad, posición?2. ¿Cuánto vale K (factor de choque), velocidad máxima y aceleración máxima?3. ¿Cómo es la leva?

Estas preguntas tienen solución en el transcurso del diseño de la leva ya que son de vital importancia y se describen en el procedimiento.

I. PROCEDIMIENTO (respuesta a la pregunta 1)

1. El primer paso consiste en determinar el tiempo que dura la leva en dar una vuelta, para ello es necesario pasar la velocidad angular a radianes por segundo, es decir:

ω= 600 revmin

( 2π rad1rev

) ( 1min60 s

) (1)

ω=20 π rad

T= 2πω

(2)

T= 110

=0.1 s

Donde T es el periodo en una vuelta, y del periodo se tiene que:

T=tn (3)

t = nT

t = 1(110

)

t= 0.1 sSiendo n el número de vueltas, para el caso es 1 vuelta, de esta manera se tiene el tiempo que dura la leva en dar una vuelta con una velocidad de 600 rpm, tiempo que posteriormente se divide en 10 intervalos con el fin de conocer las gráficas mencionadas anteriormente, cada intervalo de tiempo es de 0.01 segundos; es decir t1= 0.01, t3=0.03, t4=0.04, t5=0.05, t6=0.06, t7=0.08, t8=0.09, esta distribución de tiempos se encuentra en la tabulación de los datos. Todas las ecuaciones en el documento se ejecutan haciendo uso de la función singular de ahí que a diferentes tramos de tiempo se es valida una fracción de la ecuación hasta el punto que el tiempo llega a la totalidad (0.1s) que es donde se usa toda la ecuación.

1. A continuación se quiere encontrar la ecuación de choque de la leva, la cual ésta dada por:

J(t) = k ¿ t>¿0−2k¿ t−t 1>¿0+2k ¿ t−t3>¿0−k¿ t−t 4>¿0−k ¿ t−t 5>¿0+¿¿¿¿¿¿

2k ¿ t−t6>¿0−2k ¿ t−t 7>¿0+k ¿ t−t 8>¿0 ¿¿¿ (4)

Las tablas 1 y 2 presentan los cálculos para el factor de choque de la leva (dichos cálculos se obtienen ingresando los tiempos t1 al t8 y dando valores a t en la ecuación 4), el cálculo permite el grafico del factor de choque de la leva; se hace variar k con el fin de encontrar los máximos en cada gráfica, el incremento de tiempo en la tabla 2 es de 0.002s.

k 6000000de 0 a 0,01 6000000 de 0,05 a 0,06 -6000000de 0,01 a 0,03 -6000000 de 0,06 a 0,08 6000000de 0,03 a 0,04 6000000 de 0,08 a 0,09 -6000000de 0,04 a 0,05 0 de 0,09 a 0,1 0

Tabla 1. Cálculos para el factor de choque.

t f(t)0 0

0 60000000,002 6000000

0,004 60000000,006 6000000

0,008 60000000,01 60000000,01 -6000000

0,012 -60000000,014 -6000000

0,016 -60000000,018 -6000000

0,02 -60000000,022 -60000000,024 -60000000,026 -60000000,028 -6000000

0,03 -60000000,03 6000000

0,032 60000000,034 60000000,036 60000000,038 6000000

0,04 60000000,04 0

0,042 00,044 00,046 00,048 0

0,05 00,05 -6000000

0,052 -60000000,054 -60000000,056 -60000000,058 -6000000

0,06 -60000000,06 6000000

0,062 60000000,064 60000000,066 60000000,068 6000000

0,07 60000000,072 60000000,074 60000000,076 60000000,078 6000000

0,08 60000000,08 -6000000

0,082 -60000000,084 -60000000,086 -60000000,088 -6000000

0,09 -60000000,09 0

0,092 00,094 00,096 00,098 0

0,1 0

Tabla 2. Valores de la función en el tiempo total de la leva.

El grafico que define los cálculos mencionados en las tablas 1 y 2 está presente en la figura 1, y esté representa el factor de choque.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

-8000000

-6000000

-4000000

-2000000

0

2000000

4000000

6000000

8000000

FACTOR DE CHOQUE

TIEMPO (t) s

f(t)

Figura 1. Grafica de factor de choque.

2. posteriormente se integra la ecuación del factor de choque con el fin de encontrar la ecuación de aceleración en función del tiempo, la cual está dada por:

a(t) =k ¿ t>¿1−2k ¿ t−t 1>¿1+2k ¿t−t 3>¿1−k ¿ t−t4>¿1−k¿ t−t 5>¿1+¿¿¿¿¿¿

2k ¿ t−t6>¿1−2k ¿ t−t7>¿1+k ¿ t−t8>¿1¿¿¿ (5)

Las tablas 3 y 4 muestran los respectivos cálculos de aceleración para los diferentes valores de tiempo.

K 6000000t 1 0.01t 3 0.03t 4 0.04t 5 0.05t 6 0.06t 7 0.08t 8 0.09

Tabla 3. Distribución de tiempos

t a(t)0 00 0

0,002 120000,004 240000,006 360000,008 480000,01 600000,01 60000

0,012 480000,014 360000,016 240000,018 120000,02 0

0,022 -120000,024 -240000,026 -360000,028 -480000,03 -60000

0,03 -600000,032 -480000,034 -360000,036 -240000,038 -120000,04 00,04 2,91038E-11

0,042 7,63976E-110,044 00,046 5,82077E-110,048 7,27596E-110,05 00,05 4,36557E-11

0,052 -120000,054 -240000,056 -360000,058 -480000,06 -600000,06 -60000

0,062 -480000,064 -360000,066 -240000,068 -120000,07 2,18279E-10

0,072 120000,074 240000,076 360000,078 480000,08 600000,08 60000

0,082 480000,084 360000,086 240000,088 120000,09 3,9611E-110,09 8,73115E-11

0,092 6,91216E-110,094 0

0,096 0 0,098 1,89175E-10 0,1 0

Tabla 4. Cálculos de aceleración.

El grafico que corresponde a los cálculos presentados en las tablas 3 y 4 se encuentra a continuación en la figura 2, y representan la curva de aceleración de la leva en el tiempo total de 0.1 segundos

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

-80000

-60000

-40000

-20000

0

20000

40000

60000

80000

ACELERACION

t(s)

f(t)

Figura 2. Grafica de aceleración.

3. A continuación se integra la ecuación de aceleración con el fin de encontrar la de velocidad en función del tiempo, la cual está dada por:

v(t) =k2¿ t>¿2−2k

2¿t−t 1>¿2+ 2k

2¿ t−t 3>¿2− k

2¿t−t 4>¿2− k

2¿ t−t 5>¿2+¿¿¿¿¿¿

2k2

¿ t−t 6>¿2−2k2

¿ t−t 7>¿2+ k2¿ t−t 8>¿2 ¿¿¿ (6)

Dado que la tabla 3 muestra la distribución del tiempo total de la leva, se hace uso de ella debido que es la misma en todos los casos, el cálculo de velocidad se presenta los datos de la tabla 5.

t f(t)0 00 0

0,002 120,004 480,006 108

0,008 1920,01 3000,01 300

0,012 4080,014 4920,016 5520,018 5880,02 600

0,022 5880,024 5520,026 4920,028 4080,03 3000,03 300

0,032 1920,034 1080,036 480,038 120,04 1,13687E-120,04 2,27374E-13

0,042 1,34115E-120,044 8,17124E-13

0,046 1,40687E-120,048 2,58638E-120,05 1,25056E-120,05 2,6148E-12

0,052 -120,054 -480,056 -1080,058 -1920,06 -3000,06 -300

0,062 -4080,064 -4920,066 -5520,068 -5880,07 -600

0,072 -5880,074 -5520,076 -4920,078 -408

0,08 -3000,08 -300

0,082 -1920,084 -1080,086 -480,088 -120,09 -4,77485E-

120,09 3,29692E-12

0,092 -8,61711E-12

0,094 -5,13722E-12

0,096 -2,54374E-12

0,098 1,73372E-120,1 3,29692E-12

Tabla 5. Datos para la gráfica de velocidad.

La figura 3 representa los cálculos consignados en la tabla 5 y presenta la velocidad de la leva en un tiempo de 0.1 s.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

VELOCIDAD

t(s)

f(t)

Figura 3. Grafica de velocidad.

4. El siguiente paso consiste en integrar la ecuación de velocidad para obtener la ecuación de posición respecto al tiempo, y esta ecuación está dada por:

X(t) =k6¿ t>¿3−2k

6¿ t−t1>¿3+ 2k

6¿ t−t 3>¿3− k

6¿ t−t 4>¿3− k

6¿ t−t5>¿3+¿¿¿¿¿¿

2k6

¿ t−t 6>¿3−2k6

¿ t−t 7>¿3+ k6¿ t−t 8>¿3 ¿¿¿ (7)

Una vez más se hace uso de la tabla 3 para la distribución del tiempo, y los valores de la posición se consignan en la tabla 6 dando valores a t e ingresando los tiempos del 1 al 8.

t x(t)0 00 0

0,002 0,0080,004 0,0640,006 0,2160,008 0,5120,01 10,01 1

0,012 1,7120,014 2,6160,016 3,6640,018 4,8080,02 6

0,022 7,1920,024 8,3360,026 9,3840,028 10,2880,03 110,03 11

0,032 11,4880,034 11,784

0,036 11,9360,038 11,9920,04 120,04 12

0,042 120,044 120,046 120,048 120,05 120,05 12

0,052 11,9920,054 11,9360,056 11,7840,058 11,4880,06 110,06 11

0,062 10,2880,064 9,3840,066 8,3360,068 7,1920,07 6

0,072 4,808

0,074 3,6640,076 2,6160,078 1,7120,08 10,08 1

0,082 0,5120,084 0,2160,086 0,0640,088 0,0080,09 -3,81917E-

130,09 -1,81855E-

130,092 -1,17668E-

130,094 -1,05568E-

130,096 -2,27901E-

130,098 -1,57097E-

130,1 1,76748E-13

Tabla 6. Datos de la posición de la leva.

La figura 4 representa la gráfica de posición en función del tiempo de los datos consignados en la tabla 6, datos que se obtienen dando valores a t e ingresando los tiempos del 1 al 8 y utilizando la singularidad apropiada, en esta grafica se puede observar que el x máximo es 12cm que es lo deseado.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12-2

0

2

4

6

8

10

12

14

POSICION

t (s)

f(t) [cm]

Figura 4. Grafica de posición

El procedimiento anterior indica que se ha dado respuesta a la primera pregunta que era; los diagramas de factor de choque, aceleración, velocidad, y posición.

II. ¿Cuánto vale K (factor de choque), velocidad máxima y aceleración máxima?

Para dar los valores solicitados de hace uso de las gráficas J(t),a(t), v(t), x(t). estos valores se dan en las gráficas 1,2,3,4; sabiendo que el valor máximo de posición de la leva es 12 cm, es en la gráfica de posición donde se varia k de tal manera que dicha variación produzca un Xmax de 12 cm. Los datos obtenido se muestran en la tabla 7.

variable Valor

Posición máx. 12 cm

K (factor de choque)6000000

cm

s3 O 0.006

cm

ms3

Velocidad máx.600

cms

Aceleración máx.60000

cm

s2

Tabla 7. Resultado de variables solicitadas.

III. ¿Cómo es la leva?

Para hacer el perfil de leva se parte del circulo base que tiene un radio de 5cm y los datos de posición obtenidos en la tabla 6 que corresponden a la posición de la leva en cualquier tiempo, con la ecuación 1 se comprueba mediante una regla de tres sencilla que en ese tiempo la leva recorra 2π, esto se hace de la siguiente manera: sabiendo que:

ω= 600 revmin

( 2π rad1rev

) ( 1min60 s

)

ω=20 π rad/s

Y que esa velocidad angular se debe dar en un segundo. Cuanta velocidad hay en 0.1 segundos

20 πrad→1 s

x→0.1 s

x=2 π

Donde se comprueba que el tiempo de 0.01 segundos es el tiempo que tarda la leva en dar una vuelta. A continuación de eso se hace uso nuevamente de la regla de tres para encontrar el ángulo que avanza la leva cada 0.01 segundos

20 πrad→0.1 s

x→0.01 s

x=15π rad

Ese valor es de 36 grados, dicho valor son los grados correspondientes a los tiempos t1 al t8, que posteriormente se dividen en 5 para dar el incremento de ángulo que se

necesita en la trayectoria de la leva (igual que para los tiempos), este valor es de 7.2 grados, es decir que la construcción de la gráfica se hace cada 7.2 grados, datos que se convierten en radianes para que Excel la grafique sin inconvenientes. A continuación se hacen las posiciones para x y para y del circulo base con el fin que Excel grafique el circulo base, se hace de la misma manera para x y y del seguidor; los cálculos se ilustran en la tabla 8. Las ecuaciones que describen el movimiento son:

Xcirculo base=r base∗cos (α) (8)

Ycirculo base=rbase∗seno (α) (9)

Siendo αel incremento de ángulo para graficar (entre 0 y 360).

Se tiene también que:

Xdel seguidor=X circulo base+( posicion∗cos (α )) (10)

Ydel seguidor=Ycirculo base+( posicion∗seno (α )) (11)

Donde posición es el valor tomado de la tabla 6.

El cálculo se hace desde 0 a 360 grados con un incremento de 7.2 grados.

posición α α radianes cos α seno α x del circulo base

y del circulo base

x de leva y de leva

0 0 0 1 0 5 0 5 00 0 0 1 0 5 0 5 0

0,008 7,2 0,12566371 0,9921147 0,1253332 4,960573 0,626666 4,968510 0,6276680,064 14,4 0,25132741 0,96858316 0,2486898 4,842915 1,243449 4,904905 1,2593650,216 21,6 0,37699112 0,92977649 0,3681245 4,648882 1,840622 4,849714 1,9201370,512 28,8 0,50265482 0,87630668 0,4817537 4,381533 2,408768 4,830202 2,655426

1 36 0,62831853 0,80901699 0,5877852 4,045084 2,938926 4,854101 3,5267111 36 0,62831853 0,80901699 0,5877852 4,045084 2,938926 4,854101 3,526711

1,712 43,2 0,75398224 0,72896863 0,6845471 3,644843 3,422735 4,892837 4,5946802,616 50,4 0,87964594 0,63742399 0,7705132 3,187119 3,852566 4,854621 5,8682283,664 57,6 1,00530965 0,53582679 0,8443279 2,679133 4,221639 4,642403 7,3152574,808 64,8 1,13097336 0,42577929 0,9048270 2,128896 4,524135 4,176043 8,874543

6 72 1,25663706 0,30901699 0,9510565 1,545084 4,755282 3,399186 10,461627,192 79,2 1,38230077 0,18738131 0,9822872 0,936906 4,911436 2,284552 11,97604

8,336 86,4 1,50796447 0,06279052 0,9980267 0,313952 4,990133 0,837374 13,309689,384 93,6 1,63362818 -0,0627905 0,9980267 -0,313952 4,990134 -0,903178 14,35562

10,288 100,8 1,75929189 -0,1873813 0,9822873 -0,936907 4,911436 -2,864686 15,0172111 108 1,88495559 -0,3090179 0,9510565 -1,545083 4,755283 -4,944272 15,2169111 108 1,88495559 -0,3090169 0,9510565 -1,545085 4,755283 -4,944272 15,21690

11,488 115,2 2,0106193 -0,4257793 0,9048271 -2,128897 4,524135 -7,020249 14,9187911,784 122,4 2,136283 -0,5358268 0,8443279 -2,679134 4,221639 -8,993317 14,1711911,936 129,6 2,26194671 -0,6374239 0,7705132 -3,187119 3,852566 -10,79541 13,0494111,992 136,8 2,38761042 -0,7289686 0,6845471 -3,644843 3,422735 -12,38663 11,63182

12 144 2,51327412 -0,8090169 0,5877852 -4,045084 2,938926 -13,75328 9,99234912 144 2,51327412 -0,8090169 0,5877852 -4,045084 2,938926 -13,75328 9,99234912 151,2 2,63893783 -0,8763066 0,4817536 -4,381533 2,408768 -14,89721 8,18981212 158,4 2,76460154 -0,9297764 0,3681245 -4,648883 1,840622 -15,80623 6,25811712 165,6 2,89026524 -0,9685831 0,2486898 -4,842915 1,243449 -16,46591 4,22772812 172,8 3,01592895 -0,9921147 0,1253332 -4,960573 0,626666 -16,86594 2,13066412 180 3,14159265 -1 -4,101E-10 -5 -2,05E-09 -17 -6,97E-0912 180 3,14159265 -1 -4,102E-10 -5 -2,05E-09 -17 -6,97E-09

11,992 187,2 3,26725636 -0,9921147 -0,1253332 -4,960573 -0,626666 -16,85801 -2,12966211,936 194,4 3,39292007 -0,9685831 -0,2486898 -4,842915 -1,243449 -16,40392 -4,21181111,784 201,6 3,51858377 -0,9297764 -0,3681245 -4,648882 -1,840622 -15,60536 -6,17860211,488 208,8 3,64424748 -0,8763066 -0,4817536 -4,381533 -2,408768 -14,44854 -7,943154

11 216 3,76991118 -0,8090169 -0,5877852 -4,045084 -2,938926 -12,94427 -9,40456411 216 3,76991118 -0,8090169 -0,5877852 -4,045084 -2,938926 -12,94427 -9,404564

10,288 223,2 3,89557489 -0,7289686 -0,6845471 -3,644843 -3,422735 -11,14447 -10,465359,384 230,4 4,0212386 -0,6374239 -0,7705132 -3,187119 -3,852566 -9,168706 -11,083068,336 237,6 4,1469023 -0,5358267 -0,8443279 -2,679133 -4,221639 -7,145786 -11,259957,192 244,8 4,27256601 -0,4257792 -0,9048270 -2,128896 -4,524135 -5,191101 -11,03165

6 252 4,39822972 -0,3090169 -0,9510565 -1,545084 -4,755282 -3,399186 -10,461624,808 259,2 4,52389342 -0,1873813 -0,9822872 -0,936906 -4,911436 -1,837835 -9,6342733,664 266,4 4,64955713 -0,0627905 -0,9980267 -0,313952 -4,990133 -0,544017 -8,6469032,616 273,6 4,77522083 0,06279052 -0,9980267 0,313952 -4,990133 0,478212 -7,6009711,712 280,8 4,90088454 0,18738132 -0,9822872 0,936906 -4,911436 1,257703 -6,593112

1 288 5,02654825 0,30901699 -0,9510565 1,545084 -4,755282 1,854101 -5,7063391 288 5,02654825 0,30901699 -0,9510565 1,545084 -4,755282 1,854101 -5,706339

0,512 295,2 5,15221195 0,42577929 -0,9048270 2,128896 -4,524135 2,346895 -4,9874060,216 302,4 5,27787566 0,5358268 -0,8443279 2,679133 -4,221639 2,794872 -4,4040140,064 309,6 5,40353936 0,63742399 -0,7705132 3,187119 -3,852566 3,227915 -3,9018790,008 316,8 5,52920307 0,72896863 -0,6845471 3,644843 -3,422735 3,650674 -3,428211

-3,8E-13 324 5,65486678 0,80901699 -0,5877852 4,045084 -2,938926 4,045084 -2,938926-1,8E-13 324 5,65486678 0,80901699 -0,5877852 4,045084 -2,938926 4,045084 -2,938926-1,1E-13 331,2 5,78053048 0,87630668 -0,4817536 4,381533 -2,408768 4,381533 -2,408768-1,0E-13 338,4 5,90619419 0,92977649 -0,3681245 4,648882 -1,840622 4,648882 -1,840622

-2,2E-13 345,6 6,0318579 0,96858316 -0,2486898 4,842915 -1,243449 4,842915 -1,243449-1,5E-13 352,8 6,1575216 0,9921147 -0,1253332 4,960573 -0,626666 4,960573 -0,6266661,8E-13 360 6,28318531 1 8,2041E-10 5 4,102E-09 5 4,102E-09

Tabla 8. Cálculos para leva.

La sección en amarillo indica la posición en x y en y del seguidor, la figura 5 ilustra el movimiento del seguidor, es decir el perfil de la leva.

-20 -15 -10 -5 0 5 10

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

PERFIL DE LEVA

perfil de levacirculo base

Y cm

Figura 5. Perfil de leva.