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Diseños de vigas para la materia hormigon armado I
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DISEÑO DE VIGAS A FLEXION, CORTANTE Y TORSION
CRISTIAN ANDRES GOMEZ BELTRANEstudiante de ingeniería Civil
Universidad Industrial de [email protected]
VIGA 4-3 (EJE E)
1. Diseño a Flexión
Momento Positivo (M+)
Datos:
El momento máximo es el dado por el programa SAP 2000 como lo indica el punto anterior.
Mmax+¿50.8540KN ∙m
f ' c=21Mpa
fy=420Mpa
fyt=280Mpa
Dimensiones:
Para el cálculo del be se basó en C.8.12.2 de la NSR 10.
cs=¿¿
cs=((2.5m−0.4m)+(2.6m−0.4m))/2
cs=2.15m
be={bw+ 2∗cs2
=300+ 2∗21502
=2450mm
bw+2 (8hf )=300+16∗110=2060mmL4=53004
=1325mm→RIGE }be=1325mm
i. Suponemos Estribos No. 3
ii. Asumiendo una fila de acero y utilizando barras No. 6 obtenemos d.
Los diámetros y Áreas de las barras son utilizados de la tabla C.3.5.3-2 de la NSR 10.
La distancia de espaciamiento mínimo de 40mm se toma de la C.7.7.1 (c) de la NSR 10.
d=h−40−d No .3−d No .62
=400−40−9.5−19.12
=340.95mm
hf= 110 mm
be = 1325 mm
bw= 300 mm
h = 400 mm
40 mm
iii. Calculo As a tensión
Con una fila de acero
Suponemos ∅=0.9
j=¿
As (1 )= Mu∅ fyjd
= 50.8540∗106N ∙mm0.9∗420Mpa∗(0.95∗340.95mm)
=415.355mm2
a=As (1 )∗fy
0.85∗f ' c∗be=415.355mm2∗420Mpa
0.85∗21∗1325mm=7.3758mm
As (2 )= Mu
∅ fy(d−a2)= 50.8540∗106N ∙mm
0.9∗420Mpa∗(340.95mm−7.3758mm2
)=398.902mm2
%E=|As (1 )−As (2 )As (1 ) |∗100=|415.355−398.902415.355 |∗100=3.96%
a=As (2 )∗fy
0.85∗f ' c∗be=398.902mm2∗420Mpa
0.85∗21∗1325mm=7.0837mm
As (3 )= Mu
∅ fy(d−a2)= 50.8540∗106 N ∙mm
0.9∗420Mpa∗(340.95mm−7.0837mm2
)=398.729mm2
%E=|As (2 )−As (3 )As (2 ) |∗100=|398.902−398.729398.902 |∗100=0.04%
a=As (3 )∗fy
0.85∗f ' c∗be=398.729mm2∗420Mpa
0.85∗21∗1325mm=7.081mm
iv. Chequeo Acero mínimo
As ,min={0.25√ f ' c bw dfy
=0.25∗√21∗300∗340.95420
=279.005mm2
1.4 bw dfy
=340.95mm2 }Para este caso como el valor obtenido de As requerido es mayor al valor mínimo de As exigido por C.10.5.1 de la NSR-10, la sección debe tener el valor de As calculado.
Se procede a calcular el No de barras requerido para la sección utilizando barras No. 6
No barras=As(3)
A No .6=398.729mm2
284mm2 =1.40398≅ 2barras
Se recalcula los valores de a, c para el nuevo As debido a las 2 barras No. 6
As , field=2∗A No .6=2∗284=568mm2
a , field= As , field∗fy0.85∗f ' c∗be
= 568m m2∗420Mpa0.85∗21Mpa∗1325mm
=10.0866mm
C , field= aβ1
=10.0866mm0.85
=11.866mm
d , field=340.95mm
v. Pre-chequeo de fluencia y estado de falla
As , field=568mm2
a , field=10.0866mm
C , field=11.866mm
d , field=340.95mm
ε s=( d−cc )∗εcu=( 340.95−11.86611.866 )∗0.003=0.0832
εs
ε y
=0.08320.0021
=36.61>1.0 ¡ok !
0.0832>0.004→cumple conC .10 .3 .5de la NSR−10¡ok !
0.0832>0.005→Cumple conC .10 .3 .4de la NSR 10 por lo tanto es validala suposicion de∅=0.9
vi. Calculo de Resistencia Nominal (Mn)
Mn=Asfy (d−a2 )=568m m2∗420
Mpa∗(340.95mm−10.0866mm2 )∗1
106
Mn=80.1339KN ∙m
vii. Calculo de ∅Mn
∅ Mn=0.9∗80.1339KN ∙m=72.1205KN ∙m
Como ∅ Mn sobrepasa en un 29.48% al Mu y es mayor a lo recomendable que es mantenerlo por encima de un 10%, por ahora la sección diseñada para el refuerzo del momento positivo cumple con la resistencia deseada.
Momento Negativo (M-)
Datos:
El momento máximo es el dado por el programa SAP 2000 como lo indica el primer punto.
Mmax−¿−98.5290KN ∙m
f ' c=21Mpa
fy=420Mpa
fyt=280Mpa
Dimensiones:
Para el cálculo del be se basó en C.8.12.2 de la NSR 10.
cs=¿¿
cs=((2.5m−0.4m)+(2.6m−0.4m))/2
cs=2.15m
be={bw+ 2∗cs2
=300+ 2∗21502
=2450mm
bw+2 (8hf )=300+16∗110=2060mmL4=53004
=1325mm→RIGE }be=1325mm
i. Suponemos Estribos No. 3
ii. Asumiendo una fila de acero y utilizando barras No. 5 obtenemos d.
Los diámetros y Áreas de las barras son utilizados de la tabla C.3.5.3-2 de la NSR 10.
La distancia de espaciamiento mínimo de 40mm se toma de la C.7.7.1 (c) de la NSR 10.
d=h−40−d No .3−d No .52
=400−40−9.5−15.92
=342.55mm
hf= 110 mm
be = 1325 mm
bw= 300 mm
h = 400 mm
40 mm
iii. Calculo As a tensión
Con una fila de acero
Suponemos ∅=0.9
j=¿
As (1 )= Mu∅ fyjd
= 98.5290∗106 N ∙mm0.9∗420Mpa∗(0.9∗342.55mm)
=792.642mm2
a=As (1 )∗fy
0.85∗f ' c∗bw=792.642mm2∗420Mpa
0.85∗21∗300mm=62.168mm
As (2 )= Mu
∅ fy(d−a2)= 98.5290∗106 N ∙mm
0.9∗420Mpa∗(342.55mm−62.168mm2
)=836.877mm2
%E=|As (1 )−As (2 )As (1 ) |∗100=|792.642−836.877792.642 |∗100=5.58%
a=As (2 )∗fy
0.85∗f ' c∗bw=836.877mm2∗420Mpa
0.85∗21∗300mm=65.6374mm
As (3 )= Mu
∅ fy(d−a2)= 98.5290∗106 N ∙mm
0.9∗420Mpa∗(342.55mm−65.6374mm2
)=841.564mm2
%E=|As (2 )−As (3 )As (2 ) |∗100=|836.877−841.564836.877 |∗100=0.56%
iv. Chequeo Acero mínimo
As ,min={0.25√ f ' c bw dfy
=0.25∗√21∗300∗342.55420
=280.315mm2
1.4 bw dfy
=342.55mm2 }
Para este caso como el valor obtenido de As requerido es mayor al valor mínimo de As exigido por C.10.5.1 de la NSR-10, la sección debe tener el valor de As calculado.
Se procede a calcular el No de barras requerido para la sección utilizando barras No. 5
No barras=As(3)
A No .5=841.564mm2
199mm2 =4.22896≈5barras
Se recalcula los valores de a, c para el nuevo As debido a las 4 barras No. 5
As , field=5∗A No .5=5∗199=995mm2
a , field= As , field∗fy0.85∗f ' c∗bw
= 995m m2∗420Mpa0.85∗21Mpa∗300mm
=78.0392mm
C , field= aβ1
=78.0392mm0.85
=91.8108mm
d , field=342.55mm
v. Pre-chequeo de fluencia y estado de falla
As , field=995m m2
a , field=78.0392mm
C , field=91.8108mm
d , field=342.55mm
ε s=( d−cc )∗εcu=( 342.55−91.810891.8108 )∗0.003=0.008193
εs
ε y
=0.0081930.0021
=3.91>1.0 ¡ok !
0.008193>0.004→cumpleconC .10 .3 .5de la NSR−10 ¡ok !
0.008193>0.005→Cumple conC .10 .3 .4de la NSR10 por lo tanto es valida la suposicionde∅=0.9
vi. Calculo de Resistencia Nominal (Mn)
Mn=As fy(d−a2 )=995m m2∗420
Mpa∗(342.55mm−78.0392mm2 )∗1
106
Mn=126.845KN ∙m
vii. Calculo de ∅Mn
∅ Mn=0.9∗126.845KN ∙m=114.161KN ∙m
Como ∅ Mn sobrepasa en un 13.7% al Mu por ahora la sección diseñada para el refuerzo del momento positivo cumple con la resistencia deseada por los parámetros de la NSR-10.
Por diseño a flexión la sección transversal quedaría de esta manera:
Las barras que se colocaron en los extremos de las alas se deben al cumplimiento de
C.10.6.6 de la NSR-10 la cual nos indica que si be> 110
(L) se debe colocar algún
refuerzo longitudinal en las zonas más externas del ala.
Como be=1325mm y 110
( L )= 110
(5300mm )=530mm
luego1325>530mm→ Se distribuye una barra a cada ala de la viga
2. Diseño a Cortante y Torsión
5 barras No.5
2 barras No 6
(Diseño Flexión)
DISEÑO A CORTANTE
Nodo 4E (parte Izquierda)
Datos:
El cortante de diseño es el dado por el programa SAP 2000 ubicado a la distancia donde se toma el de diseño, para este caso a la mitad de la columna más una distancia d como indica C.11.1.3.1 de la NSR-10.
Ancho de columna = 400mm
D= Ancho columna2
+d=200mm+340.95mm=540.95mm=0.54095m
V diseño=76.977KN
f ' c=21Mpa
fy=420Mpa
fyt=280Mpa
d=340.95mm
Dimensiones:
i. Calculo de cortante en el concreto (Vc)
El cálculo de Vc se obtiene mediante C.11.2.1.1 de la NSR-10
4E 3E
hf= 110 mm
be = 1325 mm
bw= 300 mm
h = 400 mm
Vc=0.17 λ√ f ' cbw d
Vc=0.17∗(1 )∗√21∗300∗340.95Vc=79683.9N=79.6839KN
ii. Calculo de cortante en el acero (Vs)
Vu=∅ Vn→ Según la ecuación C.11.1 de la NSR-10
∅=0.75→ Según el C.9.3.2.3 de la NSR-10
Se despeja a Vn
76.977KN=∅ Vn
Vn=102.636KN
Se procede a calcular Vs despejando de la ecuación C.11.2 de la NSR-10
Vn=Vc+Vs
Vs=Vn−Vc=102.636KN−79.6839KN=22.9521KN
Si Vu>12∅Vc se necesitan estribos según C.11.4.6.1 de la NSR-10
Comprobamos
76.977KN > 12∗0.75∗79.6839KN
76.977KN >29.8815KN
Con lo anterior se deduce que se deben colocar estribos.
iii. Relación entre separación y cantidad de acero se debe colocar en el diseño a cortante.
Separación máxima
Se debe verificar C.11.4.5.1 y C.11.4.5.3 de la NSR-10
Vs≤0.33√ f ' cbw d
22.9521KN ≤0.33∗√21∗300∗340.9522.9521KN ≤154.68KN
Como si cumple entonces la separación máxima es:
Smax={d2=340.95mm
2=170.475mm
600mm }Smax=170.475mm
Se comprueba si la sección es apta para diseño según C.11.4.7.9 de la NSR-10
Vs≤0.66√ f ' cbw d
22.9521KN ≤0.66∗√21∗300∗340.9522.9521KN ≤309,9361KN luego si es apta
iv. Calculo de separación teórica
Suponemos 2 ramas de barras No.3
Av=2∗A No .3=2∗71mm2=142mm2
Según la ecuación C.11-15 de C.11.4.7.2 de la NSR-10 obtenemos la separación teórica
Vs= Av fyt dSteo
Despejamos a Steo y obtenemos:
Steo=142m m2∗280Mpa∗340.95mm22.9521∗103 N
=590.621mm
v. Calculo de separación por Av,min
De las ecuaciones dadas en C.11.4.6.3 despejamos la separación mínima a utilizar
Av ,min¿ Av=142m m2
Av ,min={ 0.062√ f ' cS bwfyt
→ Smin=466.47mm
0.35bw Sfyt
→ Smin=378.667mm→ Rige}
vi. Seleccionar separación que rige por cortante
Smax=170.475mm
Steo=590.621mm
Smin=378.667mm
De las tres calculadas se selecciona la menor la cual regirá como separación máxima por cortante:
Smax=170.475mm≅ 17 cm
Nodo 3E (parte Derecha)
Datos:
El cortante de diseño es el dado por el programa SAP 2000 ubicado a la distancia donde se toma el de diseño, para este caso a la mitad de la columna más una distancia d desde la parte derecha hacia la izquierda como indica C.11.1.3.1 de la NSR-10.
Ancho de columna = 400mm
D= Anchocolumna2
+d=200mm+340.95mm=540.95mm=0.54095m
V diseño=79.177KN
f ' c=21Mpa
fy=420Mpa
fyt=280Mpa
d=340.95mm
i. Calculo de cortante en el concreto (Vc)
El cálculo de Vc se obtiene mediante C.11.2.1.1 de la NSR-10
4E 3E
Vc=0.17 λ√ f ' cbw d
Vc=0.17∗(1 )∗√21∗300∗340.95Vc=79683.9N=79.6839KN
ii. Calculo de cortante en el acero (Vs)
Vu=∅ Vn→ Según la ecuación C.11.1 de la NSR-10
∅=0.75→ Según el C.9.3.2.3 de la NSR-10
Se despeja a Vn
79.177KN=∅ Vn
Vn=105.569KN
Se procede a calcular Vs despejando de la ecuación C.11.2 de la NSR-10
Vn=Vc+Vs
Vs=Vn−Vc=105.569KN−79.6839KN=25.8851KN
Si Vu>12∅Vc se necesitan estribos según C.11.4.6.1 de la NSR-10
Comprobamos
79.177KN > 12∗0.75∗79.6839KN
79.177KN >29.8815KN
Con lo anterior se deduce que se deben colocar estribos.
iii. Relación entre separación y cantidad de acero se debe colocar en el diseño a cortante.
Separación máxima
Se debe verificar C.11.4.5.1 y C.11.4.5.3 de la NSR-10
Vs≤0.33√ f ' cbw d
25.8851KN ≤0.33∗√21∗300∗340.9525.8851KN ≤154.68KN
Como si cumple entonces la separación máxima es:
Smax={d2=340.95mm
2=170.475mm
600mm }Smax=170.475mm
Se comprueba si la sección es apta para diseño según C.11.4.7.9 de la NSR-10
Vs≤0.66√ f ' cbw d
25.8851KN ≤0.66∗√21∗300∗340.9525.8851KN ≤309,9361KN luego si es apta
iv. Calculo de separación teórica
Suponemos 2 ramas de barras No.3
Av=2∗A No .3=2∗71mm2=142mm2
Según la ecuación C.11-15 de C.11.4.7.2 de la NSR-10 obtenemos la separación teórica
Vs= Av fyt dSteo
Despejamos a Steo y obtenemos:
Steo=142m m2∗280Mpa∗340.95mm25.8851∗103 N
=523.706mm
v. Calculo de separación por Av,min
De las ecuaciones dadas en C.11.4.6.3 despejamos la separación mínima a utilizar
Av ,min¿ Av=142m m2
Av ,min={ 0.062√ f ' cS bwfyt
→ Smin=466.47mm
0.35bw Sfyt
→ Smin=378.667mm→ Rige}
vi. Seleccionar separación que rige por cortante
Smax=170.475mm
Steo=523.706mm
Smin=378.667mm
De las tres calculadas se selecciona la menor la cual regirá como separación máxima por cortante:
Smax=170.475mm≅ 170mm≅ 17cm
DISEÑO A TORSION
Nodo 4E (parte Izquierda)
Datos:
La torsión máxima es el dado por el programa SAP 2000 que para esta viga es constante en todo este tramo.
Ancho de columna = 400mm
D= Ancho columna2
+d=200mm+340.95mm=540.95mm=0.54095m
T max=7.4202KN ∙m
f ' c=21Mpa
fy=420Mpa
fyt=280Mpa
d=340.95mm
Dimensiones:
4E 3E
Para el diseño por Torsión se debe recalcular un nuevo ancho efectivo (be) y hacer el
análisis para estas dimensiones para que se pueda cumplir C.13.2.4 de la NSR 10.
hb=h−hf =400mm−110mm=290mm
hf =110mm
be={ bw+(2hb )=300+2∗2∗290mm=880mmbw+(8hf )=300+2∗8∗110mm=1180mm}
be=880mm
i. Calculo de Área y Perímetro de la sección transversal del concreto
Para este cálculo utilizaremos Acp y Pcp con alas y sin alas para verificar C.11.5.1.1 de la NSR-10 la cual nos indica:
SiAc p2
Pcpconalas< Ac p2
Pcpsinalas→ Si se cumple se desprecian las alas.
Con alas
Acp=be∗hf +bw∗hb=880∗110+300∗290=183800mm2
Pcp=2be+2hf +2hb=2∗880+2∗110+2∗290=2560mm2
Sin alas
Acp=bw∗h=300∗400=120000mm2
Pcp=2bw+2h=2∗300+2∗400=1400m m2
Demostración:
Ac p2
Pcpconalas< Ac p2
Pcpsinalas
hf= 110 mm
be = 880 mm
bw= 300 mm
h = 400 mm
1838002
2560< 120000
2
1400
1838002
2560< 120000
2
1400
1.3196∗107>1.0285∗107→ Como no cumple no se desprecian las alas
ii. Calculo de umbral de Torsión
Tu≤∅ 0.083[ Ac p2
Pcp ] λ√ f ' c → Según el C.11.5.1 de la NSR-10 se permite despreciar
efectos de torsión si se cumple.
∅=0.75→ Según el C.9.3.2.3 de la NSR-10
λ=1→ Según el C.8.6.1 de la NSR-10
Tu=7.4202KN ∙m
Tu≤0.75∗0.083∗[ 18380022560 ]∗1∗√21∗1
106
Tu≤3.7644KN ∙m
Como no cumple si se requiere diseño por torsión.
iii. Sección Apta para diseño
Para este cálculo debemos cumplir con C.11.5.3.1 aplicando la ecuación C.11-18 de la NSR-10.
√( Vubw d )
2
+( Tu Ph
1.7 Ao h2 )2
≤∅ ( Vcbw d
+0.66√ f ' c)Vu=76.977KN
Vc=79.6839KN
Donde,
Aoh = Área encerrada por el eje del refuerzo transversal cerrado más externo dispuesto para resistir torsión.
Poh = Perímetro encerrado por el eje del refuerzo transversal cerrado más externo dispuesto para resistir torsión.
y 1=h−40∗2−9.52
∗2=310.5mm
x1=bw−40∗2−9.52
∗2=210.5mm
Aoh=x1∗y1=65360.3mm2
Ph=2∗x1+2∗y1=1042m m2
Reemplazamos en la ecuación C.11-18
√( 76.977∗103300∗340.95 )2
+( 7.4202∗106∗10421.7∗65360.32 )2
≤0.75∗( 79.6839∗103300∗340.95+0.66√21)
1.3733Mpa≤2.8526Mpa→ La sección es apta para diseño
iv. Área requerida por torsión
Como las torsiones no son tan grandes no es necesario aplicar C.11.5.2.2 de la NSR-10.
Procedemos a calcular el área de flujo de torsión según C.11.5.3.6 de la NSR-10 donde:
Ao=0.85 Aoh=0.85∗65360.3m m2=55556.3m m2
v. Calculo de separación máxima por torsión
De C.11.5.6.1 de la NSR-10 verificamos en espaciamiento máximo.
Ph=1042mm2
Smax={Ph8
=10428
=130.25mm→Rige
300mm }vi. Calculo de separación teórica por torsión
De C.11.5.3.6 de la NSR-10 verificamos la separación teórica despejando de la siguiente ecuación.
θ=45→La cual nos basamos en C.11.5.3.6 (a) para elemento no preesforzados.
Tn=Tu∅
→ El cual debe basarse el diseño de la torsión según C.11.5.3.5 de la NSR-10.
Tn=7.4202KN ∙m0.75
=9.8936KN ∙m
Tn=2Tn Ao At fyts
∗cot θ
Despejando a S,
At = Área transversal de estribos
At=A No .3=71mm2
Steo=2 Ao At fytTn
∗cot θ=2∗55556.3∗71∗2809.8936∗106
∗cot 45=223.267mm
vii. Separación para proveer un At, min
De las ecuaciones dadas en C.11.4.6.3 despejamos la separación mínima a utilizar
Av=2∗A No .3=2∗71=142mm2
At=71m m2
Smin para At ,min={Av+2 At=0.062√ f ' c S bwfyt
Av+2 At=0.35bw Sfyt
}
Despejando a S de las ecuaciones:
Smin para At ,min={ 932.94mm757.33mm→Rige}
viii. Elegir Separación mas critica por torsión
De las tres calculadas anteriormente se escoge le menor la cual será la más crítica por torsión.
Smax=130.25mm≅ 13 cm→Rige
Steo=223.267mm
Smin para At ,min=757.33mm
ix. Evaluar los efectos combinados para el nodo 4E
De C.11.5.3.8 de la NSR-10 verificamos los efectos combinados para cortante y torsión.
Av+ t
S= Av
Steo+ 2 At
Steo
2∗71S
= 142590.621
+ 2∗71223.267
Despejando S,
Steo=162.02mm
x. Selección de Separación de diseño
Sdiseño=13cm
xi. Acero longitudinal a torsión
Acero Teórico
De C.11.5.3.7 de la NSR-10 y la ecuación C.11-22 se calcula Al de la siguiente manera.
Primero despejamos AtS
de la siguiente ecuación
Ats
= Tn2 Ao fyt cot θ
= 9.8936∗106
2∗55556.3∗280=0.318
Al= AtS
Ph( fytfy )∗cot θ
Al=0.318∗1042∗( 280420 )Al=220.907m m2
Chequeo de Al, min
De C.11.5.5.3 de la NSR-10 se calcula Al, min de la siguiente manera.
Al ,min=0.42∗√ f ' c∗Acpfy
− Ats
∗Ph∗( fytfy )
Al ,min=0.42∗√21∗183800420
−0.318∗1042∗( 280420 )Al ,min=621.373mm2
Escogemos la mayor de las dos la cual es la que debemos suministrar.
Al ,min=621.373mm2
xii. Calculo de cantidad de barras para torsión.
Calculo del No. Barras Acero longitudinal el cual utilizaremos barras No.6
No .debarras= Al ,minA No.6
=621.373284
=2.187≅ 2barras
dbarra ,min=0.042∗Sdiseño=0.042∗130mm=5.46mm
d No.6=19.1mm
19.1mm>5.46mm→ Si cumple con el d,min dado por C.11.5.6.2 de la NSR-10
Igualmente se calcula el espaciamiento entre las barras longitudinales de la sección transversal,
S=266−19.12
=123.45mm
Se compara con el valor dado por C.11.5.6.2 de la NSR-10.
123.45mm<300mm→ Si cumple
Nodo 3E (parte derecha)
Datos:
La torsión máxima es el dado por el programa SAP 2000 que para esta viga es constante en todo este tramo.
Ancho de columna = 400mm
D= Ancho columna2
+d=200mm+340.95mm=540.95mm=0.54095m
T max=2.3233KN ∙m
f ' c=21Mpa
fy=420Mpa
fyt=280Mpa
d=340.95mm
Dimensiones:
4E 3E
Para el diseño por Torsión se debe recalcular un nuevo ancho efectivo (be) y hacer el
análisis para estas dimensiones para que se pueda cumplir C.13.2.4 de la NSR 10.
hb=h−hf =400mm−110mm=290mm
hf =110mm
be={ bw+(2hb )=300+2∗2∗290mm=880mmbw+(8hf )=300+2∗8∗110mm=1180mm}
be=880mm
i. Calculo de Área y Perímetro de la sección transversal del concreto
Para este cálculo utilizaremos Acp y Pcp con alas y sin alas para verificar C.11.5.1.1 de la NSR-10 la cual nos indica:
SiAc p2
Pcpconalas< Ac p2
Pcpsinalas→ Si se cumple se desprecian las alas.
Con alas
Acp=be∗hf +bw∗hb=880∗110+300∗290=183800mm2
Pcp=2be+2hf +2hb=2∗880+2∗110+2∗290=2560mm2
Sin alas
Acp=bw∗h=300∗400=120000mm2
Pcp=2bw+2h=2∗300+2∗400=1400m m2
Demostración:
Ac p2
Pcpconalas< Ac p2
Pcpsinalas
hf= 110 mm
be = 880 mm
bw= 300 mm
h = 400 mm
1838002
2560< 120000
2
1400
1838002
2560< 120000
2
1400
1.3196∗107>1.0285∗107→ Como no cumple no se desprecian las alas
ii. Calculo de umbral de Torsión
Tu≤∅ 0.083[ Ac p2
Pcp ] λ√ f ' c → Según el C.11.5.1 de la NSR-10 se permite despreciar
efectos de torsión si se cumple.
∅=0.75→ Según el C.9.3.2.3 de la NSR-10
λ=1→ Según el C.8.6.1 de la NSR-10
Tu=2.3233KN ∙m
Tu≤0.75∗0.083∗[ 18380022560 ]∗1∗√21∗1
106
Tu≤3.7644KN ∙m
Si cumple luego para este tramo no requiere diseño por torsión solo se tiene en cuenta el diseño a cortante y flexión.
Análisis de Secciones Transversales
Para el análisis por torsión usamos la sección transversal más crítica.
Momento Positivo (+)
Nodo 4E
Sección Transversal
1ra fila = 5 barra No.5
2da fila = 2 barras No. 6
3ra fila = 2 barras No. 6
Mmax+¿50.8540KN ∙m
f ' c=21Mpa
fy=420Mpa
fyt=280Mpa
As1=995m m2
As2=568m m2
As3=568m m2
Se asume a≤ hf =110mm
i. Suponemos que fluye T2 y T3 y que todos los aceros se encuentran a tensión.
ds1=40+9.5+ 15.92
=57.45mm
ds 2=400−40−9.5−15.9−123.45−19.12
=201.6mm
ds 3=340.95mm
0.003c
= εs1(57.45−c)
εs 1=0.003(57.45−c )
c
fs1=600 (57.45−c)
c
Ccu=Ts 1+Ts 2+Ts3
0.85∗f ' c∗a∗be=As1∗fs1+As2∗fy+ As3∗fy
0.85∗21∗0,85∗c∗1325=995∗( 600c ∗(57,45−c ))+568∗420+568∗420Despejando c,
c=38.4302mm
a=32.6657mm
ii. Comprobando fluencias,
εs 1=0.003(57.45−c )
c=0.001485<0.0021 ¡ok !
εs 2=0.003(201.6−c)
c=0.0127>0.0021¡ok !→fy=420Mpa
εs 3=0.003 (340.95−c)
c=0.0236>0.0021¡ok !→fy=420Mpa
iii. Calculo de Mn
Mn=0.85∗f ' c∗β1∗c∗be∗(ds3−a2 )−As2∗fy∗( ds3−ds2 )−As1∗fs1∗(ds3−ds1)
Mn=0.85∗21∗0,85∗c∗1325∗(340.95−a2 )−568∗420∗(340.95−201.6 )−995∗600 (57.45−c )
c∗(340.95−57.45)
Mn=133.786KN ∙m
iv. Calculo de ∅Mn
∅=0.9
∅ Mn=0.9∗133.786KN ∙m
∅ Mn=120.408KN ∙m>50.8540KN .m
Con esto se comprueba que la sección cumple con la norma sismo-resistente de 2010 y nos ira a resistir el momento máximo aplicado para esta viga.
Excede suficiente cantidad ya que para esta última sección transversal se tiene en cuenta el refuerzo a torsión.
Momento Negativo (-)
Nodo 4E
Sección Transversal
1ra fila = 5 barra No.5
2da fila = 2 barras No. 6
3ra fila = 2 barras No. 6
Mmax−¿−98.5290KN ∙m
f ' c=21Mpa
fy=420Mpa
fyt=280Mpa
As1=995m m2
As2=568m m2
As3=568m m2
i. Suponemos que fluye T1 y T2 y que As3 está a compresión.
ds1=342.55mm
ds 2=40+9.5+19.1+123.45+ 19.12
=201.6mm
ds 3=40+9.5+ 19.12
=59.05mm
0.003c
= εs3(c−59.05)
εs 3=0.003 (c−59.05)
c
fs3=600(c−59.05)
c
Ccu+T 3=Ts1+Ts 2
0.85∗f ' c∗a∗bw+ As3∗(fs3−0.85 f ' c)=As1∗fy+ As2∗fy
0.85∗21∗0,85∗c∗300+568∗( 600 (c−59.05 )c
−0.85 f ' c)=568∗420+995∗420Despejando c,
c=111.3mm
a=94.605mm
ii. Comprobando fluencias,
εs 3=0.003 (c−59.05)
c=0.001408<0.0021 ¡ok !
εs 2=0.003(201.6−c)
c=0.00243>0.0021 ¡ok !→fy=420Mpa
εs 1=0.003(342.55−c )
c=0.00623>0.0021 ¡ok !→fy=420Mpa
iii. Calculo de Mn
Mn=0.85∗f ' c∗β 1∗c∗bw∗(ds1−a2 )+ As3∗( fs3−0.85∗f ' c)∗(ds1−ds3 )−As2∗fy∗(ds1−ds2)
Mn=0.85∗21∗0.85∗111.3∗300∗(342.55−94.6052 )+568∗( 600 (111.3−59.05 )111.3
−0.85∗21)∗(342.55−59.05 )−568∗420∗(342.55−201.6)
Mn=−158.433KN ∙m
iv. Calculo de ∅Mn
∅=0.9
∅ Mn=0.9∗158.433KN ∙m
∅ Mn=142.59KN ∙m>98.5290KN .m
Con esto se comprueba que la sección cumple con la norma sismo-resistente de 2010 y nos ira a resistir el momento máximo aplicado para esta viga.
Excede suficiente cantidad ya que para esta última sección transversal se tiene en cuenta el refuerzo a torsión.
Despiece del refuerzo transversal
Nodo 4E
Sc=170.475mm≅ 17cm
St=130.25mm≅ 13cm→ Rige
Sc+t=162.02mm
El primer tramo requieren diseño por cortante y torsión como lo calculamos y comprobamos anteriormente.
El primer estribo se coloca a 0.05 m de la cara del apoyo debido a C.21.3.4.6 de la NSR-10.
L=1.76−0.05−0.2=1.51m
No .estribos=LS=1.51m0.13m
=11.61≅ 12estribos No.3
Total estribos¿3=13estribos No .3 Cada 13 cm
L'1=0.25+13∗0.13=1.94m
4E 3E
Nodo 3E
Sc=170.475mm≅ 170mm≅ 17cm →Rige
Este tramo no requiere diseño por torsión como lo calculamos y comprobamos anteriormente.
El primer estribo se coloca a 0.05 m de la cara del apoyo debido a C.21.3.4.6 de la NSR-10.
L=1.76−0.05−0.2=1.51m
No .estribos=LS=1.51m0.17m
=8.8≅ 9estribos No .3
Total estribos¿3=10estribos No .3Cada 17 cm
L'2=0.25+10∗0.17=1.95m
Espaciamiento de la viga que no es necesario estribos:
5.3−L'1−L'2=5.3−1.94−1.95=1.41m
BIBLIOGRAFIA
Norma Sismo Resistente (NSR-10) Título A y C.
Diseño de Concreto Reforzado, Mccormac, Russell Brown.
