59
Diseño óptimo de estructuras mecánicas bajo incertidumbre en las cargas Felipe Alvarez y Miguel Carrasco II Encuentro N ´ ucleo Cient ´ ıfico Milenio Sistemas Complejos de Ingenier ´ ıa Universidad de Chile 15 - 16 de diciembre 2003 Dise˜ no ´ optimo de estructuras.– p. 1/30

Diseño óptimo de estructuras mecánicas bajo incertidumbre en las

Embed Size (px)

Citation preview

Diseño óptimo de estructurasmecánicas bajo incertidumbre en las

cargasFelipe Alvarez y Miguel Carrasco

II Encuentro Nucleo Cientıfico Milenio

Sistemas Complejos de Ingenierıa

Universidad de Chile

15 - 16 de diciembre 2003

Diseno optimo de estructuras.– p. 1/30

Plan

Introduccion.Estructuras reticulares y equilibrio mecánico.Minimización de la complacencia.Formulación primal-dual.Inestabilidad de soluciones óptimas

Modelo con cargas aleatorias.Perturbaciones aleatorias en las cargas.Minimización de la complacencia esperada.Ejemplos: distribuciones discretas y continuas.

Aplicaciones y experiencias numericas.

Diseno optimo de estructuras.– p. 2/30

Plan

Introduccion.Estructuras reticulares y equilibrio mecánico.Minimización de la complacencia.Formulación primal-dual.Inestabilidad de soluciones óptimas

Modelo con cargas aleatorias.Perturbaciones aleatorias en las cargas.Minimización de la complacencia esperada.Ejemplos: distribuciones discretas y continuas.

Aplicaciones y experiencias numericas.

Diseno optimo de estructuras.– p. 2/30

Plan

Introduccion.Estructuras reticulares y equilibrio mecánico.Minimización de la complacencia.Formulación primal-dual.Inestabilidad de soluciones óptimas

Modelo con cargas aleatorias.Perturbaciones aleatorias en las cargas.Minimización de la complacencia esperada.Ejemplos: distribuciones discretas y continuas.

Aplicaciones y experiencias numericas.

Diseno optimo de estructuras.– p. 2/30

Introducción

Diseno optimo de estructuras.– p. 3/30

Estructuras reticulares

Grafo de puntos en

unidos por barras delgadas.

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

Problema: diseñar la “mejor” estructura quesoporte una distribución de cargas nodales.

Diseno optimo de estructuras.– p. 4/30

Estructuras reticulares

Grafo de puntos en

unidos por barras delgadas.

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

Problema: diseñar la “mejor” estructura quesoporte una distribución de cargas nodales.

Diseno optimo de estructuras.– p. 4/30

Estructuras reticulares

Grafo de puntos en

unidos por barras delgadas.

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

Problema: diseñar la “mejor” estructura quesoporte una distribución de cargas nodales.

Diseno optimo de estructuras.– p. 4/30

Notaciones

� : número de nodos (puntos en

).

� �: número de barras.

�� : número de restricciones en los desplazamientos.

� � � � �� : grados de libertad.

Variables de diseño

Topología: volumen de las barras .

Geometría: posición de los nodos .

Diseno optimo de estructuras.– p. 5/30

Notaciones

� : número de nodos (puntos en

).

� �: número de barras.

�� : número de restricciones en los desplazamientos.

� � � � �� : grados de libertad.

Variables de diseño

Topología: volumen de las barras

� � ��.

Geometría: posición de los nodos � � � �

.

Diseno optimo de estructuras.– p. 5/30

Matriz de rigidez y equilibrio

� Distribución de cargas: � �

.� Desplazamientos nodales: � � �

.

Ecuación de equilibrio mecánico:

Matriz de rigidez: ,

Barra -ésima: es el módulo de Young; , lalongitud; , el vector director.

Diseno optimo de estructuras.– p. 6/30

Matriz de rigidez y equilibrio

� Distribución de cargas: � �

.� Desplazamientos nodales: � � �

.

Ecuación de equilibrio mecánico:

� ��

� �

� �

Matriz de rigidez: ,

Barra -ésima: es el módulo de Young; , lalongitud; , el vector director.

Diseno optimo de estructuras.– p. 6/30

Matriz de rigidez y equilibrio

� Distribución de cargas: � �

.� Desplazamientos nodales: � � �

.

Ecuación de equilibrio mecánico:

� ��

� �

� �

Matriz de rigidez:

� ��

� � ��

� � �� � �

� � � � � � �

,

�� � � � �

��

� � ��

� �� � � � �� � � �

Barra

-ésima: � es el módulo de Young;

��

� � �

, lalongitud; � �

� � �

, el vector director.Diseno optimo de estructuras.– p. 6/30

Complacencia

Energía potencial:

��� �

�� � �

� �� � �

� �

� � ����

Se tiene

en cuyo caso,

Complacencia: (medida de rigidez).

Diseno optimo de estructuras.– p. 7/30

Complacencia

Energía potencial:

��� �

�� � �

� �� � �

� �

� � ����

Se tiene

��� �

�� � � ����� �� ��

� ��

�� � �

� �

� ��

en cuyo caso,

�� �

�� � � �

���

Complacencia: (medida de rigidez).

Diseno optimo de estructuras.– p. 7/30

Complacencia

Energía potencial:

��� �

�� � �

� �� � �

� �

� � ����

Se tiene

��� �

�� � � ����� �� ��

� ��

�� � �

� �

� ��

en cuyo caso,

�� �

�� � � �

���

Complacencia:

��

�� (medida de rigidez).

Diseno optimo de estructuras.– p. 7/30

Problema de diseño

� Restricciones: equilibrio mecánico, volumen total,posición de ciertos nodos,.... . .

� Criterio: maximizar la rigidez.

( )

Diseno optimo de estructuras.– p. 8/30

Problema de diseño

� Restricciones: equilibrio mecánico, volumen total,posición de ciertos nodos,.... . .

� Criterio: maximizar la rigidez.

� � ��� �

��

��( )

��

��

� ��

� �

� �

� �

� � � � � � � � ��

�� � �

� � � � �

� � � �� � �

� � �

Diseno optimo de estructuras.– p. 8/30

Simplificación: estructura base

Inconvenientes de la variable ��

� Altamente no lineal.

� Difícil de resolver numéricamente.

Estrategia:Eliminamos como variable de diseño.

Utilizamos una estructura base llena de nodos y barras.

Problema: aumenta la dimensión pues

0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

f

0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

f

Diseno optimo de estructuras.– p. 9/30

Simplificación: estructura base

Inconvenientes de la variable ��

� Altamente no lineal.

� Difícil de resolver numéricamente.

Estrategia:

� Eliminamos � como variable de diseño.

� Utilizamos una estructura base llena de nodos y barras.

� Problema: aumenta la dimensión pues � � � ��

0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

f

0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

f

Diseno optimo de estructuras.– p. 9/30

Simplificación: estructura base

Inconvenientes de la variable ��

� Altamente no lineal.

� Difícil de resolver numéricamente.

Estrategia:

� Eliminamos � como variable de diseño.

� Utilizamos una estructura base llena de nodos y barras.

� Problema: aumenta la dimensión pues � � � ��

0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

f

0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

f

Diseno optimo de estructuras.– p. 9/30

Simplificación: estructura base

Inconvenientes de la variable ��

� Altamente no lineal.

� Difícil de resolver numéricamente.

Estrategia:

� Eliminamos � como variable de diseño.

� Utilizamos una estructura base llena de nodos y barras.

� Problema: aumenta la dimensión pues � � � ��

0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

f

0 1 2 3 4 5 6−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

f

Diseno optimo de estructuras.– p. 9/30

Formulación primal-dual

Problema de diseño:

( ) � ���� � ��

� ��

��

� � � �

� ��

� �

��

El dual de Lagrange de está dado por

( )

Método: resolver y recuperar los volúmenes a partirde los multiplicadores.

Diseno optimo de estructuras.– p. 10/30

Formulación primal-dual

Problema de diseño:

( ) � ���� � ��

� ��

��

� � � �

� ��

� �

��

El dual de Lagrange de

� �

está dado por

( ) � � � �� �� � ���� �� �

��

��

� � � ��

��

Método: resolver y recuperar los volúmenes a partirde los multiplicadores.

Diseno optimo de estructuras.– p. 10/30

Formulación primal-dual

Problema de diseño:

( ) � ���� � ��

� ��

��

� � � �

� ��

� �

��

El dual de Lagrange de

� �

está dado por

( ) � � � �� �� � ���� �� �

��

��

� � � ��

��

Método: resolver� �

y recuperar los volúmenes a partirde los multiplicadores.

Diseno optimo de estructuras.– p. 10/30

Dualidad

(

) � ����� �� � �� � � �� ��� � � �� � ��� � � � �� ��

Pero

Lagrangiano: .

Diseno optimo de estructuras.– p. 11/30

Dualidad

(

) � ����� �� � �� � � �� ��� � � �� � ��� � � � �� ��

Pero

� �� ��� �� �� � � � � � � ���

� � �

� � ��� ��

Lagrangiano: .

Diseno optimo de estructuras.– p. 11/30

Dualidad

(

) � ����� �� � �� � � �� ��� � � �� � ��� � � � �� ��

Pero

� �� ��� �� �� � � � � � � ���

� � �

� � ��� ��

Lagrangiano:

� ����

� � � � � � � � ��� � � �

� � �� � � � � � � �� .

Diseno optimo de estructuras.– p. 11/30

Dualidad

(

) � ����� �� � �� � � �� ��� � � �� � ��� � � � �� ��

Pero

� �� ��� �� �� � � � � � � ���

� � �

� � ��� ��

Lagrangiano:

� ����

� � � � � � � � ��� � � �

� � �� � � � � � � �� .

� � � � � ���� �� � � � ��� ���

�� � �� � � � � � ��� ���� �� � ���

�� �

Diseno optimo de estructuras.– p. 11/30

Ejemplos (1/2)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

X

Y

f

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

X

Y

f

Diseno optimo de estructuras.– p. 12/30

Ejemplos (1/2)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

X

Y

f

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

X

Y

f

Diseno optimo de estructuras.– p. 12/30

Ejemplos (2/2)

Problema: se constata la inestabilidad física de lasolución óptima.

Volver al plan

Diseno optimo de estructuras.– p. 13/30

Ejemplos (2/2)

Problema: se constata la inestabilidad física de lasolución óptima.

Volver al plan

Diseno optimo de estructuras.– p. 13/30

Ejemplos (2/2)

Problema: se constata la inestabilidad física de lasolución óptima.

Volver al plan

Diseno optimo de estructuras.– p. 13/30

Modelo con cargas aleatorias

Diseno optimo de estructuras.– p. 14/30

Perturbaciones en las cargas

Sea � � � � � � � �

definida por

�� �

� � ��

��

�� � � �

� si existe � � �

t.q.

� � �

� � �

si no

El problema de diseño original:

( )

Perturbación aleatoria:

Diseno optimo de estructuras.– p. 15/30

Perturbaciones en las cargas

Sea � � � � � � � �

definida por

�� �

� � ��

��

�� � � �

� si existe � � �

t.q.

� � �

� � �

si no

El problema de diseño original:

( ) � ���� � � �

�� �

� ��

Perturbación aleatoria:

Diseno optimo de estructuras.– p. 15/30

Perturbaciones en las cargas

Sea � � � � � � � �

definida por

�� �

� � ��

��

�� � � �

� si existe � � �

t.q.

� � �

� � �

si no

El problema de diseño original:

( ) � ���� � � �

�� �

� ��

Perturbación aleatoria:

� �

���

Diseno optimo de estructuras.– p. 15/30

Modelo estocástico

Minimización de la complacencia esperada:

( � ) � � �� � � �

��

�� �

� �� � ���

� ��

� � � � � �

Sea

Se tiene que

Si es infactible.

Diseno optimo de estructuras.– p. 16/30

Modelo estocástico

Minimización de la complacencia esperada:

( � ) � � �� � � �

��

�� �

� �� � ���

� ��

� � � � � �

Sea

� � � � � � � � �

Se tiene que

��

�� �

� �� ����

�� �

� � � � � � � � � � �

��

Si es infactible.

Diseno optimo de estructuras.– p. 16/30

Modelo estocástico

Minimización de la complacencia esperada:

( � ) � � �� � � �

��

�� �

� �� � ���

� ��

� � � � � �

Sea

� � � � � � � � �

Se tiene que

��

�� �

� �� ����

�� �

� � � � � � � � � � �

��

Si� � � �

�� � � �

es infactible.

Diseno optimo de estructuras.– p. 16/30

Ejemplo: distribución discreta

Si ��� � � � � � ��

� � � � �

��� ��

entonces

� � ���� � � �

��

�� � �

� � � � � � �� �

��

��

� � �

� � � � ��

� � �� � � � �

donde� �� � � � � � � ��

Diseno optimo de estructuras.– p. 17/30

Distribución continua (1/2)

Sea

� � �

v.a. continua con:Media � � �

.Matriz de varianza-covarianza

� � �

.

Entonces

asociada a la media asociada a la dispersión

Diseno optimo de estructuras.– p. 18/30

Distribución continua (1/2)

Sea

� � �

v.a. continua con:Media � � �

.Matriz de varianza-covarianza

� � �

.

Entonces

� � � �� � � �

��

��

� �� �

asociada a la media

�� � �� � � � �

� �� �

asociada a la dispersión

��

��

� � �

� ��

� � � ��

Diseno optimo de estructuras.– p. 18/30

Distribución continua (2/2)

Sea ��� � ��

la columna

-ésima de

y

�� � � �� ��

� �� � � � � �� �

� � � �� � � �

.

�� � � � �� �� � � � � �� � � �� � � ��� � � � �

.

�� � � � � � � � � �� .

Se tiene:

( )

( )

Volver al planDiseno optimo de estructuras.– p. 19/30

Distribución continua (2/2)

Sea ��� � ��

la columna

-ésima de

y

�� � � �� ��

� �� � � � � �� �

� � � �� � � �

.

�� � � � �� �� � � � � �� � � �� � � ��� � � � �

.

�� � � � � � � � � �� .

Se tiene:

(

��� �

) � ��� � ��� �

��� � ��� � �� � � � �� � �� �

(

� � �

) � ����� �� �� � �

� �� � � � �

� � �� � � �� �� ��

Volver al planDiseno optimo de estructuras.– p. 19/30

Experiencias numéricas

Diseno optimo de estructuras.– p. 20/30

Ejemplo de juguete

Modelo con una distribución de cargas:

0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5

0

0.5

1

1.5

1 2 3

4 5 6

0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5

0

0.5

1

1.5

Dos modelos estocásticos:

0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5

0

0.5

1

1.5

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5

0

0.5

1

1.5

(b)

Diseno optimo de estructuras.– p. 21/30

Ejemplo de juguete

Modelo con una distribución de cargas:

0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5

0

0.5

1

1.5

1 2 3

4 5 6

0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5

0

0.5

1

1.5

Dos modelos estocásticos:

0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5

0

0.5

1

1.5

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5

0

0.5

1

1.5

(b)

Diseno optimo de estructuras.– p. 21/30

Torre

−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12

0

5

10

15

−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12

0

5

10

15

−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12

0

5

10

15

Diseno optimo de estructuras.– p. 22/30

Torre

−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12

0

5

10

15

−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12

0

5

10

15

−6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12

0

5

10

15

Diseno optimo de estructuras.– p. 22/30

Cúpula (1/3)

Estructura base:

−1

−0.5

0

0.5

1

−1

−0.5

0

0.5

1

0

0.5

1

Diseno optimo de estructuras.– p. 23/30

Cúpula (2/3)

Solución óptima para una carga vertical:

Diseno optimo de estructuras.– p. 24/30

Cúpula (3/3)

Solución óptima con 2 perturbaciones horizontalesindependientes:

Diseno optimo de estructuras.– p. 25/30

Otra solución inestable

Diseno optimo de estructuras.– p. 26/30

Modelo estocástico

Diseno optimo de estructuras.– p. 27/30

Último ejemplo

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6 −0.2

0

0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Y

X

Z

Diseno optimo de estructuras.– p. 28/30

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6−0.2

0

0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

f

Diseno optimo de estructuras.– p. 29/30

Dos modelos estocásticos

Volver al plan

Diseno optimo de estructuras.– p. 30/30