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disequazioni irrazionali
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Compito in classe di Matematica del 6 marzo 2003 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
I testi degli esercizi proposti e le soluzioni grafiche e analitiche
11 +−≤ xx L’equazione può scriversi nella forma
xx −≤+ 11 Ponendo le opportune condizioni x≥0 e x+1≥0 il grafico dei due membri della disequazione è
Ne segue che l’unico valore di x che soddisfa la disuguaglianza è 0.Pertanto l’ insieme delle soluzioni è S={ 0}
24 +<− xx Ponendo 4−x≥0 e x+2≥0 e y≥0 otteniamo il grafico di due emiparabole che si intersecano nel punto di ascissa 4−x=x+2 2x=2 x=1 Pertanto, come si evince dal grafico, S= (1,4]
432 +≥+ xxx L’unica condizione è che x+4≥0; per il resto dal grafico delle due parabole Le intersezioni si trovano risolvendo l’equazione (x²+3x)² =x+4 che essendo di quarto grado ci accontentiamo di determinarne l’esistenza. Pertanto le soluzioni saranno S=[−4, α) ∪ (β, ∞)
xx >+1 La condizione sono x≥0 e y≥1: esce una semiparabola con la bisettrice del primo e terzo quadrante Il punto di intersezione si trova risolvendo l’equazione
2
53
2
493
013
)1(
1
2/1
2
2
±=−±=
=+−
−=
−=
x
xx
xx
xx
Delle due radici è accettabile quella maggiore e pertanto S=
+2
53,0
|2|6 2 −>− xxx
La condizione 6x−x² ≥0 è soddisfatta per 0≤x≤6 e il primo termine della disequazione rappresenta una semicirconferenza. Il termine con il modulo rappresenta la spezzata che si annulla per x=2 Pertanto risolvendo l’equazione di secondo grado 6x−x² = (x−2)² si ottiene l’ insieme delle soluzioni
S=
+−2
175,
2
175
22 849 xxx −≤− I due membri della disequazione rappresentano una semielli sse e una semicirconferenza: le soluzioni sono
S=
−3
443,0
xx
11 ≤+
Ponendo x>0 e y≥1, dal confronto del grafico della semiparabola con l’ iperbole equilatera si ha che
S=(0,α] dove α è radice dell ’equazione
01
01
32 =−+
=
=−+
tt
txponendo
xxx
Essendo tale equazione di grado superiore al secondo ci accontentiamo della sua esistenza.
65|| −> xx
Ponendo 5x−6≥0 → x≥6/5 →|x|=x Risolvendo l’equazione x²=5x−6 si ottiene S=[6/5 ,2) ∪ (3, ∞)
D’ora in avanti riporto il testo e il grafico risolutivo e le soluzioni
2|| +< xx
S=(−1,2)
12|| +> xx
S=[−12, −3) ∪ (4, ∞)
225327 xx −≤−
S=[1,2]
225840 xx −≥−
S=[−5,3) ∪ { 5}
241128 xx −<−
la disequazione è impossibile
2136
xx
−<
S=[− 13 ,0) ∪ (2,3)
226
5x
x−≥
S=(0,1] ∪ [ 5 , 26 ]
xx 3182 <+
S=(3,6)
|3|1 −<− xx
S=[1,2] ∪ (5,∞)
|1|5 +>+ xx
S=
−−−2
117,
2
171
|1|72 2 xx −<−
S=(−4,− 7/2 ] ∪ [ 7/2 ,2)
22512
xx
−≤
S=[−5,0) ∪ [3,4]
22 121 xxx +<−+
S=[1− 2 , 0) ∪ (1, 1+ 2 ]
49 2 +<− xx
S=[−3, − (1+ 21 )/2 ) ∪ ( ( 21 −1)/2 , 3]
176 2 −<−− xxx
S=[3− 2 , 2) ∪ (2, 3+ 2 ]
22 44 xxx >−+
S=(1, β)