Embed Size (px)
DESCRIPTION
OSNOVE EKONOMETRIJE 4. DISKRETNA SLUČAJNA VARIJABLA. Diskretne Kontinuirane M ješovitog tipa. Vrste slučajnih varijabli:. Diskretna slučajna varijabla. Varijabla X je diskretna slučajna varijabla, ako poprima konačno ili prebrojivo mnogo vrijednosti s vjerojatnostima. pri čemu vrijedi:. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
DISKRETNA DISKRETNA SLUČAJNA SLUČAJNA VARIJABLAVARIJABLA
OSNOVE EKONOMETRIJEOSNOVE EKONOMETRIJE44
Vrste slučajnih varijabli:
• Diskretne
• Kontinuirane
• Mješovitog tipa
Diskretna slučajna varijablaVarijabla X je diskretna slučajna varijabla, ako poprima konačno ili prebrojivo mnogo vrijednosti s vjerojatnostima )()( ii xpxXP pri čemu vrijedi: 1)( 0)(
iii xpxp
Funkcija koja svakoj vrijednosti slučajne varijable pridružuje određenu vjerojatnost zove se funkcija (zakon) vjerojatnosti diskretne slučajne varijable. Ona može biti zadana grafički, tabelarno ili analitičkim izrazom.
Kumulativna funkcija distribucije slučajne varijable X definirana je izrazom:
xXPxF )(
itd
xpxpxpxXPxF
xpxpxXPxF
xpxXPxF
)()()()(
)()()(
)()(
32133
2122
111
Kumulativna funkcija distribucije diskretne slučajne varijable izračunava se kako slijedi:
Broj neispravnih proizvoda
Broj kutija
xi fi
0 2
1 5
2 12
3 20
4 9
5 2
Distribucija 50 kutija prema broju neispravnih proizvoda dana je u slijedećoj tabeli:
Izračunajte aritmetičku sredinu i varijancu
f
fxx
Broj neispravnih proizvoda
Broj kutija
xi fi fixi
0 2 0
1 5 5
2 12 24
3 20 60
4 9 36
5 2 10
50 135
14,58
14,45
5,88
1,80
15,21
10,58
62,5
2)( xxf
f
xxf 22 )(
7,250
135
25,150
5,62
Izračunajte empirijsku vjerojatnost za svaki broj neispravnih proizvoda
Kako se zovu tako dobivene frekvencije
Da li se broj neispravnih proizvoda može smatrati slučajnom varijablom
Broj neispravnih proizvoda
Broj kutija
xi fi P(xi)
0 2 0,04
1 5 0,10
2 12 0,24
3 20 0,40
4 9 0,18
5 2 0,04
50 1,00
Izračunajte aritmetičku sredinu i varijancu pomoću relativnih frekvencija
)(xPxxxP(x)
0,00
0,10
0,48
1,20
0,72
0,20
2,70
)()( 22 xPxx
P
0,2916
0,289
0,1176
0,036
0,3042
0,2116
1,25
Očekivana vrijednost i varijanca diskretne slučajne varijable
Očekivana vrijednost (sredina) diskretne slučajne varijable definirana je izrazom:
E(X) )()(i
ii xpxXE
Varijanca diskretne slučajne varijable računa se izrazom
i
i xpxxExExVar )()()()( 22
i
xpxxExVar 22222 )()()(
Alternativno:
Primjer 1: U kutiji je 25 proizvoda od čega je 5 loših. Slučajno se bira jedanproizvod s vračanjem 4 puta. X je slučajni broj izvučenih loših proizvoda.a) naći distribuciju slučajne varijable xb) izračunati P(2≤X≤3)
Rješenje
0 1 2 3 4
DDDD
LDDD
DLDD
DDLD
DDDL
LLDD
LDLD
LDDL
DLDL
DDLL
DLLD
LLLD
LLDL
LDLL
DLLL
LLLL
0,84 4*0,2*0,83 6*0,22*0,82 4*0,23*0,8 0,24
0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0,0016
p=0,2 q=1-p=0,8
4040 8,02,0 224
2 8,02,0 1343 8,02,0 044
4 8,02,0 3141 8,02,0
X 0 1 2 3 4
P(x) 0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0,0016
F(x) 0,4096 0,8192 0,9728 0,9984 1,0000
P(2≤X≤3) =P(2)+P(3)=0,1536+0,0256=0,1792iliP(2≤X≤3)=F(3)-F(1)=0,9984-0,8192=0,1792
Primjer 2: Strijelac ima na raspolaganju 4 metka i gađa metu sve dok je nepogodi. Vjerojatnost pogodka u svakom gađanju je 0,8. X je broj potrošenihmetaka.Izračunati a) distribuciju slučajne varijable b) očekivani broj potrošenih metaka c) varijancu d) P(X<1); P(X≥3)
X 1 2 3 4
0,8 0,2*0,8 0,22*0,8 0,23*0,8+0,24
P(x) 0,8 0,16 0,032 0,008
xP(x) 0,8 0,32 0,096 0,032 1,248
x2P(x) 0,8 0,64 0,288 0,128 1,856
E(x)=xP(x)=1,248 Var(x)=∑x2 P(x)-μ2=1,856-1,2482=0,298496
P(X<1)=0 P(X≥3)=0,032+0,008=0,04
Primjer 3: Diskretna slučajna varijabla ima distribuciju:
X 0 2 5 7 9
P(x) 0,3 0,2 0,05 0,25 p
Nađite p p=1-(0,3+0,2+0,05+0,25)=1-0,8=0,2
Primjer 4: U kutiji su 3 bijele i 3 crne kuglice. Izvlači se po 1 kuglica bez vračanja sve dok se ne izvuće bijela. X je broj izvlačenja.Napišite distribuciju slučajne varijable:
X P(x)
1 (3/6)=1/2 10/20
2 (3/6)(3/5)=3/10 6/20
3 (3/6)(2/5)(3/4)=3/20 3/20
4 (3/6)(2/5)(1/4)(3/3)=1/20 1/20
Primjer 4: U kutiji se nalazi pet dobrih i sedam loših žarulja. Neka je X brojdobrih žarulja u slučajnom uzorku od 4 žarulje. Odredite distribuciju slučajnevarijable.
x 0 1 2 3 4
P(x)
4
12
4
75
)(xx
xpx 0 1 2 3 4
P(x) 7/99 35/99 42/99 14/99 1/99
Primjer 5: Dva strijelca S1 i S2 gađaju po jednom u istu metu. Vjerojatnost pogotka za S1 je 0,7 a za S2 0,6. X je broj pogodaka u metu. Napišite distribuciju slučajne varijable, očekivani broj pogodaka i vjerojatnost da je meta pogođena najviše jednom
S1 S2
- -
-
+
+
-
+ +
S1 S2
0,3 0,4
0,3
0,7
0,6
0,4
0,7 0,6
Microsoft Office Excel Worksheetx p(x)
0 0,12
1 0,46
2 0,42
1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
x P(x)
Primjer 6: Bacaju se dvije kocke. X je dobiveni zbroj. Napišite distribuciju Slučajne varijable i funkciju vjerojatnosti
2
1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
1/36
3 2/36
4 3/36
5 4/36
6
7
8
9
11
12
10
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
1;1 2;1 3;1 4;1 5;1 6;1
1;2 2;2 3;2 4;2 5;2 6;2
1;3 2;3 3;3 4;3 5;3 6;3
1;4 2;4 3;4 4;4 5;4 6;4
1;5 2;5 3;5 4;5 5;5 6;5
1;6 2;6 3;6 4;6 5;6 6;6
7 x za
36
1
36
13
7 x za 36
1
36
1
)(
x
xxp
Analitički izrazi distribucija vjerojatnosti diskretnih slučajnih varijabli najčešće korištenih u primjenama zovu se modeli diskretnih distribucija vjerojatnosti.Najvažnije diskretne distribucije vjerojatnosti su
Odabrani modeli diskretnih Odabrani modeli diskretnih distribucija vjerojatnostidistribucija vjerojatnosti
Binomna distribucijaBinomna distribucijaPoissonova distribucijaPoissonova distribucijaHipergeometrijska distribucijaGeometrijska distribucijaDiskretna uniformna
distribucija
Binomna distribucija vjerojatnostiBinomna distribucija vjerojatnosti
npq
npqXVar
npXE
qpx
nxp
nX
xnx
)(
)(
)(
,,1,0:
pn;
Automatski stroj izrađuje proizvod A s konstantnim postotkom škarta od 3%. Rad stroja se kontrolira pomoću slučajnog uzorka.
a) Ako se u uzorak izabere 5 proizvoda, kolika je vjerojatnost da su dva škartna?
b) Izabere li se u slučajni uzorak 3 proizvoda, kolika je vjerojatnost da su svi neispravni?
c) Koliki je očekivani broj neispravnih proizvoda u uzorku od 100 proizvoda? Koliko je prosječno odstupanje od očekivanog broja neispravnih proizvoda?Rješenje:
008214.097.003.02
5)2(
2 x5n 0.970.03-1q 03.0 )
32
p
pa
000027.003.097.003.03
3p(3)
3 0.03p 3n )
303
xb
7059.197.003.0100npq
30.03100npE(X)
0.03p 100n )
c
13
1
Var(X) )(
0 !
)(
,2,1,0:
43
XE
x
exp
Xx
Poissonova distribucija vjerojatnosti
P
• Dnevna prodaja strojeva za pranje rublja je slučajna varijabla distribuirana po Poissonovoj distribuciji. Dnevno se u prosjeku proda 6 strojeva za pranje rublja.
• Napišite analitički izraz za konkretnu distribuciju.
!
6)( 0
!)( ,2,1,0:
6
x
exp
x
expX
xx
• Kolika je vjerojatnost da u jednom danu ne bude prodan nijedan stroj za pranje rublja?
0025.000248.0!0
6)0( 0
60
e
px
Ako je na skladištu 16 strojeva za pranje rublja kolika je vjerojatnost da dnevna potražnja ne bude zadovoljena?
000175,0999825,01)16(1)16(1
.........)18()17()17(
FXP
PPXP
