Дискретная математика

Для 1 курса, групп ИАБО

По направлению подготовки 15.03.04

Раздел «Графы»

Москва, 2018

Кафедра промышленной информатики

1

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Определение графа

3

В математике определение графа дается так:Графом называется конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями.Точки называются вершинами графа, а соединяющие линии – рёбрами.

Степень вершины графа

4

Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью вершины. Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется нечетной, а чётную степень – чётной.

Маршруты, пути и циклы в графах

Маршрутом в графе G=(V, E) называется конечная последовательность смежных ребер вида: (v0,v1), (v1,v2), (v2,v3), ,(vk‑1,vk), или маршрутом можно считать такую последовательность вершин: (v0,v1,,vk), что любая пара вершин (vi‑1,vi), где 1 i k является ребром графа G. Такой маршрут называется (v0‑vk)–маршрутом, а вершины v0 и vk –начальной и конечной или терминальными вершинами маршрута. Все другие вершины маршрута называются внутренними. Заметим, что ребра и вершины в маршруте могут повторяться.

• Маршрут называется открытым, если его концевые вершины различны, и замкнутым или циклическим в противном случае.

• Открытый маршрут называют цепью, если все ребра в нем различны (вершины могут повторяться).

• Цепь, в которой не повторяются вершины, называется путем (простой цепью).

• Замкнутая цепь называется циклом, замкнутый путь – простым циклом (в орграфе – контуром). Ребро графа называется циклическим, если в графе существует цикл, содержащий это ребро.

• Неорграф без циклов называется ациклическим, орграф без контуров – бесконтурным.

• Длиной маршрута (пути, цикла) называется число содержащихся в нем ребер. Наименьшая из длин простых циклов называется обхватом графа.

Пример 1

Для графа на рисунке: открытый маршрут: (v2,v4,v1,v2,v3,v4,v1).Замкнутый маршрут: (v2,v3,v5,v4,v3,v2)Открытая цепь: (v2,v5,v1,v2,v4).Замкнутая цепь (цикл): (v2,v4,v1,v2,v3,v5,v2)Путь: (v2,v5,v1,v4,v3).Простой цикл: (v2,v5,v1,v3,v2). Обхват графа равен 3.Некоторые свойства маршрутов, путей и циклов.а) В пути все вершины, кроме терминальных, имеют степень 2, а

терминальные – 1.б) Любая вершина цикла имеет степень 2 или другую четную степень.в) Число вершин в пути на единицу больше, чем ребер, а в простом

цикле число ребер равно числу вершин.г) Если S – матрица смежности графа G, то (i,j)‑ый элемент матрицы

Sk равен числу (vi‑vj)маршрутов длины k.

Пример 2

По заданной матрице смежности определить число маршрутов длины 3 между любой парой вершин в графе.

Вычислим последовательно степени матрицы S.

Из полученной матрицы S3 следует, что имеется один (v1‑v1)-маршрут длины 3, три (v2‑v1)-маршрута длины 3, один (v3‑v1)-маршрут длины 3, два (v4‑v1)-маршрута длины 3 и т.д.. Все маршруты легко восстанавливаются по матрицам S3, S2 и S. Восстановим, например, (v3‑v1)-маршрут: элемент , равный единице, был получен в результате умножения элементов и , в свою очередь элемент получился путем умножения и, тем самым, в формировании элемента участвовали элементы и матрицы смежности, поэтому (v3‑v1)-маршрут есть последовательность вершин (3,2,4,1). Наглядным подтверждением полученного решения является рисунок:

Связность компоненты графа

• Две вершины графа называют связанными, если между ними существует путь. Любая вершина по определению связана сама с собой.

• Неорграф называется связным, если любая пара вершин в нем связана. Орграф называется связным, если соответствующий ему неорграф связен. Орграф называется сильно-связным, если для любой пары несовпадающих вершин vi и vj существуют оба маршрута (vi‑vj) и (vj‑vi).

Бинарное отношение связности в неорграфе (сильной связности в орграфе) является отношением эквивалентности на множестве вершин, поскольку оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. И по теореме о разбиении множества на классы эквивалентности, множество вершин графа можно разбить на такие непересекающиеся подмножества, что в каждом из этих подмножеств вершины будут попарно связаны между собой и не связаны с вершинами никаких других подмножеств. Вершинно-порожденные подграфы каждого из подмножеств в этом разбиении называются компонентами графа (сильными компонентами в орграфе). Таким образом, справедливо следующее утверждение: любой неорграф разбивается единственным образом на попарно непересекающиеся компоненты (или, как говорят, в прямую сумму своих компонент, а орграф – в прямую сумму сильных компонент).

На рисунке изображены два графа: неорграф (слева) связным не является и состоит из четырех компонент – {1,2,3}, {4,5}, {6,7,8} и {9}. Орграф (справа) связен, но не сильно-связен, имеет три сильные компоненты – {1,2,3}, {4} и {5}.

Свойства связных графов

• 1) Связный граф состоит из одной компоненты, а число компонент в несвязном графе всегда больше единицы.

• 2) Изолированная вершина является компонентой.• 3) В связном графе любые два пути максимальной длины

имеют общую вершину.• 4) Удаление циклического ребра не нарушает связности

графа.

Теорема о числе ребер

Оценка числа ребер в простых графах.

Пусть G=(V, E) – простой граф с в вершинами и k компонентами. Тогда число его ребер р удовлетворяет неравенству:

Деревья. Лес

Связный граф без циклов называется деревом. Граф, каждая компонента которого является деревом, называется лесом. На рисунке изображен лес, состоящий из двух деревьев.

Циклический и коциклический ранг графа

Цикломатическим числом или циклическим рангом графа называется наименьшее число ребер, которое необходимо удалить из графа так, чтобы в нем не осталось ни одного цикла. После такого удаления ребер из связного графа будет получено дерево, называемое остовным деревом или остовом графа (в случае несвязного графа – остовный лес). Заметим, что число вершин в остове совпадает с числом вершин графа. Относительное дополнение остова до исходного графа образует так называемое ко-дерево (ко-лес) для данного остова. Ребра остова называют ветвями, а ребра ко-дерева (ко-леса) – хордами.

На рисунке (а) изображен несвязный граф, а на рисунках (б) и (в) его остовный лес и соответствующий ему ко-лес.

Обозначим цикломатическое число графа (G), число ребер р, число вершин в и число компонент k. Тогда из определения цикломатического числа следует, что р ‑ (G) = в –1 для связного графа и р ‑ (G) = в – k для несвязного графа. Отсюда (G) = р ‑ в+1 для связного и (G) = р ‑ в+k для несвязного графов соответственно. Цикломатическое число характеризует связность графа или, как говорят, является мерой связности. Заметим также, что число хорд в ко-лесе равно (G).

Нетрудно установить, что цикломатическое число дерева равно нулю, а простого цикла – единице.

Число ветвей в остове (в – k) называют коциклическим рангом графа или рангом разреза и обозначают *(G). Заметим, что (G) +*(G)= р.

Разделяющим множеством простого графа называют такое подмножество его ребер, удаление которого увеличивает число компонент графа.

Разрезом (коциклом) в графе называется такое разделяющее множество, никакое собственное подмножество которого не является разделяющим. Таким образом, удаление разреза из графа увеличивает число его компонент в точности на единицу. Если разрез состоит из единственного ребра, то он называется перешейком или мостом.

Теорема об остовах и разрезах

Для графа на рисунке множества ребер {1,2,5} и {3,4,6,7,8} являются разделяющими множествами. А множества {1,2} и {3,6,7,8} – разрезами. Следующая теорема устанавливает связь между остовами и разрезами, а также между ко-лесом и циклами в графе.

Теорема об остовном лесе

Теорема. Пусть Т – остовный лес графа G, а K – соответствующий ему ко-лес. Тогда (а) всякий разрез в G имеет общее ребро с Т, и (б) каждый цикл в G имеет общее ребро с K.

Связь между циклами и разрезами устанавливается следующей теоремой.

Теорема о циклах и разрезах

Теорема. Любой цикл и любой разрез связного графа имеют четное число общих ребер.

Фундаментальные циклы и разрезы

Пусть Т – остов графа и К – соответствующий ему ко-лес.Если добавить к Т любую хорду hК, то получим единственный цикл, который называется фундаментальным циклом относительно хорды h. Понятно, что все циклы, получаемые таким способом, т.е. путем добавления к Т различных хорд из К, попарно различны и их число равно числу хорд в К, и равно (G). Множество всех фундаментальных циклов относительно хорд К называется фундаментальной системой циклов относительно остова Т.

На рисунках (а) и (б) изображен граф и его остов, а на рисунке (в) – фундаментальная система циклов относительно этого остова. Если удалить из Т любую ветвь b, то одна из компонент Т разобьется на две новые компоненты, каждая из которых является деревом. Обозначим множества вершин новых компонент V1 и V2. Заметим теперь, что хорды из К, соединяющие вершины из V1 и V2, в совокупности с ветвью b образуют разрез графа G. Этот разрез называется фундаментальным разрезом относительно ветви b остова Т. Множество всех разрезов, полученных таким способом, т.е. удалением по отдельности каждой ветви из Т, называется фундаментальной системой разрезов относительно остова Т. Очевидно, что все разрезы в этом множестве попарно различны и их число совпадает с числом ветвей в Т и равно (в‑k).

Для графа на рисунке множества ребер {1,2,5} и {3,4,6,7,8} являются разделяющими множествами. А множества {1,2} и {3,6,7,8} – разрезами. Следующая теорема устанавливает связь между остовами и разрезами, а также между ко-лесом и циклами в графе.

Специальные графы

Граф называется r‑валентным или r‑однородным, если любая его вершина имеет степень, равную r.

Например, цикл является 2-валентным графом. На рисунке (а) изображен 3-валентный граф Петерсона, графы Платоновых тел: (б)–куба, (в)‑тетраэдра, (г)–додекаэдра, (д)–4-валентный граф октаэдра и (е)–5-валентный граф икосаэдра.

Любой полный граф Кn, где n – число вершин, является (n‑1)‑регулярным.

Граф G=(V, E) называется двудольным, если множество его вершин V можно разбить на два непересекающихся подмножества V1 и V2, что каждое ребро графа имеет одну концевую вершину в V1, а вторую в V2 (рис.слева). При этом не обязательно, чтобы каждая пара вершин из V1 и V2 была соединена ребром. Если же это так, то граф называется полным двудольным графом и обозначается обычно Km,n, где m и n – число вершин в V1 и V2 соответственно (рис. Справа). В полном двудольном графе число вершин равно m+n, а число ребер mn. Полный двудольный граф вида K1,n называется звездным.

Эйлеровы графы

Знаменитая задача Эйлера о Кёнигсбергских мостах, сформулированная на языке графов в 1736 г., дала начало математической теории графов. Это игровая задача, суть которой заключается в следующем: в городе Кёнигсберге на реке Преголя имеется два острова, которые соединяются между собой и берегами семью мостами, как показано на рисунке. Прогуливаясь по городу и начиная движение из любой точки, требуется пройти по каждому мосту ровно по одному разу и вернуться в исходную точку.

Сопоставим каждому участку суши вершину графа, а каждому мосту – ребро. Тогда «план города» будет выглядеть так, как показано на рисунке слева. И задачу можно теперь переформулировать для графов: найти в связном графе такую замкнутую цепь, которая проходит через каждое его ребро или, как говорят, покрывает все ребра графа. Такая цепь называется эйлеровой цепью или эйлеровым циклом, а графы, в которых такая цепь существует, называются эйлеровыми графами. Очевидно, что граф, изображенный на левом рисунке, эйлеровым не является. Граф на рисунке справа – эйлеров, и соответствующая эйлерова цепь – это последовательность ребер (1,2,,12).

Граф называется полуэйлеровым, если в нем существует открытая эйлерова цепь, т.е. цепь, покрывающая все ребра графа, у которой начальная и конечная вершины не совпадают. И, наконец, граф называется неэйлеровым, если в нем не существует ни открытой, ни замкнутой эйлеровой цепи. На рисунке слева – полуэйлеров граф, на рисунке справа – неэйлеров граф.

Теорема. Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда любая его вершина имеет четную степень.

Следствие 1: семейство ребер эйлерова графа можно разбить на непересекающиеся по ребрам циклы.

Следствие 2: каждая вершина эйлерова графа содержится хотя бы в одном цикле.

В любом связном графе с 2k нечетными вершинами имеется семейство из k цепей (не пересекающихся по ребрам), которые в совокупности покрывают все ребра графа.

Следствие. Граф является полуэйлеровым тогда и только тогда, когда в нем имеется ровно две вершины нечетной степени. Очевидно, одна из этих вершин будет начальной для открытой эйлеровой цепи графа, а другая – конечной.

Рассмотрим алгоритм Флёри построения эйлеровой цепи в эйлеровом графе.

Пусть G – эйлеров граф, тогда следующая процедура всегда возможна и приводит к эйлеровой цепи графа G. Выходя из произвольной вершины, идем по ребрам графа произвольным образом, соблюдая лишь следующие правила: 1) стираем ребра по мере их прохождения и стираем также изолированные вершины, которые при этом образуются; 2) на каждом этапе идем по мосту только тогда, когда нет других возможностей.

Гамильтоновы графы

В 1859 г. ирландский математик сэр Уильям Гамильтон придумал игру–головоломку. Основой её был правильный додекаэдр, сделанный из дерева. Каждая вершина этого додекаэдра была помечена названием одного из крупных городов (Брюссель, Франкфурт, Дели и т.д.). Задача состояла в нахождении пути вдоль ребер додекаэдра, проходящего через каждый город в точности по одному разу.

Сопоставляя додекаэдру его граф, см. рис.32(г), ту же задачу можно переформулировать так: найти на графе замкнутый путь, проходящий через все вершины графа (или покрывающий все вершины графа). Такой путь называется гамильтоновым циклом, а графы, в которых он имеется, называются гамильтоновыми. Если путь, покрывающий все вершины графа, не замкнут, то граф называется полугамильтоновым.

На рис.(а) изображен негамильтонов граф, (б) – полугамильтонов и (в) – гамильтонов граф. Заметим, что гамильтонов цикл, вообще говоря, не покрывает всех ребер графа, поскольку в каждой вершине он проходит в точности по двум ребрам.

Хотя между эйлеровыми и гамильтоновыми графами имеется некоторая аналогия, однако, теории для них имеют мало общего. И трудность этих двух задач различна. Для гамильтоновых графов нет такого простого критерия, как для эйлеровых. Имеются лишь достаточные условия того, чтобы простой граф был гамильтоновым. Одним из них является теорема Дирака.

Если в простом графе с n вершинами (n3) степень любой вершины больше, либо равна n/2, то граф является гамильтоновым.

Если в простом графе с n вершинами (n3) для любой пары несмежных вершин vi, vj выполняется условие deg(vi)+deg(vj)n, то граф является гамильтоновым. (Если deg(vi)+deg(vj)n‑1, то граф – полугамильтонов.)

Задача коммивояжера

Классическим примером задачи поиска гамильтоновых циклов является известная задача о коммивояжере (странствующем торговце). Коммивояжеру необходимо посетить несколько городов, расстояния между которыми известны. Нужно найти кратчайшую дорогу, проходящую через все пункты и возвращающуюся в исходный пункт. Здесь каждому городу сопоставим вершину графа, дороге между городами – ребро. Ребру приписываем заданное расстояние, которое, очевидно, можно рассматривать как функцию двух вершин f(vi,vj). Если вершины vi,vj несмежны, то f(vi,vj)=. Таким образом, длина гамильтонова цикла L= . Найти цикл, для которого L минимальна. Не известно до сих пор никакого эффективного алгоритма для решения этой задачи. Для конечного случая её можно решить простым перебором. Отметим, что для полного графа на n вершинах существует (n-1)!/2 гамильтоновых циклов, т.е. сложность задачи очень быстро возрастает с ростом числа вершин.

ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ГРАФОВ

Лабиринт - это граф. А исследовать его - это найти путь в этом графе. Дерево – тоже граф.

Лабиринт. Дерево

Применение графов

38

Графы применяются в генеалогии.На рисунке приведена часть генеалогического дерева знаменитого дворянского рода Л. Н. Толстого. Здесь его вершины – члены этого рода, а связывающие их отрезки – отношения родственности, ведущие от родителей к детям.

Применение графов в программировании

39

Блок-схема алгоритма – это граф.

Применение графов в строительстве

40

Сетевой график проведения работ – это граф.

Графы на картах

41

Примерами графов являются железные и автомобильные дороги на географических картах, схемы движения самолётов.

Графы на картах звёздного неба

42

Схема созвездия – это неориентированный граф.

Граф схемы метро

43

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФОВПРИ РАЗМЕЩЕНИ ТЕЛЕФОННЫХ СТАНЦИЙ

44

В практической деятельности постоянно возникают задачи «наилучшего» размещения оборудования (или средств обслуживания) в сетях или графах. В частности, если граф представляет сеть дорог и вершины соответствующие отдельным районам, то можно поставить задачу оптимального размещения больниц, полицейских участков, телефонных станций.

Размещение телефонных станций

45

Задача о размещении пунктов массового обслуживания для некоторого множества объектов возникает в логистике достаточно часто. Однако, несмотря на схожесть подобных задач, критерии оптимальности чаще всего бывают двух типов. В соответствии с ними разделяют и постановки задачи на размещение пунктов обслуживания.

Минисуммная задача размещения. Дана сеть с обслуживаемыми объектами. Разместить пункт регулярного обслуживания так, чтобы сумма кратчайших расстояний от этого пункта до вершин графа была минимально возможной.

Минимаксная задача размещения. Дана сеть с обслуживаемыми объектами. Разместить пункт экстренного обслуживания так, чтобы расстояние до самого удаленного объекта было минимально возможным.

Размещение регулярных пункутов обслуживания

46

Подобная формулировка подходит для размещения автобазы, обслуживающей ряд объектов, центрального склада, с которого осуществляется доставка продукции, школы, телефонной станции в телефонной сети и т.д. Однако в реальности вряд ли все обслуживаемые объекты имеют одинаковый приоритет. Например, в случае с размещением склада, очевидно, что объекты с наибольшей потребностью в продукции должны размещаться ближе к складу, поскольку ездить туда придется чаще, а в целом речь идет о минимизации транспортных расходов. Если говорить о размещении телефонной станции, то вполне очевидно, что стоит учитывать количество людей, проживающих в каждом из населенных пунктов с тем, чтобы минимизировать суммарное пройденное ими всеми расстояние. Обобщая эти рассуждения, каждому объекту можно сопоставить некоторое число, называемое весом.

Минисуммная постановка задачи

47

На основе исходных данных построить матрицу смежности. Пользуясь несколько раз алгоритмом Дейкстры, найти кратчайшие пути (выраженные явно или их приведенные эквивалентные характеристики) из каждой вершины в каждую. Затем, по очереди предполагая размещение пункта обслуживания в каждом объекте, рассчитать сумму произведений элементов соответствующей ему строки и столбца на вектор весов. Из найденных результатов отобрать минимальный.

Основная идея

48

Если моделью системы является ориентированный граф, рассматриваются пути до пункта обслуживания и обратно, и в качестве целевой функции используется минимизация стоимости обслуживания, то вполне возможна ситуация, когда затраты на проезд 1 км по пути к пункту обслуживания отличаются от затрат на проезд 1 км по пути обратно. В этом случае матрица кратчайших путей не будет отражать реальных финансовых затрат.

Возможные труцдности

49

В таких случаях после нахождения матрицы кратчайших путей нужно последовательно для каждой вершины рассчитывать:• сумму произведений элементов соответствующей ей строки на вектор весов с коэффициентом стоимости затрат на проезд из пункта обслуживания;• сумму произведений элементов соответствующего столбца на вектор весов с коэффициентом стоимости затрат на проезд к пункту обслуживания.

Способы преодолени трудностей

50

Семь деревень расположены так, как показано на рисунке. Найти место для оптимального размещения телефонной станции, если в деревнях соответственно проживают 80, 100, 140, 90, 60, 50 и 40 человек. Критерий оптимальности – минимизация суммарного расстояния, проходимого всеми людьми по пути на телефонную станцию и обратно.

Пример практической задачи

51

Задачу можно обобщить на случай, если необходимо размещать не один, а P пунктов обслуживания. В этом случае постановка задачи выглядит так: разместить P пунктов обслуживания сети из N объектов так, чтобы сумма расстояний от каждого из объектов до ближайшего пункта обслуживания и обратно была минимальной. Соответствующее множество вершин называют P-медианой графа.В этом случае простой перебор уже не дает эффективного решения. Для поиска P-медиан применяют методы целочисленного программирования, алгоритм направленного древовидного поиска, а также эвристический алгоритм Тэйца и Барта.

Дополнительное замечание

52

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФОВ В ПРОЕКТИРОВАНИИ КРАТЧАЙШЕЙ КОММУНИКАЦИОННОЙ СЕТИ

53

Практически любая коммуникационная сеть является графом, воплощенным в реальном мире. Эти сети на схемах и упрощенных для восприятия зарисовках изображают в виде графов.

Коммуникационная сеть

54

Кратчайшая коммуникационная сеть – это сеть, где все узлы связаны между собой напрямую или опосредованно, при наименьшей общей протяженности связующих элементов.Примерно так она может быть представлена в вииде примитивной схемы:

Кратчайшая коммуникационная сеть

55

Пример построения подобной схемы показывает упрощенный принцип разработки всей сети на стадии ее планирования.

Изначально есть лишь набор узлов и возможных ребер с известной в условных единицах длиной.

Пример сети

57

Начнем с выделения самых коротких ребер, длина которых не превышает 5.

58

Далее повторяем действия уже для более длинных ребер, пока все узлы не будут иметь, как минимум, одну связь.

59

Желаемый результат достигнут, все узлы связаны и общая длина ребер минимальна при данных условиях.

Результат

60

Построенная сеть

61

ПРИМЕНЕНИЕ ГРАФОВ В ДРУГИХ ОБЛАСТЯХ

62

Графы могут быть использованы для оптимизации процесса строительства, сокращения расходов и т.д.

Графами пользуются очень широко в разработке и создании коммуникационных сетей, и кратчайшие сети не являются исключением. Это неудивительно, ведь графы очень упрощают анализ и расчеты, помогая систематизировать информацию и найти оптимальное решение для поставленной задачи.

63

Некоторые облсти применения графов

64

Практическая значимость графов очень велика.

Многие люди даже не подозревают, что практически каждый день пользуются этим понятием и его свойствами.

Довольно широка область практического применения графов в окружающем нас мире.

Итоги

65

Литература

Основная литература• Гисин В.Б. Дискретная математика: учебник и

практикум для академического бакалавриата. М.: Издательство Юрайт, 2917. 383 с.

• Новиков Ф.А. Дискретная математика: учебник для вузов. СПб.: Питер, 2017. 496.

• Хаггарти Род. Дискретная математика для программистов. М.: Техносфера, 2016. 400 с.

Литература

Дополнительная литература• Гусева А. И. Киреев В. С. Тихомирова А. Н.

Дискретная математика: учебник. М.: ИНФРА-М, 2017. 208 с.

• Баврин И.И. Дискретная математика. Учебник и задачник: для прикладного бакалавриата. М.: Издательство Юрайт, 2017. 209 с.

Ресурсы Интернет

• http://www.bsuir-helper.ru/sites/default/files/2013/06/11/konspekt/Lekcii_ODMiTA.pdf

• http://www.studentpmr.ru/?p=23269• https://

www.youtube.com/watch?v=I946xdgVF3o• https://lizochekk.jimdo.com/